河南省2017届高三下学期质量检测理科数学试题Word版含答案

河南省郑州市、平顶山市、濮阳市2017年高考二模理科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数/（«）=r '(neN*),则集合｛z\z = f （n ）｝中元素的个数是（ ）A. 4B. 3C. 2D.无数2. x = 30'5, y = log 3 2,z = cos 2 ,贝！J ()A. zVyVx B . z<x<y C. y<z<xD. x<z<y3.要计算1 +上+上+2 3+史一的结果，2017如图程序框图中的判断框内可以填（）A. n<2 017B. 〃W2 017C. n>2017D. "N2017某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）4.3271~9~C.B.-3八 16兀D.——95.下列命题是真命题的是（）A. \/gR ,函数/*（x ） = sin （2x + 0）都不是偶函数B. 己a,f3wR,使cos （6Z + 0） = cosa + cos /3C. “|x|Wl ”是“xWl ”的既不充分也不必要条件向量D. 口 = （2,1）力=（-1,0）,则。

在。

方向上的投影是26. 在区间［l,e ］±任取实数。

，在区间［0,2］上任取实数们使函数f （x ） = ax 2+x + -b 有两个相异零点的概4率是（ ）A ］ b ］C ］D ］. 2（e-l ）. 4（e-l ）* 8（e-l ） * 16（e-l ）7. 已知数列｛%｝满足a n+1 =a n -a n _x （n^2）,a x =m,a 2= n,S n 数列｛%｝的前〃项和，则 S2017 的值为（）A. 2017n —mB. h —2017mC. mD. nyNx + 28. 己知实数满足贝!j z = 2|x-2| + | y\的最小值是（）尤习A. 6B. 5C. 4D. 39. 已知空间四边形 ABCD,满足|A8|=3,|BC|=7,|CD|=11,|D4|=9,则 AC 8D 的值（）A. -1B. 0C.—210. 将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数个数为（A. 72B. 120C. 192211. 已知尸为双曲线匕-尸=1上任一点，过P 点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A,B,则4|B4||PB| 的值为（）4A. 4B. 5C. -D.与点P 的位置有关5cin x12. 己知函数f （x ）= ,如果当QO 时，若函数了3）的图象恒在直线y = kx 的下方，则左的取值范2 + cosx 围是（）A.［骅］B. g,+8）C.［乎+8）D.［-乎半］二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 正方体的8个顶点中，有4个恰是正四面体的顶点，则正方体与正四面体的表面积之比为33D.2)D.24014. 己知蓦函数y = 的图象过点（3,9）,则（--V%）8的展开式中a 的系数为・x15. 过点R-1,0）作直线与抛物线y 2 =8x 相交于A,B 两点，且2\PA\^\AB\,则点3到该抛物线焦点的距离为•16. 等腰△ABC 中，AB^ AC B^J AC 边上的中线，且BD=3 ,则△ABC 的面积最大值为三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(12分)已知数列｛弓｝的前"项和为S*,%=2,且满足S"=；%+]+〃+1(〃eN*).(1)求数列｛%｝的通项公式；13(2)若Z7,=log3(—%+l)，求数列｛-----｝前〃项和为T,,求证：T<-.b n b n+2418.(12分)如图，三棱柱ABC-44G中，各棱长均相等，D,E,F分别为棱AB,BC,A,C X的中点.(:I)证明£F〃平面A,CD；(II)若三棱柱ABC-为直三棱柱，求直线3C与平面A©。

河南省2017届普通高中高三4月教学质量监测理科数学试卷答 案一、选择题1~5．BACCA 6~10．DDAAD 11~12．BC 二、填空题13．ππ3sin()36x -14．1315．2)y x =+ 16．1[,]2+∞三、解答题 17．（1）因为112n n a S n +=--，故当1n =时，211122aa =--=； 当2n ≥时，1222n n S a n +=--，122(1)2n n S a n -=---两式对减可得132n n a a +=+； 经检验，当1n =时也满足132n n a a +=+；故1(1)3(1)n n a a ++=+，故数列{1}n a +是以3为首项，3为公比的等比数列，故13n n a +=， 即31n n a =-．（2）由（Ⅰ）可知，111232311(31)(31)3131n n n n n n n n a a +++⨯⨯==-----， 故12231111111111313131313131231n n n n T ++=-+-+⋅⋅⋅+-=--------． 18．（1）依题意：1(1234567)47x =++++++=， 1(58810141517)117y =++++++=，721140i i x ==∑，71364i i i x y ==∑，71722173647411ˆ21407167i ii ii x yx y bxx==--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆˆ11243a y bx=-=-⨯= 则y 关于x 的线性回归方程为ˆ23yx =+． （2）参加抽奖的每位顾客获得奖品金额为X ，X 的分布列为124440200100107777EX =⨯+⨯+⨯=（元）． 由y 关于x 的回归直线方程ˆ23yx =+，预测8x =时，ˆ19y =，9x =时，ˆ21y =，10x =时，ˆ23y =，则此次活动参加抽奖的人数约为58810141517192123140+++++++++=人．44014088007⨯=（元） 所以估计该分店为此次抽奖活动应准备8 800元奖品．19．（1）因为AF AB ⊥，平面ABCD ⊥平面ABEF ，所以AF ⊥平面ABCD ，所以AF AD ⊥．因为四边形ABCD 为正方形，所以AB AD ⊥，所以AD 、AB 、AF 两两垂直，以A 为原点，AD 、AB 、AF分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系（如图）．由勾股定理可知1AF =，2BE =，所以(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(2,2,0)C ，(2,0,0)D ，(0,2,2)E ，(0,0,1)F ，所以(2,2,0)AC =，(0,2,0)CD =-，(2,0,2)CE =-．设平面CDE 的一个法向量为(,,)m x y z =， 由0,0,n CD n CE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得20,220,y x z -=⎧⎨-+=⎩，即0,0,y x z =⎧⎨-=⎩取1x =，得(1,0,1)n =；同理可得平面DEF 的一个法向量(1,1,2)m =-， 故3cos ,||||2m n m n m n <>==，因为二面角F DE C --为钝角，故二面角F DE C --的大小为56x ． （2）设DP DE DF λμ=+，因为(2,2,2)DE =-，(2,0,1)DF =-， 又(2,2,0)BD =-，(2,2,2)(2,0,)(22,2,2)DP DE DFλμλλλμμλμλλμ=+=-+-=--+，所以(222,22,2)BP BD DP λμλλμ=+=---+，0,0,BP DF BP DE ⎧=⎪⎨=⎪⎩2(222)20,2(222)2(22)2(2)0,λμλμλμλλμ---++=⎧∴⎨---+-++=⎩解得0,2,3μλ=⎧⎪⎨=⎪⎩即23DP DE =．所以P 是线段DE 上靠近E 的三等分点． 20．（1）依题意，221112a b +=，c a =，222a b c =+，解得a =1b c ==， 故椭圆C 的方程为2212x y +=，（2）①当直线AM的斜率不存在时，不妨取A，(1,M，(1,N -，故122AMN S =⨯△②当直线AM 的斜率存在时，设直线AM 的方程为()1y kx =-，0k ≠，联立方程22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩化简得2222(21)4220k x k x k +-+-=， 设11(,)A x y ，22(,)M x y ，则2122421k x x k +=+，21222221k x xk -=+，22222222422||(1)[()4]22212121k k k AM k k k k -==+-=+++，点O 到直线AM 的距离d ==，因为O 是线段AN 的中点，所以点N 到直线AM 的距离为2d =222111||2(22)22211AMNk S AM d k k +∴====++△， 综上，AMN △面积的最大值为．21．（1）由()1xf x ax -≥，所以1ln a x x+≤， 设1()ln g x x x=+，22111()x g x x x x -'∴=-=．由()0g x '＞，1x ∴＞，()g x 在(1,)+∞上单调递增； ()0g x '＜，01x ∴＜＜，()g x 在(0,1)上单调递减，所以min ()(1)1g x g ==，则1a ≤，所以实数a 的最大值为1．（2）设(,y)x 为函数()F x 图像上任意一点，则点(,)y x 为函数()f x 图像上的点，所以()e x F x =，所以001ln e x x =，当01x x ＜＜时，()ln m x x x =，()1ln 0m x x '=+＞，因而()m x 在0(1,)x 上单调递增； 当0x x ＞时，()e x x m x =，1()0e xxm x -'=＜，因而()m x 在0(,)x +∞上单调递减； 又12()()m x m x =，12x x ＜，则10(1,)x x ∈，20(,)x x ∈+∞， 显然当2x →+∞时，1202x x x +＞． 要证：1202x x x +＞，即证20102x x x x -＞＞，而()m x 在0(,)x +∞上单调递减， 故可证201()(2)m x m x x -＜，又由12()()m x m x =，即证101()(2)m x m x x -＜，即01011122ln e x x x x x x --＜，记0022()ln ex x x xh x x x --=-，01x x ＜＜，其中0()0h x =．000002221221()1ln 1ln e e e x x x x x xx x x x h x x x ---+--'=++=++-．记()et t t ϕ=，1()e t tt ϕ-'=，当(0,1)t ∈时，()0t ϕ'＞；(1,)t ∈+∞时，()0t ϕ'＜，故max 1()t eϕ=， 而()0t ϕ＞，故10()e t ϕ＜≤，而020x x -＞，从而002210e ex x x x ----≤＜，因此当0000022212211()1ln 1ln 10e e e ex x x x x xx x x x h x x x ---+--'=++=++--＞＞，即()h x 单调递增． 从而当01x x ＜＜时，0()()0h x h x =＜即0101122ln e x x x x x x --＜，故1202x x x +＞得证． 22．（1）依题意，22sin 3cos p p θθ=，故23y x =；因为12x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩20y --，cos 2sin 0p θθ--．（2）联立2sin 3cos 0cos 2sin 0p p θθθθ⎧-=⎪--=，化简得：2cos cos 3()3()30sin sin θθθθ--=，则cos sin θθ=cos sin θθ=，即tan θ=或tan θ=， 又因为0p ≥，02πθ≤＜则π6θ=或5π3θ=，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为π)6和5(2,π)3．23．（1）依题意，()|3||1||31|4f x x x x x =++-+-+=≥，故m 的值为4； 当且仅当(3)(1)0x x +-≤，即31x -≤≤时等号成立，则a 的取值集合为[3,1]-．（2）因为2222p q r m ++=，故2222()()4p q q r +++=； 因为222p q pq +≥，当且仅当p q =时等号成立； 因为222q r qr +≥，当且仅当q r =时等号成立；故2222()()422p q q r pq qr +++=+≥，故()2q p r +≤（当且仅当p q r ==时等号成立）．河南省2017届普通高中高三4月教学质量监测理科数学试卷解 析一、选择题1．【解析】依题意，21{|2730}{|(21)(3)0}{|3}2A x x x x x x x x =-+=--=＜＜＜＜，{|lg 1}{|010}{1,2,3,4,5,6,7,8,9}B x x x x =∈=∈=Z Z ＜＜＜，阴影部分表示集合A B ，故{1,2}A B =．2．【解析】依题意，设i (,)z a b a b =+∈R ，则32i 22z z a b +=+，故2i 1a b +=+，故12a =，b 则在复平面内，复数z所对应的点为1(2，位于第一象限．3．【解析】全命题的否定为特称命题，故其否定为0:(1,)p x ⌝∃∈+∞，30168x x +≤． 4．【解析】依题意，由排列组合知识可知，展开式中3x 项的系数为3332246632(1)22(1)600C C ⨯--⨯-=-． 5．【解析】设(,0)F c -，依题意，联立,,a b y x a =-⎪⎩解得2(,)a ab M c c -，故20ab b c a a c c-=-+，解得a b =，故所求渐近线方程为y x =±．6．【解析】如图所示，建立平面直角坐标系，故(B，D ，(0,)(11)P m m -＜＜，故(3,m )BP =，(3,m)PD =-，故23BP PD m =-，故(2,3]BP PD ∈．7．【解析】依题意，11πsin cos cos )2sin cos 4ϕϕϕϕϕϕϕϕ+=+=⇒+=，因为π(0,)2ϕ∈，所以π4ϕ=，故322211tan 12(2)(2)()|1133x x x dx x x dx x ϕ--=-=-=--⎰⎰． 8．【解析】起始阶段有23m a =-，i 1=，第一次循环后，2(23)349m a a =--=-，i 2=；第二次循环后，2(49)3821m a a =--=-，i 3=；第三次循环后，2(821)31645m a a =--=-，i 4=；接着计算2(1645)33293m a a =--=-，跳出循环，输出3293m a =-．令329335a -=，得4a =．9．【解析】依题意，将题中数据统计如下表所示：设该公司一天内安排生产A 产品x 吨、B 产品吨，所获利润为z 元，依据题意得目标函数为300200z x y =+，约束条件为50,4160,25200,0,0,x y x x y x y +⎧⎪⎪⎨+⎪⎪⎩≤≤≤≥≥欲求目标函数300200100(32)z x y x y =+=+的最大值，先画出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示，则点(40,0)A ，(40,10)B ，50100(,)33C ，(0,40)D ，作直线320x y +=，当移动该直线过点(40,10)B 时，32x y +取得最大值，则300200z x y =+也取得最大值（也可通过代入凸多边形端点进行计算，比较大小求得）．故max 300402001014000z =⨯+⨯=．所以工厂每天生产A 产品40吨，B 产品10吨时，才可获得最大利润，为14 000元．10．【解析】因为5[()]1x f x -=，故1()5f x x =-；在同一直角坐标系中分别作出函数()y f x =，15y x =-，的图像如图所示，观察可知，两个函数的图像在[2,2]-上有6个交点，故方程5[()]1x f x -=在[2,2]-上有6个根．11．【解析】由三视图可知，该几何体所表示的几何图形为三棱锥A BCD -，作出该几何体的直观图如图所示，取AC 的中点E ，连接BE ；可以证明BE ⊥平面A C D ，故三棱锥A BCD -的体积2112)1633A C DV B ES ==⨯=△．12．【解析】依题意，32sin cos sin 2a B C c C R +=，故23cos 42ab C c +=，故22223422a b c abc ab +-+=，整理得22228a b c ++=，结合余弦定理可知2832cos c ab C -=①；记ABC △的面积为S ，则42s i n S a b C =②，将①②平方相加可得2222222222(83)164()(82)c S a b a b c ++=+=-≤，故22226416(165)5S c c -≤≤，即245S ≤，S ，当且仅当285c =时等号成立．二、填空题13．【解析】依题意，3M =，3592422T =+=，故6T =，故2ππ3T ω==，将点(2,3)A 代入可得ππ22π()32k k ϕ⨯+=+∈Z ，故π2π()6k k ϕ=-+∈Z ，故ππ()3sin()36f x x =-．14．【解析】设2AB =，则1BG =，AG =，故多边形AEFGHID 的面积1222122S =+⨯⨯=；阴影部分为两个对称的三角形，其中90EAB GAB ∠=-∠，故阴影部分的面积12sin 2S AE AB EAB =⨯∠112cos 2422AE AB GAB =⨯∠=⨯=，故所求概率13P =．15．【解析】设直线:2l x my '=-，联立28,2,y x x my ⎧=⎨=-⎩故28160y my -+=，264640m ∆=-＞，21m ＞，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则128y y m +=，1216y y =，由抛物线的对称性可知，21221||||4222||||y y PF QF m AF BF y y +=+=-=，解得26m =，故m =l '的方程为2)y x =+． 16．【解析】2ln (1)ln (1)01x xx x x x x λλ-⇒--+≤≤；设函数2()ln (1)H x x x x λ=--，从而对任意[1,)x ∈+∞，不等式()0(1)H x H =≤恒成立，又()ln 12H x x x λ'=+-，①当()ln 120H x x x λ'=+-≤，即ln 2x xxλ≤恒成立时，函数()H x 单调递减，设ln 1()x r x x+=，则2ln ()0x r x x -'=≤，所以max()(1)1r x r ==，即1122λλ⇒≤≥，符合题意；②当0λ≤时，()ln 120H x x x λ'=+-≥恒成立，此时函数()H x 单调递增．于是，不等式()(1)0H x H =≥对任意[1,)x ∈+∞恒成立，不符合题意；③当102λ＜＜时，设()()ln 12q x H x x x λ'==+-，则11()2012q x x x λλ'=-=⇒=＞，当1(1,)2x λ∈时，1()20q x x λ'=-＞，此时()()ln 12q x H x x x λ'==+-单调递增，所以()ln 12(1)120H x x x H λλ''=+->=-＞，故当1(1,)2x λ∈时，函数()H x 单调递增．于是当1(1,)2x λ∈时，()0H x ＞成立，不符合题意；综上所述，实数λ的取值范围为1[,)2+∞．三、解答题 17．【解析】略． 18．【解析】略． 19．【解析】略． 20．【解析】略． 21．【解析】略． 22．【解析】略． 23．【解析】略．。

河南省2017届高三下学期质量检测理科数学试卷答 案一、选择题：共12题1~5．DCDCB 6~10．ABACD 11~12．CB 二、填空题：共4题 13．5 14．16 15．π416三、解答题：共7题17．解：（1）1n n n S a a λ+=，33a =，所以112a a a λ=且()122323a a a a a λ+==，①所以2123,3a a a a λ=+==，②因为数列{}n a 是等差数列，所以1322a a a +=，即2123a a -=， 由①②得11a =，22a =，所以n a n =，2λ=， 所以14b =，316b =，则12n n b +=． （2）因为(1)2n n n S +=，所以2(2)n c n n =+，所以22222122435(1)(1)(2)n T n n n n =+++++⨯⨯⨯-++L 111111111132435112n n n n =-+-+-++-+--++L 2323232n n n +=-++． 18．解：（1）由题意可知，所求概率12211123424233366C C C C 2221C ()(1)(1)C 33C 315P =⨯-+⨯-=， （2）设甲公司正确完成面试的题数为X ，则X 的取值分别为1,2,3，124236C C 1(1)C 5P X ===，214236C C 3(2)C 5P X ===，304236C C 1(3)C 5P X ===，则X 的分布列为：131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=，2221312()(12)(22)(32)5555D X =-⨯+-⨯+-⨯=．设乙公司正确完成面试的题数为Y ，则Y 取值分别为0,1,2,3，1(0)27P Y ==，123212(1)C ()339P Y ==⨯⨯=，223214(2)C ()339P Y ==⨯⨯=， 328(3)()327P Y ===，则Y 的分布列为：所以1248()01232279927E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=（或因为2(3,)3Y B ~，所以2()323E Y =⨯=）， 222212482()(02)(12)(22)(32)2799273D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，由()()E X E Y =，()()D X D Y ＜可得，甲公司成功的可能性更大．19．证明：因为AB AC ⊥，AB AC =，所以90ACB ∠=︒， 因为底面ABCD 是直角梯形，90ADC ∠=︒，AD BC ∥， 所以45ACD ∠=︒，即AD CD =，所以2BC AD =，因为2AE ED =，2CF FB =，所以2D 3AE BF A ==． 所以四边形ABFE 是平行四边形，则AB EF ∥，所以AC EF ⊥，因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA EF ⊥， 因为PA AC A =I ，所以EF ⊥平面PAC ，因为EF ⊂平面PEF ，所以平面PEF ⊥平面PAC ．（2）因为PA AC ⊥，AC AB ⊥，所以AC ⊥平面PAB ，则APC ∠为直线PC 与平面PAB 所成的角，若PC 与平面PAB 所成角为45︒，则tan 1ACAPC PA∠==，即PA AC == 取BC 的中点为G ，连接AG ，则AG BC ⊥，以A 坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．则(1,1,0)B -，(1,1,0)C ，2(0,,0)3E，P ，所以(1,1,0)EB =-u u u r，2(0,3EP =-u u u r ，设平面PBE 的法向量(,,)x y z =n ，则00n EB n EP ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r u u g u r g ，即503203x y y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，令3y =，则5x =，z =，=n ，因为(1,1,0)AC =u u u r是平面PAB 的一个法向量，所以cos ,AC 〈〉==u u u r n ，即当二面角A −PB −EPC 与平面PAB 所成的角为45︒． 20．解：（1）设200(,)4y A y ，圆C 的方程200(2)()()04y x x y y y --+-=，令1x =，得2200104y y y y -+-=，所以0M N y y y +=，214M N y y y =-，||||2M N MN y y =-=．（2）设直线l 的方程为x my n =+，11(,)P x y ，22(),Q x y ，则由24x my n y x=+⎧⎨=⎩消去x ，得2440y my n --=． 124y y m +=，124y y n =-，因为3OP OQ =-u u u r u u u r g ，所以12123x x y y +=-，则21212()316y y y y +=-，所以2430n n -+=，解得1n =或3n =， 当1n =或3n =时，点(2,0)B 到直线l的距离为d =，因为圆心C 到直线l 的距离等于到直线1x =的距离，所以208y =， 又20024y m y -=，消去m 得4200646416y y +=g ，求得208y =，此时2024y m y -=，直线l 的方程为3x =，综上，直线l 的方程为1x =或3x =．21．解：（1）设切点的坐标为2(,e )t t ，由2()e x f x =，得22(e )x f x ='， 所以切线方程为22e 2e ()t t y x t -=-，即222e (12)e t t y x t =+-，由已知222e (12)e x x y x t =+-和1y kx =+为同一条直线，所以22e t k =，2(12)e 1t k -=， 令()(1)e x h x x =-，则()e x h x x =-'，当(,0)x ∈-∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，当(0,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减， 所以()(0)1h x h ≤=，当且仅当0x =时等号成立，所以0t =，2k =． （2）①当2k >时，有（1）结合函数的图像知： 存在00x >，使得对于任意0(0,)x x ∈，都有()()f x g x ＜，则不等式|()()|>2f x g x x -等价()()2g x f x x ->，即2(2)1e 0x k x -+->， 设2(2)1e x t k x =-+-，22()2e x t k =--'，由0t '>得12ln 22k x -<，由0t '＜得12ln 22k x -＞， 若24k ≤＜，12ln022k -≤，因为012(0,)(,ln )22k x ∞-⊆-，所以()t x 在12(0,ln )22k -上单调递减， 因为(0)0t =，所以任意12(0,ln)22k x -∈，()0t x >，与题意不符， 若4k >，12ln022k ->，1212(0,ln )(,ln )2222k k --⊆-∞，所以()t x 在12(0,ln )22k -上单调递增， 因为(0)0t = ，所以对任意12(0,ln)22k x -∈，()0t x >符合题意， 此时取120min{0,ln}22k m -<≤，可得对任意(0,)x m ∈，都有|()()|>2f x g x x -． ②当02k <≤时，有（1）结合函数的图像知()2e210(0)xx x -+≥>，所以22()()e 1e (21)(2)(2)0x x f x g x kx x k x k x -=--=-++-≥-≥对任意0x >都成立， 所以|()()|>2f x g x x -等价于2e (2)10x k x -+->， 设2()e (2)1x x k x ϕ=-+-，则2()=2e (2)x x k ϕ'-+，由()0x ϕ'>得12ln 22k x +>，()0x ϕ'＜得，12ln 22k x +<， 所以()x ϕ在12(0,ln)22k -上单调递减，注意到(0)0ϕ=， 所以对任意12(0,ln)22k x -∈，()0x ϕ<，不符合题设， 综上所述，k 的取值范围为()4,+∞．22．解：（1）由πcos()4ρθ+=-cos sin )ρθρθ-=-)x y -=-，即直线l 的方程为40x y -+=， 依题意，设(2cos ,2sin )P t t ，则P 到直线l的距离π|)4|π2co ()4s t d t ++==+， 当π2ππ4t k +=+，即3π2π4t k =+，k ∈Z时，min 1d =． （2）因为曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，所以对t ∀∈R ，有cos 2sin 40a t t -+>恒成立，)4t t ϕ+>-（其中2tan aϕ=）恒成立，4<，又0a >，解得0a << 故a的取值范围为．23．解：（1）当2x =时，()|2|g x a x =--取得最大值为a ，因为()|1||3|4f x x x =++-≥，当且仅当13x -≤≤，()f x 取最小值4， 因为关于x 的不等式()()f x g x <有解， 所以4a >，即实数a 的取值范围是(4,)+∞．（2）当72x =时，()5f x =， 则77()2522g a =-++=，解得132a =，所以当2x <时，9()2g x x =+，令9()42g x x =+=，得1(1,3)2x =-∈-，所以12b =-，则6a b +=河南省2017届高三下学期质量检测理科数学试卷解析1．【解析】本题主要考查集合的关系与运算、解一元二次不等式．A={x|x(5−x)>4}={x|1<x<4},B={x|x≤a}，若A∪B=B，则A⊂B，∴a≥4．故选D．2．【解析】本题主要考查复数的运算和几何意义．∵z=a+2i32−i =a−2i2−i=(a−2i)(2+i)5=2a+25+a−45i，∴{2a+25>0a−45<0，解得−1<a<4．故选C．3．【解析】本题主要考查独立性检验．选项D中不服药与服药样本中患病的频率差距最大．故选D．4．【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系、倍角公式和诱导公式．由3cos2θ=tanθ+3得3sin2θ=−tanθ，∵θ≠kπ(k∈Z),∴3sinθcosθ=−1，即sin2θ=−23，则sin[2(π−θ)]=sin(2π−2θ)=−sin2θ=23．故选C．5．【解析】本题主要考查程序框图和数学史．模拟程序运行，可得：n=1，S=k,满足循环条件n<4,执行循环体，n=2，S=k2，满足循环条件n<4,执行循环体，n=3，S=k3，满足循环条件n<4,执行循环体，n=4，S=k4，不满足循环条件n<4,结束循环，输出S的值为k4，则k4=1.5，解得k=6．故选B．6．【解析】本题主要考查双曲线的标准方程和性质、点到直线的距离．点(0,−2)到渐近线bx+ay=0的距离为√b2+a2=2ac=23，∴c=3a,∴b=2√2a，∵双曲线C 过点(√2,2√2)，∴2a 2−88a 2=1，解得a =1， 则双曲线C 的实轴长为2． 故选A ．7．【解析】本题主要考查函数的零点、奇函数的性质．∵x 0是函数y =f(x)−e x 的一个零点，∴f (x 0)−e x 0=0，即f (x 0)=e x 0， 又f(x)为奇函数，∴f (−x 0)=−f (x 0)=−e x 0， 当x =x 0时，．y =f (x )⋅e −x +1=0． 故选B ．8．【解析】本题主要考查三视图与体积．由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥与一个三棱柱组合而成，其中四棱锥的底面与三棱柱的左侧面重合．则该几何体的体积为V =13×22×1+12×1×2×2=103．故选A ．9．【解析】本题主要考查平面向量的数量积和模．设AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∵CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =25λ−5×4×cos60°=5，解得λ=35， 则|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=25|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2． 故选C ．10．【解析】本题主要考查椭圆的几何性质．由题知，M 在椭圆的短轴上．设椭圆C 的左焦点为F 1，连结AF 1． ∵|OA|=|OF 2|，∴|OA|=12|F 1F 2|，即AF 1⊥AF 2， ∵|AF 1||AF 2|=|OM||OF 2|=12，∴|AF 1|=2√55c,|AF 2|=4√55c ，∴2a =|AF 1|+|AF 2|=6√55c ，则椭圆C 的离心率为e =ca =√53． 故选D ． 11．【解析】本题主要考查空间线面的位置关系．取DC 中点N ，连结MN ，NB ，则MN ∥A 1D ，NB ∥DE ， ∴平面MNB ∥平面A 1DE ，∴MB ∥平面A 1DE ，故A 正确；取A 1D 中点F ，连结MF ，EF ，则EFBM 为平行四边形，则∠A 1EF 为异面直线BM 与A 1E 所成角，故B 正确； 点A 关于直线DE 的对称点为N ，则DE ⊥平面AA 1N ，即过O 与DE 垂直的直线在平面AA 1N 上，故C 错误； 三棱锥A 1−ADE 外接球半径为√22AD ，故D 正确．故选C．12．【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值．g′(x)=−3x2+2x<0(x<0)，∴函数g(x)在(−∞，0)上单调递减，∴g(x)>g(0)=0．设A(x0，1aln(x0+1))，由斜边AB的中点y轴上可得B(−x0，x03+x02)，∵OA⊥OB，∴k OA∙k OB=−1，即1aln(x0+1)x0∙x03+x02−x0=−1，∴a=x0+1ln(x0+1)，设ℎ(x)=x+1ln(x+1)(e−1<x<e2−1)，则ℎ′(x)=ln(x+1)−1ln2(x+1)，∵e−1<x<e2−1,∴ℎ′(x)>0，∴ℎ(e−1)=e<ℎ(x)<ℎ(e2−1)=e22，即实数a的取值范围是(e,e22)．故选B．13．【解析】本题主要考查简单的线性规划及点到直线的距离．作出不等组表示的可行域，如图所示，z的几何意义为可行域内的点到点(0，−1)距离的平方．则z的最小值为点(0，−1)到直线2x+y−4=0距离的平方，z=(22)2=5．故答案为5.14．【解析】本题主要考查排列组合问题．把5名新生分配到甲、乙两个班，每个班分到的新生不少于2名，有C52A22种分配方案，其中甲班都是男生的分配方案有C32+1种，则不同的分配方案种数为C52A22−(C32+1)=16．故答案为16．15．【解析】本题主要考查函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象和性质．由图可得T=2×(7π8−3π8)=π=2πω，∴ω=2，∵f(5π8)=2∴5π4+φ=π2+kπ(kϵZ),又|φ|<π2,∴φ=π4，∴f(x)=Asin(2x+π4)，又f(π8)=A=−2，∴f(x)=−2sin(2x+π4)，则g(x)=−2sin[2(x−7π24)+π4]=−2sin(2x−π3)．若函数g(x)在区间[−π3,θ](θ>−π3)上的值域为[−1,2]，则2θ−π3=π6，∴θ=π4．故答案为π4．16．【解析】本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式．由(a2+b2)tanC=8S得a2+b2=4abcosC=4ab∙a2+b2−c22ab，即a2+b2=2c2．由sinAcosB=2cosAsinB得a∙a2+c2−b22ac =2b∙b2+c2−a22bc，即a2−b2=13c2．∴a2=76c2，b2=56c2，∴cosA=b2+c2−a22bc=√3015．故答案为√3015．17．【解析】本题主要考查等差数列、等比数列，考查裂项求和．（1）在λS n=a n a n+1中，令n=1，2得到关系式，再由等差数列的性质可得a n,λ，从而求得b1,b3，再由等比数列的通项公式求得公比，进而得到b n；（2）由等差数列的前n项和公式可得S n，代入求出c n，利用裂项求和可得T n．18．【解析】本题主要考查互斥事件、相互独立事件的概率，考查离散型随机变量的数学期望和方差．（1）根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率可得结论；（2）分别列出两公司正确完成面试题数的所有取值，计算其相应的概率，得到分布列，代入公式求出期望和方差，比较它们的大小可得结论．19．【解析】本题主要考查线面垂直的判定与性质、用向量法求空间角的大小．（1）由平面几何知识易证ABFE是平行四边形，得AB//EF，从而AC⊥EF，由线面垂直的性质得PA⊥EF，由线面垂直的判定可得EF⊥平面PAC，由面面垂直的判定可得结论；（2）易证AC⊥平面PAB，则∠APC为直线PC与平面PAB所成的角．取BC的中点为G，连接AG，则AG⊥BC，以A坐标原点建立空间直角坐标系A−xyz．分别求出平面PBE和平面PAB的一个法向量，利用向量夹角公式可得结论．20．【解析】本题主要考查直线与抛物线的位置关系、数量积的坐标运算及点到直线的距离．（1）设出点A坐标，由A、B点坐标可得圆C的方程，直线x=1方程联立，得关于y的一元二次方程，利用韦达定理和弦长公式可得线段MN的长；（2）设出直线l的方程，与抛物线方程联立，消去x得关于y的一元二次方程，利用韦达定理、数量积的坐标运算及点到直线的距离公式可求出l的方程．21．【解析】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、最值和不等式恒成立问题．（1）求导，根据导数的几何意义及直线的点斜式方程可得切线方程，与已知切线方程比较，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，则可得k值．（2）分k>2和0<k≤2两种情况讨论．将不等式转化，利用导数研究函数的单调性和最值，则结论可得．22．【解析】本题主要考查将极坐标方程化成直角坐标方程，点到直线的距离及简单的线性规划的应用．（1）利用x=ρcosθ,y=ρsinθ及两角和的余弦公式将l的极坐标方程化成直角坐标方程，设出P的参数坐标，由点到直线的距离公式及余弦函数的性质可得最值；（2）问题转化为对∀t∈R，acost−2sint+4>0恒成立．利用辅助角公式及余弦函数的值域可得结论．23．【解析】本题主要考查绝对值不等式的求解．（1）利用绝对值三角不等式可得f(x)的最小值，易得g(x)的最大值，问题转化为g(x)的最大值大于f(x)的最小值．为方程f(x)=g(x)的根，代入可求得a；当x<2时，由g(x)=f(x)min求出x，验证可得b，（2）由题知，72则a+b可得.。

商丘市2017年高三第三次模拟考试数学（理科）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）（1）C （2）B （3）C （4）A （5）D （6）B （7）D （8）C （9）A （10）B （11）A （12）D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） （13（14）92π （15）32 （16）①④三、解答题（本大题共6小题，共70分）（17）（Ⅰ）证明：由已知得122nn n a a +=+，得+1+1122=11222n n n nn n n n n a a a b b -+==+=+，……………………………………3分 ∴11n n b b +-=， 又11a =，∴11b =，∴{}n b 是首项为1，公差为1的等差数列．…………………………………………6分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，12nn n a b n -==， ∴12n n a n -=⋅，131321n n a n --=⋅-．………………………………………8分∴0122131********(1)232n n n S n n n --=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯+⨯- ，…9分两边乘以2，得12123123223(1)2322n n n S n n n -=⨯⨯+⨯⨯++-⨯+⨯- ，两式相减得1213(12222)n n n S n n --=⨯++++-⨯+3(212)3(1)23n n n n n n n =⨯--⨯-=--+，…………………11分 ∴3(1)23nn S n n =-⨯+-．……………………………………………12分（18）解：（Ⅰ）根据题意，计算1(258911)75x =⨯++++=，1(1210887)95y =⨯++++=，………………………………………2分1221287579ˆ0.56295577ni ii ni i x y nx ybx nx==--⨯⨯===--⨯⨯-∑∑，……………………………4分ˆˆ=9(0.56)712.92ay bx -=--⨯=， ∴y 关于x 的回归直线方程0.5612.92y x =-+；……………………………6分（Ⅱ）12x =时，0.561212.92 6.2y =-⨯+=，预测该店明天的营业额为6200元；……………………………………………8分 （Ⅲ）由题意，平均数为=7μ，方差为2=10σ，所以(7,10)X N ，…………………………………………………10分 所以(0.610.2)=(0.67)(710.2)P X P X P x <<<<+<<，110.95450.68270.818622=⨯+⨯=．…………………12分 （19）（Ⅰ）证明：连结1B C 交1BC 于点E ，连结DE ．则E 是1B C 的中点，又D 为11A B 的中点，所以DE ∥11AC ，…………………2分且DE ⊂面1BC D ，1AC ⊄面1BC D ，∴1AC ∥平面1BC D ；…………………………………………………4分（Ⅱ）取AC 的中点O ，连结1AO ，∵点1A 在面ABC 上的射影在AC 上，且11A A AC =． ∴1AO ⊥面ABC ，…………………………………………………6分 则可建立如图的空间直角坐标系O xyz -，设1AO a =．……………………7分 ∵2AC BC ==，120ACB ∠=︒，则(B -，(1,0,0)C -，1(2,0,)C a -，3()2D a -，(1,BC =，1(0,)BC a = ，11(,22C D = ．…………………………………………………9分设(,,)n x y z = 为面1BC D的法向量，1101022n BC az n C D x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 取y a =-，则,,n a =-，…………………………………………10分由BC 与平面1BC D，即cos ,n BC <>==a =11分 ∴三棱柱111ABC A B C -∴111122sin12032ABC A B C ABC V S a -∆=⋅=⨯⨯⨯．……………………12分 （20）解：（Ⅰ）由抛物线C ：2y nx =（0n >）在第一象限内的点(1,)P t 到焦点的距离为2，得1+24n=，所以4n =，故抛物线方程为24y x =，(1,2)P ，………………2分 所以曲线C在第一象限的图象对应的函数解析式为y =y '=故曲线C 在点P 处的切线斜率1k =，切线方程为：21y x -=-，即10x y -+=， ……………………………3分 令0y =得1x =-，所以点(1,0)Q -，故线段1OQ =， …………………………………………………4分（Ⅱ）由题意知1l ：1x =-，因为2l 与1l 相交，所以0m ≠，设2l ：x my b =+，令1x =-，得1b y m+=-， 故1(1,)b E m+--， ………………………………………5分 设1122(,),(,)A x y B x y ，由24x my b y x=+⎧⎨=⎩消去x 得：2440y my b --=，则12124,4y y m y y b +==-， …………………………………………………7分直线PA 的斜率为1121112241214y y y x y --==-+-，同理直线PB 的斜率为242y +，直线PE 的斜率为122b m ++，…………………8分 因为直线,,PA PE PB 的斜率依次成等差数列，所以1212442222b m y y +++=⨯++， 即22121b b m b m++=-+， …………………………………………………10分因为2l 不经过点Q ，所以1b ≠-，所以21m b m -+=，即1b =，…………………………………………………11分 故2l ：1x my =+，即2l 恒过定点(1,0)…………………………………………12分 （21）解：（Ⅰ）当2a =时，()ln 4f x x x =-，则1()4f x x '=-（0x >），………1分∴(1)4,(1)3f f '=-=-，…………………………………………………2分 ∴函数()f x 的图象在1x =处的切线方程为(4)3(1)y x --=-⨯-， 即310x y ++=．…………………………………………………3分 （Ⅱ）不等式()2f x ≤，即ln 22x ax -≤，∴2ln 2ax x ≥-，∵0x >，∴ln 22x a x-≥恒成立，……………………………………4分 令ln 2()x x x ϕ-=（0x >），则23ln ()xx xϕ-'=， 当30x e <<时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增， 当3x e >时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减， ∴当3x e =时，()x ϕ取得极大值，也为最大值，故3max 31()()x e e ϕϕ==，……………………………5分 由312a e ≥，得312a e≥，∴实数a 的取值范围是31[,)2e+∞．………………………6分（Ⅲ）证明：由2211()()2ln 22g x f x x x ax x =+=-+，得2121()2x ax g x x a x x-+'=+-=，…………………………7分①当11a -≤≤时，()0g x '≥，()g x 单调递增无极值点，不符合题意；………8分②当1a >或1a <-时，令()0g x '=，设2210x ax -+=的两根为0x 和x '，∵0x 为函数()g x 的极大值点，∴00x x '<<，由01x x '⋅=，020x x a '+=>，知1a > ，001x <<，又由0001()20g x x a x '=+-=，得20012x a x +=，………………………………9分 ∵320000000()1=ln 12x x x f x ax x x +++-+（001x <<）， 令3()=ln 122x x h x x x --++，(0,1)x ∈，则231()=ln 22x h x x '-++，令231()=ln 22x x x μ-++，(0,1)x ∈，则2113()=3x x x x xμ-'-+=，当0x <<时，()0x μ'>1x <<时，()0x μ'<，∴max ()0x μμ==<，…………………………………………11分 ∴()0h x '<，∴()h x 在(0,1)上单调递减，∴()(1)0h x h >=，∴2000()10x f x ax ++>．…………………………………………………12分（22）解：（Ⅰ）直线l：sin()3πρθ+=，展开可得：1sin +cos )222m ρθθ=（ ，化为直角坐标方程：y =，3m =0y +-=，……………………………………2分曲线C：1x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，利用平方关系化为：22(1)3x y -+=．……3分圆心(1,0)C 到直线l的距离d r ===，……………………4分因此直线l 与曲线C 相切．…………………………………………………5分（Ⅱ）∵曲线C 上存在到直线l∴圆心(1,0)C 到直线l的距离2d =≤8分 解得24m -≤≤．∴实数m 的范围是[2,4]-．…………………………………………………10分 （23）解：（Ⅰ）∵函数()212(1)3f x x x x x =++-≥+--=，故函数()21f x x x =++-的最小值为3，此时，21x -≤≤．…………………………………………………5分（Ⅱ）当集合{}()10x f x ax R +->=，函数()1f x ax >-+恒成立，即()f x 的图象恒位于直线1y ax =-+的上方，…………………………6分函数21,2()213,2121,1x x f x x x x x x --<-⎧⎪=++-=-≤≤⎨⎪+>⎩，……………………7分而函数1y ax =-+表示过点(0,1)，斜率为a -的一条直线，如图所示：当直线1y ax =-+过点(1,3)A 时，31a =-+，∴2a =-，………8分 当直线1y ax =-+过点(2,3)B -时，321a =+，∴1a =，……………………9分．……………………………………10分数形结合可得要求的a的范围为(2,1)。

2017届河南省高三下学期质量检测理科数学一、选择题：共12题1．设集合，若，则的值可以是A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查集合的关系与运算、解一元二次不等式.,若，则，.故选D.2．已知复数，在复平面对应的点在第四象限，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查复数的运算和几何意义.,，解得.故选C.3．为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高条形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是【答案】D【解析】本题主要考查独立性检验.选项D中不服药与服药样本中患病的频率差距最大.故选D.4．已知，且，则等于A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系、倍角公式和诱导公式.由得,,即,则.故选C.5．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，请人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问，米几何？”右图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出(单位：升)，则输入的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查程序框图和数学史.模拟程序运行，可得：，满足循环条件,，满足循环条件,，满足循环条件,，不满足循环条件，则，解得.故选B.6．已知双曲线过点，过点的直线与双曲线的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为，则双曲线的实轴长为A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查双曲线的标准方程和性质、点到直线的距离.点到渐近线的距离为,,,,解得,则双曲线的实轴长为.故选A.7．若为奇函数，且是函数的一个零点，则下列函数中，一定是其零点的函数是A. B.C. D.【答案】B【解析】本题主要考查函数的零点、奇函数的性质.是函数的一个零点，,即，又为奇函数，，当时，..故选B.8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查三视图与体积.由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥与一个三棱柱组合而成，其中四棱锥的底面与三棱柱的左侧面重合.则该几何体的体积为.故选A.9．在中，是上一点，且，则等于A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查平面向量的数量积和模.设,,解得，则.故选C.10．已知椭圆的右焦点为为坐标原点，为轴上一点，点是直线与椭圆的一个交点，且，则椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查椭圆的几何性质.由题知，在椭圆的短轴上.设椭圆的左焦点为，连结.，，即，，,,则椭圆的离心率为.故选D.11．如图，矩形中，为边的中点，将沿直线翻转成平面)，若分别为线段的中点，则在翻转过程中，下列说法错误的是A.与平面垂直的直线必与直线垂直B.异面直线与所成角是定值C.一定存在某个位置，使D.三棱锥外接球半径与棱的长之比为定值【答案】C【解析】本题主要考查空间线面的位置关系.取中点，连结，则，，，故A正确；取中点连结，则为平行四边形，则为异面直线与所成角，故B正确；点关于直线的对称点，则，即过与垂直的直线在平面上，故C错误；三棱锥外接球半径为,故D正确.故选C.12．若曲线和上分别存在点，使得是以原点为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点轴上，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值.,函数在上单调递减，.设,由斜边的中点轴上可得，,,即，,设,则,,,即实数的取值范围是.故选B.二、填空题：共4题13．已知实数满足条件，则的最小值为.【答案】【解析】本题主要考查简单的线性规划及点到直线的距离.作出不等组表示的可行域，如图所示，的几何意义为可行域内的点到点距离的平方.则的最小值为点到直线距离的平方，.故答案为14．把3男2女5名新生分配到甲、乙两个班，每个班分到的新生不少于2名，且甲班至少分配1名女生，则不同的分配方案种数为.【答案】【解析】本题主要考查排列组合问题.把5名新生分配到甲、乙两个班，每个班分到的新生不少于2名，有种分配方案，其中甲班都是男生的分配方案有种，则不同的分配方案种数为. 故答案为.15．函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若函数在区间上的值域为，则.【答案】【解析】本题主要考查的图象和性质.由图可得，，,，又，，则.若函数在区间上的值域为，则，.故答案为.16．在中，分别是角的对边，的面积为，且，则.【答案】【解析】本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式.由得,即.由得,即.,,.故答案为.三、解答题：共7题17．已知等差数列的前项和为，且，在等比数列中，.(1)求数列及的通项公式；(2)设数列的前项和为，且，求.【答案】(1)，，所以且，①所以，②因为数列是等差数列，所以，即，由①②得，所以，所以，则.(2)因为，所以，所以.【解析】本题主要考查等差数列、等比数列，考查裂项求和.(1)令得到关系式，再由等差数列的性质可得，从而求得，再由等比数列的通项公式求得公比，进而得到； (2)前项和公式可得，代入求出，利用裂项求和可得.18．某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标，现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知6个招标问题中，甲公司可正确回答其中的4到题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每道题目的回答都是相互独立、互不影响的.(1)求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；(2)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？【答案】(1)由题意可知，所求概率, (2)设甲公司正确完成面试的题数为，则的取值分别为，，则的分布列为：，. 设乙公司正确完成面试的题数为，则取值分别为，，，则的分布列为：所以(或因为，所以)，，由可得，甲公司成功的可能性更大.【解析】本题主要考查互斥事件、相互独立事件的概率，考查离散型随机变量的数学期望和方差.(1)根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率可得结论；(2)分别列出两公司正确完成面试题数的所有取值，计算其相应的概率，得到分布列，代入公式求出期望和方差，比较它们的大小可得结论.19．如图，四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，点在上，且(1)已知点在，且，求证：平面平面；(2)当二面角的余弦值为多少时，直线与平面所成的角为？【答案】证明：因为，所以，因为底面是直角梯形，，所以，即，所以，因为，所以所以四边形是平行四边形，则,所以，因为底面，所以，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面(2)因为，所以平面，则为直线与平面所成的角，若与平面所成角为，则，即.取的中点为，连接，则，以坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.则，所以，设平面的法向量，则，即，令，则，，因为是平面的一个法向量，所以，即当二面角的余弦值为时，直线与平面所成的角为.【解析】本题主要考查线面垂直的判定与性质、用向量法求空间角的大小.(1) 由平面几何知识易证是平行四边形，得,从而，由线面垂直的性质得，由线面垂直的判定可得平面，由面面垂直的判定可得结论；(2)平面，则为直线与平面所成的角.取的中点为，连接，则，以坐标原点建立空间直角坐标系.分别求出平面平面的一个法向量，利用向量夹角公式可得结论.20．已知是抛物线上的一点，以点和点为直径两端点的圆交直线于两点，直线与平行，且直线交抛物线于两点.(1)求线段的长；(2)若，且直线与圆相交所得弦长与相等，求直线的方程. 【答案】(1)设，圆的方程，令，得，所以，.(2)设直线的方程为，则由消去，得.，因为，所以，则，所以，解得或，当或时，点到直线的距离为，因为圆心到直线的距离等于到直线的距离，所以，又，消去得，求得，此时，直线的方程为，综上，直线的方程为或.【解析】本题主要考查直线抛物线的位置关系、数量积的坐标运算及点到直线的距离.(1)设，由、圆的方程，直线方程联立，得的一元二次方程，利用韦达定理和弦长公式可得线段的长；(2)设出直线的方程，与抛物线方程联立，消去得的一元二次方程，利用韦达定理、数量积的坐标运算及点到直线的距离公式可求出的方程.21．设函数.(1)若直线和函数的图象相切，求的值；(2)当时，若存在正实数，使对任意，都有恒成立，求的取值范围.【答案】(1)设切点的坐标为，由，得，所以切线方程为，即，由已知和为同一条直线，所以，令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，当且仅当时等号成立，所以.(2)①当时，有(1)结合函数的图象知：存在，使得对于任意，都有，则不等式等价，即，设，由得，由得，若，因为，所以在上单调递减，因为，所以任意，与题意不符，若，所以在上单调递增，因为，所以对任意符合题意，此时取，可得对任意，都有.②当时，有(1)结合函数的图象知，所以对任意都成立，所以等价于，设，则，由得得，，所以在上单调递减，注意到，所以对任意，不符合题设，总数所述，的取值范围为.【解析】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、最值和不等式恒成立问题.(1)求导，根据导数的几何意义及直线的点斜式方程可得切线方程，与已知切线方程比较，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，则可得值.(2)两种情况讨论.将不等式转化，利用导数研究函数的单调性和最值，则结论可得.22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.(1)设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最小值；(2)若曲线上的所有点均在直线的右下方，求的取值范围.【答案】(1)由，得，化成直角坐标方程，得，即直线的方程为，依题意，设，则到直线的距离，当，即时，.(2)因为曲线上的所有点均在直线的右下方，所以对，有恒成立，即(其中)恒成立，所以，又，解得，故的取值范围为.【解析】本题主要考查将极坐标方程化成直角坐标方程，点到直线的距离及简单的线性规划的应用.(1)及两角和的余弦公式将的极坐标方程化成直角坐标方程，设的参数坐标，由点到直线的距离公式及余弦函数的性质可得最值；(2)问题转化为对，恒成立.利用辅助角公式及余弦函数的值域可得结论.23．已知函数.(1)若关于的不等式有解，求实数的取值范围；(2)若关于的不等式的解集为，求的值.【答案】(1)当时，取得最大值为，因为，当且仅当取最小值4，因为关于的不等式有解，所以，即实数的取值范围是.(2)当时，，则，解得，所以当时，，令，得，所以，则.【解析】本题主要考查绝对值不等式的求解.(1)利用绝对值三角不等式可得的最小值，易得的最大值，问题转化为的最大值大于的最小值.(2)由题知，的根，代入可求得；当时，由求出，验证可得，则21。

理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.函数xy 1=的定义域为（ ） A ．R B ．),0()0,(+∞-∞ C ．),0[+∞ D ．),0(+∞ 2.在等差数列}{n a 中，若2,4==q p a a 且q p +=4，则公差=d （ ） A ．1 B ．21 C ．21- D ．1- 3.已知01>>>>>c b a π，且πππ1log ,log ,1cz b y a x ===，则（ ）A ．z y x >>B ．y z x >>C ．z x y >>D ．x z y >> 4.将函数)32sin()(π-=x x f 的图象向左平移3π个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍后，所得函数为)(x g ，则=)(πg （ ）A ．21-B ．21C ．23-D ．23 5.已知等比数列}{n a 的公比1≠q ，且853=+a a ，1662=a a ，则数列}{n a 的前2016项的和为（ ）A ．8064B ．4C ．4-D ．0 6.已知ABC ∆中，32=，21-=，则=（ ） A ．6723- B ．6121+ C ．6523-D ．AC AB 6521-7.已知圆1C ：034422=--++y x y x ，点P 为圆2C ：012422=--+x y x 上且不在直线21C C 上的任意一点，则21C PC ∆的面积的最大值为（ ）A ．52B ．54C ．58D ．208.数列}{n a 的前n 项和为n S ，若11-=a ，n n S a 3=（1>n ），则=10S （ ） A ．5121-B ．5121C ．10241D ．20481 9.已知向量))2sin(),2(cos(x x +-=ππ，)sin ),2(sin(x x +=π，若12π-=x ，则向量a与的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．2π D ．32π10.已知函数x x x f 2sin sin 2)(2-=，则函数)(x f 的对称中心可以是（ ） A ．)0,8(π-B ．)0,4(π-C ．)1,8(π-D ．)1,4(π-11.已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，过点2F 倾斜角为6π的直线与双曲线的左支交于M 点，且满足0)(2211=⋅+MF F F F ，则双曲线的离心率为（ ）A ．5B ．3C ．13+D ．213+ 12.已知函数)0,0(231)(23>>+-=k t kx x t x x f 在a x =，b x =处分别取得极大值与极小值，且2,,-b a 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则t 的值等于（ ）A ．5B ．4C ．3D ．1二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知)2,0[πα∈，直线1l ：01cos =--y x α，2l ：01sin =++αy x 相互垂直，则α的值为 .14.已知抛物线C ：x y 42=的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，MQ 垂直准线l 于点Q ，若MQF ∆是等边三角形，则FM FQ ⋅的值为 .15.已知函数⎩⎨⎧<-≥+-=ax x a x x x x f ,1,22)(2（其中0>a ），若25)()1(=-+a f f ，则实数a 的值为 . 16.已知函数2||1)(x e x f x -=，若)91()3(1->-f f a ，则实数a 的取值范围是 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知)1,1(-M ，)2,0(N ，)0,2(Q . （1）求过Q N M ,,三点的圆1C 的标准方程；（2）圆1C 关于直线MN 的对称圆为2C ，求圆2C 的标准方程. 18.（本小题满分12分）如图，已知D 是ABC ∆边BC 上一点.（1）若45=B ，且7==DC AB ，求ADC ∆的面积；（2）当90=∠BAC 时，若3:1:2::=AC DC BD ，且22=AD ，求DC 的长. 19.（本小题满分12分）已知数列}{n a 满足21+=+n n a a ，且32=a ，)ln()ln(1++=n n n a a b . （1）求数列}{n b 的通项公式； （2）令nb n ec -=，求数列}{n c 的前n 项和为n T .20.（本小题满分12分）函数)(x f 满足)1()1(x f x f --=+，)6()(x f x f -=，当]3,1[∈x 时，)1(21)(-=x x f . （1）在网格中画出函数)(x f 在]11,5[-上的图象；（2）若直线)3(+=x k y 与函数)(x f 的图象的交点个数为5，求实数k 的取值范围.21.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆Ω：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为21，抛物线x y 82-=的焦点是椭圆Ω的一个顶点. （1）求椭圆Ω的标准方程；（2）直线l ：)0(≠+=m m kx y 与椭圆Ω相交于),(),,(2211y x B y x A 两点，且0432121=+y y x x ，证明：AOB ∆的面积为定值.22.（本小题满分12分）已知函数),(21ln )1()(2R b a ebbx ax x ax x f x ∈+--+=. （1）若21==b a ，求函数x ebx ax x f x F --=ln )()(的单调区间； （2）若1=a ，1-=b ，求证：2221ln 21)(--->++e x bx ax x f .理科数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．4π或45π； 14．8； 15．21或23； 16．)1,(--∞三、解答题：本大题共6个题，共70分．17．解：（1）线段MN 的中点坐标为)23,21(-，其垂直平分线的斜率为1-=k ， 故线段MN 垂直平分线方程为)21(23+-=-x y ，即01=-+y x .圆的半径为210)210()212(22=-+-=r . ∴所求圆的标准方程为25)21()21(22=-+-y x . （2）直线MN 的方程为02=+-y x ，由（1）知点)21,21(1C ，设点),(2b a C ，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++-+-=--0222122112121b a a b ，解得)25,23(2-C . ∴所求圆的标准方程为25)25()23(22=-++y x .18．解：（1）ADC ∆的高为22722745sin =⨯=AB ，4249722721=⨯⨯=∆ADC S . （2）由3:1:2::=AC DC BD ，设x DC =，则x BD 2=，x BC 3=，x AC 3=.于是33sin ==BC AC B ，36cos =B ，x AB 6=. 在ABD ∆中，由余弦定理得B BD AB BD AB AD cos 2222⋅-+=， 即222223626246)22(x x x x x =⋅⋅-+=，解得2=x ，即2=DC . 19．解：（1）∵21=-+n n a a ，∴数列}{n a 是等差数列，且公差为2， ∵32=a ，∴11=a ，∴12)1(21-=-+=n n a n ， ∴)]12)(12ln[()ln()ln()ln(11+-==+=++n n a a a a b n n n n n . （2）)121121(21)12)(12(11+--=+-===-n n n n eec nnb b n ， ∴12)121121(21)5131(21)311(21+=+--++-+-=n nn n T n . 20．解：（1）∵)1()1(x f x f --=+，∴)(x f 的图象关于)01(，对称. 又)6()(x f x f -=，∴)(x f 的图象关于3=x 对称.∴)4())5(1())5(1()6()(--=---=-+=-=x f x f x f x f x f ，∴)8()(-=x f x f ，∴函数)(x f 的周期为8，故函数)(x f 在]11,5[-上的大致图象如下：（2）∵)(x f 与直线)3(+=x k y 的图象均关于)03(，-中心对称，则当0>k 时，⎩⎨⎧>+<+1)311(1)33(k k ，解得61141<<k . 当0<k 时，1)37(-=+k ，解得101-=k . ∴实数k 的取值范围为}101{)61,141(- . 21．解：（1）抛物线x y 82-=的焦点为)02(，-，故2=a ，又21=a c ，故1=c ，3=b . ∴椭圆Ω的标准方程为13422=+y x . （2）设),(),,(2211y x B y x A ，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=13422y x mkx y ，得02148)43(222=-+++m mkx x k .∵0)43(84)214)(43(4)8(22222>-+=-+-=∆m k m k mk ，∴04322>-+m k ，∴221438k mk x x +-=+，222143)3(4km x x +-=， ∴222221212212143123)())((k k m m x x km x x k m kx m kx y y +-=+++=++=.由0432121=+y y x x ，得043123443)3(4322222=+-⋅++-⋅kk m k m ，∴22432k m +=. ∵22222212212212)43()43(4814)(1||1||k m k k x x x x k x x k AB +-+⋅+=-+⋅+=-+=222222212)1()2()2(481m k m m m k ⋅+=-⋅+=， 又点O 到直AB 线的距离22211||km km d +=+=，∴3112121||212222=+⋅⋅+⋅=⋅=∆k m m k d AB S AOB. 22. 解：由题意知函数)(x f 的定义域为),0(+∞. （1）当21==b a 时，x x x e b x ax x f x F x 2141ln ln )()(2--=--=， xx x x x x F 2)1)(2(21211)('-+-=--=.令0)('=x F ，解得1=x .当10<<x 时，0)('>x F ，此时)(x F 单调递增； 当1>x 时，0)('<x F ，此时)(x F 单调递减.∴函数)(x F 的单调增区间为)1,0(，单调减区间为),1(+∞. （2）证明：若1=a ，1-=b ，原不等式等价于2211ln e e x x x -->- 令x e x x x G 1ln )(-=，则1ln 1)('++=x e x G x. 设1ln 1)(++=x e x g x ，则xx x xe xe x e x g -=+-=11)('.设x e x h x-=)(，则01)('>-=xe x h ，∴)(x h 在),0(+∞上单调递增，∴1)0()(=>h x h ， ∴0)('>x g ，∴)(x g 在),0(+∞上单调递增. 又∵0)(11>=---e ee g ，01)(22<-=---e e e g ，即0)()(21<--e g e g ，∴)(x g 恰有一个零点),(120--∈e e x ，即01ln )(000=++=-x e x g x ，即1ln 00+=--x e x .当),0(0x x ∈时，0)(<x g ，)(x G 单调递减；当),(0+∞∈x x 时，0)(>x g ，)(x G 单调递增.∴1ln ln ln )()(0000000++=-=≥-x x x ex x x G x G x .设1ln ln )(++=x x x x ϕ，∵),(12--∈e e x ，∴0111ln 1)('>+->++=e xx x ϕ， ∴)(x ϕ在),(12--e e 上单调递增，∴22021)()(----=>e e x ϕϕ， ∴20021)()()(--->=≥e x x G x G ϕ，综上可知，2221ln 21)(--->++e x bx ax x f .。

河南省2017届高三下学期质量检测理科数学试卷一、选择题：共12题1．设集合{|(5)4}A x x x =-＞，{|}B x x a =≤，若A B B =，则 的值可以是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知复数32i 2ia z +=-，在复平面对应的点在第四象限，则实数 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞-B ．(4,)+∞C ．(1,4)-D ．(4,1)--3．为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高条形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是（ ）4．已知23cos tan 3θθ=+，且πk θ≠（k ∈Z ），则sin[2(π)]θ-等于（ ） A ．13-B ．13C ．23D ．23-5．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，请人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问，米几何？”右图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出 1.5S =(单位：升)，则输入 的值为（ ）+A ．4.5B ．C ．7.5D ．6．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0,0a b >>）过点，过点(0,2)-的直线 与双曲线 的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为23，则双曲线 的实轴长为（ ）A ．2B ．C ．4D ．7．若()f x 为奇函数，且0x 是函数()e xy f x =-的一个零点，则下列函数中，0x -一定是其零点的函数是（ ）A ．()e 1x y f x -=--B ．()e 1x y f x -=+C ．()e 1x y f x -=-D ．()e 1x y f x -=-+8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．103B ．113C ．4D ．1439．在ABC △中，60BAC ∠=︒，5AB =，4AC =，D 是 上一点，且5AB CD =，则||BD 等于（ ） A ．B ．C ．D ．10．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b ＞＞）的右焦点为2F ，O 为坐标原点， 为 轴上一点，点 是直线 与椭圆 的一个交点，且2||||2||OA OF OM ==，则椭圆 的离心率为（ ）A ．13B ．25C D 11．如图，矩形 中，2AB AD = 为边 的中点，将ADE △沿直线DE 翻转成1A DE △ 平面)，若 分别为线段 的中点，则在ADE △翻转过程中，下列说法错误的是（ ）A ．与平面 垂直的直线必与直线 垂直B ．异面直线 与 所成角是定值C ．一定存在某个位置，使DE MO ⊥D ．三棱锥1A ADE -外接球半径与棱 的长之比为定值 12．若曲线1()ln(1)f x a x =+（2e 1e 1x --＜＜）和32()g x x x =-+（0x ＜）上分别存在点 ，使得AOB△是以原点 为直角顶点的直角三角形，且斜边 的中点 轴上，则实数 的取值范围是（ ） A ．2(e,e )B ．2(e e,2)C ．2(1,e )D ．[1,e)二、填空题：共4题13．已知实数 满足条件302403x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则22(1)z x y =++的最小值为________．14．把3男2女5名新生分配到甲、乙两个班，每个班分到的新生不少于2名，且甲班至少分配1名女生，则不同的分配方案种数为________．15．函数()()sin f x A x ωϕ=+（0ω>，π||2ϕ＜）的部分图像如图所示，将函数()f x 的图像向右平移7π24个单位后得到函数()g x 的图像，若函数()g x 在区间[]π,3θ-（π3θ-＞）上的值域为[]1,2-，则θ=________．16．在ABC △中， 分别是角 的对边，ABC △的面积为S ，22()tan 8a b C S +=，且s i n c o s 2c o s s i A B A B =，则cos A =．________ 三、解答题：共7题17．已知等差数列{}n a 的前+()n n ∈N 项和为n S ，33a =，且1n n n S a a λ+=，在等比数列{}n b 中，12b λ=，3151b a =+．（1）求数列{}n a 及{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 的前+()n n ∈N 项和为n T ，且()12n n nS c +=，求n T ．18．某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标，现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知6个招标问题中，甲公司可正确回答其中的4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为23，甲、乙两家公司对每道题目的回答都是相互独立、互不影响的． （1）求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；（2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？19．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面 ，底面 是直角梯形，90ADC ∠=︒，AD BC ∥，AB AC ⊥，AB AC == 在 上，且2AE ED =．（1）已知点 在 ，且2CF FB =，求证：平面PEF ⊥平面 ；（2）当二面角A PB E --的余弦值为多少时，直线 与平面 所成的角为45︒？20．已知 是抛物线24y x =上的一点，以点 和点(2,0)B 为直径两端点的圆 交直线1x =于 两点，直线 与 平行，且直线 交抛物线于 两点．（1）求线段 的长；（2）若3OP OQ =-，且直线 与圆 相交所得弦长与||MN 相等，求直线 的方程． 21．设函数2()e x f x =，()1()g x kx k =+∈R ．（1）若直线()y g x =和函数()y f x =的图像相切，求 的值；（2）当0k ＞时，若存在正实数 ，使对任意(0,)x m ∈，都有|()()|2f x g x x -＞恒成立，求 的取值范围．22．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为cos 2sin x a ty t =⎧⎨=⎩（ 为参数，0a ＞），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 的极坐标方程为πcos()4ρθ+=-． （1）设 是曲线 上的一个动点，当2a =时，求点 到直线 的距离的最小值； （2）若曲线 上的所有点均在直线 的右下方，求 的取值范围． 23．已知函数()|1||3|f x x x =++-，()|2|g x a x =--． （1）若关于 的不等式()()f x g x ＜有解，求实数的取值范围； （2）若关于 的不等式()()f x g x ＜的解集为()7,2b ，求a b +的值．河南省2017届高三下学期质量检测理科数学试卷答 案一、选择题：共12题1~5．DCDCB 6~10．ABACD 11~12．CB 二、填空题：共4题 13．5 14．16 15．π416三、解答题：共7题17．解：（1）1n n n S a a λ+=，33a =，所以112a a a λ=且()122323a a a a a λ+==，①所以2123,3a a a a λ=+==，②因为数列{}n a 是等差数列，所以1322a a a +=，即2123a a -=， 由①②得11a =，22a =，所以n a n =，2λ=， 所以14b =，316b =，则12n n b +=． （2）因为(1)2n n n S +=，所以2(2)n c n n =+，所以22222122435(1)(1)(2)n T n n n n =+++++⨯⨯⨯-++111111111132435112n n n n =-+-+-++-+--++ 2323232n n n +=-++． 18．解：（1）由题意可知，所求概率12211123424233366C C C C 2221C ()(1)(1)C 33C 315P =⨯-+⨯-=， （2）设甲公司正确完成面试的题数为 ，则 的取值分别为 ，124236C C 1(1)C 5P X ===，214236C C 3(2)C 5PX ===，304236C C 1(3)C 5P X ===，则 的分布列为：131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=，2221312()(12)(22)(32)5555D X =-⨯+-⨯+-⨯=．设乙公司正确完成面试的题数为 ，则 取值分别为 ，1(0)27P Y ==，123212(1)C ()339P Y ==⨯⨯=，223214(2)C ()339P Y ==⨯⨯=， 328(3)()327P Y ===，则 的分布列为：所以1248()01232279927E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=（或因为2(3,)3Y B ~，所以2()323E Y =⨯=）， 222212482()(02)(12)(22)(32)2799273D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，由()()E X E Y =，()()D X D Y ＜可得，甲公司成功的可能性更大．19．证明：因为AB AC ⊥，AB AC =，所以90ACB ∠=︒， 因为底面 是直角梯形，90ADC ∠=︒，AD BC ∥， 所以45ACD ∠=︒，即AD CD =，所以2BC AD =，因为2AE ED =，2CF FB =，所以2D 3AE BF A ==． 所以四边形 是平行四边形，则AB EF ∥，所以AC EF ⊥，因为PA ⊥底面 ，所以PA EF ⊥， 因为PAAC A =，所以EF ⊥平面 ，因为EF ⊂平面 ，所以平面PEF ⊥平面 ．（2）因为PA AC ⊥，AC AB ⊥，所以AC ⊥平面 ，则APC ∠为直线 与平面 所成的角，若 与平面 所成角为45︒，则tan 1ACAPC PA∠==，即PA AC == 取 的中点为 ，连接 ，则AG BC ⊥，以 坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．则(1,1,0)B -，(1,1,0)C ，2(0,,0)3E，P ，所以(1,1,0)EB =-，2(0,3EP =-，设平面 的法向量(,,)x y z =n ，则0n EB n EP ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即503203x y y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，令3y =，则5x =，z =，=n ，因为(1,1,0)AC =是平面 的一个法向量，所以cos ,AC 〈〉==n ，即当二面角与平面 所成的角为45︒． 20．解：（1）设200(,)4y A y ，圆 的方程200(2)()()04y x x y y y --+-=，令1x =，得2200104y y y y -+-=，所以0M N y y y +=，214M N y y y =-，||||2M N MN y y =-=．（2）设直线 的方程为x my n =+，11(,)P x y ，22(),Q x y ，则由24x my n y x=+⎧⎨=⎩消去 ，得2440y my n --=． 124y y m +=，124y y n =-，因为3OPOQ =-，所以12123x x y y +=-，则21212()316y y y y +=-， 所以2430n n -+=，解得1n =或3n =， 当1n =或3n =时，点(2,0)B 到直线的距离为d =，因为圆心 到直线 的距离等于到直线1x =的距离，所以208y =， 又224y m y -=，消去 得4200646416y y +=，求得28y =，此时2024y m y -=，直线 的方程为3x =，综上，直线 的方程为1x =或3x =．21．解：（1）设切点的坐标为2(,e )t t ，由2()e x f x =，得22(e )x f x ='， 所以切线方程为22e 2e ()t t y x t -=-，即222e (12)e t t y x t =+-，由已知222e (12)e x x y x t =+-和1y kx =+为同一条直线，所以22e t k =，2(12)e 1t k -=， 令()(1)e x h x x =-，则()e x h x x =-'，当(,0)x ∈-∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，当(0,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减， 所以()(0)1h x h ≤=，当且仅当0x =时等号成立，所以0t =，2k =． （2）①当2k >时，有（1）结合函数的图像知： 存在00x >，使得对于任意0(0,)x x ∈，都有()()f x g x ＜，则不等式|()()|>2f x g x x -等价()()2g x f x x ->，即2(2)1e 0x k x -+->， 设2(2)1e x t k x =-+-，22()2e x t k =--'，由0t '>得12ln 22k x -<，由0t '＜得12ln 22k x -＞， 若24k ≤＜，12ln022k -≤，因为012(0,)(,ln )22k x ∞-⊆-，所以()t x 在12(0,ln )22k -上单调递减， 因为(0)0t =，所以任意12(0,ln)22k x -∈，()0t x >，与题意不符， 若4k >，12ln022k ->，1212(0,ln )(,ln )2222k k --⊆-∞，所以()t x 在12(0,ln )22k -上单调递增， 因为(0)0t = ，所以对任意12(0,ln)22k x -∈，()0t x >符合题意， 此时取120min{0,ln}22k m -<≤，可得对任意(0,)x m ∈，都有|()()|>2f x g x x -． ②当02k <≤时，有（1）结合函数的图像知()2e210(0)xx x -+≥>，所以22()()e 1e (21)(2)(2)0x x f x g x kx x k x k x -=--=-++-≥-≥对任意0x >都成立， 所以|()()|>2f x g x x -等价于2e (2)10x k x -+->， 设2()e (2)1x x k x ϕ=-+-，则2()=2e (2)x x k ϕ'-+，由()0x ϕ'>得12ln 22k x +>，()0x ϕ'＜得，12ln 22k x +<， 所以()x ϕ在12(0,ln)22k -上单调递减，注意到(0)0ϕ=， 所以对任意12(0,ln)22k x -∈，()0x ϕ<，不符合题设， 综上所述， 的取值范围为()4,+∞．22．解：（1）由πcos()4ρθ+=-cos sin )ρθρθ-=-)x y -=-，即直线 的方程为40x y -+=， 依题意，设(2cos ,2sin )P t t ，则到直线的距离π|)4|π2co ()4s t d t ++==+， 当π2ππ4t k +=+，即3π2π4t k =+，k ∈Z时，min 1d =． （2）因为曲线 上的所有点均在直线 的右下方，所以对t ∀∈R ，有cos 2sin 40a t t -+>恒成立，)4t t ϕ+>-（其中2tan aϕ=）恒成立，4<，又0a >，解得0a << 故的取值范围为．23．解：（1）当2x =时，()|2|g x a x =--取得最大值为 ，因为()|1||3|4f x x x =++-≥，当且仅当13x -≤≤，()f x 取最小值4， 因为关于 的不等式()()f x g x <有解， 所以4a >，即实数 的取值范围是(4,)+∞．（2）当72x =时，()5f x =， 则77()2522g a =-++=，解得132a =，所以当2x <时，9()2g x x =+，令9()42g x x =+=，得1(1,3)2x =-∈-，所以12b =-，则6a b +=河南省2017届高三下学期质量检测理科数学试卷解析1．【解析】本题主要考查集合的关系与运算、解一元二次不等式．，若，则，．故选D．2．【解析】本题主要考查复数的运算和几何意义．，，解得．故选C．3．【解析】本题主要考查独立性检验．选项D中不服药与服药样本中患病的频率差距最大．故选D．4．【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系、倍角公式和诱导公式．由得，，即，则．故选C．5．【解析】本题主要考查程序框图和数学史．模拟程序运行，可得：，满足循环条件执行循环体，，，满足循环条件执行循环体，，，满足循环条件执行循环体，，，不满足循环条件结束循环，输出的值为，则，解得．故选B．6．【解析】本题主要考查双曲线的标准方程和性质、点到直线的距离．点到渐近线的距离为，，双曲线过点，，解得，则双曲线的实轴长为．故选A．7．【解析】本题主要考查函数的零点、奇函数的性质．是函数的一个零点，，即，又为奇函数，，当时，．．故选B．8．【解析】本题主要考查三视图与体积．由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥与一个三棱柱组合而成，其中四棱锥的底面与三棱柱的左侧面重合．则该几何体的体积为．故选A．9．【解析】本题主要考查平面向量的数量积和模．设，，，解得，则．故选C．10．【解析】本题主要考查椭圆的几何性质．由题知，在椭圆的短轴上．设椭圆的左焦点为，连结．，，即，，，，则椭圆的离心率为．故选D．11．【解析】本题主要考查空间线面的位置关系．取中点，连结，，则，，平面平面，平面，故A正确；取中点，连结，，则为平行四边形，则为异面直线与所成角，故B正确；点关于直线的对称点为，则平面，即过与垂直的直线在平面上，故C错误；三棱锥外接球半径为，故D正确．故选C．12．【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值．，函数在，上单调递减，．设，，由斜边的中点轴上可得，，，，即，，设，则，，，即实数的取值范围是．故选B．13．【解析】本题主要考查简单的线性规划及点到直线的距离．作出不等组表示的可行域，如图所示，的几何意义为可行域内的点到点，距离的平方．则的最小值为点，到直线距离的平方，．故答案为14．【解析】本题主要考查排列组合问题．把5名新生分配到甲、乙两个班，每个班分到的新生不少于2名，有种分配方案，其中甲班都是男生的分配方案有种，则不同的分配方案种数为．故答案为．15．【解析】本题主要考查函数的图象和性质．由图可得，，又，，又，，则．若函数在区间上的值域为，则，．故答案为．16．【解析】本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式．由得，即．由得，即．，，．故答案为．17．【解析】本题主要考查等差数列、等比数列，考查裂项求和．（1）在中，令，得到关系式，再由等差数列的性质可得，从而求得，再由等比数列的通项公式求得公比，进而得到；（2）由等差数列的前项和公式可得，代入求出，利用裂项求和可得．18．【解析】本题主要考查互斥事件、相互独立事件的概率，考查离散型随机变量的数学期望和方差．（1）根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率可得结论；（2）分别列出两公司正确完成面试题数的所有取值，计算其相应的概率，得到分布列，代入公式求出期望和方差，比较它们的大小可得结论．19．【解析】本题主要考查线面垂直的判定与性质、用向量法求空间角的大小．（1）由平面几何知识易证是平行四边形，得，从而，由线面垂直的性质得，由线面垂直的判定可得平面，由面面垂直的判定可得结论；（2）易证平面，则为直线与平面所成的角．取的中点为，连接，则，以坐标原点建立空间直角坐标系．分别求出平面和平面的一个法向量，利用向量夹角公式可得结论．20．【解析】本题主要考查直线与抛物线的位置关系、数量积的坐标运算及点到直线的距离．（1）设出点坐标，由、点坐标可得圆的方程，直线方程联立，得关于的一元二次方程，利用韦达定理和弦长公式可得线段的长；（2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，消去得关于的一元二次方程，利用韦达定理、数量积的坐标运算及点到直线的距离公式可求出的方程．21．【解析】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、最值和不等式恒成立问题．（1）求导，根据导数的几何意义及直线的点斜式方程可得切线方程，与已知切线方程比较，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，则可得值．（2）分和两种情况讨论．将不等式转化，利用导数研究函数的单调性和最值，则结论可得．22．【解析】本题主要考查将极坐标方程化成直角坐标方程，点到直线的距离及简单的线性规划的应用．（1）利用及两角和的余弦公式将的极坐标方程化成直角坐标方程，设出的参数坐标，由点到直线的距离公式及余弦函数的性质可得最值；（2）问题转化为对，恒成立．利用辅助角公式及余弦函数的值域可得结论．23．【解析】本题主要考查绝对值不等式的求解．（1）利用绝对值三角不等式可得的最小值，易得的最大值，问题转化为的最大值大于的最小值．（2）由题知，为方程的根，代入可求得；当时，由求出，验证可得，则可得。

2017年高中毕业年级第三次质量预测理科数学试题卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设命题:0p x ∀>，2log 23x x <+，则p ⌝为（ ）（ ） A.0x ∀>，2log 23x x ≥+ B.0x ∃>，2log 23x x ≥+ C.0x ∃>，2log 23x x <+D.0x ∀<，2log 23x x ≥+2.已知复数4m xi =-，32n i =+，若复数nR m∈，则实数x 的值为（ ） A.6-B.6C.83D.83-3.已知双曲线22132x y a a+=--，焦点在y 轴上，若焦距为4，则a 等于（ ）A.32B.5C.7D.124.已知27cos 239πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin 6πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值等于（ ）A.13B.13±C.19-D.195.设集合{}1234,,,A x x x x =，{}1,0,1i x ∈-，{}1,2,3,4i =，那么集合A 中满足条件“222212343x x x x +++≤”的元素个数为（ ） A.60 B.65 C.80 D.816.如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（ ）A.22π+B.23π+C.43π+D.42π+7.设实数x ，y 满足6021402100x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≤⎩，则2xy 的最大值为（ ）A.25B.49C.12D.248.已知等比数列{}n a ，且4268016a a x dx +=-⎰，则()84682a a a a ++的值为（ ）A.2πB.24πC.28πD.216π9.若实数a 、b 、c R +∈，且2256ab ac bc a +++=-，则2a b c ++的最小值为（ ） A.51-B.51+C.252+D.252-10.椭圆22154x y +=的左焦点为F ，直线x a =与椭圆相交于点M ，N ，当FMN △的周长最大时，FMN △的面积是（ ） A.5 B.65C.85D.4511.四面体A BCD -中，10AB CD ==，234AC BD ==，241AD BC ==，则四面体A BCD -外接球的表面积为（ ）A.50πB.100πC.200πD.300π12.设函数()f x 满足()()232'xx f x x f x e +=，()228e f =，则[)2,x ∈+∞时，()f x 的最小值为（ ）A.22eB.232eC.24eD.28e 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为 ．14.若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且321n n S a -=，则{}n a 的通项公式是n a = ．15.已知双曲线2222:1x y C a b-=的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐进线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若2MF FN =u u u u r u u u r，则双曲线的离心率 ．16.在ABC △中，3A π∠=，O 为平面内一点，且OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r，M 为劣弧»BC上一动点，且OM pOB qOC =+u u u u r u u u r u u u r，则p q +的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知()sin sin sin B C m A m R +=∈，且240a bc -=. （1）当2a =，54m =时，求b 、c 的值； （2）若角A 为锐角，求m 的取值范围.18.为了研究学生的数学核素养与抽象（能力指标x ）、推理（能力指标y ）、建模（能力指标z ）的相关性，并将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标w x y z =++的值评定学生的数学核心素养；若7w ≥，则数学核心素养为一级；若56w ≤≤，则数学核心素养为二级；若34w ≤≤，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下结果： 学生编号1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A(),,x y z()2,2,3()3,2,3()3,3,3()1,2,2()2,3,2()2,3,3()2,2,2()2,3,3()2,1,1()2,2,2（1）在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同的概率；（2）从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为a ，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为b ，记随机变量X a b =-，求随机变量X 的分布列及其数学期望.19.如图，在四边形ABCD中，AB CD∥，23BCDπ∠=，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AD CD BC CF===.（1）求证：EF⊥平面BCF；（2）点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.20.已知圆()2221:0C x y r r+=>与直线13:522l y x=A为圆1C上一动点，AN x⊥轴于点N，且动点M满足()2222OM AM ON+=u u u u r u u u u r u u u r，设动点M的轨迹为曲线C. （1）求动点M的轨迹曲线C的方程；（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点P、Q且满足以PQ为直径的圆过坐标原点O，求线段PQ长度的取值范围.21.已知函数()()()lnf x x a x a=++，()22ag x x ax=-+.（1）函数()()()'x xh x f e a g e=-+，[]1,1x∈-，求函数()h x的最小值；（2）对任意[)2,x∈+∞，都有()()10f x ag x---≤成立，求a的范围.22.以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为1cos2sinx ty tθθ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，（t为参数，0θπ<<），曲线C的极坐标方程为2sin2cos0ραα-=.（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求AB的最小值.23.已知函数()52f x x x=---.（1）若x R∃∈，使得()f x m≤成立，求m的范围；（2）求不等式()28150x x f x-++≤的解集.2017年高中毕业年级第三次质量预测数学（理科）参考答案一、选择题BDDBB AADDC CD二、填空题13.三、解答题17．解：由题意得b c ma+=,240a bc-=.(I) 当52,4a m==时，52b c+=, 1.bc=解得2,1,212,2bbcc=⎧⎧=⎪⎪⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩或(II)()2222222222222cos23(0,1).222am a ab c bc ab c aA mabc bc--+--+-====-∈∴2322m<<,又由b cma+=可得0,m>所以2m<<18.解：（I）由题可知：建模能力一级的学生是9A；建模能力二级的学生是245710,,,,A A A A A；建模能力三级的学生是1368,,,A A A A.记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A，则225421016().45C CP AC+==（II）由题可知，数学核心素养一级：123568,,,,,A A A A A A，数学核心素养不是一级的：47910,,,A A A A；X的可能取值为1,2,3,4,5.113211641(1);4C CP XC C===1111312211647(2);24C C C CP XC C+===11111131211211647(3);24C C C C C C P X C C ++===1111211111641(4);8C C C C P X C C +=== 111111641(5).24C C P X C C === X1 2 3 4 5p14 724 724 18 124∴1234542424824EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=12. 19. 解：(I)在梯形ABCD 中，∵//AB CD ，设1AD CD BC ===， 又∵23BCD π∠=,∴2AB =，∴22202cos60 3.AC AB BC AB BC =+-⋅⋅= ∴222.AB AC BC =+∴BC AC ⊥. ∵CF ABCD ⊥平面，AC ABCD ⊂平面， ∴AC CF ⊥，而CF BC C ⋂=， ∴.AC BCF ⊥平面∵//,EF AC ∴EF BCF ⊥平面.(II)由(I)可建立分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示建立空间直角坐标系，设1AD CD BC CF ====，令FM λ=(03λ≤≤),则C (0，0，0)，A 30，0)，B (0，1，0)，M (λ，0，1)， ∴AB uu u r 31，0)，BM uuu r=(λ，-1，1)，设1(,,)n x y z =r为平面MAB 的一个法向量，由00,n AB n BM ⎧=⎪⎨=⎪⎩r uu u r g r uuu rg 11，得00,y x y z ⎧+=⎪⎨λ-+=⎪⎩， 取1x =,则1n rλ),∵2n r=(1,0,0)是平面FCB 的一个法向量,∴1212n cos θ===r r g r r g ｜n ｜｜n ｜｜n ｜∵0λ≤0λ=时，cos θ有最小值7， ∴点M 与点F 重合时，平面MAB 与平面FCB所成二面角最大，此时二面角的余弦值为7. 20. 解：（I ）设动点),(),,(00y x A y x M ，由于AN x ⊥轴于点.N0(,0).N x ∴又圆)0(2221>=+r r y x C ：与直线52321:0+=x y l 即0532=+-y x 相切， 3.r ∴==∴圆2219.C x y +=：由题意，)222(2-=+，得000(,)2(,)2)(,0),x y x x y y x +--=000(32,32)2),0).x x y y x ∴--=000322),320x x x y y ⎧-=⎪∴⎨-=⎪⎩即003.2x y y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩ 将)23,223(y x A 代入922=+y x ，得曲线C 的方程为22 1.84x y += （II ）（1）假设直线l 的斜率存在，设其方程为m kx y +=，设1122(,),(,),P x y Q x y联立22,1,84y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得222(12)4280.k x kmx m +++-=由求根公式得2121222428,.1212km m x x x x k k -+=-=++（*）∵以PQ 为直径的圆过坐标原点O ，.OP OQ ∴⊥u u u r u u u r 即0.OP OQ ⋅=u u u r u u u r12120.x x y y ∴+=即1212()()0.x x kx m kx m ∴+++=化简可得，221212(1)()0.k x x km x x m ++++=将（*）代入可得021883222=+--k k m ，即223880.m k --= 即3)1(822+=k m，又12PQ x =-=将3)1(822+=k m 代入，可得PQ ====≤∴当且仅当2241k k=，即22±=k 时等号成立．又由0441242≥++k k k ，364332=≥∴PQ ，32364≤≤∴PQ ． （2）若直线l 的斜率不存在，因以PQ 为直径的圆过坐标原点O ，故可设OP 所在直线方程为x y =，联立22,1,84y x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得(33P同理求得(,33Q - 故364=PQ ．综上，得32364≤≤PQ ． 21. 解:（I ）()()xh x x a e a =-+.x e a x x h )1()(+-='，令0)(='x h 得1-=a x .① 当11-≤-a 即0≤a 时，在]1,1[-上0)(≥'x h ，)(x h 递增，)(x h 的最小值为eaa h +-=-1)1(. ② 当111<-<-a 即20<<a 时，在]1,1[--∈a x 上0)(≤'x h ，)(x h 为减函数，在在]1,1[-∈a x 上0)(≥'x h ，)(x h 为增函数.∴ )(x h 的最小值为a ea h a +-=--1)1(.③ 当11≥-a 即2≥a 时，在]1,1[-上0)(≤'x h ，)(x h 递减，)(x h 的最小值为a e a h +-=)1()1(.综上所述，当0a ≤时)(x h 的最小值为eaa +-1，当20<<a 时)(x h 的最小值为a e a +--1,当2≥a 时，)(x h 最小值为a e a +-)1(.（II ）设2()(1)ln(1)2a F x x x x ax =--+-， )1(1)1ln()(-++-='x a x x F )2(≥x .①当0≥a 时，在[2,)x ∈+∞上0)(>'x F ，)(x F 在[2,)x ∈+∞递增，)(x F 的最小值为0)2(=F ，不可能有()()10f x a g x ---≤.②当1-≤a 时, 令011)(=+-=''a x x F ，解得：a x 11-=，此时121a>- ∴011)(≤+-=''a x x F .∴)(x F '在),2[+∞上递减.∵)(x F '的最大值为01)2(≤+='a F ，∴)(x F 递减.∴)(x F 的最大值为0)2(=F ，即()()10f x a g x ---≤成立.③ 当01<<-a 时，此时121,a<-当)11,2(a x -∈时，)(,0)(x F x F '>''递增，当),11(+∞-∈ax 时，)(,0)(x F x F '<''递减.∴)11()(max a F x F -'='0)ln(>--=a ，又由于01)2(>+='a F ,∴在)11,2[ax -∈上0)(>'x F ，)(x F 递增，又∵0)2(=F ,所以在)11,2[ax -∈上0)(>x F ，显然不合题意.综上所述：1-≤a .22.解：（I ）由2sin 2cos 0ραα-=，得22sin 2cos .ραρα=∴曲线C 的直角坐标方程为x y 22=（II ）将直线l 的参数方程代入x y 22=，得22sin 2cos 10.t t θθ--= 设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ， 则1222cos sin t t θθ+=，1221sin t t θ⋅=-，12AB t t =-==22.sin θ= 当2πθ=时，AB 的最小值为2.23.解：（I ）3,2,()|5||2|72,25,3, 5.x f x x x x x x ≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪-≥⎩当25x <<时，3723x -<-<， 所以3() 3.f x -≤≤ ∴ 3.m ≥- （II ）即()2815f x x x -≥-+由（I ）可知，当2x ≤时，2()815f x x x -≥-+的解集为空集； 当25x <<时，2()815f x x x -≥-+的解集为{|55}x x -<； 当5x ≥时，2()815f x x x -≥-+的解集为{|56}x x ≤≤.综上，不等式的解集为{|56}x x -≤≤.。

河南省高三质量检测考试数学试卷（理科）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．2、请将各题答案填在试卷后面的答题卡上．第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|(5)4},{|}A x x x B x x a =->=≤，若A B B = ，则a 的值可以是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42.已知复数322a i z i+=-，在复平面对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(,1)-∞-B ．(4,)+∞C ．(1,4)-D ．(4,1)--3.为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是 （ ）4. 已知23cos tan 3θθ=+，且()k k Z θπ≠∈，则sin[2()]πθ-等于（ ）A ．13-B ．13C ．23D ．23- 5.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，请人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问，米几何？”右图示解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出点 1.5S =（单位：升）则输入k 的值为 （ ）A ．4.5B ．6C ．7.5D ．96. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>过点，过点(0,2)-的直线l 与双曲线C 的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为23，则双曲线C 的实轴长为（ ）A ．2B ．．4 D ．7. 若()f x 为奇函数，且0x 是函数()xy f x e =-的一个零点，额下列函数中，0x -一定是其零点的函数是（ ）A ．()1x y f x e -=-⋅-B ．()1x y f x e -=⋅+C ．()1x y f x e -=⋅-D ．()1xy f x e-=-⋅+8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．103 B ．113 C ．4 D ．1439. 在ABC ∆中，060,5,4,BAC AB AC D ∠===是AB 上一点，且5AB CD ⋅= ，则BD等于（ ）A ．6B ．4C ．2D ．110. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为2,F O 为坐标原点，M 为y 轴上一点，点A 是直线2MF 与椭圆C 的一个交点，且22OA OF OM ==，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．13 B ．25 C．5 D．311. 如图，矩形ABCD 中，2,AB AD E =为边AB 的中点，将ADE ∆直线DE 翻转成1(A BE A ∆∉平面ABCD )，若,M O 分别为线段1,AC DE 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，下列说法错误的是（ ）A ．与平面1A DE 垂直的直线必与直线垂直B ．异面直线BM 与1A E 所成角是定值C ．一定存在某个位置，使DE MO ⊥D ．三棱锥1A ADE -外接球半径与棱AD 的长之比为定值12.若曲线()21(11)ln(1)f x e x e a x =-<<-+和()32(0)g x x x x =-+<上分别存在点,A B ，使得AOB ∆是以原点O 为直角顶点的直角三角形，且斜边AB 的中点y 轴上，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．2(,)e e B ．2(,)2e e C ．2(1,)e D ．[1,)e第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知实数,x y 满足条件302403x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则22(1)z x y =++的最小值为 ．14.把3男2女工5名新生分配到甲、乙两个班，每个班分别的新生不少于2名，且甲班至少分配1名女生，则不同的分配方案种数为 ．15.函数()sin()(0,)2f x A wx w πϕϕ=+><的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象向右平移724π个 单位后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间[,]()33ππθθ->-上的值域为[]1,2-， 则θ= ．16.在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，ABC ∆的面积为22,()tan 8S a b C S +=， 且sin cos 2cos sin A B A B =，则cos A = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前()n n N +∈项和为3,3n S a =，且1n n n S a a λ+=，在等比数列{}n b 中，13152,1b b a λ==+.（1）求数列{}n a 及{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 的前()n n N +∈项和为n T ，且()12n n S c π+=，求n T .18. （本小题满分12分）某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标，现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知6个招标问题中，甲公司可正确回答其中的4到题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为23，甲、乙两家公司对每道的回答都是相互独立、互不影响的.（1）求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；（2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 19. （本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，090ADC ∠=，//,,AD BC AB AC AB AC ⊥=，点E 在AD 上，且2AE ED =.（1）已知点F 在BC ，且2CF FB =，求证：平面PEF ⊥平面PAC ；（2）当二面角A PB E --的余弦值为多少时，直线PC 与平面PAB 所成的角为045？20. （本小题满分12分）已知A 是抛物线24y x =上的一点，以点A 和点(2,0)B 为直径的圆C 交直线1x =于,M N 两点，直线l 与AB 平行，且直线l 交抛物线于,P Q 两点.（1）求线段MN 的长；（2）若3OP OQ ⋅=-，且直线PQ 与圆C 相交所得弦长与MN 相等，求直线l 的方程.21. （本小题满分12分）设函数()()2,1()xf x eg x kx k R ==+∈.（1）若直线()y g x =和函数()y f x =的图象相切，求k 的值；（2）当0k >时，若存在正实数m ，使对任意(0,)x m ∈，都有()()2f x g x x ->恒成立， 求k 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.23. （本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos (2sin x a tt y t=⎧⎨=⎩为参数，0)a >，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos()4πρθ+=- （1）设P 是曲线C 上的一个动点，当2a =时，求点P 到直线l 的距离的最小值； （2）若曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()13,()2f x x x g x a x =++-=--.（1）若关于x 的不等式()()g x g x <有解，求实数的取值范围； （2）若关于x 的不等式()()g x g x <的解集为7(,)2b ，求a b +的值.试卷答案一、选择题1-5:DCDCB 6-10: ABACD 11、C 12：B二、填空题13. 5 14. 16 15.4π16. 15三、解答题17. 解：（1）1n n n S a a λ+=，33a =，所以112a a a λ=且12232()3a a a a a λ+==， ① 所以2123,3a a a a λ=+==， ②因为数列{}n a 是等差数列，所以1322a a a +=，即2123a a -=， 由①②得121,2a a ==，所以,2n a n λ==， 所以134,16b b ==，则12n n b +=. （2）因为(1)2n n n S +=，所以2(2)n c n n =+， 所以22222122435(1)(1)(2)n T n n n n =+++++⨯⨯⨯-++ 111111111132435112n n n n =-+-+-++-+--++2323232n n n +=-++. 18.解：（1）由题意可知，所求概率12211123242423336622221()(1)(1)(1)333315C C C C P C C C =⨯-+⨯--=,(2)设甲公司正确完成面试的题数为X ，则X 的取值分别为1,2,3，122130424242333666131(1),(2),(3)555C C C C C C P X P X P X C C C =========， 则X 的分布列为：()1311232555E X =⨯+⨯+⨯=，()2221312(12)(22)(32)5555D X =-⨯+-⨯+-⨯=设乙公司正确完成面试的题数为Y ，则Y 取值分别为0,1,2,3，1222331212214(0),(1)(),(2)()27339339P Y P Y C P Y C ====⨯⨯===⨯⨯=， 328(3)()327P Y ===则Y 的分布列为：所以()124801232279927E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=(或因为2(3,)3Y B ，所以()2323E Y =⨯=) ()222212482(02)(12)(22)(32)2799273D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，由()()()(),E X E Y D X D Y =<可得，甲公司成功的可能性更大. 19.证明：因为,AB AC AB AC ⊥=，所以C ，因为底面ABCD 是直角梯形，090,//ADC AD BC ∠=， 所以045ACD ∠=，即AD CD =，所以2BC AD ==，因为2,2AE ED CF FB ==，所以23AE BF AD ==. 所以四边形ABFE 是平行四边形，则//AB EF , 所以AC EF ⊥，因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA EF ⊥， 因为PA AC A = ，所以EF ⊥平面PAC ，因为EF ⊂平面PEF ，所以平面PEF ⊥平面PAC .(2)因为,PA AC AC AB ⊥⊥，所以AC ⊥平面PAB ，则APC ∠为直线PC 与平面PAB 所成的角，若PC 与平面PAB 所成角为045，则tan 1ACAPC PA∠==，即PA AC ==. 取BC 的中点为G ，连接AG ，则AG BC ⊥，以A 坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -.则2(1,1,0),(1,1,0),(0,,0),3B C E P -，所以2(1,1,0),(0,3EB EP =-=- ，设平面PBE 的法向量(,,)n x y z = ，则0n EB n EP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即503203x y y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，令3y =，则5,x z =，n = ， 因为(1,1,0)AC =是平面PAB 的一个法向量，所以cos ,3n AC ==， 即当二面角A PB E --时，直线PC 与平面PAB 所成的角为045.20.解：（1）设200(,)4y A y ，圆C 的方程2200(2)()()04y x x y y y --+-=，令1x =，得2200104y y y y -+-=，所以200,14M N M N y y y y y y +==- ，2M N MN y y =-===（2）设直线l 的方程为1122,(,),(,)x my n P x y Q x y =+，则 由24x my ny x=+⎧⎨=⎩ 消去x ，得2440y my n --=.12124,4y y m y y n +==-，因为3OP OQ ⋅=- ，所以12123x x y y +=-，则21212()316y y y y +=-， 所以2430n n -+=，解得1n =或3n =， 当1n =或3n =时，点(2,0)B 到直线l的距离为d =因为圆心C 到直线l 的距离等于到直线1x =的距离，所以208y =又2024y m y -=，消去m 得4200646416y y +⋅=，求得208y =，此时2024y m y -=，直线l 的方程为3x =，综上，直线l 的方程为1x =或3x =.21.（1）设切点的坐标为2(,)tt e ，由()2x f x e =，得()22x f x e '=，所以切线方程为222()t t y e e x t -=-，即222(12)t ty e x t e =+-，由已知222(12)xxy e x t e =+-和1y kx =+为同一条直线，所以222,(12)1tte k k e =-=， 令()(1)xh x x e =-，则()xh x xe '=-，当(,0)x ∈-∞时，()()0,h x h x '>单调递增，当(0,)x ∈+∞时，()()0,h x h x '<单调递减，所以()()01h x h ≤=，当且仅当0x =时等号成立，所以0,2t k ==.（2）①当2k >时，有（1）结合函数的图象知：存在00x >，使得对于任意0(0,)x x ∈，都有()()f x g x <， 则不等式()()2f x g x x ->等价()()2g x f x x ->，即2(2)10x k x e -+->， 设22(2)1,(2)2x x t k x e t k e '=-+-=-- ，由0t '>得12ln 22k x -<，由0t '<得12ln 22k x ->， 若1224,ln 022k k -<≤≤，因为012(0,)(,ln )22k x -⊆-∞，所以()t x 在12(0,ln )22k -上单调递减，因为()00t =， 所以任意()12(0,ln ),022k x t x -∈>，与题意不符， 若1212124,ln 0,(0,ln )(,ln )222222k k k k --->>⊆-∞，所以()t x 在12(0,ln )22k -上单调递增，因为()00t =，所以对任意()12(0,ln ),022k x t x -∈>符合题意， 此时取120min{0,ln }22k m -<≤，可得对任意(0,)x m ∈，都有()()2f x g x x ->. ②当02k <≤时，有（1）结合函数的图象知2(21)0(0)x e x x -+≥>，所以()()221(21)(2)(2)0x x f x g x ekx e x k x k x -=--=-++-≥-≥对任意0x >都成立， 所以()()2f x g x x ->等价于2(2)10x ek x -+->， 设()2(2)1x x e k x ϕ=-+-，则()22(2)x x e k ϕ'=-+，由()0x ϕ'>得()12ln ,022k x x ϕ+'><得，12ln 22k x +<， 所以()x ϕ在12(0,ln )22k -上单调递减，注意到()00ϕ=， 所以对任意()12(0,ln ),022k x x ϕ-∈<，不符合题设，总数所述，k 的取值范围为(4,)+∞.22.（1）由cos()4πρθ+=-cos sin )ρθρθ-=-化成直角坐标方程，得)2x y -=-l 的方程为40x y -+=， 依题意，设(2cos ,2sin )P t t ，则P 到直线l的距离2cos()4d t π===+， 当24t k πππ+=+，即32,4t k k Z ππ=+∈时，min 1d =. （2）因为曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，所以对t R ∀∈，有cos 2sin 40a t t -+>恒成立，)4t t ϕ+>- （其中2an aϕ=）恒成立，4<，又0a >，解得0a <<故的取值范围为.23.解：（1）当2x =时，()2g x a x =--取得最大值为a ，因为()134f x x x =++-≥，当且仅当()13,x f x -≤≤取最小值4，因为关于x 的不等式()()g x g x <有解，所以4a >，即实数a 的取值范围是(4,)+∞.（2）当72x =时，()5f x =， 则77()2522g a =-++=，解得132a =， 所以当2x <时，()922g x =+， 令()942g x x =+=，得1(1,3)2x =-∈-， 所以12b =-，则6a b +=.。