数学建模之差分方程

第 1 页 实验八： 差分方程模型

实验目的：

1. 掌握一阶和二阶常系数线性差分方程的求解方法；

2. 利用差分方程建模。

实验练习：

1. 求下列一阶常系数线性差分方程的通解：

(1) 134nnyy++=；

(2) 12cos()nnnyynp+-=.

注：若12()cossinfnbnbnww=+，则特解可设为

*cossinnynnawbw=+其中,ab为待定系数，求解关于,ab的方程组，若系数矩阵为0，则特解可设为

*(cossin)nynnnawbw=+

2. 教材P173，习题4.

3. 求下列二阶常系数线性差分方程的通解：

()()2222cossin.nnnnyypp++=-安徽师范大学

数计 学院实验报告

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专业名称数学与应用数学

实 验 室2号实验楼#201

实验课程Matlab

实验名称差分方程模型

姓 名 张顺强

学 号 100701185

同组人员 无

实验日期 2013.

第 3 页 注：实验报告应包含（实验目的，实验原理，主要仪器设备和材料，实验过程和步骤，实验原始数据记录和处理，实验结果和分析，成绩评定）等七项内容。具体内容可根据专业特点和实验性质略作调整，页面不够可附页。

一.实验目的

1. 掌握一阶和二阶常系数线性差分方程的求解方法；

2. 利用差分方程建模。

二.实验原理

数学建模相关理论

三主要仪器设备和材料

计算机，数学建模相关书籍

四.实验过程和步骤

1. 求下列一阶常系数线性差分方程的通解：

(1) 134nnyy++=；

(2) 12cos()nnnyynp+-=.

注：若12()cossinfnbnbnww=+，则特解可设为

*cossinnynnawbw=+其中,ab为待定系数，求解关于,ab的方程组，若系数矩阵为0，则特解可设为

*(cossin)nynnnawbw=+

数学建模中的差分方程模型

数学建模是一种将实际问题转化为数学模型并寻求与之相连的数学方法的学科，不仅仅在理论研究上有很大的应用，也在实际生活中有着广泛的应用。在各种数学模型中，差分方程模型也是一种很重要的模型。本文将结合实例，介绍差分方程模型的定义、建立、求解以及应用。

差分方程模型定义

差分方程模型是一种通过离散化的方法，将连续时间问题转化为离散时间问题，来描述变量随时间的变化规律的数学模型。这种数学模型以时间为自变量，以某个状态量为因变量，由一定的关系式组成。例如：y(n+1)=ay(n)+b，式子中y(n)代表第n时刻系统状态，y(n+1)代表第n+1时刻系统状态，a和b为常数。

差分方程模型建立

建立差分方程模型的关键是将实际问题中的连续变化离散化。一般情况下，对于所建立的模型，首先要确定它的思路和范围，然后根据实际情况，确定差分方程的形式。此外，还需要进行参数的估计和参数变化的分析，以及对模型精确性的验证。

以物理学中的简谐振动为例，建立一个差分方程模型描述其运动，即一个质点在回复力作用下以简谐运动形式振动。设t为时间，y为质点的位移，v为质点的速度，a为质点的加速度，则有：

$$

y=n\Delta y \\

v=\dfrac{y(n+1)-y(n-1)}{2\Delta t} \\

a=\dfrac{y(n+1)-2y(n)+y(n-1)}{(\Delta t)^2}

$$

其中n为时间步长，$\Delta t$为时间间隔。我们利用受力平衡的原理，即简谐振动中的$F=-ky$得到：

$$

\dfrac{y(n+1)-2y(n)+y(n-1)}{(\Delta t)^2} = -\dfrac{k}{m}y(n)

$$

将$\alpha=\dfrac{k}{m}$带入上式得到：

$$

y(n+1)-2(1+\alpha)y(n)+y(n-1) = 0

$$

此时，我们便成功地建立了描述简谐振动的差分方程模型。

差分方法建模

经过一段时间的学习，我对《数学建模》从最初的认知，到最后系统性的了解，并且在老师的帮助下，我渐渐地喜欢上这么课程，由此把自己的从这门课程中学到的东西和认识给写下来，希望老师给予知道和讲评，我也会在以后的日子里加以改进。

首先说说自己对《数学建模》的认识。最初印象是从图书馆里开始认识的，那个时候自己还是大一刚来的小青年，对一切都充满着好奇和新鲜，看到《数学建模》这本书的时候，我随手拿过来看，发现里面对事物的分析方法和模型的建立都很详细，我就试着往下看，感觉这本书非常好，幸好今年有这门课程的建立，更加是我产生了浓厚的兴趣，在以后的日子里，每节课堂我都认真的听老师讲课，经过这半年的学习，自己多少对《数学建模》有了一些认识，利用课间时间我查阅了一些资料，是自己更加充分的了解它，下面是我对其的认识，数学建模是在20世纪60和70年代进入一些西方国家大学的，我国的几所大学也在80年代初将数学建模引入课堂。经过20多年的发展现在绝大多数本科院校和许多专科学校都开设了各种形式的数学建模课程和讲座，为培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的能力开辟了一条有效的途径。

对于现在的大学上来说，大学生数学建模竞赛最早是1985年在美国出现的，1989年在几位从事数学建模教育的教师的组织和推动下，我国几所大学的学生开始参加美国的竞赛，而且积极性越来越高，近几年参赛校数、队数占到相当大的比例。可以说，数学建模竞赛是在美国诞生、在中国开花、结果的。 1992年由中国工业与应用数学学会组织举办了我国10城市的大学生数学模型联赛，74所院校的314队参加。教育部领导及时发现、并扶植、培育了这一新生事物，决定从1994年起由教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同主办全国大学生数学建模竞赛，每年一届。十几年来这项竞赛的规模以平均年增长25%以上的速度发展。

全国大学生数学建模竞赛是全国高校规模最大的课外科技活动之一。本竞赛每年9月(一般在中旬某个周末的星期五至下周星期一共3天，72小时）举行，竞赛面向全国大专院校的学生，不分专业（但竞赛分本科、专科两组，本科组竞赛所有大学生均可参加，专科组竞赛只有专科生（包括高职、高专生）可以参加）。 2008 年全国有31个省/市/自治区(包括香港)1023所院校、12846个队（其中甲组10384队、乙组2462队）、3万8千多名来自各个专业的大学生参加竞赛，是历年来参赛人数最多 二、数学建模的定义 简单地说：数学模型就是对实际问题的一种数学表述。 具体一点说：数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。 更确切地说：数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等。 数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程（见数学建模过程流程图）。 数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。

1 差分方程模型

一. 引言

数学模型按照离散的方法和连续的方法， 可以分为离散模型和连续模型。

1. 确定性连续模型

1) 微分法建模(静态优化模型)， 如森林救火模型、血管分支模型、最优价格模型。

2) 微分方程建模(动态模型)，如传染病模型、人口控制与预测模型、经济增长模型。

3) 稳定性方法建模(平衡与稳定状态模型)，如军备竞赛模型、种群的互相竞争模型、种群的互相依存模型、种群弱肉强食模型。

4) 变分法建模（动态优化模型），如生产计划的制定模型、国民收入的增长模型、渔业资源的开发模型。

2. 确定性离散模型

1) 逻辑方法建模，如效益的合理分配模型、价格的指数模型。

2) 层次分析法建模，如旅游景点的选择模型、科研成果的综合评价模型。

3）图的方法建模，如循环比赛的名次模型、红绿灯的调节模型、化学制品的存放模型。

4）差分方程建模，如市场经济中的蛛网模型、交通网络控制模型、借贷模型、养老基金设置模型、人口的预测与控制模型、生物种群的数量模型。

随着科学技术的发展，人们将愈来愈多的遇到离散动态系统的问题，差分方程就是建立离散动态系统数学模型的有效方法。

在一般情况下，动态连续模型用微分方程方法建立，与此相适应，当时间变量离散化以后，可以用差分方程建立动态离散模型。有些实际问题既可以建立连续模型，又可建立离散模型，究竟采用那种模型应视建模的目的而定。例如，人口模型既可建立连续模型(其中有马尔萨斯模型Malthus、洛杰斯蒂克Logistic模型)，又可建立人口差分方程模型。这里讲讲差分方程在建立离散动态系统数学模型的的具体应用。

2 二. 差分方程简介

在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等。但是，往往都需要用计算机求数值解。这就需要将连续变量在一定的条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型。因此，最后都归结为求解离散形式的差分方程解的问题。关于差分方程理论和求解方法在数学建模和解决实际问题的过程中起着重要作用。