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投资组合优化模型的建立与分析投资是很多人进行财富增值的重要方法，但是资产配置的复杂性使得选择最优的投资组合不是一件简单的事情。
市场上存在着许多不同风险、不同收益的投资品种，如何将它们合理地组合起来，降低风险，提高收益，成为了众多投资者共同面对的难题。
此时，投资组合优化模型的建立就变得尤为重要。
一、投资组合优化模型的基本原理投资组合优化模型是将各类资产进行组合而构成的资产组合。
为了优化资产组合，需要考虑不同资产之间的关联性、风险和收益等因素。
在资产的选择和投资决策中，需要将这些因素相互权衡和平衡。
投资组合优化模型的基本原理就是选择一组不同的资产组合，以获得最大的收益，同时最小化风险。
投资组合优化模型是由统计和均值方差分析构成的。
均值方差分析是通过计算资产池的平均收益率和标准差，来确定最优投资组合。
在确定最优投资组合时，需要考虑到资产间的相互关系和限制条件，比如各资产的投资比例、资产风险和市场市值等。
二、投资组合模型的构建投资组合优化模型的构建包括资产选择、资产定价、资产间关系建立和投资器的选择等。
资产选择是考虑资产的各种因素，包括收益、风险、流动性、税务、市值和行业分布等。
通过对资产尤其是股票的深度研究，选择有潜力的股票纳入资产池中，以便于在之后的投资中进行选择。
资产定价是指资产价格的确定。
合理的定价可以帮助投资者在华丽价格时买入或卖出资产以最大化利润。
需要注意的是，定价受到各种因素的影响，这些因素包括基本面、行业和宏观经济环境等。
资产间关系建立是指建立资产池中不同资产的关系，即判断资产之间的联系是正向、负向或无关。
掌握这些关系可以通过分散投资和风险对冲来降低整个投资组合的风险。
投资器的选择是指选择投资组合模型的方法或策略，投资器可以是基于规则的算法或人工智能模型等。
投资器的选择需要综合考虑投资者的需求和市场的变化等因素。
三、投资组合的风险和收益投资组合的风险来自于各种因素，包括行业风险、资产波动率、宏观经济和政策风险等。
投资组合优化问题投资组合优化问题是金融领域中一个重要的研究方向，旨在寻找一个最佳的投资组合，以达到预定的目标。
在不同的市场条件下，投资者往往面临着如何分配资金的问题，如何配置资产以最大化收益或最小化风险。
本文将介绍投资组合优化的概念、方法和应用，并分析其中的挑战和局限性。
1. 概念介绍投资组合优化是指在有限的投资标的中，如何选择和分配资产以达到一定的目标。
目标可能是最大化预期收益、最小化风险、达到一定的预期收益水平下最小化风险等。
这个问题可以通过数学模型和优化算法来求解。
2. 方法和技术投资组合优化问题可以使用多种方法来求解。
其中，最常用的方法包括：均值-方差模型、马科维茨模型、风险平价模型等。
2.1 均值-方差模型均值-方差模型是投资组合优化的经典模型，它通过考虑资产的预期收益率和方差来平衡风险和收益。
这个模型的基本思想是，将资产的预期收益率与方差构建成一个二维坐标系，投资组合的选择可以看作是在这个坐标系中找到一个最佳的点，即预期收益最高、方差最小的点。
2.2 马科维茨模型马科维茨模型是均值-方差模型的扩展，它在考虑资产的预期收益率和方差的基础上，引入了协方差来描述不同资产之间的相关性。
这使得投资者可以通过配置多种资产来进一步降低投资组合的风险。
2.3 风险平价模型风险平价模型是一种基于风险平价原则的投资组合优化方法，它认为投资者应该将不同资产的风险贡献平均化，以实现风险的均衡。
这种方法在构建投资组合时将更加注重对风险的控制。
3. 应用场景投资组合优化方法在金融领域有广泛的应用，可以应用于资产配置、基金组合管理、风险管理等方面。
3.1 资产配置资产配置是指根据个人或机构的特定目标和风险偏好，将投资资金分配到不同种类的资产上。
投资组合优化方法可以帮助投资者在不同资产之间做出合理的分配，以平衡收益和风险。
3.2 基金组合管理在基金管理中，投资组合优化方法可以帮助基金经理选择适宜的投资策略和资产配置方案，以获取更好的风险收益平衡。
投资收益和风险的优化模型摘要如何投资是现代企业所要面临的一个实际问题，投资的目标是收益尽可能大，但是投资往往都伴随着风险。
实际情况不可能保证风险和收益同时达到最优，因为收益和风险是矛盾的两个方面，收益的增长必然伴随着风险的提高。
“高风险，高回报”是经济学中一个重要的准则。
但是企业总是追求风险尽可能小，与此同时又追求收益尽可能大。
怎样分配资金才能做到统筹兼顾？在本文中，我们首先建立了一个多目标规划模型（模型一），目标函数分别为风险和收益。
由于M 是一笔相当大的资金，所以我们开始先忽略了i u 对模型的影响，将其转化成了一个形式更为简单的多目标线性规划模型。
为了求解此模型，我们将风险的上限限制为c ，这样多目标规划模型就转化成了一个带参量c 的线性规划模型（模型二）。
当给定参数c 时，这带参量c 的线性规划个模型就是一个一般的线性规划模型，由此可以唯一地求解出目标函数的最大值max g 。
所以若c 作为变量，max g 便是一个关于c 的函数)(max c g 。
如果我们求得了函数)(max c g ，就能够知道：当公司能承担的总风险损失率c v ≤时，公司能得到的最大总平均收益率，及其应投入各个项目i S 的资金率i x 。
这样我们在求解模型二的同时，也将模型一的非劣解解空间给了出来，即图1中的OA 、AB 段。
不同的企业，对于风险和收益的侧重不同，所以作出的决策也不同，自然得到的收益和承受的风险也不尽相同。
但无论怎样都应在我们给出的非劣解解空间中取值，这样才可能实现“风险尽可能小，收益尽可能大”。
针对第一组数据，我们给出了一个“通用性较强”的投资分配方案，即对大多数企业都合适的投资选择方案，应用此方案，总风险为M ⋅%61.0, 总收益可以达到M ⋅%59.20；类似地，针对第二组数据，我们利用效用函数的方法也给出了一个“通用性较强”的投资分配方案应用此方案，总风险为M ⋅%2.10, 总收益可以达到M ⋅%70.34。
基于Monte Carlo的多目标投资组合优化摘要：金融工程领域中，投资组合优化是一个核心课题。
该文说明了如何均匀随机数产生随机权重向量的方法，从而实现了基于蒙特卡罗的多目标投资组合优化模型。
实验结果表明，相比均值-方差优化模型，蒙特卡罗方法还可以在一定的收益和方差下，对其它计量指标进行优化。
关键词：投资组合优化蒙特卡罗随机权重向量Abstract：Portfolio optimization is one of the most essential topics in financial engineering. In this paper, we focus on optimizing multi-objective portfolio selection using Monte Carlo. The experimental results show that compared with traditional Mean-Variance Optimization, Monte Carlo methods can also obtain good optimization for other technical indicators without loss of mean return and increase of variance.Keywords: portfolio optimization Monte Carlo random weight vector近两年，Monte Carlo（Monte Carlo，MC）模型被应用到一些投资组合优化的研究中。
比起传统的MVO模型，MC模型易于实现且可以同时优化多个计量指标，故可用来处理多目标投资组合优化问题。
该文内容安排如下：第二部分着重介绍MC模型，第三部分通过实验给出了MC传统投资组合优化模型MVO的对比，第四部分为总结和对未来的工作的1 蒙特卡罗投资组合优化模型2 实验我们选择3支中国的股票的走势（从01/06/2003到12/31/2010）建成一个数据库，一共约2000点，并选择3种不同的计量指标：收益、方差、最大跌幅，设偏好向量为：π1=[1-1-1](表2)。
几类投资组合优化模型及其算法几类投资组合优化模型及其算法投资组合优化模型是金融领域中常用的一种数学模型，它通过对资产进行适当的配置，以期获得最大的收益或最小的风险。
在实际应用中，根据不同的投资目标和约束条件，可以使用不同类型的投资组合优化模型及相应的算法。
一、均值-方差模型及算法均值-方差模型是最经典的投资组合优化模型之一，它基于资产的期望收益和风险(方差或标准差)之间的权衡。
常用的算法有：马科维茨(Markowitz)模型和现代投资组合理论。
马科维茨模型利用资产的历史数据估计收益率和协方差矩阵，通过最小化风险（方差）的方式来寻找最优化的投资组合。
算法流程为：（1）计算资产的期望收益和协方差矩阵；（2）设定目标函数和约束条件，如最大化收益、最小化风险、达到特定风险水平等；（3）通过数学规划方法，如二次规划或线性规划求解最优的权重分配。
现代投资组合理论进一步发展了马科维茨模型，引入了资本市场线和风险资本边界等概念。
它将投资组合的有效边界与资本市场线相结合，可以通过调整风险与收益的平衡点，实现不同风险偏好下的最优组合。
算法流程与马科维茨模型类似，但增加了一些额外的计算步骤。
二、风险平价模型及算法风险平价模型是近年来研究的热点之一，它基于资产之间的风险关系，通过将各资产的风险贡献平均化，来实现风险平衡。
常用的算法有：风险平价模型及最小方差模型。
风险平价模型的核心思想是将整个投资组合中，每个资产的风险贡献度（总风险对该资产的贡献程度）设置为相等，从而实现整体投资组合风险的均衡。
算法流程为：（1）计算各资产的风险贡献度；（2）设定目标函数和约束条件，如最小化风险、满足收益要求等；（3）通过优化算法，如线性规划、非线性规划等，求解最优的权重分配。
最小方差模型在风险平价模型的基础上，进一步最小化整个投资组合的方差。
算法流程与风险平价模型类似，但在目标函数的设定上多了一项方差的计算。
三、条件-Value at Risk模型及算法条件-Value at Risk模型是一种集成了条件-Value at Risk方法的投资组合优化模型，它引入了一定的风险约束条件，如最大损失限制，来保护投资者不承受过大的风险。
投资组合优化模型及策略研究在当今复杂多变的金融市场中，投资者们都渴望找到一种能够实现资产增值、降低风险的有效方法。
投资组合优化模型及策略的研究，就成为了帮助投资者实现这一目标的重要工具。
投资组合，简单来说，就是将资金分配到不同的资产类别中，如股票、债券、基金、房地产等。
而投资组合优化，则是通过数学模型和策略，确定在各种资产之间的最优配置比例，以达到在给定风险水平下获得最大收益，或者在给定收益目标下承担最小风险的目的。
一、常见的投资组合优化模型1、均值方差模型这是由马科维茨提出的经典模型。
它基于资产的预期收益率和收益率的方差（风险）来构建投资组合。
投资者需要根据自己对风险的承受能力，在预期收益和风险之间进行权衡。
然而，该模型的缺点也较为明显，例如对输入数据的准确性要求较高，对资产收益率的正态分布假设在实际中不一定成立。
2、资本资产定价模型（CAPM）CAPM 认为，资产的预期收益率取决于其系统性风险（用贝塔系数衡量）。
该模型为资产定价和投资组合的构建提供了一种简单的方法，但它也存在一些局限性，比如假设条件过于理想化，无法完全解释市场中的所有现象。
3、套利定价理论（APT）APT 认为，资产的收益率可以由多个因素来解释，而不仅仅是系统性风险。
这一理论为投资组合的构建提供了更灵活的框架，但在实际应用中确定影响资产收益率的因素较为困难。
二、投资组合优化策略1、积极型策略积极型投资者试图通过对市场的深入研究和预测，选择那些被低估或具有潜在增长机会的资产，以获取超额收益。
然而，这种策略需要投资者具备丰富的专业知识和经验，以及对市场的敏锐洞察力，同时也伴随着较高的交易成本和风险。
2、消极型策略消极型策略通常是指投资者按照市场指数的权重来构建投资组合，以获得市场的平均收益。
这种策略的优点是成本低、操作简单，适合那些没有足够时间和精力进行投资研究的投资者。
3、混合策略混合策略则是结合了积极型和消极型策略的特点，在部分资产上采用积极管理，而在其他资产上采用消极跟踪。
投资组合优化模型分析投资组合是指将资金分散投资于多个资产上，以达到降低风险、提高回报的目的。
投资组合理论通过对不同资产的风险和回报进行优化分配，建立起一套可靠的资产配置策略，使投资者可以在不同市场情况下获得最大的收益。
投资组合优化模型是基于投资组合理论，通过各种数学方法对投资组合进行分析和优化，以实现投资效益最大化的目标。
1. 组合收益计算在投资组合优化中，组合收益是一个非常重要的指标。
组合收益指的是投资组合中各个资产的加权平均收益率。
计算组合收益的公式如下：组合收益率 = ∑（资产收益率×资产占比）其中，资产收益率指的是某个资产的收益率，资产占比是指该资产在投资组合中所占的比例。
通过计算组合收益率，可以更加全面地了解投资组合的回报情况，从而进行优化调整。
2. 组合风险计算组合风险是指投资组合中存在的波动风险。
由于投资组合中存在多种资产，因此其波动风险也更加复杂。
针对组合风险，可以通过各种方法进行计算和优化。
常用的计算方法有协方差矩阵法、方差-协方差法、价值-at-风险法等。
协方差矩阵法：该方法是一种比较常见的组合风险计算方法。
它通过计算各个资产之间的协方差矩阵，来获得投资组合的总体风险。
协方差矩阵法能够对资产间的风险相关性进行较为准确的估计，因此被广泛应用于投资组合优化。
方差-协方差法：该方法是一种以方差和协方差为基础的组合风险计算方法。
该方法通过计算每种资产的波动率和资产间的协方差，来评估投资组合的总体风险。
方差-协方差法可以较为准确地表示资产间的权衡关系，因此也被广泛应用于组合风险计算中。
价值-at-风险法：该方法是一种较为新颖的组合风险计算方法。
该方法通过计算组合在一定风险水平下可能承受的最大亏损，来评估投资组合的风险水平。
价值-at-风险法具有较强的直观性和实用性，因此也被越来越多的投资机构所采用。
3. 投资组合优化模型投资组合优化模型是一种基于数学方法对投资组合进行优化的模型。
第一部分收益法模型及方法介绍收益法目前常用的估值模型主要为现金流折现模型（DCF）、股利贴现模型（DDM）。
（一）现金流折现模型（Discounted Cash Flow），简称DCF 模型。
现金流量折现法通常包括FCFF(企业自由现金流折现模型)和FCFE(股权自由现金流折现模型)。
1、FCFF模型（Free Cash Flow for the Firm）（1）公式企业自由现金流量=净利润＋税后利息支出+折旧及摊销-资本性支出-营运资金增加额注意：企业整体价值=经营性资产价值+溢余资产价值+非经营性资产负债价值企业股东全部权益价值=企业整体价值-付息债务价值（2）折现率折现率(加权平均资本成本,WACC)计算公式如下：WACC＝[E/（E+D）]Re+[D/（E+D）]×(1－T)Rd其中：Re：权益资本报酬率；Rd：债务资本收益率；E：权益的市场价值；D：付息债务的市场价值；T：所得税率。
注：系统性风险（不可分散风险）——不可分散，存在于市场或者行业，每个企业、资产自身都具有的风险。
非系统性风险（可分散风险）——可分散，是某一企业或行业特有的风险，其他行业没有或行业内其他企业没有。
1）Re股权收益率采用资本资产定价模型(CAPM)（Capital Asset Pricing Model）计算。
计算公式如下：Re＝Rf＋β×ERP＋RsRf：无风险收益率一般以国债收益率作为无风险收益率，选择国债剩余年限与标的资产经营年限（预测期限）匹配。
10年期及以上，4%左右。
β：(Unlevered Beta)剔除财务杠杆的行业Beta，可选取沪深300、上证综指、深成指同行业Beta值。
（注意与ERP所采用的的市场指数相互匹配）ERP：市场风险溢价（市场风险超额回报率），系股票市场回报率与无风险报酬率的差额。
《中国资产评估》（2015年1期）中企华，2012-2014年选取200个样本，涉及47家评估机构。
楚雄师范学院2012年数学建摸培训第一次测试论文题目平均收益的优化模型姓名叶万颂系（院）数学系专业信息与计算科学2012年6月1日一、摘要小麦和玉米是中国人喜爱的粮食，本论文就是以这两种食物为对象，在给定了各自的收益的条件下，假设将这两种农作物同时种植在同一个农田中，根据不同的种植面积的分配来求解两种作物的平均收益。
本文先将农田的图形画在坐标系上，利用边角关系，求得农田的总面积。
该问题的求解运用到积分。
即用积分求得种植小麦和种植玉米的面积，小麦、玉米各自单位面积收益乘以对应的面积得到总收益，总收益再除以总面积得到平均收益。
在解题方法上,多处用到MATLAB软件,特别是在对模型进行扩展时,还利用该软件来求解积分.有不严谨之处,恳请斧正!关键字：平均收益、积分、MATLAB。
二、问题如图ABCD是一块四边形农田,AB=BC=CD=20米,∠ABC=150º, ∠BCD=120º,现要在AB,CD上各取一点E,F,将农田分成两块,分别种小麦与玉米,地块BCEF种小麦，地块FDAE种玉米,小麦的收益为4元/米2,玉米的收益为 5元/米2,试建立数学模型。
求解下列问题：（1）种上小麦和玉米后平均收益是多少？（2）若四边形ABCD是任意的四边形，你将怎么样求解此问题，建立解决这个问题的思想框架问题重述：问题给出了小麦和玉米各自的收益，同时给出了农田的边角关系，要求种上两种作物后的平均收益。
三、符号说明S□ABCD表示四边形ABCD的面积；S□BCEF表示四边形BCEF的面积；S□FDAE表示四边形FDAE的面积；S△AOD表示三角形AOD的面积；S△BOC表示三角形BOC的面积；*表示乘法运算.四、模型假设第（1）问将图形建立坐标上,不妨作图如下:yAEBC DO F x第（2）问对于任意四边形的情形，不妨作图如下：五、模型建立第（1）问;310)cos(3020)cos(30BC BO =⨯=⨯=︒︒;31020+=+=BO AB AO;102/120)30sin(=⨯=⨯=︒BC OC;302010=+=+=CD OC ODS □ABCD=S △AOD-S △BOC=（AO*OD ）/2-(BO*OC)/2=2/10*3102/30*)31020(-+ =3100300+yBEAC D O F H x设E 、F 的坐标为E=(0,y); F=(x,0); 其中[]30,10∈x , []31020,310+∈y . S □BCEF=(x*y)/2-S △BOC =(x*y)/2-;350 S □FDAE=S □ABCD-S □BCEF =3100300+-((x*y)/2-350)则平均收益函数为：Z=(4*S □BCEF+5*S □FDAE)/S □ABCD =(4*((x*y)/2-350)+5*（3100300+-((x*y)/2-350)）)/(3100300+)其中[]30,10∈x , []31020,310+∈y .第（2）问当遇到任意四边形是，可以通过适当的分割，将四边形分割成若干个梯形。
而利用公式可以计算出梯形的面积。
这对于不规则的曲边梯形同样适用，且现实生活当中的图形都已不规则的居多。
现以将任意梯形分成两个梯形为例进行说明。
经过测算，可以得到OF 、FD 、BO 角ＡＨＤ的大小。
不妨设ＯＦ＝ａ，ＦＤ＝ｂ，BO=c 角ＡＨＤ＝ｔ。
则曲线BH 的斜率为tan(t),从而的到BH 的方程：f(x)-c=x*tan(t),即f(x)=-c+x*tan(t);利用积分公式，可以求得S □BCEF=⎰adx x f 0)(同理，可以利用积分公式求得S □FDAE 和S □ABCD 。
最后带入Z 即可求出平均收益。
即：Z=(4*S □BCEF+5*S □FDAE)/S □ABCD六、模型求解第（1）问以下用MATLAB 软件画图，求解代码如下：>> x=10:0.01:30;>> y=10*3^(1/2):0.01:10*3^(1/2)+20;>> [X,Y]=meshgrid(x,y);>>Z=(4*((X.*Y)/2-50*3^(1/2))+5*(300+100*(3)^(1/2)-((X.*Y)/2-50*3^(1/2))))/(300+ 100*3^(1/2));>> mesh(X,Y,Z)>> xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('Z')下面用MATLAB求解最大平均收益，求解代码如下：先用MATLAB代码求驻点,代码如下：>> syms x y;>>z=(4*((x*y)/2-50*3^(1/2))+5*(300+100*(3)^(1/2)-((x*y)/2-50*3^(1/2))))/(300+100* 3^(1/2));>> diff(z,x)ans =-(4398046511104*y)/4162355908919033>> diff(z,y)ans =-(4398046511104*x)/4162355908919033>>[x,y]=solve('-(4398046511104*y)/4162355908919033=0','-(4398046511104*x)/4162355 908919033=0','x','y')x =y =驻点为（0,0）再用MATLAB代码求极值点>> syms x y;>>A= diff(z,x,2)ans =>>B= diff(diff(z,x),y)ans =-4398046511104/4162355908919033>> C=diff(z,y,2)ans =因为A*C-B^2=0*0-(-4398046511104/4162355908919033)^2=-1.1165e-006<0,所以，点（0,0）不是极值点。
在边界上，当x=10,y=10*3^(1/2)时，z=5;当x=10,y=20+10*3^(1/2)时，z=4.7887;当x=30,y=10*3^(1/2)时，z=4.6340;当x=30,y=20+10*3^(1/2)时，z=4;故，最大平均收益为z=5。
第（2）问利用MATLAB求解，引入组合梯形公式，求解代码如下：function s=traprl(f,a,b,M)h=(b-a)/M;s=0;for k=1:(M-1)x=a+h*k;s=s+feval(f,x);ends=h*(feval(f,a)+feval(f,b))/2+h*s;%f为函数f(x)%a,b为积分区间端点%M为对区间[a,b]的采样点数%s为f(x)在区间[a,b]上的定积分值七、模型优缺点分析该模型的优点是图文并茂，言简意赅。
通过图形可以大致了解种植面积与平均收益的关系，从而指导农业实践。
同时，该模型大量运用到了MATLAB软件帮助求解和画图，使得模型较为直观和形象。
该模型的缺点是，分析的重点在于最大平均收益和几个特殊的收益，而没有使模型更加一般化，有待完善。
八、模型的推广对于更一般的情况，假如农田是极其不规则的，这时用积分求解。
形如：求解的常用公式和MATLAB 代码见附录Ⅰ。
九、附录 附录Ⅰ闭型牛顿—柯蒂斯面积公式：设0k x x kh =+为等距节点，且()k k f f x =，则有：1001()()2x x h f x dx f f ≈+⎰（梯形公式）20012()(4)3x x hf x dx f f f ≈++⎰（辛普生公式） 3001233()(33)8x x h f x dx f f f f ≈+++⎰ （辛普生38公式）40012342()(73212327)45x x h f x dx f f f f f ≈++++⎰（布尔公式）（组合梯形公式）设区间[,]a b 被等距节点,0,1,...,k x a kh k M =+=分为宽度为b a h M-=的M 个子区间1[,]k k x x +。
M 个子区间的组合梯形公式可以表示为下面三种等价方式中的一种：11(,)(()())2Mk k k h T f h f xf x -==+∑或 01231(,)(222...2)2M M h T f h f f f f f f -=++++++或 11(,)(()())()2M k k h T f h f a f b h f x -==++∑（组合辛普生公式）设区间[,]a b 被等距节点,0,1,...,2k x a kh k M =+=分为宽度为2b a h M-=的2M 个子区间1[,]k k x x +。
2M 个子区间的组合辛普生公式可以表示为下面三种等价方式中的一种：222121(,)(()4()())3Mk k k k hS f h f x f x f x --==++∑或 012322212(,)(424...24)3M M M h S f h f f f f f f f --=+++++++或 12211124(,)(()())()()333M Mk k k k h h h S f h f a f b f x f x --===+++∑∑附录Ⅱ基本经济原理：利润=收入-成本。
市场价格：玉米种子价格从10元每千克到50元每千克不等。
小麦种子价格为3元每千克。
十、参考文献l 、中国大学生数学建模竞赛，李大潜主编，高等教育出版社(1998)． 2、大学生数学建模竞赛辅导教材，(一)(二)(三)，叶其孝主编，湖南教育 出版社(1993，1997，1998)．3、数学建模教育与国际数学建模竞赛 《工科数学》专辑，叶其孝主编， 《工科数学》杂志社，1994)．9。
