高中数学(人教A版)必修一课后习题：对数的概念(课后习题)【含答案及解析】

4.3.1 对数的概念-【新教材】人教A 版（2019）高中数学必修第一册同步练习（含解析）一、单选题1. 把对数式x =lg2化为指数式为( )A. 10x =2B. x 10=2C. x 2=10D. 2x =102. 若a 2017=b(a >0，且a ≠1)，则( )A. log a b =2017B. log b a =2017C. log 2017a =bD. log 2017b =a3. 若f (e x )=x ，则f (e)= ( )A. 1B. e eC. 2eD. 0 4. 若2a =4，则log a 12的值是( )A. −1B. 0C. 1D. 12 5. 使对数log a (−2a +1)有意义的a 的取值范围为( )A. a >12且a ≠1B. 0<a <12C. a >0且a ≠1D. a <12 6. 下列对数式正确的是( )A. lg10=0B. lg0=1C. ln1=eD. ln1=07. 若log a 8=−3，则a 的值为( )A. 3B. 13C. 2D. 12 8. 已知函数f(x)=log 2(x +1)，若f(α)=1，则α的值为( )A. 0B. 1C. 2D. 39. 下列各式正确的个数是( )①lg(lg10)=0；②lg(lne)=0；③若10=lgx ，则x =10；④若log 25x =12，则x =±5．A. 1B. 2C. 3D. 4 10. 在对数式b =log a−3(5−a)中，实数a 的取值范围是( )A. (−∞,3)∪(5,+∞)B. (3,5)C. (3,4)∪(4,5)D. (3,4)二、多选题 11. 有以下四个结论，正确的是( )A. lg(lg10)=0B. ln(lne)=0C. 若10=lgx ，则x =10D. 若e =lnx ，则x =e 212. 若log x √y 3=4，则x ，y 之间的关系正确的是( )A. x 4=√y 3B. y =64xC. y =x 12D. x =√y 23三、填空题 13. lg √1000√10034=_________．14. 已知4 a =2，lg x =a ，则x =_________．15. 若2√a−1有意义，则实数a 的取值范围是________．16. 若log 2(log 3(log 4x))=log 3(log 4(log 2y))=0，则x +y 的值为________． 17. (1)已知log a 2=m ，log a 3=n ，则a 2m−n 的值为________．(2)若a >0，a 3=49，则log 23a =________． 18. 31+log 314=________．四、解答题 19. 将下列指数式与对数式互化：(1)2−2=14；(2)102=100；(3)e a =16；(4)log 6414=−13；(5)log x y =z(x >0，且x ≠1，y >0)．20.(1)求证：a log a N=N(a>0且a≠1)．(2)用第(1)题的结论求下列式子的值．①2log264．②32log39．③2log4(2−√3)2+3log9(2+√3)2．21.求下列各式中x的值：(1)ln(lgx)=1；(2)log2(log5x)=0；．22.求下列各式中x的值：(1)4x=5·3x；(2)log7(x+2)=2；(3)lne2=x；；(5)lg0.01=x．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了对数与对数运算的相关知识，试题难度容易【解答】解：因为lg2表示以10为底2的对数，由对数的定义可知对数式x=lg2化为指数式为10x=2．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查了对数与对数的运算的相关知识，试题难度容易【解答】解：若a2017=b(a>0，且a≠1)，则2017=log a b.3.【答案】A【解析】【分析】本题考查指数的运算，只需在函数中令e x=e，解得x=1即可．【解答】解：在f(e x)=x中，令e x=e，可得x=1．故f(e)=1．故选A．4.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了指数幂的运算和对数的运算，属于基础题．由给出的等式先求出a的值，再求对数的值．【解答】解：因为2a=4，所以a=2．则log a12=log212=−1．故选A．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了对数方程与对数不等式的相关知识，试题难度容易【解答】解：由题意知{−2a+1>0,a>0,a≠1,解得0<a<12．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了对数运算，属于基础题．根据对数运算依次判断各个选项．【解答】解：lg10=1，故A错误；lg0无意义，故B错误；ln1=0，故C错误，D正确．故选D．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查对数和指数互化，理解对数的概念是解题的关键.根据对数与指数互化，然后利用指数运算可得a的值．【解答】解：∵log a8=−3，得：a−3=8．解得a=12故选D．【解析】【分析】本题考查了对数和指数的互化，是一道基础题．问题转化为α+1=2，解出即可．【解答】解：∵函数f(x)=log 2(x +1)，∴f(α)=log 2(α+1)=1，∴α+1=2，解得：α=1，故选B ．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查两个特殊的对数值：底数的对数是1，1的对数为0、考查对数式与指数式间的互化．通过底数的对数是1，1的对数为0判断出①②对；通过对数式与指数式间的转化判断出③④错．【解答】解：对于①∵lg(lg10)=lg1=lg0，故①对；对于②∵lg(lne)=lg1=0，∴②对；对于③，∵10=lgx ∴x =1010,∴③错；对于④，，∴x =5，∴④错．故选B ． 10.【答案】C【解析】【分析】本题考查了对数函数及其性质的相关知识，试题难度容易【解答】解：由{a −3>0,a −3≠1,5−a >0得3<a <5且a ≠4．【解析】【分析】本题考查了对数与对数运算的相关知识，试题难度较易【解答】解：lg(lg10)=lg1=0，ln(lne)=ln1=0，故AB 正确；若10=lgx ，则x =1010，故C 错误；若e =lnx ，则x =e e ，故D 错误． 12.【答案】AC【解析】【分析】本题考查指数幂的化简及对数的运算性质，属于较易题．由已知条件，化简即可得结果．【解答】解： log x √y 3=4=log x x 4，则x 4=√y 3，y =x 12．故选AC ．13.【答案】1112【解析】【分析】本题考查对数的运算性质，指数的运算性质，关键是掌握运算性质，是容易题．【解答】解：lg √1000√10034=lg √1000×100134=lg √101134=lg101112=1112．故答案为1112． 14.【答案】√10【解析】【分析】本题考查指数的运算和对数的运算，关键是掌握各个运算性质．【解答】解： ∵4a =22a =2，∴a =12．∵lgx =12.∴x =√10．故答案为√10． 15.【答案】(1,2) 【解析】【分析】本题考查函数的定义域和值域，利用对数函数定义域以及根号表达式定义域，注意分母不为0，容易得到{2−a >0a −1>0，求解该不等式即可得到实数a 的取值范围． 【解答】解： 因为表达式2√a−1有意义，容易得到{2−a >0a −1>0, 解得a ∈(1,2) ，故本题答案是(1,2) ．16.【答案】80【解析】【分析】本题主要考查对数运算，考查计算能力，属于基础题．利用对数运算log a 1=0,log a a 以及指数对数的互化为解题关键．【解答】解：因为log 2(log 3(log 4x))=log 3(log 4(log 2y))=0，所以log 3(log 4x)=1，log 4(log 2y)=1，所以log 4x =3，log 2y =4，所以x =43=64,y =24=16，则x +y =80．故答案为80．17.【答案】(1)43(2)23【解析】(1)【分析】本题考察对数运算和指数幂运算规律，属于基本题.先将对数转化为指数，然后利用指数幂的运算规律求解即可．【解答】解：因为log a2=m，log a3=n所以a m=2，a n=3，则a2m−n=a m×a m÷a n=2×2÷3=43．(2)【分析】本题考察对数运算，属于基本题.先等价变形得到将log23a=13log23a3，然后将a3=49代入求解即可．【解答】解：log23a=13log23a3=13log2349=13log23(23)2=23．18.【答案】34【解析】【分析】本题主要考查指数与zhis指数幂的运算以及对数的运算，属于基础题．【解答】解：．故答案为34．19.【答案】解：；，即lg100=2；，即ln16=a；(4)64−13=14；(5)x z=y(x>0，且x≠1，y>0)．【解析】本题主要考查指数式与对数式互化，属于基础题．20.【答案】解：(1)证明：由对数的定义，可以知道，a b=N⇔log a N=b，将log a N=b，代入a b=N，即可得a log a N=N(2)①2log264=64；②32log39=3log381=81;③2log4(2−√3)2+3log9(2+√3)2=4log4(2−√3)+9log9(2+√3)=2−√3+2+√3=4．【解析】本题考查对数与对数运算(1)由对数的定义得到a b=N⇔log a N=b，运用代入法，即可得证；(2)运用(1)的结论以及对数运算法则即可得解．21.【答案】解：(1)∵ln(lgx)=1，∴lgx=e，∴x=10e；(2)∵log2(log5x)=0，，∴x=5；．【解析】本题主要考查对数与对数的运算，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于基础题．根据题意直接利用对数的运算法则化简求解即可分别求得结果．22.【答案】解：(1)∵4x=5·3x，∴4x=5，3x)x=5，∴(43；，∴x+2=72=49，∴x=47；，∴e x=e2，∴x=2；，∴x32=27，∴x=2723=32=9；(5)∵lg0.01=x，∴10x=0.01，∴x=−2．【解析】本题主要考查含指数和对数的方程的解法，属于基础题．第13页，共1页。

课后作业(二十九)复习巩固一、选择题1．使对数log a(5－a)有意义的a的取值范围为( )A．(0,1)∪(1，＋∞)B．(0,5)C．(0,1)∪(1,5) D．(－∞，5)[解析] 由对数的概念可知a需满足a>0且a≠1且5－a>0，解得0<a<5且a≠1. [答案] C[解析] 根据对数的定义可知，－3＝log3127.[答案] C3．已知ln x＝2，则x等于( )A．±2B．e2C．2e D．2e[解析] 由ln x＝2得，e2＝x，所以x＝e2.[答案] B4．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x等于( )A．9 B．8C．7 D．6[解析] 由条件知，log3(log2x)＝1，所以log2x＝3，所以x＝8.[答案] B[解析] 由原方程得＝31，所以log x24＝1，即x2＝4，即x＝±2，经检验知x＝±2都是方程的解．[答案] D二、填空题[答案] 2[解析] 原式＝2log 23＋0－102·10lg2＝3－200＝－197.[答案] －197[答案] 43三、解答题9．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． (1)53＝125； (2)4－2＝116；(3)log 12 8＝－3；(4)log 3127＝－3.[解] (1)∵53＝125，∴log 5125＝3. (2)∵4－2＝116，∴log 4116＝－2.(3)∵log 128＝－3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＝8.(4)∵log 3127＝－3，∴3－3＝127.10．若log 12x ＝m ，log 14y ＝m ＋2，求x2y的值．[解] ∵log12x＝m，∴⎝⎛⎭⎪⎫12m＝x，x2＝⎝⎛⎭⎪⎫122m.∵log14y＝m＋2，∴⎝⎛⎭⎪⎫14m＋2＝y，y＝⎝⎛⎭⎪⎫122m＋4.∴x2y＝⎝⎛⎭⎪⎫122m⎝⎛⎭⎪⎫122m＋4＝⎝⎛⎭⎪⎫122m－(2m＋4)＝⎝⎛⎭⎪⎫12－4＝16.综合运用11．若log a 5b＝c，则下列关系式中正确的是( )A．b＝a5c B．b5＝a c C．b＝5a c D．b＝c5a[解析] 由log a 5b＝c，得a c＝5b，∴b＝(a c)5＝a5c.[答案] A12．已知log a x＝2，log b x＝1，log c x＝4(a，b，c，x>0且x≠1)，则log x(abc)＝( )A.47B.27C.72D.74[答案] D13．方程log3(2x2－1)＝1的解为x＝________. [解析] 由log3(2x2－1)＝1，得2x2－1＝3，∴2x2＝4，x＝± 2.[答案] ± 214.⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋log 0.54的值为________． [解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋log 0.54＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1·＝2×4＝8.[答案] 8[解] (1)∵log 2[log 3(log 4x )]＝0， ∴log 3(log 4x )＝1， ∴log 4x ＝3，∴x ＝43＝64. 由log 4(log 2y )＝1，知log 2y ＝4， ∴y ＝24＝16.。

4.3.2 对数的运算课后训练巩固提升1.(多选题)若a>0,且a≠1,x∈R,y∈R,且xy>0,则下列各式不恒成立的是( )A.log a x2=2log a xB.log a x2=2log a|x|C.log a(xy)=log a x+log a yD.log a(xy)=log a|x|+log a|y|xy>0,所以x>0,y>0或x<0,y<0.若x<0,则A不成立;若x<0,y<0,则C也不成立,故选AC.2.已知a=log32,则log38-2log36=( )A.a-2B.5a-2C.3a-(1+a)2D.3a-a2-16=3log32-2(log32+log33)=3a-2(a+1)=a-2.38-2log3×log36×log6x=2,则x等于( )3.若log513A.9B.19C.25D.125由对数换底公式得-lg3lg5×lg6lg3×lgx lg6=2,即lgx=-2lg5,解得x=5-2=125.4.若lg a,lg b 是方程2x 2-4x+1=0的两根,则(lg a b)2=( )A.14B.12C.1D.2lga+lgb=2,lga·lgb=12.所以(lg a b )2=(lga-lgb)2=(lga+lgb)2-4lga·lgb=22-4×12=2.5.已知4a =5b =10,则1a+2b = .4a =5b =10,∴a=log 410,1a=lg4,b=log 510,1b=lg5,∴1a+2b=lg4+2lg5=lg4+lg25=lg100=2.6.计算:(1)(log 3312)2+log 0.2514+9log 5√5-lo g √31;(2)2lg2+lg31+12lg0.36+13lg8.(log 3312)2+log 0.2514+9log 5√5-lo g √31=(12)2+1+9×12-0=14+1+92=234.(2)2lg2+lg31+12lg0.36+13lg8=2lg2+lg31+12lg0.62+13lg23=2lg2+lg31+lg0.6+lg2=2lg2+lg31+lg6-lg10+lg2=2lg2+lg3lg6+lg2=2lg2+lg3lg2+lg3+lg2=2lg2+lg32lg2+lg3=1.1.计算(log 32+log 23)2-log 32log 23−log 23log 32的值是( )A.log 26B.log 36C.2D.1=(log 32)2+2log 32·log 23+(log 23)2-(log 32)2-(log 23)2=2.2.若lg x-lg y=t,则lg (x 2)3-lg (y 2)3=( )A.3tB.32tC.tD.t2(x 2)3-lg (y 2)3=3lg x2-3lg y2=3lg xy =3(lgx-lgy)=3t.3.若实数a,b,c 满足16a =505b =2 020c =2 022,则下列式子正确的是( ) A.1a +2b =2cB.2a +2b =1cC.1a+1b=2cD.2a+1b=2c,得42a =505b =c =,所以2a=log 4,b=log 505,c=log, 所以12a=log4,1b=log505,1c=log,而4×505=,所以12a+1b=1c,即1a+2b=2c,故选A.4.方程log 2x+1log (x+1)2=1的解是x= .log 2x+log 2(x+1)=1,即log 2[x(x+1)]=1,即x(x+1)=2,解得x=1或x=-2.又{x >0,x +1>0,即x >0,x +1≠1,所以x=1.5.已知>0,且log=40,log (的值为 .log=40,∴log m y=140.又log m (z=112,∴log m z=112-log m x-log m y=112−124−140=160.∴log z m=60. 6.已知使log 23×log 34×log 45×…×log (k+1)(k+2)(k ∈N *)为整数的k 称为“企盼数”,则在区间[1,1 000]上“企盼数”共有个. log 23×log 34×log 45×…×log (k+1)(k+2)=lg3lg2×lg4lg3×…×lg (k+2)lg (k+1)=log 2(k+2)为整数,可知k+2=2n (n ∈Z).又k ∈[1,1000],所以k+2=22,23,…,29,故k ∈{2,6,14,30,62,126,254,510},所以在区间[1,1000]上共有8个“企盼数”. 7.已知4a =8,2m =9n =36,且1m +12n=b,试比较1.5a 与0.8b 的大小.4a=8,∴22a=23,∴2a=3,即a=32. ∵2m=9n=36,∴m=log236,n=log936.又1m +12n=b,∴b=1log236+12log936=log362+12log369=log362+log363=log366=12.∵y=1.5x在R上单调递增,y=0.8x在R上单调递减,∴1.5a=1.532>1.50=1,0.8b=0.812<0.80=1,∴1.5a>0.8b.。

4．4 对数函数 4．4.1 对数函数的概念1．给出下列函数：①y ＝223log x ；②y ＝log 3(x －1)；③y ＝log (x ＋1)x ；④y ＝log πx .其中是对数函数的有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 考点 对数函数的概念 题点 对数函数的概念 『答 案』 A『解 析』 ①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x ；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数． 2．已知函数f (x )＝11－x的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N 等于( ) A ．{x |x >－1} B ．{x |x <1} C ．{x |－1<x <1}D ．∅考点 对数函数的定义域 题点 对数函数的定义域 『答 案』 C『解 析』 ∵M ＝{x |1－x >0}＝{x |x <1}， N ＝{x |1＋x >0}＝{x |x >－1}， ∴M ∩N ＝{x |－1<x <1}．3．下列函数中，与函数y ＝x 相等的是( ) A ．y ＝(x )2 B ．y ＝x 2C ．y ＝2log 2xD ．y ＝log 22x『答 案』 D『解 析』 因为y ＝log 22x 的定义域为R ，且根据对数恒等式知y ＝x . 4．对数函数的图象过点M (16,4)，则此对数函数的『解 析』式为( ) A ．y ＝log 4x B ．y ＝14log xC ．y ＝12log xD ．y ＝log 2x『答 案』 D『解 析』 由于对数函数的图象过点M (16,4)， 所以4＝log a 16，得a ＝2.所以对数函数的『解 析』式为y ＝log 2x ，故选D.5．已知函数f (x )＝log a (x ＋2)，若图象过点(6,3)，则f (2)的值为( ) A ．－2B ．2C.12D ．－12考点 对数函数的性质 题点 对数函数图象过定点问题 『答 案』 B『解 析』 代入(6,3)，得3＝log a (6＋2)＝log a 8， 即a 3＝8，∴a ＝2.∴f (x )＝log 2(x ＋2)，∴f (2)＝log 2(2＋2)＝2.6．若f (x )＝log a x ＋a 2－4a －5是对数函数，则a ＝________. 『答 案』 5『解 析』 由对数函数的定义可知，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a －5＝0，a >0，a ≠1，解得a ＝5.7．函数y ＝()12log 3x a -的定义域是⎝⎛⎭⎫23，＋∞，则a ＝________. 『答 案』 2『解 析』 由y ＝()12log 3x a -知，3x －a >0，即x >a3.∴a 3＝23，即a ＝2.8．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为x 万元时，奖励y 万元．若公司拟定的奖励方案为y ＝2log 4x －2，某业务员要得到5万元奖励，则他的销售额应为________万元． 『答 案』 128『解 析』 由题意得5＝2log 4x －2， 即7＝log 2x ，得x ＝128. 9．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝log (x －1)(3－x )； (2)f (x )＝2x ＋3x －1＋log 2(3x －1)． 解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，x －1>0，x －1≠1，解得1<x <3，且x ≠2，故f (x )的定义域是(1,2)∪(2,3)． (2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，x －1≠0，3x －1>0，解得x >13，且x ≠1.故f (x )的定义域是⎝⎛⎭⎫13，1∪(1，＋∞)．10．20世纪70年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为M ＝lg A －lg A 0.其中A 是被测地震的最大振幅，A 0是“标准地震”的振幅．(1)假设在一次地震中，一个距离震中1000千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.002，计算这次地震的震级；(2)5级地震给人的震感已比较明显，我国发生在汶川的8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？解 (1)M ＝lg A －lg A 0＝lg A A 0＝lg 200.002＝lg104＝4.即这次地震的震级为4级．(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5＝lg A 5－lg A 0，8＝lg A 8－lg A 0，所以lg A 8－lg A 5＝3， 即lg A 8A 5＝3.所以A 8A 5＝103＝1000.即8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1000倍．11．函数y ＝log 2(x －1)2－x的定义域是( )A ．(1,2』B ．(1,2)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，2) 『答 案』 B『解 析』 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －1>0，2－x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧x >1，x <2，∴1<x <2.∴函数的定义域为(1,2)．12．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y (只)与引入时间x (年)的关系为y ＝a log 2(x ＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则7年后它们发展到( ) A ．300只B ．400只C ．600只D ．700只 『答 案』 A『解 析』 将x ＝1，y ＝100代入y ＝a log 2(x ＋1)得， 100＝a log 2(1＋1)，解得a ＝100， 所以x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300.13．若函数f (x )＝(a 2－a ＋1)log (a ＋1)x 是对数函数，则实数a ＝________. 『答 案』 1『解 析』 由a 2－a ＋1＝1， 解得a ＝0或a ＝1. 又底数a ＋1>0，且a ＋1≠1，所以a ＝1.14．函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫2kx 2－kx ＋38的定义域为R ，则实数k 的取值范围是________． 『答 案』 『0,3)『解 析』 依题意，2kx 2－kx ＋38>0的解集为R ，即不等式2kx 2－kx ＋38>0恒成立，当k ＝0时，38>0恒成立，∴k ＝0满足条件．当k ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝k 2－4×2k ×38<0，解得0<k <3. 综上，k 的取值范围是『0,3)．15．函数f (x )＝a －lg x 的定义域为(0,10』，则实数a 的值为( ) A ．0B ．10C ．1D.110『答 案』 C『解 析』 由已知，得a －lg x ≥0的解集为(0,10』， 由a －lg x ≥0，得lg x ≤a ， 又当0<x ≤10时，lg x ≤1， 所以a ＝1，故选C.16．国际视力表值(又叫小数视力值，用V 表示，范围是『0.1，1.5』)和我国现行视力表值(又叫对数视力值，由缪天容创立，用L 表示，范围是『4.0,5.2』)的换算关系式为L ＝5.0＋lg V . (1)请根据此关系式将下面视力对照表补充完整；V 1.5 ② 0.4 ④ L①5.0③4.0(2)甲、乙两位同学检查视力，其中甲的对数视力值为4.5，乙的小数视力值是甲的2倍，求乙的对数视力值．(所求值均精确到小数点后面一位数，参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771) 解 (1)因为5.0＋lg1.5＝5.0＋lg 1510＝5.0＋lg3＝5.0＋lg3－lg22≈5.0＋0.4771－0.3010≈5.2，所以①应填5.2；因为5.0＝5.0＋lg V，所以V＝1，②处应填1.0；＝5.0＋lg4－1因为5.0＋lg0.4＝5.0＋lg410＝5.0＋2lg2－1≈5.0＋2×0.3010－1≈4.6，所以③处应填4.6；因为4.0＝5.0＋lg V，所以lg V＝－1.所以V＝0.1.所以④处应填0.1.对照表补充完整如下：(2)先将甲的对数视力值换算成小数视力值，则有4.5＝5.0＋lg V甲，所以V甲＝10－0.5，则V乙＝2×10－0.5.所以乙的对数视力值L乙＝5.0＋lg(2×10－0.5) ＝5.0＋lg2－0.5≈5.0＋0.3010－0.5≈4.8.。

对数的概念课后习题答案对数的概念课后习题答案一、选择题1. 一个数的对数是它的指数，这个说法正确吗？答案：不正确。

一个数的对数是以某个底数为底，这个底数的指数等于这个数的值。

2. 若a>1，b>1，且logₐb=logₐc，则b和c的关系是什么？答案：b=c。

根据对数的定义，若两个数的对数相等，则这两个数相等。

3. 若log₅x=3，那么x的值是多少？答案：x=125。

根据对数的定义，logₐb=c等价于a^c=b，所以5^3=x，解得x=125。

4. 若logₐb=2，logₐc=3，那么c和b的关系是什么？答案：c=b^3。

根据对数的定义，logₐb=2等价于a^2=b，logₐc=3等价于a^3=c，所以c=b^3。

5. 若logₐb=2，logₐc=3，那么b和c的关系是什么？答案：b=c^2。

根据对数的定义，logₐb=2等价于a^2=b，logₐc=3等价于a^3=c，所以b=c^2。

二、填空题1. 若log₅x=2，那么x的值是多少？答案：x=25。

根据对数的定义，logₐb=c等价于a^c=b，所以5^2=x，解得x=25。

2. 若logₓ5=1/2，那么x的值是多少？答案：x=√5。

根据对数的定义，logₐb=c等价于a^c=b，所以x^(1/2)=5，解得x=√5。

3. 若log₃x=log₆y=2，那么y和x的关系是什么？答案：y=x^2。

根据对数的定义，logₐb=c等价于a^c=b，所以3^2=x，6^2=y，所以y=x^2。

4. 若log₄x=3，那么x的值是多少？答案：x=64。

根据对数的定义，logₐb=c等价于a^c=b，所以4^3=x，解得x=64。

5. 若logₐb=3，那么logₐ(b^2)等于多少？答案：logₐ(b^2)=6。

根据对数的性质，logₐ(b^2)=2logₐb=2*3=6。

三、解答题1. 请用对数的定义解释log₂8=3的含义。

4．3 对 数4．3.1 对数的概念答案答案：(1)× (2)× (3)√答案：B答案：D答案：3指数式与对数式的互化【解】 (1)log e 16＝a ，即ln 16＝a .(2)log 6414＝－13. (3)32＝9.(4)x z ＝y .解：(1)由log 216＝4可得24＝16.(2)由log 1327＝－3可得⎝⎛⎭⎫13－3＝27. (3)由43＝64可得log 464＝3.(4)由⎝⎛⎭⎫14－2＝16可得log 1416＝－2.利用对数式与指数式的关系求值【解】 (1)因为log 27x ＝－23， 所以x ＝27－23＝(33)－23＝3－2＝19. (2)因为log x 16＝－4，所以x －4＝16， 即x －4＝24. 所以⎝⎛⎭⎫1x 4＝24， 所以1x ＝2，即x ＝12. (3)因为lg 11 000＝x ，所以10x ＝10－3， 所以x ＝－3.(4)因为－ln e －3＝x ， 所以－x ＝ln e －3， 即e －x ＝e －3， 所以x ＝3.解：(1)设x ＝log 525，则5x ＝25＝52，所以x ＝2，即log 525＝2.(2)设x ＝log 2116，则2x ＝116＝2－4，所以x ＝－4， 即log 2116＝－4. (3)设x ＝lg 1 000，则10x ＝1 000＝103，所以x ＝3，即lg 1 000＝3.(4)设x ＝lg 0.001，则10x ＝0.001＝10－3，所以x ＝－3，即lg 0.001＝－3.利用对数的性质求值【解】 (1)因为log 3(lg x )＝1，所以lg x ＝31＝3，所以x ＝103＝1 000.(2)由log 3[log 4(log 5x )]＝0可得log 4(log 5x )＝1，故log 5x ＝4，所以x ＝54＝625.解：(1)由log (2x 2－1)(3x 2＋2x －1)＝1得⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋2x －1＝2x 2－1，3x 2＋2x －1＞0，2x 2－1＞0且2x 2－1≠1，解得x ＝－2.(2)由log 2[log 3(log 4x )]＝0，可得log 3(log 4x )＝1，故log 4x ＝3，所以x ＝43＝64.1．答案：C2．解析：选B.log a 2b ＝c ⇔(a 2)c ＝b ⇔a 2c ＝b .3．解：(1)由已知得⎝⎛⎭⎫22x ＝4， 所以2－x 2＝22，－x 2＝2， 解得x ＝－4.(2)由已知得9x ＝3，即32x ＝312.所以2x ＝12，x ＝14.[A 基础达标]1．答案：C2．解析：选B.因为3－4＝181，所以log 3181＝－4. 3．解析：选D.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧10－2a >0，a －3>0，a －3≠1，解得3<a <4或4<a <5，即a 的取值范围是(3，4)∪(4，5)．4．解析：选D.因为log 2x ＝3，所以x ＝23＝8.所以x －12＝8－12＝122＝24. 故选D.5．解析：选D.由已知得a m ＝12，a n ＝3. 所以a m ＋2n ＝a m ×a 2n ＝a m ×(a n )2＝12×32＝92.故选D. 6．解析：因为log 22x －53＝1，所以2x －53＝2. 即2x －5＝6.解得x ＝112. 答案：1127．解析：由题意得①⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，2－x ＝14或②⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，log 81x ＝14，解①得x ＝2，与x ≤1矛盾，故舍去，解②得x ＝3，符合x ＞1.所以x ＝3.答案：38．解：(1)因为log 2x ＝－25，所以x ＝2－25＝1225＝154. (2)因为log x 3＝－13，所以x －13＝3， 即x ＝3－3＝127. 9．解：因为log 12x ＝m ，所以⎝⎛⎭⎫12m ＝x ，x 2＝⎝⎛⎭⎫122m . 因为log 14y ＝m ＋2，所以⎝⎛⎭⎫14m ＋2＝y ，y ＝⎝⎛⎭⎫122m ＋4.所以x 2y ＝⎝⎛⎭⎫122m ⎝⎛⎭⎫122m ＋4 ＝⎝⎛⎭⎫122m －（2m ＋4）＝⎝⎛⎭⎫12－4＝16.[B 能力提升] 10．解析：选B.由lg(x 2－1)＝lg(2x ＋2)，得x 2－1＝2x ＋2，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.经检验x ＝－1是增根，所以原方程的根为x ＝3.11．解析：选B.因为m 23＝1625，m >0，所以m ＝⎝⎛⎭⎫162532＝⎝⎛⎭⎫453， log 45m ＝log 45⎝⎛⎭⎫453＝3. 12．已知log 2(log 3(log 4x ))＝0，且log 4(log 2y )＝1.求x ·y 34的值．解：因为log 2(log 3(log 4x ))＝0，所以log 3(log 4x )＝1，所以log 4x ＝3，所以x ＝43＝64.由log 4(log 2y )＝1，知log 2y ＝4，所以y ＝24＝16. 所以x ·y 34＝64×1634＝8×8＝64.13．已知log a b ＝log b a (a >0，且a ≠1；b >0，且b ≠1)．求证：a ＝b 或a ＝1b. 证明：设log a b ＝log b a ＝k ，则b ＝a k ，a ＝b k ，所以b ＝(b k )k ＝bk 2，因为b >0，且b ≠1，所以k 2＝1，即k ＝±1.当k ＝－1时，a ＝1b ；当k ＝1时，a ＝b .所以a ＝b 或a ＝1b，命题得证． [C 拓展探究]14．解析：(1)23＋log 23＋32－log 39＝23×2log 23＋323log 39＝8×3＋99＝25.故填25. (2)log x 27＝31＋log 32＝3×3log 32＝3×2＝6.所以x 6＝27，所以x 6＝33，又x >0，所以x ＝ 3.故填 3. 答案：(1)25 (2) 3。

高一数学(必修一)《第四章 对数》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、解答题1．求下列各式的值： (1)2log 32-； (2)2lg310； (3)3ln 7e ； (4)23log 9； (5)2lg100； (6)2lg 0.001． 2．求下列各式的值：（1）2log 32-；（2）2lg310；（3）3ln 7e ；（4）23log 9；（5）2lg100；（6）2lg 0.001. 3．化简下列各式(1)1223321()4(0.1)()a b ---．4．已知()2lg lg lg lg lg 0lg lg lg lg x y x y x y x y x y-⎡⎤++⎣⎦++=⋅，求()2log xy 的值． 5．对数的运算性质在数学发展史上是伟大的成就．(1)对数运算性质的推导有很多方法，请同学们推导如下的对数运算性质：如果0a >，且1a ≠，0M >那么()log log n a a M n M n =∈R ；(2)因为()10342102410,10=∈，所以102的位数为4（一个自然数数位的个数，叫作位数），试判断220219的位数；（注：lg 219 2.34≈）(3)中国围棋九段棋手柯洁与机器人阿尔法狗曾进行了三局对弈，以复杂的围棋来测试人工智能，围棋复杂度的上限约为3613=M ．根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数的和约为8010=N ，甲、乙两个同学都估算了MN的近似值，甲认为是7310，乙认为是9310．现有一种定义：若实数x 、y 满足x m y m -<-，则称x 比y 接近m ，试判断哪个同学的近似值更接近MN，并说明理由．（注：lg 20.3010≈和lg30.4771≈）6．计算：(1)21023213(2)(9.6)(3)(1.5)48----+(2)lg232log 9lg lg 4105+--7．计算求值(1)()362189-⎛⎫--- ⎪⎝⎭；(2)221lg lg2log 24log log 32+++；(3)已知623a b ==，求11a b-的值．8．计算：(1)7lg142lg lg 7lg183-+-；(2)()2lg53lg 22lg5lg 2lg5+++⨯；(3)()()22666661log 2log 33log 2log log 23⎛⎫++⨯ ⎪⎝⎭．9．近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式0lnMv v m=计算火箭的最大速度v （单位：m/s ）．其中0v （单位m/s ）是喷流相对速度，m （单位：kg ）是火箭（除推进剂外）的质量，M （单位：kg ）是推进剂与火箭质量的总和，Mm称为“总质比”，已知A 型火箭的喷流相对速度为2000m/s ． 参考数据：ln 230 5.4≈和0.51.648 1.649e <<．(1)当总质比为230时，则利用给出的参考数据求A 型火箭的最大速度；(2)经过材料更新和技术改进后，A 型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的13，若要使火箭的最大速度增加500 m/s ，记此时在材料更新和技术改进前的总质比为T ，求不小于T 的最小整数？ 10．(1)()()2293777log 49log 7log 3log 3log 3+--；(2)2log 31431lg 25lg 2log 9log 822-++-⨯++11．已知函数()()()ln 3ln 3f x x x =++-. (1)证明：函数()f x 是偶函数；(2)求函数()f x 的零点.12．已知集合{}54log 2,log 25,2A =，集合231log 5,log 9B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭．记集合A 中最小元素为a ，集合B 中最大元素为b ． (1)求A B 及a ，b 的值； (2)证明：函数()1f x x x =+在[)2,+∞上单调递增；并用上述结论比较a b +与52的大小． 13．某公司为了实现2019年销售利润1000万元的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：从销售利润达到10万元开始，按销售利润进行奖励，且奖金数额y (万元)随销售利润x (万元)的增加而增加，但奖金数额不超过5万元.现有三个奖励模型：y =0.025x ，y =1.003x ，y =12ln x +1，其中是否有模型能完全符合公司的要求？请说明理由.(参考数据：1.003538≈5，e ≈2.71828…，e 8≈2981)14．已知2x ＝3y ＝a ，若112x y+=，求a 的值．15．将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式： (1)2－7＝1128； (2)12log 325=-；(3)lg1000＝3； (4)ln 2x =二、单选题16．在下列函数中，最小值为2的是（ ） A ．1y x x=+B ．1lg (110)lg y x x x=+<< C ．222(1)1x x y x x -+=>-D ．1sin 0sin 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭17．已知集合{}|2x A x x N *=≤∈，{}2|log (1)0B x x =-=，则A B =（ ）A ．{}1,2B ．{}2C ．∅D ．{}0,1,2参考答案与解析1．(1)13；(2)9；(3)343； (4)4； (5)4； (6)6-.【分析】根据指对数的关系及对数的运算性质求值. (1)由2log 3a =-，则1232aa -==，即123a=，故2log 33212a -==. (2)由22lg 3lg 3lg 9a ===，则109a =，故2lg309110a ==. (3)由33ln 7ln 7a ==，则3e 7343a ==，故3ln733e 4a e ==. (4)223333log 9log 9log 34log 2234====.(5)2222lg100lg100lg104lg104====.(6)23lg 0.001lg 0.001lg106lg10622-==-=-=. 2．（1）13（2）9（3）343（4）4（5）4（6）6-【解析】（1）根据log a b a b =,即可求得2log 32-; （2）根据log a b a b =,即可求得2lg310; （3）根据log a b a b =,即可求得3ln 7e ;（4）根据log log Ma ab M b =和log 1a a =,即可求得23log 9;（5）根据log log Ma ab M b =和log 1a a =,即可求得2lg100;（6）根据log log M a a b M b =和,log 1a a =,即可求得2lg 0.001.【详解】（1） log a b a b =∴ 22log 3log 31112(2)33---===;（2） log a b a b = ∴2lg3lg32210(10)39===;（3） log a b a b = ∴3ln 7ln 33e (e 7)7343===;（4） log log Ma ab M b =和log 1a a =∴2433log 9log 34==;（5） log log Ma ab M b =和log 1a a =∴24lg100lg104==;（6） log log Ma ab M b =和log 1a a =∴26lg 0.001lg106-==-.【点睛】本题考查了对数的化简求值,解题关键是掌握log log Ma ab M b =和log 1a a =,考查了计算能力,属于基础题. 3．(1)425(2)-4【分析】（1）利用分数指数幂和根式的性质和运算法则求解即可得到结果； （2）利用对数的性质和运算法则求解即可得到结果． （1） ()1原式3312233221824222525100a ba b---⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭； （2） 原式()()lg 812525100241111222lg ⨯÷÷====-⨯---． 4．()2log 0xy =【分析】对原式化简，得()()22lg lg lg 0x y x y ++-=⎡⎤⎣⎦，由对数的运算性质求解xy 的值，再代入即可. 【详解】由()2lg lg lg lg lg 0lg lg lg lg x y x y x y x y x y-⎡⎤++⎣⎦++=，去分母可得 ()()22lg lg lg 0x y x y ++-=⎡⎤⎣⎦，所以()lg lg lg 01lg 01x y xy xy x y x y +===⎧⎧⇒⎨⎨-=-=⎩⎩所以()2log 0xy =. 5．(1)答案见解析 (2)515(3)甲同学的近似值更接近MN，理由见解析【分析】（1）利用对数的恒等式结合指数的运算性质可证得结论成立； （2）利用对数运算性质计算出220lg 219的近似值，即可得出220219的位数；（3）由题意可得出36180310=M N ，比较7310M N -与9310M N -的大小关系，即可得出结论. （1）解：若0a >，且1a ≠，0M >和n ∈R ，则()log log a a nn M M n a a M ==化为对数式得log log na a M n M =．（2）解：令220219t =，所以lg 220lg 219t = 因为lg 219 2.34≈，所以lg 220lg 219514.8t =≈ 所以()514.85145151010,10t ≈∈，所以220219的位数为515．（3）解：根据题意，得36180310=M N 所以36136180803lg lg lg3lg10361lg38092.233110M N ==-=⋅-≈ 所以()92.233192931010,10MN≈∈ 因为()361173lg 23lg 2361lg3172.5341173lg10⨯=+⋅≈<=所以36117317315323101010⨯<<+，所以36193738023101010⨯<+ 所以361361739380803310101010-<-，所以甲同学的近似值更接近M N ．6．(1)4736- (2)1-【分析】(1)根据指数幂运算性质计算即可; (2)根据对数的运算性质计算即可. （1）解：21023213(2)(9.6)(3)(1.5)48----+=212329273()1()()482=23233321[()]()223=22132()()223=194249=4736-； （2）解：lg232log 9lg lg 4105+--=2lg 2lg52lg 22=lg 2(1lg 2)2lg 21.7．(1)44 (2)92(3)1【分析】（1）由指数的运算法则计算 （2）由对数的运算法则计算 （3）将指数式转化为对数式后计算 (1)()33622023218323172271449-⨯⎛⎫---=⨯--=--= ⎪⎝⎭；(2)221lglg 2log 24log log 32+++ ()32232lg 2lg 2log 38log 3log 3=-++⨯+- 2239log 33log 322=++-=； (3)6log 3a = 2log 3b =则31log 6a = 31log 2b=； 所以33311log 6log 2log 31a b-=-==．8．(1)0 (2)3 (3)1【分析】（1）利用对数相加相减的运算法则求解即可； （2）提公因式，逐步化简即可求解； （3）逐步将原式化成只含6log 2和6log 3形式. （1）方法一：（直接运算）原式227147lg14lg lg 7lg18lg lg1037183⎛⨯⎛⎫=-+-==⎫⎪⎝⎭= ⎪⎝⎭⨯． 方法二：（拆项后运算）原式()()()2lg 272lg7lg3lg7lg 32=⨯--+-⨯lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20=+-++--=．（2）原式()()lg5lg5lg22lg2lg5lg2=⨯++++()lg5lg102lg10lg22lg5lg23=⨯++=++=．（3）原式()()226666log 2log 33log 2log =++⨯ ()()22666log 2log 33log 2log =++⨯()()226666log 2log 32log 2log 3=++⨯ ()626log 2log 31=+=．9．(1)10800 m/s (2)45【分析】（1）运用代入法直接求解即可；（2）根据题意列出不等式，结合对数的运算性质和已知题中所给的参考数据进行求解即可. (1)当总质比为230时，则2000ln 2302000 5.410800v =≈⨯= 即A 型火箭的最大速度为10800m /s . (2)A 型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，所以A 型火箭的喷流相对速度为2000 1.53000/m s ⨯=，总质比为3Mm由题意得：3000ln2000ln 5003M M m m-≥ 0.50.5ln 0.5272727M M M e e m m m⇒≥⇒≥⇒≥因为0.51.648 1.649e <<，所以0.544.4962744.523e << 即44.49644.523T <<，所以不小于T 的最小整数为45． 10．(1)2；(2)4.【分析】(1)将()237log 7log 3+展开再根据对数的运算求解； (2)根据对数的运算求解即可.【详解】解:(1)原式()()()2223373777log 7log 7log 32log 7log 3log 3log 3=++⨯-- ()()2233log 72log 72=+-=．(2)原式2221221log 322233312log 3lg 5lg 2log 3log 2ln e 22=++-⨯++323314log 3lg5lg 2log 33log 222=++-⨯++ ()4lg 52324114=+⨯-+=+-=．11．(1)证明见解析；(2)-【分析】（1）先证明函数()f x 的定义域关于原点对称，再证明()()f x f x -=即可；（2）利用对数运算对函数()f x 的解析式进行化简，求解方程()0f x =即可得到函数()f x 的零点. （1）证明：由3030x x +>⎧⎨->⎩，解得33x -<<∴函数的定义域为{}33x x -<<，且定义域关于原点对称 又∵()()()()ln 3ln 3f x x x f x -=-++=，∴()f x 是偶函数. （2）解：()()()()2ln 3ln 3ln 9f x x x x =-++=-，令()()2ln 90f x x =-=∴291x -=，解得x =±∴函数()f x的零点为-和12．(1){}2log 5⋂=A B ，5log 2a =和2log 5b =； (2)证明见解析52+>a b【分析】（1）根据对数的运算性质以及对数函数的单调性即可解出； （2）根据单调性的定义即可证明函数()1f x x x=+在[)2,+∞上单调递增，再根据单调性以及对数的性质1log log a b b a=即可比较出大小． （1）因为42log 25log 5=，所以{}52log 2,log 5,2A =，{}2log 5,2B =-即{}2log 5⋂=A B ．因为5522log 2log 252log 4log 5<==<，所以5log 2a = 2log 5b =．（2）设12,x x 为[)2,+∞上任意两个实数，且122x x ≤<，则120x x -< 121x x >()()()1212121212121212111110x x f x f x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+-+=-+-=-⨯< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()12f x f x <，所以()f x 在[)2,+∞上单调递增．所以()()522f x f >=，所以()5222215log 2log 5log 5log 5log 52f +=+=>． 13．奖励模型1ln 12y x =+能完全符合公司的要求，答案见解析.【分析】由题意得模型需满足①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y ≤x ·25%，依次判断三个模型是否满足上述条件即可.【详解】解：由题意，符合公司要求的模型需同时满足：当x∈[10，1000]时，则①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x·25%. （1）对于y=0.025x，易知满足①，但当x>200时，则y>5，不满足公司的要求；（2）对于y=1.003x，易知满足①，但当x>538时，则不满足公司的要求；（3）对于1ln12y x=+，易知满足①.当x∈[10，1000]时，则y≤12ln1000+1.下面证明12ln1000+1<5.因为12ln1000+1-5=12ln1000-4=12(ln1000-8)=12(ln1000-ln2981)<0，满足②.再证明12ln x+1≤x·25%，即2ln x+4-x≤0.设F(x)=2ln x+4-x，则F′(x)= 2x-1=2xx-<0，x∈[10，1000]所以F(x)在[10，1000]上为减函数F(x)max=F(10)=2ln10+4-10=2ln10-6=2(ln10-3)<0，满足③.综上，奖励模型1ln12y x=+能完全符合公司的要求.【点睛】本题主要考查函数的模型应用，属于简单题.14．a.【分析】利用对指互化得到x＝log2a，y＝log3a，再利用对数的运算化简求值. 【详解】因为2x＝3y＝a，所以x＝log2a，y＝log3a所以1x＋1y＝2311log loga a+＝log a2＋log a3＝log a6＝2所以a2＝6，解得a＝又因为a>0，所以a15．(1)log217 128=-(2)511 232-⎛⎫=⎪⎝⎭(3)103＝1 000(4)2e x=【分析】根据对数和指数互化公式得到相应结果即可.(1)由2－7＝1128，可得log 21128＝－7. (2) 由12log 325=-，可得512-⎛⎫ ⎪⎝⎭＝32. (3)由lg 1 000＝3，可得103＝1 000.(4)由ln 2x =，可得e 2＝x .16．C【分析】结合基本不等式的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A 选项，1x =-时，则y 为负数，A 错误.以D 错误.故选：C17．B【分析】分别求出集合,A B ，根据集合的交集运算得出答案.【详解】由题意知：{}{}|20,1,2x A x x N *=≤∈= {}{}2|log (1)02B x x =-== {}2A B ⋂=.故选：B.。

对数函数概念及其性质一、 一般地,函数x y alog = （a ＞0,且a ≠1）叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为()∞+，0.二、 性质10＜a ＜1 a ＞1图象图象特征 定义域 ()∞+，0 ()∞+，0 值域 R R性质 恒过定点（1,0） 恒过定点（1,0）在()∞+，0上为减函数 在()∞+，0上为增函数函数值变化情况 0＜x ＜1时，y ＞0 0 ＜x ＜1时，y ＜0 x=1时, y=0 x=1时, y=0 x ＞1时, y ＜0 x ＞1时,y ＞0 性质2.（1）函数x y alog =与x y alog 1=图象关于x 轴对称;（2）在第一象限内,即0﹤d ﹤c ﹤1﹤b ﹤a 。

三、对数函数x y alog =与指数函数 a xy =互为反函数，它们的图象关于直线y=x 反函数的定义域就是原函数的值域， 反函数的值域就是原函数的定义域。

即原函数经过点（a ，b ），则反函数经过点（b ，a ）。

一、对数函数及其性质范例精讲例1．下列关系中，成立的是（ ）A ．03131log 4()log 105>>B ．01331log 10()log 45>>C ．03131log 4log 10()5>>D ．01331log 10log 4()5>>例2．当10<<x 时，则下列大小关系正确的是( )A. x x x 33log 3<<B. x x x 33log 3<<C. x x x 3log 33<<D. 333log x x x << 例3．若()f x =，则()f x 的定义域为（ ）A. (,)1-02B. (,]1-02C. (,)1-+∞2D.(,)0+∞例4．已知集合}1,log |{3>==x x y y A ，}0,3|{>==x y y B x ，则=⋂B A ( )A ．}310|{<<y yB ．}0|{>y yC ． }131|{<<y y D ．}1|{>y y例5．在(2)log (5)a b a -=-中，实数a 的取值范围是 例6．函数)2(,log 12≥+=x x y 的值域是 二、对应训练1.已知3.0log a 2=，3.02b =，2.03.0c =，则c b a ,,三者的大小关系是（ ）A ．a c b >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．a b c >> 2.函数)23(log )(21-=x x f 的定义域是______________3．函数)1lg(1)(++-=x x x f 的定义域是（ ）A ．(]11，-B ．（-1，1）C ．[-1,1]D ．[)∞+，1 4．已知全集R U =，}42|{1>=+x x A ，}1)1lg(|{<+=x x B，则集合（A ）B等于（ ）A.}91|{<<x xB. }9|{>x xC.}11|{<<-x xD.}11|{≤<-x x5．log (3)log (2)a a x x +<-成立，则x 的取值范围是 ，a 的取值范围是一、对数函数及其性质范例精讲例1．若函数()log (01)a f x x a =<<在区间]2,[a a 上的最大值与最小值和为3，则a 的值为( ) A ．42 B ． 22 C ． 41 D ．2 例2．设2(log )2(0)x f x x =>，则(3)f 的值为（ ） A. 128B. 256C. 512D. 8例3．下列函数与x y =有相同图象的一个函数是（ ）A ．2x y = B ．xx y 2= C ．)10(log ≠>=a a a y x a 且 D ．x a a y log =（10≠>a a 且）例4．函数log (2)1a y x =++的图象过定点（ ） A.（1，2） B.（2，1） C.（-2，1） D.（-1，1）二、对应训练1．已知函数()log (1)(0,1)a f x x a a =+>≠在区间[1，7]上的最大值比最小值大12，求a 的值.2．已知函数()3log 03 0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则))91((f f 的值是( )A.9B.91C.9-D.19-3．函数()log (0,1)a f x x a a =>≠且对任意正实数,x y 都有（ ） A ．()()()f xy f x f y = B ．()()()f xy f x f y =+ C ．()()()f x y f x f y += D ．()()()f x y f x f y +=+4．如下图，当1>a 时，在同一坐标系中，函数x a y -=与x y a log =的图象是 ( )对数函数综合练习（3）例1．已知集合}2733|{≤≤=x x A ，}1log |{B 2>=x x ． （1）分别求B A ，()R C B A ；（2）已知集合{}a x x C <<=1，若A C ⊆，求实数a 的取值集合．例2．已知函数xxx f -+=11lg)(， （1）求)(x f 的定义域； （2）使0)(>x f 的x 的取值范围.例3．已知a ＞1，)(x f = log a (a －a x )．(1) 求)(x f 的定义域；(2)判断函数)(x f 的单调性 ，并证明.例4．已知函数()log (1)a f x x =+，()log (1)a g x x =-，其中(01)a a >≠且,设()()()h x f x g x =-．(1)判断()h x 的奇偶性，并说明理由；(2)若(3)2f =，求使()0h x >成立的x 的集合．例5．已知35()x f x a -=，且(lg )100f a =，求a 的值.一、对数函数及其性质范例精讲例1．下列关系中，成立的是（ A ）A ．03131log 4()log 105>>B ．01331log 10()log 45>>C ．03131log 4log 10()5>>D ．01331log 10log 4()5>>例2．当10<<x 时，则下列大小关系正确的是( C )A. x x x 33log 3<<B. x x x 33log 3<<C. x x x 3log 33<<D. 333log x x x << 例3．若()f x =，则()f x 的定义域为（ A ）A. (,)1-02B. (,]1-02C. (,)1-+∞2D.(,)0+∞例4．已知集合}1,log |{3>==x x y y A ，}0,3|{>==x y y B x ，则=⋂B A ( D )A ．}310|{<<y yB ．}0|{>y yC ． }131|{<<y y D ．}1|{>y y例5．在(2)log (5)a b a -=-中，实数a 的取值范围是 34a << 。

同步练习31 对数的概念必备学问基础练一、选择题(每小题5分，共45分)1．已知2x ＝3，则x ＝( )A ．log 23B ．log 32C ． 3D ．322．使log a (2－3a )有意义的实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞) B．(0，1)∪(1，＋∞)C ．(0，23)D ．(23，＋∞) 3．已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝( )A ．12B ．10C ．10D ．14．若log x 7y ＝z ，则( )A ．y 7＝x zB ．y ＝x 7zC ．y ＝7xD ．y ＝z 7x5．有以下四个结论，其中正确的是( )A ．lg (lg 10)＝1B ．lg (ln e)＝0C ．若e ＝ln x ，则x ＝e 2D ．ln (lg 1)＝06．方程ln (log 3x )＝0的解是( )A ．1B ．2C ．eD ．37．[2024·河南信阳高一期末]青少年视力是社会普遍关注的问题，视力状况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 满意L ＝5＋lg V ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为(1010≈1.259)( )A ．1.5B ．1.2C ．0.8D ．0.68．(多选)下列指数式与对数式互化正确的一组是( )A ．100＝1与lg 1＝0B ．log 34＝2与912＝3C ．27－13＝13与log 2713＝－13 D ．log 55＝1与51＝59．[2024·广东惠州一中高一期中](多选)已知正实数a ，b 满意b a ＝4，且a ＋log 2b ＝3，则a ＋2b 的值可以为( )A ．6B ．7C ．8D ．9二、填空题(每小题5分，共15分)10．[2024·江苏连云港高一期中]若log x 18＝－3，则x 的值为________． 11．若log m 2＝a ，log m 3＝b ，则m a ＋2b 的值为________．12．若log 3[log 5(log 2x )]＝0，则x ＝________．三、解答题(共20分)13．(10分)求的值．14．(10分)若log 12x ＝m ，log 14y ＝m ＋2，求x 2y 的值．关键实力提升练15．(5分)已知a >b >c >1，且log a (log 1a x )＝log b (log 1b y )＝log c (log 1cz )＝0，则有( )A ．1<z <y <xB ．0<z <y <x <1C ．0<x <y <z <1D ．1<x <y <z 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15答案16.(5分)[2024·山东临沂高一期末]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x log a （x －1），x >1，若f (f (0))＝2，则实数a 的值为________．17．(10分)已知log a b ＝log b a (a >0，且a ≠1；b >0，且b ≠1).摸索究a 与b 的关系，并给出证明．同步练习31 对数的概念必备学问基础练1．答案：A解析：因为2x＝3，所以x ＝log 23.故选A.2．答案：C 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a >0a ≠12－3a >0，解得0<a <23，所以实数a 的取值范围是(0，23).故选C. 3．答案：B解析：因为4a ＝2，lg x ＝a ，所以a ＝12，因为lg x ＝a ＝12，则x ＝10.故选B. 4．答案：B解析：由log x 7y ＝z ，得x z ＝7y ，y ＝x 7z .故选B.5．答案：B解析：因为lg10＝lne ＝1，lg1＝0，所以A 错误，B 正确；若e ＝ln x ，则x ＝e e ，故C 错误；lg1＝0，而ln0没有意义，故D 错误．故选B.6．答案：D解析：∵ln (log 3x )＝0，∴log 3x ＝e 0＝1，∴x ＝3.故选D.7．答案：C解析：由L ＝5＋lg V ，当L ＝4.9时，lg V ＝－0.1，则V ＝10－0.1＝10－110＝11010≈11.259≈0.8.故选C. 8．答案：ACD解析：由对数的概念可知：100＝1可转化为lg1＝0，故A 正确；由对数的概念可知：912＝3可转化为log 93＝12，故B 错误； 由对数的概念可知：27－13＝13可转化为log 2713＝－13，故C 正确； 由对数的概念可知：51＝5可转化为log 55＝1，故D 正确．故选ACD.9．答案：AD解析：因为正实数a ，b 满意b a ＝4，且a ＋log 2b ＝3，所以log 2b ＝3－a ，所以b ＝23－a ，所以b a ＝(23－a )a ＝＝4＝22， 所以－a 2＋3a ＝2，即a 2－3a ＋2＝0，解得a ＝1或a ＝2，当a ＝1时，b ＝4，a ＋2b ＝9；当a ＝2时，b ＝2，a ＋2b ＝6.故选AD.10．答案：2解析：因为log x 18＝－3，所以x －3＝18＝2－3，解得x ＝2. 11．答案：18解析：因为log m 2＝a ，log m 3＝b ，所以m a ＝2，m b ＝3，即ma ＋2b ＝m a ×(m b )2＝2×32＝18. 12．答案：32解析：由对数运算的定义，有∵log 3[log 5(log 2x )]＝0，∴log 5(log 2x )＝1， ∴log 2x ＝5，∴x ＝25＝32.13．解析：＋＝22×＋＝4×3＋99＝12＋1＝13. 14．解析：∵log 12x ＝m ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ＝x ，x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122m. ∵log 14y ＝m ＋2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫14m ＋2＝y ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122m ＋4.∴x 2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122m ⎝ ⎛⎭⎪⎫122m ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16. 关键实力提升练15．答案：C解析：∵log a (log 1a x )＝log b (log 1b y )＝log c (log 1cz )＝0，∴log a (log 1a x )＝0，log b (log 1b y )＝0，log c (log 1cz )＝0，∴log 1a x ＝1，log 1b y ＝1，log 1cz ＝1，∴x ＝1a >0，y ＝1b >0，z ＝1c>0， ∵a >b >c >1，∴0<1a <1b <1c<1，∴0<x <y <z <1.故选C.16．答案： 2 解析：f (0)＝20＋2＝3，f (f (0))＝f (3)＝log a 2＝2，即a 2＝2，又a >0，且a ≠1，所以a ＝ 2.17．解析：a ＝b 或a ＝1b.证明如下： 设log a b ＝log b a ＝k ，则b ＝a k ，a ＝b k ，所以b ＝(b k )k ＝， 因为b >0，且b ≠1，所以k 2＝1，即k ＝±1.当k ＝－1时，a ＝1b； 当k ＝1时，a ＝b .所以a ＝b 或a ＝1b.。