形式系统由{∑, TERM, FORMULA, AXIOM, RULE}等5个部分构成，其中 称为符号表，TERM 为项集；FORUMULA 为公式集；AIXIOM 为公理集；RULE 为推理规则集。
：1、 符号表∑为非空集合，其元素称为符号。
2、 设∑*为∑上全体字的组合构成的集合。
项集TERM 为∑*的子集，其元素称为项；项集TERM 有子集V ARIABLE 称为变量集合，其元素称为变量。
F(X) a, X,3、 设∑*为∑上全体字的组合构成的集合。
公式结FORMULA 为∑*的子集，其元素称为公式；公式集有子集ATOM ，其元素称为原子公式。
A(f(a,x1,y)), A →B4、 公理集AXIOM 是公式集FROMULA 的子集，其元素称为公理。
5、 推理规则集RULE 是公式集FORMULA 上的n 元关系集合，即RULE=)}2(|{n FORMULA r n n n r ⊆∧≥∧∃是正整数，其元素称为形式系统的推理规则。
其中公式集和项集之间没有交叉，即TERM ∩FORMULA =φ，公式和项统称为表达式。
由定义可知，符号表∑、项集TERM 、公式集FORMULA 是形式系统的语言部分。
而公理集AXIOM 、推理规则集RULE 为推理部分形式系统特性1、 符号表∑为非空、可数集合（有穷、无穷都可以）。
2、 项集TERM 、公式集FORMULA 、公理集AXIOM 和推理规则集RULE 是递归集合，即必须存在一个算法能够判定给定符号串是否属于集合（可判定的）。
3、 形式系统中的项是用来描述研究的对象，或者称为客观世界的。
而公式是用来描述这些研究对象的性质的。
这个语言被称为对象语言。
定义公式和项产生方法的规则称为词法。
公理：I))((A B A →→ II))()(())(((C A B A C B A →→→→→→ III ))())()(((A B B A →→⌝→⌝证明：A →A(1)A →(A →A)((A →(B →C))→((A →B)→(A →C))((A →(B →A))→((A →B)→(A →A))((A →((A →A)→A))→((A →(A →A))→(A →A))A →((A →A)→A))(A →(A →A))→(A →A)(A →(A →A))A →ABB A A →, 已知：R 是一个有关公式的性质证明：R 对于所有公式有效I. 对于)(FSPC Atom p ∈，则)(P RII. 假设公式A 和B 都具有RIII. )(FSPC Atom A ∈∀，且)(A R ，则)(A R ⌝IV. B A ,∀是公式，如果)(A R 且)(B R ，则)(B A R →根据：形式系统的联结词只有两个→⌝,，因为在命题逻辑的语义上，其他联结词可以有这两个联结词表示。
