平面向量与立体几何体

1.2.2 空间中的平面与空间向量

导思

1.什么是平面的法向量？它在解决线面位置关系中有何用途？

2．什么是三垂线定理及其逆定理？

1.平面的法向量

(1)定义：如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量．此时也称n与平面α垂直，记作n⊥α．

(2)性质：如果A，B是平面α上的任意不同两点，n为平面α的一个法向量，则：

1

若直线l⊥α，则l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量

2 对任意实数λ≠0，λn是平面α的一个法向量

3 向量AB→ 一定与n垂直，即AB→ ·n＝0

平面α的法向量唯一吗？它们有什么共同特征？

提示：不唯一，都平行．

2．空间线面的位置关系与空间向量

若v是直线l的一个方向向量，n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，则：

1 n1∥v ⇔l⊥α1

2 n1⊥v ⇔l∥α1或l⊂α1

3 n1⊥n2⇔α1⊥α2

4 n1∥n2⇔α1∥α2或α1，α2重合

已知v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，如果n⊥v，那么直线l一定与平面α平行吗？

提示：不一定，也可能l⊂α.

3．三垂线定理及其逆定理

射影 已知平面α和一点A，过点A作α的垂线l，设l与α相交于点A′，则A′就是点A在平面α内的射影，也称为投影．

三垂线定理 如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直．

三垂线定理的逆定理 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．

1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).

(1)已知直线l垂直于平面α，向量a平行直线l，则a是平面α的法向量．( )

(2)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．( )

(3)若a是平面α的一条斜线，直线b垂直于a在α内的射影，则a⊥b.( )

ｌ竺　

◇甘肃卢志明　

立体几何是高中数学教学中一个难点，数学高考　

大纲中明确要求学生具备空间几何想像能力，利用空　

间思想处理实际问题，纵观近年来全国各地的调研检　

测试题和高考真题都会发现，出现了一些新的特点，　

试题具有灵活性和开放性，打破了原来的传统考查模　式，从而导致学生的得分率较低，使得一线的数学教　

师和学生都感到头疼，如何突破这样一个瓶颈问题是　摆在我们面前的一个重要课题．笔者发现：如果在立　

体几何问题中灵活运用法向量的有关知识，建立适当　

的空间直角坐标系，将抽象难懂的空间几何问题进行　

等价转化成代数问题，从而避免添加繁杂的辅助线，　使得问题解决过程程序化、思维难度大大降低，有利　

于学生正确把握．本文通过一道典型试题的解析，探　究巧妙利用“法向量”高效处理空间立体几何问题的　有效途径与方法总结，旨在抛砖引玉，供大家参考．　

平面法向量对于线与面的夹角，面与面的夹角以　

及点到面的距离问题的处理具有不可替代的优越性，　在这类问题中的应用十分广泛，下面通过例题来说明　

法向量的妙用．　

例　如图１，四边形　ＰＣＢＭ是直角梯形，　

ＰＣＢ一９０。，ＰＭ／／ＢＣ，　

ＰＭ一１，ＢＣ一２，ＡＣ一１，　ＡＣＢ一１２０。，ＡＢ上ＰＣ，　直线ＡＭ与直线ＰＣ所成　

角度为６０。．　图１　

（１）证明：平面ＰＡＣ＿ｌＩ平面ＡＢＣ；　（２）求二面角Ｍ－ＡＣ－Ｂ余弦值．　（１）由ＰＣ　ＬＡＢ，ＰＣ＿［＿ＢＣ，ＡＢｎＢＣ—Ｂ，可　勰析得Ｐｃ上平面ＡＢＣ，Ｊ．Ｎ为Ｐｃｃ平面ＰＡＣ，　

所以平面ＰＡＣ－ｌ＿平面ＡＢＣ．　

（２）在平面ＡＢＣ内，过Ｃ作ＣＤ上ＣＢ，建立空间　

直角坐标系Ｃ－ｘｙｚ．　

由题意有Ａ（　，一　１，ｏ），设Ｐ（０，０，　。）（　。＞　

化　ｏ），Ｍ（Ｏ，１，　），则　一（一　，　３，ｚ。），　一（０，ｏ，　

。），由直线ＡＭ与直线ＰＣ所成的角为６０。，得　

ＡＭ・ＣＰ＝ＩＡＭ１．１ＣＰ１．ＣＯＳ　６０。，　

即ｚ　一　ｚ　＋３　２。，解得ｚ。一１．所以　

1 A A1

D

C

B B1 C1

图 高二（2）部数学《空间向量与立体几何》单元测试卷一

班级＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿

一、选择题：（每小题5分，共60分）．

1．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝2BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为（ ）

A．60° B．90° C．105° D．75°

2．如图，ABCD—A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝411BA，则BE1与DF1所成角的余弦值是 （ ）

A．1715 B．21 C．178 D．23

3．如图，A1B1C1—ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是 （ ）

A．1030 B．21 C．1530 D．1015

4．正四棱锥SABCD的高2SO，底边长2AB，则异面直线BD和SC之间的距离 （ ）

A．515 B．55 C ．552 D．105

5．已知111ABCABC是各条棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱1CC的中点．点1C到平面1ABD的距离

（ ）

A．a42 B．a82 C．a423 D．a22

6．在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，则平面1ABC与平面11ACD间的距离 （ ）

A．63 B．33 C ．332 D．23

7．在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝21PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值 （ ）

A．621 B．338 C．60210 D．30210 图

图 2 8．在直三棱柱111CBAABC中，底面是等腰直角三角形，90ACB，侧棱21AA，D，E分别是1CC与BA1的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G．则BA1与平面ABD所成角的余弦值 （ ）

空间向量与立体几何

从平面向量到空间向量

向量是既有大小又有方向的量。如果我们把问题的研究范围限定在同一个平面上，称之为平面向量；如果问题的研究范围扩大到空间中，称之为空间向量。

数学中所讨论的向量与向量的起点无关，我们称之为自由向量。

向量的长度或模，用||AB或||a表示。

向量的夹角：,ab，规定0,ab。

当,ab=2时，向量a与b垂直，记作ab。

当,ab=0或时，向量a与b平行，记作//ab。

仿照平面向量的有关概念，给出下列定义：

单位向量：

零向量：

相等向量：

相反向量：

平行向量：

例：在正方体////ABCDABCD中：

（1） 向量////,,DCABDC与向量AB相等吗？

（2） 向量//,,CDCDBA与//AB是相反向量吗？

（3） E和F分别是AB和/BB的中点，在正方体中能找到3个与EF平行的向量吗？

直线l的方向向量：在直线l上任意两点，则称AB为直线l的方向向量。

直线的方向向量不唯一，所有方向向量互相平行，且平行于该直线。

给定空间中的任意一点A，和非零向量a，有且只有一条过A且平行于a的直线。

平面的法向量：如果直线l垂直于平面，那么把直线l的方向向量a叫作平面的法向量。

平面的法向量不唯一，所有的法向量互相平行，且垂直与该平面。

给定空间中的任意一点A，和非零向量a，有且只有一个过A且垂直于a的平面。

空间向量的运算

由于空间中两个向量经过平移后都可以在同一个平面内，所有平面向量的加法、减法、数乘及其数量积运算都可以推广到空间。

一、空间向量的加减法

（1） 结合律 abcabc；

（2） 交换律abba；

二、空间向量的数乘