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线性代数课件_第二章_矩阵及其运算——4

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线性代数课件PPT 第2章.矩阵PPT课件

线性代数课件PPT 第2章.矩阵PPT课件

x1 x2 x3
3x5 1
32xx11
2 x2 3x2
x3 x3
2 x4 4 x4
4x5 5x5
2 3
x1 x2 x3 x4 8x5 2
12
第12页/共158页
2.1 高斯消元法
• 矩阵举例 解：线性方程的增广矩阵为
1 1 1 0 3 1
将
第
1
行
分
别
乘
以
-
2
,
-
3
,
x3 3x4 1
x4 0
4
第4页/共158页
2.1 高斯消元法
• 高斯消元法
x1 x2
3x4 1
x2 2x3 2x4 0
此
方
程
组
和
原
方
程
组
是
同
解
的
，
我
们把
形
如
这
样
的x方3 程3称x4
为
阶1梯
线
性
方
程
组
，
因
此
易
得
x4 0
x1 1
x2 x3
2 1
x4 0
5
第5页/共158页
a2n
称为数域F中的m×n矩阵，通am常1 用大am写2 字母记做aAmn或A m×n，有时也记做
A (aij )mn (i 1, 2, , m; j 1, 2, , n)
8
第8页/共158页
2.1 高斯消元法
• 矩阵的定义 其中aij称为矩阵A的第i行第j列元素，当aij ∈R(实数域)时，A称为实矩阵；当aij ∈C(复
骤规范而又简便。
例1：解线性方程组

线性代数Ⅱ—矩阵.ppt

线性代数Ⅱ—矩阵.ppt

2
2
4
26
(八) 设四阶方阵 A (,1,2,3), B ( ,1,2,3) 其中1,2,3, , 均为四维列向量，若 A 2, B 1 则 A B 及 A B 的值分别 为[ ]
b3
b1a1 b1a2 b1a3
AB (a1b1 a2b2 a3b3)
BA b2a1 b3a1
b2a2 b3a2
b2a3 b3a3
1 0 0
单位阵
En
0
1
0
或记 In
0 0 1
6
运算律： (1) (AB)C A(BC) (2) A(B C) AB AC (B C)A BA CA (3) (AB) (A)B A(B) (4) EA AE A
22
分块矩阵的乘法
7 2 1 0
0 0
例：A 8 9
6 5
1 0
1 0
B 0
0
1 1
4 3
0
0
1
2
分块对角矩阵
求 AB
A1
A
A2
其中A1, A2,, Ak
均为方阵，有 A A1 A2 Ak
Ak
A11
当 A1, A2,, Ak
均可逆，则A可逆，且
A1
A21
(B) 若 A BC 则AT BTCT
(C) 若 A BC 则 A B C (D) 若A B C 则 A B C
(四) 设方阵 A 满足 A2 A 7E 0 ，则 (A 3E)1 [ ]
(A) A 3E (B) A 2E (C) A 7E
(D) A E
25
(五)
设
Th：设A为n阶方阵，则A可逆的充要条件为 A 0

线性代数 矩阵及其运算优秀PPT

线性代数 矩阵及其运算优秀PPT

排成的m行n列的数表
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
... ... ... ...
称m行n列矩阵，简称 m×n矩阵。记作
am1 am2 ... amn
a11 a12 ... a1n
A
a21 ...
a22 ...
... ...
a2n ...
am1 am2 ... amn3
由于方阵Ak、Am、E对乘法是可交换的，所
以矩阵A的多项式的乘法也是可交换的，即
f (A)g(A) g(A)f (A)
从而A的多项式可以象数x的多项式分解因式.
如： A2 3A 2E ( A 2E)( A E)
( A E)3 A3 3A2 3A E
22
5.矩阵的转置
定义2.6 A的转置矩阵，记作AT，是将A的行列互换后所 得矩阵如果 A是一个 m×n 阶矩阵， AT 是一个 n×m 阶矩阵。
而b1i，b2i，…，bsi 正好是 BT的第 i 行，aj1,aj2,…,ajs 正
好是 AT的第 j 列，因此 cji 是 BTAT的第 i 行第 j 列的元 素。故
( AB )T = AT BT
24
6. 对称矩阵与反对称矩阵
设 A为 n 阶方阵， 若 AT = A，
即
aij = aji (i,j=1,2,…,n)，
32
§2.3 逆矩阵
1、可逆矩阵的定义（定义2.8）
设对于 n 阶方阵 A，若存在 n 阶方阵 B 使得 A B = B A = E 恒成立，则称矩阵 A 可逆或满秩矩阵, 或非奇异矩阵；B 称为 A 的逆矩阵，记为 A－1 = B 。
2、可逆矩阵的唯一性、存在性及性质

矩阵的运算优秀课件

矩阵的运算优秀课件

(A
E )n
An
Cn1 An1
C
2 n
An2
Cnn1 A
E
3. 求矩阵A的n次幂的方法. 措施一 数学归纳法
先计算A2, A3等, 发现Ak的规律,再用数学归纳法证明之.
例1
设
A
1 0
11 , 求 An
解
A2
1 0
12 1
10
11 10
11
1 0
2 1
同理,
A3
A2
A
1 0
13
猜测
An
,
求An
1
1
n
1
n n
n
解
将A分解成A
E
1 n
B,
其中B
111
1
1
1
111,容易得出B2 nB
于是 A2
(E
1 n
B)2
E2
2 n
EB
1 n2
B2
E
2 n
B
1 n2
nB
E 1 B A(幂等矩阵),故An A.
n
措施三 利用乘法结合律 若A T , 其中 , 都是n 1矩阵(列矩阵).利用乘法结合律,
三、矩阵旳幂乘
1、定义 设A是一种n阶矩阵，对于正整数k, Ak AA A
k个
称为A旳k次幂。 2、幂乘旳运算规律：任意正整数 k , l ,有
Ak Al Akl , Ak l Akl
但一般来说 ( AB)k Ak Bk ,
例题 设A, B为n阶方阵, E为n阶单位矩阵,以下式子哪些成立 ?
由矩阵相等旳定义,得
x1 x3
x2 x4
得

线性代数矩阵及其运算 ppt课件

线性代数矩阵及其运算 ppt课件


1 2 2 .5 8 3 1 3 0 .5 89

1 2 4 .5 9 3 6 3 .5
83

22
三、 矩阵的乘法
定义1.5 (P5)
设矩阵A=(aij)ml的列数与矩阵B=(bij)ln的行数相等, 则由元素
C

2
8

4

求AB、BA和BC
解 AB 816 1362
BA


0 0
0 0

BC


0 0
0 0

AB≠BA , BA=BC
(1) AB与BA都有意义，且同型，但AB与BA不相等 (2) 两个非零矩阵相乘可能是零矩阵 (3) BA=BC,但A≠C,可见，矩阵乘法不满足消去率
那么就称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B
16
判断下列各组矩阵是否相等
(1)


8
(3)2
5 2 0
s9in61
2 2 2.5 0.5


9 0 8
(2)
0 0
0 0
0 0
00
0 0
1 0 0
(3)

0
0
1 0
0 1

(1 )
am1x1am2x 2 amn xn bm
m个方程 ，
n个未知数
a11 a12

a
21
a 22

a m 1 a m 2
a1n
a2n


a m n
a11 a12

a21
a22

线性代数第2章矩阵PPT课件

线性代数第2章矩阵PPT课件
线性代数第2章矩阵ppt 课件
目录 CONTENT
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 矩阵的特征值与特征向量 • 矩阵的对角化与相似变换
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵是一个由数字组 成的矩形阵列，行数 和列数可以不同。
矩阵的维度是指行数 和列数的数量。
矩阵的元素通常用方 括号括起来，并用逗 号分隔。
矩阵的运算规则
01
02
03
加法
两个矩阵的加法是将对应 位置的元素相加。
数乘
一个数乘以一个矩阵是将 该数乘以矩阵的每个元素。
乘法
两个矩阵的乘法只有在第 一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数时才能进行。
特殊类型的矩阵
对角矩阵
对角线上的元素非零，其他元素为零的矩阵。
行列式的递推公式法
递推公式法是一种常用的计算行列式 的方法，它通过递推关系式将n阶行 列式转化为低阶行列式进行计算。这 种方法在计算较大行列式时非常有效。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
矩阵的秩定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
矩阵的秩的性质
矩阵的秩是唯一的，且满足行秩 等于列秩。矩阵的秩等于其任何 子矩阵的秩。
02
特征值和特征向量与矩阵的乘法 运算有关，即如果Ax=λx，那么 (kA)x=(kλ)x，其中k是任意常数。
03
特征值和特征向量与矩阵的转置 运算有关，即如果Ax=λx，那么 A^Tx=(λ^T)x。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特
征值和特征向量。

《线性代数》课件-第二章 矩阵及其运算


a11
A
A
a21
am1
a12 a22
am1
a1n
a2n
amn
数乘矩阵的运算规律
a, b, c R 结 合 (ab)c a(bc) 律 分 (a b) c ac bc 配 律 c (a b) ca cb
设 A、B是同型矩阵， , m 是数 (m)A (m A)
a11
a12
a13
a14
4
c11 a1kbk1
b11
b21
b31
b41
k 1
4
c12 a11b12 a12b22 a13b32 a14b42 a1k bk 2 k 1
一般地，
4
cij ai1b1 j ai 2b2 j ai 3b3 j ai4b4 j aikbkj k 1
行列式
矩阵
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
(1) a a t( p1 p2 pn ) 1 p1 2 p2
p1 p2 pn
行数等于列数
共有n2个元素
a11 a12
a21
a22
am1 am1
anpn
a1n
a2n
amn
行数不等于列数 共有m×n个元素 本质上就是一个数表
第二章 矩阵及其运算
§1 矩阵
一、矩阵概念的引入 二、矩阵的定义 三、特殊的矩阵 四、矩阵与线性变换
B
一、矩阵概念的引入
例 某航空公司在 A、B、C、D 四座 A
城市之间开辟了若干航线，四座城市 之间的航班图如图所示，箭头从始发 地指向目的地.
城市间的航班图情况常用表格来表示:

四川大学线性代数课件第二章第四节 n阶矩阵乘积的行列式


a1j在d
中的余子式为
M1j Cm(n1)
0
B 之形。
由归纳假设知它在d 中的余子式及代数余子式分别为：
M1j B
A1 j B
n
n
d a1 j A1 j B B a1j A1j B A
j 1
j 1
同理： A
D AB
0B
F A (1)mn A B B0
0 A (1)mn A B BM
一共作nm次相邻对换化 成引理中的形式
定理5 （矩阵乘积的行列式定理）
设A，B是n阶矩阵，则 │AB│=│A││B│
证明：
将B作行分块：
B1
B
B2
Bn
构造 行列
式 a11
a21
A0 AB
E B
a12 a1n 0 a22 a2n 0
0 a12 a1n a11B1 0 a22 a2n a21B1
0 cos 0 • sin
00
cos sin
0
cos sin 0.
0
例3: 设A, B,C , D都是n阶方阵, A是非奇异的,
E是n阶 单 位 阵, 并 且
X
E C A1
O , E
Y A C
B , D
Z
E O
A1 E
B
.
(1)求乘积XYZ;
(2)证明: A B A D C A1 B . CD
c11
c1n
0 0 .
b11
b1m
cm1 cmn bm1 bmm
a11 a21
a1n a2n
0 0
0 0
将d 按照第一行展开：
d an1 ann 0 0 .

矩阵及其运算PPT课件

第9页/共2题 (课后题2题)：
设
1 A 1
1 1
1 1 2 3 1, B 1 2 4
1 1 1 0 5 1
求3AB 2A及 AT B
2 13 22
0 5 8
答案：3AB 2A 2 17 20 , AT B 0 5 6.
第22页/共24页
六、方阵的行列式
2010年期末考题(I)
二、选择（每题4分，共16分）
1、设A与B均为n阶方阵，则下列结论中成立的是( B )
A. |AB|=0,则A=0或B=0; B. |AB|=0,则|A|=0或|B|=0； C. AB=0,则A=0或B=0; D. AB≠0,则|A|≠0或|B|≠0；
T ，
则An ____1___12.
1 3
23
3
n
1
2
1
2 3
矩阵拆分相乘
3
3
1
2
第13页/共24页
2012年期末考试题
二项式法
1
4、设A
0
0 0
2012年期末考试题
0
1
,
则A
n
n nn1
_0____n .
0
0
n(n 1) n2
2
nn1
n
五.(10分)(线性代数I，36学时专业学时做 )设
转置矩阵的运算性质 (1) (AT)T = A; (2) (A+B)T = AT + BT;
(3) (A)T = AT;
(4) (AB)T = BTAT;
第2页/共24页
由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式叫做方阵A 的行列式, 记作 | A | 或 detA .

第二章 矩阵及其运算 《工程数学线性代数》课件PPT


0
x
§2 矩阵的运算
例 某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店 发送货物的数量可用数表表示：
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
其中aij 表示上半年工厂向第 i 家 商店发送第 j 种货物的数量．
c11 c12 c13 c14 c21 c22 c23 c24 c31 c32 c33 c34
行数不等于列数 共有m×n个元素 本质上就是一个数表
det(aij )
(aij )mn
三、特殊的矩阵
1. 行数与列数都等于 n 的矩阵，称为 n 阶方阵．可记作 An.
2. 只有一行的矩阵 A (a1, a2 ,L , an ) 称为行矩阵(或行向量) .
a1
只有一列的矩阵
B
a2
M
称为列矩阵(或列向量)
说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.
知识点比较
a11 a12 a13 a11 b12 a13 a11 a12 b12 a13 a21 a22 a23 a21 b22 a23 a21 a22 b22 a23 a31 a32 a33 a31 b32 a33 a31 a32 b32 a33
( )A A A (A B) A B
备 注
矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算.
知识点比较
a11 a12 a13 a11 a12 a13 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a21 a22 a23 a21 a22 a23
a31 a32 a33 a31 a32 a33 a31 a32 a33
a12 a22
a13 a23
a14 a24
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A1 1
o
A
1
A2 1
o
. As 1
2020/4/25
课件
14
A1 0 0B1 0 0
70
A2
0 0
B2
0
0 0 As 0 0 Bs
A1B1
0
0
0 A2B2
0
0
0
.
AsBs
2020/4/25
课件
15
例1 设
1 0 0 0
A
0 1
1 2
0 1
0 0
(2) 数乘 数 k乘矩 A,需 阵 k乘 A的每个子
(3) 乘法
若 A 与 B 相,需 乘 A 的列的 B 的 划 划 分 分 与 相
2020/4/25
课件
28
(4) 转置
A11 A
As1
A1r
AT
A1T1
Asr
A
T 1r
(5) 分块对角阵的行列式与逆阵
A
T s 1
AsTr
a
B
1 0
0
0 a 0 0
0 0 b 1
0
0 0
B1 0
b
0 ,
其中
B1
a 1
B2
b
B2
1
0, a 0; b
2020/4/25
课件
21
ABA 1 0B 1 0 0 A 2 0 B 2
A1B1 0 , 0 A2B2
a 1 a 0 2a 1
A1B10
a 1
a
1
, 2a
A2B2b 1
0 4 2
1 1 0
B11 E B21B22
则 AB E OB11 E A1 EB21 B22
B11
E .
A1B11B21 A1B22
2020/4/25
课件
17
A B B 11
E .
A 1B 11 B 21 A 1B 22
又 A1B11B21 1 11 2 1 10 2 1 1 0 1
2020/4/25
课件
4
例
a
A
0 1
0
1 a 0 1
0 0 b 1
0 0 1 b
B1 B2 B3
,
即
A
a
0
0 0
1 a
1 1
0 0
1 1
0 0
bb
B 1
B B
2 3
2020/4/25
课件
5
a 1 0 0
A
0 1
0
a 0 1
0 b 1
0 1 b
C1 C3
C2 , C4
B 11 B 1r
A , B ,
A s1 A st
B t1 B tr
其A 中 i1,Ai2,,Ai的 t 列数分 B1j,别 B2j, 等 ,Bij于
的行 ,那 数末C11 C1r
AB
Cs1 Csr
t
其 C ij 中 A ik B kji 1 , ,s ;j 1 , ,r.
a 1 0 0
即
A
0 1 0
a 0 1
0 b
0 1
C C
1 3
C 2 C 4
1 b
2020/4/25
课件
6
a 1 0 0
A
0 1
0
a 0 1
0 b 1
0 1 b
A E
O B
,
其中OBEA ab01 100
011 0ba1
a 1 0 0
a10
A
0 1
a 0
0 b
A1B1A1 0 , 0 A2B2A2
A1B1A1a3a2a 2aa32a1,
A2B2A2b33 b22b b23 b2 21 b,
2020/4/25
课件
24
AB A 1 A0 B 1 0 A 1 0 0 A 20 B 20 A 2
A1B1A1 0 0 A2B2A2
a3 a 2a2 1 0
0 1
A 1A 2A 3A 4 ,其中 AA 2413 a01b0
0 1 1 b
1b0
2020/4/25
课件
7
二、分块矩阵的运算规则
1 设矩 A 与 B 的 阵行,列 数数 相 ,采 相 同 用 同
相同的 ,有分块法
A 11 A 1r
B11 B1r
A , B
As1 Asr
1b b 1
0 b
2b 2
1 , 2b
2020/4/25
课件
22
A B A 1 0 B 1 0 0 A 2 0 B 2
A1B1 0 0 A2B2
2a 1 0 0
1 0
2a 0 0 2b
0 1
.
0 0 2 2b
2020/4/25
课件
23
AB A A 1 0 B 1 0 A 1 0 0 A 20 B 20 A 2
课件
9
例
2,
1 A3
2 2
3 1
4 5 6
1 2 2 2 3 2 2A3 2 2 2 1 2
4 2 5 2 6 2 4 4 6 6 4 2 . 8 10 12
2020/4/25
课件
10
3 设 A 为 m l矩 ,B 为 阵 l n 矩 ,分 阵 块
A 11 A 1t
A1
A
A2
O
O
A A 1A 2 A s.
As
2020/4/25
课件
29
A1
A
A2
O
O
As
A 可 逆 A i可 i 逆 1 ,2 , ,s且
A 1diA a 1 1,A g 2 1, ,A s 1.
2020/4/25
课件
30
思考题
设AB D,其中 B和C都是可逆 , 方 0 C
线性代数
2020/4/25
课件
1
第二章 矩阵及其运算
2020/4/25
课件
2
一、矩阵的分块
对于行数和列数较高的矩阵 A，为了
简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的 运算化成小矩阵的运算. 具体做法是：将
矩阵 A用若干条纵线和横线分成许多个小 矩阵，每一个小矩阵称为 A的子块，以子
块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.
Bs1 Bsr
其A i中 与 j B i的 j 行,列 数数 相 ,那 相 同 末 同
A11B11 AB
As1Bs1
A1r B1r .
AsrBsr
2020/4/25
课件82设 NhomakorabeaA
A11
As1
A1r ,为数,那末
Asr
A11 A
As1
A1r
.
Asr
2020/4/25
k 1
2020/4/25
课件
11
4设A
A11
As1
A1r
AA1T1T11
,则 则AATT
Asr
A1ATr1Tr
AAsTsT11 .. AAsTsTrr
5设A为n阶矩,若 阵 A的分块矩阵只角有线在
上有非零 ,其子 余块 子块都,为 且零 非矩 零阵 子块
是方.即 阵
A1
A
证A 可 明,并 逆 A 求 1.
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课件
31
思考题解答
证 由B,C可逆 , 有 AB C0, 得A可逆.
设A1 X W
Z, Y
则 BD XZ E0 . 0 CWY 0 E
BX DW E ,
BZ
DY CW
O, O,
CY E .
X B 1,
Z
Y C 1, B 1 DC
3 0
41 2 1
0 1
2 1
4, 1
A 1B 22 11
24 1 2
1 0
3 3
3 , 1
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课件
18
于是
A B B 11
E
A 1B 11 B 21 A 1B 22
1 0 1 0
1 2
4 4
0 3
1 3
.
1 1 3 1
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课件
19
a 1 0 0
,
1 1 0 1
求 AB.
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 4
1 1
,
1 1 2 0
解
把A,B分A 块 A 成 101111011012
0 00 1 00 211 100
0 0
0 0
1010
E A1
OE ,
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课件
16
1 0 1 0
B
1 1
1
2 0 1
例2
设
A
0 0
a 0
0 b
10,
0 0 1 b
a 0 0 0
B
1 0
a 0
0 b
0 0
0 0 1 b
求AB, AB . A
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课件
20
解 将A, B分块
a
A
0 0
0
1 a 0 0
0 0 b 1
0
0 1 b
A1 0
0 , A2
其中
A1
a 0
b
A2