高中数学同步测试卷(十)北师大数学选修1-1(2021学年)

- 1 - 高中数学 同步测试卷（十）北师大数学选修１-1

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- 2 - 高中同步测试卷(十）

单元检测 函数的单调性与极值

（时间:1２0分钟,满分：1５０分)

一、选择题(本大题共１2小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1．设ｆ(x）＝ｘ2（2－x）,则f(x)的递增区间是( )

A。错误! ﻩB．错误!

C.(－∞，0) Ｄ.(－∞，０）∪错误!

2．函数f（x）＝错误!ｘ3－x２+x+a的极值点有( )

A．0个 B．1个

Ｃ．2个 ﻩD．与ａ的取值有关

3.已知函数f（x）=ｘ＋ln ｘ,则有（ )

A.ｆ(２)

C.f(3)〈ｆ(e）

4。如图,在半径为H的半圆形中，阴影部分的面积S是h的函数（0≤h≤Ｈ），则该函数的图像是( )

5.已知实数a,ｂ，c,d成等比数列,且曲线ｙ＝3x-ｘ3的极大值点坐标为（b，c)，则ad等于( )

A．2 ﻩＢ.1

C.－1 ﻩD．－２

6。已知f(ｘ) 的定义域为R,ｆ(ｘ)的导函数f′(x)的图像如图所示,则( )

Ａ．ｆ(ｘ）在x=1处取得极小值

B．f（x)在x＝1处取得极大值

C.f(x)是R上的增函数

D．f（x）是（-∞,1）上的减函数,(1，+∞)上的增函数 - 3 - 7．若函数f（x)＝-x3+ａx２-x－1在R上是单调函数，则实数a的取值范围是( )

A.（－∞，-错误!]∪［错误!,＋∞) ﻩB.［－错误!，错误!］

Ｃ.(-∞，-3）∪(３，＋∞) ﻩD．(－＼ｒ(3),错误!)

8.函数f(x）的定义域为R，f(-1）=2，对任意x∈Ｒ,f′(x)＞2,则f(x)〉２ｘ＋4的解集为( )

A.（－1，1） ﻩB．(－１，+∞)

C.(-∞，-1） ﻩD．(-∞,＋∞）

９．设a〉0，b>0，ｅ是自然对数的底数（ ）

Ａ.若eａ＋2a＝eb＋3ｂ，则ａ>ｂ B．若ｅａ+２a=eb+3ｂ,则ａ

C．若ea－2a=eｂ－３b，则a〉b D．若ea-2a=eb-3b，则a＜b

10.已知函数f(ｘ）＝x3+ａｘ2＋bx+c有两个极值点x１,x2,若f(x1）=x1〈x2,则关于x的方程３（f（x)）2＋２ａf（x)＋b＝０的不同实根个数为（ ）

A．3 ﻩB.4

Ｃ.5 ﻩＤ.6

11.若函数ｆ(x)＝kｘ－ln ｘ在区间(1,＋∞）上单调递增,则k的取值范围是( )

A.(-∞，-2］ Ｂ．(－∞,-１］

Ｃ．［２,+∞） D.［１，＋∞）

１２.f(ｘ）是定义在（0,＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′（ｘ)+f(x）≤0,对任意正数a，b，若ａ

A．ａf(a)≤f(b) B．bf（ｂ)≤f（a)

C.af(b)≤bｆ(a） ﻩD.bｆ(a)≤aｆ(b)

题号 １ 2 3 ４ 5 6 7 8 9 1０ １１ 12

答案

二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共2０分，把答案填在题中横线上)

13.已知函数f(ｘ)=x(ｘ－c）2在x=2处有极大值,则c的值为__＿_＿___.

1４。函数y＝f（ｘ)的导函数的图像如图所示，给出下面四个判断：

①f(x）在区间[－２,-1]上是增函数； - 4 - ②ｘ=－1是f(x)的极小值点;

③f(x)在区间[-1,2]上是增函数,在区间[２,4］上是减函数；

④x＝3是f（x)的极小值点．

其中,所有正确判断的序号是________.

15.已知函数f(x)=ｘ3－px2-qｘ的图像与x轴相切于(1,0）点，则函数f（x)的极大值、极小值分别是_______＿．

16．“a＝1”是“函数f(x)＝x+acos ｘ在区间(0，错误!)上为增函数"的＿＿______条件（在“充要”、“充分不必要"、“必要不充分”、“既不充分又不必要"中,选择适当的一种填空）．

三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.(本小题满分10分)若函数f（x)＝x3-6ｂx＋3b在（０，1)内有极小值，求实数b的取值范围.

１８.(本小题满分12分）已知函数y=aｘ与y=－错误!在（0，+∞)上都是减函数,试确定函数y=aｘ3＋bx2＋5的单调区间．

19.(本小题满分12分)设函数f(x）＝ｘ3－6x+5,x∈Ｒ,若关于x的方程ｆ(x)=a有三个不同的实根，求实数ａ的取值范围.

20.(本小题满分12分）设函数ｆ（ｘ)＝2x3-3（a＋１)x2+6ax＋8,其中ａ∈R。

(１)若f(ｘ)在x=3处取得极值，求常数a的值;

(２）若f(x）在（－∞,０)上为增函数,求a的取值范围．

２1.(本小题满分1２分）设x=1与x=2是函数f(x）=aln x+bｘ２＋x的两个极值点．

(1)试确定常数a和ｂ的值; - 5 - (2)判断x＝1,x＝2是函数ｆ(x)的极大值点还是极小值点.并说明理由．

22.(本小题满分12分）已知函数f(x)＝(ax2-2ｘ+1）·ｅ-x(a∈R，e为自然对数的底数).

(1)当a＝1时，求函数ｆ(x)的极值;

（２）若函数f(x)在［-1,１］上是减少的,求ａ的取值范围.

参考答案与解析

1.解析:选A.ｆ（x)＝2x２－ｘ３,f′(ｘ)=4x－3ｘ2,

令ｆ′(x)〉0，得4ｘ－3ｘ２〉０,解得０〈x〈＼ｆ（4，３）。

2．解析:选Ａ。f′(x)=ｘ2－2x+1,显然f′（ｘ）=(x-1)2 ≥0恒成立,

所以f（ｘ)在R上单调递增,故函数无极值点.

3.[导学号06１4００5９] 解析:选A.在（0,+∞)上,ｆ′（x）=错误!＋错误!〉0，所以f(x）在（0，+∞)上是增函数，所以有ｆ(2）

4．解析：选Ｃ.由图可知h=0时，S最大,随着h的增大,阴影面积Ｓ逐渐减小,但减小的速度越来越慢，故S′（ｈ）<０,且图像向下凸出.符合这种情况的是图像Ｃ.

５.解析:选A。y′＝3－3x2=３(1-ｘ2)，令ｙ′=0得x＝±1，易判断当x=１时,ｙ极大＝2，即ｂ＝1，c=2,所以ad＝ｂc=2．

6.解析:选Ｃ.由f′(x）图像知f（x)在R上递增,f(x)无极值．

7．[导学号０6140０６0］ 解析:选B。f′(x)=－3x２+２ａx-1,由题意知f′(x)≤0在R上恒成立.

所以Δ＝４a2－12≤0，所以－错误!≤a≤错误!。

8．解析:选B。令函数g(x)=f(x)－２ｘ-4,则g′（x）＝ｆ′（ｘ)-２〉０,因此，g（x）在R上是增函数.又g(-1）＝f(－１)+2－4=2+2-４=0,所以原不等式可化为g（ｘ）〉ｇ(-1),由g(x）的单调性,可得ｘ〉－1.

9．[导学号0614０06１] 解析:选A.因为a>0,b>0,所以若ea＋2a＝eb＋3b,则ea+２a>eｂ - 6 - ＋2b。

对于函数y=ex＋２x(x〉０),因为y′=eｘ+2〉０,所以y=ｅｘ＋２x在(０,+∞)上单调递增，所以ａ>b成立.

而函数y=ex－2x在（0，＋∞)上不具有单调性，无法确定C，D的真假.

10.［导学号061４0062] 解析:选A.因为f′（x)=３x2+2ａx+b,函数f(x)的两个极值点为x1,x2，则f′(ｘ1)=0,ｆ′（ｘ2）＝０,所以x1，ｘ2是方程3x2＋２aｘ＋b=0的两根,所以解关于x的方程3(f（x))２＋2ａf(ｘ）+ｂ=0,得f（x)＝x1或ｆ(x)=ｘ2。由上述可知函数ｆ（x）在区间(-∞,x1),(x２，＋∞)上单调递增，在区间（x１,x２）上单调递减，又f(x1）＝x１〈x2,如图所示，由数形结合可知f（ｘ)＝x1时有两个不同的实根，f(x)＝x2有一个实根,所以不同实根的个数为3.

11．解析:选D。f(x)的定义域为(0,＋∞)，ｆ′（x）=k－错误!,依题意，f′（x)＝ｋ－错误!≥0在(1,＋∞)上恒成立,所以ｋ≥错误!错误!，且x∈（1,+∞)，

所以k≥1。

１2．[导学号0６140063] 解析:选Ｃ。设g（x）＝xf（ｘ)，

则由g′（ｘ）=ｘf′(ｘ)+f(x）≤０，

知g(x）在（0,＋∞)上单调递减．

又因为０

因为af(b)≤bf（b),af（ａ)

所以af（b)＜ｂf(a).

当ｆ(x）=0时,f（b)＝f（a)＝0，

所以aｆ(b）≤bf（ａ）.故选C.

13．解析：f（ｘ)=x3-2cx2+c2x，f′（x)=3ｘ２－4cx＋c２，由题意知f′（２)=0，即12-8c+c2＝0,所以c＝2或c=6，易验证c=２时,x=2不是f(ｘ)的极大值点, c＝6时,x＝２是f(x)的极大值点．

答案:6

１４.解析：由函数y=ｆ(ｘ)的导函数的图像可知：(1）f（x)在区间[－2,－１]上是减函数,在[－1，２]上为增函数，在［2，４］上为减函数.(2）f(x)在x=－1处取得极小值，在x＝2处取得极大值.故②③正确.

答案:②③

15．解析：由题意得，f（１)=０，所以ｐ+q=１.①