小学六年级数学奥数等差数列求和讲解

小学奥数题讲解：高斯求和（等差数列）德国数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。

高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。

1～100正好能够分成这样的50对数，每对数的和都相等。

于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。

小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。

若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。

后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。

例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9， (99)（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。

由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。

例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。

由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。

注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。

例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。

原式=（11+31）×21÷2=441。

在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。

小学奥数等差数列(新颖)
简介
本文档将介绍小学奥数中的等差数列，并提供一些新颖的思路和方法来解决相关问题。

等差数列的定义
等差数列是指一个数列中的任意两个相邻项之差相等的数列。

通常用字母a表示首项，d表示公差，n表示项数，第n项表示为an，等差数列的通项公式为：
an = a + (n - 1)d
求等差数列的和
常见的等差数列求和方法包括以下几种：
- 公式法：根据等差数列的求和公式，直接计算出和的值。

- 递归法：通过不断累加前面的项来求和。

- 等差数列性质法：利用等差数列的性质和规律，简化求和运算。

等差数列的特殊性质
等差数列具有一些特殊的性质，可以帮助我们更好地理解和解题：
- 首项和末项之和等于中间任意两项之和。

- 等差数列的前n项和等于首项与最后一项的和乘以项数的一半。

等差数列的应用举例
以下是一些新颖的等差数列应用示例：
1. 题目：某个等差数列的首项是3，公差是5，项数是10，请
问这个数列的前10项和是多少？
解析：根据等差数列求和公式，代入a=3，d=5，n=10，可以
得出该数列的和。

2. 题目：某个等差数列的前n项和是125，首项是2，公差是6，请问这个数列的项数是多少？
解析：利用等差数列的性质，可以得出项数n满足条件125 = (2 + an) * n / 2，通过简单的计算可以得到n的值。

总结
等差数列在小学奥数中是一个重要的概念，掌握等差数列的定义、求和方法和特殊性质，能够更好地解决相关问题。

该文档介绍了等差数列的基本知识和应用举例，希望对您有所帮助。

等差数列求和公式讲解等差数列求和公式，这可是数学中的一个重要知识点啊！咱们先来说说啥是等差数列。

比如说，1，3，5，7，9 这样的数列，每一项跟前一项的差值都一样，这个差值就叫公差。

那求和公式是啥呢？就是“和 = （首项 + 末项）×项数÷ 2”。

我给您举个例子来说明这个公式怎么用。

有一天我去逛超市，看到货架上摆着一排巧克力，第一块巧克力 2 元，往后每块都比前一块多 1 元，一直到第 10 块。

这时候咱们就可以用等差数列求和来算算这 10块巧克力总共值多少钱。

首项就是第一块巧克力的价格 2 元，末项就是第 10 块巧克力的价格 2 + （10 - 1）× 1 = 11 元，项数就是 10 。

那总价就是（2 + 11）× 10 ÷ 2 = 65 元。

咱们再深入理解一下这个公式。

为啥要乘以项数再除以 2 呢？您想想，把这个数列的第一项和最后一项相加，第二项和倒数第二项相加，第三项和倒数第三项相加……是不是每一组的和都一样呀？而且正好能组成项数的一半那么多组。

所以就得乘以项数再除以 2 啦。

在解题的时候，一定要看清楚题目给的条件，找准首项、末项和项数。

比如说，有个数列 5，8，11，14，……一直到第 20 项，让咱们求总和。

首项是 5，公差是 3，那末项就是 5 + （20 - 1）× 3 = 62 。

然后就能用求和公式算出总和啦。

再比如，有一道题说一个等差数列的前 5 项和是 75，首项是 5，公差是 4，让咱们求末项。

咱们先用求和公式反推出（首项 + 末项）的值，也就是 75 × 2 ÷ 5 = 30 。

首项是 5 ，那末项就是 30 - 5 = 25 。

学习等差数列求和公式，就像是掌握了一把解题的神奇钥匙。

在面对各种各样的题目时，只要咱们能灵活运用这个公式，就能轻松找到答案。

您可别觉得这公式难，多做几道题，多琢磨琢磨，您就能发现其中的乐趣和窍门。

等差数列的求和公式
等差数列是指数列的相邻两项之差保持恒定的数列。

求和公式是用于计算等差数列的前n项和的公式。

设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn。

根据等差数列的性质，我们可以推导出等差数列的求和公式：
1. 等差数列通项公式
等差数列的通项公式可以表示为：an = a1 + (n - 1) * d，其中an 为数列的第n项。

2. 等差数列前n项和的公式
等差数列的前n项和可以表示为：Sn = n * (a1 + an) / 2，其中Sn为前n项和。

由等差数列的通项公式和前n项和的公式，我们可以推导出等差数列的求和公式：
Sn = n * (a1 + a1 + (n - 1) * d) / 2
= n * (2a1 + (n - 1) * d) / 2
= n * (a1 + (a1 + (n - 1) * d)) / 2
使用等差数列的求和公式，我们可以方便地计算等差数列的前
n项和。

这个公式在实际问题中经常被使用，例如计算连续数的和、计算累进的收入等。

需要注意的是，在应用等差数列求和公式时，我们需要确保等
差数列的首项、公差和项数的值是正确的。

总之，等差数列的求和公式是计算等差数列前n项和的有效工具，通过简单的数学运算，我们可以快速得出结果。

在实际问题中，我们可以根据该公式进行求和计算，减少繁琐的手工计算工作，提
高工作效率。

参考文献：
[1] 王福高，初等数学学科发展史，人民教育出版社，1999年。

[2] 李四华，高中数学教育理念研究，教材报刊杂志社，2005年。

等差数列的求和公式等差数列是数学中常见的数列类型，它的每个相邻项之间的差值是相等的。

在解决等差数列相关问题时，求和公式是一个重要的工具。

本文将介绍等差数列的求和公式以及如何推导得到，并给出相关例题进行说明。

一、等差数列的定义和通项公式等差数列是指数列中的每个项之间的差值都是相等的。

设等差数列的首项为a₁，公差为d，则等差数列的通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中，aₙ表示等差数列的第n项，n表示项数。

二、等差数列的部分和公式在等差数列中，若要求前n项的和Sₙ，可以利用部分和公式进行计算。

设前n项和为Sₙ，则部分和公式为：Sₙ = (a₁ + aₙ) * n / 2三、等差数列求和公式的推导过程为了得到等差数列求和公式，我们可以利用等差数列的通项公式进行推导。

首先，代入部分和公式中的n，得到：Sₙ = (a₁ + (a₁ + (n-1)d)) * n / 2化简得到：Sₙ = (2a₁ + (n-1)d) * n / 2继续化简得到：Sₙ = (n * (2a₁ + (n-1)d)) / 2最终，我们得到等差数列的求和公式：Sₙ = n * (a₁ + aₙ) / 2四、等差数列求和公式的应用现在我们通过一个例题来说明等差数列求和公式的应用。

例题：求等差数列5，8，11，14，17的前10项和。

解：根据题目可知，等差数列的首项a₁为5，公差d为3，项数n 为10。

我们可以利用求和公式计算：Sₙ = n * (a₁ + aₙ) / 2代入已知条件得到：S₁₀ = 10 * (5 + (5 + (10-1) * 3)) / 2化简计算得到：S₁₀ = 10 * (5 + (5 + 27)) / 2S₁₀ = 10 * (5 + 32) / 2S₁₀ = 10 * 37 / 2S₁₀ = 185所以，等差数列5，8，11，14，17的前10项和为185。

五、总结通过本文的介绍，我们了解了等差数列的求和公式以及推导过程。

等差数列求和公式及答题技巧1、等差数列基本公式：末项=首项+（项数-1）*公差项数=（末项-首项）÷公差+1首项=末项-（项数-1）*公差和=（首项+末项）*项数÷2末项：最后一位数首项：第一位数项数：一共有几位数和：求一共数的总和。

2、Sn=na(n+1)/2n为奇数sn=n/2(An/2+An/2+1)n为偶数3.如果等差数列中有奇数项，其和等于中项乘以项数；如果有偶数项，其和等于中间两项之和乘以项数的一半，即为项之和。

4、公差为d的等差数列｛an｝，当n为奇数是时，等差中项为一项，即等差中项等于首尾两项和的二分之一，也等于总和Sn除以项数n。

将求和公式代入即可。

当n为偶数时，等差中项为中间两项，这两项的和等于首尾两项和，也等于二倍的总和除以项数n。

等差数列求和解题技巧一.用倒序相加法求数列的前n项和如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的`和，这一求和方法称为倒序相加法。

我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。

例题1：设等差数列{an}，公差为d，求证：{an}的前n项和Sn=n(a1+an)/2解：Sn=a1+a2+a3+...+an①倒序得：Sn=an+an-1+an-2+…+a1 ②①+②得：2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1∴2Sn=n(a2+an) Sn=n(a1+an)/2二.用公式法求数列的前n项和对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。

运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。

小学奥数等差数列公式公式1：求和公式：等差数列求和=（首项+末项）×项数÷2，即：Sn=(a1+an)×n÷2；公式2：通项公式：第n项=首项+（n-1）×公差，即：an=a1+(n-1)×d；公式3：项数公式：项数=（末项-首项）÷公差+1，即n=(an-a1)÷d+1。

上述三个公式必须掌握此外，还有一个中项定理，也掌握：中项定理：对于作意一个项数为奇数的等差数列来说，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。

例1：建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？解：如果我们把每层砖的块数依次记下来，2，6，10，14，…容易知道，这是一个等差数列.方法1：a1=2，d=4，利用公式求出an=2106，则：n=（an-a1）÷d+1=527这堆砖共有则中间一项为a264=a1+（264-1）×4=1054.方法2：（a1+an）×n÷2=（2+2106）×527÷2=555458（块）.则中间一项为（a1+an）÷2=1054a1=2，d=4，an=2106，这堆砖共有1054×527=555458（块）.此题利用中项定理和等差数列公式均可解！例2：求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差.解：根据题意可列出算式：（2+4+6+8+...+2000）-（1+3+5+ (1999)解法1：能够看出，2，4，6，…，2000是一个公差为2的等差数列，1，3，5，…，1999也是一个公差为2的等差数列，且项数均为1000，所以：原式=（2+2000)×1000÷2-（1+1999）×1000÷2=1000.解法2：注意到这两个等差数列的项数相等，公差相等，且对应项差1，所以1000项就差了1000个1，即原式=1000×1=1000.例3：100个连续自然数（按从小到大的顺序排列）的和是8450，取出其中第1个，第3个…第99个，再把剩下的50个数相加，得多少？解：方法1：要求和，我们能够先把这50个数算出来.100个连续自然数构成等差数列，且和为8450，则：由题可知：（首项+末项）×100÷2=8450，求出：（首项+末项）=169。

等差数列的求和公式与性质等差数列是数学中的重要概念之一，它在各个领域都有广泛的应用。

等差数列的求和公式是一种重要的工具，用于求解等差数列的各项和。

本文将介绍等差数列的求和公式及其性质，帮助读者更好地理解和应用等差数列。

一、等差数列的定义和性质等差数列是指具有相同公差的数列，其中公差是指数列中相邻两项的差值。

一般来说，等差数列可以用以下形式表示：an = a1 + (n-1)d其中，an表示等差数列中的第n项，a1表示第一项，d表示公差。

根据等差数列的定义，我们可以总结出等差数列的性质：1. 每一项与它的前一项之差都等于公差d。

2. 每一项与它的后一项之差也等于公差d。

3. 第n项与第m项之差等于(m-n)d。

这些性质对于理解等差数列的求和公式有很大的帮助，下面将进一步介绍等差数列的求和公式及其推导过程。

二、等差数列的求和公式等差数列的求和公式是一种通过已知数列的首项、末项和项数来求解数列和的公式。

下面将介绍两种求和公式：算术平均数法和通项公式法。

1. 算术平均数法算术平均数法是一种通过求出数列的项数及其平均值来计算数列和的方法。

假设等差数列的首项为a1，末项为an，项数为n，公差为d，则数列的平均值为：平均值 = (a1 + an) / 2根据等差数列的性质，我们知道每一项与平均值的差值等于公差d。

所以，数列的和可以通过平均值乘以项数来求解：数列和 = 平均值 ×项数 = (a1 + an) / 2 × n2. 通项公式法通过等差数列的通项公式也可以求解数列的和。

等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d。

根据等差数列的性质，我们知道第n项与第一项之间有(n-1)个公差d。

假设等差数列的首项为a1，末项为an，项数为n，公差为d，则数列的和可以分解为n个等差数列的和：数列和 = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + ... + (a1 + (n-1)d)通过将每一项与首项的差值相加，得到数列和的通项公式：数列和 = n / 2 * (a1 + an)三、等差数列求和公式的应用等差数列的求和公式在实际问题中有许多应用，下面将介绍两个常见的应用。