2015年北京市海淀区中考数学二模试卷-含详细解析

海淀区九年级第二学期期末练习数学1.6 的绝对值是（）A.6B. 61D.1C.662. 以下运算正确的选项是（）A. a a 2a 2B. a 2 a 3a 6 C. a 3 a 3 D. ( a) 3 a 33. 如图， RtABC 中， ACB90 ，过点 C 的直线 DF 与BAC 的均分线 AE 平行，若 B 50，则 BCF （）A.100B.80 C. 70 D. 50D CFEAB4. 已知关于 x 的一元二次方程 x 2x1 m 1 0 有实数根，则 m 的取值范围是（）4A. m 2B. m 5C. m 2D. m 55. 在 6 张完整同样的卡片上分别画有线段、等边三角形、直角梯形、正方形、正五边形和圆各一个图形。

从这 6 张卡片随机地抽取一张卡片， 则这张卡片上的图形是中心对称图形的概率是（）11 C.1 2A.B.D.36 326. 两个半径不等的圆相切，圆心距为 6cm ，且大圆半径是小圆半径的2 倍，则小圆的半径为（）A. 3B. 4C.2或4 D. 2 或 67. 农科所连续四年在两块环境同样的实验田里种植甲、 乙两种不一样品种的小麦。

亩产量（单位：公斤）统计以下表。

设甲、乙品种四年亩产量的均匀数挨次为x 甲 ， x 乙 ，四年亩产量的方差挨次为 S 2 甲，S 2 乙 ，则以下关系中完整正确的选项是（）品种 年份20072008 2009 201022甲454457462459，甲乙S 甲S 乙A. x x乙454459465458B. x甲x乙， S2甲S2乙C. x甲x乙， S2甲S2乙D. x甲x乙， S2甲S2乙8. 一个不透明的小方体的的 6 个面上分别写有数学1， 2， 3， 4，5， 6，任意两对面上所写的两个数字之和为7。

将这样的几个小方体依据相接触的两个面上的数字之和为8 摆放成一个几何体，这个几何体的三视图如右图所示，已知图中所注明的是部分面上所见的数字，则★所代表的数是（）A.1B.2C.3D.49.一个正 n 边形的每个内角都是108 ，则n_______.10.将抛物线 y x2向左平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位后，所得抛物线的分析式为___________.11.如图，在扇形 OAB 中，AOB 90 ，C 为 OA 的中点，点 D 在AB上，且CD OB ，则ABD ______.ACDO B 12. 某种数字化的信息传输中，先将信息转变为数学0 和1 构成的数字串，并对数字串进行了加密后再传输。

1海 淀 区 九 年 级 第 二 学 期 期 末 练 习数 学2016.6 学校 班级___________ 姓名 成绩 考生须知 1．本试卷共 8 页，共三道大题，29道小题，满分120分，考试时间120分钟。

2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。

3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4．在答题卡上，选择题、画图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5．考试结束，将本试卷、答题卡一并交回。

一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．2022年冬奥会由北京和张家口两市联合承办．北京到张家口的自驾距离约为196 000米．196 000用科学记数法表示应为A ．1.96×105B ．19.6×104C ．1.96×106D ．0.196×1062．中华文化底蕴深厚，地方文化活动丰富多彩.下面的四幅简笔画是从我国地方文化活动中抽象出来的，其中是轴对称图形的是A ．B ．C ．D ．3．下列计算正确的是A ．632a a a =⋅B ．842a a a ÷=C ．623)(a a = D ．a a a 632=+ 4．如图，边长相等的正方形、正六边形的一边重合， 则1∠的度数为A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°5．如图，数轴上有M ，N ，P ，Q 四个点，其中点 P 所表示的数为a ，则数3a -所对应的点可能是 A ．M B ．N C ．P D ．QNMQP6．在一次中学生趣味数学竞赛中，参加比赛的10名学生的成绩如下表所示：分数 80 85 90 95 人数1432这10名学生所得分数的平均数是A ．86B ．88C ．90D ．927．如图，A ，B ，C ，D 为⊙O 上的点， AB OC ⊥于点E ，若=30CDB ∠︒，2OA =，则AB 的长为A ．3B ．23C ．2D ．48．某通信公司自2016年2月1日起实行新的4G 飞享套餐，部分套餐资费标准如下：套餐 类型 月费（元/月） 套餐内包含内容套餐外资费国内数据流量（MB ） 国内主叫（分钟） 国内流量 国内主叫套餐1 18 100 0 0.29 元/MB0.19 元/分钟套餐2 28 100 50 套餐3 38 300 50套餐44850050小明每月大约使用国内数据流量200MB ，国内主叫200分钟，若想使每月付费最少，则 他应预定的套餐是A ．套餐1B ．套餐2C ．套餐3D ．套餐49．随着“互联网+”时代的到来，一种新型的打车方式受到 大众欢迎．该打车方式采用阶梯收费标准．打车费用y （单 位：元）与行驶里程x （单位：千米）的函数关系如图所 示． 如果小明某次打车行驶里程为20千米，则他的打车 费用为A ．32元B ．34元C ．36元D ．40元E BCOAD10．如图1，抛物线2y x bx c =-++的顶点为P ，与x 轴交于A ，B 两点．若A ，B 两点间的距离为m ， n 是m 的函数，且表示n 与m 的函数关系的图象大致如图2所示，则n 可能为A ．PA AB +B ．PA AB -C ．AB PA D ．PAAB二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．当分式221x x -+的值为0时，x 的值为 ． 12．分解因式：2312x -=______ _________．13．据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度. 如图所示，木杆EF 的长为2m ，它的影长FD 为3m ，测得OA 为201m ，则金字塔的高度BO 为______ _ m ．14．请写出一个图象过（2，3）和（3，2）两点的函数解析式______ ____． 15．在某次试验数据整理过程中，某个事件发生的频率情况如下表所示．试验次数 10 50 100 200 500 1000 2000 事件发生的频率0.2450.2480.2510.2530.2490.2520.251估计这个事件发生的概率是_________________(精确到0.01)，试举出一个随机事件的例子，使它发生的概率与上述事件发生的概率大致相同： ______ _____________________________________________________________________________．16.阅读下面材料：实际生活中，有时会遇到一些“不能接近的角”，如图中的P∠，我们可以采用下面的方法作一条直线平分P∠．如图，（1）作直线l与P∠的两边分别交于点A，B，分别作PAB∠和PBA∠的角平分线，两条角平分线相交于点M；（2）作直线k与P∠的两边分别交于点C，D，分别作PCD∠和PDC∠的角平分线，两条角平分线相交于点N；（3）作直线MN．所以，直线MN平分P∠.请回答：上面作图方法的依据是_________________ ___．三、解答题（本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：101()(32)124cos453----+-+︒．18．解不等式组8(1)517,106,2x xxx->-⎧⎪⎨--≤⎪⎩并将解集在数轴上表示出来．19．已知关于x 的方程2670x x k -++=有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）当k 为正整数时，求方程的根．20．已知：如图，在△ABC 中，∠ACB =90︒，点D 在BC 上，且BD =AC ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，过点B 作CB 的垂线，交DE 的延长线于点F ．求证：AB =DF ．21．为了提升阅读速度，某中学开设了“高效阅读”课．小静经过2个月的训练，发现自己现在每分钟阅读的字数比原来的2倍还多300字，现在读9100字的文章与原来读3500字的文章所用的时间相同．求小静现在每分钟阅读的字数.22．如图，在△ABC 中，∠ACB =90︒，CD 为AB 边上的中线，过点D 作DE BC ⊥于E ，过点C 作AB 的平行线与DE 的延长线交于点F ，连接BF ，AE ． （1）求证：四边形BDCF 为菱形；（2）若四边形BDCF 的面积为24，tan ∠EAC =23，求CF 的长.23．在平面直角坐标系xOy 中,直线1l ：12y x b =+与双曲线6y x =的一个交点为(,1)A m .（1）求m 和b 的值；（2）过(1,3)B 的直线交1l 于点D ，交y 轴于点E . 若2BD BE =，求点D 的坐标.24．如图，在△ABC中，∠C=90°，点E在AB上，以AE 为直径的⊙O切BC于点D，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若⊙O的半径为5，sin∠DAC =55，求BD的长.EODBAC25．据报道，2015年我国每千名儿童所拥有的儿科医生数为0.43（将0～14岁的人群定义为儿童），远低于世界主要发达国家，儿科医生存在较大缺口．根据2000-2015年报道的相关数据，绘制统计图表如下：全国人口、儿童人口、儿科医生及每千名儿童拥有的儿科医生数统计表年份全国人口（亿人）儿童人口（亿人）儿科医生（万人）每千名儿童拥有的儿科医生数2000 12.67 2.9 9.57 0.332005 13.06 2.65 10.07 0.382010 13.4 2.22 10.43 0.472015 13.7 2.26 9.72 0.432015年全国人口年龄构成统计图根据以上信息解答下列问题：（1）直接写出扇形统计图中m的值；（2）根据统计表估计2020年我国人口数约为亿人；（3）若2020年我国儿童占总人口的百分比与2015年相同，请你估算到2020年我国儿科医生需比2015年增加多少万人，才能使每千名儿童拥有的儿科医生数达到0.6.26. 小明在做数学练习时，遇到下面的题目：小明的计算结果与参考答案不同，因此他对参考答案产生了质疑．下面是他的分析、 探究过程，请你补充完整．第一步，读题，并标记题目条件如下：在△ABC 中，D 为AC 边上一点，①AB=AC ；②DBA A ∠=∠；③BD=BC ；④CD =2； ⑤△BDC 的周长为14．第二步，依据条件③、④、⑤，可以求得BD BC ==__________； 第三步，作出△BCD ，如图2所示；第四步，依据条件①，在图2中作出△ABC ；（尺规作图，保留作图痕迹）BDC图2第五步，对所作图形进行观察、测量，发现与标记的条件_____不符（填序号），去 掉这个条件，题目中其他部分保持不变，求得AB 的长为__________.题目：如图1，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，AB=AC ， DBA A ∠=∠，BD=BC .若CD =2，△BDC 的周长为14， 求AB 的长. 参考答案：AB =8.老师：“质疑是开启创新之门 的钥匙！”小明：“该题目的已知条件存在自相矛盾的地方.若去掉矛盾的条件后，便可求出AB 的长.”27.已知：点(,)P m n 为抛物线24y ax ax b =-+（0a ≠）上一动点．（1） 1P （1，1n ），2P （3，2n ）为P 点运动所经过的两个位置，判断1n ，2n 的大小，并说明理由；（2） 当14m ≤≤时，n 的取值范围是14n ≤≤，求抛物线的解析式.28. 已知：AB BC =，90ABC ∠=︒.将线段AB 绕点A 逆时针旋转α（090α︒<<︒）得 到线段AD .点C 关于直线BD 的对称点为E ，连接AE ，CE . （1）如图， ①补全图形；②求AEC ∠的度数；（2）若2AE =，31CE =-，请写出求α度数的思路.（可以不写出计算结果．．．．．．．．．）CDBA29. 对于某一函数给出如下定义：若存在实数p ，当其自变量的值为p 时，其函数值等于p ，则称p 为这个函数的不变值. 在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值 之差q 称为这个函数的不变长度.特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q 为 零.例如，下图中的函数有0，1两个不变值，其不变长度q 等于1.（1）分别判断函数1y x =-，1y x=，2y x =有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度；（2）函数22y x bx =-.①若其不变长度为零，求b 的值；②若13b ≤≤，求其不变长度q 的取值范围；（3） 记函数22()y x x x m =-≥的图象为1G ，将1G 沿x=m 翻折后得到的函数图象记为2G .函数G 的图象由 1G 和2G 两部分组成，若其不变长度q 满足03q ≤≤，则m 的取值范围为 .海淀区九年级第二学期期末练习数学试卷参考答案一、选择题（本题共30分，每小题3分） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案 ACCCABBCBC二、填空题（本题共18分，每小题3分） 题 号 11 1213 答 案 23(2)(2)x x +-134题 号141516答 案6y x=（本题答案不唯一） 0.25，从一副去掉大小王的扑克牌中抽出一张牌，牌的花色是红桃．三角形的三条角平分线交于一点；两点确定一条直线．三、解答题（本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17．解：原式231+21+42=---⨯……………………4分 325=-．………………………5分18．解：原不等式组为8(1)5171062x x x x ->-⎧⎪⎨--≤⎪⎩，①，② 解不等式①，得 3x ＞-． ………………………2分 解不等式②，得 2≤x ． ………………………3分∴ 原不等式组的解集为32x -≤＜．………………………4分 不等式组的解集在数轴上表示如下：………………………5分19． 解：（1）∵ 原方程有两个不相等的实数根，∴ 0Δ＞．即 364(7)0k -+>．∴ 2k <．.………………………2分 （2）∵2k <且k 为正整数，∴1=k ．.………………………3分 ∴0862=+-x x ．∴1224x x ==，．.………………………5分20．证明：∵ AB DE BC BF ⊥⊥,，90ACB ∠=︒， ∴90DBF BEF ACB ∠=∠=∠=︒．∴ ︒=∠+∠︒=∠+∠9029021F ，． ∴ F ∠=∠1．.………………………2分 在中和△△DFB ABC ，1F ACB DBF AC BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴ ABC △≌DFB △.………………………4分 ∴DF AB =．.………………………5分21．解：设小静原来每分钟阅读x 个字．…………1分由题意，得300291003500+=x x . ………………………3分 解得 500=x . ………………………4分 经检验，500=x 是原方程的解，且符合题意. ∴130030050023002=+⨯=+x ．答：小静现在每分钟阅读1300个字. ………………………5分22．（1）证明：∵ 90ACB ∠=︒，EFD CAB12∴AC BC ⊥． ∵DE BC ⊥， ∴AC ∥DE ． 又∵ CF ∥AD ，∴ 四边形ACFD 为平行四边形. …………1分 ∴CF AD =.∵ CD AB 为边上的中线， ∴BD AD =. ∴CF BD =.∴四边形BDCF 为平行四边形. ∵ BC DE ⊥，∴四边形BDCF 为菱形. ………………………3分 （2）解：在Rt ACE △中，∵ 2tan 3EC EAC AC ∠==， ∴设 2,3CE x AC DF x ===. ∵菱形BDCF 的面积为24， ∴1242DF BC ⋅=．………………………4分 ∴ 24DF EC ⋅=． ∴ 3224x x ⋅=．∴ 12x =，22x =-（舍）. ∴4CE =，12EF =3DF =. ∴5CF =. ………………………5分23. 解：（1）∵点)1,(m A 在双曲线xy 6=上， ∴6=m ． ………………………1分 ∵点)1,6(A 在直线b x y +=21上， ∴2-=b ． ………………………2分EFDACB（2）当点B 在线段DE 上时，如图1，过点D 作DP ⊥y 轴于P ，过点B 作BQ ⊥y 轴于Q ．可得EQB △∽EPD △． ∵BE BD 2=， ∴13BQ BE DP DE ==． ∵1BQ =， ∴3DP =． ∵点D 在直线1l 上，∴)213(-，的坐标为点D ．………………4分 当点B 在线段DE 的延长线上时，如图2， 同理，由BE BD 2=，可得点D 的坐标为5(1)2--，．综上所述，点D 的坐标为)213(-，或5(1)2--，．…………… 5分24. （1）证明：连接OD ．………………………1分∵⊙O 切BC 于点D ， 90C ∠=︒， ∴90ODB C ∠=∠=︒． ∴OD ∥AC ． ∴DAC ODA ∠=∠． ∵OD OA =， ∴OAD ODA ∠=∠． ∴DAC OAD ∠=∠．∴AD 平分BAC ∠．………………………2分EODBAC图1图2（2）解：连接DE ． ∵AE 为直径， ∴︒=∠90ADE ．∵OAD DAC ∠=∠，sin 55DAC ∠=， ∴sin 55OAD ∠=． ∵5OA =， ∴10AE =．∴45AD =．………………………3分 ∴4CD =，8AC =． ∵OD ∥AC ，∴BOD BAC △∽△．………………………4分∴OD BDAC BC =． 即584BD BD =+． ∴203BD =．………………………5分25.（1）m 16.5=；………………………2分（2）14；（估值在合理范围内即可） ………………………3分 （3）14000016.5%0.69.721000⨯⨯- 4.14=.答：2020年我国儿科医生需比2015年增加4.14万人，才能使每千名儿童拥有的儿科医 生数达到0.6. ………………………5分26. 第二步：6BD BC ==；………………………1分 第四步：如图，△ABC 即为所求． ………………3分 第五步： ② ，18．………………5分27. 解：（1）12n n =． ……………… 1 分理由如下：由题意可得抛物线的对称轴为2x =．∵1P (1，1n )，2P （3，2n ）在抛物线24y ax ax b =-+上， ∴12n n =．………………3分 （2）当0a >时，抛物线的顶点为（2，1），且过点（4，4）， ∴抛物线的解析式为23344y x x =-+．………………5分 当0a <时，抛物线的顶点为（2，4），且过点（4，1），∴抛物线的解析式为23314y x x =-++． 综上所述，抛物线的解析式为23344y x x =-+或23314y x x =-++．…………7 分28. 解：（1）①补全图形，如图1所示．…………1分②连接BE .∵AB BC =，,E C 关于直线BD 对称， ∴AB BC BE ==．………………………2分 ∴C BEC ∠=∠， BAE BEA ∠=∠．∵90ABC ∠=︒，∴270BAE AEC C ∠+∠+∠=︒．∴135AEC ∠=︒．.………………………4分 （2）求解思路如下：a ．连接AC ，过点A 作AF ⊥CE ，交CE 延长线于点F ，如图2所示；b ．由（1）可求︒=∠135AEC ，由2AE =可求1AF EF ==；c ．由31CE =-，可求2AC =，2AB BC ==，可证△ABE 为等边三角形；d ．由C ，E 两点关于直线BD 对称，AB AD =，可求15EBD ∠=︒，75ABD ∠=︒，30α=︒. ……………………7分29．解：（1）函数1y x =-没有不变值； ………………1分函数1y x=有1-和1两个不变值，其不变长度为2；………………2分 函数2y x =有0和1两个不变值，其不变长度为1；………………3分 （2）①∵函数22y x bx =-的不变长度为零， ∴方程22x bx x -=有两个相等的实数根. ∴1b =-. ………………4分②解方程22x bx x -=，得10x =，212b x +=.………………5分 ∵13b ≤≤， ∴212x ≤≤.∴函数22y x bx =-的不变长度q 的取值范围为12q ≤≤. ………………6分 （3）m 的取值范围为13m ≤≤或18m <-. ………………8分。

x 的个x 的图()（1） 当k ＝1时，使得原等式成立的x 的个数为 _______； （2） 当0＜k ＜1时，使得原等式成立的x 的个数为_______； （3） 当k ＞1时，使得原等式成立的x 的个数为 _______． 参考小明思考问题的方法，解决问题：关于x 的不等式240 ()x a a x+-<＞0只有一个整数解，求a 的取值范围． 26．（西城）（1）小明遇到下面一道题：如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90º，∠ACB =30º，BE ⊥AC 于点E ，且=CDE ACB∠∠．如果AB=1，求CD 边的长．小明在解题过程中发现，图1中，△CDE 与△ 相似，CD 的长度等于，线段CD 与线段 的长度相等；他进一步思考：如果ACB α∠=（α是锐角），其他条件不变，那么CD 的长度可以表示为CD = ；（用含α的式子表示）（2）受以上解答过程的启发，小明设计了如下的画图题：在Rt △OMN 中，∠MON =90º，OM ＜ON ，OQ ⊥MN 于点Q ，直线l 经过点M ，且l ∥ON ．请在直线l 上找出点P 的位置，使得NPQ ONM ∠=∠．请写出画图步骤，并在答题卡上完成相应的画图过程．（画一个即可，保留痕迹，不必证明）如图1，若点P 是⊙O 外的一点，线段PO 交⊙O 于点A,则PA 长是点P 与⊙O 上各点之间的最短距离.图1 图2 证明：延长PO 交⊙O 于点B ，显然PB>PA .如图2，在⊙O 上任取一点C （与点A ，B 不重合），连结PC ，OC .,,,,PO PC OC PO PA OA OA OC PA PC <+=+=∴<且∴PA 长是点P 与⊙O 上各点之间的最短距离.由此可以得到真命题：圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差. 请用上述真命题解决下列问题．(1)如图3，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =2，以BC 为直径的半圆交AB 于D ，P 是上的一个动点，连接AP ，则AP 长的最小值是．图3(2)如图4，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A =60°，M 是AD 边的中点，点N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△MN A '，连接C A ',①求线段A ’M 的长度; ②求线段C A '长的最小值.图4在△ABC 中，AB ，BC ，AC小军同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC （即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需要求出△ABC 的高，借用网格就能计算出它的面积．CBA图1 图2 （1）请你直接写出△ABC 的面积________； 26．（石景山）阅读下面材料：小玲遇到这样一个问题：如图1，在等腰三角形ABC 中，AC AB =，︒=∠45BAC ，22=BC ，BC AD ⊥于点D ，求AD 的长．图3小玲发现：分别以AB ，AC 为对称轴，分别作出△ABD ，△ACD 的轴对称图形，点D 的对称点分别为E ，F ，延长EB ，FC 交于点G ，得到正方形AEGF，根据勾股定理和正方形的性质就能求出AD 的长．（如图2）请回答：BG 的长为，AD 的长为； 参考小玲思考问题的方法，解决问题：如图3，在平面直角坐标系xOy 中，点()0,3A ，()4,0B ，点P 是△OAB 的外角的角平分线AP和BP 的交点，求点P 的坐标．E FB图1 图226．（朝阳）阅读下面材料：小凯遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ， AC =4，BD =6，∠AOB =30°，求四边形ABCD 的面积．小凯发现，分别过点A 、C 作直线BD 的垂线，垂足分别为点E 、F ，设AO 为m ，通过计算△ABD 与△BCD 的面积和使问题得到解决（如图2）．请回答：（1）△ABD 的面积为 （用含m 的式子表示）． （2）求四边形ABCD 的面积．参考小凯思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于 点O ，AC =a ，BD =b ，∠AOB =α（0°＜α＜90°），则四边形ABCD 的面积为 （用含a 、b 、α的式子表示）．26.【阅读学习】 刘老师提出这样一个问题：已知α为锐角，且tan α=13，求sin2α的值．小娟是这样解决的：如图1，在⊙O 中，AB 是直径，点C 在⊙O 上，∠BAC =α，所以∠ACB =90°，tan α=BC AC =13． 易得∠BOC =2α．设BC =x ，则AC =3x ，则ABx ．作CD ⊥AB 于D ，求出CD = （用含x 的式子表示），可求得sin2α=CDOC= ． 【问题解决】已知，如图2，点M 、N 、P 为圆O 上的三点，且∠P =β，tan β =12，求sin2β的值.图1图2图1图2图326．（顺义） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 各边都平行于坐标轴，且A （-2，2），C （3，-2）．对矩形ABCD 及其内部的点进行如下操作：把每个点的横坐标乘以a ，纵坐标乘以b ，将得到的点再向右平移k （0k >）个单位，得到矩形''''A B C D 及其内部的点（''''A B C D 分别与ABCD 对应）．E （2，1）经过上述操作后的对应点记为'E ．（1）若a =2，b =-3，k =2，则点D 的坐标为 ，点'D 的坐标为 ； （2）若'A （1，4），'C （6，-4），求点'E 的坐标．26．（门头沟）阅读下面的材料：小明遇到一个问题：如图1，在□ABCD 中，点E 是边BC 的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G . 如果3AF EF =，求CDCG的值． 他的做法是：过点E 作EH ∥AB 交BG 于点H ，那么可以得到△BAF ∽△HEF ． 请回答：（1）AB 和EH 之间的数量关系是 ，CG 和EH 之间的数量关系是 ，CDCG的值为 ． （2）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图2，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，点E 是BC 延长线上一点，AE 和BD 相交于点F ．如果2ABCD=，23BC BE =，求AFEF的值． HG F ECDBAFECB A D图1 图226.（房山）在平面内，将一个图形G 以任意点O 为旋转中心，逆时针．．．旋转一个角度θ，得到图形'G ，再以O 为中心将图形'G 放大或缩小得到图形''G ，使图形''G与图形G 对应线段的比为k ，并且图形G 上的任一点P ，它的对应点''P 在线段'OP 或其延长线上；我们把这种图形变换叫做旋转相似变换，记为()O θ,k ，其中点O 叫做旋转相似中心，θ叫做旋转角，k 叫做相似比. 如图1中的线段''OA 便是由线段OA 经过()302︒O ,得到的.（1）如图2，将△A B C 经过☆ ()901,︒后得到△'''A B C ，则横线上“☆”应填下列 四个点()00O ，、()01D ，、()0E ，-1、()12C ，中的点 .（2）如图3，△ADE 是△ABC 经过()A θ,k 得到的，90︒=EAB ∠，12cos EAC =∠ 则这个图形变换可以表示为(),A .图3O26．（平谷）如图1，在□ABCD 中，点E 是BC 边上的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G ，若AB =6，3AF EF =，求DG 的长．小米的发现，过点E 作EH AB ∥交BG 于点H （如图2），经过推理和计算能够使问题得到解决．则DG = .如图3，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是射线DM 上的一点，连接BE 和AC 相交于点F ，若BC aAD =，CD bCE =，求BFEF的值（用含,a b26．（通州）如图①，P 为△ABC 内一点，连接P A 、PB 、PC，在△P AB 、△PBC 和△P AC 中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称P 为△ABC 的自相似点．（1）如图②，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ACB ＞∠A ，CD 是AB 上的中线，过点B作BE ⊥CD ，垂足为E ，试说明E 是△ABC 的自相似点． （2）如图③，在△ABC 中，∠A ＜∠B ＜∠C ．①利用尺规作出△ABC 的自相似点P （不写出作法，保留作图痕迹）；②如果△ABC 的内心P 是该三角形的自相似点，请直接写出该三角形三个内角的度数．图1图2图3BBC ①②CBC③26. (本小题满分5分)解：（1）当k ＝1时，使得原等式成立的x （2）当0＜k ＜1（3）当k ＞1时，使得原等式成立的x 解决问题：将不等式240 (x a a x +-<研究函数2(0)y x a a =+>与函数4y x=∵函数4y x=的图象经过点A (1,4)，B 函数2y x =的图象经过点C (1,1)，D 若函数2(0)y x a a =+>经过点A (1,4)结合图象可知，当03a <<时，关于x 也就是当03a <<时，关于x 的不等式x26.解：（1）CAD ，BC . …………………………………………………………… 3分1tan α.……………………………………………………………………………4分 （2）方法1：如图8，以点N 为圆心，ON 为半径作圆，交直线l 于点1P ，2P ，则点 1P ，2P 为符合题意的点.……………………………………………… 5分 方法2：如图9，过点N 画NO 的垂线1m ，画NQ 的垂直平分线2m ，直线1m 与2m 交于点R ，以点R 为圆心，RN 为半径作圆，交直线l 于点1P ，2P ，则点1P ，2P 为符合题意的点. ……………………………………… 5分（2）如右图: …….4分△MNP 的面积是7. …….5分26．解：BG 的长为2，AD 的长为22+；…………………2分如图，过点P 分别作x PC ⊥轴于点C ，y PD ⊥轴于点D ，AB PE ⊥于点E …………………3分∵AP 和BP 是△OAB 的外角的角平分线 ∴CAP EAP ∠=∠，EBP DBP ∠=∠ ∴PD PE PC ==∴四边形OCPD 是正方形，AE AC =，BE BD =…………4分∴DO PD CP OC === ∵()0,3A ，()4,0B∴5=AB ∴12=++=+BO AB OA OD OC∴6==OD OC ,∴6==PD CP ∴()6,6P ……………………5分26. 解：（1）32m ；……………………………………………………………………………1分（2）由题意可知∠AEO =90°．∵ AO = m ，∠AOB =30°， ∴AE =12m ．∴S △ABD =m AE BD 2321=⋅． 同理，CF =1(4)2m -．∴S △BCD =m CF BD 23621-=⋅．…………………………………………………2分∴S 四边形ABCD = S △ABD ＋S △BCD 6=．……………………………………3分 解决问题：αsin 21⋅ab ．…………………………………5分 26．解：10103xCD =． ……………………………………………………… 1分 Sin2α=CD OC =53． ……………………………………… 2分 如图，连接NO ，并延长交⊙O 于Q ,连接MQ ，MO ，作NO MH ⊥于H ． 在⊙O 中，∠NMQ =90°． ∵ ∠Q=∠P =β，ＯＭ＝ＯＮ，∴ ∠MON=2∠Q=2β． ………………………………………… 3分∵ tan β=21，∴ 设MN =k ，则MQ =2k ，∴ NQ =k MQ MN 522=+．∴ OM=21NQ=k 25． ∵ MH NQ MQ MN S NMQ ⋅=⋅=∆2121， ∴ MH k k k ⋅=⋅52 ．∴ MH=k 552． ……………………………………………………… 4分 在MHO Rt ∆中，sin2β=sin ∠MON =5425552==kkOM MH ． ………………… 5分N26． 解：（1）D （3，2），'D （8，-6），..................................................................................2分（2）依题可列：21,3 6.a k a k -+=⎧⎨+=⎩则a =1，k =3，2b =4，b =2，.........................................................4分（a ，b ，k 求出一个给1分）∵点E （2，1），∴'E （5，2）．.....................................................................................................5分26．（本小题满分5分）解：（1）A B =3E H ，C G =2E H ，32.………………………………………………3分 （2）如图，过点E 作EH ∥AB 交BD 的延长线于点H .∴ EH ∥AB ∥CD ．∵ EH ∥CD ，∴ 23CD BC EH BE ==， ∴ CD =23EH ． 又∵ 2AB CD =，∴ AB =2CD =43EH ． ∵ EH ∥AB ，∴ △ABF ∽△EHF ． ∴4433AF AB EH EH EF EH ===．……………………………………5分 26.（1）E ………………2分（2）60,k︒ ...5分 26．答案：DG =2； (2)如图（画图正确，正确标出点E 、F ）………………………………………………………………3 过E 作EG ∥AD ，延长CA 交于点G∴△CAD ∽△CGE ． ∴AD CD GE CE=．∵CD bCE =， ∴AD b GE=．∴AD bEG =．…………………………4 ∵AD ∥BC ，∴BC ∥EG ．∴△GEF ∽△CBF ．∴BC BF EG EF=． ∵BC aAD =，∴BC abEG =．∴BF ab EF=………………………5 H FE C B AD26.解：⑴在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的中线，∴12CD AB=，∴CD=BD．∴∠BCE＝∠ABC．……………………………….(1分)∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，∴∠BEC＝∠ACB．……………………………….(2分)∴△BCE∽△ABC．∴E是△ABC的自相似点．………………………….(3分)⑵①作图略．（方法不唯一）……………………….(5分)②连接PB、PC．∵P为△ABC的内心，∴12PBC ABC∠=∠，12PCB ACB∠=∠．∵P为△ABC的自相似点，∴△BCP∽△ABC．∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC=2∠PBC =2∠A，∠ACB＝2∠BCP=4∠A．∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°．∴∠A+2∠A+4∠A＝180°．∴1807A∠=．∴该三角形三个内角的度数分别为1807、3607、7207．…………….(6分)。

海淀区九年级第二学期期末练习数学试卷参考答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）二、填空题（本题共18分，每小题3分）三、解答题（本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17．解：原式31+42=--⨯……………………4分5=．………………………5分18．解：原不等式组为8(1)5171062x x x x ->-⎧⎪⎨--≤⎪⎩，①，② 解不等式①，得 3x ＞-． ………………………2分 解不等式②，得 2≤x ． ………………………3分∴ 原不等式组的解集为32x -≤＜．………………………4分 不等式组的解集在数轴上表示如下：………………………5分19． 解：（1）∵ 原方程有两个不相等的实数根，∴ 0Δ＞．即 364(7)0k -+>．∴ 2k <．.………………………2分 （2）∵2k <且k 为正整数，∴1=k ．.………………………3分 ∴0862=+-x x ．∴1224x x ==，．.………………………5分20．证明：∵ AB DE BC BF ⊥⊥,，90ACB ∠=︒， ∴90DBF BEF ACB ∠=∠=∠=︒．∴ ︒=∠+∠︒=∠+∠9029021F ，． ∴ F ∠=∠1．.………………………2分 在中和△△DFB ABC ，1F ACB DBF AC BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴ ABC △≌DFB △.………………………4分 ∴DF AB =．.………………………5分21．解：设小静原来每分钟阅读x 个字．…………1分由题意，得300291003500+=x x . ………………………3分 解得 500=x . ………………………4分 经检验，500=x 是原方程的解，且符合题意. ∴130030050023002=+⨯=+x ．答：小静现在每分钟阅读1300个字. ………………………5分22．（1）证明：∵ 90ACB ∠=︒， ∴AC BC ⊥． ∵DE BC ⊥， ∴AC ∥DE ． 又∵ CF ∥AD ，∴ 四边形ACFD 为平行四边形. …………1分 ∴CF AD =.∵ CD AB 为边上的中线， ∴BD AD =. ∴CF BD =.∴四边形BDCF 为平行四边形. ∵ BC DE ⊥，∴四边形BDCF 为菱形. ………………………3分 （2）解：在Rt ACE △中，∵ 2tan 3EC EAC AC ∠==， ∴设 2,3CE x AC DF x ===. ∵菱形BDCF 的面积为24， ∴1242DF BC ⋅=．………………………4分 ∴ 24DF EC ⋅=． ∴ 3224x x ⋅=．∴ 12x =，22x =-（舍）. ∴4CE =，12EF =3DF =. ∴5CF =. ………………………5分23. 解：（1）∵点)1,(m A 在双曲线xy 6=上， ∴6=m ． ………………………1分F∵点)1,6(A 在直线b x y +=21上， ∴2-=b ． ………………………2分 （2）当点B 在线段DE 上时，如图1，过点D 作DP ⊥y 轴于P ，过点B 作BQ ⊥y 轴于Q ．可得EQB △∽EPD △． ∵BE BD 2=， ∴13BQ BE DP DE ==． ∵1BQ =， ∴3DP =． ∵点D 在直线1l 上，∴)213(-，的坐标为点D ．………………4分 当点B 在线段DE 的延长线上时，如图2， 同理，由BE BD 2=，可得点D 的坐标为5(1)2--，．综上所述，点D 的坐标为)213(-，或5(1)2--，．…………… 5分24. （1）证明：连接OD ．………………………1分∵⊙O 切BC 于点D ， 90C ∠=︒， ∴90ODB C ∠=∠=︒． ∴OD ∥AC ． ∴DAC ODA ∠=∠． ∵OD OA =， ∴OAD ODA ∠=∠． ∴DAC OAD ∠=∠．图1图2∴AD 平分BAC ∠．………………………2分（2）解：连接DE ． ∵AE 为直径， ∴︒=∠90ADE ．∵OAD DAC ∠=∠，sin DAC ∠=，∴sin OAD ∠=． ∵5OA =， ∴10AE =．∴AD =………………………3分 ∴4CD =，8AC =． ∵OD ∥AC ，∴BOD BAC △∽△．………………………4分∴OD BDAC BC =． 即584BD BD =+． ∴203BD =．………………………5分25.（1）m 16.5=；………………………2分（2）14；（估值在合理范围内即可） ………………………3分 （3）14000016.5%0.69.721000⨯⨯- 4.14=.答：2020年我国儿科医生需比2015年增加4.14万人，才能使每千名儿童拥有的儿科医 生数达到0.6. ………………………5分26. 第二步：6BD BC ==；………………………1分 第四步：如图，△ABC 即为所求． ………………3分 第五步： ② ，18．………………5分27. 解：（1）12n n =． ……………… 1 分理由如下：由题意可得抛物线的对称轴为2x =．∵1P (1，1n )，2P （3，2n ）在抛物线24y ax ax b =-+上， ∴12n n =．………………3分 （2）当0a >时，抛物线的顶点为（2，1），且过点（4，4）， ∴抛物线的解析式为23344y x x =-+．………………5分 当0a <时，抛物线的顶点为（2，4），且过点（4，1），∴抛物线的解析式为23314y x x =-++． 综上所述，抛物线的解析式为23344y x x =-+或23314y x x =-++．…………7 分28. 解：（1）①补全图形，如图1所示．…………1分②连接BE .∵AB BC =，,E C 关于直线BD 对称，∴AB BC BE ==．………………………2分 ∴C BEC ∠=∠， BAE BEA ∠=∠． ∵90ABC ∠=︒，∴270BAE AEC C ∠+∠+∠=︒．∴135AEC ∠=︒．.………………………4分 （2）求解思路如下：a ．连接AC ，过点A 作AF ⊥CE ，交CE 延长线于点F ，如图2所示；b ．由（1）可求︒=∠135AEC ，由AE =可求1AF EF ==；c ．由1CE =，可求2AC =，AB BC ==ABE 为等边三角形；d ．由C ，E 两点关于直线BD 对称，AB AD =，可求15EBD ∠=︒，75ABD ∠=︒，30α=︒. ……………………7分29．解：（1）函数1y x =-没有不变值； ………………1分函数1y x=有1-和1两个不变值，其不变长度为2；………………2分 函数2y x =有0和1两个不变值，其不变长度为1；………………3分 （2）①∵函数22y x bx =-的不变长度为零， ∴方程22x bx x -=有两个相等的实数根. ∴1b =-. ………………4分②解方程22x bx x -=，得10x =，212b x +=.………………5分 ∵13b ≤≤， ∴212x ≤≤.∴函数22y x bx =-的不变长度q 的取值范围为12q ≤≤. ………………6分（3）m 的取值范围为13m ≤≤或18m <-. ………………8分2016海淀一模一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1.“中华人民共和国全国人民代表大会”和“中国人民政治协商会议”于2016年3月3日在北京胜利召开．截止到2016年3月14日，在百度上搜索关键词“两会”，显示的搜索结果约为96 500 000条．将96 500 000用科学记数法表示应为A．96.5×107B．9.65×107 C．9.65×108 D．0.965×1092.如图是某个几何体的三视图，该几何体是A．长方体B．正方体C．圆柱D．三棱柱3.一个不透明的口袋中装有3个红球和12个黄球，这些球除了颜色外，无其他差别，从中随机摸出一个球，恰好是红球的概率为A．14B．34C．15D．454.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是A．B．C．D．5．如图，在 ABCD中，AB=3，BC=5，∠ABC的平分线交AD于点E，则DE的长为A．5 B．4 C．3 D．2 6．如图，等腰直角三角板的顶点A，C分别在直线a，b上．若a∥b，1=35∠︒，则2∠的度数为A．35︒B．15︒C．10︒D．5︒7．初三（8）班体委用划记法统计本班40名同学投掷实心D球的成绩，结果如下表所示：则这40名同学投掷实心球的成绩的众数和中位数分别是A．9，8 B．9，8.5 C．8，8 D．8，8.58．京津冀都市圈是指以北京、天津两座直辖市以及河北省的保定、廊坊、唐山、邯郸、邢台、秦皇岛、沧州、衡水、承德、张家口（，）表示图中承德的位置，和石家庄为中心的区域.若“数对”19043︒（，）表示图中保定的位置，则与图中张家口的位置对“数对”160238︒应的“数对”为（，）A．176145︒（，）B．17635︒（，）C．100145︒（，）D．10035︒9．油电混动汽车是一种节油、环保的新技术汽车．它将行驶过程中部分原本被浪费的能量回收储存于内置的蓄电池中.汽车在低速行驶时，使用蓄电池带动电动机驱动汽车，节约燃油.某品牌油电混动汽车与普通汽车的相关成本数据估算如下：某人计划购入一辆上述品牌的汽车.他估算了未来10年的用车成本，在只考虑车价和燃油成本的情况下，发现选择油电混动汽车的成本不高于选择普通汽车的成本.则他在估算时，预计平均每年行驶的公里数至少．．为A．5 000 B．10 000 C．15 000 D．20 000 10．小明在暗室做小孔成像实验.如图1，固定光源（线段MN）发出的光经过小孔（动点K）成像（线段M'N'）于足够长的固定挡板（直线l）上，其中MN// l. 已知点K匀速运动，其运动路径由AB，BC，CD，DA，AC，BD组成．记它的运动时间为x，M'N'的长度为y，若y关于x的函数图象大致如图2所示，则点K的运动路径可能为A．A→B→C→D→A B．B→C→D→A→BC．B→C→A→D→B D．D→A→B→C→D图1 图2二、填空题（本题共18分，每小题3分）11. 分解因式：a2b－2ab+b＝________________．12. 如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点C．若AB=8，OC=3，则⊙O的半径长为________．13.埃及《纸草书》中记载：“一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33．”设这个数是x，可列方程为．14．在下列函数①21y x=+；②22y x x=+；③3yx=；④3y x=-中，与众不同的一个是_____（填序号），你的理由是________ ．15.北京市2010~2015年高考报名人数统计如图所示．根据统计图中提供的信息，预估2016年北京市高考报名人数约为________万人，你的预估理由是____________．16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：老师说：“小云的作法正确．”请回答：小云的作图依据是________________________________________．三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：)2016tan3012π-⎛⎫--︒++⎪⎝⎭.18．解不等式组41)3(2),14,2x xxx-≤+⎧⎪⎨-<-⎪⎩（并写出它的所有整数解．．．.19．已知250x x +-=，求代数式2(1)(3)(2)(2)x x x x x ---++-的值．20．如图，在△ABC 中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，DE 为AC 边上的中线．求证：BAD EDC ∠=∠．21．目前，步行已成为人们最喜爱的健身方法之一，通过手机可以计算行走的步数与相应的能量消耗.对比手机数据发现小琼步行12 000步与小博步行9 000步消耗的能量相同.若每消耗1千卡能量小琼行走的步数比小博多10步，求小博每消耗1千卡能量需要行走多少步.22．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点B 作AC 的平行线交DC 的延长线于点E . （1）求证：BD=BE ；（2）若BE =10，CE =6，连接OE ，求tan ∠OED 的值.D ABC23．在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =-与双曲线ky x=（0k ≠）的一个交点为)P m . （1）求k 的值；（2）将直线y x =-向上平移b (b>0)个单位长度后，与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B ，与双曲线ky x=（0k ≠）的一个交点记为Q .若2BQ AB =，求b 的值.24．如图，AB ，AD 是⊙O 的弦，AO 平分BAD ∠.过点B 作⊙O 的切线交AO 的延长线于点C ，连接CD ，BO .延长BO 交⊙O 于点E ，交AD 于点F ，连接AE ，DE .（1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若3AE DE ==，求AF 的长.25．阅读下列材料：2015年中国内地电影市场票房总收入400亿元，动画电影成为了新崛起的热点，票房占比为11.25%．2014年，中国内地动画电影市场6部破亿，只有一部《熊出没》为国产动画电影，票房成绩为2.4亿元.而2015年中国内地动画电影市场共8部破亿，国产动画电影占3部，分别是《大圣归来》，《熊出没2》和《十万个冷笑话》．其中，《大圣归来》以9.55亿元票房夺冠，《熊出没2》比2014年第一部的票房又增长了20%，《十万个冷笑话》以1.2亿元票房成绩勉强破亿．另外5部来自海外动画电影，其中美国两部全球热映的动画电影《超能陆战队》和《小黄人大眼萌》在中国内地只拿下5.26亿元和4.36亿元票房，而同样来自美国的《精灵旅社2》收获1.2亿元票房，日本的《哆啦A梦之伴我同行》和法国的《小王子》分别获得5.3亿和1.58亿元票房收入．2015年中国内地动画电影市场中，国产动画电影共上映41部，其中票房在1000万元~5000万元、5000万元~1亿元的国产动画电影分别有12部和5部，票房金字塔结构分化更加明显，标志着中国国产动画电影市场的日趋成熟．根据以上材料解答下列问题：（1）2015（2）右图为2015年国产．．动画电影票房金字塔，则B= ；（3）选择统计表或．统计图将2015年中国内地动画电影市场票房收入前5名的票房成绩表示出来．26．有这样一个问题：探究函数(1)(2)(3)=---的图象与性质．y x x x小东对函数(1)(2)(3)=---的图象与性质进行了探究．y x x x下面是小东的探究过程，请补充完成：（1）函数(1)(2)(3)=---的自变量x的取值范围是全体实数；y x x x（2）下表是y与x的几组对应值．①m = ；②若M （7-，720-），N （n ，720）为该函数图象上的 两点，则n = ；（3）在平面直角坐标系xOy 中， A （,A A x y ），B （,B A x y -）为该函数图象上的两点，且A 为23x ≤≤范围内的最低点，A 点的位置如图所示．①标出点B 的位置；②画出函数(1)(2)(3)y x x x =---（04x ≤≤）的图象．27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线224y mx mx m =-+-（0m ≠）的顶点为A ，与 x 轴交于B ，C 两点（点B 在点C 左侧），与y 轴交于点D ． （1）求点A 的坐标； （2）若BC =4，①求抛物线的解析式；②将抛物线在C，D之间的部分记为图象G（包含C，D两点）．若过点A的直线+(0)=≠与图象G有两个交点，结合函数的图象，求k的y kx b k取值范围．28．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90︒，点D在射线BC上（与B、C两点不重合），以AD为边作正方形ADEF，使点E与点B在直线AD的异侧，射线BA与射线CF相交于点G．（1）若点D在线段BC上，如图1.①依题意补全图1；②判断BC与CG的数量关系与位置关系，并加以证明；（2）若点D在线段BC的延长线上，且G为CF中点，连接GE，AB 则GE的长为_______，并简述求GE长的思路．29．在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于⊙C 的限距点的定义如下：若P '为直线PC 与⊙C 的一个交点，满足2r PP r '≤≤，则称P '为点P 关于⊙C 的限距点，右图为点P 及其关于⊙C 的限距点P '的示意图．（1） 当⊙O 的半径为1时．① 分别判断点M (3,4)，N 5(,0)2，T (1 关于⊙O 的限距点是否存在？若存在，求其坐标；②点D 的坐标为（2,0），DE ，DF 分别切⊙O 于点E ，点F ，点P在△DEF 的边上.若点P 关于⊙O 的限距点P '存在，求点P '的横坐标的取值范围；（2） 保持（1）中D ，E ，F 三点不变，点P 在△DEF 的边上沿E →F →D →E 的方向运动，⊙C 的圆心C 的坐标为（1,0），半径为r .请从下面两个问题中任选一个作答.温馨提示：答对问题1得2分，答对问题2得1分，两题均答不重复计分.数学试卷参考答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）二、填空题（本题共18分，每小题3分）三、解答题（本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 19．解：原式=1-6×……………………4分=4-．………………………5分18.解：原不等式组为解不等式①，得x≤10．………………………2分解不等式②，得x＞7．………………………3分∴原不等式组的解集为7＜x≤10．………………………4分∴原不等式组的所有整数解为8，9，10． (5)分Array 19．解：原式=x2-2x+1-x2+3x+x2-4………………………3分=x2+x-3．………………………4分∵x2+x-5=0，∴x2+x=5．∴原式=5-3=2．.………………………5分20．证明：∵∠BAC=90o，∴∠BAD+∠DAC=90o．∵AD⊥BC，∴∠ADC=90o．∴∠DAC+∠C=90o．∴∠BAD=∠C ．………………………2分∵DE为AC边上的中线，∴DE=EC．∴∠EDC=∠C ．.………………………4分∴∠BAD=∠EDC．………………………5分21.解：设小博每消耗1千卡能量需要行走x步．………………………1分由题意，得. ………………………3分解得x=30 . ………………………4分经检验，x=30是原方程的解，且符合题意.答：小博每消耗1千卡能量需要步行30步. ………………………5分22．(1) 证明：∵ 四边形ABCD 为矩形，∴ AC=BD ，AB ∥DC. ∵ AC ∥BE ，∴ 四边形ABEC 为平行四边形. ………………………2分 ∴ AC=BE.∴ BD=BE. ………………………3分 (2) 解：过点O 作OF ⊥CD 于点F .∵ 四边形为矩形， ∴ 90BCD ∠=︒. ∵ 10BE BD ==， ∴ 6CD CE ==.同理，可得132CF DF CD ===.∴9EF =. ………………………4分 在Rt △BCE 中，由勾股定理可得8BC =. ∵ OB=OD ，∴ OF 为△BCD 的中位线. ∴ 142OF BC ==. ∴在Rt △OEF 中，4tan 9OF OED EF ∠==. ………………………5分23. 解：（1）∵P()在直线y= -x 上,∴m=-． ………………………1分∵P()在双曲线y=上，∴k=． ………………………2分A图1 图2(2) ∵y= -x 向上平移b (b ＞0)个单位长度后，与x 轴，y 轴分别交于A ，B ，∴A （b ，0）B （0，b ）． ………………………3分作QH ⊥x 轴于H ，可得△HAQ ∽△OAB ．如图1，当点Q 在AB 的延长线上时，∵BQ=2AB ， ∴3===ABAQ OA HA OB HQ ． ∵OA OB b ==，∴，2HO b =.∴Q 的坐标为(-2b,3b)．由点Q 在双曲线6y x=-上， 可得1b =． ………………………4分 如图2，当点Q 在AB 的反向延长线上时，同理可得，Q 的坐标为(2b,-b)．由点Q 在双曲线6y x =-上，可得b=．综上所述，b=1或b=． ………………………5分24. (1) 证明：如图，连接OD ． ………………………1分∵BC 为⊙的切线，∴∠CBO=90o ．∵AO 平分BAD ∠，∴∠1=∠2．∵OA OB OD ==，∴1=4=2=5∠∠∠∠．∴∠BOC=∠DOC ．∴△BOC ≌△DOC ．∴90CBO CDO ∠=∠=︒．∴CD 为⊙O 的切线． ……………2分(2) ∵AE=DE,∴.∴∠3=∠4. ………………………3分∵124∠=∠=∠，∴∠1=∠2=∠3.∵BE 为⊙O 的直径,∴∠BAE=90o .∴∠1=∠2=∠3=∠4=30o .………………………4分∴∠AFE=90o ．在Rt △AFE 中，∵AE=3，︒=∠303，∴AF=. ………………………5分25. (1) 45；………………………2分(2) 21；………………………3分(3) 2.4×（1+20%）=2.88 ．2015年中国内地动画电影市场票房收入前5名的票房成绩统计表………………………5分或2015年中国内地动画电影市场票房收入前5名的票房成绩统计图………………………5分26. (2) ①m= -60；………………………1分②n=11；………………………2分(3)正确标出点B的位置，画出函数图象. …………………5分27. 解：（1）y=mx2-2mx+m-4=m(x2-2x+1)-4=m(x-1)2-4 .∴ 点A 的坐标为（1，-4）. ………………………2分（2）①由（1）得，抛物线的对称轴为x =1．∵ 抛物线与x 轴交于B ，C 两点（点B 在点C 左侧），BC =4，∴ 点B 的坐标为(-1，0) ，点C 的坐标为(3，0) ．………………………3分∴ m+2m+m-4=0．∴ m=1．∴ 抛物线的解析式为y=x 2-2x-3．……4分② 由①可得点D 的坐标为(0,-3) ．当直线过点A ，D 时，解得k=-1．………5分当直线过点A ，C 时，解得k=2． ………6分结合函数的图象可知，k 的取值范围为10k -≤<或02k <≤． (7)分28. 解:(1) ①补全图形，如图1所示． ………………………1分②BC 和CG 的数量关系：BC CG =，位置关系：BC CG ⊥．…………2分证明: 如图1．∵AB=AC ，∠BAC=90o∴∠B=∠ACB=45o , ∠1+∠2=90o ，．∵射线BA 、CF 的延长线相交于点G ，∴∠CAG=∠BAC=90o ．∵四边形ADEF 为正方形，∴∠DAF=∠2+∠3=90o ，AD=AF ．∴∠1=∠3．∴△ABD ≌△ACF ．…………………3分∴∠B=∠ACF=45o ．图1∴45B G ∠=∠=︒，90BCG ∠=︒．∴BC CG =，BC CG ⊥．…………………4分(2) GE=．…………………5分思路如下：a . 由G 为CF 中点画出图形，如图2所示．b . 与②同理，可得BD=CF ，BC CG =，BC CG ⊥；c . 由，G 为CF 中点，可得2====CD FG CG BC ；d . 过点A 作AM BD ⊥于M ，过点E 作EN FG ⊥于N ，可证△AMD ≌△FNE ，可得1AM FN ==，NE 为FG 的垂直平分线，FE EG =；e . 在Rt △AMD 中，1AM =，3MD =，可得AD =，即GE FE AD == ……7分29．解：（1）①点M ，点T 关于⊙的限距点不存在；点N 关于⊙的限距点存在，坐标为（1，0）． (2)分②∵点D 的坐标为(2，0)，⊙半径为1，DE ，DF 分别切⊙于点E ，点F ，∴切点坐标为1(2，1(2，.……………3分 如图所示，不妨设点E 的坐标为1(22，，点F 的坐标为1(22，，EO ，FO 的延长线分别交⊙O 于点'E ，'F ，则1'(2E -，，1'(2F -． 设点P 关于⊙O 的限距点的横坐标为x ．Ⅰ.当点P 在线段EF 上时，直线PO 与的交点'P 满足2'1≤≤PP ，故点P关于⊙O 的限距点存在，其横坐标x 满足-1≤x≤ -.………5分Ⅱ.当点P 在线段DE ，DF （不包括端点）上时，直线PO 与⊙O 的交点'P 满足1'0<<PP 或2'3PP <<，故点P 关于⊙的限距点不存在．Ⅲ.当点P 与点D 重合时，直线PO 与⊙O 的交点'(1,0)P 满足1'=PP ，故点P关于⊙的限距点存在，其横坐标=1．综上所述，点P 关于⊙O 的限距点的横坐标x 的范围为-1≤x≤ -或=1． ……………………6分（2）问题1： ．………………8分 问题2：0 < r < 16．………………7分。

2015年北京海淀中考二模数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．中国国家图书馆是亚洲最大的图书馆，截止到今年初馆藏图书达3119万册，其中古籍善本约有2000000册．2000000用科学记数法可以表示为（）． A ．70.210⨯ B ．6210⨯C ．52010⨯D ．6102⨯2．若二次根式2x -有意义，则x 的取值范围是（）．A ．0x ≤B ．0x ≥C ．2x ≤D ．2x ≥3．我国古代把一昼夜划分成十二个时段，每一个时段叫一个时辰，古时与今时的对应关系（部分）如下表所示．天文兴趣小组的小明等4位同学从今夜23:00至明晨7:00将进行接力观测，每人两小时，观测的先后顺序随机抽签确定，小明在子时观测的概率为（）．古时子时丑时寅时卯时今时 23:00～1:00 1:00～3:00 3:00～5:00 5:00～7:00A ．13B ．14C ．16D ．1124．如图，小明将几块六边形纸片分别减掉了一部分（虚线部分），得到了一个新多边形．若新多边形的内角和为540︒，则对应的是下列哪个图形（）．A． B ． C ． D ．5．如图，根据计算正方形ABCD 的面积，可以说明下列哪个等式成立（）． A ．()2222a b a ab b+=++ B ．()2222a b a ab b -=-+ C ．()()22a b a b a b +-=-D ．()2a a b a ab -=-6．甲和乙入选学校的定点投篮大赛，他们每天训练后投10个球测试，记录命中的个数，五天后将记录的数据绘制成折线统计图，如右图所示．则下列对甲、乙数据描述正确的是（）． A ．甲的方差比乙的方差小 B ．甲的方差比乙的方差大 C ．甲的平均数比乙的平均数小 D ．甲的平均数比乙的平均数大D CB A abab ab ba7．在学习“用直尺和圆规作一个角等于已知角”时，教科书介绍如下：对于“想一想”中的问题，下列回答正确的是（）．A ．根据“边边边”可知，C O D '''△≌COD △，所以A OB AOB '''∠=∠ B ．根据“边角边”可知，C OD '''△≌COD △，所以A O B AOB '''∠=∠ C ．根据“角边角”可知，C O D '''△≌COD △，所以A O B AOB '''∠=∠ D ．根据“角角边”可知，C O D '''△≌COD △，所以A O B AOB '''∠=∠8．小明家端午节聚会，需要12个粽子．小明发现某商场正好推出粽子“买10赠1”的促销活动，即顾客每买够10个粽子就送1个粽子．已知粽子单价是5元/个，按此促销方法，小明至少应付钱（）． A ．45元B ．50元C ．55元D ．60元9．如图，点A ，B 是棱长为1的正方体的两个顶点，将正方体按图中所示展开，则在展开图中A ，B 两点间的距离为（）． A ．2 B ．5 C ．22 D ．1010．如图所示，点Q 表示蜜蜂，它从点P 出发，按照着箭头所示的方向沿P A B P C D P →→→→→→的路径匀速飞行，此飞行路径是一个以直线l 为对称轴的轴对称图形，在直线l 上的点O 处（点O 与点P 不重合）利用仪器测量了POQ ∠的大小．设蜜蜂飞行时间为x ，POQ ∠的大小为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（）．A ．B ．C ．D ．D BACPQO二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．将函数223y x x =-+写成()2y a x h k =-+的形式为__________．12．点A ，B 是一个反比例函数图象上的两个不同点．已知点()2,5A ，写出一个满足条件的B 点的坐标是__________．13．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，100BCD ∠=︒，AC 平分BAD ∠，则BAC ∠的度数为__________．14．如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A 观测放置于B ，C 两处的标志物，数据显示点B 在点A 北偏东75︒方向20米处，点C 在点A 南偏东15︒方向20米处，则点B 与点C 的距离为__________米．15．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，30BAC ∠=︒，1BC =，以B 为圆心，BA 为半径画弧交CB 的延长线与点D ，则»AD 的长为__________．16．五子棋是一种两人对弈的棋类游戏，规则是：在正方形棋盘中，由黑方先行，白方后行，轮流弈子，下在棋盘横线与竖线的交叉点上，直到某一方首先在任一方向（横向、竖向或者是斜着的方向）上连成五子者为胜．如图，这一部分棋盘是两个五子棋爱好者的对弈图．观察棋盘，以点O 为原点，在棋盘上建立平面直角坐标系，将每个棋子看成一个点，若黑子A 的坐标为(7,5)，则白子B 的坐标为__________；为了不让白方获胜，此时黑方应该下在坐标为__________的位置处．BOCDA西东南北B CADACBAOB三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．计算：13128tan 45+()3--+-+︒-．18．解不等式2(1)13x x -+≤，并把它的解集在数轴上表示出来．19．如图，已知BAC BCA ∠=∠，90BAE BCD ∠=∠=︒，BE BD =．求证：E D ∠=∠．20．已知2410x x --=，求代数式314x x x---的值．D ACBE21．列方程或方程组解应用题：小明坚持长跑健身．他从家匀速跑步到学校，通常需30分钟．某周日，小李与同学相约早上八点学校见，他七点半从家跑步出发，平均每分钟比平时快了40米，结果七点五十五分就到达了学校，求小明家到学校的距离．22．已知关于x的方程24310x x a-+-=有两个实数根．（1）求实数a的取值范围；（2）若a为正整数，求方程的根．四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．已知，ABC△中，D是BC上的一点，且30DAC∠=︒，过点D作ED AD⊥交AC于点E，4AE=，2EC=．（1）求证：AD CD=；（2）若tan3B=，求线段AB的长．BEACD24．小明和小腾大学毕业后准备自主创业，开一个小店卖腊汁肉夹馍．为了使产品更好地适合大众口味，他们决定进行一次抽样调查．在某商场门口将自己制作的肉夹馍免费送给36人品尝，并请每个人填写了一份调查问卷，以调查这种肉夹馍的咸淡程度是否适中．调查问卷如下所示：经过调查，他们得到了如下36个数据：BCBADACDBCBCDCDCECCABEADECBCBCEDEDDC（1）小明用表格整理了上面的调查数据，写出表格中m和n的值；（2）小腾根据调查数据画出了条形统计图，请你补全这个统计图；（3）根据所调查的数据，你认为他们做的腊汁肉夹馍味道适中吗？__________．（填“适中”或者“不适中”）调查问卷年月你觉得这种肉夹馍的口味__________（单选）A．太咸B．稍咸C．适中D．稍淡E．太淡25．如图，Rt ABC △中，90A ∠=︒，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，点E 在⊙O 上，CE CA =，AB ，CE 的延长线交于点F ．（1）求证：CE 与⊙O 相切；（2）若⊙O 的半径为3，4EF =，求BD 的长．26．阅读下面材料：小明研究了这样一个问题：求使得等式20(0)kx x k +-=>成立的x 的个数．小明发现，先将该等式转化为2kx x +=，再通过研究函数2y kx =+的图象与函数y x =的图象（如图）的交点，使问题得到解决．请回答：（1）当1k =时，使得原等式成立的x 的个数为__________； （2）当01k <<时，使得原等式成立的x 的个数为__________； （3）当1k >时，使得原等式成立的x 的个数为__________． 参考小明思考问题的方法，解决问题：关于x 的不等式240x a x +-<（0a >）只有一个整数解，求a 的取值范围．DFB EAOCxyy = |x |()–5–4–3–2–112345–5–4–3–2–112345oxy()–5–4–3–2–112345–5–4–3–2–112345o五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线224y mx m m x -++=与y 轴交于点(0,3)A ，与x 轴交于点B ，C （点B 在点C 左侧）． （1）求该抛物线的表达式及点B ，C 的坐标；（2）抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，若直线y kx b =+经过点D 和点(1,2)E --，求直线DE 的表达式；（3）在（2）的条件下，已知点(,0)P t ，过点P 作垂直于x 轴的直线交抛物线于点M ，交直线DE 于点N ，若点M 和点N 中至少有一个点在x 轴下方，直接写出t 的取值范围．28．如图1，在ABC △中，AB AC =，ABC α∠=，D 是BC 边上一点，以AD 为边作ADE △，使A E A D =，180DAE BAC =∠+∠︒．（1）直接写出ADE ∠的度数（用含α的式子表示）；（2）以AB ，AE 为边作平行四边形ABFE ， ①如图2，若点F 恰好落在DE 上，求证：BD CD =； ②如图3，若点F 恰好落在BC 上，求证：BD CF =．图1图2图3xy()–5–4–3–2–112345–5–4–3–2–112345oECAB DFEBCADFEB CA D29．如图1，在平面直角坐标系xOy 内，已知点(1,0)A -，(1,1)B -，(1,0)C ，(1,1)D ，记线段AB 为1T ，线段CD 为2T ，点P 是坐标系内一点．给出如下定义：若存在过点P 的直线l 与1T ，2T 都有公共点，则称点P 是12T T -联络点．例如，点P 1(0,)2是12T T -联络点．（1）以下各点中，__________是12T T -联络点（填出所有正确的序号）；①(0,2)；②(4,2)-；③(3,2)．图1备用图（2）直接在图1中画出所有12T T -联络点所组成的区域，用阴影部分表示；（3）已知点M 在y 轴上，以M 为圆心，r 为半径画圆，⊙M 上只有一个点为12T T -联络点． ①若1r =，求点M 的纵坐标； ②求r 的取值范围．xy–4–3–2–11234–3–2–1123B AC D Oxy–4–3–2–11234–3–2–1123BAC D O2015年北京海淀中考二模数学试卷答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BDBCAAACBD二、填空题（本题共18分，每小题3分）题号 11121314 15 16 答案2(1)2y x =-+(1,10)（答案不唯一）40︒2024π3(5,1)；(3,7)或(7,3)三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17．解：原式2213=-+-24=-．18．解法一：去括号，得22133x x -+≤．移项，得22133x x -+≤．合并，得1533x -≤．系数化为1，得 5x -≥．不等式的解集在数轴上表示如下：．解法二：去分母，得2233x x -+≤． 移项，得2332x x -+≤． 合并，得5x -≤． 系数化为1，得5x -≥．不等式的解集在数轴上表示如下：．19．证明：在ABC △中，∵BAC BCA ∠=∠， ∴AB CB =．∵90BAE BCD ∠=∠=︒， 在Rt EAB △和Rt DCB △中， AB CBBE BD =⎧⎨=⎩， ∴Rt EAB △≌Rt DCB △． ∴E D ∠=∠．-1-2-3-4-5-66543210-1-2-3-4-5-66543210DACBE20．解：原式()()()3444x x x x x x x --=---()2344x x x x x --+=-22444x x x x-+=-． ∵2410x x --=， ∴241x x -=． ∴原式1451+==．21．解：设小明家到学校的距离为x 米．由题意，得403025x x +=． 解得6000x =．答：小明家到学校的距离为6000米．22．解：（1）∵关于x 的方程24310x x a -+-=有两个实数根，∴2(4)4(31)0a ∆=---≥． 解得53a ≤．∴a 的取值范围为53a ≤．（2）∵53a ≤，且a 为正整数，∴1a =．∴方程24310x x a -+-=可化为2420x x -+=． ∴此方程的根为1222,22x x =+=-．四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23．（1）证明：∵ED AD ⊥，∴90ADE ∠=︒．在Rt ADE △中，30DAE ∠=︒，4AE =， ∴60DEA =o ∠，122DE AE ==． ∵2EC =， ∴DE EC =． ∴EDC C =∠∠．又∵60EDC C DEA +=∠=o ∠∠， ∴30C DAE ∠==∠o ． ∴AD DC =．（2）解：过点A 作AF BC ⊥于点F ，如图．BEACD∴90AFC AFB ∠=∠=︒． ∵4AE =，2EC =， ∴6AC =．在Rt AFC △中，90AFC ∠=︒，30C ∠=︒， ∴132AF AC ==． 在Rt AFB △中，90AFB ∠=︒，tan 3B =， ∴1tan AFBF B==． ∴2210AB AF FB =+=．24．解：（1）8m =；5n =；（2）如图所示：（3）适中．25．（1）证明：连接OE ，OC ．在OEC △与OAC △中， OE OAOC OC CE CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴OEC △≌OAC △． ∴OEC OAC ∠=∠． ∵90OAC ∠=︒， ∴90OEC ∠=︒． ∴OE CF ⊥于E ． ∴CF 与⊙O 相切． （2）解：连接AD ． ∵90OEC ∠=︒， ∴90OEF ∠=︒．FBEACDDFB EAOCDFB EAOC∵⊙O 的半径为3， ∴3OE OA ==．在Rt OEF △中，90OEF ∠=︒，3OE =，4EF =， ∴225OF OE EF =+=，3tan 4OE F EF ==． 在Rt FAC △中，90FAC ∠=︒，8AF AO OF =+=，∴tan 6AC AF F =⋅=． ∵AB 为直径，∴6AB AC ==，90ADB ∠=︒． ∴2BD BC=． 在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒， ∴2262BC AB AC =+=．∴32BD =． 26．解：（1）当1k =时，使得原等式成立的x 的个数为1；（2）当01k <<时，使得原等式成立的x 的个数为2；（3）当1k >时，使得原等式成立的x 的个数为1．解决问题：将不等式240(0)x a a x +-<>转化为24(0)x a a x+<>， 研究函数2(0)y x a a =+>与函数4y x=的图象的交点．∵函数4y x=的图象经过点(1,4)A ，(2,2)B ，函数2y x =的图象经过点(1,1)C ，(2,4)D ，若函数2(0)y x a a =+>经过点(1,4)A ，则3a =，结合图象可知，当03a <<时，关于x 的不等式24(0)x a a x+<>只有一个整数解．也就是当03a <<时，关于x 的不等式240(0)x a a x+-<>只有一个整数解．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27．解：（1）∵抛物线224y mx m m x -++=与y 轴交于点(0,3)A ，∴43m +=． ∴1m =-．∴抛物线的表达式为232y x x =-++． ∵抛物线232y x x =-++与x 轴交于点B ，C ， ∴令0y =，即2320x x +-=+． 解得11x =-，23x =．又∵点B 在点C 左侧，∴点的坐标为(1,0)-，点C 的坐标为(3,0)． （2）∵2223(1)4y x x x +=---++=，xy ()()()()–5–4–3–2–112345–5–4–3–2–112345CD BA o∴抛物线的对称轴为直线1x =． ∵抛物线的对称轴与x 轴交于点D ， ∴点D 的坐标为(1,0)．∵直线y kx b =+经过点(1,0)D 和点(1,2)E --， ∴02k b k b +=⎧⎨-+=-⎩,解得11k b =⎧⎨=-⎩．∴直线DE 的表达式为1y x =-． （3）1t <或3t >．28．解：（1）90ADE α∠︒-=．（2）①证明：∵四边形ABFE 是平行四边形， ∴AB EF ∥．∴EDC ABC α∠=∠=． 由（1）知，90ADE α∠︒-=， ∴90ADC ADE EDC ∠=∠+∠=︒． ∴AD BC ⊥． ∵AB AC =， ∴BD CD =．②证明：∵AB AC =，ABC α∠=，∴C B α∠=∠=．∵四边形ABFE 是平行四边形， ∴AE BF ∥，AE BF =． ∴EAC C α∠=∠=． 由（1）知，2DAE α∠=， ∴DAC α∠=． ∴DAC C ∠=∠． ∴AD CD =． ∵AD AE BF ==， ∴BF CD =． ∴BD CF =．29．解：（1）②，③是12T T -联络点．（2）所有12T T -联络点所组成的区域为图中阴影部分（含边界）．（3）①∵点M 在y 轴上，⊙M 上只有一个点为12T T -联络点，阴影部分关于y 轴对称，∴⊙M 与直线AC 相切于(0,0)，xy–4–3–2–11234–3–2–1123B AC D OFEBCADFEBCA D或与直线BD 相切于(0,1)，如图所示．又∵⊙M 的半径1r =，∴点M 的坐标为(0,1)-或(0,2)．经检验：此时⊙M 与直线AD ，BC 无交点，⊙M 上只有一个点为12T T -联络点，符合题意． ∴点M 的坐标为(0,1)-或(0,2)． ∴点M 的纵坐标为1-或2．②阴影部分关于直线12y =对称，故不妨设点M 位于阴影部分下方． ∵点M 在y 轴上，⊙M 上只有一个点为12T T -联络点，阴影部分关于y 轴对称，∴⊙M 与直线AC 相切于(0,0)O ，且⊙M 与直线AD 相离． 作M E AD ⊥于E ，设AD 与BC 的交点为F ， ∴MO r =，ME r >，1(0,)2F ．在Rt AOF △中，90AOF ∠=︒，1AO =，12OF =，∴2252AF AO OF =+=，25sin 5AO AFO AF ∠==．在Rt FEM △中，90FEM ∠=︒，12FM FO OM r =+=+，25sin sin 5EFM AFO ∠=∠=， ∴5(21)sin 5r ME FM EFM +=⋅∠=． ∴5(21)5r r +>． 又∵0r >， ∴052r <<+．xy–4–3–2–11234–3–2–1123B AC D Oxy–4–3–2–11234–3–2–1123EF B A CD OM2015年北京海淀中考二模数学试卷部分答案解析一、选择题 1．【答案】B【解析】2000000用科学记数法为6210⨯． 2．【答案】D【解析】由题意，得20x -≥，解得2x ≥． 3．【答案】B【解析】一共8个小时，小明刚好在子时观测的概率为2184=． 4．【答案】C【解析】由多边形内角和公式可知，五边形的内角和为540︒，观察各个选项可知，C 选项正确． 5．【答案】A 【解析】正方形ABCD 的面积为2()a b +，分成4个小图形，可知正方形的面积为222a ab b ++． 故可以说明等式()2222a b a ab b +=++成立． 6．【答案】A【解析】甲的波动性较小，故甲的方差小； 通过计算可知，两者的平均数相同． 7．【答案】A【解析】由作图步骤可知，OC O C OD O D ''''===，CD C D ''=， 故根据“边边边”可知，C O D '''△≌COD △，所以A O B AOB '''∠=∠． 8．【答案】C 【解析】小明只需买11个粽子，然后加上赠送的一个即可，故应付钱55元． 9．【答案】B 【解析】根据展开图的性质可知，B 点的位置如图所示， 根据勾股定理可知，5AB =．10．【答案】D【解析】随着点Q 的运动，POQ ∠先变大，再变小，之后再变大，再变小．排除A 、B ． 又知图形不是对称的，故选D ．二、填空题11．【答案】2(1)2y x =-+【解析】222(21)2(3122)x x x y x x -++=--=++=．12．【答案】(1,10)（答案不唯一）【解析】由()2,5A ，可知反比例函数为10y x=，故另一点只要横纵坐标的积为10即可，如(1,10)． 13．【答案】40︒【解析】∵四边形ABCD 内接于⊙O ，100BCD ∠=︒， ∴18010080BAD ∠=︒-︒=︒． ∵AC 平分BAD ∠， ∴BAC ∠的度数为40︒．14．【答案】202【解析】由图可知，90BAC ∠=︒，20AB AC ==，则202BC =．15．【答案】4π3【解析】∵90C ∠=︒，30BAC ∠=︒， ∴60ABC ∠=︒，∴120ABD ∠=︒． ∴»AD 的长为1204ππ11803⨯=．16．【答案】(5,1)；(3,7)或(7,3)【解析】由图可知，点B 的坐标为(5,1)．为了不让白方获胜，需要将白方3个连在一起的棋子堵住， 故此时黑方应该下在坐标为(3,7)或(7,3)的位置处．。

2015海淀二模数学(理)附答案海淀区高三年级第二学期期末练习数 学（理） 2015.5本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知全集U Z =，集合{1,2}A =，{1,2,3,4}AB =，那么()U C A B=（ ）（A ）∅ （B ）{3}x x Z ∈≥ （C ）{3,4} （D ）{1,2} （2）设30.320.2,log0.3,2a b c ===，则（ ）（A ）b c a <<（B ）c b a <<（C ）a b c << （D ）b a c <<（3）在极坐标系中，过点π(2,)6-且平行于极轴的直线的方程是（ ）（A ）cos 3ρθ= （B ）cos 3ρθ= （C ）sin 1ρθ=（D ）sin 1ρθ=- （4）已知命题p ，q ，那么“p q ∧为真命题”是“p q∨为真命题”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知函数()cos(2)f x xϕ=+（ϕ为常数）为奇函数，那么cosϕ=（）（A）22-（B）0（C）22（D）1（6）已知函数的部分图象如图所示.向图中的矩形区域随机投出100粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数.通过10次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为33，由此可估计的值约为（）（A）99100（B）310（C）910（D）1011()f x1()df x x⎰13xOy小值的程序框图.①处可填写_____；②处可填写 ．（12）若双曲线M 上存在四个点,,,A B C D ，使得四边形ABCD 是正方形，则双曲线M 的离心率的取值范围是 .（13）用红、黄、蓝三种颜色对如图所示的三个方格进行涂色.若要求每个小方格涂一种颜色，且涂成红色的方格数为偶数．．，则不同的 涂色方案种数是 .（用数字作答）（14）设关于,x y 的不等式组340,(1)(36)0x y x y -≥⎧⎨-+-≤⎩表示的平面区域为D ，已知点(0,0),(1,0)O A ，点M 是D 上的动点. OA OM OM ⋅=λ，则λ的取值范围是 .三、解答题共6小题，共80分。

第23题-----四边形的证明与计算1.（西城）23．如图，将平行四边形纸片ABCD与点A 重合，点D 的落点记为点D ′ ，折痕为EF ，连接CF ．（1）求证：四边形AFCE 是菱形；（2）若∠B =45°，∠FCE =60°，AB =D ′F 的长．2.（海淀）23.已知，ABC △中，D 是BC 上的一点，且∠DAC=30°，过点D 作ED ⊥AD交AC 于点E ，4AE =，2EC =.(1)求证：AD=CD ；(2)若tan B=3，求线段AB 的长．3.（东城）23．如图，矩形ABCD 中，点O 为AC 的中点，过点O 的直线分别与AB ，CD交于点E ，F ，连接BF 交AC 于点M ，连接DE ，BO.若∠COB =60°，FO =FC . 求证：（1）四边形EBFD 是菱形；（2）MB : OE=3：2 .4.（丰台）23．如图，在□ABCD 中，E 为BC 边上的一点，将△ABE 沿AE 翻折得到△AFE ，点F 恰好落在线段DE 上．（1）求证：∠F AD =∠CDE ；（2）当AB =5，AD =6，且tan 2ABC ∠=时，求线段EC 的长．BFACE D5.（朝阳）23．如图，点F 在□ABCD 的对角线AC 上，过点F 、 B 分别作AB 、AC 的平行线相交于点E ，连接BF ，∠ABF=∠FBC+∠FCB ． （1）求证：四边形ABEF 是菱形；（2）若BE=5，AD=8，21sin =∠CBE ，求AC 的长.6.（怀柔）23.如图，P 为等腰△ABC 的顶角A 的外角平分线上任一点，连接PB,PC. (1)求证:PB+PC ＞2AB.(2)当PC=2，PB=CP=45°时，求AB 的长.7.（平谷）23．如图，已知点E ,F 分别是□ABCD的边BC ,AD 上的中点，且∠BAC =90°． （1）求证：四边形AECF 是菱形； （2）若∠B =30°，BC =10，求菱形AECF 面积．8.（门头沟）23．如图，在△ABC 中，D 为AB 边上一点，F 为AC 的中点，连接DF 并延长至E ，使得EF =DF ，连接AE 和EC ． （1）求证：四边形ADCE 为平行四边形；（2）如果DF=，∠FCD =30°，∠AED =45°，求DC 的长．9.（昌平）23．如图，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =6，对角线交于点O ．将△BCD 沿BAEFCDBPCBA直线BD 翻折，得到△BED ． （1）画出△BED ，连接AE ； （2）求AE 的长．10.（石景山）23．如图，在ABC ∆中，M，N 分别是边AB 、BC 的中点，E 、F是边AC 上的三等分点，连接ME 、NF 且延长后交于点D ，连接BE 、BF （1）求证：四边形BFDE 是平行四边形（2）若AB =︒=∠45A ，︒=∠30C ，求：四边形BFDE 的面积11.（顺义）23．如图，四边形ABCD 为矩形，DE ∥AC ，且DE =AB ，过点E 作AD 的垂线交AC 于点F ．（1）依题意补全图，并证明四边形EFCD 是菱形； （2）若AB =3，BC=DE 与AC 间的距离．OABCDABCDE。

2015北京各区中考数学25题汇编及答案25．如图，Rt △ABC 中，∠A =90°，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，点E 在⊙O 上， CE =CA ， AB ，CE 的延长线交于点F ． （1） 求证：CE 与⊙O 相切；（2） 若⊙O 的半径为3，EF =4，求BD 的长．25．如图1，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，点F 在线段ED 上．连接AF 并延长交 ⊙O 于点G ，在CD 的延长线上取一点P ，使PF=PG ．（1）依题意补全图形，判断PG 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；（2）如图2，当E 为半径OA 的中点，DG ∥AB，且OA PG 的长．25．如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，∠BAC 的平分线交⊙O 于 点D ，交⊙O 的切线BE 于点E ，过点D 作DF ⊥AC ，交AC 的延长线于点F ． （1）求证：DF 是⊙O 的切线；F（2）若DF =3，DE =2．①求值；②求FAB ∠的度数．25．如图，点A B C D E 、、、、在⊙O 上，AB CB ⊥于点B ，tan 3D =，2BC=，H为CE 延长线上一点，且AH =CH =（1）求证：AH 是⊙O 的切线；（2）若点D 是弧CE 的中点，且AD 交CE 于点F ，求EF 的长．25．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB= AC ，BD 是⊙O的直径，P A ∥BC ，与DB 的延长线交于点P ，连接AD ． （1）求证：P A 是⊙O 的切线；（2）若BC =4 ，求AD 的长．25．如图，△ABC 中，AB =AC ，点D 为BC 上一点，且AD =DC ，过A ，B ，D 三点作⊙O ，AE是⊙O 的直径，连结DE ． （1）求证：AC 是⊙O 的切线；BEADCC（2）若4sin 5C =，AC =6，求⊙O 的直径．25．如图，AB 是⊙O 的直径．半径OD 垂直弦AC 于点E ．F 是BA 延长线上一点，CDB BFD ∠=∠．（1）判断DF 与⊙O 的位置关系，并证明； （2）若AB =10，AC =8，求DF 的长．25．如图，AB 是⊙O 的直径，以AB 为边作△ABC ，使得AC = AB ，BC 交⊙O 于点D ，联结OD ，过点D 作⊙O 的切线，交AB 延长线于点E ，交AC 于点F ．25．如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，BC 为⊙O 的直径，AE 为⊙O 的切线，过点B 作BD ⊥AE 于D ．（1）求证：∠DBA =∠ABC ；（2）如果BD =1，tan ∠BAD =12，求⊙O 的半径．25.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点， AD ⊥ DC 于D , 且AC 平分∠DAB ，延长DC 交AB 的延长线于点P ，弦CE 平分∠ACB ，交AB 于点F ，连接BE ． （1）求证：PD 是⊙O 的切线； （2）若tan ABC =43∠，BE =PC 的长．25．如图，△ABC 内接于⊙O ，OC ⊥AB 于点E ，点D 在OC 的延长线上，且∠B =∠D =30°.（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）若AB =求⊙O 的半径．25．如图，已知，⊙O 为△ABC 的外接圆，BC 为直径，点E 在AB 边上，过点E 作EF ⊥BC ，延长FE 交⊙O 的切线AG 于点G ． （1）求证：GA =GE ．PE（2）若AC =6，AB =8，BE =3，求线段OE 的长．答案25．(本小题满分5分) 证明：连接OE ，OC ．在△OEC 与△OAC 中， ,,,OE OA OC OC CE CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩F∴△OEC ≌△OAC ． (1)分∴∠OEC =∠OAC ．∵∠OAC =90°，∴∠OEC =90°． ∴OE ⊥CF 于E ． ∴CF与⊙O相切．………………………………………………………………………………...2分（2）解：连接AD ．∵∠OEC =90°， ∴∠OEF =90°． ∵⊙O 的半径为3， ∴OE =OA=3．在Rt △OEF 中，∠OEF =90°，OE = 3，EF = 4，∴5OF ，………………………………………………………………………3分3tan 4OE F EF ==． 在Rt △F AC 中，∠F AC =90°，8AF AO OF =+=， ∴tan 6AC AF F =⋅=．…………………………………………………………………………4分∵AB 为直径，∴AB =6=AC ，∠ADB =90°． ∴BD =2BC． 在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，∴BC =F∴BD=．…………………………………………………………………………………….5分25. 解：（1）补全图形如图5所示. ………………………………………………………… 1分 答：PG 与⊙O 相切. 证明：如图6，连接OG .∵ PF =PG ， ∴ ∠1=∠2.又∵OG =OA ， ∴ ∠3=∠A .∵ CD ⊥AB 于点E ， ∴ ∠A +∠AFE =90°. 又∵∠2 =∠AFE ，∴ ∠3+∠1=90°. ……………………… 2分 即 OG ⊥PG . ∵ OG 为⊙O 的半径，∴ PG 与⊙O 相切. …………………… 3分（2）解：如图7，连接CG . ∵ CD ⊥AB 于点E ，∴ ∠OEC =90°. ∵ DG ∥AB ，∴∠GDC =∠OEC =90°. ∵∠GDC 是⊙O 的圆周角， ∴ CG 为⊙O 的直径. ∵ E 为半径OA 的中点， ∴ 22OA OCOE ==. ∴ ∠OCE =30°即∠GCP =30°.又∵∠CGP =90°，2CG OA ==A∴tan 4PG CG GCP =⋅∠==. …………………………… 5分25. （1）连结OD ， ∵AD 平分∠BAC ∴∠DAF ＝∠DAO ∵OA =OD ∴∠OAD ＝∠ODA ∴∠ DAF ＝∠ODA ∴AF ∥OD ．┉┉1分 ∵DF ⊥AC ∴OD ⊥DF ∴DF 是⊙O 的切线┉┉2分 （2）①连接BD ∵直径AB ， ∴∠ADB =90° ∵圆O 与BE 相切 ∴∠ABE =90°∵∠DAB +∠DBA =∠DBA +∠DBE =90° ∴∠DAB =∠DBE ∴∠DBE =∠F AD ∵∠BDE=∠AFD =90° ∴△BDE ∽△AFD ∴32==DF DE AD BE ┉┉3分 ②连接OC ，交AD 于G 由①，设BE =2x ，则AD =3x ∵△BDE ∽△ABE ∴BE DE AE BE =∴xx x 22232=+∵AB BC ⊥于点B∴AC 是⊙O 的直径…………………………………1分 ∵D ACB ∠=∠，∴tan tan 3D ACB =∠= 在Rt ABC ∆中，2BC =，∴36AB BC == 由勾股定理AC =在CAH ∆中，由勾股定理逆定理：22250AC AH CH +==∴90CAH ∠=°即CA AH ⊥∴AH 是⊙O 的切线…………………………………2分 （2）解：∵点D 是弧CE 的中点∴EAD DAC ∠=∠…………………………………3分 ∵AC 是⊙O 的直径 ∴AE CH ⊥∴90H EAH H HCA ∠+∠=∠+∠=° ∴EAH HCA ∠=∠∴EAD EAH DAC HCA ∠+∠=∠+∠ 即AFH HAF ∠=∠∴HF HA =∵CA AH ⊥AE CH ⊥∴2AH EH CH =⨯可得EH = ∴EF =5分25.（1）证明：连接OA 交BC 于点E ，由AB =AC 可得OA ⊥BC ．………………………1分C B∵PA ∥BC ， ∴∠PAO =∠BEO =90°. ∵OA 为⊙O 的半径，∴PA 为⊙O 的切线. …………………………… 2分 （2）解：根据（1）可得CE =21BC=2． Rt △ACE 中，122=-=CE AC AE . ………………………………3分∴tan C =21=CE AE ． ∵BD 是直径，∴∠BAD =90°．…………………………………………………………4分 又∵∠D =∠C ， ∴AD =52tan =DAB.………………………………………………………5分25． （1）证明：∵AB =AC ，AD =DC ，∴∠1=∠C =∠B ，..................................................1分 又∵∠E =∠B ，∴∠1=∠E ， ∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ADE =90°， ∴∠E +∠EAD =90°， ∴∠1+∠EAD =90°，∴AC 是⊙O 的切线．...........................................2分 （2）解：过点D 作DF ⊥AC 于点F ， ∵DA =DC ，AC =6， ∴CF =12AC =3，..................................... ............3分 ∵4sin 5E =，∴4sin 5C =， ∴在Rt △DFC 中，DF =4，DC =5， ∴AD =5，∵∠ADE =∠DFC =90°，∠E =∠C ，∴△ADE ∽△DFC ，.............................................4分C∴AD DFAE DC =， ∴545AE =， ∴AE =254，∴⊙O 的直径为254．....................5分25．解：（1）DF 与⊙O 相切． ∵CAB CDB ∠=∠， 又∵CDB BFD ∠=∠，∴BFD CAB ∠=∠． ∴AC ∥DF ． ………………………………… 2分∵半径OD 垂直于弦AC 于点E ，∴DF OD ⊥． ∴DF 与⊙O 相切． ………………………………… 3分 （2）∵半径OD 垂直于弦AC 于点E ，AC =8，∴482121=⨯==AC AE ． ∵AB 是⊙O 的直径， ∴5102121=⨯===AB OD OA ． 在AEORt ∆中，3452222=-=-=AE OA OE ． ……………………………………… 4分∵AC ∥DF ， ∴OAE ∆∽OFD ∆． ∴DF AEOD OE = ． ∴DF453=． ∴321DF CEB A O320=DF ． ………………………………………………… 5分25．（1）证明：联结AD ．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，AD ⊥BC .∵AC = AB ，∴12∠=∠．…….1分 ∵OA OD =，∴13∠=∠． ∴23∠=∠，∴OD ∥AC ．…….2分（2）∵AC = AB =10，∴B C ∠=∠．∴cos C=cos 5ABC ∠=． 在Rt △ABD 中，∠ADB =90°，cos 5BD ABC AB ∠==， ∴BDCD = BD….3分∵EF 为⊙O 的切线，∴OD ⊥EF ，由∵OD ∥AC ，∴∠DFC =90°. …….4分 在Rt △CDF 中，cos C=5CF CD =，∴CF =2．∴AF =8． ∵OD ∥AC ，∴ODE ∆∽AFE ∆．∴OE OD AE AF =．∴OB BE ODAB BE AF+=+． ∵152OB OA OD AB ====,∴103BE =．…….5分 25．（本小题满分5分）（1）证明：连接OA .（如图）∵ AE 为⊙O 的切线，BD ⊥AE ， ∴ ∠DAO =∠EDB =90°. ∴ DB ∥AO .∴ ∠DBA =∠BAO . …………1分 又 ∵OA =OB ， ∴ ∠ABC =∠BAO .∴ ∠D B A =∠A B C . ………………………………………………2分（2）在Rt △ADB 中，∠ADB =90°，C∵ BD =1，tan ∠BAD =12， ∴ AD =2，……………………………………………………………………3分由勾股定理得AB .∴ cos ∠DBA 又∵ BC 为⊙O 的直径， ∴ ∠BAC =90°. 又∵∠DBA =∠ABC .∴ cos ∠ABC = cos ∠DBA∴ 5.cos ABBC ABC===∠…………………………………………4分 ∴ ⊙O 的半径为5.2…………………………………………………………5分25.解：（1）∵ OC =OA∴ ∠CAO =∠OCA ∵ AC 平分∠DAB ∴ ∠DAC =∠CAO ， ∴ ∠ACO =∠DAC ． ∴ OC ∥AD ．…………………………………………………………………….1分 ∵ AD ⊥PD ， ∴OC ⊥PD ． ∴ PD 是⊙O 的切线……………………………………………………………...2分（2）连接AE ．∵CE 平分∠ACB ，∴AE BE =，∴AE BE == ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠AEB =90°．在Rt △ABE 中，14AB =………………………………………3分 ∵ ∠P AC =∠PCB ，∠P =∠P ， ∴ △P AC ∽△PCB ， ∴ PC AC PB BC =．…………………………………………………………………..4分 又∵4tan 3ABC =∠，∴43AC PCBC PB==， 设PC =4k ，PB =3k ，则在Rt △POC 中，PO =3k +7，OC =7，∵ PC 2+OC 2=OP 2， ∴()()2224737k k +=+， ∴ 126,0k k ==(舍去)．∴ PC =4k =4×6=24． …………………………………………………………..5分25证明：（1）连接OA .∵∠B =∠D =30°，∴∠AOC =2∠B =60°，……………………….(1分) ∴∠OAD =180°-∠AOD -∠D =90°，…………….(2分) 即OA ⊥AD ,∴AD 是⊙O 的切线.……………….(3分)（2）∵OA =OC ,∠AOC =60°，∴△ACO 是等边三角形， ∵CO ⊥AB ∴ ……………………….(4分)在Rt △ABC 中∴⊙O 的半径为6.……………………………….(5分)1122AE AB ==⨯=sin sin60AEACE AC∠==︒6AC ===。

EF OA BCD1昌平.如图，在平行四边形ABCD 中，AB =5，BC =12，对角线交于点O ，∠BAD 的平分线交BC 于E 、交BD 于F ，分别过顶点B 、D 作AE 的垂线，垂足为G 、H ，连接OG 、OH ． （1）补全图形； （2）求证：OG =OH ；（3）若OG ⊥OH ，直接写出∠OAF 的正切值．2朝阳．数学活动课上，老师提出这样一个问题:如果AB =BC ,∠ABC =60°,∠APC =30°,连接PB ，那么P A 、PB 、PC 之间会有怎样的等量关系呢？ 经过思考后，部分同学进行了如下的交流：小蕾：我将图形进行了特殊化，让点P 在BA 延长线上（如图1），得到了一个猜想: P A 2+PC 2=PB 2 .小东：我假设点P 在∠ABC 的内部，根据题目条件，这个图形具有“共端点等线段”的特点，可以利用旋转解决问题，旋转△P AB 错误！未找到引用源。

后得到△P′CB ,并且可推出△PBP′ ,△PCP ′ 错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

分别是等边三角形、直角三角形，就能得到猜想和证明方法. 这时老师对同学们说，请大家完成以下问题： （1）如图2，点P 在∠ABC 的内部，①P A =4，PC =23，PB= .②用等式表示P A 、PB 、PC 之间的数量关系，并证明.（2）对于点P 的其他位置，是否始终具有②中的结论？若是，请证明；若不是，请举例说明.图1图23东城. 如图1，在ABC Rt △中，90ACB ∠=︒，E 是边AC 上任意一点(点E 与点A ，C 不重合)，以CE 为一直角边作ECD Rt △，90ECD ∠=︒，连接BE ，AD . (1) 若CA CB =，CE CD =，①猜想线段BE ，AD 之间的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论； ②现将图1中的ECD Rt △绕着点C 顺时针旋转锐角α，得到图2，请判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；若8CA =，6CB =，3CE =，4CD =，ECD Rt △绕着点C 顺时针旋转锐角α，(2) 如图3，连接BD ，AE ，计算22BD AE +的值.4海淀．如图1，在△ABC 中，AB =AC ，∠ABC =α，D 是BC 边上一点，以AD 为边作△ADE ，使AE =AD ，DAE ∠+BAC ∠=180°． （1）直接写出∠ADE 的度数（用含α的式子表示）； （2）以AB ，AE 为边作平行四边形ABFE ，①如图2，若点F 恰好落在DE 上，求证：BD =CD ； ②如图3，若点F 恰好落在BC 上，求证：BD =CF ．ECAB DFEBCAD图3DEBACFEBCA D图1 图2 图35门头沟 ．如图1，在△ABC 中，CA =CB ，∠ACB =90°，D 是△ABC 内部一点，∠ADC =135°，将线段CD 绕点C 逆时针旋转90°得到线段CE ，连接DE ． （1）① 依题意补全图形；② 请判断∠ADC 和∠CDE 之间的数量关系，并直接写出答案．（2）在（1）的条件下，连接BE ，过点C 作CM ⊥DE ，请判断线段CM ，AE 和BE 之间的数量关系，并说明理由．（3）如图2，在正方形ABCD 中，AB =2，如果PD =1，∠BPD =90°，请直接写出点A 到BP 的距离．DAB CPDC AB图1 图26顺义．如图，△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，边BA 绕点B 顺时针旋转α角得到线段BP ，连结P A ，PC ，过点P 作PD ⊥AC 于点D ． （1）如图1，若α=60°，求∠DPC 的度数； （2）如图2，若α=30°，直接写出∠DPC 的度数；（3）如图3，若α=150°，依题意补全图，并求∠DPC 的度数．图3PCABDD图2图1ABPC B CPA7西城．正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF．连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH.（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是；（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．8丰台．已知△ABC是锐角三角形，BA=BC，点E为AC边的中点，点D为AB边上一点，且∠ABC=∠AED=α．（1）如图1，当α=40°时，∠ADE= °；（2）如图2，取BC边的中点F，联结FD，将∠AED绕点E顺时针旋转适当的角度β(β<α)，得到∠MEN，EM与BA的延长线交于点M，EN与FD的延长线交于点N．①依题意补全图形；②猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论．A BECD DCEBA9石景山．如图1，点O 为正方形ABCD 的中心． （1）将线段OE 绕点O 逆时针方向旋转︒90，点E 的对应点为点F ，连结EF ，AE ，BF ，请依题意补全图1；（2）根据图1中补全的图形，猜想并证明AE 与BF 的关系；（3）如图2，点G 是OA 中点，△EGF 是等腰直角三角形，H 是EF 的中点，︒=∠90EGF ，22AB =，2=GE ，△EGF 绕G 点逆时针方向旋转α角度，请直接写出旋转过程中BH 的最大值．10平谷．对某一种四边形给出如下定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．（1）已知：如图1，四边形ABCD 是“等对角四边形”，∠A ≠∠C ，∠A =70°，∠B =80°．则∠C = 度，∠D = 度． （2）在探究“等对角四边形”性质时：小红画了一个“等对角四边形ABCD ”（如图2），其中∠ABC =∠ADC ，AB =AD ，此时她发现CB =CD 成立．请你证明此结论；（3）已知：在“等对角四边形ABCD ”中，∠DAB =60°，∠ABC =90°，AB =5，AD =4．求对角线AC 的长．11怀柔．在△ABC 内侧作射线AP ，自B ，C 分别向射线AP 引垂线，垂足分别为D ，E,M 为BC 边中点，连接MD ，ME. （1）依题意补全图1； （2）求证：MD=ME ； （3）如图2，若射线AP 平分∠BAC ，且AC>AB ，求证：MD=1()2AC AB -.OBDC AEC B H EFGODA图1ACDB图2B DA CPC BA M 图1图2P CBAMa HFEDABC12房山.在△ABC 中，AB ＝BC=2，∠ABC ＝90°，BD 为斜边AC 上的中线，将△ABD 绕点D 顺时针旋转α(0°＜α＜180°)得到△EFD ，其中点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F . BE 与FC 相交于点H .（1）如图1，直接写出BE 与FC 的数量关系：____________; （2）如图2，M 、N 分别为EF 、BC 的中点.求证：MN =22FC ; （3）连接BF ，CE ，如图3，直接写出在此旋转过程中，线段BF 、CE 与AC 之间的数量关系： .13通州．如图①，∠MON =60°，点A ，B 为射线OM ，ON 上的动点（点A ，B 不与点O 重合），且AB =34，在∠MON 的内部、△AOB 的外部有一点P ，且AP =BP ，∠APB =120°． （1）求AP 的长；（2）求证：点P 在∠MON 的平分线上；（3）如图②，点C ，D ，E ，F 分别是四边形AOBP 的边AO ，OB ，BP ，P A 的中点，连接CD ，DE ，EF ，FC ，OP ． 当AB ⊥OP 时，请直接．．写出四边形CDEF 周长的值．图① 图②图2a H FEMNDA BC图1aH FEDABC图 3N MO A BP EFDC NOMA BP1昌平．解：（1）HG E FODCBA……………………… 1分（2）PHG E FODCBA证明：如图，延长AE 、DC 交于点P ．∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD //BC ，AB //CD ．∴ ∠ DAE =∠ AEB ，∠ BAE =∠ DP A ． …………… 2分 ∵ AE 平分∠ BAD ， ∴ ∠ DAE =∠ BAE ，∴ ∠ BAE =∠ AEB ，∠ DAE =∠ DP A ．∴ BA =BE ，DA =DP ， …………………… 3分 又 ∵ BG ⊥ AE ，DH ⊥ AE ，∴ G 为AE 中点，H 为AP 中点． …………… 4分 又 ∵O 为AC 中点，AD =BC ， ∴ ()()111222OG CE BC BE AD AB ==-=-，()()111222OH CP DP CD AD AB ==-=- ． ……… 5分∴ OG =OH ． ………………… 6分（3）717． ……………………………………………………… 7分2朝阳. （1）①72；……………………………………………………………………………1分图1CGF EBAD②222PB PC PA =+. …………………………………………………………2分 证明：作∠PBP ′＝∠ABC ＝60°，且使BP ′＝BP ，连接P ′C 、P ′P . ……………3分 ∴∠1＝∠2. ∵AB ＝CB ，∴△ABP ≌△CBP′. …………………………4分 ∴P A ＝P ′C ，∠A ＝∠BCP ′. 在四边形ABCP 中，∵∠ABC ＝60°，∠APC ＝30°， ∴∠A ＋∠BCP ＝270°. ∴∠BCP ′＋∠BCP ＝270°.∴∠PCP ′＝360°－(∠BCP ′＋∠BCP )＝90°. ……………………………………5分 ∵△PBP ′是等边三角形. ∴PP ′＝PB .在Rt △PCP ′中，222''P P PC C P =+.……………………………………………6分 ∴222PB PC PA =+.（2）点P 在其他位置时，不是始终具有②中猜想的结论，举例： 如图，当点P 在CB 的延长线上时，结论为222PC PB PA =+. （说明：答案不惟一）……………………………………………………………………………………………7分3东城①解BE AD =，BE AD ⊥；……2分②∴BE AD ⊥.……4分BE AD =，BE AD ⊥仍然成立；证明：设BE 与AC 的交点为点F ，BE 与AD 的交点为点G ，如图1.∵90ACB ECD ∠=∠=︒， ∴ACD BCE ∠=∠. 在ACD △和BCE △中，,,,AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACD BCE △≌△.∴AD BE =，CAD CBE ∠=∠.……3分 ∵BFC AFG ∠=∠，90BFC CBE ∠+∠=︒， ∴90AFG CAD ∠+∠=︒. ∴90AGF ∠=︒.（2）证明：设BE 与AC 的交点为点F ，BE 的延长线与AD 的交点为点G ，如图2. ∵90ACB ECD ∠=∠=︒， ∴ACD BCE ∠=∠.∵8CA =，6CB =，3CE =，4CD =，∴43CA CD CB CE ==. ∴ACD BCE △∽△.……5分∴CAD CBE ∠=∠.∵BFC AFG ∠=∠，90BFC CBE ∠+∠=︒， ∴90AFG CAD ∠+∠=︒. ∴90AGF ∠=︒. ∴BG AD ⊥.……6分 ∴90AGE BGD ∠=∠=︒.∴222AE AG EG =+，222BD BG DG =+. ∴222222BD AE AG EG BG DG +=+++.∵222AG BG AB +=，222EG DG ED +=，∴22222222125BD AE AB ED CA CB CD CE +=+=+++=.……4海淀（1）∠ADE =90α︒-．………………………………………………………….…1分 （2）①证明：∵四边形ABFE 是平行四边形， ∴AB ∥EF ．∴EDC ABC α∠=∠=．…………………………….……2分 由（1）知，∠ADE =90α︒-，∴90ADC ADE EDC ∠=∠+∠=︒．…………………...……3分 ∴AD ⊥BC ． ∵AB =AC ， ∴BD =CD ．………………………………………………..……………4分②证明：∵AB =AC ，∠ABC =α， ∴C B α∠=∠=．∵四边形ABFE 是平行四边形， ∴AE ∥BF , AE =BF ． ∴EAC C α∠=∠=．……………………………………………………………5分由（1）知，2DAE α∠=，∴DAC α∠=．…………………………………………………………………………6分 ∴DAC C ∠=∠． ∴AD =CD ． ∵AD =AE =BF ， ∴BF =CD ．∴BD =CF ．…………………………………………………………………7分5门头沟解：（1）① 依题意补全图形（如图）；…………………………………………1分② ∠ADC +∠CDE =180°．……………………………………………2分 （2）线段CM ，AE 和BE 之间的数量关系是AE =BE +2CM ，理由如下： ∵ 线段CD 绕点C 逆时针旋转90°得到线段CE ，∴ CD =CE ，∠DCE =90°．∴ ∠CDE =∠CED =45°． 又∵ ∠ADC =135°， ∴ ∠ADC +∠CDE =180°，∴ A 、D 、E 三点在同一条直线上.∴ AE =AD +DE .…………………………………………………………3分 又∵ ∠ACB =90°，∴ ∠ACB －∠DCB =∠DCE －∠DCB ，F EB CADF EBCA D MD A B C E即∠ACD=∠BCE．又∵AC=BC，CD=CE，∴△ACD≌△BCE．∴AD=BE．………………………………………………………………4分∵CD=CE，∠DCE=90°，CM⊥DE．∴DE=2CM．…………………………………………………………5分∴AE=BE+2CM．……………………………………………………6分（3）点A到BP 的距离为312-．…………………………………………7分6顺义（1）∵边BA绕点B顺时针旋转α角得到线段BP，∴BA= BP，∵α=60°，∴△ABP是等边三角形，..................................1分∴∠BAP=60º，AP= AC，又∵∠BAC=90°，∴∠P AC=30º，∠ACP=75º，∵PD⊥AC于点D，∴∠DPC=15º．....................................................................2分（2）结论：∠DPC=75º．..................................................3分（3）画图.............................................................................4分过点A作AE⊥BP于E．∴∠AEB=90º，∵∠ABP=150°，∴∠1=30º，∠BAE=60º，又∵BA= BP，∴∠2=∠3=15º，∴∠P AE=75º，∵∠BAC=90°，∴∠4=75º，∴∠P AE=∠4，∵PD⊥AC于点D，∴∠AEP=∠ADP =90º，∴△APE≌△APD，..............................................................5分∴AE= AD，在Rt△ABE中，∠1=30º，∴12AE AB=，又∵AB=AC，∴1122AE AD AB AC ===，∴AD=CD，又∵∠ADP=∠CDP=90º，4123EDBAC P321EAPCBD∴△ ADP ≌△CDP ，.............................................................6分 ∴∠DCP =∠4=75º， ∴∠DPC =15º．.......................................................................7分 另法：作平行，构造平行四边形．7西城．解：（1）CH=AB ． ………………………………… 1分 （2）结论成立．………………………………… 2分证明：如图11，连接BE ． 在正方形ABCD 中，AB=BC=CD=AD ，∠A=∠BCD=∠ABC=90°． ∵ DE=DF ， ∴ AF=CE ．在△ABF 和△CBE 中，,,,AB CB A BCE AF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ABF ≌△CBE ．∴ ∠1=∠2．……………………………………3分 ∵ EH ⊥BF ，∠BCE =90°，∴ H ，C 两点都在以BE 为直径的圆上． ∴ ∠3=∠2． ∴ ∠3=∠1． ∵ ∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC =90°， ∴ ∠4=∠HBC ．∴ CH=CB ．……………………………………… 5分 ∴ CH=AB ．…………………………………… 6分（3）323+．………………………………………………7分8丰台. 解：（1）°70ADE ∠=；…….1分 （2）①见右图；…….2分 ②EM EN =．…….3分证明：∵ABC AED α∠=∠=，BAC BAC ∠=∠．∴°902EDA ACB α∠=∠=-．∵BA BC =，E APCBD EDBACP图10图11∴ACB BAC ∠=∠，即EDA BAC ∠=∠． ∴EA ED = . …….4分∵E 是AC 中点，∴EA EC =． ∴EA EC ED ==．∴点,,A D C 在以AC 为直径的圆上．∴°90ADC ∠=．. …….5分 而°°°°180180(90)9022EAM EAD αα∠=-∠=--=+．∵点F 是BC 中点，∴FD FB =．∴FDB ABC α∠=∠=．∴°°909022EDN EDA ADN EDA FDB ααα∠=∠+∠=∠+∠=-+=+.∴EAM EDN ∠=∠．…….6分 ∵ ∠AED 绕点E 顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN ， ∴ ∠AED=∠MEN ， ∴∠AED - ∠AEN=∠MEN -∠AEN ，即 ∠MEA=∠NED ． ∴ ΔEAM ≌ΔEPN ． ∴ EM=EN ．…….7分9石景山．解：（1）正确画出图形；………………1分（2）延长EA 交OF 于点H ，交BF 于点G …2分 ∵O 为正方形ABCD 的中心， ∴OB OA =，∠AOB ＝90……3分 ∵OE 绕点O 逆时针旋转90角得到OF ∴OF OE =∴∠AOB ＝∠EOF ＝90∴∠EOA ＝∠FOB ……4分 在△EOA 和△FOB 中，OF OE =，OB OA =，∠EOA ＝∠FOB ， ∴△EOA ≌△FOB ∴BF AE =.……5分 ∴∠OEA ＝∠OFB∵∠OEA +∠OHA ∴∠OFB +∠FHG =90 ∴AE ⊥BF ……6分 （3）BH 的最大值为25+……8分10平谷．解：（1）∠D=80°， (1)∠C=130°； (2)（2）①如图2，连接BD，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB． (3)∵∠ABC=∠ADC，∴∠ABC﹣∠ABD=∠ADC﹣∠ADB．∴∠CBD=∠CDB．∴CB=CD． (4)（3）（Ⅰ）如图，当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E，∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=5，∴AE=10．∴DE=AE﹣AD=10﹣4═6． (5)∵∠EDC=90°，∠E=30°，∴CD =23．∴AC =27． (6)（Ⅱ）如图，当∠BCD=∠DAB=60°时，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，∵DM⊥AB，∠DAB=60°，AD=4，∴AM=2，DM =23．∴BM=AB﹣AM=5﹣2=3． (7)∵四边形BNDM是矩形，∴DN=BM=3，BN=DM =23．∵∠BCD=60°，∴CN =3．∴BC=CN+BN =33．∴AC =213． (8)即AC =27或213．11怀柔．解：（1）补全图形，如图1所示.………1分（2）延长DM交CE于点F.∵BD、CE分别垂直AP于点D、E.∴BD∥CE.，∴∠1= ∠2.∵M为BC边中点，∴BM=CM, 又∵∠DMB= ∠FMC,∴△DMB≌△FMC (ASA)，∴DM=FM.∵∠DEF=90°.∴EM=12 DF,∴MD=ME.……………………………4分（3）延长BD交AC于点G.………………… 5分∵BD⊥AP于点D，射线AP平分∠BAC,∴△A DB≌△ADG (ASA)，ECDBANMCDA B21FEDCBAPM图1图1PEDMAB C∴BD=DG,AB=AG.又∵△DMB ≌△FMC, ∴BD=CF ，DM=MF, ∴CF=DG, 又∵BG ∥CF,∴四边形DFCG 为平行四边形. ∴DF=CG, ∴2MD=CG, ∴2MD=AC-AB, ∴MD=12(AC-AB). ……………………………7分 12房山.（1）=BE CF ． ………………………………………………………………2分（2）证明：如图2，∵AB =BC ，∠ABC =90°，BD 为斜边中线 ∴BD =AD =CD =12AC ，BD ⊥AC∵ △EFD 是由△ABD 旋转得到的，∴DE =DF =DB =DC ，∠EDF =∠ADB =∠BDC =90° ∴∠EDF +∠BDF =∠BDC +∠BDF ，即∠BDE =∠FDC ∴△BDE ≌△FDC ∴BE =FC 且∠1=∠2 又∵∠3=∠4∴FHE FDE ︒==90∠∠ ,即BE CF ⊥…………………………………………3分 连接BF ，取BF 中点G ，连接MG 、NG . ∵M 为EF 中点，G 为BF 中点，N 为BC 中点 ∴MG ∥BE ，MG =12BE ；NG ∥FC ，NG =12FC又∵EB =FC ，BE ⊥FC ∴MG =NG ，∠MGN =90° ∴△MGN 为等腰直角三角形 ∴MN =22FC …………………………………………………………………5分 （3）222BF CE AC += ……………………………………………………………7分13通州.解：⑴在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 上的中线， ∴12CD AB =， ∴CD =BD ．∴∠BCE ＝∠ABC ．……………………………….(1分) ∵BE ⊥CD ，P GME DCBAF∴∠BEC＝90°，∴∠BEC＝∠ACB．……………………………….(2分)∴△BCE∽△ABC．∴E是△ABC的自相似点．………………………….(3分)⑵①作图略．（方法不唯一）……………………….(5分)②连接PB、PC．∵P为△ABC的内心，∴12PBC ABC∠=∠，12PCB ACB∠=∠．∵P为△ABC的自相似点，∴△BCP∽△ABC．∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC=2∠PBC =2∠A，∠ACB＝2∠BCP=4∠A．∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°．∴∠A+2∠A+4∠A＝180°．∴1807A∠=．∴该三角形三个内角的度数分别为1807、3607、7207．…………….(6分)。

北京市海淀区初三数学一模试卷及答案数学2015．5一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．2015年北京市实施能源清洁化战略，全市燃煤总量减少到15 000万吨左右，将15 000用科学记数法表示应为A ．50.1510⨯B ．41.510⨯C ．51.510⨯D ．31510⨯ 2．右图是某几何体的三视图，该几何体是A. 三棱柱B. 三棱锥C. 长方体D.正方体3．如图，数轴上两点A ，B 表示的数互为相反数，则点B 表示的数为A ．-1B ．1C ．-2D ．24．某游戏的规则为：选手蒙眼在一张如图所示的正方形黑白格子纸（九个小正方形面积相等）上描一个点，若所描的点落在黑色区域，获得笔记本一个；若落在白色区域，获得钢笔一支．选手获得笔记本的概率为A ．12 B ．45 C ．49 D ．595．如图，直线a 与直线b 平行，将三角板的直角顶点放在直线a 上，若∠1=40°，则∠2等于A ． 40°B ．50°C ．60°D ．140° 6．如图，已知∠AOB ．小明按如下步骤作图：（1）以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于D ，交OB 于点E ． （2）分别以D ，E 为圆心，大于12DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点C ． （3）画射线OC ．根据上述作图步骤，下列结论正确的是A ．射线OC 是AOB ∠的平分线 B ．线段DE 平分线段OC C ．点O 和点C 关于直线DE 对称D ．OE =CEBba 217．某次比赛中，15名选手的成绩如图所示，则 这15名选手成绩的众数和中位数分别是 A ．98，95 B ．98，98 C ．95，98 D ．95，958. 甲骑车到乙家研讨数学问题，中途因等候红灯停止了一分钟，之后又骑行了1.2千米到达了乙家．若甲骑行的速度始终不变，从出发开始计时，剩余的路程S （单位：千米）与时间t （单位：分钟）的函数关系的图象如图所示，则图中a 等于A ．1.2B ．2C ．2.4D ．69．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E .若60B ∠=︒，AC =3，则CD 的长为A ． 6 B． CD ．310．小明在书上看到了一个实验：如右图，一个盛了水的圆柱形容器内，有一个顶端拴了一根细绳的实心铁球，将铁球从水面下沿竖直方向慢慢地匀速向上拉动.小明将此实验进行了改进，他把实心铁球换成了材质相同的别的物体，记录实验时间t 以及容器内水面的高度h ，并画出表示h 与t 的函数关系的大致图象.如左下图所示.小明选择的物体可能是二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．分解因式：32a ab -=____________．12．写出一个函数y kx =（0k ≠），使它的图象与反比例函数1y x=的图象有公共点，这个函数的解析式为___________．A B CDS /千米13．某学习小组设计了一个摸球试验，在袋中装有黑，白两种颜色的球，这些球的形状大小质地等完全相同，即除颜色外无其他差别.在看不到球的情况下，随机从袋中摸出一个球，记下颜色，再把它放回，不断重复.下表是由试验得到的一组统计数据：从这个袋中随机摸出一个球，是白球的概率约为．（结果精确到0.1）14．如图，点C 为线段AB 上一点，将线段CB 绕点C 旋转，得到线段CD ，若DA AB ⊥，1AD =，BD BC 的长为__________． 15． 在研究了平行四边形的相关内容后，老师提出这样一个问题：“四边形ABCD 中，AD ∥BC ，请添加一个条件，使得四边形ABCD 是平行四边形”．经过思考，小明说“添加AD =BC ”，小红说“添加AB =DC ” ．你同意的观点， 理由是．16．若三角形的某一边长等于其外接圆半径，则将此三角形称为等径三角形，该边所对的角称为等径角.已知△ABC 是等径三角形，则等径角的度数为 . 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17．计算：2022cos60(3.14π)--+-o ．18．解不等式组：345214.33x x x x +>-⎧⎪⎨-⎪⎩，≥19．已知43x y =，求代数式22(2)()()2x y x y x y y ---+-的值．20．如图，点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，AB=FC ，∠A =∠F ，∠EBC =∠FCB ． 求证： BE=CD ．21.已知关于x 的方程220 (0)kx x k k--=≠. （1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求整数k 的值．22．列方程或方程组解应用题:为了响应学校提出的“节能减排，低碳生活”的倡议，班会课上小李建议每位同学都践行“双面打印，节约用纸”．他举了一个实际例子：打印一份资料，如果用A4厚型纸单面打印，总质量为400克，将其全部改成双面打印，用纸将减少一半；如果用A4薄型纸双面打印，总质量为160克.已知每页薄型纸比厚型纸轻0.8克，求例子中的A4厚型纸每页的质量.（墨的质量忽略不计）四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．如图，在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交CD 于点E ，交BC的延长线于点F ，连接BE ，∠F =45°． （1）求证：四边形ABCD 是矩形； （2）若AB =14，DE =8，求sin ∠AEB 的值．24．根据某研究中心公布的近几年中国互联网络发展状况统计报告的部分相关数据，绘制的统计图表如下：根据以上信息解答下列问题：（1）直接写出扇形统计图中m 的值；（2）从2011年到2014年，中国网民人数每年增长的人数近似相等，估算2015年中国网民的人数约为亿； （3）据某市统计数据显示，2014年末全市常住人口为476.6万人，其中网民数约为210万人．若2014年该市的网民学历结构与2014年的中国网民学历结构基本相同，请你估算2014年末该市网民学历是大专的约有万人．25．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC 于点D ，过点C 作⊙O 与边AB相切于点E ，交BC 于点F ，CE 为⊙O 的直径. （1） 求证：OD ⊥CE ；（2） 若DF =1， DC =3，求AE 的长．26．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC 中，DE ∥BC 分别交AB 于D ，交AC 于E ．已知CD ⊥BE ，CD =3，BE =5，求BC +DE 的值．小明发现，过点E 作EF ∥DC ，交BC 延长线于点F ，构造△BEF ，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．图1 图2 图3请回答：BC +DE 的值为_______． 参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，已知□ABCD 和矩形ABEF ，AC 与DF 交于点G ，AC =BF =DF ，求∠AGF 的度数．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2212y x x =-+与y轴交于点A ，顶点为点B ，点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称． （1）求直线BC 的解析式；（2）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为4．将抛物线在点A ，D 之间的部分（包含点A ，D ）记为图象G ，若图象G 向下平移t （0t >）个单位后与直线BC 只有一个公共点，求t 的取值范围．28．在菱形ABCD 中，120ADC ∠=︒，点E 是对角线AC 上一点，连接DE ，50DEC ∠=︒，将线段BC 绕点B 逆时针旋转50︒并延长得到射线BF ，交ED 的延长线于点G ． （1）依题意补全图形；备用图（2）求证：EG BC =；（3）用等式表示线段AE ，EG ，BG 之间的数量关系：_____________________________．29．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)P a b 和点(,)Q a b '，给出如下定义：EDC B AEDCBA若,1,1≥b a b b a ⎧'=⎨-<⎩，则称点Q 为点P 的限变点．例如：点()2,3的限变点的坐标是()2,3，点()2,5-的限变点的坐标是()2,5--．（1）①点)的限变点的坐标是___________；②在点()2,1A --，()1,2B -中有一个点是函数2y x=图象上某一个点的限变点， 这个点是_______________；（2）若点P 在函数3(2,2)y x x k k =-+->-≤≤的图象上，其限变点Q 的纵坐标b '的取值范围是52≤≤b '-，求k 的取值范围；（3）若点P 在关于x 的二次函数222y x tx t t =-++的图象上，其限变点Q 的纵坐标b '的取值范围是≥b m '或，其中m n >．令s m n =-，求s 关于t 的函数解析式及s 的取值范围．海淀区九年级第二学期期中练习数学试卷答案及评分参考2015．5一、 选择题（本题共30分，每小题3分）b n '<二、填空题（本题共18分，每小题3分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17.(本小题满分5分) 解：原式=112142-⨯+ ………………………………………………………4分 14=+ ………………………………………………………………5分18. (本小题满分5分) 解：345214.33x x x x +>-⎧⎪⎨-⎪⎩，≥ ② ①由不等式①得3x <． ……………………………………………………2分由不等式②得2≥x -． ……………………………………………………4分 ∴不等式组的解集为23≤x -<． ……………………………………………………5分19. (本小题满分5分)解：22(2)()()2x y x y x y y ---+-2222244()2x xy y x y y =-+---………………………………………………2分243xy y =-+ ……………………………………………………………………3分()43y x y =--．…………………………………………………………………4分∵43x y =，∴原式= 0． ………………………………………………………………………5分20. (本小题满分5分) 证明： ∠EBC =∠FCB ，ABE FCD ∴∠=∠．…………………………………………………………1分在△ABE 与△FCD 中，,,,A F AB FC ABE FCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴∆ABE ≌∆FCD ．………………………………………………………………4分 ∴BE=CD ．………………………………………………………………………5分21. (本小题满分5分) （1）证明： 0k ≠，∴220 kx x k--=是关于x 的一元二次方程． 22(1)4()k k∆=--- ……………………………………………………1分90=>．∴方程总有两个不相等的实数根． ………………………………………2分（2）解：由求根公式，得x =．∴1221,x x k k==-． …………………………………………………………4分 方程的两个实数根都是整数，且k 是整数，∴1k =-或1k =．…………………………………………………………5分22. (本小题满分5分)解：设例子中的A4厚型纸每页的质量为x 克．………………………………………1分由题意，得40016020.8x x =⨯-． ………………………………………………2分 解得4x =． ………………………………………………………3分经检验，4x =为原方程的解，且符合题意． ………………………………4分 答：例子中的A4厚型纸每页的质量为4克． …………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23. (本小题满分5分)（1）证明： 四边形ABCD 是平行四边形，∴AD //BC ． ∴∠DAF=∠F ． ∠F =45°，∴∠DAE=45°．………………………………………1分 AF 是∠BAD 的平分线，45EAB DAE ∴∠=∠= ． 90DAB ∴∠=．又 四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是矩形． …………………………2分（2）解：过点B 作BH AE ⊥于点H ，如图．四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，AD =BC ，∠DCB =∠D =90°．AB =14，DE =8， ∴ CE=6．在Rt △ADE 中，∠DAE=45°，∴∠DEA =∠DAE=45°． ∴ AD=DE =8． ∴ BC =8．在Rt △BCE 中，由勾股定理得10BE ==． ……………………………………………3分在Rt △AHB 中，∠HAB=45°，∴sin 45BH AB =⋅= …………………………………………4分 在Rt △BHE 中，∠BHE=90°， ∴sin ∠AEB=BH BE =． ……………………………………………5分 24. (本小题满分5分)（1）36． ……………………………………………………………………………1分 （2）6.700.01±． ……………………………………………………………………3分 （3）21． ……………………………………………………………………………5分25. (本小题满分5分)（1）证明： ⊙O 与边AB 相切于点E ，且 CE 为⊙O 的直径．∴CE ⊥AB ．AB=AC ，AD ⊥BC ，BD DC ∴=． ………………………………1分又 OE=OC ，∴OD ∥EB ．∴ OD ⊥CE ．………………………………2分（2）解：连接EF ．CE 为⊙O 的直径，且点F 在⊙O 上， ∴∠EFC =90°． CE ⊥AB ， ∴∠BEC =90°．∴+BEF FEC FEC ECF ∠=∠+∠∠=90°． ∴BEF ECF ∠=∠． ∴tan tan BEF ECF ∠=∠． ∴BF EF EFFC=．又 DF =1， BD=DC =3，∴ BF =2， FC =4．∴EF = ………………………………………………… 3分∵∠EFC =90°， ∴∠BFE =90°．由勾股定理，得BE ． ……………………4分EF ∥AD ， ∴21BE BF EA FD ==．∴AE = ……………………………………………………5分26. (本小题满分5分)解：BC ＋DE． ……………………………………………………2分解决问题：连接AE ，CE ，如图．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB // DC ．∵四边形ABEF 是矩形， ∴AB // FE ，BF ＝AE ． ∴DC //FE ．∴四边形DCEF 是平行四边形． ………………………………………………3分 ∴ CE // DF ． ∵AC ＝BF ＝DF ， ∴AC ＝AE ＝CE ．∴△ACE 是等边三角形． …………………………………………………………4分 ∴∠ACE ＝60°． ∵CE ∥DF ，∴∠AGF ＝∠ACE ＝60°． …………………………………………………………5分五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27. (本小题满分7分)解：（1）∵抛物线2212y x x =-+与y 轴交于点A ，∴点A 的坐标为（0，2）． …………………………………………1分 ∵2211(232)212y x x x -+==+-，∴抛物线的对称轴为直线1x =，顶点B 的坐标为（1，32）． …………2分又∵点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称，∴点C 的坐标为(2，2)，且点C 在抛物线上． 设直线BC 的解析式为y kx b =+． ∵直线BC 经过点B （1，32）和点C (2，2)，∴322 2.，k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得121.k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的解析式为112y x =+．…………………………3分（2）∵抛物线2212y x x =-+中，当4x =时，6y =，∴点D 的坐标为(4，6)． ………………4分∵直线112y x =+中，当0x =时，1y =，当4x =时，3y =，∴如图，点E 的坐标为(0，1)，点F 的坐标为(4，3)．设点A 平移后的对应点为点'A ，点D 平移后的对应点为点'D ． 当图象G 向下平移至点'A 与点E 重合时，点'D 在直线BC 上方， 此时t =1；…………………………………………………………5分当图象G 向下平移至点'D 与点F 重合时，点'A 在直线BC 下方，此时t =3．……………………………………………………………………………………6分 结合图象可知，符合题意的t 的取值范围是13t <≤．……………………………7分28. (本小题满分7分)（1）补全图形，如图1所示．…………………………………………………………1分图 1图2（2）方法一：证明：连接BE ，如图2． ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ．，． 是菱形ABCD 的对角线，∴． ……………………………………………………………2分GFEDCBA120ADC ∠=︒60DCB ∴∠=︒AC 1302DCA DCB ∠=∠=︒GFEDCBA．由菱形的对称性可知，， ．……………………………………………………………………3分．GEB CBE ∴∠=∠．，．…………………………………………………………4分EBG BEC ∴∠=∠．在△GEB 与△CBE 中，,,,GEB CBE BE EB EBG BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△GEB ≌△CBE ．EG BC ∴=． ………………………………………………………………………………5分方法二：证明：连接BE ，设BG 与EC 交于点H ，如图3． ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ．，． 是菱形ABCD 的对角线，∴． ………………………2分．由菱形的对称性可知，，．……………………………………………3分50FBC ∠=︒ ，图350EBG EBC FBC BEC ∴∠=∠-∠=︒=∠． ………………………………………………4分BH EH ∴=．180100EDC DEC DCA ∴∠=︒-∠-∠=︒50BEC DEC ∠=∠=︒100EBC EDC ∠=∠=︒100GEB DEC BEC ∴∠=∠+∠=︒50FBC ∠=︒ 50EBG EBC FBC ∴∠=∠-∠=︒120ADC ∠=︒60DCB ∴∠=︒AC 1302DCA DCB ∠=∠=︒180100EDC DEC DCA ∴∠=︒-∠-∠=︒50BEC DEC ∠=∠=︒100EBC EDC ∠=∠=︒HGF EDCBA在△GEH 与△CBH 中，,,,GEH CBH EH BH EHG BHC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△GEH ≌△CBH ．EG BC ∴=． ………………………………………………………………………………5分（3）． …………………………………………………………………7分 29．(本小题满分8分) 解：（1）①； ……………………………………………………………………1分②点B ． ………………………………………………………………………2分（2）依题意，3(2)y x x =-+-≥图象上的点P 的限变点必在函数3,13,21x x y x x -+⎧=⎨--<⎩≥≤的图象上．2≤b '∴，即当时，取最大值2．当时，．5x ∴=． ………………………………………3分当时，或．2x ∴=-或8x =． ………………………………4分52≤≤b '- ，由图象可知，k 的取值范围是58≤≤k ．……………………………………………5分（3），∴顶点坐标为．………………………………………………………………6分若，的取值范围是≥b m '或≤b n '，与题意不符． 若1≥t ，当1≥x 时，的最小值为，即；AE BG +=1x =b '2b '=-23x -=-+5b '=-53x -=-53x -=-+2222()y x tx t t x t t =-++=-+ (,)t t 1t <b 'y t m t =当时，的值小于，即．．∴s 关于t 的函数解析式为211)s t t =+≥ ( ． ……………………………7分当t=1时，s 取最小值2．∴s 的取值范围是s ≥2． ………………………………………………………8分海 淀 区 九 年 级 第 二 学 期 期 中 练 习（二模）数学2015．6下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1.中国国家图书馆是亚洲最大的图书馆，截止到今年初馆藏图书达3119万册，其中古籍善本约有2000000册．2000000用科学记数法可以表示为1x <y 2[(1)]t t --+2[(1)]n t t =--+22(1)1s m n t t t t ∴=-=+-+=+A ．70.210⨯B ．6210⨯C ．52010⨯D ．6102⨯ 2.若二次根式x 的取值范围是A ． 0≤xB ．0≥xC ．2≤xD ． 2≥x3．我国古代把一昼夜划分成十二个时段，每一个时段叫一个时辰，古时与今时的对应关系（部分）如下表所示．天文兴趣小组的小明等4位同学从今夜23:00至明晨7:00将进行接力观测，每人两小时，观测的先后顺序随机抽签确定，小明在子时观测的概率为A ．13B ．4C ．6D ．124.如图，小明将几块六边形纸片分别减掉了一部分（虚线部分），得到了一个新多边形．若新多边形的内角和为540°，则对应的是下列哪个图形A B C D5.如图，根据计算正方形ABCD 的面积，可以说明下列哪个等式成立A ．()2222a b a ab b +=++ B.()2222a b a ab b -=-+C.()()22a b a b a b +-=-D.()2a a b a ab -=-6.甲和乙入选学校的定点投篮大赛，他们每天训练后投10个球测试，记录命中的个数，五天后将记录的数据绘制成折线统计图，如右图所示．则下列对甲、乙数据描述正确的是 A ．甲的方差比乙的方差小 B ．甲的方差比乙的方差大 C ．甲的平均数比乙的平均数小 D ．甲的平均数比乙的平均数大7.在学习“用直尺和圆规作一个角等于已知角”时，教科书介绍如下：a对于“想一想”中的问题，下列回答正确的是：A ．根据“边边边”可知，△'''C O D ≌△COD ，所以∠'''A OB =∠AOB B ．根据“边角边”可知，△'''C OD ≌△COD ，所以∠'''A O B =∠AOB C ．根据“角边角”可知，△'''C O D ≌△COD ，所以∠'''A O B =∠AOB D ．根据“角角边”可知，△'''C O D ≌△COD ，所以∠'''A O B =∠AOB8.小明家端午节聚会，需要12个粽子.小明发现某商场正好推出粽子“买10赠1”的促销活动，即顾客每买够10个粽子就送1个粽子.已知粽子单价是5元/个，按此促销方法，小明至少应付钱A ．45元B ．50元C ．55元D ． 60元9.如图，点A ，B 是棱长为1的正方体的两个顶点，将正方体按图中所示展开，则在展开图中A ，B 两点间的距离为 A ．2BC．10.如右图所示，点Q 表示蜜蜂，它从点P 出发，按照着箭头所示的方向沿P →A →B →P →C →D →P 的路径匀速飞行，此飞行路径是一个以直线l 为对称轴的轴对称图形，在直线l 上的点O 处（点O 与点P 不重合）利用仪器测量了∠POQ 的大小．设蜜蜂飞行时间为x ，∠POQDBAC PQO的大小为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是A B C D二、填空题（本题共18分，每小题3分）11. 将函数y =x 2 −2x + 3写成()2y a x h k =-+的形式为．12. 点A,B 是一个反比例函数图象上的两个不同点.已知点A （2,5），写出一个满足条件的B 点的坐标是．13. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BCD=100°，AC 平分∠BAD ，则∠BAC 的度数为． 14．如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A 观测放置于B ，C 两处的标志物，数据显示点B 在点A 南偏东75°方向20米处，点C 在点A 南偏西15°方向20米处，则点B 与点C 的距离为米．15.如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠BAC =30°， BC =1，以B 为圆心， BA 为半径画弧交CB 的延长线与点D ，则 AC 的长为.16.五子棋是一种两人对弈的棋类游戏，规则是：在正方形棋盘中，由黑方先行，白方后行，轮流弈子，下在棋盘横线与竖线的交叉点上，直到某一方首先在任一方向（横向、竖向或者是斜着的方向）上连成五子者为胜．如图，这一部分棋盘是两个五子棋爱好者的对弈图．观察棋盘，以点O 为原点，在棋盘上建立平面直角坐标系，将每个棋子看成一个点，若黑子A 的坐标为 （7，5），则白子B 的坐标为______________；为了不让白方获胜，此时黑方应该下在坐标为______________的位置处．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17.计算：11tan 45+()3-+︒-．18.解不等式2(1)13x x -≤+，并把它的解集在数轴上表示出来．19．如图，已知∠BAC =∠BCA ，∠BAE =∠BCD =90°，BE=BD ．求证：∠E =∠D ．20.已知2410x x --=，求代数式314x x x---的值．21.列方程或方程组解应用题:小明坚持长跑健身．他从家匀速跑步到学校，通常需30分钟．某周日，小李与同学相约早上八点学校见，他七点半从家跑步出发，平均每分钟比平时快了40米，结果七点五十五分就到达了学校，求小明家到学校的距离．22．已知关于x 的方程24310x x a -+-=有两个实数根． （1）求实数a 的取值范围； （2）若a 为正整数，求方程的根．四、解答题（本题共20分，每小题5分）23.已知，ABC △中，D 是BC 上的一点，且∠DAC=30°，过点D 作ED ⊥AD 交AC 于点E ，4AE =，2EC =.(1)求证：AD=CD ；(2)若tan B=3，求线段AB 的长．24. 小明和小腾大学毕业后准备自主创业，开一个小店卖腊汁肉夹馍．为了使产品更好地适合大众口味，他们决定进行一次抽样调查．在某商场门口将自己制作的肉夹馍免费送给36人品尝，并请每个人填写了一份调查问卷，以调查这种肉夹馍的咸淡程度是否适中．调查问卷如下所示：经过调查，他们得到了如下36个数据：DAB C B A D A C D B C B C D C D C E C C A B E A D E C B C B C E D E D D C（1）小明用表格整理了上面的调查数据，写出表格中m 和n 的值； （2）小腾根据调查数据画出了条形统计图，请你补全这个统计图；（3）根据所调查的数据，你认为他们做的腊汁肉夹馍味道适中吗？．（填“适中”或者“不适中”）25．如图，Rt △ABC 中，∠A =90°，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，点E 在⊙O 上， CE =CA ， AB ，CE 的延长线交于点F ． （1） 求证：CE 与⊙O 相切；（2） 若⊙O 的半径为3，EF =4，求BD 的长．26．阅读下面材料：小明研究了这样一个问题：求使得等式20(0)kx x k +-=>成立的x 的个数．小明发现，先将该等式转化为2kx x +=，再通过研究函数2y kx =+的图象与函数y x =的图象（如图）的交点，使问题得到解决．F请回答：（1） 当k ＝1时，使得原等式成立的x 的个数为_______； （2） 当0＜k ＜1时，使得原等式成立的x 的个数为_______； （3） 当k ＞1时，使得原等式成立的x 的个数为_______．参考小明思考问题的方法，解决问题：关于x的不等式240 ()x a a x+-<＞0只有一个整数解，求a 的取值范围．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线224y mx m m x -++=与y 轴交于点A （0,3），与x 轴交于点B ，C （点B 在点C 左侧）.（1）求该抛物线的表达式及点B ，C 的坐标；（2）抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，若直线y kx b =+经过点D 和点 E (1,2)--，求直线DE 的表达式；（3）在（2）的条件下，已知点P （t ，0），过点P 作垂直于x 轴的直线交抛物线于点M ，交直线DE 于点N ，若点M 和点N 中至少有一个点在x 轴下方，直接写出t 的取值范围．()28．如图1，在△ABC 中，AB =AC ，∠ABC =α，D 是BC 边上一点，以AD 为边作△ADE ，使AE =AD ， DAE ∠+BAC ∠=180°． （1）直接写出∠ADE 的度数（用含α的式子表示）； （2）以AB ，AE 为边作平行四边形ABFE ，①如图2，若点F 恰好落在DE 上，求证：BD =CD ； ②如图3，若点F 恰好落在BC 上，求证：BD =CF ．图1 图2 图329. 如图1，在平面直角坐标系xOy 内，已知点(1,0)A -，(1,1)B -，(1,0)C ，(1,1)D ，记线段AB 为1T ，线段CD 为2T ，点P 是坐标系内一点.给出如下定义：若存在过点P 的直线l 与1T ，2T 都有公共点，则称点P 是12T T -联络点．例如，点P 1(0,)2是12T T -联络点．（1）以下各点中，__________________是12T T -联络点（填出所有正确的序号）；①(0,2)；②(4,2)-；③(3,2).图1备用图（2）直接在图1中画出所有12T T -联络点所组成的区域，用阴影部分表示；（3）已知点M 在y 轴上，以M 为圆心，r 为半径画圆，⊙M 上只有一个点为12T T -联络点， ①若1r =，求点M 的纵坐标； ②求r 的取值范围．海淀区九年级第二学期期末练习数学试卷答案及评分参考2015．6一、 选择题（本题共30分，每小题3分）二、填空题（本题共18分，每小题3分）17.(本小题满分5分)解：原式213=+-……………………..……………………………………………………...4分4=．……………………………………………………………………………………...5分18. (本小题满分5分) 解法一：去括号,得22133x x -+≤．…………………………………………………………………..1分 移项， 得22133x x -+≤．…………………………………………………………………..2分 合并，得 1533x -≤．……………………………………………………………………3分系数化为1，得 5x -≥．…………………………………………………………...……4分不等式的解集在数轴上表示如下：． …………………………………………………………5分解法二：去分母，得 2233x x -+≤．…………………………………………………………………1分移项， 得 2332x x -+≤．……………………………………………………………………2分合并， 得 5x -≤．………………………………………………………………..3分 系数化为1，得 5x -≥．…………………………………………………………………..4分不等式的解集在数轴上表示如下：． …………………………………………………………5分19．(本小题满分5分) 证明：在△ABC 中 ∵∠BAC =∠BCA ，∴AB =CB ．……………………………………………1分 ∵∠BAE =∠BCD =90°， 在Rt △EAB 和Rt △DCB 中， ,,AB CB BE BD =⎧⎨=⎩∴Rt △EAB ≌Rt △DCB ．……………………………………4分 ∴∠E =∠D ． …………………………………………5分20.(本小题满分5分) 解：原式()()()3444x x x x x x x --=---……………………………………………………………………….1分()2344x x x x x --+=-……………………………………………..………………………………2分22444x x x x-+=-．………………………………………………………………………………3分 ∵2410x x --=，∴241x x -=．………………………………………………………………………………………4分 ∴原式1451+==．………………………………………………………………………………..5分 21. (本小题满分5分)解：设小明家到学校的距离为x 米．……………………………………………………………………..1分由题意，得403025x x +=．………………………………………………………………………..3分解得 6000x =．……………………………………………………………………..4分答：小明家到学校的距离为6000米．………………………………………………………………….5分22. (本小题满分5分)解：（1）∵关于x 的方程24310x x a -+-=有两个实数根，∴2(4)4(31)0a ∆=---≥．……………………………………………………………………..1分解得 53a ≤．……………………………………………………………………………………2分∴a 的取值范围为53a ≤．（2）∵53a ≤，且a 为正整数，∴1a =．…………………………………………………………………………………………3分∴方程24310x x a -+-=可化为2420x x -+=．∴此方程的根为1222x x ==………………………………………………………5分DA四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23. (本小题满分5分) （1）证明： ∵ED ⊥AD ，∴∠ADE =90°．在Rt △ADE 中，∠DAE=30°，AE =4， ∴60DEA =∠o ，122DE AE ==．………………………………………………………………1分 ∵2EC =， ∴DE EC =． ∴EDC C =∠∠．又60,EDC C DEA +=∠=∠∠o Q∴30C DAE =∠=∠o．∴AD=DC ． ………………….…………………………………………………………………2分（2）解：过点A 作AF ⊥BC 于点F ，如图． ∴∠AFC =∠AFB =90°．∵AE =4，EC =2， ∴AC =6．在Rt △AFC 中，∠AFC =90°，∠C=30°， ∴132AF AC ==…………………………………………………………………………3分 在Rt △AFB 中，∠AFB =90°，tan B=3， ∴1tan AFBF B==．……….………………………………………………………………………4分∴AB ……….……………………………………………………………5分24. (本小题满分5分)（1）8m =；5n =；………………………………………………………………………………...2分 （2）………………………………………………………………...4分（3）适中． ………………………………………………………………………………….5分 25．(本小题满分5分) 证明：连接OE ，OC ．在△OEC 与△OAC 中， ,,,OE OA OC OC CE CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△OEC ≌△OAC ．………………………………………………………………………………..1分 ∴∠OEC =∠OAC ．∵∠OAC =90°，∴∠OEC =90°． ∴OE ⊥CF 于E ．∴CF 与⊙O 相切．………………………………………………………………………………...2分（2）解：连接AD ．∵∠OEC =90°， ∴∠OEF =90°． ∵⊙O 的半径为3， ∴OE =OA=3．FF在Rt △OEF 中，∠OEF =90°，OE = 3，EF = 4，∴5OF ，………………………………………………………………………3分3tan 4OE F EF ==． 在Rt △F AC 中，∠F AC =90°，8AF AO OF =+=，∴tan 6AC AF F =⋅=．…………………………………………………………………………4分 ∵AB 为直径，∴AB =6=AC ，∠ADB =90°． ∴BD =2BC． 在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，∴BC =∴BD=．26. (本小题满分5分)解：（1）当k ＝1时，使得原等式成立的x （2）当0＜k ＜1（3）当k ＞1时，使得原等式成立的x 解决问题：将不等式240 (x a a x +-<研究函数2(0)y x a a =+>与函数4y x=∵函数4y x=的图象经过点A (1,4)，B 函数2y x =的图象经过点C (1,1)，D 若函数2(0)y x a a =+>经过点A (1,4)结合图象可知，当03a <<时，关于x 也就是当03a <<时，关于x 的不等式x五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27. (本小题满分7分)解：（1）∵抛物线224y mx m m x -++=与y 轴交于点A （0,3），∴43m +=． ∴1m =-．∴抛物线的表达式为232y x x =-++．…………………………………………………………………1分 ∵抛物线232y x x =-++与x 轴交于点B ，C ， ∴令0y =，即 2320x x +-=+． 解得 11x =-，23x =． 又∵点B 在点C 左侧，∴点B 的坐标为(1,0)-，点C 的坐标为(3,0)．…………………………………………………...……3分 （2）∵2223(1)4y x x x +=---++=，∴抛物线的对称轴为直线1x =． ∵抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，∴点D 的坐标为(1,0)．…………………………………………………………………………...………4分 ∵直线y kx b =+经过点D (1,0)和点E (1,2)--，∴0,2.k b k b +=⎧⎨-+=-⎩解得1,1.k b =⎧⎨=-⎩∴直线DE 的表达式为1y x =-. ………………………………………………………………………5分 （3）1t <或3t >……………………………………………………………………………………………7分（1）∠ADE =90α︒-．…………………………………………………………………………………….…1分 （2）①证明：∵四边形ABFE 是平行四边形， ∴AB ∥EF ．∴EDC ABC α∠=∠=．…………………………….……2分 由（1）知，∠ADE =90α︒-，∴90ADC ADE EDC ∠=∠+∠=︒． …………………...……3分 ∴AD ⊥BC ． ∵AB =AC ，∴BD =CD ．……………………………………………………………………………………..……………4分 ②证明：∵AB =AC ，∠ABC =， ∴C B α∠=∠=．∵四边形ABFE 是平行四边形，∴AE ∥BF , AE =BF ．∴EAC C α∠=∠=．……………………………………………………………………………………………5分 由（1）知，2DAE α∠=，∴DAC α∠=．…………………………………………………………………………………………………6分 ∴DAC C ∠=∠． ∴AD =CD ． ∵AD =AE =BF ， ∴BF =CD ．∴BD =CF ．………………………………………………………………………………………………………7分α∴AF=，sinAOAFOAF∠==．在Rt△FEM中，∠FEM=90°，FM = FO + OM = r +12，sin sinEFM AFO∠=∠=，∴sinME FM EFM=⋅∠=．r>．又∵0r>，∴02r<<．……………………………………………………………………………………8分。

中考统一练习㈡数 学 2015．5考生须知1．本试卷共6页，共五道大题，25个小题，满分120分。

考试时间120分钟。

2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和考试编号。

3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分） 下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．21-的倒数是（ ）. A .2 B .2- C .21D . 21-2．根据中国汽车工业协会的统计，2011年上半年的中国汽车销量约为932.5万辆，同比增速3.35%．将932.5万辆用科学记数法表示为（ ）辆A ．93.25×105B ．0.9325×107C ．9.325×106D ．9.325×1023．若一个正多边形的每个内角都为135°，则这个正多边形的边数是（ ）. A .9 B .8 C .7 D .6 4．下列运算正确的是（ ）.A .22a a a =⋅B .22=÷a aC . 22423a a a +=D . ()33a a -=-5．如图所示，直线a ∥b ，直线c 与直线a ，b 分别相交于点A 、点B ，AM ⊥b ，垂足为点M ，若∠1=58°，则∠2的度数是（ ）．A .22B .30C .32D .426．某校抽取九年级的8名男生进行了1次体能测试，其成绩分别为90，75，90，85， 75，85，95，75，（单位：分）这次测试成绩的众数和中位数分别是 （ ）．A ．85，75B ．75，85C ．75，80D ．75，757．已知圆锥的底面半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积等于（ ）.A ．15πB ．14π C．13π D ．12π8．过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面,形成如图几何体，其正确展开图为( ) .A B C D 二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）第5题图2a bcMB A 19．在函数3+=x y 中，自变量x 的取值范围是 .10．若()022=++-a b a ，则=+b a .11．把代数式142-+m m 化为()b a m ++2的形式，其中a 、b 为常数，则a +b = ． 12．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）…根据这个规律探索可得，第20个点的坐标是__________；第90个点的坐标为____________．三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分） 13．()33602120---+︒-πcos解：14．解方程：2132+=+-a a a解：15． 已知4+=y x ，求代数式2524222-+-y xy x 的值.解：16．如图，在△ABC 中，AD 是中线，分别过点B 、C 作AD 及其延长线的垂线BE 、CF ，垂足分别为点E 、F ．求证：BE =CF ． 证明：17．如图，某场馆门前台阶的总高度CB 为0.9m ，为了方便残疾人行走，该场馆决定将其中一个门的门前台阶改造成供轮椅行走的斜坡，并且设计斜坡的倾斜角A ∠为8°，请计算从斜坡起点A 到台阶最高点D 的距离（即斜坡AD 的长）.（结果精确到0.1m ，参考数据：sin 8°≈0.14,cos 8°≈0.99,tan 8°≈0.14）C ABD解：18．如图，平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于点A （2，0），与y 轴交于点B ，点D 在直线AB 上．⑴求直线AB 的解析式；⑵将直线AB 绕点A 逆时针旋转30°，求旋转后的直线解析式．解：⑴⑵四、解答题（共4道小题，每小题均5分，共20分）19．如图1，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE △是等边三角形． ⑴求证：四边形ABCD 是菱形；⑵如图2，若2AED EAD ∠=∠，AC =6．求DE 的长．OBEACD OB EACD图1 图2 证明：⑴ ⑵ 20． 如图，⊙O 中有直径AB 、EF 和弦BC ，且BC 和EF 交于点D ，点D 是弦BC 的中点，CD =4，DF =8.⑴求⊙O 的半径及线段AD 的长； ⑵求sin ∠DAO 的值. 解：⑴ ⑵21．图①、图②反映是某综合商场今年1-4月份的商品销售额统计情况．观察图①和图②，解答下面问题：y x31D B O A FED BOA C⑴来自商场财务部的报告表明，商场1-4月份的销售总额一共是280万元，请你根据这一信息补全图①；⑵商场服装部4月份的销售额是多少万元；⑶小华观察图②后认为，4月份服装部的销售额比3月份减少了．你同意他的看法吗？为什么？ 解：⑴ ⑵ ⑶22．⑴阅读下面材料并完成问题：已知：直线AD 与△ABC 的边BC 交于点D ，①如图1，当BD =DC 时，则S △ABD ________S △ADC ．(填“=”或“＜”或“＞”)DBCADBCABCAD图1 图2 图3②如图2，当BD =21DC 时，则=∆ABD S ADC S ∆ ． ③如图3，若AD ∥BC ,则有ABC S ∆ DBC S ∆ ．(填“=”或“＜”或“＞”)⑵请你根据上述材料提供的信息，解决下列问题：过四边形ABCD 的一个顶点画一条直线，把四边形ABCD 的面积分成1︰2的两部分．（保留画图痕迹）BCAD五、解答题（共3道小题，23题7分，24题8分，25题7分，共22分）23．已知：关于x 的方程mx 2－3(m －1)x ＋2m －3=0.⑴当m 取何整数值时，关于x 的方程mx 2－3(m －1)x ＋2m －3=0的根都是整数； ⑵若抛物线32)1(32-+--=m x m mx y 向左平移一个单位后，过反比例函数)0(≠=k xky 上的一点（-1,3），①求抛物线32)1(32-+--=m x m mx y 的解析式； ②利用函数图象求不等式0>-kx x k 的解集.解：⑴⑵①② 24．探究问题：已知AD 、BE 分别为△ABC 的边BC 、AC 上的中线，且AD 、BE 交于点O .⑴△ABC 为等边三角形，如图1，则AO ︰OD = ；⑵当小明做完⑴问后继续探究发现，若△ABC 为一般三角形（如图2），⑴中的结论仍成立，请你给予证明.⑶运用上述探究的结果，解决下列问题：如图3，在△ABC 中，点E 是边AC 的中点，AD 平分∠BAC , AD ⊥BE 于点F ，若AD =BE =4. 求：△ABC 的周长.ODE ABCOE DBCA1 2 3 4 4 3 2 1xy O -1 -2 -3 -4 -4 -3-2-1D CF B EA图1 图2 图3解：⑴⑵⑶25．如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t（t＞0）秒，抛物线y=x2＋bx＋c经过点O和点P．已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0）、B（1，－5）、D（4，0）．⑴求c、b（可用含t的代数式表示）；⑵当t>1时，抛物线与线段AB交于点M．在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；⑶在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接．．写出t的取值范围．解：⑴⑵⑶参考答案一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 B C B D C B DB二、填空题9、x ≥-3 10、-4 11、-3 12、（6，4）；（13，1） 三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分） 13．解：原式=3121232-+⨯----------------------------------------4分 =3---------------------------------------5分14．解：()()()()32322-=+-++a a a a a ---------------------------------------1分a a a a a364222-=--++ ---------------------------------------2分 24=a ---------------------------------------3分 21=a ---------------------------------------4分是原方程的根经检验：21=a∴是原方程的根21=a ---------------------------5分15．44=-∴+=y x y x 解：---------------------------------------1分原式=2524222-+-y xy x ---------------------------------------2分()2522--=y x ---------------------------------------4分7254242=-⨯==-时，原式当y x ---------------------------------------5分 16．证明： AD 是中线∴BD=CD ---------------------------------------1分 分别过点B 、C 作AD 及其延长线的垂线BE 、CFCFD E ∠=∠∴---------------------------------------2分中和在CFD BED ∆∆ ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠CDF BDE CDBD CFD E ()AAS CFD BED ∆≅∆∴-------------------------------4分 CF BE =∴---------------------------------------5分17．解：E AB DE D 于点作过⊥---------------------------------------1分 ，于B AB CB ⊥ DC ∥AB∴.90==CB DE ---------------------------------------2分A DE AD AED Rt sin =∆ 中，在---------------------------------------4分∴m AD 4.614.09.0≈= EC AD B∴从斜坡起点A 到台阶最高点D 的距离约为6.4m 。

北京市海淀区2015届九年级数学第二次模拟考试试卷海淀区九年级第二学期期末练习数学试卷答案及评分参考选择题（本题共30分，每小题3分）二、填空题（本题共18分，每小题3分）三、解答题（本题共30分，每小题5分）17.(本小题满分5分)解：原式213=+-……………………..………………………………...4分4．……………………………………………………………...5分18. (本小题满分5分)解法一：去括号,得 22133x x -+≤．………………………………………..1分 移项， 得 22133x x -+≤．…………………………………………..2分 合并，得 1533x -≤． ……………………………………………3分 系数化为1，得 5x -≥． …………………………………...……4分不等式的解集在数轴上表示如下：． ……………………………………………5分解法二：去分母，得 2233x x -+≤． …………………………………………………1分移项， 得 2332x x -+≤．…………………………………………………2分合并，得 5x -≤． ……………………………………………..3分 系数化为1，得 5x -≥． ………………………………………………..4分不等式的解集在数轴上表示如下：． …………………………………………5分19．(本小题满分5分)证明：在△ABC 中∵∠BAC =∠BCA ，∴AB =CB ． ……………………………………………1分∵∠BAE =∠BCD =90°，在Rt △EAB 和Rt △DCB 中， DA,,AB CB BE BD =⎧⎨=⎩∴Rt △EAB ≌Rt △DCB ． ……………………………………4分∴∠E =∠D ． …………………………………………5分20.(本小题满分5分)解：原式()()()3444x x x x x x x --=---…………………………………………………………….1分 ()2344x x x x x --+=-……………………………………………………………2分 22444x x x x-+=-．………………………………………………………………3分 ∵2410x x --=，∴241x x -=．…………………………………………………………………4分 ∴原式1451+==．………………………………………………..5分 21. (本小题满分5分)解：设小明家到学校的距离为x 米．…………………………………………..1分由题意，得 403025x x +=．……………………………………………………..3分解得 6000x =． ……………………………………………..4分 答：小明家到学校的距离为6000米． ……………………………………….5分22. (本小题满分5分)解：（1）∵关于x 的方程24310x x a -+-=有两个实数根，∴2(4)4(31)0a ∆=---≥．……………………………………………………..1分解得 53a ≤．……………………………………………2分 ∴a 的取值范围为53a ≤．（2）∵53a ≤，且a 为正整数， ∴1a =．……………………………………………………………3分∴方程24310x x a -+-=可化为2420x x -+=．∴此方程的根为1222x x ==分四、解答题（本题共20分，每小题5分）23. (本小题满分5分)（1）证明： ∵ED ⊥AD ，∴∠ADE =90°．在Rt △ADE 中，∠DAE=30°，AE =4，∴60DEA =∠o ，122DE AE ==．……………………………………1分 ∵2EC =， ∴DE EC =．∴EDC C =∠∠．又60,EDC C DEA +=∠=∠∠o Q∴30C DAE =∠=∠o．∴AD=DC ． ………………….……………………………2分（2）解：过点A 作AF ⊥BC 于点F ，如图．∴∠AFC =∠AFB =90°．∵AE =4，EC =2， ∴AC =6．在Rt △AFC 中，∠AFC =90°，∠C=30°，∴132AF AC ==在Rt △AFB 中，∠AFB =90°，tan B=3，∴1tan AFBF B==．……….………………………………………………………………………4分∴AB (5)分24. (本小题满分5分)（1）8m =；5n =；………………………………………………………………………………...2分 （2）………………………………………...4分（3）适中． …………………………………………………………………….5分25．(本小题满分5分) 证明：连接OE ，OC ．在△OEC 与△OAC 中， ,,,OE OA OC OC CE CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△OEC ≌△OAC..1分∴∠OEC =∠OAC ．∵∠OAC =90°， ∴∠OEC =90°． ∴OE ⊥CF 于E ．∴CF 与⊙O 相切．…………………………………………………...2分（2）解：连接AD ．∵∠OEC =90°，∴∠OEF =90°．∵⊙O 的半径为3，∴OE =OA=3．在Rt △OEF 中，∠OEF =90°，OE = 3，EF = 4∴5OF 分3tan 4OE F EF ==． 在Rt △FAC 中，∠FAC =90°，8AF AO OF =+=，∴tan 6AC AF F =⋅=．…………………………………………………………4分 ∵AB 为直径，∴AB =6=AC ，∠ADB =90°．∴BD =2BC ．在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，∴BC =∴BD =26. (本小题满分5分) 解：（1）当k ＝1时，使得原等式成立的x 分（2）当0＜k ＜1时，使得原等式成立的x 分（3）当k ＞1时，1 ．…..解决问题：将不等式240 (x a a x +-<研究函数2(0)y x a a =+>与函数4y x =∵函数4y x=的图象经过点A (1,4)，B 函数2y x =的图象经过点C (1,1)，D F F若函数2(0)y x a a =+>经过点A (1,4)，则3a =， ……………………………………4分 结合图象可知，当03a <<时，关于x 的不等式24(0)x a a x+<>只有一个整数解．也就是当03a <<时，关于x 的不等式240 ()x a a x+-<＞0只有一个整数解. ………5分五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27. (本小题满分7分)解：（1）∵抛物线224y mx m m x -++=与y 轴交于点A （0,3），∴43m +=． ∴1m =-．∴抛物线的表达式为232y x x =-++．……………………………………1分 ∵抛物线232y x x =-++与x 轴交于点B ，C ， ∴令0y =，即 2320x x +-=+． 解得 11x =-，23x =．又∵点B 在点C 左侧，∴点B 的坐标为(1,0)-，点C 的坐标为(3,0)．……………………...……3分（2）∵2223(1)4y x x x +=---++=，∴抛物线的对称轴为直线1x =． ∵抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，∴点D 的坐标为(1,0)．……………………………………………...………4分 ∵直线y kx b =+经过点D (1,0)和点E (1,2)--，∴0,2.k b k b +=⎧⎨-+=-⎩解得1,1.k b =⎧⎨=-⎩∴直线DE 的表达式为1y x =-. ………………………………………5分 （3）1t <或3t > ………………………………………………………7分28．(本小题满分7分)（1）∠ADE =90α︒-．………………………………………….…1分 （2）①证明：∵四边形ABFE 是平行四边形，∴AB∥EF．∴EDC ABCα∠=∠=．…………………………….……2分由（1）知，∠ADE =90α︒-，∴90∠=∠+∠=︒．…………………...……3分ADC ADE EDC∴AD⊥BC．∵AB=AC，∴BD=CD．……………………………..……………4分②证明：∵AB=AC，∠ABC =α，Array∴C Bα∠=∠=．∵四边形ABFE是平行四边形，∴AE∥BF, AE=BF．∴EAC Cα∠=∠=．……………………………………5分由（1）知，2∠=，DAEα∴DACα∠=． (6)分∴DAC C∠=∠．∴AD=CD．∵AD=AE=BF，∴BF=CD．∴BD=CF．…………………………………………………7分② 阴影部分关于直线12y =对称，故不妨设点M 位于阴影部分下方． ∵点M 在y 轴上，⊙M 上只有一个点为12T T -联络点， 阴影部分关于y 轴对称，∴⊙M 与直线AC 相切于O (0，0)，且⊙M 与直线AD 相离． 作ME ⊥AD 于E ，设AD 与BC 的交点为F ，∴MO = r ，ME > r ，F (0，12)．在Rt △AOF 中，∠AOF =90°，AO =1，12OF =，∴AF =在Rt △FEM 中，∠FEM ∴sin ME FM =⋅∠r >∴02r <<。

海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理）答案及评分参考 2015.5一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）D （3）D （4）A（5）B （6）A （7）C （8）C二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。

有两空的小题，第一空2分，第二空3分）（9）2，413n - （10）30︒，1 （11）0a > ，2a a =+（12）)+∞ （13）14 （14）(,1]10 三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）因为 a A =，所以 2222b c a a bc+-=. ………………3分因为 5c =，b =所以 23404930a a +-⨯=.解得：3a =，或493a =-（舍）. ………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：cos 33A ==. 所以 21cos 22cos 13A A =-=. ………………9分因为 3a =，5c =，b =所以 2221cos 23a cb B ac +-==. ………………11分 所以cos2cos A B =. ………………12分 因为 c b a >>，所以 (0,)3A π∈.因为 (0,)B ∈π，所以 2B A ∠=∠. ………………13分另解：因为 (0,)A ∈π， 所以sin A ==.由正弦定理得：sin B = 所以sin 3B =. 所以sin 22sin 3A B ===. ………………12分 因为 c b a >>， 所以 (0,)3A π∈，(0,)2B π∈.所以 2B A ∠=∠. ………………13分 （16）（共13分）解：（Ⅰ）20名女生掷实心球得分如下：5，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10．所以中位数为8，众数为9． ………………3分（Ⅱ）X 的可能取值为0，1，2． ………………4分()21222033095C P X C ===；()1112822048195C C P X C ===；()2822014295C P X C ===；………………10分 （Ⅲ）略. ………………13分评分建议：从平均数、方差、极差、中位数、众数等角度对整个年级学生掷实心球项目的情况进行合理的说明即可；也可以对整个年级男、女生该项目情况进行对比；或根据目前情况对学生今后在该项目的训练提出合理建议.（17）（共14分）（Ⅰ）证明：连结BD 交AC 于点O ，连结OM .因为 //AB CD ，2AB CD =，所以 2BO AB DO CD ==. 因为 2BM MP =，所以 2BM PM=. 所以 BM BO PM DO=. 所以 //OM PD . ………………2分因为 OM ⊂平面MAC ，PD ⊄平面MAC ，所以 //PD 平面MAC . ………………4分（Ⅱ）证明：因为 平面PAD ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，平面PAD I 平面ABCD AD =，AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥平面PAD . ………………6分 因为 PA ⊂平面PAD ，所以 AB PA ⊥. ………………7分 同理可证：AD PA ⊥.因为 AD ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AD AB A =I ，所以PA ⊥平面ABCD . ………………9分（Ⅲ）解：分别以边,,AD AB AP 所在直线为,,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由22AB AD AP CD ====得(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(2,1,0)C ，(2,0,0)D ，(0,0,2)P ，则(2,1,0)AC =uu u r ，(0,2,2)PB =-u u r .由（Ⅱ）得：PA ⊥平面ABCD .所以 平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)n =r . ………………10分 设PM PBλ=(01)λ≤≤，即PM PB λ=uuu r uu r .所以 (0,2,22)AM AP PB λλλ=+=-u u u r u u u r u u r . M B D C O AP设平面AMC 的法向量为(,,)m x y z =u r ，则0,0,m AC m AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uuu r u r uuu r 即20,2(22)0.x y y z λλ+=⎧⎨⋅+-⋅=⎩令1x λ=-，则22y λ=-，2z λ=-.所以 (1,22,2)m λλλ=---u r . ………………12分 因为 二面角B AC M --的余弦值为23， 所以23=，解得12λ=. 所以PM PB 的值为12. ………………14分 （18）（共13分）解：（Ⅰ）令()0f x =，得e x =.故()f x 的零点为e . ………………1分22231()(1ln )22ln 3'()()x x x x x f x x x-⋅--⋅-==（0x >）. ………………3分 令 '()0f x =，解得 32e x =. 当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：所以 ()f x 的单调递减区间为32(0,e )，单调递增区间为32(e ,)+∞. ………………6分（Ⅱ）令ln ()x g x x =.则2211ln 1ln '()()x x x x g x f x x x⋅-⋅-===. ………………7分 因为 11()44ln 244622f =+>+⨯=，(e)0f =，且由（Ⅰ）得，()f x 在(0,e)内是减函数，所以 存在唯一的01(,e)2x ∈，使得00'()()6g x f x ==.当[e,)x ∈+∞时，()0f x ≤.所以 曲线ln x y x =存在以00(,())x g x 为切点，斜率为6的切线. ………………10分 由00201ln '()6x g x x -==得：200ln 16x x =-. 所以 20000000ln 161()6x x g x x x x x -===-. 因为 012x >, 所以 012x <，063x -<-. 所以 00()1y g x =<-. ………………13分（19）（共14分）解：（Ⅰ）依题意得22224,,.a c b a b c ⎧=⎪=⎨⎪-=⎩解得：2a =，b c ==………………3分所以圆O 的方程为222x y +=，椭圆C 的方程为22142x y +=. ………………5分 （Ⅱ）解法一：如图所示，设00(,)P x y （00y ≠）， 0(,)Q Q x y ，则22002201,422,Q x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩即220022042,2.Q x y x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ ………………7分又由00:(2)2y AP y x x =++得002(0,)2y M x +.由00:(2)2y BP y x x =--得02(0,)2y N x --.………………10分所以 0000002(,)(,)22Q Q y x yQM x y x x x =--=--++uuu r ,0000002(,)(,)22Q Q y x y QN x y x x x =---=----uuu r .所以 222222000002200(42)2042Q x y y y QM QN x y x y -⋅=+=-+=--uuu r uuu r .所以 QM QN ⊥，即90MQN ∠=︒. ………………14分（Ⅱ）解法二：如图所示，设00(,)P x y ，:(2)AP y k x =+（0k ≠）. 由221,42(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2222(21)8840k x k x k +++-=.所以 20284221k x k --=+，即2022421k x k -=+.所以 02421k y k =+，即222244(,)2121k kP k k -++.所以 直线BP 的斜率为2224121242221kk k kk +=---+.所以 1:(2)2BP y x k =--.令0x =得:(0,2)M k ，1(0,)N k . ………………10分设0(,)Q Q x y ，则0(,2)Q QM x k y =--uuu r ，01(,)Q QN x y k =--uuu r .所以 22220000121(2)()2Q Q k QM QN x k y y x y y k k+⋅=+--=++-⋅uuu r uuu r . 因为 2200242,21Q k x y y k +==+， 所以 0QM QN ⋅=uuu r uuu r . 所以 QM QN ⊥，即90MQN ∠=︒. ………………14分（20）（共13分）解：（Ⅰ）1:2,1,3A 或1:1,3,2A . ………………2分.（Ⅱ）3:5,6,7,2,3,4,9,8,1A ； ………………4分4:5,6,7,8,1,2,3,4,9A . ………………6分 （Ⅲ）考虑数列12:,,,n A a a a L ，满足1i i a a +<的数对1,i i a a +的个数，我们称之为“顺序数”．则等差数列0A ：2015,2004,,1L 的顺序数为0，等差数列n A ：1,2,,2015L 的顺序数为2014． 首先，证明对于一个数列，经过变换T ，数列的顺序数至多增加2．实际上，考虑对数列,,,,,,,,,p a b c d q L L L L ，交换其相邻两段,,a b L 和,,c d L 的位置，变换为数列,,,,,,,,,p c d a b q L L L L .显然至多有三个数对位置变化．假设三个数对的元素都改变顺序，使得相应的顺序数增加，即由,,p a b c d q >>>变为,,p c d a b q <<<．分别将三个不等式相加得p b d a c q ++>++与p b d a c q ++<++，矛盾．所以 经过变换T ，数列的顺序数至多增加2．其次，第一次和最后一次变换，顺序数均改变1．设n 的最小值为x ，则()2222014x +-≥，即1008x ≥． ………………10分 最后，说明可以按下列步骤，使得数列1008A 为1,2,,2015L ．对数列0:A 2015,2014,,1L ，第1次交换1,2,,1007L 和1008,1009位置上的两段，得到数列1A ：1008,1007,2015,2014,,1010,1009,1006,1005,,2,1L L ；第2次交换2,3,,1008L 和1009,1010位置上的两段，得到数列2A ：1008,1009,1006,1007,2015,2014,,1011,1010,1005,1004,,2,1L L ；第3次交换3,4,,1009L 和1010,1011位置上的两段，得到数列3A ：1008,1009,1010,1005,1006,1007,2015,2014,,1012,1011,1004,1003,,2,1L L ； L L ，以此类推第1007次交换1007,1008,,2013L 和2014,2015位置上的两段，得到数列1007A ： 1008,1009,,2013,2014,1,2,,1006,1007,2015L L ；最终再交换1,2,,1007L 和1008,1009,,2014L 位置上的两段，即得1008A ：1,2,,2015L ． 所以 n 的最小值为1008. ………………13分。

2015北京各区中考数学二模27题汇编及答案27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线224y mx m m x -++=与y 轴交于点A （0,3），与x 轴交于点B ，C （点B 在点C 左侧）.（1）求该抛物线的表达式及点B ，C 的坐标；（2）抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，若直线y kx b =+经过点D 和点 E (1,2)--，求直线DE 的表达式；（3）在（2）的条件下，已知点P （t ，0），过点P 作垂直于x 轴的直线交抛物线于点M ，交直线DE 于点N ，若点M 和点N 中至少有一个点在x 轴下方，直接写出t 的取值范围．27已知一次函数1y kx b =+（k ≠0）的图象经过(2,0)，(4,1)两点，二次函数2224y x ax =-+（其中a ＞2）．（1）求一次函数的表达式及二次函数图象的顶点坐标（用含a 的代数式表示）； （2）利用函数图象解决下列问题： ①若25=a ，求当10y >且2y ≤0时，自变量x 的取值范围； ②如果满足10y >且2y ≤0时的自变量x 的取值范围内恰有一个整数，直接写出a的取值范围．()27．在平面直角坐标系中，抛物线2+3y ax bx =+()0≠a 与x 轴交于点A （-3,0）、B （1,0）两点， D 是抛物线顶点，E 是对称轴与x 轴的交点.(1)求抛物线的解析式;(2)若点F 和点D 关于x 轴对称, 点P 是x 轴上的一个动点，过点P 作PQ ∥OF 交抛物线于点Q ，是否存在以点O ,F ,P ,Q 为顶点的平行四边形？若存在，求出点P 坐标;若不存在，请说明理由.27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21y ax bx =++经过(13)A ，，(21)B ，两点.（1）求抛物线及直线AB 的解析式；（2）点C 在抛物线上，且点C 的横坐标为3．将抛物线在 点A ，C 之间的部分（包含点A ，C ）记为图象G ，如 果图象G 沿y 轴向上平移（）个单位后与直线 AB 只有一个公共点，求的取值范围．t 0t >t27．已知关于x 的方程()231220mx m x m --+-=．（1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根；（2）若关于x 的二次函数()23122y mx m x m =--+-的图象经过坐标原点，得到抛物线1C ．将抛物线1C 向下平移后经过点()0,2A -进而得到新的抛物线2C ,直线l 经过点A 和点()2,0B ，求直线l 和抛物线2C 的解析式；（3）在直线l 下方的抛物线2C 上有一点C ，求点C 到直线l 的距离的最大值．27. 已知：关于x 的一元二次方程22(1)20(0)ax a x a a --+-=>． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为1x ，2x （其中1x ＞2x ）．若y 是关于a 的函数，且21y ax x =+，求这个函数的表达式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：若使231y a ≤-+，则自变量a 的取值范围为 ．27．已知抛物线2y ax bx c =++经过原点O 及点A （-4，0）和点B （-6，3）． （1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）如图1，将直线2y x =沿y 轴向下平移后与（1）中所求抛物线只有一个交点C ，平移后的直线与y 轴交于点D ，求直线CD 的解析式；（3）如图2，将（1）中所求抛物线向上平移4个单位得到新抛物线，请直接写出新抛物线上到直线CD 距离最短的点的坐标及该最短距离．27．已知关于x 的方程()2230x m x m +-+-=．（1）求证：方程()2230x m x m +-+-=总有两个实数根； （2）求证：抛物线()223y x m x m =+-+-总过x 轴上的一个定点；（3）在平面直角坐标系xOy 中，若（2）中的“定点”记作A抛物线()223y x m x m =+-+-与x 轴的另一个交点为B 与y 轴交于点C ，且△OBC 的面积小于或等于8，求m 的 取值范围．图2xyO27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线214y x bx c =-++经过点A （4，0）和B （0，2）．（1）求该抛物线的表达式；（2）在（1）的条件下，如果该抛物线的顶点为C ，点B 关于抛物线对称轴对称的点为D ，求直线 CD 的表达式；（3）在（2）的条件下，记该抛物线在点A ，B 之间的部分（含点A ，B ）为图象G ，如果图象G 向上平移m （m ＞0）个单位后与直线CD 只有一个公共点，请结合函数的图象，直接写出m 的取值范围．27.已知关于x 的一元二次方程()23130kx k x +++= (k ≠0).（1）求证：无论k 取何值，方程总有两个实数根；（2）点()()120,0A x B x ，、在抛物线()2313y kx k x =+++上，其中12x x ＜0＜，且12x x 、和k 均为整数，求A ，B 两点的坐标及k 的值；（3） 设（2）中所求抛物线与y 轴交于点C ，问该抛物线上是否存在点E ，使得ABEABCS S=，若存在，求出E 点坐标，若不存在，说明理由.yx11O27．如图，在平面直角坐标系中，点A(5,0)，B(3,2)，点C在线段OA上，BC=BA，点Q 是线段BC上一个动点，点P的坐标是(0,3)，直线PQ的解析式为y=kx+b(k≠0)，且与x轴交于点D．（1）求点C的坐标及b的值；（2）求k的取值范围；（3）当k为取值范围内的最大整数时，过点B作BE∥x﹣5ax(a≠0)的顶点在四边形ABED的内部，求a27．已知关于x的方程mx2－(3m－1)x+2m－2=0（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根．（2）若关于x的二次函数y= mx2－(3m－1)x+2m－2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求二次函数的表达式．答案27. (本小题满分7分)解：（1）∵抛物线224y mx m m x -++=与y 轴交于点A （0,3），∴43m +=． ∴1m =-． ∴抛物线的表达式为232y x x=-++．…………………………………………………………………1分 ∵抛物线232y x x =-++与x 轴交于点B ，C ， ∴令0y =，即 2320x x +-=+． 解得 11x =-，23x =． 又∵点B 在点C 左侧， ∴点B的坐标为(1,0)-，点C 的坐标为(3,0)．…………………………………………………...……3分（2）∵2223(1)4y x x x +=---++=，∴抛物线的对称轴为直线1x =． ∵抛物线的对称轴与x 轴交于点D ， ∴点D的坐标为(．…………………………………………………………………………...………4分 ∵直线y kx b =+经过点D (1,0)和点E (1,2)--，∴0,2.k b k b +=⎧⎨-+=-⎩解得1,1.k b =⎧⎨=-⎩∴直线DE的表达式为1y x =-. ………………………………………………………………………5分（3）1t <或3t > ……………………………………………………………………………………………7分27．解：（1）∵ 一次函数1y kx b =+（k ≠0）的图象经过(2,0)，(4,1)两点，∴ 20,4 1.k b k b +=⎧⎨+=⎩解得1,21.k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ……………………………………………………………… 1分∴ 1211-=x y ． ………………………………………………………… 2分 ∵ 22224)(42a a x ax x y -+-=+-=，∴ 二次函数图象的顶点坐标为2(,4)a a -．………………………………… 3分（2）①当25=a 时，4522+-=x x y ． ………………………………… 4分如图10，因为10y >且2y ≤0，由图象得2＜x ≤4． ………………………… 6分②136≤a ＜52．……………………………7分27．解：（1）据题意得9-3b+3=01,a+b+3=0. 2.a ab =-⎧⎧⎨⎨=-⎩⎩，解得 ∴解析式为y = -x 2 -2x +3 ……3分 （2）当12bx a=-=-时，y =4 ∴顶点D （-1,4）∴F (-1，-4)… 4分 若以点O 、F 、P 、Q 为顶点的平行四边形存在，则点Q （x ,y ）满足4y EF == ①当y = - 4时，-x 2-2x +3= -4解得，1x =-±∴12(14),(14)Q Q ----+-∴12(P P -……6分 ②当y = 4时，-x 2-2x +3= 4 解得，x = - 1 ∴Q 3(-1,4) ∴P 3(-2,0)……7分综上所述，符合条件的点有三个即：123((2,0)P P P --27 . 解：（1）∵抛物线21y ax bx =++过(13)A ，，(21)B ，两点．∴134211a b a b ++=⎧⎨++=⎩ ．…….1分解得，24a b =-⎧⎨=⎩ ．∴抛物线的表达式是224+1y x x =-+．…….2分 设直线AB 的表达式是y mx n =+ ，∴321m n m n +=⎧⎨+=⎩ ，解得，25m n =-⎧⎨=⎩ ．…….3分∴直线AB 的表达式是25y x =-+．…….4分 （2）∵点C 在抛物线上，且点C 的横坐标为3．∴C （3，-5）．…….5分点C 平移后的对应点为点'(3,5)C t -代入直线表达式25y x =-+，解得4t =．…….6分结合图象可知，符合题意的t 的取值范围是04t <≤． …….7分27．解：（1）当0m =时，2x =当0m ≠时，()()231422m m m ∆=---2296188m m m m =-+-+()22211m m m =++=+∵()210m +≥，∴0∆≥综上所述：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根；………………………3分 （2）∵二次函数2(31)22y mx m x m =--+-∴220m -=∴1m =………………………4分抛物线1C 的解析式为：22y x x =- 抛物线2C 的解析式为：222y x x =-- 设直线l 所在函数解析式为：y kx b =+将A 和点()2,0B 代入y kx b =+∴直线l 所在函数解析式为：2y x =-………5分（3）据题意：过点C 作CE x ⊥轴交AB 于E ，可证45DEC OAB ∠=∠=︒ ,则2CD =设()2,22C t t t --，(),2E t t -，()03t <<∴E C EC y y =-23t t =-+23924t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭………………………6分∵3032⎛⎫<< ⎪⎝⎭∴当32t =时，max 94EC = ∵CD 随EC 增大而增大，∴max CD =.………………………7分27. （1）证明：22(1)20(0)ax a x a a --+-=>是关于x 的一元二次方程，2[2(1)]4(2)a a a ∴∆=---- ·················································································· 1分 =4． 即0∆>．∴方程有两个不相等的实数根． ·········································································· 2分 （2） 解：由求根公式，得2(1)22a x a-±=．∴1x =或21x a=-． ······························································································ 3分 0a >，1x ＞2x ，11x ∴=，221x a=-． ····························································································· 4分 211y ax x a ∴=+=-．即1(0)y a a =->为所求．………………………………………………………5分（3）0＜a ≤23．…………………………………………………………………………7分27．解：（1）∵ 抛物线经过()0,0，()4,0- ，()6,3-三点， ∴01640,366 3.c a b a b =⎧⎪-=⎨⎪-=⎩…………………………………………………………………… 1分 解得1410a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，，． ………………………………………………………………………… 2分 ∴ 抛物线的解析式为214y x x =+．∵()()22211144421444y x x x x x =+=++-=+-∴抛物线的顶点坐标为()2,1-- …………………………………………………… 3分（2）设直线CD 的解析式为2y x m =+，根据题意，得2124x x x m+=+， …………………………………………………… 4分 化简整理，得2440x x m --=， 由16160m ∆=+=，解得1m =-， ………………………………………………… 5分∴直线CD 的解析式为21y x =- ．（3）点的坐标为()2,7， …………………………………………………………… 6分最短距离为． ……………………………………………………………… 7分 27． 解：（1）24b ac -=()()2243m m ---........................................................1分 =244412m m m -+-+ =2816m m -+ =()24m - ∵()240m -≥，∴方程()2230x m x m +-+-=总有两个实数根．..............................................2分（2）()21,224m m x -±-==()242m m -±-．...............................................3分∴11x =-，23x m =-+，∴抛物线()223y x m x m =+-+-总过x 轴上的一个定点（-1,0）．................4分 （3）∵抛物线()223y x m x m =+-+-与x 轴的另一个交点为B ，与y 轴交于点C ， ∴B （3-m ,0），C （0, m -3），...................................................................................5分 ∴△OBC 为等腰直角三角形， ∵△OBC 的面积小于或等于8， ∴OB ，OC 小于或等于4，∴3-m ≤4或m -3 ≤4， .......................................................................................6分 ∴m ≥-1或m ≤7．∴-1≤m ≤7且3m ≠．............................................................................................7分 27．（本小题满分7分）解：（1）∵ 抛物线214y x bx c =-++经过点A （4，0）和B （0，2）．∴ 21440,42.b c c ⎧-⨯++=⎪⎨⎪=⎩………………………………………………1分解得 1,22.b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴ 此抛物线的表达式为211242y x x =-++．………………………2分 （2）∵()221119214244y x x x =-++=--+， ∴ C （1，94）．…………………………………………………………3分 ∵ 该抛物线的对称轴为直线x =1，B （0，2），∴ D （2，2）．……………………………………………………………4分 设直线CD 的表达式为y =kx +b ．由题意得 9,42 2.k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得 1,45.2k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴ 直线CD 的表达式为1542y x =-+．………………………………5分 （3）0.5＜m ≤1.5．……………………………………………………………7分27. （1）∵()()222Δ=3112961310k k k k k +-=-+=-≥∴方程总有两个实数根.……………………………………………………2分 （2）由求根公式得：()()31312k kx k-+?=∴3x =-或1x k=- ∵12x x 、和k 均为整数∴=1k ± 又∵120x x ＜＜∴1k =-…………………………………………………………………………3分 ∴A (-3,0), B (1,0) ……………………………………………………4分 （3）()()()2,3131，，--+---…………………………………………7分27．解：（1）直线y=kx+b (k ≠0)经过P (0,3)，∴b =3． (1)过点B 作BF ⊥AC 于F ， ∵A (5,0)，B (3,2)，BC =BA ， ∴点F 的坐标是（3,0）． ∴点C 的坐标是（1,0）．…………………………………（2）当直线PC 经过点C 时，k =﹣3． 当直线PC 经过点B 时，k =13-．………………………∴133k -≤≤-……………………………………………（3）133k -≤≤-且k 为最大整数，∴k =﹣1．则直线PQ 的解析式为y=﹣x+3．∵抛物线y=ax 2﹣5ax (a≠0)的顶点坐标是52524a ⎛⎫-⎪⎝⎭，，对称轴为52x =．解方程组352y x x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩，得5212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 即直线PQ 与对称轴为52x =的交点坐标为5122⎛⎫⎪⎝⎭，，…………………………………………6 ∴125224a <-<． 解得822525a -<<-． (7)27.解：(1)△=9m 2-6m +1-8m 2+8m =m 2+2m +1，=（m +1）2；∴△=（m +1）2≥0，………………………………………….(1分) ∴无论m 取任何实数时，方程恒有实数根；(2)设x 1，x 2为抛物线y =mx 2-（3m -1）x +2m -2与x 轴交点的横坐标． 令y =0，则mx 2-（3m -1）x +2m -2=0由求根公式得，x 1=2，， …………………………….(2分)∴抛物线y =mx 2-（3m -1）x +2m -2不论m 为任何不为0的实数时恒过定点（2，0）．∴x 2=0或x 2=4，∴m =1或 ) 当m =1时，y =x 2-2x ，，∴抛物线解析式为y =x 2-2x当 时,382312-+-=x x y答：抛物线解析式为y =x 2-2x ；或 382312-+-=x x y ……….(3分)。