第2讲四边形相关证明(证明三)讲义

1. 菱形的性质学习目标：①通过折、剪纸张的方法，探索菱形独特的性质。

②通过学生间的交流、计论、分析、类比、归纳、运用已学过的知识总结菱形的特征。

教学重点：菱形的概念和菱形的性质，菱形的面积公式的推导。

教学难点：菱形的性质的理解及菱形性质的灵活运用。

学习过程： 活动一：1. 如何从一个平行四边形中剪出一个菱形来？的四边形叫做菱形，生活中的菱形有 。

2. 按探究步骤剪下一个四边形。

①所得四边形为什么一定是菱形？②菱形为什么是轴对称图形？ 有 对称轴。

图中相等的线段有： 图中相等的角有：③你能从菱形的轴对称性中得到菱形所具有的特有的性质吗？活动二：对比菱形与平行四边形的对角线 菱形的对角线：平行四边的对角线：活动三：菱形性质的应用1.菱形的两条对角线的长分别是6cm 和8cm ，求菱形的周长和面积。

平行四边形菱形 ？2.如图，菱形花坛ABCD 的边长为20cm ，∠ABC=60°沿菱形的两条对角线修建了两条小路AC 和BD ，求两条小路的长和花坛的面积。

随堂练习： 一、填空（1）菱形的两条对角线长分别是12cm ，16cm ，它的周长等于 ，面积等于 。

（2）菱形的一条边与它的两条对角线所夹的角比是3：2，菱形的四个内角是 。

（3）已知：菱形的周长是20cm ，两个相邻的角的度数比为1：2，则较短的对角线长是 。

（4）已知：菱形的周长是52 cm ，一条对角线长是24 cm ，则它的面积是 。

二、解答题已知：如图，在菱形ABCD 中，周长为8cm ，∠BAD=1200 对角线AC ，BD 交于点O ，求这个菱形的对角线长和面积。

菱形的性质作业1、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）A. 对角相等B. 对边相等C. 对角线互相垂直D. 对角线相等 2、 菱形的周长为100cm ，一条对角线长为14cm ，它的面积是（ ）A. 168cm 2B. 336cm 2C. 672cm 2D. 84cm 2 3、下列语句中，错误的是（ ）A. 菱形是轴对称图形，它有两条对称轴B. 菱形的两组对边可以通过平移而相互得到C. 菱形的两组对边可以通过旋转而相互得到D. 菱形的相邻两边可以通过旋转而相互得到4、菱形的两条对角线分别是6 cm ，8 cm ，则菱形的边长为_____，面积为______．5、四边形ABCD 是菱形，点O 是两条对角线的交点，已知AB ＝5, AO ＝4，求对角线BD 和菱形ABCD 的面积.A BC D O6、如图，在菱形ABCD中，∠ADC=120°，则BD：AC等于（）．（A）3：2 （B）3：3 （C）1：2 （D）3：17、菱形ABCD的周长为20cm，两条对角线的比为3∶4，求菱形的面积。

状元廊学校数学思维方法讲义之二年级：九年级§第2讲证明（四边形专题）【学习目标】1、牢记四边形的有关性质及其判定；2、运用四边形的性质及判定进行有关计算与证明；3、数学思想方法的合理运用。

【考点透视】1.平行四边形的性质及判定方法。

2.矩形的性质及判定方法。

3.菱形的性质及判定方法。

4.正方形的性质及判定方法。

5.梯形的概念及判定方法。

6.梯形问题的转化。

【数学思想方法】§Ⅰ梯形的常见辅助线的添加方法：通过添加辅助线，把梯形转化成平行四边形和三角形．（作高、平移腰、延腰、平移对角线、等积变化）§Ⅱ一招制胜——图形分离法【精彩知识】题型一:选择题【例1】如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A=120°，则阴影部分的面积是（）A．B．2 C．3 D．★考点感悟：●变式练习：1、如图，菱形ABCD 中，AB =2，∠A =120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK +QK 的最小值为( )A ． 1B ．C ． 2D ．＋12、如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点E 、F 、G 分别是BD 、AC 、DC 的中点.已知两底差是6，两腰和是12，则△EFG 的周长是（ ）A.8B.9C.10D.123、在面积为15的平行四边形ABCD 中，过点A 作AE 垂直于直线BC 于点E ，作AF 垂直于直线CD 于点F ，若AB ＝5，BC ＝6，则CE ＋CF 的值为（ ）A ．11＋B ．11－C ．11＋或11－D ．11－或1＋题型二:填空题【例2】如图，菱形ABCD 中，AB =AC ，点E 、F 分别为边AB 、BC 上的点，且AE =BF ，连接CE 、AF 交于点H ，连接DH 交AG 于点O ．则下列结论①△ABF ≌△CAE ，②∠AHC =120°，③AH +CH =DH ，④AD 2=OD ·DH 中，正确的结论是．●变式练习： 1. 如图，线段AC =n +1（其中n 为正整数），点B 在线段AC 上，在线段AC 同侧作正方形ABMN 及正方形BCEF ，连接AM 、ME 、EA 得到△AME ．当AB =1时，△AME 的面积记为S 1；当AB =2时，△AME 的面积记为S 2；当AB =3时，△AME 的面积记为S 3；…；当AB =n 时，△AME 的面积记为S n ．当n ≥2时，S n ﹣S n ﹣1=．2、如图，在四边形ABCD 中，AC =BD =6，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则EG 2+FH 2=。

第十八章、四边形章节复习辅导讲义一、四边形知识框架： 1.四边形的知识结构 2.平行四边形的知识结构 二、四边形1. 定义：有不在同一直线上的四条首尾依次连接的线段构成的封闭图形。

2. 四边形的表示：四边形一般由依次的四个大写的字母表示，如四边形ABCD 等。

3. 四边形的分类：（1） 按照四边形的凹凸性将四边形分为凸四边形和凹四边形。

注意：中学阶段学习的四边形都是凸四边形。

（2） 按照四边形对边的平行性将四边形分为： ① 一般四边形：任何对边都不平行的四边形。

② 梯形：只有一组对边平行的四边形； A. 梯形分类： a ．一般的梯形b ．等腰梯形：一组对边平行，另一组对边相等的四边形。

c. 直角梯形：有一个内角为直角的梯形。

（3） 平行四边形：两组对边分别平行的四边形。

① 平行四边形的分类： A. 一般的平行四边形 B. 矩形（长方形）：有一个较为直角的平行四边形。

C. 菱形：邻边相等的平行四边形。

D. 正方形：四条边都相等，四个内角也相等的四边形。

4. 四边形的内角和与外角和： （1） 四边形的内角和为360度 （2） 四边形的外角和为360度。

5. 四边形的性质：依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。

不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形【基础练习】1. 顺次连接一个任意四边形四边的中点，得到一个_______四边形． 2．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得四边形是_________．3. 如图1，已知：在ABCD 中，AB=4cm ，AD=7cm ，∠ABC 的平分线交AD•于点E ，交CD 的延长线于点F ，则DF=______cm ．4. 如图，四边形ABCD 为正方形，△ADE 为等边三角形，AC 为正方形ABCD 的对角线，则∠EAC ＝___度．5. 四边形ABCD 的对角线AC BD ，的长分别为m n ，，可以证明当AC BD ⊥时（如图1），四边形ABCD 的面积12S mn =，那么当AC BD ，所夹的锐角为θ时（如图2），四边形ABCD 的面积S = ．（用含m n θ，，的式子表示）1250°1 2A BC DB F C6.在如图所示的四边形中，若去掉一个50的角得到一个五边形，则12+=∠∠ 度．7.如图，已知AC 平分BAD ∠，12∠=∠，3AB DC ==， 则BC = ． 8.已知四边形ABCD 中，90A B C ∠=∠=∠=︒，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是____________．三、平行四边形（一） 平行四边形：1. 定义：两组对边分别平行的四边形。

状元廊学校数学思维方法讲义之二年级：九年级§第2讲证明（四边形专题）【学习目标】1、牢记四边形的有关性质及其判定；2、运用四边形的性质及判定进行有关计算与证明；3、数学思想方法的合理运用。

【考点透视】1.平行四边形的性质及判定方法。

2.矩形的性质及判定方法。

3.菱形的性质及判定方法。

4.正方形的性质及判定方法。

5.梯形的概念及判定方法。

6.梯形问题的转化。

【数学思想方法】§Ⅰ梯形的常见辅助线的添加方法：通过添加辅助线，把梯形转化成平行四边形和三角形．（作高、平移腰、延腰、平移对角线、等积变化）§Ⅱ一招制胜——图形分离法【精彩知识】题型一: 选择题【例1】如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A=120°，则阴影部分的面积是（）A．B．2 C．3 D．★考点感悟：●变式练习：1、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为( )A．1B．C．2D．＋12、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点.已知两底差是6，两腰和是12，则△EFG的周长是（）A.8B.9C.10D.123、在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB＝5，BC＝6，则CE＋CF的值为（）A．11＋B．11－C．11＋或11－D．11－或1＋3233113211321131131133题型二:填空题【例2】如图，菱形ABCD 中，AB =AC ，点E 、F 分别为边AB 、BC 上的点，且AE =BF ，连接CE 、AF 交于点H ，连接DH 交AG 于点O ．则下列结论①①ABF ①①CAE ，①①AHC =120°，①AH +CH =DH ，①AD 2=OD ·DH 中，正确的结论是 ．●变式练习：1. 如图，线段AC =n +1（其中n 为正整数），点B 在线段AC 上，在线段AC 同侧作正方形ABMN 及正方形BCEF ，连接AM 、ME 、EA 得到△AME ．当AB =1时，△AME 的面积记为S 1；当AB =2时，△AME 的面积记为S 2；当AB =3时，△AME 的面积记为S 3；…；当AB =n 时，△AME 的面积记为S n ．当n ≥2时，S n ﹣S n ﹣1= ．2、如图，在四边形ABCD 中，AC =BD =6，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则EG 2+FH 2= 。

平行四边形第2讲（平行四边形的判定及三角形中位线）命题点一：平行四边形判定定理的应用【思路点拨】延长AC后，证明AD∥BC，然后转化为证明三角形全等，得到四边形对角线互相平分，从而证得四边形ABCD是平行四边形．在解决几何证明时，全等三角形是解题的有效手段．例1如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点P，过点P作直线，交AD于点E，交BC于点F，若PE＝PF，且AP＋AE＝CP＋CF.证明：四边形ABCD为平行四边形．解：延长AC，在点C上方取点N，点A下方取点M，使AM＝AE，CN＝CF，则由已知可得PM＝PN，易证△PME≌△PNF，且△AME，△CNF都是等腰三角形．∴∠M＝∠N，∠MEP＝∠NFP.∴∠AEP＝∠PF C．∴AD∥B C．可证得△PAE≌△PCF，得PA＝PC，再证△PED≌△PFB，得PB＝P D．∴四边形ABCD为平行四边形．例2已知四边形ABCD是平行四边形，且满足AB＝BC，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF＝60°.如图所示，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB＝15°时，求点F到BC的距离．解：如图，连结EF，过点A作AH⊥EC于点H，过点F作FG⊥EC于点G.∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形．∴AB＝A C．∵∠EAF＝∠BAC＝60°，∴∠EAB＝∠FA C．∵∠AEB＝∠ABH－∠EAB＝60°－15°＝45°，且AB∥CD，∴∠AFC＝∠BAF＝60°－15°＝45°.∴△ABE≌△ACF.∴BE＝CF.∵BH＝CH＝2，AH＝23，∴EH＝AH＝2 3.∴EB＝CF＝EH－BH＝23－2.∵∠FCG＝∠ABC＝60°，∴FG＝32(23－2)＝3－ 3.【思路点拨】对于平行四边形的证明，首先通过证明△ADP≌△BEP，可得DP＝EP，从而通过对角线互相平分证得结论．而对于等腰三角形的证明，通过直角三角形的重要性质：斜边上的中线等于斜边的一半.例3如图，P是△ABC的边AB上一点，连结CP，BE⊥CP于点E，AD⊥CP，交CP的延长线于点D．(1)如图①，当P为AB的中点时，连结AE，BD，证明：四边形ADBE是平行四边形．(2)如图②，当P不是AB的中点时，取AB中点Q，连结QD，QE，证明：△QDE是等腰三角形．答图解：(1)∵P为AB的中点，∴AP＝BP.∵BE⊥CP，AD⊥CP，∴∠ADP＝∠BEP＝90°，且AD∥BE.又∵∠APD＝∠BPE，∴△ADP≌△BEP.∴DP＝EP.又∵AP＝BP，∴四边形ADBE是平行四边形．(2)如图，延长DQ交BE于点F.∵AD⊥CP，BE⊥CP，∴AD∥BE.∴∠DAQ＝∠FBQ.又∵∠AQD＝∠BQF，AQ＝BQ，∴△ADQ≌△BFQ.∴DQ＝FQ.又∵BE⊥DC，∴QE是Rt△DEF斜边上的中线．∴QE＝QF＝Q D．∴△QDE是等腰三角形．例4如图，四边形ABCD是平行四边形，AD＝AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上一点．(1)若ED⊥EF，求证：ED＝EF.(2)在题(1)的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论(请先补全图形，再解答)．(3)若ED＝EF，ED与EF垂直吗？若垂直，请给出证明．解：(1)如图①，连结CE.在▱ABCD中，∵AD＝AC，AD⊥AC，∴AC＝BC，AC⊥B C．∵E是AB的中点，∴AE＝EC，CE⊥A B．∴∠ACE＝∠BCE＝45°.∴∠ECF＝∠EAD＝135°.∵ED ⊥EF ，∴∠CEF ＝∠AED ＝90°－∠CE D ．在△CEF 和△AED 中，∵⎩⎨⎧∠CEF ＝∠AED ，EC ＝AE ，∠ECF ＝∠EAD ，∴△CEF ≌△AE D ．∴ED ＝EF .(2)连结CE .由题(1)知△CEF ≌△AED ，CF ＝A D ．∵AD ＝AC ，∴AC ＝CF .∵DP ∥AB ，∴FP ＝P B ．∴CP ＝12A B ．∴四边形ACPE 为平行四边形．(3)垂直．理由如下：过点E 作EM ⊥DA ，交DA 延长线于点M ，过点E 作EN ⊥AC 于点N . 在△AME 与△CNE 中∵⎩⎨⎧∠M ＝∠CNE ＝90°，∠EAM ＝∠NCE ＝45°，AE ＝CE ，∴△AME ≌△CNE .∴ME ＝NE .又∵∠DME ＝∠ENF ＝90°，DE ＝EF ， ∴△DME ≌△FNE .∴∠ADE ＝∠CFE .在△ADE 与△CFE 中，∵⎩⎨⎧∠ADE ＝∠CFE ，∠DAE ＝∠FCE ，DE ＝EF ，∴△ADE ≌△CFE (AAS )．∴∠DEA ＝∠FE C ．∵∠DEA ＋∠DEC ＝90°，∴∠FEC ＋∠DEC ＝90°.∴∠DEF ＝90°.∴ED ⊥EF .例5如图，E，F为△ABC中AB，BC的中点，在AC上取G，H两点，使得AG＝GH＝HC，EG与FH的延长线相交于点D，求证：四边形ABCD为平行四边形．证明：如图，连结BG，BH，连结BD交AC于点O.∵AG＝GH，∴G是AH的中点．∵在△ABH中，E是AB的中点，∴EG∥BH.∴GD∥BH.∵GH＝HC，∴H是CG的中点．∵在△CBG中，F是BC的中点，∴FH∥BG.∴DH∥BG.∴四边形BHDG是平行四边形．∴OG＝OH，OB＝O D．又∵AG＝HC，∴OA＝O C．∴四边形ABCD是平行四边形．命题点二：三角形中位线的性质和应用例6如图，AD为△ABC的角平分线，AB＜AC，在AC上截取CE＝AB，M，N分别为BC，AE的中点．求证：MN∥A D．证明：如图，连结BE，取BE中点F，连结FN，FM. ∵FN为△EAB的中位线，∴FN＝12AB，FN∥A B．∵FM为△BCE的中位线，∴FM＝12CE，FM∥CE.∵CE＝AB，∴FN＝FM.∴∠3＝∠4.∵∠4＝∠5，∴∠3＝∠5.∵∠1＋∠2＝∠3＋∠5，∠1＝∠2，∴∠2＝∠5.∴NM∥A D．例7如图①，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连结EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，则∠BME＝∠CNE(不需证明)．(1)如图②，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连结EF，分别交DC，AB于点M，N，判断△OMN的形状，请直接写出结论．(2)如图③，在△ABC中，AC >AB，D点在AC上，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连结EF并延长，与BA的延长线交于点G.若∠EFC＝60°，连结GD，判断△AGD的形状并证明．解：(1)△OMN为等腰三角形．(2)△AGD为直角三角形，证明如下：如图②，连结BD，取BD的中点H，连结HF，HE.∵F是AD的中点，∴HF∥AB，HF＝AB 2.同理，HE∥CD，HE＝CD 2.∵AB＝CD，∴HF＝HE.∵∠EFC＝60°，∴∠HEF＝60°. ∴∠HEF＝∠HFE＝60°.∴△EHF是等边三角形．∴∠3＝∠HFE＝∠EFC＝∠AFG＝60°.∴△AGF是等边三角形．∵AF＝FD，∴GF＝F D．∴∠FGD＝∠FDG＝30°.∴∠AGD＝90°，即△AGD是直角三角形．例8如图，E，F分别是四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，求证：EF<12(AB＋CD)．证明：如图，取BC的中点为G，连结EG，FG.∵点E，F分别为四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，∴FG＝12DC，EG＝12A B．答图∵在△EFG中，EF<EG＋FG，∴EF<12(AB＋CD)．课后练习1．A，B，C是平面内不在同一条直线上的三点，D是该平面内任意一点，若A，B，C，D四个点恰能构成一个平行四边形，则在该平面内符合这样条件的点D有( C ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8, 点D在BC上，在以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE能取的最小值是( B )A．4 B．6 C．8 D．103．如果三角形的两边长分别是方程x2－8x＋15的两个根，那么连结这个三角形三边的中点，得到的新三角形的周长可能是( A )A．5.5 B．5 C．4.5 D．44．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝10，BC＝15，MN ＝3，则△ABC的周长是( D )A．38 B．39 C．40 D．415．如图，P是▱ABCD内一点，且S△PAB＝5，S△PAD＝2，则涂色部分的面积为( B )A．4 B．3 C．5 D．66．如图所示，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线的中点，E，F分别是AB与CD的中点．若∠PEF＝20°，则∠EPF的度数是 140°.7．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE＝CD，F为CE的中点，G为CD上的一点，连结DF，EG，AG，∠1＝∠2.若CF＝2，AE＝3，则BE的长是7 .8．如图，AD∥BC，∠EAD＝∠EAB，∠EBA＝∠EBC，直线DC过点E交AD于点D，交BC于点C．若AD＝3，BC＝4，则AB＝ 7 .9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，E，F分别为CA，CB上一点，CE＝CF，M，N分别为AF，BE的中点．若MN＝2，则AE＝2 2 .10．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点F，M，N分别为AB，CD的中点，MN分别交BD，AC于点P，Q，且满足∠FPQ＝∠FQP，若BD＝10，则AC为 10 .11．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为BC的中点，DF⊥AE于点F，H为DF的中点，求证：CH⊥DF.证明：如图，分别延长AE和DC，交于点P.∵AB∥CP，∴∠ABE＝∠PCE.又∵CE＝BE，∠AEB＝∠PEC，∴△ABE≌△PCE.∴PC＝A B．又∵AB＝CD，∴PC＝CD，即C为PD的中点．∵H为DF的中点，∴CH为△DFP的中位线．又∵DF⊥AE，∴CH⊥DF.12．已知两个共一个顶点的等腰直角三角形ABC，等腰直角三角形CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，连结AF，M是AF的中点，连结MB，ME.(1)如图①，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF.(2)如图①，若CB＝a，CE＝2a，求BM，ME的长．(3)如图②，当∠BCE＝45°时，求证：BM＝ME.解：(1)延长AB交CF于点D，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，∴AB＝BC＝B D．∴B为线段AD的中点．又∵M为线段AF的中点，∴BM为△ADF的中位线．∴BM∥CF.(2)由题(1)知AB＝BC＝BD＝a，AC＝CD＝2a，BM＝12 DF.分别延长FE与CA交于点G，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形．∴CE＝EF＝GE＝2a，CG＝CF＝22A．∴E为FG中点．又∵M为AF中点，∴ME＝12AG.∵CG＝CF＝22a，CA＝CD＝2a，∴AG＝DF＝2A．∴BM＝ME＝12×2a＝22A．(3)延长AB交CE于点D，连结DF，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形．∴AB＝BC＝BD，AC＝C D．∴B为AD的中点．又∵M 为AF 中点，∴BM ＝12DF .延长FE 与CB 交于点G ，连结AG ，则易知△CEF 与△CEG 均为等腰直角三角形． ∴CE ＝EF ＝EG ，CF ＝CG .∴E 为FG 中点． 又∵M 为AF 的中点，∴ME ＝12AG .在△ACG 与△DCF 中，∵⎩⎨⎧AC ＝CD ，∠ACG ＝∠DCF ，CG ＝CF ，∴△ACG ≌△DCF (SAS )． ∴DF ＝AG .∴BM ＝ME .13．(2018·武汉市自主招生模拟题)如图，在四边形ABCD 中，M 为AB 的中点，且MC ＝MD ，分别过C ，D 两点作边BC ，AD 的垂线，设两条垂线的交点为P ，若∠PAD ＝35°，则∠PBC 的度数的是( B )A ．45°B ．35°C ．55°D ．65°14．如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF .设正方形的中心为O ，连结AO ，若AB ＝4，AO ＝62，则AC 的长为 16 .15．已知在△ABC 中，D 为AB 的中点，分别延长CA ，CB 到点E ，F ，使得DE ＝DF ，过点E ，F 分别作CA ，CB 的垂线，相交于点P .求证：∠PAE ＝∠PBF .证明：如图，分别取AP ，BP 的中点M ，N ，并连结EM ，DM ，FN ，DN .根据三角形中位线定理，可得DM∥BP，DM＝12BP＝BN，DN∥AP，DN＝12AP＝AM.∴∠AMD＝∠APB＝∠BN D．∵M，N分别为Rt△AEP，Rt△BFP斜边的中点，∴EM＝AM＝DN，FN＝BN＝DM.∵DE＝DF，∴△DEM≌△DFN(SSS)．∴∠EMD＝∠FN D．∴∠EMD－∠AMD＝∠FND－∠BN D．∴∠AME＝∠BNF.∴△AME，△BNF为顶角相等的等腰三角形．∴∠PAE＝∠PBF.。

四边形的证明方法
证明一个四边形存在或满足某些性质的方法有很多种，下面列举其中几种常用的证明方法：
1. 证明四边形的各边相等：可以通过证明四条边的长度相等或利用几何定理证明四边等长。

2. 证明四边形的各角相等：可以通过证明四个角的度数相等或利用几何定理证明四角相等。

3. 证明四边形是矩形：可以通过证明四个角都是直角或利用矩形的性质证明四边形是矩形。

4. 证明四边形是平行四边形：可以通过证明对边平行或利用平行四边形的性质证明四边形是平行四边形。

5. 证明四边形是菱形：可以通过证明四个边相等且对角线互相垂直或利用菱形的性质证明四边形是菱形。

6. 证明四边形是正方形：可以通过证明四个边相等且对角线互相垂直或利用正方形的性质证明四边形是正方形。

以上只是列举了一些常用的证明方法，具体的证明方法会根据具体的四边形性质和题目要求来确定。

在证明四边形的过程中，可以运用几何知识、几何定理和几何推理，其中关键是观察、发现问题中的性质和规律，并进行合理的推导和论证。

八年级数学四边形讲义全面完整版（全六讲）第一讲平行四边形的性质一、【基础知识精讲】1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．用符号“”表示．2．平行四边形的性质：(1) 平行四边形的对边平行且相等．(2) 平行四边形的对角相等，邻角互补。

(3) 平行四边形的对角线互相平分．3．两条平行线间的距离：(1) 定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离．(2) 两平行线间的距离处处相等．(3)平行线间的平行线段相等．4．平行四边形的面积：(1) 如图12-1-2①，．(（2）同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等．如图12-1-2②，有公共边BC，则．二、【例题精讲】例1（1）已知中，∠A比∠B小20°，那么∠C的度数是_______．（2）在中，周长为28，两邻边之比为3︰4，则各边长为_______ _．（3）一个平行四边形的一边长是8，一条对角线长是6，则它的另一条对角线x的取值范围为__________ ．（4）平行四边形邻边长是4 cm和8cm，较短边上的高是5 cm，则另一边上的高是____________．例2．已知：在□ABCD中，过AC与BD的交点O作直线，与BA、DC的两条延长线交于M、N两点，求证：OM＝ON．例3．如图，在□ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且AE∥CF，AE与CF相等吗？说明理由.【练一练】1. 已知□ABCD中，∠B=70°，则∠A=_____，∠C=_____，∠D=______．2．在ABCD中：①∠A: ∠B=5:4，则∠A=_______；②∠A+∠C=200°，则∠A=______，∠B=______；3．在□ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，则□ABCD的周长等于_______．4. 若平行四边形周长为54，两邻边之比为4:5，则这两边长度分别______________；5. 已知ABCD对角线交点为O，AC=24mm,BD=26mm, 若AD=22mm，则△OBC的周长为_________；【探究与拓展】例1、如图，已知ABCD中，若AD=2AB，AB=BF=AE，则EC与FD垂直，试说明其理由。