解答题策略之选做题23----极坐标与参数方程

极坐标与参数方程一、单选题1.在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的圆心的极坐标为（）A. B. （1，π） C. （0，﹣1） D.2.参数方程(为参数)化成普通方程是（）A. B. C. D.3.若曲线C的参数方程为（参数），则曲线C（）A. 表示直线B. 表示线段C. 表示圆D. 表示半个圆4.直线l：（t为参数）的倾斜角为（）A. 20°B. 70°C. 160°D. 120°5.直线的参数方程可以是( )A. B. C. D.6.直线l的方程：（t为参数），那么直线l的倾斜角为（）A. 25°B. 65°C. 115°D. 155°7.已知直线l的参数方程为（t为参数），则其直角坐标方程为（）A. x+y+2﹣=0B. x﹣y+2﹣=0C. x﹣y+2﹣=0D. x+ y+2﹣=08.参数方程表示的图形是（）A. 以原点为圆心，半径为3的圆B. 以原点为圆心，半径为3的上半圆C. 以原点为圆心，半径为3的下半圆D. 以原点为圆心，半径为3的右半圆9.已知点P（x0，y0）在圆上，则x0、y0的取值范围是（）A. ﹣3≤x0≤3，﹣2≤y0≤2B. 3≤x0≤8，﹣2≤y0≤8C. ﹣5≤x0≤11，﹣10≤y0≤6D. 以上都不对10.已知A（1，2），B（2，11），若直线y=（m﹣）x+1（m≠0）与线段AB相交，则实数m的取值范围是（）A. [﹣2，0）∪[3，+∞）B. （﹣∞，﹣1]∪（0，6]C. [﹣2，﹣1]∪[3，6]D. [﹣2，0）∪（0，6]11.在平面直角坐标系中，若直线y=x与直线是参数，0≤θ＜π）垂直，则θ=（）A. B. C. D.12.曲线（θ为参数）的对称中心（）A. 在直线y=2x上B. 在直线y=﹣2x上C. 在直线y=x﹣1上D. 在直线y=x+1上13.（2014•安徽）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为（）A. B. 2 C. D. 214.若点P为曲线（θ为参数）上一点，则点P与坐标原点的最短距离为（）A. B. C. D. 215.若直线l：y=x与曲线C：（参数θ∈R）公共点的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 316.点P（x，y）在曲线（θ为参数，θ∈R），则的最大值是（）A. B. C. D. -17.圆（θ为参数）与直线3x﹣4y﹣9=0的位置关系是（）A. 相切B. 相离C. 直线过圆心D. 相交但直线不过圆心18.直线（t为参数）和圆x2 +y2=16 交于A，B 两点，则AB 的中点坐标为（）A. （3，-3）B. （-，3）C. （，-3）D. （3，-）19.设向量，，定义一种向量积：．已知向量，，点在的图象上运动，点在的图象上运动，且满足（其中O为坐标原点），则在区间上的最大值是( )A. B. C. D.20.已知正方形的四个顶点分别为，点分别在线段上运动，且，设与交于点，则点的轨迹方程是（）A. B.C. D.21.已知直线的参数方程为：（t为参数），圆C的极坐标方程为，那么，直线与圆C的位置关系是( )A. 直线平分圆CB. 相离C. 相切D. 相交22.平面直角坐标系中，点集，则点集M所覆盖的平面图形的面积为（）A. B. C. 2 D. 与有关二、填空题23.（2013•陕西）（坐标系与参数方程选做题）如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2+y2﹣x=0的参数方程为________．24.在直角坐标系xOy，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程式ρ=﹣4cosθ，则圆C的圆心到直线l的距离为________．25.（坐标系与参数方程选做题）已知直线（t为参数）与直线l2：2x﹣4y=5相交于点B，又点A（1，2），则|AB|=________ 26.（2013•湖北）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为为参数，a＞b＞0）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l与圆O的极坐标方程分别为为非零常数）与ρ=b．若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为________．27.若直线x﹣y+t=0被曲线（θ为参数）截得的弦长为4，则实数t的值为________28.（2014•湖北）已知曲线C1的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2，则C1与C2交点的直角坐标为________．29.已知实数x，y满足x2+y2﹣6x+8y﹣11=0，则的最大值=________，|3x+4y﹣28|的最小值=________30.A．若不等式|2a﹣1|≤|x+ |对一切非零实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．B．如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为________．C．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数）和直线l：（t为参数），则直线l截圆C所得弦长为________．三、解答题31.在直角坐标系xoy中，已知点P（0，），曲线C的参数方程为（φ为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ= ．（Ⅰ）判断点P与直线l的位置关系并说明理由；（Ⅱ）设直线l与曲线C的两个交点分别为A，B，求+ 的值．32.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别是（t是参数）和（φ为参数）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）射线OM：θ=α（α∈[ ，]）与曲线C1的交点为O，P，与曲线C2的交点为O，Q，求|OP|•|OQ|的最大值．33.[选修4-4：参数方程与极坐标系]已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C2的直角坐标系方程；（Ⅱ）设M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，求|M1M2|的最小值．34.在直角坐标系中xOy，直线C1的参数方程为（t是参数）．在以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρ=sinθ﹣cosθ（θ是参数）．（Ⅰ）将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程，并判断曲线C2所表示的曲线；（Ⅱ）若M为曲线C2上的一个动点，求点M到直线C1的距离的最大值和最小值．35.已知直线l的参数方程：（t为参数），曲线C的参数方程：（α为参数），且直线交曲线C于A，B两点．（Ⅰ）将曲线C的参数方程化为普通方程，并求θ= 时，|AB|的长度；（Ⅱ）已知点P：（1，0），求当直线倾斜角θ变化时，|PA|•|PB|的范围．36.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，长度单位相同，建立极坐标系，已知圆A的参数方程为（其中θ为参数），圆B的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）分别写出圆A与圆B的直角坐标方程；（Ⅱ）判断两圆的位置关系，若两圆相交，求其公共弦长．37.在平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以O为极点x轴的正半轴为极轴建极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（cosθ﹣sinθ）=4，且与曲线C相交于A，B两点．（Ⅰ）在直角坐标系下求曲线C与直线l的普通方程；（Ⅱ）求△AOB的面积．39.已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）过曲线C2的左顶点且倾斜角为的直线l交曲线C1于A，B两点，求|AB|．40.在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为（t为参数，a＞0）以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）设P是曲线C上的一个动点，当a=2时，求点P到直线l的距离的最小值；（Ⅱ）若曲线C上的所有点均在直线l的右下方，求a的取值范围．41.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：（t为参数）与曲线C2：（θ为参数，a＞0）．（Ⅰ）若曲线C1与曲线C2有一个公共点在x轴上，求a的值；（Ⅱ）当a=3时，曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求A，B两点的距离．42.已知直线l的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.直线l过点.（1）若直线l与曲线C交于A,B两点，求的值；（2）求曲线C的内接矩形的周长的最大值.答案解析部分一、单选题1.【答案】A【考点】简单曲线的极坐标方程，参数方程化成普通方程【解析】【解答】解：圆C的参数方程为为参数），化为普通方程：x2+（y+1）2=1，可得圆心C（0，﹣1）圆C的圆心的极坐标为（1，﹣）．故选：A．【分析】圆C的参数方程为为参数），化为普通方程：x2+（y+1）2=1，可得圆心C（0，﹣1），再利用互化公式即可得出．2.【答案】D【考点】参数方程化成普通方程【解析】【解答】因为，所以由，可得，消去，得，，且，即，故选D。

用极坐标与参数方程解高考题型及解题策略高考题中极坐标与参数方程主要考察简单图形的极坐标方程，极坐标与直角坐标的互化，直线、圆和圆锥曲线的参数方程，参数方程化为直角坐标方程等。

高考热门是极坐标与直角坐标的互化、参数方程化为直角坐标方程，推导简单图形的极坐标方程、直角坐标方程化为参数方程。

此中以考察基本观点，基本知识，基本运算为主，一般属于中档难度题。

常以选考题的形式出现，别的在高考数学的选择题和填空题中，用参数方程与极坐标解决问题常能收到事半功倍的成效，一定惹起教与学的足够。

所以，对常有题型及解题策略进行商讨。

一、极坐标与直角坐标的互化1.曲线的极坐标方程化成直角坐标方程：关于简单的我们能够直接代入公式ρcosθ＝x，ρsin θ＝y，ρ2＝x2＋y2，但有时需要作适合的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以ρ等.2.直角坐标 ( x，y) 化为极坐标 ( ρ，θ) 的步骤：(1)运用ρ＝， tan θ＝( x≠0) ；(2)在[0 ，2π) 内由 tan θ＝( x≠0) 求θ时，由直角坐标的符号特点判断点所在的象限 ( 即θ的终边地点 ).解题时一定注意：① 确立极坐标方程，极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不行 .② 平面上点的直角坐标的表示形式是独一的，但点的极坐标的表示形式不独一 . 当规定ρ≥0，0≤θ＜2π，使得平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍旧不包含极点 .③进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，应注意两点：Ⅰ. 注意ρ，θ的取值范围及其影响 .Ⅱ. 重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用.比如、（2015 年全国卷）在直角坐标系xOy中。

直线C1 : x2，圆C2：22, 以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴成立极坐标系。

x 1y 21（I ）求C1，C2的极坐标方程；（II ）若直线C3的极坐标方程为R ，设 C2与 C3的交点为 M ,N,4求 VC2MN 的面积解：（Ⅰ）因为 x cos , y sin，所以 C1的极坐标方程为 cos 2 ，C2的极坐标方程为2 2 cos 4 sin 4 0（Ⅱ）将代入2 2 cos4sin 4 0，得42324 0，解得122, 2 2 ，故2，即|MN | 2121因为 C2的半径为 1，所以VC2MN的面积为2二、简单曲线的极坐标方程及应用1. 求曲线的极坐标方程 , 就是找出动点 M 的坐标ρ与θ之间的关系 , 而后列出方程 f( ρ, θ)=0, 再化简并查验特别点 .2. 极坐标方程波及的是长度与角度 , 所以列方程的本质是解三角形 .3. 极坐标方程应用时多化为直角坐标方程求解 , 而后再转变为极坐标方程 , 注意方程的等价性 .比如、（ 2015 全国卷）在直角坐标系xOy 中，曲线 C ： xt cos（ t1y t sin为参数， t ≠0），此中 0≤α<π，在以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 2：2sin，C 3：2 3 cos。

2021年第06期241课程研究浅谈如何引导学生选择模型解题——以选做题《极坐标与参数方程》为主题的第二次备课组活动李冬阳南宁市第二十六中学，广西南宁530200本学期数学组针对高三如何复习专题《极坐标与参数方程》，分阶段进行了两次集体备课组活动。

第一阶段的研讨主题是：如何提高第一小问的得分率？第二阶段的研讨主题是：如何提高第二小问的得分率？在第二阶段的研讨中，青年教师的我作为中心发言人，提出了自己复习本专题第二小问时的做法、疑惑，然后通过备课组的研讨，得到了非常大的收获。

详细如下：经过第一阶段的研讨，在复习第一小问的过程中，我以专题的方式去强化训练，加强构参、消参以及坐标互化的训练，经过测试发现学生第一小问的得分率有所提高。

如复习第一小问后某一次测试，10分的一道解答题，第一小问满分是4分，得分数据如下：10分（0人）,9分（0人）,8分（2人）, 7分（2人）,6分（3人）,5分（8人）,4分（18人）, 3分（5人）, 2分（5人），1分（3人），0分（3人）.由数据可以知道有33个人得分4分以上，总人数49人，平均分有3.84分，说明学生大部分第一小问的解题思路已经比较清晰，只有一小部分的学生还需要加强对第一小问的练习。

总之，整体有所进步。

但是同时我们也可以从数据中看到，只有几个人达到6分以上，所以接下来我的教学目标是对第二小问的专题训练。

在全面开展第二小问训练之前，我也研究了高考题第二小问的考点，并根据考纲明确了我的教学内容,如下：（一）考点：①2018年高考全国Ⅰ卷：直线与圆锥曲线的交点、直角坐标方程②2018年高考全国Ⅱ卷：中点弦、直线t 的几何意义③2018年高考全国Ⅲ卷：直线t 的几何意义、轨迹参数方程④2019年高考全国Ⅰ卷：椭圆上的点到直线距离的最值问题⑤2019年高考全国Ⅱ卷：极坐标方程、轨迹方程⑥2019年高考全国Ⅲ卷：极坐标方程，点的极坐标⑦2020年高考全国Ⅰ卷：方程互化、消参、直角坐标⑧2020年高考全国Ⅱ卷：极坐标方程⑨2020年高考全国Ⅲ卷：参数方程、轨迹（二）教学内容1.参数的几何意义；2.极径的几何意义；3.点到直线的距离问题；4.线段的最值问题；5.三角形的面积问题；6.轨迹问题.按照教学内容制定我的复习流程：讲、练、测、归。

极坐标与参数方程解题思路在数学中，极坐标和参数方程是两种不同的表示数学对象的方法。

它们在解决几何和物理问题时非常有用。

本文将介绍极坐标和参数方程的基本概念以及解题思路。

极坐标极坐标是一种表示平面点的方法，它使用距离和角度来确定点的位置。

在极坐标中，点被表示为(r, θ)，其中 r 表示点到原点的距离，θ 表示点与正半轴的夹角。

解题时，可以将问题转化为在极坐标下求解。

首先需要了解如何在直角坐标系和极坐标之间进行转换。

使用以下公式将直角坐标系中的点 (x, y) 转换为极坐标 (r, θ)：r = √(x^2 + y^2)θ = arctan(y / x)使用这些转换公式，可以将直角坐标系中的问题转化为极坐标下的问题。

例如，我们要求一个极坐标方程所描述的曲线的极点、极值等特性。

另外，要注意极坐标中的角度是弧度制。

如果需要将角度转换为度数，可以使用以下公式：θ(度) = θ(弧度) * 180 / π参数方程参数方程是一种使用参数来表示平面上点的方法。

在参数方程中，点的位置由参数 t的函数表示，通常用 (x(t), y(t)) 表示一个点。

常见的参数方程形式包括直角坐标系下 x 和 y 的函数表示。

如果已知 x 和 y 的参数方程，可以通过解方程组来计算点的坐标。

同样地，如果已知直角坐标系下的点，可以使用参数方程来描述点的运动。

解题时，可以使用参数方程来刻画复杂曲线和图形。

通过选择合适的参数和函数，可以准确地表示出曲线的形状。

解题思路在解题过程中，首先需要了解问题的要求和条件。

根据问题所给的信息，判断是应该使用极坐标还是参数方程来解决问题。

若问题涉及到角度、距离等与原点的关系，可以选择使用极坐标表示。

通过将直角坐标系下的点转换成极坐标，可以更加直观地理解和分析问题。

若问题需要描述一个曲线的形状、运动或其他特性，可以选择使用参数方程。

通过选取合适的参数和函数，可以描述出复杂曲线的特性。

在解题过程中，要注意数学推理和计算的准确性。

选做题部分 极坐标系与参数方程一、极坐标系1．极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2．极坐标与直角坐标的互化点M 直角坐标(x ，y )极坐标(ρ，θ)互化公式题型一 极坐标与直角坐标的互化1、已知点P 的极坐标为)4,2(π，则点P 的直角坐标为 （ ）A.（1，1）B.（1，-1）C.（-1，1）D.（-1，-1）2、设点P 的直角坐标为(3,3)-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系(02)θπ≤<，则点P 的极坐标为（ ） A ．3(32,)4π B ．5(32,)4π- C ．5(3,)4π D ．3(3,)4π- 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( )A ．ρ＝cos θB ．ρ＝sin θC ．ρcos θ＝1D ．ρsin θ＝15．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π4(ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标．题型二 极坐标方程的应用由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．1.在极坐标系中，已知圆C 经过点P(2，π4)，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的直角坐标方程．2.圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，则|CP|＝________.3.在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，圆C 的圆心的极坐标是C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4，圆的半径为1.(i)则圆C 的极坐标方程是________； (ii)直线l 被圆C 所截得的弦长等于________．4.在极坐标系中，已知圆C ：ρ＝4cos θ被直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝a 截得的弦长为23，则实数a 的值是________．二、参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f ?t ?，y ＝g ?t ?就是曲线的参数方程．2．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹 普通方程 参数方程直线 y －y 0＝tan α(x －x 0)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α (t 为参数)圆 x 2＋y 2＝r 2 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝r cos θy ＝r sin θ(θ为参数) 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数) 题型一 参数方程与普通方程的互化 【例1】把下列参数方程化为普通方程： (1)⎩⎨⎧x ＝3＋cos θ，y ＝2－sin θ； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t .题型二 直线与圆的参数方程的应用1、已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t ，y ＝4－2t (参数t ∈R )，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋2，y ＝2sin θ(参数θ∈[0,2π])，求直线l 被圆C 所截得的弦长．2、曲线C 的极坐标方程为：ρ=acos θ（a ＞0），直线l 的参数方程为：（1）求曲线C 与直线l 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 相切，求a 值． 3、在直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为，（α为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；（Ⅱ）设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2上点的距离最小值． 综合应用 1、曲线25()12x tt y t=-+⎧⎨=-⎩为参数与坐标轴的交点是（ ）A 21(0,)(,0)52、 B 11(0,)(,0)52、 C (0,4)(8,0)-、 D 5(0,)(8,0)9、3、参数方程222sin sin x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤3．判断下列结论的正误．(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系( )(2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是（2，－π3）( ) (3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线( )4.参数方程为1()2x t t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是（ ）A ．一条直线B ．两条直线C ．一条射线D ．两条射线5．与参数方程为)x t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数等价的普通方程为（ ） A ．214y +=2x B ．21(01)4y x +=≤≤2x C ．21(02)4y y +=≤≤2x D ．21(01,02)4y x y +=≤≤≤≤2x 15.参数方程()为参数θθθ⎩⎨⎧+==cot tan 2y x 所表示的曲线是 （ ）A ．直线B ．两条射线C ．线段D ．圆16.下列参数方程（t 是参数）与普通方程y x 2=表示同一曲线的方程是： ( )A ．x t y t ==⎧⎨⎩2B ．x t y t ==⎧⎨⎩sin sin 2C ．x t y t ==⎧⎨⎪⎩⎪D ．⎪⎩⎪⎨⎧=+-=ty t t x tan 2cos 12cos 1 3.由参数方程()⎪⎭⎫⎝⎛<<-⎩⎨⎧=-=202tan 21sec 22ππθθθ为参数，y x 给出曲线在直角坐标系下的方程是。

《极坐标与参数方程》高考高频题型除了简单的极坐标与直角坐标的转化、参数方程与普通方程的转化外，还涉及（一）有关圆的题型题型一：圆与直线的位置关系（圆与直线的交点个数问题）----利用圆心到直线的距离与半径比较相离，无交点；:r d > 个交点；相切，1:r d = 个交点；相交，2:r d <用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2200BA C By Ax d +++=，算出d ，在与半径比较。

题型二：圆上的点到直线的最值问题（不求该点坐标，如果求该点坐标请参照距离最值求法）思路：第一步：利用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2200BA C By Ax d +++=第二步：判断直线与圆的位置关系第三步：相离：代入公式：r d d +=max ，r d d -=min 相切、相交：r d d +=max min 0d =题型三：直线与圆的弦长问题弦长公式222d r l -=，d 是圆心到直线的距离延伸：直线与圆锥曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）的弦长问题 （弦长：直线与曲线相交两点，这两点之间的距离就是弦长） 弦长公式21t t l -=,解法参考“直线参数方程的几何意义”（二）距离的最值： ---用“参数法”1.曲线上的点到直线距离的最值问题2.点与点的最值问题“参数法”：设点---套公式--三角辅助角①设点： 设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设 ①套公式：利用点到线的距离公式①辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一例如：【2016高考新课标3理数】在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（I ）写出的普通方程和的直角坐标方程；（II ）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标的直角坐标方程为.这里没有加减移项省去，直接化同，那系数除到左边（①）由题意，可设点的直角坐标为 因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，xOy 1C ()sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数x 2C sin()4ρθπ+=1C 2C P 1C Q 2C PQ P 2C 40x y +-=P ,sin )αα2C ||PQ P 2C ()d α.（欧萌说：利用点到直接的距离列式子，然后就是三角函数的辅助公式进行化一）当时）（13sin =+πα即当时，，此时的直角坐标为.（三）直线参数方程的几何意义1.经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为为参数）t t y y t x x (sin cos 00⎩⎨⎧+=+=αα若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到： (1)t 0=t 1＋t 22； (2)|PM |=|t 0|=t 1＋t 22； (3)|AB |=|t 2－t 1|； (4)|P A |·|PB |=|t 1·t 2|（5）⎪⎩⎪⎨⎧>+<-+=-=+=+0,0,4)(212121212212121t t t t t t t t t t t t t t PB PA 当当（注：记住常见的形式，P 是定点，A 、B 是直线与曲线的交点，P 、A 、B 三点在直线上） 【特别提醒】直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |=|t |.直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为12,t t ，则弦长12l t t =-； 2.解题思路第一步：曲线化成普通方程，直线化成参数方程()sin()2|3d παα==+-2()6k k Z παπ=+∈()d αP 31(,)22第二步：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于t 的一元二次方程：02=++c bt at第三步：韦达定理：a ct t a b t t =-=+2121,第四步：选择公式代入计算。

极坐标和参数方程知识点+典型例题讲解+同步训练知识点回顾（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ⎩⎨⎧==)()(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数．（二）常见曲线的参数方程如下：1．过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：ααsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数）其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．根据t 的几何意义，有以下结论．○1．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ⋅--4)(2．○2．线段AB 的中点所对应的参数值等于2BA t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：θθsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数）3．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆：θθsin cos b y a x == （θ为参数）（或θθsin cos a y b x ==）中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）ααα(.sin ,cos 00⎩⎨⎧+=+=b y y a x x 4．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线：θθtg sec b y a x == （θ为参数） （或 θθec a y b x s tg ==）5．顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：pty pt x 222== （t 为参数，p ＞0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P （x 0，y 0），倾斜角为α的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）．（三）极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。

极坐标与参数方程一．极坐标1．极坐标系与极坐标一般地，若（ρ,θ）是点M 的极坐标，则（ρ,θ+2k π）（k ∈Z ）也都是点M 的极坐标，总之点M （ρ,θ）的极坐标可以有(ρ,θ+2k π)(k ∈Z). 当规定ρ＞0，0≤θ＜2π以后，平面内的点（除极点外）与有序数对就可以一一对应了.2 极坐标与直角坐标的互化设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y)，极坐标是(ρ，θ).从图可以得出它们之间的关系：θρcos =x ， θρs i n =y222y x +=ρ tan θ=xy（x ≠0） 例如：（1）将点M 的直角坐标（-3，-1）化成极坐标是_______ (2,67π) （2）将点M 的极坐标（5，32π）化成直角坐标为_______ (-25,235)（3）已知点M 的极坐标为 (-5，3π) ，下列所给出的几个极坐标不能表示点M 的坐标的是（ ）A A.（5，3π-） B.（5，34π） C ．（5，32π-） D.（-5，35π-）3．常见曲线的极坐标方程 （一）圆方程1.圆心在极点，半径为r 的圆：极坐标方程为2.圆心在(r,0)，半径为r 的圆：极坐标方程为3.圆心在(r,2π)，半径为r 的圆：极坐标方程为（二）直线方程1.过极点，倾斜角为α的直线极坐标方程为2.过（a ，0），与极轴垂直的直线极坐标方程为3..过（a ，2π），与极轴平行的直线极坐标方程为二．参数方程1.直线的参数方程经过点),(000y x P ，倾斜角为α的直线的参数方程是：2.圆以C(a ，b)为圆心，r 为半径的圆的参数方程是：3.椭圆（1）椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的参数方程是：（2）椭圆)0(12222>>=+b a ay b x 的参数方程是：题型示例（一）求极坐标方程求极坐标方程如果较难，可以先求直角坐标方程，再化成极坐标方程 1.求圆心为C （3，6π），半径为3的圆的方程。

极坐标与参数方程高考常见题型及解题策略【考纲要求】（1）坐标系①了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。

②了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化。

表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。

③能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程。

④了解参数方程，了解参数的意义。

能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义。

⑤能选择适当的参数写出直线，圆和椭圆的参数方程。

了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解他们的区别。

（2）参数方程①了解参数方程，了解参数的意义②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程。

③了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出他们的参数方程。

④了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨迹中的作用。

【热门考点】高考题中这一部分主要考查简单图形的极坐标方程，极坐标与直角坐标的互化，直线、圆和圆锥曲线的参数方程，参数方程化为直角坐标方程等。

热点是极坐标与直角坐标的互化、参数方程化为直角坐标方程。

冷点是推导简单图形的极坐标方程、直角坐标方程化为参数方程。

盲点是柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，摆线在实际中的应用，摆线在表示行星运动轨道中的作用。

涉及较多的是极坐标与直角坐标的互化及简单应用。

多以选做题形式出现，以考查基本概念，基本知识，基本运算为主，一般属于中档题。

例1.（2011新课标1，第23题）在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x ay a=⎧⎨=+⎩(σ为参数)M 是1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，P 点的轨迹为曲线2C 。

高考极坐标与参数方程题型及解题方法1. 引言在高考数学考试中，极坐标与参数方程是比较常见的题型。

掌握这些题型的解题方法对于考生来说非常重要。

本文将针对高考中常见的极坐标与参数方程题型进行介绍，并给出相应的解题方法。

2. 极坐标题型及解题方法2.1 求曲线方程在给定了极坐标方程$r=f(\\theta)$的情况下，求曲线的方程是比较常见的题型。

要解决这类题目，一般有以下步骤：•首先，观察函数$f(\\theta)$的性质，判断是否是一个周期函数，通过实例来确定周期。

•根据这个周期，可以得到对应的关系式。

•使用关系式消去r和$\\theta$，得到曲线的直角坐标方程。

•最后，通过画图或其他方式，验证所得方程是否正确。

2.2 求曲线的长度求曲线的长度也是一个常见的问题，一般分为以下几步：•根据给定的极坐标方程$r=f(\\theta)$，利用弧长公式进行求解。

公式为：$$L=\\int_{\\alpha}^{\\beta}\\sqrt{[f'(\\theta)]^2+f^2(\\theta)}d\\theta$$ •其中$\\alpha$和$\\beta$为曲线所在区间，$f'(\\theta)$为导数。

•确定曲线所在区间，并计算导数$f'(\\theta)$。

•将上述求得的值带入弧长公式中，进行计算。

2.3 求曲线与极轴的夹角有时候，我们需要求出曲线与极轴的夹角。

对于这类问题，一般可以按照以下步骤进行求解：•首先，通过给定的极坐标方程$r=f(\\theta)$求出曲线与极轴的交点。

•然后，求出曲线在交点处的切线斜率k。

斜率的求解公式为：$$k=\\tan(\\pi/2-\\theta)=-\\frac{dr}{d\\theta}/r$$•最后，利用切线的斜率k求出曲线与极轴的夹角。

3. 参数方程题型及解题方法3.1 求曲线方程对于给定的参数方程x=f(t)和y=g(t)，求曲线的方程也是常见的高考题型。