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同角三角函数的基本关系与诱导公式第二节••＞必过数材美(1)平方关系：2 2sin a+ cos a= ；(2)商数关系：sin a tan a= .cos a1.同角三角函数的基本关系式组序一-二二三四五六角2k n+ oc(k€ Z) n+ a—a n— a n2 ― a三+ a2正弦sin a—sin a—sin a sin a cos a竺』余弦cos a—cos a cos a—cos_a sin a—sin a正切tan a tan a—tan a—tan_a 口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限记忆规律奇变偶不变，符号看象限2.诱导公式［小题体验］1.已知sin 35,a€ 0,寸，贝"sin(卄 %)=答案:2.若tan 0= 2，则2cos a 3抽a的值为3cos a+ 4sin a答案:1 103.化简sin(- 1 071°sin 99°+ sin(- 171°sin(—261 °的结果为________ .解析：原式=(—sin 1 071°sin 99°+ sin 171°sin 261°=—sin(3X 360。
一9°)sin(90°+ 9°+ sin(180°—9°sin(270°—9° = sin 9°os 9°—sin 9°os 9°= 0.答案：0必过易措关1利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数, 其步骤：去负一脱周一化锐.特别注意函数名称和符号的确定.2•在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号. 3.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化. ［小题纠偏］51.已知a 是第二象限角，Sin a= 13贝V COS a=2. (1)sin ― 315= (2)tan答案：⑴屮（2）33.已知tan考点一 三角函数的诱导公式 基础送分型考点- ［题组练透］自主练透1.(2018 宁波模拟)sin 210°cos 120°的值为()B •-警111解析：选 A sin 210°os 120 — sin 30°- cos60° = 1X 2 盲2. （2019嵊州模拟）已知sin （ n M_ —寸，贝V cos& —竽丿的值为（ ）B.解析：选B 因为sin （廿a = -1=— sin a,所以cos3n 1 a — 2 _ 一 sin a - 一 2~3，贝U tan” (—2sin a 'f — cos a 什 cos af ( a=1 + sin 2a+ sin a —CO$a2sin g ：OS a+ COS a_ COS a l + 2sin a 2sin a+ sin a sin a 1 + 2sin a 1 tan a3、nV aV 2 n COS (a — 7 n 尹一 5，求 sin(3 + a tan［谨记通法］1.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤任意塑 枉意正 利用诱导0 — 211 利用透导和的 山的的他的处式二三角旳函数也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了. 2.利用诱导公式化简三角函数的要求 (1) 化简过程是恒等变形；(2) 结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.答案：—二34.(易错题)设f ( a=2sin n+ a COS n — 2 J 3 n , 1 + sin a+ cos —+ a — COS n+ a」+ aa — sinsin — 丫的值.a —亍的值.解: • ' COS (a — 7 n ) COS (7 n — M = COS ( 一 M =—a=—二 COS a= 35=sin( n+ a解:5.已知tan6••• sin(3 n+ a t a n考点二同角三角函数的基本关系重点保分型考点［典例引领］一sin a+ 3cos a . .21.已知3cos a—sin a = 5，则解析:tan a+ 3 .依题意得：3—a+a=5,tan a= 2.二sin2a—sin2sin a—sin ocos a acos a=sin师生共研cocos a的值为（a+ COS a 22— 2 25.2.已知sinm—30= m+^，cos4—2m0=解析: 因为sin 0=心,m + 5cos 0= g，所以sin2 0+ 加0=吧2+ 4—202m+ 5 vm 5 丿,m+ 5 丿m+ m+ 5 1，解得m= 8, 所以sin 0= 13, cos 0=—卷，所以tan 0=詈量=—务所以tan(k n+ 0(k€ Z)=tan 0=— 5 12.答案: 5 123.已知sin 0+ cos 0= 3, 0€ 0,n，贝U sin 0—cos 0的值为解析: 因为(sin 0+ cos 02= sin20+ cos20+ 2sin 0 cos 0= 1 + 2sin 9cos 0= ¥，所以2sin97 0cos 0= 9,2 2 2 2 则(sin 0—cos 0 = sin 0+ cos 0—2sin 0cos 0= 1 —2sin 0cos 0= 9.又因为0€ [p,所以sin 0v cos 0,即sin 0—cos 0< 0,所以sin 0—cos 0=—弋.3答案：—［由题悟法］2 tan a—tan a2 = ~2tan a+ 1 2 + 1222 2［即时应用］—cos 3有最大值43.已知 sin acos a= 8,且宁< a< 3n，则 cosa- sin a的值为(1.5若sin a=- 13，且a 为第四象限角，则 tan a 的值等于（ 12 5 B .12 5 5 12_5 12解析：选D 法一：因为a 为第四象限的角,故 cos a= 1 — sin a=-132=挣—_5_ sin a 135 所以tan a= =cos a 1213 12'法二：因为a 是第四象限角, 且sin a=— 13，所以可在a 的终边上取一点 P （12 , — 5）,13则tan a= y2. （2019缙云模拟）设sin a+ sin 3=寸，贝V sin a — cos ? 3的最大值为（ ）1112解析: 1 1 2选 D 因为 sin a+ sin 3= 3，所以 sin a= ；— sin 3因为一1w sin a< 1，所以一~3 3 3< sin pw 1.1 2 11 当 sin 2 -12,当 Sin卜― ,sin a0=—U3cos(2—0 , |q <n ，贝 y 0等于( )解析：选B • •• cos av 0,sin av 0 且 |cos a v |sin a, • cos a — sin a>0, 21 3又(cos a — sin a = 1 — 2sin 久cos a= 1 — 2 x-= 4,• cos a — sin a='.24.已知sin( —aV n ，贝V sin a — cos a= 解析： 由 sin( — a) — cos( n- a=¥，得 sin a+ cos a=¥，①3 32 7将①两边平方得1 +2sin 处0s a = 2，故2sin 〃os a =- 9.■ 2 ■ •- (sin a — cos a) = 1 — 2sin 久cos a= 1 —-7 =普. n 4又 T 一 V aV n, •• sin a> 0 , cos aV 0. • Sin a — COS a= .23答案：4一抓基础，多练小题做到眼疾手快1.n所以 tan a=tana =— sin a=n 3 3 =_3.3所以 sin a=—于.因为| av n，所以a=—2.已知 sin( n3B .-n 解析：选 D ■/ sin( n 0)= —. 3cos(2 —0),•••— sin B= — /cos 0, ••• tan 0=^/3.•- 10|< n, • 0=n3. （2019嘉兴模拟）已知sin a, cos a 是方程3x 2— 2x + a = 0的两个根，则实数 a 的值为（）sin a+ cos a= §, sin 久cos a=亍所以 sin 2 a+ cod a= (sin a+ cosa)2— 2sin acos a= 4 —竽=1,解得 a =— 6.4. 1 — 2sin n+ 2 cos n+ 2 =()C. ±sin 2— cos 2)解析：选 A - 1 — 2sin n+ 2 cos n+ 2=1 — 2sin 2 cos 2= sin 22— 2sin 2 cos 2+ cos ?2 =|sin 2— cos 2|. 又• n< 2< n,2• sin 2>0, cos 2< 0.• |sin 2— cos 2= sin 2— cos 2.5.如果sin( n A) = 2那么cos^— A j 的值是 ______________解析：• sin(卄 A)= 2，•— sin A =*.—保咼考，全练题型做到咼考达标解析：选B 因为tan （ a — n ）3解析：选B 由题可得,A. sin 2— cos 2B. cos 2— sin 2D . sin 2+ cos 23 厂1.已知 tan( a — n )”，且•. cos3 所以 tan a= 一.4 又因为a€ 所以a 为第三象限的角， (n 4 sin a+ 2 = cos a=— 5. 2.已知 f(x) = asin(nc+ a) + bcos(nc+ 3+ 4,若 f(2 018) = 5,贝U f(2 019)的值是( ) B . 3 解析：选 B •/ f(2 018) = 5, ••• asin(2 018 n+ a) + bcos(2 018 n+ 4= 5, 即 asin a+ bcos = 1. • f(2 019) = asin(2 019 n+ a) + bcos(2 019 n+ 4 =— asin a — bcos 3+ 4=— 1 + 4 = 3.cos (1 009 — 2 %)的值为( ) 3. （2018宁波五校联考）已知倾斜角为 a 的直线 l 与直线 x + 2y — 3 = 0垂直，则解析: 选B 由题意可得tan a= 2, 2 cos a — sin a 所以 cos (1 009 n — 2 a)=— cos2a =— 2 T~ sin a+ cos a‘ 丄 2 1 — tan a 32 = _ tan a+1 5. 4.当-为第二象限角，且 sin 1 — sin ---的值是(解析：选 B •/ sin +7 =B .=i 时，寸1 — sin - . - 一. . = =—1.- - - - cos 2 — Sin 2 cos 2 — sin 25.若 sin a 是 5x 2— 7x — 6= 0 的根，则•-在第一象限，且cos -e < si 2-n 2,所以 cos ~7：+ 0 + sin 孑—0 = 0.答案：0 18. (2019 义乌模拟)已知 tan( — a = -2，则 sin 2a —2co(a 1解析：因为 tan( — a =- tan a =- 2，所以 tan a = 2•所以 sna^cos^ sin 2 a — 2cof a2 s tan a+ 1 4 + 1 5 2 = = _ tan a — 24 — 2 2.答案：59. (2018嘉兴七校联考)已知cos(75+ a)=寻，a 是第三象限角.求sin(195°— a)+ cos(a sin — a 2 n — a =( 解析：选 B 由 5x 2— 7x — 6= 0,得 x = — 3或 x = 2. 5 ‘ 2 3 cos a — cos a tan a 1 5 则 sin a=— .故原式= =sin =-. 5 sin a (— sin a •— sin a — sin a 3 若sin 0, cos 0是方程4x 2 + 2mx + m = 0的两根，则 m 的值为( 6.1+ J .'5 B . 1 — ,5 1 ±. 5 解析：选 B 由题意知sin 0+cos■/ (sin 0+ cos 0)2= 1 + 2sin 9cos 0, /• m W 0 或 解析：由题意知，cos^n* cosn — n —0=a ,.2 2 Sin a+ COS a兀+ a—15°的值.解：因为cos(75° + a= 73,且a 是第三象限角，所以75°+ a 是第四象限角，所以sin(75°13+ a =— 1 — cos 75° + a=— 所以 sin(195° — a) + cos(a — 15°) = sin( a — 15°) + cos(a — 15°) = sin [( a+ 75° —90° + cos [( a+ 75° — 90° =— cos(a + 75° + sin(a+ 75° =—卷一曙 171?10.已知 sin(3 + 0 = 3 求 ------- ；0丫+ 0一1]+3 cos 0[cosn — 0 — 1]cos 0— 2 n：os 0— n —sin —的值. 0 1解：■/ sin(3 卄 0)=— sin 0= 3, 3 ••• sin 0=—丄 3H 亠 —cos 0 •原式= + cos 0 — cos 0— 1 \ 2 ~2 cos 0 _____ cos 0 • — cos 0)+ cos 0 =—2—= 18 —12 . I 3丿 —+ 1 + cos 0 cos 0 cos ? cos 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1. sin 21 °+ sin 22°+…+ sin 290°= 2 2 2 2 2解析：sin 1 ° + sin 2°+ …+ sin 90 °= sin 1 ° + sin 2°+ …+ sin_44° + sin_45° + cos 44° + 2 一一。
第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式_1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.2．诱导公式[小题体验]1．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin(π＋α)＝______. 答案：－452．若tan θ＝12，则2cos α－3sin α3cos α＋4sin α的值为________．答案：1103．化简sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)的结果为________． 解析：原式＝(－sin 1 071°)sin 99°＋sin 171°sin 261°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＝0. 答案：01．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． 3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化． [小题纠偏]1．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝________. 答案：－12132．(1)sin ⎝⎛⎭⎫－31π4＝________， (2)tan ⎝⎛⎭⎫－26π3＝________. 答案：(1)22(2) 3考点一 三角函数的诱导公式(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2018·宁波模拟)sin 210°cos 120°的值为( ) A ．14B ．－34C ．－32D ．34解析：选A sin 210°cos 120°＝－sin 30°(－cos 60°)＝12×12＝14.2．(2019·嵊州模拟)已知sin(π＋α)＝－12，则cos ⎝⎛⎭⎫a －3π2的值为( ) A ．12B ．－12C ．32D ．－32解析：选B 因为sin(π＋α)＝－12＝－sin α，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝－sin α＝－12. 3．已知tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝________. 解析：tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝tan ⎝⎛⎭⎫π－π6＋α ＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33.答案：－334．(易错题)设f (α)＝2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋α⎝⎛⎭⎫sin α≠－12，求f ⎝⎛⎭⎫－23π6的值． 解：∵f (α)＝(－2sin α)(－cos α)＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α ＝cos α(1＋2sin α)sin α(1＋2sin α)＝1tan α， ∴f ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π6＝1tan π6＝ 3. 5．已知π＜α＜2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－7π2的值． 解：∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35.∴sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－7π2 ＝sin(π＋α)·⎣⎡⎦⎤－tan ⎝⎛⎭⎫7π2－α＝sin α·tan ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin α·sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α·cos αsin α＝cos α＝35.[谨记通法]1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．” 2．利用诱导公式化简三角函数的要求 (1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值． 考点二 同角三角函数的基本关系(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值为( )A ．－15B ．－25C ．15D ．25解析：选D 依题意得：tan α＋33－tan α＝5，∴tan α＝2.∴sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25.2．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5(m ≠0)，则tan(k π＋θ)(k ∈Z)的值为________．解析：因为sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，所以sin 2θ＋cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1，解得m ＝8，所以sin θ＝513，cos θ＝－1213，所以tan θ＝sin θcos θ＝－512.所以tan(k π＋θ)(k ∈Z )＝tan θ＝－512. 答案：－5123．已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为________． 解析：因为(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θ＝1＋2sin θcos θ＝169，所以2sin θcos θ＝79，则(sin θ－cosθ)2＝sin 2θ＋cos 2θ－2sin θcos θ＝1－2sin θcos θ＝29.又因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以sin θ＜cos θ，即sin θ－cos θ＜0， 所以sin θ－cos θ＝－23. 答案：－23[由题悟法]同角三角函数基本关系式的应用技巧1．若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A ．125B ．－125C ．512D ．－512解析：选D 法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫－5132＝1213， 所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512.法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝y x ＝－512.故选D.2．(2019·缙云模拟)设sin α＋sin β＝13，则sin α－cos 2β的最大值为( )A ．－35B ．－23C ．－1112D ．49解析：选D 因为sin α＋sin β＝13，所以sin α＝13－sin β.因为－1≤sin α≤1，所以－23≤sin β ≤1.所以sin α－cos 2β＝13－sin β－1＋sin 2β＝⎝⎛⎭⎫sin β－122－1112，当sin β＝－23时，sin α－cos 2β有最大值49. 3．已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32B ．32C ．－34D ．34解析：选B ∵5π4＜α＜3π2，∴cos α＜0，sin α＜0且|cos α|＜|sin α|， ∴cos α－sin α＞0，又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32. 4．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23⎝⎛⎭⎫π2＜α＜π，则sin α－cos α＝________.解析：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23，得sin α＋cos α＝23，① 将①两边平方得1＋2sin αcos α＝29，故2sin αcos α＝－79.∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－⎝⎛⎭⎫－79＝169. 又∵π2＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0.∴sin α－cos α＝43.答案：43一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·嘉兴七校联考)已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝32，且|α|＜π2，则tan α＝( ) A ．－33B ．33C ．－ 3D ． 3解析：选C 因为cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α＝32，所以sin α＝－32.因为|α|＜π2，所以α＝－π3，所以tan α＝tan ⎝⎛⎭⎫－π3＝－ 3.2．已知s in(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C ．π6D ．π3解析：选D ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， ∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3. ∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.3．(2019·嘉兴模拟)已知sin α，cos α是方程3x 2－2x ＋a ＝0的两个根，则实数a 的值为( ) A ．56B ．－56C ．43D ．34解析：选B 由题可得，sin α＋cos α＝23，sin αcos α＝a 3.所以sin 2α＋cos 2α＝(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝49－2a3＝1，解得a ＝－56.4．1－2sin (π＋2)cos (π＋2)＝( ) A ．sin 2－cos 2 B ．cos 2－sin 2 C ．±(sin 2－cos 2) D ．sin 2＋cos 2解析：选A1－2sin (π＋2)cos (π＋2)＝1－2sin 2·cos 2＝sin 22－2sin 2·cos 2＋cos 22＝|sin 2－cos 2|. 又∵π2＜2＜π，∴sin 2＞0，cos 2＜0. ∴|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.5．如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎝⎛⎭⎫3π2－A 的值是________． 解析：∵sin(π＋A )＝12，∴－sin A ＝12.∴cos ⎝⎛⎭⎫3π2－A ＝－sin A ＝12. 答案：12二保高考，全练题型做到高考达标1．已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝( ) A ．45B ．－45C ．35D ．－35解析：选B 因为tan(α－π)＝34，所以tan α＝34.又因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2， 所以α为第三象限的角， sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α＝－45. 2．已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4，若f (2 018)＝5，则f (2 019)的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选B ∵f (2 018)＝5，∴a sin(2 018π＋α)＋b cos(2 018π＋β)＋4＝5， 即a sin α＋b cos β＝1.∴f (2 019)＝a sin(2 019π＋α)＋b cos(2 019π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝－1＋4＝3.3．(2018·宁波五校联考)已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则cos ()1 009π－2α的值为( ) A ．－35B ．35C ．2D ．－12解析：选B 由题意可得tan α＝2，所以cos ()1 009π－2α＝－cos 2α＝－cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝－1－tan 2αtan 2α＋1＝35.4．当θ为第二象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ2＋π2＝13时，1－sin θcos θ2－sin θ2的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．0解析：选B ∵sin ⎝⎛⎭⎫θ2＋π2＝13， ∴cos θ2＝13，∴θ2在第一象限，且cos θ2＜sin θ2， ∴1－sin θcos θ2－sin θ2＝－⎝⎛⎭⎫cos θ2－sin θ2cos θ2－sinθ2＝－1.5．若sin α是5x 2－7x －6＝0的根，则 sin ⎝⎛⎭⎫－α－3π2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－αtan 2(2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (π＋α)＝( )A ．35B ．53C ．45D ．54解析：选B 由5x 2－7x －6＝0，得x ＝－35或x ＝2.则sin α＝－35.故原式＝cos α(－cos α)·tan 2αsin α·(－sin α)·(－sin α)＝1－sin α＝53.6．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( ) A ．1＋ 5 B ．1－ 5 C ．1±5D ．－1－ 5解析：选B 由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m4.∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m2，解得m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.7．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________． 解析：由题意知，cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a .sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ， 所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. 答案：08．(2019·义乌模拟)已知tan(π－α)＝－2，则1sin 2α－2cos 2α＝________.解析：因为tan(π－α)＝－tan α＝－2，所以tan α＝2.所以1sin 2α－2cos 2α＝sin 2α＋cos 2αsin 2α－2cos 2α＝tan 2α＋1tan 2α－2＝4＋14－2＝52.答案：529．(2018·嘉兴七校联考)已知cos(75°＋α)＝513，α是第三象限角．求sin(195°－α)＋cos(α－15°)的值． 解：因为cos(75°＋α)＝513，且α是第三象限角，所以75°＋α是第四象限角，所以sin(75°＋α)＝－1－cos 2(75°＋α)＝－1213.所以sin(195°－α)＋cos(α－15°)＝sin(α－15°)＋cos(α－15°)＝sin [(α＋75°)－90°]＋cos [(α＋75°)－90°]＝－cos(α＋75°)＋sin(α＋75°)＝－513－1213＝－1713. 10．已知sin(3π＋θ)＝13，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ的值．解：∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，∴sin θ＝－13.∴原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θcos θ·(－cos θ)＋cos θ＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝2⎝⎛⎭⎫－132＝18. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________.解析：sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＋sin 290°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋sin 290°＝44＋12＋1＝912.答案：9122．已知f (x )＝cos 2(n π＋x )·sin 2(n π－x )cos 2[(2n ＋1)π－x ](n ∈Z)．(1)化简f (x )的表达式；(2)求f ⎝⎛⎭⎫π2 018＋f ⎝⎛⎭⎫504π1 009的值．解：(1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时， f (x )＝cos 2(2k π＋x )·sin 2(2k π－x )cos 2[(2×2k ＋1)π－x ]＝cos 2x ·sin 2(－x )cos 2(π－x )＝cos 2x ·(－sin x )2(－cos x )2＝sin 2x ； 当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时， f (x )＝cos 2[(2k ＋1)π＋x ]·sin 2[(2k ＋1)π－x ]cos 2{[2×(2k ＋1)＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋(π＋x )]·sin 2[2k π＋(π－x )]cos 2[2×(2k ＋1)π＋(π－x )]＝cos 2(π＋x )·sin 2(π－x )cos 2(π－x )＝(－cos x )2sin 2x (－cos x )2＝sin 2x ， 综上得f (x )＝sin 2x .(2)由(1)得f ⎝⎛⎭⎫π2 018＋f ⎝⎛⎭⎫504π1 009 ＝sin 2π2 018＋sin 21 008π2 018＝sin 2π2 018＋sin 2⎝⎛⎭⎫π2－π2 018 ＝sin 2π2 018＋cos 2π2 018＝1.。
专题4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，sin xcos x＝tan x．2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．知识点一同角三角函数的基本关系1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．(2)商数关系：tanα≠kπ＋π2，k∈2．同角三角函数基本关系式的应用技巧技巧解读适合题型切弦互化主要利用公式tanθ＝sinθcosθ化成正弦、余弦，或者利用公式sinθcosθ＝tanθ化成正切表达式中含有sinθ，cosθ与tanθ“1”的变换1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝(sinθ±cosθ)2∓2sinθcosθ＝tanπ4表达式中需要利用“1”转化和积转换利用关系式(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ进行变形、转化表达式中含有sinθ±cosθ或sinθcosθ知识点二三角函数的诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sinα－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α余弦cosα－cos_αcos_α－cos_αsin_α－sin_α正切tanαtan_α－tan_α－tan_α考点一三角函数的诱导公式【典例1】（广东省实验中学2018-2019学年高一下学期期末）角α的终边在直线2y x =上，则()()()()sin cos sin cos αππαπαπα-+-=+--（）A ．13B ．1C ．3D ．1-【方法技巧】1.诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了．2．含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.3．三角形中的三角函数关系式sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ；cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ；sin A 2＋B 2sin π2－C 2cos C 2；cos A 2＋B 2＝cos π2－C 2sin C 2.【变式1】（甘肃省武威第一中学2018-2019学年质量检测）已知()()sin 22sin 3cos 5πααα-=+-，则tan α（）A ．6-B ．6C ．23-D ．23考点二同角三角函数的基本关系及应用【典例2】(2019·高考全国卷Ⅱ)已知α∈0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝()A.15 B.55 C.33 D.255【方法技巧】同角三角函数关系式的应用方法(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．(3)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(4)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.【变式2】（广东省深圳市高级中学2018-2019学年高一下学期期中）α是第三象限角，且sin -2α=，则tan α=（）A ．BC ．-3D ．33考点三同角三角函数的基本式和诱导公式的综合应用【典例3】（广东省海珠区2018-2019学年期末）已知sin cos 5x x +=，则cos 2=2x π⎛⎫- ⎪⎝⎭（）A ．725B ．725-C ．45D ．45-【方法技巧】同角三角函数基本关系在求值与化简时，常用方法有(1)弦切互化法：主要利用公式tan x ＝sin x cos x 进行切化弦或弦化切，如a sin x ＋b cos x c sin x ＋d cos x，a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 等类型可进行弦化切．(2)和积转换法：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α可以知一求二．(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2θtan π4＝….【变式3】（江西省吉安市2019届高三教学质量检测）已知()tan 2019πθ2-+=-，则ππθsin θ64⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A ．2-B ．15+C ．35+D ．35。
第02节 同角三角函数的基本关系及诱导公式【考纲解读】个函数值中【知识清单】1．同角三角函数的基本关系式 同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R )． (2)商数关系：tan α＝cos αsin α，k ∈Z π. 2．利用诱导公式化简求值 六组诱导公式对于角“2kπ±α”(k ∈Z )的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”3．特殊角的三角函数值（熟记）【重点难点突破】考点1 同角三角函数的基本关系式【1-1】若为第三象限，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为为第三象限，所以．因此，故选择B．【1-2】【2017届浙江杭州地区四校高三上学期联考】已知，，则的值为（）A. B.C. D.【答案】B.【1-3】【2018届陕西省咸阳市一模】已知为第二象限角，且，则（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】 由，可得，所以，所以， 又因为为第二象限角，则，所以，所以，故选A.【领悟技法】1.利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用cos αsin α＝tan α可以实现角α的弦切互化．2.注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α. 3. 三角函数求值与化简必会的三种方法(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=;形如,a sin 2x+b sin x cos x+c cos 2x等类型可进行弦化切.(2)“1”的灵活代换法:1=sin 2θ+cos 2θ=(sin θ+cos θ)2-2sin θcos θ=tan 等.(3)和积转换法:利用(sin θ±cos θ)2=1±2sin θcos θ,(sin θ+cos θ)2+(sin θ-cos θ)2=2的关系进行变形、转化. 【触类旁通】【变式一】若，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2【答案】C【解析】，因此得，由于，，因此，，由于， ，又由于，，得，故答案为C.【变式二】【2017安徽马鞍山二模】已知，则（ ）A. B. C. D. 2【答案】D【变式三】【2018届贵州省贵阳市8月摸底】已知，则__________．【答案】-3【解析】考点2 利用诱导公式化简求值【2-1】【2018届贵州省贵阳市适应性考试（二）】已知,且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题设条件可得，再根据同角三角函数关系式可得，，然后根据诱导公式化简，即可得解.详解：∵∴∵∴，则.∵∴故选A.【2-2】【2018届江西省六校第五次联考】已知，，则__________.【答案】【解析】∵，∴cosα<0.∵7sin2α=2cosα,即14sinαcosα=2cosα,∴，则.【2-3】化简【答案】当时，原式当时，原式【解析】（1）当时，原式；（2）当时，原式.【领悟技法】1.利用诱导公式化简三角函数的基本思路:(1)分析结构特点,选择恰当公式;(2)利用公式化成单角三角函数;(3)整理得最简形式.2.化简要求:(1)化简过程是恒等变形;(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.3.用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有-α与+α,+α与-α,+α与-α等,常见的互补关系有-θ与+θ,+θ与-θ,+θ与-θ等.4.利用诱导公式化简求值的步骤:(1)负化正;(2)大化小;(3)小化锐;(4)锐求值.【触类旁通】【变式一】若，是第三象限的角，则（）A． B． C． D．【答案】B.【解析】由题意，因为是第三象限的角，所以，因此.【变式二】【2018届浙江省名校协作体上学期】已知，且，则_____，_____．【答案】【变式三】已知，求【答案】18【解析】由题有，，原式【易错试题常警惕】易错典例：,那么( )A. B. - C. D. -易错分析：(1)k值的正负一撮；（2）表达式符号易错正确解析：温馨提醒：1.本题主要考察诱导公式、同角三角函数的基本关系式的知识，注意切弦互化这一转化思想的应用.2.同角三角函数的基本关系式及诱导公式要注意角的范围对三角函数符号的影响,尤其是利用平方关系求三角函数值,进行开方时要根据角的范围,判断符号后,正确取舍.3.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。
2020年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）第四章 三角函数与解三角形第02讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式 ---讲1. 理解同角三角函数的基本关系.2. 掌握正弦、余弦、正切的诱导公式.3.高考预测： （1）1.公式的应用.（2）高考对同角三角函数基本关系式和诱导公式的考查方式以小题或在大题中应用为主． 4.备考重点：（1）掌握诱导公式，注意灵活运用诱导公式进行三角函数的求值运算和沟通角度之间的联系； （2）掌握同角三角函数基本关系式，注意同角的三个函数值中知一求二.知识点1．同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R )． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z .【典例1】（2019·北京高考模拟（文））已知，且tan α=sin α=（ ）A ．33-B ．36-C ．36 D 【答案】B 【解析】 因为， >0，故3(,)2παπ∈ 即， 又，解得：sin α=36-故选 ：B 【规律方法】同角三角函数关系式的应用方法(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．【变式1】（2019·全国高考模拟（文））若α∈（π2，π），sin α=3，则tan α=（ ）A ．B ．C ．2-D【答案】C 【解析】∵α∈（2π，π），且sin α，∴cos α=-，则tan α= ． 故选：C ．知识点2．利用诱导公式化简求值六组诱导公式对于角“k π2±α”(k ∈Z )的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”【典例2】（2016·全国高考真题（文））已知θ是第四象限角，且sin （θ+）=，则tan （θ–）= . 【答案】【解析】∵θ是第四象限角，∴，则，又sin（θ），∴cos（θ）．∴cos（）＝sin（θ），sin（）＝cos（θ）．则tan（θ）＝﹣tan（）．故答案为：．【总结提升】用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有-α与+α,+α与-α,+α与-α等,常见的互补关系有-θ与+θ,+θ与-θ,+θ与-θ等. 【变式2】（2019·陕西高考模拟（文））已知，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，由诱导公式即可求解.因为，则．故应选C．知识点3．特殊角的三角函数值（熟记）【典例3】求值：sin(－1 200°)cos1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝ . 【答案】1 【解析】原式【总结提升】利用诱导公式化简求值的步骤:(1)负化正;(2)大化小;(3)小化锐;(4)锐求值. 【变式3】（2019·云南省玉溪第一中学高考模拟（文））等于（ ）A ．12B ．21-C D ．【答案】C 【解析】 由题，故选C.考点1 同角三角函数的基本关系式【典例4】（2019·上海高考模拟）设且，若，则______．【答案】1【解析】设且，若，所以：， =1,又+=1，， =1，又===，故答案为：1．【总结提升】(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.【变式4】（2019·江苏高考模拟）在平面直角坐标系中，若曲线与在上交点的横坐标为，则的值为_ __．【答案】【解析】由题可得：，解得：，又所以又，解得：所以考点2 sinα cosα与sinαcosα的关系及应用【典例5】（2019·山东高三期末（理））已知，，则（）A． B． C．或 D．或【答案】B【解析】由题意知，，①，即，，为钝角，，，，，②由①②解得，，故选B.【规律方法】三角函数求值与化简必会的三种方法(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=;形如,等类型可进行弦化切.(2)“1”的灵活代换法:等.(3)和积转换法:利用的关系进行变形、转化.【变式5】（2018·河北高考模拟（理））已知，，则的值为( )A． B． C． D．【答案】B【解析】 ∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，故选B.考点3 利用诱导公式化简求值【典例6】化简【答案】当时，原式1=-；当时，原式1=.【解析】（1）当时，原式；（2）当时，原式.【规律方法】1.利用诱导公式化简三角函数的基本思路:(1)分析结构特点,选择恰当公式;(2)利用公式化成单角三角函数;(3)整理得最简形式.2.化简要求:(1)化简过程是恒等变形;(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.【变式6】（2018届贵州省贵阳市适应性考试（二））已知,且，则（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】 ∵∴ ∵∴，则.∵ ∴故选A.考点4 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用【典例7】（2018·山东高三期中（文））若是的一个内角，且，则的值为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 已知是的一个内角，则0＜θ＜π，结合，可知sin θ＞0，cos θ＜0，=sin θ-cos θ，∵∴，∴.故选D.【总结提升】三角形中的三角函数关系式【变式7】（2019·河北高考模拟（文））已知，且α为第三象限角，则cos α=（ ）A ．3B ．-3C D ．3-【答案】B 【解析】∵，∴1 sin3α=-.∵，∴，即28cos9α=，又∵α为第三象限角，∴. 故选B.。
[基础达标]1．计算：sin 116π＋cos 103π＝( ) A ．－1 B ．1 C ．0D ．12－32解析：选A.原式＝sin ⎝⎛⎭⎫2π－π6＋cos ⎝⎛⎭⎫3π＋π3 ＝－sin π6＋cos ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－12－cos π3 ＝－12－12＝－1.2．已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝( ) A ．45B ．－45C ．35D ．－35解析：选B.由tan(α－π)＝34⇒tan α＝34.又因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以α为第三象限的角，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α＝－45. 3．已知sin (π＋θ)＝－3cos (2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C ．π6D ．π3解析：选D.因为sin (π＋θ)＝－3cos (2π－θ)， 所以－sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝ 3. 因为|θ|<π2，所以θ＝π3.4．已知sin (3π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin αcos α等于( )A ．－25B ．25C ．25或－25D ．－15解析：选A.因为sin (3π－α)＝sin (π－α)＝－2sin(π2＋α)，所以sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2，当α在第二象限时，⎩⎨⎧sin α＝255cos α＝－55，所以sin αcos α＝－25；当α在第四象限时，⎩⎨⎧sin α＝－255cos α＝55，所以sin αcos α＝－25，综上，sin αcos α＝－25，故选A.5．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值为( )A ．－15B ．－25C ．15D ．25解析：选D.依题意得tan α＋33－tan α＝5，所以tan α＝2.所以sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25.6．已知sin α＋3cos α＋1＝0，则tan α的值为( ) A ．43或34B ．－34或－43C ．34或－43D ．－43或不存在解析：选D.由sin α＝－3cos α－1，可得(－3cos α－1)2＋cos 2α＝1，即5cos 2α＋3cos α＝0，解得cos α＝－35或cos α＝0，当cos α＝0时，tan α的值不存在，当cos α＝－35时，sin α＝－3cos α－1＝45，tan α＝sin αcos α＝－43，故选D. 7．化简sin （π2＋α）cos （π2－α）cos （π＋α）＋sin （π－α）cos （π2＋α）sin （π＋α）＝________．解析：原式＝cos αsin α－cos α＋sin α（－sin α）－sin α＝－sin α＋sin α＝0.答案：08．已知sin ⎝⎛⎭⎫7π12＋α＝23，则cos ⎝⎛⎭⎫α－11π12＝________． 解析：cos ⎝⎛⎭⎫α－11π12＝cos ⎝⎛⎭⎫11π12－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π12＋α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π12＋α， 而sin ⎝⎛⎭⎫7π12＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π12＋α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π12＋α＝23， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α－11π12＝－23. 答案：－239．已知θ为第四象限角，sin θ＋3cos θ＝1，则tan θ＝________．解析：由(sin θ＋3cos θ)2＝1＝sin 2θ＋cos 2θ，得6sin θcos θ＝－8cos 2θ，又因为θ为第四象限角，所以cos θ≠0，所以6sin θ＝－8cos θ，所以tan θ＝－43.答案：－4310．(2019·杭州市富阳二中高三质检)若3sin α＋cos α＝10，则tan α的值为________；1cos 2α＋sin 2α的值为________． 解析：由3sin α＋cos α＝10，得到cos α＝10－3sin α，代入sin 2α＋cos 2α＝1得：sin 2α＋(10－3sin α)2＝1，得10sin 2α－610sin α＋9＝0，即(10sin α－3)2＝0， 解得sin α＝31010，cos α＝1010，则tan α＝sin αcos α＝3； 1cos 2α＋sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α ＝tan 2α＋11＋2tan α＝9＋11＋6＝107. 答案：310711．已知π＜α＜2π，cos(α－7π)＝－35，求sin (3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－7π2的值． 解：因为cos(α－7π)＝cos (7π－α)＝cos (π－α)＝－cos α ＝－35，所以cos α＝35.所以sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－7π2 ＝sin (π＋α)·⎣⎡⎦⎤－tan ⎝⎛⎭⎫7π2－α＝sin α·tan ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α·sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α·cos αsin α＝cos α＝35.12．已知α为第三象限角，f (α)＝sin （α－π2）·cos （3π2＋α）·tan （π－α）tan （－α－π）·sin （－α－π）.(1)化简f (α)；(2)若cos(α－3π2)＝15，求f (α)的值．解：(1)f (α)＝sin （α－π2）·cos （3π2＋α）·tan （π－α）tan （－α－π）·sin （－α－π）＝（－cos α）·sin α·（－tan α）（－tan α）· sin α＝－cos α.(2)因为cos(α－3π2)＝15，所以－sin α＝15，从而sin α＝－15.又α为第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－265，所以f (α)＝－cos α＝265.[能力提升]1．(2019·台州市高三期末评估)已知cos α＝1，则sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝( ) A ．12B ．32 C ．－12D ．－32解析：选C.因为cos α＝1⇒α＝2k π，所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2k π－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－sin π6＝－12，故选C.2．(2019·金华十校联考)已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32B ．32C ．－34D ．34解析：选B.因为5π4<α<3π2，所以cos α<0，sin α<0且|cos α|<|sin α|，所以cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，所以cos α－sin α＝32. 3．sin 43π·cos 56π·tan ⎝⎛⎭⎫－43π的值是________． 解析：原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫π－π6·tan ⎝⎛⎭⎫－π－π3 ＝⎝⎛⎭⎫－sin π3·⎝⎛⎭⎫－cos π6·⎝⎛⎭⎫－tan π3 ＝⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－32×(－3)＝－334.答案：－3344．若sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，则cos α＝________． 解析：因为sin α＝2sin β， ① tan α＝3tan β， tan 2α＝9tan 2β.② 由①2÷②得：9cos 2α＝4cos 2β. ③由①2＋③得sin 2α＋9cos 2α＝4. 又sin 2α＋cos 2α＝1， 所以cos 2α＝38，所以cos α＝±64.答案：±645．已知f (x )＝cos 2（n π＋x ）·sin 2（n π－x ）cos 2[（2n ＋1）π－x ](n ∈Z )．(1)化简f (x )的表达式； (2)求f ⎝⎛⎭⎫π12＋f ⎝⎛⎭⎫512π的值．解：(1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时， f (x )＝cos 2（2k π＋x ）·sin 2（2k π－x ）cos 2[（2×2k ＋1）π－x ]＝cos 2x ·sin 2（－x ）cos 2（π－x ）＝cos 2x ·（－sin x ）2（－cos x ）2＝sin 2x (n ＝2k ，k ∈Z )；当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，f (x )＝cos 2[（2k ＋1）π＋x ]·sin 2[（2k ＋1）π－x ]cos 2{[2×（2k ＋1）＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋（π＋x ）]·sin 2[2k π＋（π－x ）]cos 2[2×（2k ＋1）π＋（π－x ）]＝cos 2（π＋x ）·sin 2（π－x ）cos 2（π－x ）＝（－cos x ）2sin 2x （－cos x ）2＝sin 2x (n ＝2k ＋1，k ∈Z )． 综上得f (x )＝sin 2x . (2)由(1)得f ⎝⎛⎭⎫π12＋f ⎝⎛⎭⎫512π＝sin 2π12＋sin 25π12 ＝sin 2π12＋sin 2⎝⎛⎭⎫π2－π12 ＝sin 2π12＋cos 2π12＝1. 6．在△ABC 中，(1)求证：cos 2A ＋B 2＋cos 2 C 2＝1；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫π2＋A sin ⎝⎛⎭⎫32π＋B tan(C －π)＜0. 求证：△ABC 为钝角三角形．证明：(1)在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ， 所以A ＋B 2＝π2－C 2，所以cos A ＋B 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－C 2＝sin C2， 所以cos 2A ＋B 2＋cos 2C2＝1. (2)若cos ⎝⎛⎭⎫π2＋A ·sin ⎝⎛⎭⎫32π＋B ·tan(C －π)＜0，则(－sin A )(－cos B )tan C ＜0，即sin A cos B tan C ＜0.因为在△ABC 中，0＜A ＜π，0＜B ＜π，0＜C ＜π且sin A ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos B ＜0，tan C ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧cos B ＞0，tan C ＜0，所以B 为钝角或C 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形．。
