第20讲 三角函数的图像与性质(

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

第20讲 三角函数的图像与性质（精讲）

题型目录一览

①正弦函数的图像与性质

①余弦函数的图像与性质

①正切函数的图像与性质

一、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(下表中Zk)

(1)在正弦函数xysin，]20[，x的图象中，五个关键点是：3(00)(1)(0)(1)(20)22，，，，，，，，，．

(2)在余弦函数xycos，]20[，x的图象中，五个关键点是：3(01)(0)(1)(0)(21)22，，，，，，，，，．

函数 xysin xycos xytan

图象

定义域 R R }2|{kxRxx，

值域 ]11[， ]11[， R

周期性 2 2 

奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数

递增区间 ]2222[kk， ]22[kk， )22(kk，

递减区间 ]23222[kk， ]22[kk， 无

对称中心 )0(，k )02(，k )02(，k

对称轴方程 2kx kx 无 一、知识点梳理 二、正弦、余弦、正切函数的图象与性质

1．对称与周期

(1)正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是2T；

(2)正(余)弦曲线相邻两个对称中心的距离是2T；

(3)正(余)弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离4T；

2．函数具有奇、偶性的充要条件

(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；

(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋π2(k∈Z)；

(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋π2(k∈Z)；

(4)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．

题型一 正弦函数的图像与性质

【典例1】方程1sin2x的根中，在0,2内的有（ ）

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

【典例2】函数sincos2fxxx在区间0,2π上的零点个数为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【题型训练】

一、单选题

1．函数2sin,0,4πyxx的图象与直线2y的交点的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．“”是“sinsin”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．既是充分条件，也是必要条件 D．既不充分也不必要条件 二、题型分类精讲 3．函数π3sin202yxx最大值为（ ）

A．2 B．5 C．8 D．7

4．函数sin1fxx的零点是（ ）

A．π2πZ2kk B．3π2πZ2kk

C．ππZ2kk D．πZkk

5．设函数sinfxx，则fx（ ）

A．在区间27,36上是单调递减的 B．是周期为2的周期函数

C．在区间,02上是单调递增的 D．对称中心为,0k，kZ

二、多选题

6．函数()sin2|sin|,[0,2]fxxxx的图象与直线yk的交点个数可能是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

三、填空题

7．观察正弦函数的图像，可得不等1sin2x的解集为______．

8．函数πsin6yx，π0,2x的值域是______.

9．如果方程sinxa在π,π6x上有两个不同的解，则实数a的取值范围是______.

题型二 余弦函数的图像与性质

【典例1】函数π1cos,4π3fxxx的图象与直线yt（t为常数）的交点最多有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【典例2】不等式3cos20x在π,π上的解集为（ ）

A．2π2ππ,,π33 B．2π2π,33

C．5π5ππ,,π66 D．5π5π,66

【题型训练】

一、单选题

1．函数y＝|cosx|的一个单调增区间是（ ） A．,22 B．[0，π]

C．3,2 D．3,2π2

2．函数1cos2yx的定义域为

A．33， B．,,33kkkZ

C．2,2,33kkkZ D．R

3．已知函数2cosyx的定义域为4,33，值域为,ab，则ba的值是

A．2 B．3 C．32 D．23

4．函数2coscos22fxxxxR的最大值是（ ）

A．12 B．5 C．6 D．1

5．若函数coscos,0,2yxxx的大致图像是

A． B．

C． D．

6．在, 内，使cossin 成立的的取值范围为

A．443, B．0,4 C．0,4 3,4 D．3,4 ,4

二、多选题

7．下列不等式中成立的是（ ）

A．πsin1sin3 B．2πcoscos23 C．cos(70)sin18 D．15π4πsinsin75

三、填空题

8．若cos21xm，且Rm，则m的取值范围是_____．

9．方程cos203x的解集为___________．

10．在[0,2)内不等式2cos10x的解集为__________．

题型三 正切函数的图像与性质

【典例1】设直线l的斜率为k，且13k，直线l的倾斜角的取值范围为（ ）

A．π3π0,,π34 B．π3π0,,π64

C．π3π,64 D．π3π0,,π34

【典例2】函数1tanyx的定义域为（ ）．

A．ππ,π4kk，kZ B．ππ,π4kk，kZ

C．πππ,π24kk，kZ D．πππ,π42kk，kZ

【题型训练】

一、单选题

1．方程3sincos0xx的解集是（ ）

A．,xxkkZ B．2,6xxkkZ

C．,6xxkkZ D．,6xxkkZ

2．“sincosxx”是“tan1x”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．在（0，）内，使tan3x成立的x的取值范围为（ ）

A．（3，2） B．20,,23

C．20,,223 D．20,3 4．2πZkk是tantan的（ ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．既非充分也非必要条件 D．充要条件

5．若直线πxa（01a）与函数tanyx的图象无公共点，则不等式tan2xa的解集为（ ）

A．ππππ,Z62xkxkk B．ππππ,Z42xkxkk

C．ππππ,Z32xkxkk D．ππππ,Z44xkxkk

6．对于四个函数sinyx，cosyx，sinyx，tanyx，下列说法错误的是（ ）

A．sinyx不是奇函数，最小正周期是，没有对称中心

B．cosyx是偶函数，最小正周期是，有无数多条对称轴

C．sinyx不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴

D．tanyx是偶函数，最小正周期是，没有对称中心

二、多选题

7．已知函数()tan2fxx，则下列结论正确的是（ ）

A．fx是偶函数 B．fx的定义域是ππ,Z4xxkk

C．fx在ππ,44上单调递增 D．yfx的最小正周期是π2

三、填空题

8．若πtanπ4yx，则该函数定义域为_____________．

9．函数tanyx的对称轴是___________.