函数的单调性

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函数的单调性

中等职业学校教材试用本数学第一册（上海教育出版社版本）配套教案

hs04-1

hs04_3.2(1)函数的基本性质 —— 单调性

课题名称 3.2(1)函数的基本性质 —— 单调性

课时 1 课型新授

一教学目标知识与技能：

1. 正确理解增函数、减函数的概念，掌握函数单调性的定义.

2. 会根据函数的图像判断函数的单调性,掌握数形结合的思维方法.

3. 能根据单调性的定义判断函数在某一区间上是增函数还是减函数.

过程与方法：

1. 培养学生利用数学语言对概念进行概括的能力.

2. 通过利用函数单调性的定义判断函数的单调性，进一步加强逻辑推理能力及判断推理能力的培养.

情感态度与价值观：

1. 通过本节课的教学，启发学生养成细心观察事物的能力，学会分析和归纳。

2. 根据定义进行判断从另外一个侧面也告诉我们一个哲理：要走好人生的每一步，我们都需要思考，才能作出正确的判断。

二教学重点与难点教学重点：

函数单调性概念的理解

教学难点：

函数单调性的判断.

三教学方法启发式教学、判断和归纳的方法.

四教学手段利用多媒体课件hs04、黑板等.

五教学过程

【新课导入】中等职业学校教材试用本数学

第一册（上海教育出版社版本）配套教案

hs04-2

【双基讲解】

1. 函数的单调性

函数在定义域的某个区间上，随着自变量的增加，函数值逐渐增加或减小的这种特性，就是函数的单调性.

对于函数yfx，xD，在给定区间I（I  D）上,

(1) 如果对任意12,xxI，当12xx时，都有12fxfx，那么就说函数yfx，在区间I上是增函数.

(2) 如果对任意12,xxI，当12xx时，都有12fxfx，那么就说函数yfx，在区间I上是减函数. 中等职业学校教材试用本数学第一册（上海教育出版社版本）配套教案

第16讲函数的单调性

江苏书人教育培训中心2013年暑假新高一数学第16讲函数的性质

第1页共4页新高一数学第16讲函数的单调性

一、知识要点

1.函数单调性的定义：一般地，设函数f（x）的定义域为D：如果对于属于D内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2当x 1 ＜x 2时，都有 f（x1）＜f（x2），那么就说f(x)在这个区间上是增函数.

如果对于属于D内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x 1 ＜x 2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说f(x)在这个区间上是减函数.

如果函数y ＝f（x）在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有严格的单调性，这一区间叫做y＝f（x）的单调区间，在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.

注意：①函数的单调性也叫函数的增减性.

②函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念.

③判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤：

a.设x1、x2∈给定区间，且x 1 ＜x 2

b.计算f（x1）－f（x2）至最简;

c.判断上述差的符号;

d.下结论(若差＜0，则为增函数；若差＞0，则为减函数)

2. 注意函数单调性的几种不同的表述形式：设0f1212,,,xxabxx那么：

12120xxfxfx12120fxfxxxfx在[a,b]上是增函数；

12120xxfxfx12120fxfxxxfx在[a,b]上是减函数；

3. 函数单调性的运用：① 比较函数值的大小；② 解抽象不等式；③ 求参数的范围。

4.常用结论：

①函数fx与fx+c(c为常数)具有相同的单调性；

②当c＞0时,函数fx与cfx具有相同的单调性；当c＜0时,函数fx与cfx具有相反的单调性；

函数单调性

【导语】

【正文】

§4.4 函数单调性的判定

在我们已经学习过函数在某个区间上单调的定义，本节将讨论函数单调性与函数导数之

间的关系，从而提供一种判别函数单调性的方法．

定理7如果函数()fx在区间[,]ab上连续、在(,)ab内可导，则()fx在[,]ab上单调递增

的充分必要条件是：()0fx′

≥且()fx′

在[,]ab的任意子区间上不恒为零．

如果函数()fx在区间[,]ab上连续、在(,)ab内可导，则()fx在[,]ab上单调递减的充分

必要条件是：()0fx′

≤且()fx′

在[,]ab的任意子区间上不恒为零．

证必要性．因为函数()fx在[,]ab上单调递增，所以对任意的[,]xab∈及[,]xxab+∆∈，

都有

()()

0fxxfx

x+∆−

∆．

根据极限的保号性及导数定义，得

0()()

()lim0

xfxxfx

∆→+∆−

′

∆≥．

若()0fx′

=在[,]ab的某子区间上成立，则函数()fx在此子区间上恒为常数．这与条件

“()fx单调递增”矛盾．

充分性．由()0fx′

≥，根据拉格朗日中值定理

2121()()()()fxfxfxxξ′

−=−，知函数()fx

在[,]ab上单调不减．

假设存在

12,[,]xxab∈使得

12xx<，且

12()()fxfx=，

则函数()fx在子区间

12[,]xx上恒为常数，从而()fx′

恒为零．这与条件“()fx′

在[,]ab的任

意子区间上不恒为零”矛盾．

综上，定理得证．

注如果定理中的区间],[ba

换成其他各种区间（包括无穷区间），结论仍然成立．

判定函数)(xf

单调性的步骤：

①确定函数)(xf

的定义域；

②求)(xf′

，找出0)(=′

或)(xf′

不存在的点，这些点将定义域分成若干区间；

③列表，由)(xf′

在各个小区间内的符号判别函数)(xf

的单调性．

注只要在每个小区间内各取一个特殊点，计算相应的导数值，即知)(xf′

在各个小区间