皮尔逊Ⅲ P—Ⅲ 型曲线的常用模比系数Kp值表

皮尔逊Ⅲ(P－Ⅲ)型曲线1、皮尔逊Ⅲ型曲线的概率密度函数皮尔逊Ⅲ型曲线就是一条一端有限一端无限的不对称单峰、正偏曲线(见图4-4-3),数学上常称伽玛分布,其概率密度函数为:(4-4-8)式中:Γ(α)―α的伽玛函数;α、β、a0―分别为皮尔逊Ⅲ型分布的形状尺度与位置未知参数,α﹥0, β﹥0 。

显然,三个参数确定以后,该密度函数随之可以确定。

可以推论,这三个参数与总体三个参数、Cv、CS具有如下关系:(4-4-9)2、皮尔逊Ⅲ型频率曲线及其绘制水文计算中,一般需要求出指定频率P所相应的随机变量取值xp,也就就是通过对密度曲线进行积分,即:(4-4-10)求出等于及大于xp的累积频率P值。

直接由式(4-4-10)计算P值非常麻烦,实际做法就是通过变量转换,变换成下面的积分形式 :(4-4-11)式(4-4-11)中被积函数只含有一个待定参数CS,其它两个参数、Cv都包含在中。

,x就是标准化变量,称为离均系数。

的均值为0,标准差为1。

因此,只需要假定一个CS值,便可从式(4-4-11)通过积分求出与之间的关系。

对于若干个给定的C S值,的对应数值表,已先后由美国福斯特与前苏联雷布京制作出来,见附表1"皮尔逊Ⅲ型频率曲线的离均系数值表"。

由就可以求出相应频率的x值:(4-4-12)附表1 皮尔逊Ⅲ型频率曲线的离均系数值表(摘录)P(%)Cs 0、1 1 5 20 50 80 95 99 99、90、0 3、09 2、33 1、64 0、84 0、00 -0、84 -1、64 -2、33 -3、090、1 3、23 1、67 2、0 0、84 -0、02 -0、85 -1、62 -2、25 -2、950、2 3、38 2、47 1、70 0、83 -0、03 -0、85 -1、59 -2、18 -2、810、3 3、52 2、54 1、73 0、82 -0、05 -0、85 -1、55 -2、10 -2、670、4 3、67 2、62 1、75 0、82 -0、07 -0、85 -1、52 -2、03 -2、540、5 3、81 2、68 1、77 0、81 -0、08 -0、85 -1、40 -1、96 -2、400、6 3、96 2、75 1、80 0、80 -0、10 -0、85 -1、45 -1、88 -2、270、7 4、10 2、82 1、82 0、79 -0、12 -0、85 -1、42 -1、81 -2、140、8 4、24 2、89 1、84 0、78 -0、13 -0、85 -1、38 -1、74 -2、020、9 4、39 2、96 1、86 0、77 -0、15 -0、85 -1、35 -1、66 -1、904、53 3、02 1、88 0、76 -0、16 -0、85 -1、32 -1、59 -1、793、皮尔逊Ⅲ型频率曲线的应用在频率计算时,由已知的C S值,查值表得出不同的P的值,然后利用已知的、C V,通过式(4-4-12)即可求出与各种P相应的值,从而可绘制出皮尔逊Ⅲ型频率曲线。

皮尔逊m （ p —m ）型曲线1、皮尔逊m 型曲线的概率密度函数皮尔逊m 型曲线是一条一端有限一端无限的不对称单峰、正偏曲线（见图 称伽玛分布，其概率密度函数为：式中：r （ a ） —a 的伽玛函数；6 ao —分别为皮尔逊m 型分布的形状尺度和位置未知参数, a> 0， 0。

显然，三个参数确定以后， 该密度函数随之可以确定。

可以推论，这三个参数与总体三个参数 Cv 、CS 具有如下关系:40；=—-(4-4-9)2C/~)2、皮尔逊m 型频率曲线及其绘制 水文计算中，一般需要求岀指定频率P 所相应的随机变量取值xp ，也就是通过对密度曲线进求岀等于及大于 xp 的累积频率P 值。

直接由式（4-4-10 ）计算P 值非常麻烦，实际做法是通 过变量转换，变换成下面的积分形式(4-4-8)4-4-3 ）,数学上常 a 、 (4-4-10)频率曲线的离均系数①，值表"。

由①就可以求岀相应频率 P 的x 值:X =却1 + ：①)(4-4-12 )」值表（摘录） 附表1皮尔逊m 型频率曲线的离均系数 ①.(4-4-11 )式（4-4-11 ）中被积函数只含有一个待定参数CS ,其它两个参数X 、Cv 都包含在①中。

①二x 是标准化变量，曲丫称为离均系数。

①的均值为0,标准差为1。

因此，只需要假定一个CS 值，便可从式（ 4-4-11 ）通过积分求岀 P 与 ①之间的关系。

对于若干个给定的 Cs 值,①和P 的对应数值表,已先后由美国福斯特和前苏联雷布京制作岀来，见附表1"皮尔逊m 型3、皮尔逊m型频率曲线的应用在频率计算时，由已知的C s值，查① 值表得岀不同的P的①』值，然后利用已知的X、rC v，通过式（4-4-12 ）即可求岀与各种P相应的I值，从而可绘制岀皮尔逊m型频率曲线。

当C s等于C v的一定倍数时，P-m型频率曲线的模比系数K p = X，也已制成表格，见附表2"皮尔逊m型频率曲线的模比系数K p值表“。

皮尔逊Ⅲ（P－Ⅲ）型曲线1、皮尔逊Ⅲ型曲线的概率密度函数皮尔逊Ⅲ型曲线是一条一端有限一端无限的不对称单峰、正偏曲线（见图4-4-3），数学上常称伽玛分布，其概率密度函数为:（4-4-8）式中：Γ（α）―α的伽玛函数；α、β、a0―分别为皮尔逊Ⅲ型分布的形状尺度和位置未知参数，α﹥0，β﹥0 。

显然，三个参数确定以后，该密度函数随之可以确定。

可以推论，这三个参数与总体三个参数、Cv、CS具有如下关系：（4-4-9）2、皮尔逊Ⅲ型频率曲线及其绘制水文计算中，一般需要求出指定频率P所相应的随机变量取值xp，也就是通过对密度曲线进行积分，即:（4-4-10）求出等于及大于xp的累积频率P值。

直接由式（4-4-10）计算P值非常麻烦，实际做法是通过变量转换，变换成下面的积分形式 :（4-4-11）式（4-4-11）中被积函数只含有一个待定参数CS，其它两个参数、Cv都包含在中。

，x是标准化变量，称为离均系数。

的均值为0，标准差为1。

因此，只需要假定一个CS值，便可从式（4-4-11）通过积分求出与之间的关系。

对于若干个给定的C S值，的对应数值表，已先后由美国福斯特和前苏联雷布京制作出来，见附表1"皮尔逊Ⅲ型频率曲线的离均系数值表"。

由就可以求出相应频率的x值：（4-4-12）附表1 皮尔逊Ⅲ型频率曲线的离均系数值表（摘录）P（%）Cs 0.1 1 5 20 50 80 95 99 99.90.0 3.09 2.33 1.64 0.84 0.00 -0.84 -1.64 -2.33 -3.090.1 3.23 1.67 2.0 0.84 -0.02 -0.85 -1.62 -2.25 -2.950.2 3.38 2.47 1.70 0.83 -0.03 -0.85 -1.59 -2.18 -2.810.3 3.52 2.54 1.73 0.82 -0.05 -0.85 -1.55 -2.10 -2.670.4 3.67 2.62 1.75 0.82 -0.07 -0.85 -1.52 -2.03 -2.540.5 3.81 2.68 1.77 0.81 -0.08 -0.85 -1.40 -1.96 -2.400.6 3.96 2.75 1.80 0.80 -0.10 -0.85 -1.45 -1.88 -2.270.7 4.10 2.82 1.82 0.79 -0.12 -0.85 -1.42 -1.81 -2.140.8 4.24 2.89 1.84 0.78 -0.13 -0.85 -1.38 -1.74 -2.020.9 4.39 2.96 1.86 0.77 -0.15 -0.85 -1.35 -1.66 -1.904.53 3.02 1.88 0.76 -0.16 -0.85 -1.32 -1.59 -1.793、皮尔逊Ⅲ型频率曲线的应用在频率计算时，由已知的C S值，查值表得出不同的P的值，然后利用已知的、C V，通过式（4-4-12）即可求出与各种P相应的值，从而可绘制出皮尔逊Ⅲ型频率曲线。

皮尔逊Ⅲ（P－Ⅲ）型曲线1、皮尔逊Ⅲ型曲线的概率密度函数皮尔逊Ⅲ型曲线是一条一端有限一端无限的不对称单峰、正偏曲线（见图4-4-3），数学上常称伽玛分布，其概率密度函数为:（4-4-8）式中：Γ（α）―α的伽玛函数；α、β、a0―分别为皮尔逊Ⅲ型分布的形状尺度和位置未知参数，α﹥0，β﹥0 。

显然，三个参数确定以后，该密度函数随之可以确定。

可以推论，这三个参数与总体三个参数、Cv、CS具有如下关系：（4-4-9）2、皮尔逊Ⅲ型频率曲线及其绘制水文计算中，一般需要求出指定频率P所相应的随机变量取值xp，也就是通过对密度曲线进行积分，即:（4-4-10）求出等于及大于xp的累积频率P值。

直接由式（4-4-10）计算P值非常麻烦，实际做法是通过变量转换，变换成下面的积分形式 :（4-4-11）式（4-4-11）中被积函数只含有一个待定参数CS，其它两个参数、Cv都包含在中。

，x是标准化变量，称为离均系数。

的均值为0，标准差为1。

因此，只需要假定一个CS值，便可从式（4-4-11）通过积分求出与之间的关系。

对于若干个给定的C S值，的对应数值表，已先后由美国福斯特和前苏联雷布京制作出来，见附表1"皮尔逊Ⅲ型频率曲线的离均系数值表"。

由就可以求出相应频率的x值：（4-4-12）附表1 皮尔逊Ⅲ型频率曲线的离均系数值表（摘录）P（%）Cs 0.1 1 5 20 50 80 95 99 99.90.0 3.09 2.33 1.64 0.84 0.00 -0.84 -1.64 -2.33 -3.090.1 3.23 1.67 2.0 0.84 -0.02 -0.85 -1.62 -2.25 -2.950.2 3.38 2.47 1.70 0.83 -0.03 -0.85 -1.59 -2.18 -2.810.3 3.52 2.54 1.73 0.82 -0.05 -0.85 -1.55 -2.10 -2.670.4 3.67 2.62 1.75 0.82 -0.07 -0.85 -1.52 -2.03 -2.540.5 3.81 2.68 1.77 0.81 -0.08 -0.85 -1.40 -1.96 -2.400.6 3.96 2.75 1.80 0.80 -0.10 -0.85 -1.45 -1.88 -2.270.7 4.10 2.82 1.82 0.79 -0.12 -0.85 -1.42 -1.81 -2.140.8 4.24 2.89 1.84 0.78 -0.13 -0.85 -1.38 -1.74 -2.020.9 4.39 2.96 1.86 0.77 -0.15 -0.85 -1.35 -1.66 -1.904.53 3.02 1.88 0.76 -0.16 -0.85 -1.32 -1.59 -1.793、皮尔逊Ⅲ型频率曲线的应用在频率计算时，由已知的C S值，查值表得出不同的P的值，然后利用已知的、C V，通过式（4-4-12）即可求出与各种P相应的值，从而可绘制出皮尔逊Ⅲ型频率曲线。

皮尔逊Ⅲ（P－Ⅲ）型曲线1、皮尔逊Ⅲ型曲线的概率密度函数皮尔逊Ⅲ型曲线是一条一端有限一端无限的不对称单峰、正偏曲线（见图4-4-3），数学上常称伽玛分布，其概率密度函数为:（4-4-8）式中：Γ（α）―α的伽玛函数；α、β、a0―分别为皮尔逊Ⅲ型分布的形状尺度和位置未知参数，α﹥0，β﹥0 。

显然，三个参数确定以后，该密度函数随之可以确定。

可以推论，这三个参数与总体三个参数、Cv、CS具有如下关系：（4-4-9）2、皮尔逊Ⅲ型频率曲线及其绘制水文计算中，一般需要求出指定频率P所相应的随机变量取值xp，也就是通过对密度曲线进行积分，即:（4-4-10）求出等于及大于xp的累积频率P值。

直接由式（4-4-10）计算P值非常麻烦，实际做法是通过变量转换，变换成下面的积分形式 :（4-4-11）式（4-4-11）中被积函数只含有一个待定参数CS，其它两个参数、Cv都包含在中。

，x是标准化变量，称为离均系数。

的均值为0，标准差为1。

因此，只需要假定一个CS值，便可从式（4-4-11）通过积分求出与之间的关系。

对于若干个给定的C S值，的对应数值表，已先后由美国福斯特和前苏联雷布京制作出来，见附表1"皮尔逊Ⅲ型频率曲线的离均系数值表"。

由就可以求出相应频率的x值：（4-4-12）附表1 皮尔逊Ⅲ型频率曲线的离均系数值表（摘录）3、皮尔逊Ⅲ型频率曲线的应用在频率计算时，由已知的C S值，查值表得出不同的P的值，然后利用已知的、C V，通过式（4-4-12）即可求出与各种P相应的值，从而可绘制出皮尔逊Ⅲ型频率曲线。

当C S等于C V的一定倍数时,P-Ⅲ型频率曲线的模比系数K P = ,也已制成表格,见附表2"皮尔逊Ⅲ型频率曲线的模比系数K P值表"。

频率计算时，由已知的C S和C V可以从附表2中查出与各种频率P相对应的K P值，然后即可算出与各种频率对应的=K P。

有了P和的一些对应值，即可绘制出皮尔逊Ⅲ型频率曲线。

本表KP值数据精确到小数点后三位CS=3.5CVP=0.0001%——99%CV=0.02——0.70其中CV=0.02、0.04、0.06——0.70为书本抄录CV=0.03、0.05、0.07——0.69为内插，公式为KP0.03=（KP0.02+KP0.04）/2有用的朋友，可以自行下载这是我可能常用的数据，朋友可以自己加入你可能常用的，再发上来更新这个表格§18.3Gamma分布18.2.1从最复杂原理得Gamma分布公式连续型的随机变量x（或者说一个广义集合的标志变量）如果它的概率密度分布函数f(x)符合,x>0 （18.18）关系时，这个概率密度函数称为伽码（Γ，Gamma）分布。

它也是著名的皮尔逊概率分布函数簇中的重要一员，称为皮尔逊Ⅲ型分布。

它的曲线有一个峰，但左右不对称。

在自然界中服从这种分布的现象不少。

公式中有两个参数n,β。

由于这种分布对自变量要求有一个大于等于零下限，拟合资料时又比正态分布的弹性大，在我国的水文界广泛用皮尔逊Ⅲ型分布来模拟水文数据系列。

中国新规范规定[11]：“频率曲线型一般应采用P-Ⅲ型分布，经分析论证后可采用其他线形。

这些做法大都出于一种经验认识：它符合实际。

对于它为什么适合一些资料没有多追问。

我们现在利用最复杂原理寻找形成这种分布的物理原因。

如果分析这个公式的外型，不难发现它既具有负指数分布中存在的指数部分，也存在幂分布公式中的幂函数特点。

我们记得指数分布对应着标志变量的代数平均值不变的约束，而幂函数对应着变量的几何平均值不变的约束。

于是容易猜想到Gamma分布的约束条件就是变量的代数平均值和几何平均值都是固定值。

确实，一个必然大于零的随机变量（如河水的流量）其代数平均值和几何平均值分别为固定值（不同的），并且它出现什么值的不确定性（结局的复杂性）最大，不难利用与前面类似的方法推导出它的概率分布函数必然是Gamma分布。

用f(x)表示随机变量x的概率密度分布函数，有（18.19）以u代表变量的代数平均值，既有（18.20）根据前面对几何平均值的讨论，我们也可以把几何平均值不变写为变量的对数的代数平均值不变，这个约束可以写为v不变，这里（18.21）而变量的信息熵（对应于复杂程度）为（18.22）在（18.19）、（19.20）、（18.21）的约束下，让熵最大反求分布函数时用拉哥朗日方法构造的函数F为这里的C1 、C2 、C3是待定的常数。