平面法向量方向

问题，都离不开平面的”距离“问题，还是”成角“量无论无论是和具有规具有规律性。时有时会显得特别探索空间平面法向量的求法与方向的判定

杨玉春

(铜仁市第二中学，贵州铜仁 554300)

向量具有一套完整的运算体系，可以把几何图形的性质转化为向量运算，变抽象的逻辑推理为具体的向量运算，实现了“数”与“形”的结合。因此用量知识解决某些立体几何问题，有时会显得特别简洁和具有规律性。但用向量无论是解决“成角”问题，还是“距离”问题，都离不开平面的法向量，可以说平面的法向量是用向量来解决立几问题的瓶颈，平面法向量的正确求出是关键。而用向量来求二面角的大小时，往往还需判断法向量的方向，是指向二面角内还是指向二面角外。本文介绍空间平面法向量的求法与方向的判定。

一、平面法向量的求法

1、几何法：如图(1)，若⊥α，在上任取两点A、B，则AB或BA即为平面α的一个法向量。

2、待定系数法(两种设法)：

（1）设n=(1,λ,μ)或n=(λ，1，μ)或n=(λ,

μ，1)是平面α的一个法向量。a，b是平面α内任一两个不共线向量，由 n·a=0

n·b=0求出λ，μ即可。

（2）或设n=（x，y，z）是平面α的法向量，由 n·a=0

n·b=0

得出关于x、y、z的三元一次方程组的一个解即为平面α的一个法向量。

3、利用空间平面方程：Ax+By+Cz+D=0(其中：A、B、C不同时为零)，则n=（A，B，C）为平面的一个法向量。

4利用向量的向量积：如图(1)，设a=(111,,xyz),b=（223,,xyz）

则a×b= =( ,| |,|)

=(122121121221,,yzyzxzxzxyxy)

取n=(a×b)(λ∈R且λ≠0)是平面α的法向量。

二、空间平面法向量方向的判定

龙源期刊网

构造三角形重心巧定两平面法向量的方向

作者：刘瑞美 黄淑贤

来源：《中学数学杂志(高中版)》2008年第04期

利用平面的法向量可以方便地求出二面角平面角的大小，由于两法向量的夹角未必就是二面角的平面角的大小，许多杂志上都介绍了直接从图形上观察两法向量的方向，来确定两法向量的夹角是否为两平面的夹角.这种方法虽然简单，但由于空间任意两个向量都是共面的，要从图形上直接判定他们的方向，需要很强的空间想象能力，好多学生是达不到这种境界的.在最后的复习中，我利用下面的两个定理引导学生用向量法求二面角的大小时，学生不知道如何找二面角内的点，结果给解题带来麻烦.为了帮助学生更好更快的解题，我们在二面角内总可以找到一个三角形，将此三角形的重心作为二面角内的点，可以不加思索的让学生很方便的正确求解，偶有所得，现结合2008年高考题，写出来与大家同享.

为了方便解决问题，现给出如下两个定理：

定理1 向量m是平面α的一个法向量，点O在平面α内，点P在平面α外.若m·OP>0，则向量m与向量OP指向平面α的同侧(如图1）；若m·OP

证明 当m·OP>0时，因为m·OP=|m|·|OP|cosθ，所以cosθ＞0，所以0≤θ

定理2 点P是二面角α-l-β内一点，点O是棱l上一点，向量m,n分别是平面α,β的一个法向量，二面角α-l-β的平面角的大小为θ.

若m·OP与n·OP同号，则θ=π-；若m·OP与n·OP异号，则θ=(如图3）.

证明 (1）若m·OP与n·OP异号

1） 当m·OP>0且n·OP

2） 同理可证当m·OP0时，θ=

(2）若m·OP与n·OP同号

1）当m·OP>0且n·OP>0时，由定理1易知：向量m与向量OP指向平面α的同侧；向量n与向量OP也指向平面β的同侧，而始终OP都是指向两平面外部的，所以向量m与向量n与两平面的指向一致，所以θ=π-；

房山高级中学生态循环课堂教学案 高二数学（理科） 第6周02 总编号：7

主备人：沈如文

3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量

一、教学目标

1．理解直线的方向向量和平面的法向量；2．会用待定系数法求平面的法向量．

二、教学重难点

1.直线的方向向量和平面的法向量． 2.求平面的法向量．

三、教学方法建议

新授课、启发式一一引导发现、合作探究．

四、教学流程与教学设计

（A）类问题（自学通过）

1．直线的方向向量．

我们把直线l上的向量e（0e≠） 以及与e共线的非零向量叫做直线l的 ．

2．平面的法线．

与平面 的直线叫做平面的法线．

3．平面的法向量．

如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面，那么称向量n垂直于平面，记作n⊥．此时，我们把向量n叫做平面的法向量．

一个平面的法向量有 个，过一个定点作平面的法向量有 个．

（B）类问题（讨论探究）

4.在正方体1111ABCDABCD中，求证：1DB是平面1ACD的法向量．

房山高级中学生态循环课堂教学案 高二数学（理科） 第6周02 总编号：7

主备人：沈如文

（C）类问题（教师点拨）

5.在空间直角坐标系内，设平面经过点000()Pxyz，，，平面的法向量为()eabc＝，，，()Mxyz，，为平面内任意一点，求xyz，，满足的关系式．

五、问题解决情况检测

（A）类问题（自学通过）

1.若直线l垂直于平面，且l的方向向量为4,2,t，的法向量为2,1,21，则实数t的值为

.

（B）类问题检测

2.在正方体1111ABCDABCD中，求平面1ACD的一个法向量．

（C）类问题检测

3.已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果(214)AB＝，－，，(420)AD＝，，，(121)AP＝－，，－．

1

平面向量的概念及线性运算

知识点：

1．向量的有关概念

名称 定义 备注

向量 既有大小，又有方向的量统称为向量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量

零向量 长度为0的向量；其方向是任意的 记作0

单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为±a|a|

平行向量 如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线 0与任一向量平行

相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小

相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0

2.向量的线性运算

向量运算

定义

法则(或几何意义) 运算律

加法 求两个向量和的运算

交换律：

a＋b＝b＋a

结合律：

(a＋b)＋c

＝a＋(b＋c)

减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差

三角形法则 a－b＝a＋(－b)

数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；

(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 (1)λ(μa)＝(λμ)a；

(2)(λ＋μ)a＝λaμa；

(3)λ(a＋b)＝λa＋λb

2

3.向量共线的判定定理

a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．

选择题：

给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量AB→与BA→相等．则所有正确命题的序号是( )

A．① B．③ C．①③ D．①②

解析 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB→与BA→互为相反向量，故③错误．

已知下列各式：①AB→＋BC→＋CA→；②AB→＋MB→＋BO→＋OM→；③OA→＋OB→＋BO→＋CO→；④AB→－AC→＋BD→－CD→，其中结果为零向量的个数为( )