八年级数学勾股定理经典例题解析
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八年级数学勾股定理经典例题解析
经典例题透析
类型一：勾股定理的直接用法
1、在Rt△ABC中，C=90
(1)a=6，c=10，求b，(2)a=40，b=9，求c;(3)c=25，b=15，求a.
思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。
解析：(1)在△ABC中，C=90，a=6，c=10,b=
(2)在△ABC中，C=90，a=40，b=9,c=
(3)在△ABC中，C=90，c=25，b=15,a=
举一反三
【变式】:如图B=ACD=90,AD=13,CD=12,BC=3,那么AB的长是多少
【答案】∵ACD=90
AD=13,CD=12
AC2=AD2-CD2
=132-122
=25
AC=5
又∵ABC=90且BC=3
由勾股定理可得 AB2=AC2-BC2
=52-32
=16
AB=4
AB的长是4.
类型二：勾股定理的构造应用
2、如图，：在中，，，.求：BC的长.
思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，那么有
，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.
解析：作于D，那么因，
(的两个锐角互余)
(在中，如果一个锐角等于，
那么它所对的直角边等于斜边的一半).
根据勾股定理，在中，
.
根据勾股定理，在中，
.
.
举一反三【变式1】如图，：，，于P.求证：. 解析：连结BM，根据勾股定理，在中，
.
而在中，那么根据勾股定理有
.
又∵()，
.
在中，根据勾股定理有
，
.
【变式2】：如图，B=D=90，A=60，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。
分析：如何构造直角三角形是解此题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据此题给定的角应选后两种，进一步根据此题给定的边选第三种较为简单。
解析：延长AD、BC交于E。
∵A=60，B=90，E=30。
AE=2AB=8，CE=2CD=4，
BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==
∵DE2=CE2-CD2=42-22=12，DE==
S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=ABBE-CDDE= 类型三：勾股定理的实际应用
(一)用勾股定理求两点之间的距离问题
3、如下图，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60方向走了到达B点，然后再沿北偏西30方向走了500m到达目的地C点。
(1)求A、C两点之间的距离。
(2)确定目的地C在营地A的什么方向。
解析：(1)过B点作BE//AD
DAB=ABE=60
∵30+CBA+ABE=180
CBA=90
即△ABC为直角三角形
由可得：BC=500m，AB=
由勾股定理可得：
所以
(2)在Rt△ABC中，
∵BC=500m，AC=1000m
CAB=30
∵DAB=60 DAC=30
即点C在点A的北偏东30的方向
举一反三
【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门
【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH.如下图，点D在离厂门中线0.8米处，且CDAB，与地面交于H.
解：OC=1米(大门宽度一半)，
OD=0.8米(卡车宽度一半)
在Rt△OCD中，由勾股定理得：
CD===0.6米，
CH=0.6+2.3=2.9(米)2.5(米).
因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门.
(二)用勾股定理求最短问题
4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现方案在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线局部.请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线. 思路点拨：解答此题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论.
解析：设正方形的边长为1，那么图(1)、图(2)中的总线路长分别为
AB+BC+CD=3，AB+BC+CD=3
图(3)中，在Rt△ABC中
同理
图(3)中的路线长为
图(4)中，延长EF交BC于H，那么FHBC，BH=CH
由FBH=及勾股定理得：
EA=ED=FB=FC=
EF=1-2FH=1-
此图中总线路的长为4EA+EF=
32.8282.732
图(4)的连接线路最短，即图(4)的架设方案最省电线.
举一反三
【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程.
解：
如图，在Rt△ABC中，BC=底面周长的一半=10cm，根据勾股定理得 (提问：勾股定理)
AC===10.77(cm)(勾股定理).
答：最短路程约为10.77cm.
类型四：利用勾股定理作长为的线段
5、作长为、、的线段。
思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作
作法：如下图
(1)作直角边为1(单位长)的等腰直角△ACB，使AB为斜边;
(2)以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角斜边为;
(3)顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、、、的长度就是
、、、
举一反三【变式】在数轴上表示的点。
解析：可以把看作是直角三角形的斜边，，
为了有利于画图让其他两边的长为整数，
而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。
作法：如下图在数轴上找到A点，使OA=3，作ACOA且截取AC=1，以OC为半径，
以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为 类型五：逆命题与勾股定理逆定理
6、写出以下原命题的逆命题并判断是否正确
1.原命题：猫有四只脚.(正确)
2.原命题：对顶角相等(正确)
3.原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等.(正确)
4.原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等.(正确)
思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。
解析：1.逆命题：有四只脚的是猫(不正确)
2.逆命题：相等的角是对顶角(不正确)
3.逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.•(正确)
4.逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.(正确)
升华：此题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。
7、如果ABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ABC的形状。
思路点拨：要判断ABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。
解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得：
a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,
(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。 ∵(a-3)20,(b-4)20,(c-5)20。
a=3，b=4，c=5。
∵32+42=52,
a2+b2=c2。
由勾股定理的逆定理，得ABC是直角三角形。
总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。
举一反三【变式1】四边形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。
【答案】：连结AC
∵B=90，AB=3，BC=4
AC2=AB2+BC2=25(勾股定理)
AC=5
∵AC2+CD2=169，AD2=169
AC2+CD2=AD2
ACD=90(勾股定理逆定理)
【变式2】:△ABC的三边分别为m2-n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且mn),判断△ABC是否为直角三角形.
分析:此题是利用勾股定理的的逆定理，只要证明:a2+b2=c2即可
证明： 所以△ABC是直角三角形.
【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB。
请问FE与DE是否垂直请说明。
【答案】答：DEEF。
证明：设BF=a，那么BE=EC=2a,AF=3a，AB=4a,
EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2;
DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。
连接DF(如图)
DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。
DF2=EF2+DE2,
FEDE。
经典例题精析
类型一：勾股定理及其逆定理的根本用法
1、假设直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。
思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。
解析：设此直角三角形两直角边分别是3某，4某，根据题意得： (3某)2+(4某)2=202
化简得某2=16;
直角三角形的面积=3某4某=6某2=96
总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程(组)求解。
举一反三【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。
【答案】如图，等边△ABC，作ADBC于D
那么：BD=BC(等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合)
∵AB=AC=BC=2(等边三角形各边都相等)
BD=1
在直角三角形ABD中，AB2=AD2+BD2，即：AD2=AB2-BD2=4-1=3
AD=
S△ABC=BCAD=
注：等边三角形面积公式：假设等边三角形边长为a，那么其面积为a。
【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。
【答案】设此直角三角形两直角边长分别是某，y，根据题意得：
由(1)得：某+y=7，
(某+y)2=49，某2+2某y+y2=49(3)
