09-10上“微积分”试卷(A)

微积分上考试题目及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1的导数为：A. 3x^2-3B. x^2-3x+1C. 3x^2-3xD. 3x^2-3x+1答案：A2. 极限lim(x→0)(sin(x)/x)的值为：A. 0B. 1C. -1D. ∞答案：B3. 以下哪个函数是偶函数？A. f(x) = x^2 + xB. f(x) = x^3 - 2xC. f(x) = cos(x)D. f(x) = sin(x) + x答案：C4. 以下哪个积分是发散的？A. ∫(1/x)dx 从1到∞B. ∫(x^2)dx 从0到1C. ∫(e^(-x))dx 从0到∞D. ∫(sin(x))dx 从0到2π答案：A5. 以下哪个是复合函数的导数？A. (f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)B. (f(g(x)))' = f'(x)g'(x)C. (f(g(x)))' = f(g'(x))g'(x)D. (f(g(x)))' = f'(x)g(x)答案：A二、填空题（每题4分，共20分）6. 函数f(x)=x^2的二阶导数为________。

答案：27. 定积分∫(0到1) x dx的值为________。

答案：1/28. 函数y=ln(x)的反函数为________。

答案：e^y9. 函数f(x)=e^x的不定积分为________。

答案：e^x + C10. 函数f(x)=x^3-3x^2+2x的极值点为________。

答案：x=0, x=2三、计算题（每题10分，共30分）11. 计算极限lim(x→∞) (x^2 - 3x + 2) / (2x^2 + 5x - 3)。

答案：1/212. 计算定积分∫(0到1) (x^2 - 2x + 1) dx。

答案：1/313. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值。

上海立信会计学院 2009～2010学年第二学期2009级本科 《微积分（二）》期终考试试题（A ）（本场考试属闭卷考试，禁止使用计算器） 共5页班级________________学号________________姓名___________一.单项选择题（每题仅有一个答案正确）（共10分，每题2分）1、点（ 4，-3，5）到oy 轴的距离为 （ ） （A ）、2225)3(4+-+ （B ）、225)3(+-（C ）、22)3(4-+ （D ）、2254+2、设yx y x z arcsin)2(2-+=，那么(1,2)z x∂=∂（ ）(A)、2 (B)、1 (C) 、π2(D)、 π43、下列级数中收敛的是（ ）（A ）、∑∞=+1131n n （B ）、∑∞=++1)2(1n n n n（C ）、∑∞=123n nn （D ）、∑∞=++1)3)(1(4n n n4、微分方程22dxy d +w 2y=0的通解是 其中c ，c 1，c 2均为任意常数（A ）、y =ccoswx (B)、y =c sinwx(C)、y =c 1coswx+c 2sinwx (D)、y =coswx+sinwx5、交换+⎰⎰12111),(x dy y x f dx ⎰⎰211),(xdy y x f dx 的次序，则下列结果正确的是（ ）（A ）、⎰⎰211),(yydx y x f dy （B ）、⎰⎰211),(y ydx y x f dy（C ）、⎰⎰311),(x xdx y x f dy （D ）、⎰⎰1311),(x xdx y x f dy二. 填空题（将最简答案填在横线上）（共15分，每题3分）1、设f x y x y xy y (,)+-=+2，则),(x y f =2、设y x ye z +=，则d z =3、D ：122≤+y x ，则σd eDyx ⎰⎰+22=4、∑∞=11n pn，当p 满足条件 时收敛。

2006级《微积分A 》期末试卷(A 卷)一、求解下列各题（每小题7分，共35分） 1设,1arctan 122---=x x x x y 求.y '2求不定积分.)ln cos 1sin (2dx x x xx⎰++ 3求极限.)(tan limln 11x x x ++→4 计算定积分,)(202322⎰-=a x a dxI 其中.0>a 5 求微分方程.142+='-''x y y 的通解.二、完成下列各题（每小题7分，共28分）1 设当0→x 时，c bx ax e x---2是比2x 高阶的无穷小，求c b a ,,的值. 2求函数)4()(3-=x x x f 在),(+∞-∞内的单调区间和极值.3 设)(x y y =是由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=⎰01cos sin )cos(20t t y dut u x t所确定的隐函数，求.dx dy4 求证：.sin sin42222⎰⎰ππππ=dx xxdx xx.三、（8分）设)(x y 在),0[+∞内单调递增且可导，又知对任意的,0>x 曲线)(x y y =，上点)1,0(到点),(y x 之间的弧长为,12-=y s 试导出函数)(x y y =所满足的微分方程及初始条件，并求)(x y 的表达式.四、(8分)过点)0,1(-作曲线x y =的切线，记此切线与曲线x y =、x 轴所围成的图形为D ，（1） 求图形D 的面积；（2） 求D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.五、（7分）求证：方程010cos 042=++⎰⎰-xt xdt e dt t 有并且只有一个实根.六、（8分）一圆柱形桶内有500升含盐溶液，其浓度为每升溶液中含盐10克。

现用浓度为每升含盐20克的盐溶液以每分钟5升的速率由A 管注入桶内(假设瞬间即可均匀混合)，同时桶内的混合溶液也以每分钟5升的速率从B 管流出。

2009多元微积分期末考试试题参考解答 (A 卷) 2009年6月 21 日一．填空题（每空3分，共15题）1. 设函数),(y x f 在2ℜ上连续，交换累次积分的顺序=⎰⎰--21011),(y dx y x f dy ⎰⎰---22111),(x x dy y x f dx2. 累次积分⎰⎰=1012yx dx e dy 21-e 注：交换积分次序即可算出积分值。

3. 记Ω为单位球: 1222≤++z y x ，则三重积分⎰⎰⎰Ω++dxdydz z y x )sin(=0 。

注：注意到积分区域和被积函数的对称性可知积分为零。

4. 设+L 为平面曲线1222=+y x ，方向为逆时针方向，则=+-⎰+L y x ydx xdy 222π2 5. 设三元函数)(3)2(ℜ∈C u 满足方程 3222222=∂∂+∂∂+∂∂zuy u x u ，∑为单位球面，n 为其外单位法方向，则dS n∑∂=π4。

注：利用Gauss 公式。

6. 设L 为曲线y x y x 8622+=+，则=⎰Ldl x π30。

注：写出曲线的参数方程，再根据计算公式即可算出积分。

7. 设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域，∑是Ω的整个边界的外侧，则⎰⎰+∑=∧+∧+∧dy zdx dx ydz dz xdy 3)22(R π- 注：利用Gauss 公式。

8. 设 k z j y i x V 222++=，则=V rot 09. 设 k x z j z y i y x V 222++=，则=V div zx yz xy 222++10. 初值问题,0'2''=++y y y 1)0(=y ，1)0('=y 的解为xe x y -+=)21(。

11. 一阶常微分方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=y x dtdy y x dt dx324的通解为t t e c e c -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1211251 12. 二阶线性常微分方程 0'2=++''y y x y x )0(>x 的通解为)sin(ln )cos(ln 21x c x c +。

《微积分A 》期末试卷(A 卷)班级 学号 姓名 成绩一、求解下列各题（每小题7分，共35分） 1设,1arctan 122---=x x x x y 求.y '2 求不定积分.)ln cos 1sin (2dx x x xx⎰++ 3求极限.)(tanlim ln 110x x x ++→ 4 计算定积分,)(202322⎰-=a x a dxI 其中.0>a 5 求微分方程.142+='-''x y y 的通解. 二、完成下列各题（每小题7分，共28分）1 设当0→x 时，c bx ax e x---2是比2x 高阶的无穷小，求c b a ,,的值. 2求函数)4()(3-=x x x f 在),(+∞-∞内的单调区间和极值.3 设)(x y y =是由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=⎰01cos sin )cos(20t t y du t u x t所确定的隐函数，求.dx dy 4 求证：.sin sin42222⎰⎰ππππ=dx xxdx xx.三、（8分）设)(x y 在),0[+∞内单调递增且可导，又知对任意的,0>x 曲线)(x y y =，上点)1,0(到点),(y x 之间的弧长为,12-=y s 试导出函数)(x y y =所满足的微分方程及初始条件，并求)(x y 的表达式. 四、(8分)过点)0,1(-作曲线x y =的切线，记此切线与曲线x y =、x 轴所围成的图形为D ，（1） 求图形D 的面积；（2） 求D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.五、（7分）求证：方程010cos 042=++⎰⎰-xt xdt e dt t 有并且只有一个实根.六、（8分）一圆柱形桶内有500升含盐溶液，其浓度为每升溶液中含盐10克。

现用浓度为每升含盐20克的盐溶液以每分钟5升的速率由A 管注入桶内(假设瞬间即可均匀混合)，同时桶内的混合溶液也以每分钟5升的速率从B 管流出。

广东金融学院期末考试试题标准答案及评分标准 学期：2009—2010学年第一学期 考试科目：微积分I （A 卷） 出卷老师：李芳使用班级：09级本科班（除数学和计算机专业）标准答案和评分标准：一、填空题(每小题3分，共15分)：1. 3；2. 1y x =+；3. ;1y =4. x (2ln x +1)；5.评分标准：填对1题得3分，填错得0分。

二、单项选择题(每小题3分，共15分)：6. A7. B8.B9. B 10. D评分标准：填对1题得3分，填错得0分。

三、计算题(每小题5分，共40分)：11.原式=xx x x x x ln )1(1ln lim 1-+-→ …………1分 x xx x x x x x x x x ln 11ln lim 1ln 1ln 1lim 11+-=-+-+=→-→ …………3分 .21111lim 21=+=-→xx x x …………5分 12. 131sin lim 220-+→x x x =220321lim x x x ⋅→=.32= ……4分 ……5分13. 原式= )11ln(lim x x x e +∞→ …………2分= )11ln(lim 2x x x e +∞→=x x x e 1)11ln(lim 2+∞→ ）e x xx 11lim 2(∞→或 …………3分 12lim 2+∞→=x xx e e （x x 1lim∞→或 ………4分 10==e ………5分 方法二：原式= x x x x x 1lim 22)11(lim ∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∞→ …………3分10==e ………5分14. )()(arcsin arcsin'-+'+'='2422x x x x x y …………1分 )()(arcsin x x x x x 242121211222--+-+= ……4分 2x arcsin = ……5分15.y y '''=== ………2分 ……3分…………5分 …………5分16. 方程两边求微分22(ln )(sin )()()y y d y d x e d x x d e +=+ …………1分21cos 2y y dy xdx xe dx x e dy y+=+ …………3分 21()(2cos )y y x e dy xe x dx y -=- …………4分 所以 .1cos 2)1(cos 222dx ye x x y xye dx e x yx xe dy y y y y --=--= …………5分 17. 原式=⎰-x d xln ln 112 …………3分C x +=ln arcsin …………5分18. 原式=dx x sin 2202⎰π…………2分dx x sin 220⎰=π…………3分π0)x cos (22-= …………4分 .24= …………5分四、综合应用题(每小题8分，共24分)：19. 函数定义域为),(+∞-∞， …………1分 求导得 ),2(363)(2-=-='x x x x x f …………2分 令0=')(x f ，得驻点x 1 =0, x 2 = 2. …………3分所以函数的单调增区间为(-∞,0)和 (2,+∞)；单调减区间为(0,2) 。

一、 选择题 (选出每小题的正确选项，每小题２分，共计10分)1．1lim 2xx -→=_________。

（A ） -∞ （B ） +∞ （C ） 0 （D ） 不存在 2．当0x →时，()x xf x x+=的极限为 _________。

（A ） 0 （B ） 1 （C ）2 （D ） 不存在 ３． 下列极限存在，则成立的是_________。

0()()()lim ()x f a x f a A f a x -∆→+∆-'=∆0()(0)()lim (0)x f tx f B tf x→-'= 0000()()()lim 2()t f x t f x t C f x t →+--'= 0()()()lim ()x f x f a D f a a x →-'=-４． 设f （x ）有二阶连续导数，且()0()(0)0,lim1,0()_______x f x f f f x x→'''==则是的。

（A ） 极小值 （B ）极大值（ C ）拐点 （D ） 不是极值点也不是拐点 5．若()(),f x g x ''=则下列各式 成立。

()()()0A f x x φ-=()()()B f x x C φ-=()()()C d f x d x φ=⎰⎰()()()d dD f x dx x dx dx dxφ=⎰⎰ 二、 填空题（每小题3分，共18分）1. 设0(2)()0(0)0,lim1sin x f x f x x f x→===-在处可导，且，那么曲线()y f x =在原点处的切线方程是__________。

２．函数()f x =[0，3]上满足罗尔定理，则定理中的ξ= 。

3．设1(),()ln f x f x dx x'=⎰的一个原函数是那么 。

4．设(),xf x xe -=那么2阶导函数 ()___f x x ''=在点取得极_____值。

微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1.已知则对于，总存在δ>0，使得当,)(lim 1A x f x =+→0>∀ε时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。

2.已知，则a = ，b =2235lim 2=-++∞→n bn an n 。

3.若当时，α与β 是等价无穷小量，则 。

0x x →=-→ββα0limx x 4.若f (x )在点x = a 处连续，则 。

=→)(lim x f ax 5.的连续区间是 。

)ln(arcsin )(x x f =6.设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则______________。

=-+→hx f h x f h )()3(lim0007.曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。

8. 。

='⎰))((dx x f x d 9.设总收益函数和总成本函数分别为，，则当利润最大时产2224Q Q R -=52+=Q C 量是。

Q 二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)1.若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（）。

(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在2.设则为函数的（ ）。

11)(-=x arctg x f 1=x )(x f(A) 可去间断点(B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点(D) 连续点3.（ ）。

=+-∞→13)11(lim x x x(A) 1 (B) ∞(C)(D) 2e 3e4.对需求函数，需求价格弹性。

当价格（ ）时，5p eQ -=5pE d -==p 需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。

(A) 3 (B) 5 (C) 6(D) 105.假设在点的某邻域内(可以除外)存)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→得0x 0x 在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。

微积分试卷及答案4套(共14页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。

2. 已知2235lim2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。

3. 若当0x x →时，与 是等价无穷小量，则=-→ββα0limx x 。

4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f ax 。

5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。

6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。

7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。

8. ='⎰))((dx x f x d 。

9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最大时产量Q 是 。

二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 1. 若数列{x n }在a 的邻域（a -,a +）内有无穷多个点，则（ ）。

(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。

3(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点 (D) 连续点3. =+-∞→13)11(lim x x x（ ）。

(A) 1 (B) ∞ (C) 2e (D)3e4. 对需求函数5p eQ -=，需求价格弹性5pE d -=。