量子力学 第二章 例题

第三章 例题

主要类型 : 1. 算符运算 ; 2. 力学量的平均值 ; 3. 力学量几率分布 .

一 . 有关算符的运算

1. 证明如下对易关系

(1.)

(2)

(3)

(4)

(5)

[ 证 ]

(1)

(2)

(3)

一般地 , 若算符 是任一标量算符 , 有

(4)

一般地 , 若算符 是任一矢量算符 , 可证明有

(5)

=0

同理： 。

2. 证明：厄米算符的本征值必为实数。

证：设 ， ，

由 之厄米性

有

由内积三公理

故有 。

3. 若 且 ， 为任一算符，证明在 态下， 的平均值为零。

证：

4. 证明厄米算符的平均值必定为实数

解：由 之厄米性有

故 厄米算符平均值为实数。

5. 坐标平移算符 ，证明

证：

将 在 处作泰勒级数展开为

故

6. 在轨道角动量 的共同本征态 中，求 ，

解：

且

故

同理

二 . 有关力学量平均值与几率分布方面

1. (1) 证明 是 的一个本征函数并求出相应的本征值； (2) 求 x 在 态中的平均值

[ 解 ]

即

是 的本征函数。本征值

2. 设 粒子在宽度为 a 的一维无限深势阱中运动，如粒子的状态由波函数

描写。求粒子能量的可能值相应的概率及平均值

［解］

宽度为 a 的一维无限深势井的能量本征函数

注意 : 是否归一化波函数

能量本征值

出现 的几率 , 出现 的几率

第二章 薛定谔方程 习题 (课本44页)

证明在定态中，概率流密度与时间无关。

证明：当一个系统处于定态时，其波函数),(tr可以写作，

Etirtrexp)(),(

于是便有，

Etirtrexp)(),(**

根据概率流密度的定义式有，

tiEtiEtiEtiEmitiEtiEtiEtiEmimiJexpexpexpexp2expexpexpexp2)(2******

即有，)(2)(2****mimiJ

显然，在定态中概率流密度与时间无关。从某种意义上说明上述波函数称为定态波函数是名副其实的。

—

由下列两定态波函数计算概率流密度：⑴ )exp(11ikrr，⑵ )exp(12ikrr。

从所得结果说明1表示向外传播的球面波，2表示向内(即向原点)传播的球面波。

解：在解本题之前，首先给出一个函数f的梯度在球坐标系下的表达式，即

frefrerfefrsin1ˆ1ˆˆ

⑴ 首先求解函数1的概率流密度 rikrikrrikrikrikrrikremrkrikereererikereeremirikrrikrrikrrikrmimiJˆˆˆ2)exp()exp()exp()exp(2)(22221*1*111

可见，概率流密度1J与r同号，这便意味着1J的指向是向外的，即1表示向外传播的球面波。

⑵ 同理，可以得到2的概率流密度

第一章思考题

1．下说法是否正确：

（1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系；

（2）量子力学适用于不能忽略的体系，而经典力学适用于=可以忽略的体系。 =

答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典

力学体系。

（2）对于宏观体系或可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量

子力学实际上已经过渡到经典力学，二者相吻合了。 =

2．什么是黑体？

（1）黑颜色的物体。

（2）完全吸收任何波长的外来辐射而无反射的物体。

（3）完全吸收任何波长的外来辐射而无任何辐射的物体。

（4）吸收比为1的物体。

（5）在任何温度下，对入射的任何波长的辐射全部吸收的物体。

答：（4），（5）正确。吸收比α（λ，T）=1蕴含了任何温度下，对入射的

任何波长的辐射α（λ，T）均为1。

（2）是常见的黑体定义，显然，应加上“在任何温度下”才完整。

3．康普顿效应中入射光子的能量只有部分被电子吸收，这是否意味着光子在相

互作用过程中是可分的？

答：光电效应中，一个电子同时吸收两个光电子的概率非常小，一个电子只

吸收一个光子。另外，实测中光电发射没有可分辨出的时间延迟，这说明，电

子没有能量的积累过程，即电子吸收一个光子后再吸收一个光子的概率也是非

常小的。因而，截止频率的限制是必需的。

4．德布罗意关系式是仅适用与基本粒子如电子、中子之类还是同样适用于具有

内部结构的复合体系？

答：德布罗意关系式是适用于一切物质的普遍关系，是波粒二象性的反映而

与物质具体结构无关。因此，不仅适用于基本粒子也适用于具有内部结构的复

杂体系。

5．粒子的德布罗意波长是否可以比其本身线度长或短？二者之间是否有必然联

系？

答：由基本假设 λ=ph，波长仅取决于粒子的动量而与粒子本身线度无必然联

系。

6．在电子衍射实验中，单个电子的落点是无规律的，而大量电子的散落则形成

了衍射图样，这是否意味着单个粒子呈现粒子性，大量粒子集合呈现波动性？ 答：为了验证是否大量粒子集合才呈现波动性，1949年比尔曼（苏）等曾做

第四章 例题

1 ．力学量的矩阵表示

试分别： 1 ） . 求 和 在态 下的期望值； 2 ） . 给出 和 的物理意义

【解】（ 1 ） . 设态矢 已归一化

（粒子位置几率密度）

（ 2 ）

（利用 化到坐标表象）

又： ,

上式

2. 试证明：由任意一对以归一化的共轭右矢和左矢构成的投影算符 （ 1 ） . 是厄密算符，（ 2 ） . 有 ，（ 3 ） . 的本征值为 0 和 1

【证】（ 1 ） . 厄密算符的定义

为厄密算符

(2) 已归一化

（ 3 ） . 由 的本征值方程

,

又：

即：

（本题主要考查厄密算符概念，本征值方程，狄拉克符号的应用）

3. 分别在坐标表象，动量表象，能量表象中写出一维无限深势井中（宽度 ）基态粒子的波函数。（本题主要考查波函数在具体表象中的表示）

【解】 所描述的状态，基态波函数

（ 1 ） . 在 x 表象：

（ 2 ） . 动量表象：

（ 3 ） . 能量表象

同样一个态在不同表象中的表示是不同的，不同的表象是从不同侧面来进行描述的 .

4. 取 和 的共同表象，在 角动量空间中写出 , , 的矩阵（本题主要考查算符矩阵的求法 ）

【解】 , 的共同本征函数为

在 空间

（ 1 ） . ,

同样

（ 2 ）

利用 :

利用正交归一条件 :

同样

（ 3 ）

利用 :

矩阵 :

矩阵 :

5. 已知体系的哈密顿量 , 试求出

（ 1 ） . 体系能量本征值及相应的在 所在的表象的正交归一化的本征矢组 .

（ 2 ） . 将 对角化，并给出对角化的么正变换矩阵

【解】

（ 1 ） . 久期方程