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(完整版)流体力学雷诺方程的推导

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主要参数R= 20mm, L=40 mm, n=1000 rpm, =0.3, c=2 mm.

各种流体润滑问题都涉及在狭小间隙中的流体粘性流动，描写这种物理现象的基本方程为雷诺方程，他的普遍形式是

)2(6()(22thyhVxhUyphyxphx）

这个椭圆形的偏微分方程仅仅对于特殊的间隙形状才可能求得解析解，而对于复杂的几何形状或者工况条件下的问题，无法用解析方法求得精确解。随着迅速发展的点算技术，数值算法成为求解润滑问题的有效途径。

数值法师讲偏微分方程转化为代数方程组的变换方法。它的一般原则是：首先将求解域划分成有限个数的单元，并使每一个单元充分的微小。以至于可以认为在各单元内的未知量（本人毕业设计中设油膜压力为P）相等或者依照线性变化，而不会造成很大的误差。然后，通过物理分析或数学变换方法，将求解的偏微分方程写成离散形式，即使将它转化成一组线性代数方程。该代数方程组表示了各个单元的待求未知量于周围各单元未知量的关系。最后根据消去法或者迭代法求解代数方程组，从而求得整个求解域上的未知量。

用来求解雷诺方程的数值方法很多，最常用的是有限元差分方法、有限元法和边界元法，这些方法都是将求解域划分成许多个单元，但是处理方法各不相同。在有限差分法和有限元法中，代替基本方程的函数在求解域内是近似的，但完全满足边界条件。而边界元法所用的函数在求解域内完全满足基本方程，但是在边界上则近似的满足边界条件。

一、雷诺方程的数值解法

根据边界条件求解雷诺方程，这在数学上称为边值问题。

首先将所求解的偏微分方程无量纲化。这样做的目的是减少自变量和因变量的数目，同时用无量纲参数表示的解具有通用性。

然后，将求解域划分成等距的或者不等距的网格，如图1-1为等距网格。

图1-1

沿轴向将Y划分为8个等距区间，沿周向从20到划分为12个等距区间。这样在Y方向有13个节点，方向有9个节点，总计117913个节点。则8161Y，。

有限差分法

如果用P代表所求的未知量例如油膜压力，则变量P在整个域中的分布可以用各节点的P值来表示。根据差分原理，任意节点O(i, j)的一阶和二阶偏导数都可以由其周围的节点变量值来表示。

如图1-2所示，如果采用中差分公式，则变量P在O(i, j)点的偏导数为

图.1-2

2,1,1,jijijippp）（

（1-1）

yppypjijiji21,1,,）（

2,,1,1,22)(2)jijijijipppp（

（1-2）

2,1,1,,22)(2)ypppypjijijiji（

以P为润滑膜压力，雷诺方程的二维二阶偏微分方程的标准形式为：

EYPDPCYPBPA2222 （1-3）

其中A,B,C,D和E都为已知量。然后将上述方程应用到各个节点，根据中差分公式（1-1）和（1-2）用差商代替偏导数，即可求得各个节点的变量jip.于相邻各个节点变量的关系。这种关系可以写成： GpCpCpCpCpjiWjiEjiSjiNji,1,11,1,, （1-4）

其中

）y(2/)2(/)2(/)2(/)2(222222BAKKEGKCACKCACKyDyBCKyDyBCWESN （1-5）

式（1-4）中各系数值随节点位置而改变。

方程（1-4）是有限差分法的计算方程，对于每个节点都可以写出一个方程，而在边界上的节点变量应满足边界条件，它们的数值是已知量。这样，就可以求得一组线性代数方程。方程与未知量数目相一致，所以可以求解。采用消去法或者迭代法求解代数方程组，并使计算结果满足一定的收敛精度，最终求得整个求解域上各节点的变量值。

求解代数方程使用迭代法求解。

1、雷诺方程的无量纲化

定常雷诺方程

xhuyphyxphx6)()(33 (2-1)

将轴承表面沿平面展开，如图1-1所示，并代入.,RddxRx

得

RdhuhypRdphR6)(3223

等式两边同时乘以2R

则雷诺方程变为

ddhRuhypph6)(3223 (2-2)

若令

226,)cos1(,)/2(,2/cRuPpHcchLRYLy 代入后得

2222233233)2(6)6(LYPcRuRcHPcRucH

ddHRu6

化简得

ddHYPLRHPH22233)2)(（

将 2)/2LR（代入得

ddHYPHPH2233)( （2-3）

由

Hcch)cos1(

得

cos1H

代入（2-3）式，得

2232222)sin(3-YPHPHPH

dd)cos1(

再次化简得无量纲雷诺方程

32222cos1sin-cos1)sin(3-）（YPPP （2-4）

R为轴承半径，L为轴承长度，为偏心ce/率，e为偏心距，c为半径间隙，采用有限元差分法进行迭代计算。

式（1-4）为标准形式，参考标准式（1-3）可求得标准式中A,B,C,D,E的值。

3)cos1(sin,0,cos1sin3,1EDCBA，

将以上各值代入式（1-5）求得 22222222322222222)(2)(2)cos1(sin3)cos1(2sin3)cos1(2)cos1(2sin3)cos1(2)2)2YYKYYGCCYCYCWESN（（

将已知值代入式（1-4）得

1,2221,222,)2)2jijijiPYPYP（（

jiP.12)cos1(2sin3)cos1(2

jiP,12)cos1(2sin3)cos1(2

)(2)cos1(sin322223YY （2-5）

将

.30,1)40/202()/222LR（

代入式（2-5）得迭代方程:

1,2221,222,)2)2jijijiPYPYP（（

jiP.12)cos.301(2sin.90)cos.301(2

jiP,12)cos.301(2sin.90)cos.301(2

)(2)cos.301(sin.9022223YY

将8161Y，代入上式中，得 1,1,,.90.90jijijiPPP

jiP.1)cos.301(4.50sin7.40)cos.301(2

jiP.1)cos.301(4.50sin7.40)cos.301(2

3)cos.301(sin12.00 （2-6）

上式为最终迭代方程。

边界问题：

将轴承表面沿平面展开，如图2-1

图.2-1

对于径向轴承，方程（2-4）中两个自变量的变化范围是：在轴承中间断面上Y=0：在边缘上 Y=1。而在2到0之间变化，这一问题的边界条件为：

（1）轴向方向

在边缘Y=1处，P=0；在中间断面Y=0上，0YP.

（2）周向方向

按雷诺边界条件：油膜起点在0处，取P=0；油膜终点在发散区间内符合P=0及0P的地方。

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流体力学雷诺方程的推导

流体力学雷诺方程的推导

流体力学雷诺方程的推导

主要参数R= 20mm, L=40 mm, n=1000 rpm, =0、3, c=2 mm、

各种流体润滑问题都涉及在狭小间隙中的流体粘性流动,描写这种物理现象的基本方程为雷诺方程,她的普遍形式就是

)2(6()(22thyhVxhUyphyxphx）

这个椭圆形的偏微分方程仅仅对于特殊的间隙形状才可能求得解析解,而对于复杂的几何形状或者工况条件下的问题,无法用解析方法求得精确解。随着迅速发展的点算技术,数值算法成为求解润滑问题的有效途径。

数值法师讲偏微分方程转化为代数方程组的变换方法。它的一般原则就是:首先将求解域划分成有限个数的单元,并使每一个单元充分的微小。以至于可以认为在各单元内的未知量(本人毕业设计中设油膜压力为P)相等或者依照线性变化,而不会造成很大的误差。然后,通过物理分析或数学变换方法,将求解的偏微分方程写成离散形式,即使将它转化成一组线性代数方程。该代数方程组表示了各个单元的待求未知量于周围各单元未知量的关系。最后根据消去法或者迭代法求解代数方程组,从而求得整个求解域上的未知量。

用来求解雷诺方程的数值方法很多,最常用的就是有限元差分方法、有限元法与边界元法,这些方法都就是将求解域划分成许多个单元,但就是处理方法各不相同。在有限差分法与有限元法中,代替基本方程的函数在求解域内就是近似的,但完全满足边界条件。而边界元法所用的函数在求解域内完全满足基本方程,但就是在边界上则近似的满足边界条件。

一、雷诺方程的数值解法

根据边界条件求解雷诺方程,这在数学上称为边值问题。

首先将所求解的偏微分方程无量纲化。这样做的目的就是减少自变量与因变量的数目,同时用无量纲参数表示的解具有通用性。

然后,将求解域划分成等距的或者不等距的网格,如图1-1为等距网格。

图1-1

沿轴向将Y划分为8个等距区间,沿周向从20到划分为12个等距区间。这样在Y方向有13个节点,方向有9个节点,总计117913个节点。则8161Y，。

(完整版)流体力学雷诺方程的推导

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主要参数R= 20mm, L=40 mm, n=1000 rpm, =0.3, c=2 mm.

各种流体润滑问题都涉及在狭小间隙中的流体粘性流动，描写这种物理现象的基本方程为雷诺方程，他的普遍形式是

)2(6()(22thyhVxhUyphyxphx）

这个椭圆形的偏微分方程仅仅对于特殊的间隙形状才可能求得解析解，而对于复杂的几何形状或者工况条件下的问题，无法用解析方法求得精确解。随着迅速发展的点算技术，数值算法成为求解润滑问题的有效途径。

数值法师讲偏微分方程转化为代数方程组的变换方法。它的一般原则是：首先将求解域划分成有限个数的单元，并使每一个单元充分的微小。以至于可以认为在各单元内的未知量（本人毕业设计中设油膜压力为P）相等或者依照线性变化，而不会造成很大的误差。然后，通过物理分析或数学变换方法，将求解的偏微分方程写成离散形式，即使将它转化成一组线性代数方程。该代数方程组表示了各个单元的待求未知量于周围各单元未知量的关系。最后根据消去法或者迭代法求解代数方程组，从而求得整个求解域上的未知量。

用来求解雷诺方程的数值方法很多，最常用的是有限元差分方法、有限元法和边界元法，这些方法都是将求解域划分成许多个单元，但是处理方法各不相同。在有限差分法和有限元法中，代替基本方程的函数在求解域内是近似的，但完全满足边界条件。而边界元法所用的函数在求解域内完全满足基本方程，但是在边界上则近似的满足边界条件。

一、雷诺方程的数值解法

根据边界条件求解雷诺方程，这在数学上称为边值问题。

首先将所求解的偏微分方程无量纲化。这样做的目的是减少自变量和因变量的数目，同时用无量纲参数表示的解具有通用性。

然后，将求解域划分成等距的或者不等距的网格，如图1-1为等距网格。

图1-1

沿轴向将Y划分为8个等距区间，沿周向从20到划分为12个等距区间。这样在Y方向有13个节点，方向有9个节点，总计117913个节点。则8161Y，。

雷诺数(参考内容)

雷诺数(参考内容)

仅供参考# 1 雷诺数

流体力学中，雷诺数是流体惯性力与黏性力比值的量度，它是一个无量纲量。

雷诺数较小时，黏滞力对流场的影响大于惯性力，流场中流速的扰动会因黏滞力而衰减，流体流动稳定，为层流；反之，若雷诺数较大时，惯性力对流场的影响大于黏滞力，流体流动较不稳定，流速的微小变化容易发展、增强，形成紊乱、不规则的紊流流场。

目录

1 定义

o 1.1 管内流场

o 1.2 平板流

o 1.3 流体中的物体

▪ 1.3.1 流体中的球

o 1.4 搅拌槽

• 2 过渡流雷诺数

• 3 流动相似性

• 4 雷诺数的推导

• 5 参见

• 6 参考文献

定义

对于不同的流场，雷诺数可以有很多表达方式。这些表达方式一般都包括流体性质（密度、黏度）再加上流体速度和一个特征长度或者特征尺寸。这个尺寸一般是根据习惯定义的。比如说半径和直径对于球型和圆形并没有本质不同，但是习惯上只用其中一个。对于管内流动和在流场中的球体，通常使用直径作为特征尺寸。对于表面流动，通常使用长度。

管内流场

对于在管内的流动,雷诺数定义为:

仅供参考# 2

式中:

• 是平均流速 (国际单位: m/s)

• 管直径(一般为特征长度) (m)

• 流体动力黏度 (Pa·s或N·s/m²)

• 运动黏度 (ρ) (m²/s)

•

流体密度(kg/m³)

• 体积流量 (m³/s)

• 横截面积(m²)

假如雷诺数的体积流率固定，则雷诺数与密度（ρ）、速度的开方（）成正比；与管径（Ｄ）和黏度（ｕ）成反比

假如雷诺数的质量流率（即是可以稳定流动）固定，则雷诺数与管径（Ｄ）、黏度（ｕ）成反比；与√速度（）成正比；与密度（ρ）无关

平板流

对于在两个宽板(板宽远大于两板之间距离)之间的流动,特征长度为两倍的两板之间距离。

流体中的物体

对于流体中的物体的雷诺数,经常用Rep表示。用雷诺数可以研究物体周围的流动情况，是否有漩涡分离，还可以研究沉降速度。

21220 雷诺数公式

21220 雷诺数公式

21220 雷诺数公式

摘要：

1.引言

2.雷诺数的概念和意义

3.雷诺数公式的推导

4.雷诺数公式的应用

5.结论

正文：

【引言】

在流体力学领域，雷诺数（Re）是一个重要的无量纲数，它综合反映了流体流动过程中的惯性效应和粘性效应。雷诺数的计算公式为：Re = ρvL/μ，其中ρ表示流体密度，v表示流体速度，L表示特征长度，μ表示流体动力粘度。本文将详细介绍雷诺数的概念、公式推导及应用。

【雷诺数的概念和意义】

雷诺数是由英国工程师奥斯本·雷诺（Osborne Reynolds）于1883年提出，用以预测流体流动状态的转变。当雷诺数小于一定值时，流体表现为层流；当雷诺数大于一定值时，流体表现为湍流。因此，雷诺数的大小决定了流体流动的特性和规律。

【雷诺数公式的推导】

雷诺数的计算公式来源于纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes

equations）。在充分发展的湍流情况下，纳维-斯托克斯方程可以表示为： u/t + (u·)u = -μu + p

其中，u表示流体速度向量，p表示流体压力，μ表示动力粘度。为了消除压力项，我们可以将方程两边同时除以密度ρ，得到：

u/t + (u·)u = -μu

将速度向量u分解为沿流向的分量u_x和横向的分量u_y，并设u_x =

u_x^0 + εu_x"，u_y = u_y^0 + εu_y"，其中u_x"和u_y"分别为湍流速度的波动分量，ε为小参数。将此代入方程，并忽略高阶小量，可得：

(u_x^0 + εu_x")/t + (u_x^0 + εu_x"·)(u_x^0 + εu_x") = -μ(u_x^0 +

εu_x")

整理得：

u_x"/t + u_x"u_x^0 = -μu_x"

同理，可以得到：

u_y"/t + u_y"u_x^0 = -μu_y"

由此可知，雷诺数的表达式为：

Re = ρu_x"L/μ

【雷诺数公式的应用】