浅析力学中的动态平衡问题

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浅析力学中的动态平衡问题

关键词：图解法；解析法；相似三角形法

物体受到几个共点力的作用，其中某部分力是变力，即为动态力，在所有力共同作用下物体的状态发生缓慢变化，变化过程中的每一个状态均可视为平衡状态，这就是所谓的动态平衡问题。该类问题是高考中的高频考点，也是教与学中的重点、难点，本人结合教学实际，对动态平衡问题进行归类剖析，希望对该部分的教与学有所帮助。

图解法

（一）平行四边形雏形法或三角形雏形法

该种方法分析物体动态平衡问题时，一般物体只受三个力作用，且其中一个力大小、方向均不变为恒力，另一个力的方向不变，第三个力大小、方向均变化。由三力平衡的规律可知，两变力的合力与恒力等大方向，这就说明在两变力合成合力的矢量图中，对角线的大小方向是确定的，其中一个分力的方向不变，则表示该分力方向所在的直线与大小方向确定的对角线可组一个成平行四边形雏形或三角形雏形，当第三个力的方向确定一次，就组成一个点完整的平行四边形或三角形，依据第三个力的方向变化范围，就可对应做出平行四边形或三角形动态变化过程，从而可以确定各力的变化情景。

【例1】如图所示，小球用细绳系住，绳的另一端固定于O点，现用水平力F缓慢推动斜面体，小球在斜面上无摩擦地滑动，细绳始终处于直线状态，当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平，此过程中斜面对小球的支持力FN以及绳对小球的拉力FT的变化情况是怎样的？

[解析] 小球受的重力不变，支持力的方向不变，绳的拉力的大小、方向都改变。以小球为研究对象，受力分析如图所示。在小球上升到接近斜面顶端的过程中，mg的大小和方向都不变，即FN与FT的合力F＝mg不变。FN的方向不变，用表示FN方向所在的直线与表示F的有向线段组成一个平行四边形雏形或三角形雏形，FT与水平方向的夹角由大于斜面倾角α的某一值逐渐减小至趋于零，由此做出平行四边形或三角形的动态变化过程图，由图可知，FT先减小，当FT与FN垂直(即绳与斜面平行)时达到最小，然后开始增大，FT先减小后增大；由图还可判定FN不断增大。

（二）矢量三角形外接圆法

用该种方法分析的动态平衡问题有这样的特点，物体只受三个力作用，且其中一个力大小、方向均不变为恒力，另外两个力的大小方向都变化，且两个变力的夹角是恒定不变的。由三力平衡的规律可知，这三个力组成一个封闭的失量三角形，由于两个变力的夹角是恒定不变的，则矢量三角形中表示恒力的边所对应的角也是恒定的，若以表示恒力的边为弦做矢量三角形的外接圆，则恒力所对的角为圆周角，其大小是不变的，以表示恒力的边为一边做圆的内接三角形，三角形中另外两边的变化就表示了两个变力的变化情景。

【例2】如图所示，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N，初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α(α＞).现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变.在OM由竖直被拉到水平的过程中OM与MN上的张力大小变化情景。

[解析] 以重物为研究对象，受重力mg、OM绳上拉力F2、MN上拉力F1，由题意知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图所示，重力对应的角为π－α大小不变，以表示重力的边为弦做矢量三角形的外接圆，在F2转至水平的过程中，矢量三角形都在同一外接圆内，由图可知，MN上的张力F1逐渐增大，OM上的张力F2先增大后减小。

由以上分析可知图解法分析动态平衡问题时，能使问题形象化、具体化，能化繁为简，使动态过程一目了然。

二、解析法

对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，构建好共点力模型，假设出相应的夹角，利用边角关系把未知量与已知量构建关系表达式。在构建边角关系时一般有三种情况，矢量图中本身就能构建出直角三角形，可用已知量与夹角直接表示未知量；若构建不出直角三角形，可以正交分解，列出两个方向上的平衡方程，整理出动态力的表达式分析判定；还可以由正弦定理列出边角关系进行分析判定。

对以上两个例题分别再用解析法分析如下：

【例1】用解析法分析：设斜面的倾角为α，细线与水平方向的夹角为β，小球的受力分析如图所示，则由正交分解法可得

水平方向：FNsinα＝FTcosβ①

竖直方向：FNcosα＋FTsinβ＝mg②

联立①②解得：

其中α为定值，β逐渐变小，但始终β>0。

由以上结果可知，FN一直增大，β>α时FT减小，β<α时FT增大，β＝α时FT达到最小值，即FT先减小后增大。

【例2】用解析法分析：设重物的质量为m，绳OM中的张力为T，绳MN中的张力为TMN。开始时，T＝mg，TMN＝0。由于缓慢拉起，则重物一直处于平衡状态，两绳张力的合力与重物的重力mg等大、反向。如图所示，已知角α不变，在绳MN缓慢拉起的过程中，角β逐渐增大，则角(α－β)逐渐减小，但角θ不变，在三角形中，利用正弦定理得：

＝，

(α－β)由钝角变为锐角，则TOM先增大后减小；

同理知：＝，

在β由0变为的过程中，TMN一直增大。由以上分析可以看出，解析法得到的结果比图解法更加详尽，过程推理更具有逻辑性。

三、相似三角形法:

用该种方法分析的动态平衡问题应该有这样的特点，物体只受三个力作用，有一个力大小、方向都不变，另外两个力的大小方向都变化，而且他们的夹角也在变化，同时题目还给出了空间几何关系。面对这类问题先正确分析物体的受力,画出受力分析图,再寻找与力的三角形相似的几何三角形,利用相似三角形的性质,建立比例关系,从而把力的大小变化问题转化为几何三角形边长的大小变化问题。

【例3】如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔。质量为m的小球套在圆环上。一根细线的下端系着小球，上端穿过小孔用手拉住。现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移，在移动过程中手对线的拉力F和轨道对小球的弹力FN的大小变化情况是怎样的？

[解析] 小球沿圆环缓慢上移过程中每个位置都处于平衡状态，对小球进行受力分析，作出受力示意图如图所示，由图可知△OAB∽△GFA，即＝＝，当A点上移时，半径不变，AB长度减小，故F减小，FN不变。

总之，处理动态平衡问题的核心思想就是化“动”为“静”，“静”中求“动”。以上所述的几种方法可灵活交叉使用，有的问题分析时可同时使用图解法、解析法、相似三角形法，我们可选用一个最简单最直接的方法进行分析。只要理解每种方法内在规律及相互关系，应用时自然是得心应手，运用自如。

高速旋转机械动态平衡力学分析

引言：

高速旋转机械的动态平衡是确保其正常运行及延长使用寿命的重要问题。本文将从力学角度出发，对高速旋转机械的动态平衡进行深入分析，探讨动力学平衡的原理、方法和应用。

一、动态平衡的原理

动态平衡是采用外力或外作用力矩平衡旋转机械在高速旋转过程中产生的不平衡力或不平衡力矩的一种方法。其原理基于两个重要的因素：一是质量不平衡（使转子发生不平衡运动）；二是离心力（使不平衡力或不平衡力矩产生）。

二、动态平衡的方法

1. 静平衡法：

静平衡法是通过对旋转机械进行静力学分析，确定转子轴线上的受力情况，进而采取补偿措施来实现平衡。可以通过加重、镶嵌等方法，在转子轴线上加上平衡块来实现静平衡。

2. 动平衡法：

动平衡法是通过对高速旋转机械进行动力学分析，在转子上安装试重块，通过试验测量不平衡处的振动情况，然后调整试重块位置，减小或消除振动。动平衡法更适用于高速旋转机械，可以较好地解决质量分布不均匀引起的不平衡问题。三、动态平衡的应用

1. 汽车发动机的平衡

汽车发动机作为一个高速旋转机械，在运行过程中会产生振动和噪音，严重影响乘坐舒适性及使用寿命。应用动态平衡技术可以减小发动机的振动和噪音，提高整车的使用体验。

2. 飞机发动机的平衡

飞机发动机的平衡对于航空安全至关重要。在高速旋转过程中，发动机的不平衡将导致飞机的晃动和不稳定。通过动态平衡技术，飞机发动机可以实现精确的平衡，提高飞行安全性。

3. 工业设备的平衡

工业设备包括离心机、涡轮机、高速电机等，在运行过程中往往会产生较大的振动和噪音。这些振动和噪音不仅影响设备稳定运行，还可能损坏设备。采用动态平衡技术可以有效减小设备的振动和噪音，提高设备的可靠性。

结论：

高速旋转机械的动态平衡在工程实践中具有重要意义。正确应用动态平衡技术能够提高机械设备的运行效率和使用寿命，降低振动和噪音的产生，并保证设备的安全性。在实际应用中，需要根据具体机械的特点选择合适的动态平衡方法，并严格控制平衡精度，以确保机械设备的稳定运行。参考文献：

高一力学动态平衡—相似三角形、动态三角形

在高一力学的学习中，动态平衡问题是一个重要且具有一定难度的知识点。其中，相似三角形和动态三角形的方法在解决这类问题时常常能发挥关键作用。

我们先来理解一下什么是动态平衡。简单来说，动态平衡就是指物体在运动过程中，其合力始终为零，保持平衡状态，但某些力的大小、方向在不断变化。想象一个用绳子悬挂的物体，绳子的长度不变，但悬挂点在移动，这就是一种动态平衡的情况。

相似三角形法在处理动态平衡问题时，基于的原理是在力的矢量三角形与几何三角形相似的情况下，对应边成比例。这意味着我们可以通过几何关系来确定力的变化情况。

比如说，有一个物体放在斜面上，用一个力 F 沿着斜面向上推，同时受到斜面的支持力 N 和重力 G 的作用。我们可以分别画出力的矢量三角形和由物体、斜面构成的几何三角形。如果这两个三角形相似，那么力之间的比例关系就与三角形边的比例关系相同。

举个具体的例子吧。一个光滑的圆球放在一个斜面上，被一根细绳斜拉着处于静止状态。我们画出圆球受到的重力 G、绳子的拉力 T 和斜面的支持力 N 所构成的矢量三角形。同时，观察圆球、绳子与斜面接触点以及斜面顶点构成的几何三角形。如果这两个三角形相似，那么我们就可以根据边的比例关系来判断力的大小变化。

再来看动态三角形法。这种方法主要用于一个力的大小和方向不变，另一个力的方向不变，第三个力大小和方向都在变化的情况。

比如，还是一个物体放在斜面上，重力大小和方向不变，斜面的支持力方向不变，而施加在物体上的一个外力的大小和方向都在改变。我们可以通过平移力的矢量，构建一个动态的三角形来分析力的变化。

具体来讲，我们先画出重力，然后根据支持力的方向画出支持力，再把外力的起始点与重力的末端连接起来，这样就构成了一个三角形。随着外力的变化，这个三角形的形状也在改变，但我们可以通过其中一些不变的条件来分析力的变化规律。

比如说，当外力与支持力垂直时，外力取得最小值。这是因为在三角形中，直角边小于斜边。

高中物理力学——动态平衡问题处理方法

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高中物理——力学动态平衡分析

一物体受三个力作用

例1. 如图1所示，一个重力G的匀质球放在光滑斜面上，斜面倾角为，在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态。今使板与斜面的夹角缓慢增大，问：在此过程中，挡板和斜面对球的压力大小如何变化？

例2．一轻杆BO，其O端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图2-1所示。现将细绳缓慢往左拉，使杆BO与杆AO间的夹角θ逐渐减少，则在此过程中，拉力F及杆BO所受压力FN的大小变化情况是( )

A．FN先减小，后增大 B.FN始终不变

C．F先减小，后增大 D.F始终不变

正确答案为选项B

跟踪练习：

如图2-3所示，光滑的半球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A点，另一端绕过定滑轮，后用力拉住，使小球静止．现缓慢地拉绳，在使小球沿球面由A到半球的顶点B的过程中，半球对小球的支持力N和绳对小球的拉力T的大小变化情况是( D )。

(A)N变大，T变小，

(B)N变小，T变大

(C)N变小，T先变小后变大

(D)N不变，T变小 A

F B

O θ

图2-1 A

F B

O θ

G FN

L l

图2-2

A C

图2-3 β α

图1-1

图1-2 β α

G F1

F2 F1

F2 图1-3 学习好资料欢迎下载

例3．如图3-1所示，在水平天花板与竖直墙壁间，通过不计质量的柔软绳子和光滑的轻小滑轮悬挂重物G=40N，绳长L=2.5m，OA=1.5m，求绳中张力的大小，并讨论：

（1）当B点位置固定，A端缓慢左移时，绳中张力如何变化？

（2）当A点位置固定，B端缓慢下移时，绳中张力又如何变化？

解析：取绳子c点为研究对角，受到三根绳的拉力，如图3-2所示分别为F1、F2、F3，延长绳AO交竖直墙于D点，由于是同一根轻绳，可得：21FF，BC长度等于CD，AD长度等于绳长。设角∠OAD为θ；根据三个力平衡可得：sin21GF ；在三角形AOD中可知，ADODsin。如果A端左移，AD变为如图3－3中虚线A′D′所示，可知A′D′不变，OD′减小，sin减小，F1变大。如果B端下移，BC变为如图3－4虚线B′C′所示，可知AD、OD不变，sin不变，F1不变。