最新2.2等差数列第一课时教案

2.2等差数列一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》（人教版）第二章数列第二节等差数列第一课时。

数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。

一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。

而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。

同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法。

二、学生学习情况分析我所教学的学生是我校高二（2）班的学生，经过一年的学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。

三、设计思想1．教法⑴诱导思维法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。

⑵分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。

⑶讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。

2．学法引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式；可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法。

用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。

在引导分析时，留出“空白”，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。

四、教学目标通过本节课的学习使学生能理解并掌握等差数列的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列，引导学生了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，会求等差数列的公差及通项公式，能在解题中灵活应用，初步引入“数学建模”的思想方法并能运用；并在此过程中培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。

《等差数列》第一课时教学设计【摘要】本文主要介绍了《等差数列》第一课时的教学设计。

在阐述了课时主题和目标。

在正文中，包括了教学内容、教学重点、教学方法、教学步骤和教学资源等内容。

具体来说，教学内容包括等差数列的定义和性质，教学重点在于引导学生理解等差数列的概念和解题方法，教学方法主要以示例引导学生学习，教学步骤分为引入、讲解、练习和总结等环节，教学资源则是指教材、教具等教学辅助工具。

在进行了课时总结和教学反思，帮助教师总结教学经验和改进教学策略。

通过本文的介绍，有助于教师更好地设计和完成《等差数列》第一课时的教学任务。

【关键词】等差数列、第一课时、教学设计、目标、教学内容、教学重点、教学方法、教学步骤、教学资源、课时总结、教学反思1. 引言1.1 课时主题：《等差数列》第一课时教学设计《等差数列》是高中数学中非常重要的一个概念，它在数学和其他学科中都有广泛的应用。

第一课时的教学设计是为了帮助学生建立对等差数列的基本概念和认识，为后续学习打下坚实的基础。

本课时的主题是《等差数列》第一课时教学设计，旨在引导学生了解等差数列的定义、性质和相关计算方法，培养学生的数学思维和分析能力。

通过本课时的学习，学生将能够掌握等差数列的基本概念，理解等差数列的规律，掌握等差数列的通项公式和前n项和公式，培养学生的数学建模能力和解决问题的能力。

希望通过本课时的设计，能够激发学生对数学的兴趣，提高他们的学习成绩，为他们的未来学习和生活打下坚实的数学基础。

1.2 课时目标1. 理解等差数列的定义和性质，能够判断一个数列是否为等差数列；2. 能够求解等差数列的通项公式和前n项和公式；3. 能够应用等差数列的性质和公式解决实际问题；4. 培养学生的逻辑思维能力和数学推理能力；5. 激发学生对数学的兴趣，提高数学学习的积极性。

2. 正文2.1 1. 教学内容本课时的教学内容主要包括等差数列的定义、求公差、求首项、求项数以及等差数列的性质和应用。

2.2.1 等差数列第1课时 等差数列的概念及通项公式[教材·要点]1．等差数列定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数，那么这样的数列称为等差数列．这个常数叫作数列的公差，常用字母d 表示．2．等差中项如果b ＝a ＋c 2，那么数b 称为a 和c 的等差中项． 3．等差数列的递推公式与通项公式已知等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，填表： 递推公式通项公式 a n －a n －1＝d (n ≥2)a n ＝a 1＋(n －1)d[问题·引入]1．等差数列的公差d 可以为负数、正数、零吗？[提示] 可以，当a n <a n ＋1时，d >0，当a n ＝a n ＋1时，d ＝0，当a n >a n ＋1时，d <0.2．b ＝a ＋c 2是a ，b ，c 成等差数列的什么条件？ [提示] 充要条件3．如何理解等差数列的自然语言与符号语言的关系？[提示] 在数列{a n }中，若已知首项a 1，且满足a n －a n －1＝d (n ∈N ＋，n ≥2，d 为常数)或a n ＋1－a n ＝d (n ∈N ＋，d 为常数)，则数列{a n }为等差数列．可见，等差数列的意义用符号语言表示，即a 1＝a ，a n ＝a n －1＋d (n ≥2)，其本质是等差数列的递推公式．题型一 等差数列定义的应用 例1 (1)已知数列{a n }为等差数列且a 5＝11，a 8＝5，求a n .(2)求等差数列10,8,6，…的第20项．(3)100是不是等差数列2,9,16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由． 解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由等差数列的通项公式及已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝11，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝19，d ＝－2， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋21.(2)由于a 1＝10，d ＝－2，∴a n ＝10＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋12，∴a 20＝－2×20＋12＝－28.(3)由于a 1＝2，d ＝7，∴a n ＝2＋(n －1)×7＝7n －5，由7n －5＝100，得n ＝15.∴100是这个数列的第15项．规律总结先根据两个独立的条件解出两个量a 1和d ，进而再写出a n 的表达式，有几个独立的条件就可以解出几个未知量，这是方程思想的重要应用．变式训练1．已知等差数列{a n }中，a 5＝10，a 12＝31，求a 10和d .解 由等差数列的定义，可知a 12－a 5＝7d ＝31－10＝21，∴d ＝3.∴a 10＝a 12－2d ＝31－6＝25. 题型二 等差中项的应用例2 已知等差数列{a n }，满足a 2＋a 3＋a 4＝18，a 2a 3a 4＝66.求数列{a n }的通项公式．解 在等差数列{a n }中，∵ a 2＋a 3＋a 4＝18，∴3a 3＝18，a 3＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a 4＝12，a 2·a 4＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝11，a 4＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝1，a 4＝11. 当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 4＝1时，a 1＝16，d ＝－5. a n ＝a 1＋(n －1)d ＝16＋(n －1)·(－5)＝－5n ＋21.当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a 4＝11时，a 1＝－4，d ＝5. a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－4＋(n －1)·5＝5n －9.规律方法等差中项描述了等差数列中相邻三项之间的数量关系：a n －1＋a n ＋1＝2a n (n ≥2)．因此在等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它前一项与后一项的等差中项；反之，如果一个数列从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它前一项与后一项的等差中项，那么这个数列是等差数列．在具体解题过程中，如果a ，b ，c 成等差数列，常转化为a ＋c ＝2b 的形式去运用；反之，如果要证明a ，b ，c 成等差数列，只需证a ＋c ＝2b 即可． 变式训练2．已知数列{a n }满足a n －1＋a n ＋1＝2a n (n ≥2)，且a 2＝5，a 5＝13，则a 8＝________.【解析】由a n －1＋a n ＋1 ＝2a n (n ≥2)知，数列{a n }是等差数列，∴a 2，a 5，a 8成等差数列． ∴a 2＋a 8＝2a 5，∴a 8＝2a 5－a 2＝2×13－5＝21.【答案】213．已知1a ，1b ，1c 成等差数列，求证：b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c也构成等差数列． 证明 ∵1a ，1b ，1c为等差数列， ∴2b ＝1a ＋1c，即2ac ＝b (a ＋c )． ∵b ＋c a ＋a ＋b c ＝c (b ＋c )＋a (a ＋b )ac＝c 2＋a 2＋b (a ＋c )ac ＝a 2＋c 2＋2ac ac＝2(a ＋c )2b (a ＋c )＝2(a ＋c )b . ∴b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c为等差数列． 题型三 等差数列的判定例3 已知数列{a n }的通项公式a n ＝pn 2＋qn (p ，q ∈R ，且p ，q 为常数)．(1)当p 和q 满足什么条件时，数列{a n }是等差数列？(2)求证：对任意实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }是等差数列．(1)解 欲使{a n }是等差数列，则a n ＋1－a n ＝[p (n ＋1)2＋q (n ＋1)]－(pn 2＋qn )＝2pn ＋p ＋q 应是一个与n 无关的常数，所以只有2p ＝0.即p ＝0时，数列{a n }是等差数列．(2)证明 因为a n ＋1－a n ＝2pn ＋p ＋q ，所以a n ＋2－a n ＋1＝2p (n ＋1)＋p ＋q .而(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝2p 为一个常数，所以{a n ＋1－a n }是等差数列．规律总结判断一个数列是否为等差数列的常用方法 方法符号语言 定义法a n －a n －1＝d (常数)(n ≥2且n ∈N ＋) 等差中项法2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2且n ∈N ＋) 通项公式法a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数，n ∈N ＋)变式训练4．已知数列{a n }，满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列？说明理由．解 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列， 理由如下：∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2， ∴1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n ， ∴1a n ＋1－1a n ＝12， 即⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝12， 公差为d ＝12的等差数列. 题型四 等差数列通项公式及其应用例4 已知等差数列{a n }中，a 3＋a 5＝－14,2a 2＋a 6＝－15，求a 8.解 a 3＋a 5＝－14⇒a 1＋2d ＋a 1＋4d ＝2a 1＋6d ＝－14⇒a 1＋3d ＝－7.①又2a 2＋a 6＝－15⇒2(a 1＋d )＋a 1＋5d ＝－15⇒3a 1＋7d ＝－15.②解①②联立的方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－3， ∴a n ＝2＋(n －1)×(－3)＝－3n ＋5，∴a 8＝－3×8＋5＝－19.规律总结等差数列的通项公式是本节的重点，在应用时要注意方程思想的应用．有两种情况：(1)已知a n ，a 1，n ，d 中任意三个量可求第四个量，即“知三求一”．(2)已知等差数列中的任意两项，就可以确定等差数列中的任一项．变式训练 5．数列{a n }各项的倒数组成一个等差数列，若a 3＝2－1，a 5＝2＋1，求a 11.解 设b n ＝1a n(n ∈N ＋)，则{b n }为等差数列，公差为d . 由已知得b 3＝1a 3＝12－1＝2＋1， b 5＝1a 5＝12＋1＝2－1. ∴⎩⎨⎧ b 1＋2d ＝2＋1，b 1＋4d ＝2－1，解得⎩⎨⎧b 1＝3＋2，d ＝－1. ∴b 11＝b 1＋10d ＝2－7，∴a 11＝1b 11＝12－7＝－7－247. [随堂体验落实]1．△ABC 中，三内角A ，B ，C 成等差数列，则B 等于( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°【解析】∵A ＋B ＋C ＝180°且B ＝A ＋C 2， ∴3B ＝180°，B ＝60°.【答案】B2．一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则a b等于( ) A.14B ．12 C.13D.23 【解析】⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝a ＋b ，2b ＝x ＋2x ，∴a ＝x 2，b ＝32x . ∴a b ＝13. 【答案】C3．{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝( ) A ．－2B ．－12C ．12D ．2【解析】由题意知a 1＋6d －2(a 1＋3d )＝－1，①a 1＋2d ＝0，②由①②可得d ＝－12，a 1＝1. 【答案】B4．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝________.【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝7，a 1＋4d ＝a 1＋d ＋6. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1.∴a 6＝2×6＋1＝13.【答案】135．设{a n }是等差数列，若a m ＝n ，a n ＝m (m ≠n )，求a m ＋n .解：法一：由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋(m －1)d ＝n ，a 1＋(n －1)d ＝m ， 得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝m ＋n －1，d ＝－1， ∴a m ＋n ＝a 1＋(m ＋n －1)d＝(m ＋n －1)－(m ＋n －1)＝0.法二：∵a m ＝a n ＋(m －n )d ，∴n ＝m ＋(m －n )d ，∵m ≠n ，∴d ＝－1，∴a m ＋n ＝a m ＋[(m ＋n )－m ]d ＝n ＋n ×(－1)＝0.[感悟高手解题]已知数列{a n }，a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2(n ≥3)．(1)判断数列{a n }是否为等差数列？说明理由；(2)求{a n }的通项公式．解 (1)当n ≥3时，a n ＝a n －1＋2，即a n －a n －1＝2，而a 2－a 1＝0不满足a n －a n －1＝2(n ≥3)，∴{a n }不是等差数列．(2)当n ≥2时，令a 2＝b 1＝1，a 3＝b 2＝3，a 4＝b 3＝5，…a n ＝b n －1＝1＋2[(n －1)－1]＝2n －3.又a 1＝1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (n ＝1)，2n －3 (n ≥2) [点评] 在(1)问中由a n －a n －1＝2(常数)，直接得出{a n }为等差数列，这是易出错的地方，事实上，数列{a n }从第2项起，以后各项组成等差数列，而{a n }不是等差数列，a n ＝f (n )应该表示为“分段函数”型．因此我们在判断等差数列时，要严格按其定义判断．。

等差数列第一课时一、教学目标１．知识与技能①理解并掌握等差数列的概念；②了解等差数列的通项公式的推导过程及思想；２．过程与方法①培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；②在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；③通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。

３．情感、态度与价值观①通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；②养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。

③让学生了解数学来源于生活又服务于生活的哲理，培养学生观察问题、分析问题的能力，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力。

二、教学重点难点教学重点：①等差数列的概念。

②等差数列的通项公式的推导过程及应用。

教学难点：①等差数列的通项公式的推导过程②用数学思想解决实际问题三、教法与学法针对高中生思维特点和心理特征，本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。

学法指导在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。

四、教学过程(一)复习引入：1.从函数观点看,数列可看作是定义域为＿正整数＿对应的一列函数值，从而数列的通项公式也就是相应函数的＿解析式＿。

2. 一个剧场设置了20排座位，这个剧场从第1排起各排的座位组成数列：38，40，42，44，46，……3. 小芳只会5个单词，他决定从今天起每天背记10个单词，那么在今后的五天内他的单词量逐日依次递增为： 15，25，35，45，55＿(二) 新课探究1、等差数列的概念：如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。

注意：① “从第二项起”满足条件；②公差d 一定是由后项减前项所得；③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数练习：判断是否为等差数列，是等差数列的找出公差。

2.2.1《等差数列》教案设计难点理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义环节1 创设情境，提出问题在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星：（1）1682，1758，1834，1910，1986，（）你能预测出下一次的大致时间吗？主持人问: 最近的时间什么时候可以看到哈雷慧星？天文学家陈丹说: 2062年左右。

学生活动通过情景引出数列，观察发现其规律，通过规律填写内容。

通常情况下，从地面到10公里的高空，气温随高度的变化而变化符合一定的规律，请你根据下表估计一下珠穆朗玛峰峰顶的温度。

(2) 28, 21.5, 15, 8.5, 2, …, -24. 教师活动：提出问题，组织学生解决问题1、你能根据规律在（）内填上合适的数吗？(1)、1682，1758，1834，1910，1986，（2062）.(2)、28,21.5,15,8.5,2, …,（-24）.(3)、1，4，7，10，（ 13 ），16.(4)、2， 0， -2， -4， -6，（ 8 ）.问题2、它们有何共同的规律？(1)d=76 (2)d=-6.5 (3)d=3 (4)d=-2 学生活动通过多个数列观察发现其共同规律，环节二环节三环节等差数列的定义：的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。

这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母教师活动：回归问题，组织学生解决问题(1)1, 3, 5, 7, 9,2, 4, 6, 8, 10(2)5(3)环节教师活动：问题驱动问题（（（问题a在尝试最终得项公式这一性质。

引导学生推导等差数列的通项公式，并使用方法二再次推导，为学生提供多种推导思路与方法。

dn a a n )1(1-+=叠加的 （累加相消法）等差数列的通项公式：环节5 能力提升例1、(1) 求等差数列8，5，2，…，的第20项。

解：(2)-401是否是等差数列 -5，-9，-13，…，的项？如果是，是第几项 ？ 解：因此 解得学生活动教师辅助学生自主完成例题。

2．2.1《等差数列的概念》教学案教学教法分析●三维目标1.知识与技能(1)通过实例，理解等差数列的概念，了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列；(2)明确等差中项的概念和性质，会求两个数的等差中项；(3)能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；(4)在探索活动中培养学生观察、分析的能力，培养学生由特殊到一般的归纳能力．2.过程与方法(1)经历等差数列的简单产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的过程；(2)让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察、推导、归纳抽象出等差数列的概念，由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题．3．情感、态度与价值观(1)通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维、追求新知的创新意识；(2)培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识．●重点、难点重点：理解等差数列的概念．难点：等差数列的证明与等差数列的设法．对于等差数列概念这个重点内容的教学，“授人以渔”的研究方法比纯粹传授知识更重要．建构等差数列的概念首先要经历大量的实例观察，分析数列的项与项之间可能的关系，然后概括发现等差数列的“共性”，进而探究揭示等差数列的定义及其证明方法．教学中关键是让学生自己经历观察、归纳、猜想等过程，逐步认识到数列的项与项之间的“等差”关系，而不能简单让学生填空计算“相邻两项的差”．教学方案设计●教学建议1．等差数列在日常生活中有着广泛的应用．因此，首先引导学生研究三个现实问题(第23届到第28届奥运会举行年份问题、通话计费问题、储蓄问题)．这三个数列模型，其实是给出了等差数列的现实背景．目的是让学生切实感受到等差数列是现实生活中大量存在的数列模型．然后给学生一定的思考和探索空间，让他们自己观察、归纳、猜想，进而抽象出等差数列的概念．2．在学习完等差数列概念的基础上，让学生自己去研究、自己去发现等差中项的有关结论，提高学生自主学习的能力，同时感受发现知识的快乐．3．为了强化学生对本部分知识的掌握，设置“等差数列的概念”、“等差数列的证明”及“等差数列中项的设法”三个方面的例题．通过这些例题的教学可以使学生更深刻地领会本节知识．●教学流程⇒引导学生通过观察、归纳、猜想，抽象出等差数列的概念.⇒通过引导学生回答问题，去研究和发现等差中项的有关结论.⇒通过例1及其变式训练使学生掌握等差数列的定义.⇒通过例2及其变式训练使学生掌握等差数列的证明方法进一步熟悉等差数列的定义.⇒通过例3及其互动探究使学生掌握等差数列中项的设法，巩固等差数列的定义.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈矫正.课前自主导学观察下面的三个数列 0，2，4，6，…； 12，22，32，42，…； 18，155，13，10.5，…. 上面这些数列有什么共同特点？【提示】 相邻项的差为同一个常数(从第二项起，每一项减去它的前一项的差都是同一个常数)．如果一个数列，从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用d 表示.在a ，b 之间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列，则A 应满足什么条件？ 【提示】 ∵a ，A ，b 成等差数列，∴A －a ＝b －A ，∴2A ＝a ＋b ，∴A ＝a ＋b2如果三个数a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．这三个数满足的关系式是A ＝a ＋b2.课堂互动探究例1 (1)0，－3，－6，－9，－12，…； (2)1，2，4，6，8； (3)6，6，6，6，…； (4)m ，m ＋n ，m ＋2n ，2m ＋n .【思路探究】 利用等差数列的定义，判定a n －a n －1＝d (d 为常数)是否成立． 【自主解答】 (1)该数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数－3，所以该数列是等差数列．(2)因为2－1＝1，4－2＝2，6－4＝2，8－6＝2，1≠2，所以该数列不是等差数列． (3)该数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数0，所以该数列是等差数列．(4)(m ＋n )－m ＝n ，(m ＋2n )－(m ＋n )＝n ，2m ＋n －(m ＋2n )＝m －n . 当n ＝m －n ，即m ＝2n 时，该数列是等差数列； 当n ≠m －n ，即m ≠2n 时，该数列不是等差数列．规律方法1．本题根据等差数列的定义，逐一检验数列中从第2项起，每一项与其前一项的差是否为同一常数，再作出判断．2．一般情况下，要判断数列是否为等差数列，只需按照定义去验证，要关注两点： (1)后项减前项； (2)差为同一个常数．变式训练判断下列数列是否为等差数列？ (1)a n ＝3－2n ； (2)a n ＝n 2－n .【解】 (1)∵a n ＋1－a n ＝[3－2(n ＋1)]－(3－2n )＝－2是同一个常数， ∴{a n }是等差数列．(2)∵a n ＋1－a n ＝[(n ＋1)2－(n ＋1)]－(n 2－n )＝2n ，不是同一常数， ∴{a n }不是等差数列.类型2等差数列的证明例2 已知数列{a n }满足：a 1＝4，a n ＝4－4a n －1(n ≥2)，b n ＝1a n －2. 求证数列{b n }是等差数列；【思路探究】 1a n ＋1－2－1a n －2＝常数→b n ＋1－b n ＝常数→数列{b n }是等差数列【自主解答】 因为a n ＝4－4a n －1(n ≥2)， 所以a n ＋1－2＝2－4a n ＝2a n －2a n， 所以1a n ＋1－2＝a n 2a n －2＝12＋1a n －2(n ≥1)，故1a n ＋1－2－1a n －2＝12(n ≥1)， 即b n ＋1－b n ＝12(n ∈N *)． 所以数列{b n }是等差数列．规律方法1．本例中，对条件的转化使用是个难点，应掌握对条件的恰当转化． 2．证明数列{a n }为等差数列的方法：(1)证明a n ＋1－a n 为同一个常数d (n ≥1，n ∈N *)； (2)证明a n ＋1＋a n －1＝2a n (n ≥2)．变式训练已知三个正数a ，b ，c 满足a 2，b 2，c 2成等差数列．求证1a ＋b ，1a ＋c ，1b ＋c 成等差数列．【证明】 ∵a 2，b 2，c 2成等差数列，∴b 2＝a 2＋c 22.∵1a ＋b ＋1b ＋c ＝b ＋c ＋a ＋b a ＋b b ＋c＝2b ＋a ＋cab ＋ac ＋b 2＋bc＝2b ＋a ＋cab ＋a 2＋c 22＋bc ＋ac ＝22b ＋a ＋c2ab ＋a 2＋c 2＋2bc ＋2ac ＝22b ＋a ＋c 2b a ＋c ＋a ＋c 2＝22b ＋a ＋c a ＋c 2b ＋a ＋c ＝2a ＋c ，∴1a ＋b ，1a ＋c ，1b ＋c 成等差数列．类型3灵活设元求解等差数列例3 40，求这个等差数列．【思路探究】 若设四个数分别为a ，a ＋d ，a ＋2d ，a ＋3d ，列出方程组可以求解，但解方程时较麻烦，若对称设四个数分别为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则解方程时会很简单．【自主解答】 设这四个数分别为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，由题设知⎩⎪⎨⎪⎧a －3d ＋a －d ＋a ＋d ＋a ＋3d ＝26，a －da ＋d ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝132，d ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132，d ＝－32.所以这个数列为2，5，8，11或11，8，5，2.规律方法1．本题利用对称设法设出数列中的四个数，由四数之和为定值，可直接求出未知量a ，进一步很方便的可求出d .2．当三个数或四个数成等差数列时可采用对称的设法，三个数时，设a －d ，a ，a ＋d ；四个数时，设a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d .再由题目其它条件建立关于a 、d 的方程组，通过解方程组求出所要结果．变式训练已知三个数成等差数列，首末两项之积为中间项的5倍，后两项的和为第一项的8倍，求这三个数．【解】 设这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，则由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a －d a ＋d ＝5a ，a ＋a ＋d ＝8a －d ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，d ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9，d ＝6.所以这三个数分别为0，0，0或3，9，15. 易错易误辨析不理解等差数列的定义致误典例若数列{a n }的通项公式为a n ＝10＋lg 2n ，求证数列{a n }为等差数列．【错解】 因为a n ＝10＋lg 2n ＝10＋nlg 2， 所以a 1＝10＋lg 2，a 2＝10＋2lg 2，a 3＝10＋3lg 2， 所以a 2－a 1＝lg 2，a 3－a 2＝lg 2，则a 2－a 1＝a 3－a 2，故数列{a n }为等差数列．【错因分析】 a 3－a 2＝a 2－a 1＝常数，不能满足等差数列的定义中“从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数”的要求．【防范措施】 要证明一个数列为等差数列，必须证明从第二项起所有的项与其前一项之差为同一常数，即a n －a n －1＝d (n ≥2)恒成立，而不能只验证有限个相邻两项之差相等．【正解】 因为a n ＝10＋lg 2n ＝10＋nlg 2， 所以a n ＋1＝10＋(n ＋1)lg 2.所以a n ＋1－a n ＝[10＋(n ＋1)lg 2]－(10＋nlg 2)＝lg 2(n ∈N *)．所以数列{a n }为等差数列．1．基础知识： (1)等差数列的概念；(2)等差中项． 2．基本技能：(1)等差数列的判定(或证明)方法； (2)三个(或四个)数成等差数列时数的设法． 3．思想方法： (1)转化思想； (2)对称设元思想.当堂双基达标1．下列说法正确的是________(填序号)．①一个数列的每一项与它的前一项的差都等于常数，这个数列就叫等差数列 ②一个数列的每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列 ③一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于常数，这个数列就叫等差数列 ④一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列【解析】 根据等差数列的定义判断． 【答案】 ④2．下列数列不是等差数列的是________(填序号)． ①6，6，6，…，6，… ②－2，－1，0，…，n －3，… ③5，8，11，…，3n ＋2，…④0，1，3，…，n 2－n2，…【解析】 根据等差数列的定义判断④不是等差数列． 【答案】 ④3．已知等差数列{a n } 的前三项依次为a －1，a ＋1，2a ＋3，则参数a 的值为________． 【解析】 由题意知：(a －1)＋(2a ＋3)＝2(a ＋1)， ∴3a ＋2＝2a ＋2，∴a ＝0 【答案】 04．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．【解】 设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝18， ①a －d2＋a 2＋a ＋d2＝116， ②由①得a ＝6，代入②得d ＝±2.∵该数列是递增的，∴d ＝－2舍去， ∴这三个数为4，6，8.课后知能检测一、填空题1．(2013·衡阳高二检测)在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 依次成等差数列，则角B 等于________．【解析】 由A 、B 、C 依次成等差数列，得A ＋C ＝2B ， ∴A ＋B ＋C ＝3B ＝180°，∴B ＝60° 【答案】 60°(或π3)2．在－1和8之间插入两个数a ，b ，使这四个数成等差数列，则公差为________． 【解析】 由已知a －(－1)＝b －a ＝8－b ＝d ， ∴8－(－1)＝3d ∴d ＝3 【答案】 33．等差数列的相邻4项是a ＋1，a ＋3，b ，a ＋b ，那么a ，b 的值依次为________． 【解析】 设公差为d ，则d ＝(a ＋3)－(a ＋1)＝2. 又d ＝(a ＋b )－b ＝a ，∴a ＝2， ∴d ＝b －(a ＋3)＝b －5＝2， ∴b ＝7. 【答案】 2，74．(2013·浏阳高二检测)已知a ＝13＋2，b ＝13－2，则a ，b 的等差中项为________．【解析】 ∵a ＋b ＝13＋2＋13－2＝3－2＋3＋23＋23－2＝233－2＝23，∴等差中项为 3. 【答案】35．已知数列8，a ，2，b ，c 是等差数列，则a ，b ，c 的值分别为________、________、________.【解析】 由题意得：2a ＝8＋2，2×2＝a ＋b ， 2b ＝2＋c ，即a ＝5，b ＝－1，c ＝－4. 【答案】 5，－1，－46．已知m 和2n 的等差中项是4，2m 和n 的等差中项是5，则m 和n 的等差中项是________．【解析】 由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2n ＝8，2m ＋n ＝10，∴3m ＋3n ＝18，即m ＋n ＝6，∴m ＋n2＝3. 【答案】 37．已知a ，b 是正整数，且lg (a －3)和lg (4－b )的等差中项为lg 5，则a ，b 的值分别是________．【解析】 因为a ，b 是正整数，a －3＞0，4－b ＞0，所以a ＞3，0＜b ＜4.又2lg 5＝lg (a －3)＋lg (4－b )，即(a －3)(4－b )＝5＝1×5＝5×1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝5，4－b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝3.【答案】 8，38．(2013·烟台高二检测)设函数f (x )＝1x －b ＋2，若a ，b ，c 成等差数列(公差不为零)，则f (a )＋f (c )＝________.【解析】 由已知，得b －a ＝c －b ，∴c －b ＝－(a －b )， ∴f (a )＋f (c )＝1a －b ＋2＋1c －b ＋2＝1a －b ＋1c －b ＋4＝0＋4＝4. 【答案】 4 二、解答题9．数列{a n }中，a n ＝lg 532n ＋1，判断该数列是否为等差数列．【解】 ∵a n ＝lg 532n ＋1，∴a n ＋1＝lg 532n ＋3， ∴a n ＋1－a n ＝lg 532n ＋3－lg 532n ＋1 ＝lg (532n ＋3×32n ＋15)＝lg32n ＋132n ＋3＝lg132＝lg 13＝－lg 3，∴数列{a n }是等差数列．10．已知数列{a n }为等差数列，求证：当a n 均不为0时，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝na 1a n ＋1成立．【证明】 (1)设数列{a n }的公差为d ，若d ＝0，则所述等式显然成立．(2)若d ≠0，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d (a 2－a 1a 1a 2＋a 3－a 2a 2a 3＋…＋a n ＋1－a n a n a n ＋1)＝1d [(1a 1－1a 2)＋(1a 2－1a 3)＋…＋(1a n －1a n ＋1)]＝1d (1a 1－1a n ＋1)＝1d ·a n ＋1－a 1a 1a n ＋1＝na 1a n ＋1. 11．已知1a ，1b ，1c 成等差数列，求证：b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋bc 也成等差数列． 【证明】 ∵1a ，1b ，1c 面等差数列，∴2b ＝1a ＋1c ， 即2ac ＝b (a ＋c )．∵b ＋c a ＋a ＋b c ＝c b ＋c ＋a a ＋b ac＝c 2＋a 2＋b a ＋c ac ＝a 2＋c 2＋2acac＝2a ＋c 2b a ＋c＝2a ＋cb. ∴b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋bc 成等差数列.教师备课资源备选例题已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数． 【思路探究】 由等差中项，设三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，列方程组求解． 【自主解答】 设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝18， ①a －d2＋a 2＋a ＋d2＝116， ②由①，得a ＝6，代入②，得d ＝±2. ∵该数列是递增的，∴d ＝－2舍去． ∴这三个数为4，6，8.规律方法充分利用等差中项的性质，往往能简化解题过程，事半功倍．备选变式已知三个数成等差数列，其和为15，首末两项的积为9，求这三个数． 【解】 由题意，可设这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，a －da ＋d ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，d ＝－4.所以，当d ＝4时，这三个数为1，5，9； 当d ＝－4时，这三个数为9，5，1. 拓展亢量数列“亢量数列”使八年前一个穿鞋都露脚尖的乞丐变成了几年后的一个花费百万元去玩鼎的私营企业老板，这个人就是麦宪利．“亢量数列”——《股价测算王》软件，是北京麦宪利科技中心独资开发并拥有全部自主知识产权的一项高科技产品，它依据的是麦宪利先生花费近20年心血研究出来的一种独特运算方式，基于统计学原理，运用逻辑学的甄别技术，对股票价格和大盘指数的运行趋势作出比较精确的判断．就其对股票价格和大盘指数的阶段性运行数值所能作出的精算能力而言，这款软件不论在国内还是在国外，目前都处于绝对领先的地位，无任何其他同类型产品共同存在于财经类软件市场．股票的价位变异和大盘指数的起伏升跌，表面上看似乎毫无规律可循，很难建立起一个精确的数学模型来阐述和描绘这种常被数学家们称为“混沌”和“紊流”现象的自然事物，但是，在“亢量数列”面前，股票的价格变化和大盘指数数值的演变，就像浸在清水里的一块白布，它上面暗藏的各种晦涩难辨的纷杂图形就清晰显现、昭然若揭．股票也好，股市也好，都不是“死”的物，它都有生命、有爆发、有衰落，与人和动物一样，有生命的周期性．“亢量数列”就是记载着有生命的物体其生命能量爆发周期和烈度的一种图谱，以及探寻该生命物体的生命能量爆发的周期和烈度的一种工具．“亢量数列”不但对股票的价格走势和大盘指数的数值变化有着较精确的测算作用，在犯罪学领域也有着很广泛的应用价值，尤其是在追索刑事犯罪案件中潜逃藏匿的犯罪嫌疑人的躲藏踪迹方面，效果尤为显著．“亢量数列”早年被称为“倍八数列”，2006年经专家建议，正式更名为“亢量数列”．经过多年的实际应用，在麦宪利先生遍布全国的股友圈子里，“倍八测股”已经有了很广泛的影响，知名度甚高．用它来评盘测股，准确率高达70%至80%，稍有证券投资常识的人都知道：在证券投资实践中，一种有效的投资行为指导方法，如果其准确率能达到70%以上的话，盈亏相抵，获利将是非常巨大的！。

§2.2等差数列(第一课时)各位老师好！今天我说课的题目是人教A版高中数学必修模块5的第2章第2节《等差数列》的第一课时，下面我将从教材分析、学情分析、学法分析、教法分析、教辅手段、教学过程、板书设计等七个方面来阐述我对这节课的设计。

一.教材分析（一）教材特点：教科书首先从学生熟悉的四个实例入手，引出了等差数列的概念，并且结合实例（衬衫的尺码）对等差数列作了说明。

随后由等差数列的概念导出等差中项的概念，然后推导出了等差数列的通项公式。

这种通过对日常生活中大量实际问题的分析、建立等差数列模型的过程，加强了对等差数列基本概念、性质的理解，初步培养了学生运用等差数列模型解决问题的能力。

（二）教材内容：本课时的教学内容主要是学习等差数列的概念及等差数列的通项公式。

（三）教材的地位与作用：等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。

同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。

（四）教学目标：高中数学课程标准要求理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式，故而确立本节课的教学目标：⑴知识与技能：通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题。

⑵过程与方法：让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。

⑶情感态度与价值观：培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。

通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。

（五）教学重点与难点：⑴教学重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决一些简单的问题。