最新高一数学易错题精选分析

高中数学必修一第四章指数函数与对数函数易错题集锦单选题1、若ln2=a，ln3=b，则log818=（）A．a+3ba3B．a+2b3aC．a+2ba3D．a+3b3a答案：B分析：先换底，然后由对数运算性质可得.log818=ln18ln8=ln(32×2)ln23=2ln3+ln23ln2=2b+a3a.故选：B2、设函数f(x)=lg(x2+1)，则使得f(3x−2)>f(x−4)成立的x的取值范围为（）A．(13,1)B．(−1,32)C．(−∞,32)D．(−∞,−1)∪(32,+∞)答案：D分析：方法一 :求出f(3x−2),f(x−4)的解析式,直接带入求解.方法二 : 设t=x2+1，则y=lgt，判断出f(x)=lg(x2+1)在[0,+∞)上为增函数,由f(3x−2)>f(x−4)得|3x−2|>|x−4|，解不等式即可求出答案.方法一 :∵f(x)=lg(x2+1)∴由f(3x−2)>f(x−4)得lg[(3x−2)2+1]>lg[(x−4)2+1]，则(3x−2)2+1>(x−4)2+1，解得x<−1或x>32.方法二 :根据题意，函数f(x)=lg(x2+1)，其定义域为R，有f(−x)=lg(x2+1)=f(x)，即函数f(x)为偶函数，设t=x2+1，则y=lgt，在区间[0,+∞)上，t=x2+1为增函数且t≥1，y=lgt在区间[1,+∞)上为增函数，则f(x)=lg(x2+1)在[0,+∞)上为增函数，f(3x−2)>f(x−4)⇒f(|3x−2|)>f(|x−4|)⇒|3x−2|>|x−4|，解得x <−1或x >32， 故选：D ．3、Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I(t)=K1+e −0.23(t−53)，其中K 为最大确诊病例数．当I (t ∗)=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t ∗约为（ ）（ln19≈3）A ．60B ．63C ．66D ．69答案：C分析：将t =t ∗代入函数I (t )=K 1+e −0.23(t−53)结合I (t ∗)=0.95K 求得t ∗即可得解. ∵I (t )=K 1+e −0.23(t−53)，所以I (t ∗)=K 1+e −0.23(t ∗−53)=0.95K ，则e 0.23(t∗−53)=19， 所以，0.23(t ∗−53)=ln19≈3，解得t ∗≈30.23+53≈66.故选：C. 小提示：本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.4、若x 1，x 2是二次函数y =x 2−5x +6的两个零点，则1x 1+1x 2的值为（ ）A ．−12B ．−13C ．−16D ．56答案：D分析：解方程可得x 1=2,x 2=3，代入运算即可得解.由题意，令x 2−5x +6=0，解得x =2或3，不妨设x 1=2,x 2=3，代入可得1x 1+1x 2=12+13=56. 故选：D.5、已知9m =10,a =10m −11,b =8m −9，则（ ）A ．a >0>bB ．a >b >0C ．b >a >0D ．b >0>a答案：A分析：法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m =log 910>1，再利用基本不等式，换底公式可得m >lg11，log 89>m ，然后由指数函数的单调性即可解出．［方法一］：（指对数函数性质）由9m =10可得m =log 910=lg10lg9>1，而lg9lg11<(lg9+lg112)2=(lg992)2<1=(lg10)2，所以lg10lg9>lg11lg10，即m >lg11，所以a =10m −11>10lg11−11=0.又lg8lg10<(lg8+lg102)2=(lg802)2<(lg9)2，所以lg9lg8>lg10lg9，即log 89>m ，所以b =8m −9<8log 89−9=0.综上，a >0>b .［方法二］：【最优解】（构造函数）由9m =10，可得m =log 910∈(1,1.5)．根据a,b 的形式构造函数f(x)=x m −x −1(x >1) ，则f ′(x)=mx m−1−1，令f ′(x)=0，解得x 0=m 11−m ，由m =log 910∈(1,1.5) 知x 0∈(0,1) .f(x) 在 (1,+∞) 上单调递增，所以f(10)>f(8) ，即 a >b ，又因为f(9)=9log 910−10=0 ，所以a >0>b .故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法； 法二：利用a,b 的形式构造函数f(x)=x m −x −1(x >1)，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．6、若2x =3，2y =4，则2x+y 的值为（ ）A ．7B ．10C ．12D ．34答案：C分析：根据指数幂的运算性质直接进行求解即可.因为2x =3，2y =4，所以2x+y =2x ⋅2y =3×4=12，故选：C7、在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）A．10名B．18名C．24名D．32名答案：B分析：算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.由题意，第二天新增订单数为500+1600−1200=900，90050=18，故至少需要志愿者18名.故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.8、已知实数a,b∈(1,+∞)，且log2a+log b3=log2b+log a2，则（）A．a<√b<b B．√b<a<b C．b<√a<a D．√a<b<a答案：B分析：对log2a−log a2<log2b−log b2，利用换底公式等价变形，得log2a−1log2a <log2b−1log2b，结合y=x−1x 的单调性判断b<a，同理利用换底公式得log2a−1log2a<log3b−1log3b，即log2a>log3b，再根据对数运算性质得log2a>log2√b，结合y=log2x单调性，a>√b，继而得解.由log2a+log b3=log2b+log a2，变形可知log2a−log a2<log2b−log b2，利用换底公式等价变形，得log2a−1log2a <log2b−1log2b，由函数f(x)=x−1x在(0,+∞)上单调递增知，log2a<log2b，即a<b，排除C，D；其次，因为log2b>log3b，得log2a+log b3>log3b+log a2，即log2a−log a2>log3b−log b3，同样利用f(x)=x−1x的单调性知，log2a>log3b，又因为log3b=log√3√b>log2√b，得log2a>log2√b，即a>√b，所以√b<a<b.故选：B.多选题9、已知函数f(x)=log2x，g(x)=2x+a，若存在x1,x2∈[1,2]，使得f(x1)=g(x2)，则a的取值可以是（）A．－4B．－2C．2D．3答案：AB分析：根据条件求出两个函数的值域，结合若存在x1,x2∈[1,2]，使得f(x1)=g(x2)，等价为两个集合有公共元素，然后根据集合的关系进行求解即可.当1≤x≤2时，0≤log2x≤1，即0≤f(x)≤1，则f(x)的值域为[0,1]，当1≤x≤2时，2+a≤g(x)≤4+a，则g(x)的值域为[2+a,4+a]，若存在x1,x2∈[1,2]，使得f(x1)=g(x2)，则[2+a,4+a]∩[0,1]≠∅，若[2+a,4+a]∩[0,1]=∅，则2+a>1或4+a<0，解得a>−1或a<−4.所以当[2+a,4+a]∩[0,1]≠∅时，a的取值范围为−4≤a≤−1.故选：AB10、已知函数y=log a(x+c)(a,c为常数，其中a>0,a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是（）A．a>1B．0<a<1C．c>1D．0<c<1答案：BD分析：根据对数函数的图象判断．由图象知0<a<1，可以看作是y=log a x向左移动c个单位得到的，因此0<c<1，故选：BD ．11、已知函数f (x )={(12)x−1,x ≤0x 12,x >0，则下列结论中错误的是（ ） A ．f (x )的值域为(0,+∞)B ．f (x )的图象与直线y =2有两个交点C ．f (x )是单调函数D ．f (x )是偶函数答案：ACD分析：利用指数函数、幂函数的性质画出f (x )的图象，由图象逐一判断即可.函数f (x )的图象如图所示，由图可知f (x )的值域为[0,+∞)，结论A 错误，结论C ，D 显然错误，f (x )的图象与直线y =2有两个交点，结论B 正确．故选：ACD填空题12、函数f (x )=log 12(x 2−5x +6)的单调递减区间为___________.答案：(3,+∞)分析：利用对数型复合函数性质求解即可.由题知：x 2−5x +6>0，解得x >3或x <2.令t =x 2−5x +6，则y =log 12t 为减函数.所以t ∈(−∞,2)，t =x 2−5x +6为减函数，f (x )=log 12(x 2−5x +6)为增函数，t ∈(3,+∞)，t =x 2−5x +6为增函数，f (x )=log 12(x 2−5x +6)为减函数.所以函数f (x )=log 12(x 2−5x +6)的单调递减区间为(3,+∞).所以答案是：(3,+∞)13、解指数方程2x+3=3x 2−9：__________.答案：x =−3或x =3+log 32分析：直接对方程两边取以3为底的对数，讨论x +3=0和x +3≠0，解出方程即可. 由2x+3=3x2−9得log 32x+3=log 33x 2−9，即(x +3)log 32=(x −3)(x +3)，当x +3=0即x =−3时，0=0显然成立；当x +3≠0时，log 32=x −3，解得x =log 32+3；故方程的解为：x =−3或x =3+log 32. 所以答案是：x =−3或x =3+log 32.14、设x 13=2，则√x 53⋅x −1=___________.答案：4分析：由根式与有理数指数幂的关系，结合指数幂的运算性质，求值即可.由√x 53⋅x −1=x 53⋅x −1=x 23=(x 13)2=22=4. 所以答案是：4.解答题15、证明：函数f (x )=log 3(1+x )的图象与g (x )=log 2x 的图象有且仅有一个公共点． 答案：证明见解析分析：把要证两函数的图象有且仅有一个公共点转化为证明方程log 3(1+x )=log 2x 有且仅有一个实根.易观察出x =2为其一根，再假设(x 0,y 0)(x 0≠2)是函数图象的另一个公共点，然后得出矛盾即可. 要证明两函数f (x )和g (x )的图象有且仅有一个公共点，只需证明方程log 3(1+x )=log 2x 有且仅有一个实根，观察上述方程，显然有f (2)=g (2)，则两函数的图象必有交点(2,1)．设(x 0,y 0)(x 0≠2)是函数图象的另一个公共点．则log 3(1+x 0)=log 2x 0，1+x 0=3y 0，x 0=2y 0，∴1+2y 0=3y 0，即(13)y 0+(23)y 0=1， 令M (x )=(13)x +(23)x ，易知函数M (x )=(13)x +(23)x 为指数型函数．显然M (x )在(−∞,+∞)内是减函数，且M (1)=1，故方程(13)y 0+(23)y 0=1有唯一解y 0=1，从而x 0=2，与x 0≠2矛盾， 从而知两函数图象仅有一个公共点．。

高一数学易错、易混、易忘典型题目【前言】“会而不对，对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成为学生挥之不去的痛，如何解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。

本文结合多年教学经验精心挑选学生在考试中常见的易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、怪、难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在，另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的，助你在数学中乘风破浪，实现自已的理想报负。

【易错、易混、易忘典型题目】【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。

例1、 设{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x a x =-=，若A B B = ，求实数a 组成的集合的子集有多少个？【易错点分析】此题由条件A B B = 易知B A ⊆，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的a 值产生漏解现象。

解析：集合A 化简得{}3,5A =，由A B B = 知B A ⊆故（Ⅰ）当B φ=时，即方程10ax -=无解，此时a=0符合已知条件（Ⅱ）当B φ≠时，即方程10ax -=的解为3或5，代入得13a =或15。

综上满足条件的a 组成的集合为110,,35⎧⎫⎨⎬⎩⎭，故其子集共有328=个。

【知识点归类点拔】（1）在应用条件A ∪B ＝Ｂ⇔A ∩B ＝Ａ⇔ＡＢ时，要树立起分类讨论的数学思想，将集合Ａ是空集Φ的情况优先进行讨论．（2）在解答集合问题时，要注意集合的性质“确定性、无序性、互异性”特别是互异性对集合元素的限制。

有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质，此外，解题过程中要注意集合语言（数学语言）和自然语言之间的转化如：(){}22,|4A x y x y =+=，()()(){}222,|34B x y x y r=-+-=，其中0r >,若A B φ= 求r 的取值范围。

高考数学易错题分析与总结高考数学对于许多同学来说是一场充满挑战的考试。

在备考过程中，了解并掌握常见的易错题类型，对于提高成绩至关重要。

下面我们就来对高考数学中的易错题进行详细的分析与总结。

一、函数部分1、函数定义域和值域问题在求函数定义域时，容易忽略一些限制条件。

例如，对于分式函数，分母不能为零；对于偶次根式函数，被开方数必须大于等于零；对于对数函数，真数必须大于零。

在求函数值域时，没有考虑到函数的单调性、奇偶性等性质，导致取值范围错误。

2、函数单调性和奇偶性问题判断函数单调性时，不能正确运用定义或者导数进行判断。

对于奇偶性，忽略了定义域关于原点对称这个前提条件，或者在利用奇偶性求参数值时出现错误。

【例题】已知函数$f(x)＝＼frac{1}｛x^2 ＋ 1}＄，判断其单调性。

【易错点】直接对函数求导，得到$f'（x)＝＼frac{2x}｛（x^2 ＋ 1)＾2}＄，然后根据导数的正负来判断单调性。

但容易忽略分母恒大于零，只考虑分子的正负，从而得出错误的结论。

【正确解法】设$x_1 ＜ x_2$，计算$f(x_2) f(x_1)＝＼frac{（x_1x_2)（x_1 ＋ x_2)｝｛（x_1^2 ＋ 1)（x_2^2 ＋ 1)｝＄，因为分母恒大于零，而分子的正负取决于$x_1 ＋x_2$的正负，所以需要分区间讨论。

二、三角函数部分1、三角函数的图像和性质对于三角函数的周期性、对称轴、对称中心等概念理解不清，导致在解题时出现错误。

在进行三角函数的变换时，如平移、伸缩等，没有掌握好规律。

2、解三角形问题在利用正弦定理、余弦定理求解三角形时，容易忽略三角形内角和为 180 度这个条件，或者在判断解的个数时出现错误。

【例题】在$＼triangle ABC$中，已知$a=2$，＄b=＼sqrt{3}＄，＄A=60^＼circ$，求角$B$。

【易错点】直接使用正弦定理$＼frac{a}｛＼sin A}＝＼frac{b}｛＼sin B}＄，得到$＼sin B=＼frac{＼sqrt{3}｝｛2}＄，然后得出$B=60^＼circ$或$120^＼circ$。

数学必修1基本易错题总结在高中的数学学习中，出题的题型千变万化，各种不同的题型，不同的解题思路让同学们很困惑。

事实上，难题并不是占据了主导地位，更多的是同学们可以掌握的题型。

在初等题中有一大部分是基础题型，这是大家需要牢牢掌握的。

而中等难度的题绝大部分是由初等题型转化，综合，变型而来的，基础题型掌握好了这个也很容易解决。

而在难题中，有绝大部分是由于综合性比较强，但是基础扎实了后也是完全可以克服的。

这里帮同学解决主要总结基本易错题型，以及我们已经学到的数学解题思想。

一、基本易错题1、忽略空集（1）已知2{|320},{|20}A x x x B x ax =-+==-=且A B A = ，求实数a 组成的集合C ．解：∵A B A = ∴B A ⊆ 又2{|320}{1,2}A x x x =-+==∴B =∅或{1}{2}，∴C={0，1，2}总结：此题要理解为什么B =∅时0a =（2）已知集合2{|3100},{|121}A x x x B x p x p =--≤=≤≤＋－．若B A ⊆，求实数p的取值范围．解：①当B ≠∅时，即1212p p p ≤∴≥＋－. 由B A ⊆得21215p p ≤≤－＋且－∴ 23p ≤≤ ②当时B =∅，即1212p p p >∴<＋－. 综上由①、②得：3p ≤.总结：不少同学在解决①时很容易忘了考虑前提2p ≥，在最后23p ≤≤和2p <做并集时直接就写成了23p ≤≤和2p <。

练习1 设集合2{|40}A x x x =+=，22{|2(1)10}B x x a x a =+++-=，A B B = ，求实数a 的值． （答案 1 1a a ≤-=或 ）2、集合的含义已知集合{|A x y ==，2{|,}B y y t t A ==∈，求B A解：{|{|11}A x y x x ===-≤≤，2{|,}{|01}B y y t t A y y ==∈=≤≤， {|01}B A x x =≤≤总结：首先要注意的是集合中的元素和元素符合的条件，在集合A 中元素为x 是函数的定义域，在集合B 中元素为y 是函数的值域，要注意此时B 中这个条件t A ∈。

高一数学必修一易错题集锦答案1. 已知集合M={y |y =x 2＋1,x∈R },N={y|y =x ＋1,x∈R }，则M∩N=（ ）解：M={y |y =x 2＋1,x∈R }={y |y ≥1}， N={y|y=x ＋1,x∈R }={y|y∈R }．∴M∩N={y |y ≥1}∩{y|(y∈R)}={y |y ≥1},注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x |y =x 2＋1}、{y |y =x 2＋1,x ∈R }、{(x ,y )|y =x 2＋1,x ∈R }，这三个集合是不同的．2 .已知A={x |x 2－3x ＋2=0},B={x |ax －2=0}且A∪B=A，求实数a 组成的集合C ． 解：∵A∪B=A ∴B A 又A={x |x 2－3x ＋2=0}={1，2}∴B=或{}{}21或∴C={0，1，2}3 。

已知m ∈A,n ∈B, 且集合A={}Z a a x x ∈=,2|，B={}Z a a x x ∈+=,12|，又C={}Z a a x x ∈+=,14|，则有：m +n ∈ (填A,B,C 中的一个)解：∵m ∈A, ∴设m =2a 1,a 1∈Z , 又∵n B ∈,∴n =2a 2+1,a 2∈ Z ,∴m +n =2(a 1+a 2)+1,而a 1+a 2∈ Z , ∴m +n ∈B 。

4 已知集合A={x|x 2－3x －10≤0}，集合B={x|p ＋1≤x≤2p－1}．若B A ，求实数p 的取值范围．解：①当B≠时，即p ＋1≤2p－1p≥2.由B A 得：－2≤p＋1且2p －1≤5. 由－3≤p≤3.∴ 2≤p≤3②当B=时，即p ＋1>2p －1p ＜2.由①、②得：p≤3.点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．5 已知集合A={a,a ＋b,a ＋2b}，B={a,ac,ac 2}．若A=B ，求c 的值．分析：要解决c 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．解：分两种情况进行讨论．（1）若a ＋b=ac 且a ＋2b=ac 2，消去b 得：a ＋ac 2－2ac=0，a=0时，集合B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．∴c 2－2c ＋1=0，即c=1，但c=1时，B 中的三元素又相同，此时无解．（2）若a ＋b=ac 2且a ＋2b=ac ，消去b 得：2ac 2－ac －a=0，∵a≠0，∴2c 2－c －1=0，即(c －1)(2c ＋1)=0，又c≠1，故c=－21．点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验. 6 设A 是实数集，满足若a∈A，则a -11∈A ，1≠a 且1∉A.⑴若2∈A，则A 中至少还有几个元素？求出这几个元素⑵A 能否为单元素集合？请说明理由.⑶若a∈A，证明：1－a 1∈A.⑷求证：集合A 中至少含有三个不同的元素.解：⑴2∈A ⇒ －1∈A ⇒ 21∈A ⇒ 2∈A∴ A 中至少还有两个元素：－1和21⑵如果A 为单元素集合，则a ＝a -11即12+-a a ＝0该方程无实数解，故在实数范围内，A 不可能是单元素集⑶a∈A ⇒ a -11∈A ⇒ a--1111∈A ⇒111---a a∈A ，即1－a 1∈A⑷由⑶知a∈A 时，a -11∈A， 1－a 1∈A .现在证明a,1－a 1, a -11三数互不相等.①若a=a -11,即a2-a+1=0 ，方程无解，∴a ≠a -11②若a=1－a 1，即a 2-a+1=0，方程无解∴a ≠1－a 1③若1－a 1 =a -11，即a2-a+1=0，方程无解∴1－a 1≠a -11.综上所述，集合A 中至少有三个不同的元素.点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨.7 设M ＝｛a ，b ，c ｝，N ＝｛－2,0,2｝,求（1）从M 到N 的映射种数；（2）从M 到N 的映射满足 f (a)>f (b)≥f(c),试确定这样的映射f 的种数. 解：（1）由于M ＝｛a ，b ，c ｝，N ＝｛－2,0,2｝，结合映射的概念，有一共有27个映射（2）符合条件的映射共有4个0222,2,2,0,0,2220a a a ab b b bc c c c →→→→⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪→-→-→→⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪→-→-→-→⎩⎩⎩⎩8.已知函数()f x 的定义域为[0，1]，求函数(1)f x +的定义域解：由于函数()f x 的定义域为[0，1]，即01x ≤≤∴(1)f x +满足011x ∴≤+≤ 10x -≤≤，∴(1)f x +的定义域是[－1，0]9根据条件求下列各函数的解析式：（1）已知()f x 是二次函数，若(0)0,(1)()1f f x f x x =+=++，求()f x .（2）已知1)f x x x =+，求()f x（3）若()f x 满足1()2(),f x f ax x +=求()f x解：（1）本题知道函数的类型，可采用待定系数法求解设()f x ＝2(0)ax bx c a ++≠由于(0)0f =得2()f x ax bx =+，又由(1)()1f x f x x +=++，∴22(1)(1)1a x b x ax bx x +++=+++即 22(2)(1)1ax a b x a b ax b x ++++=+++211021a b b a a b a b +=+⎧⎪∴≠∴==⎨⎪+=⎩ 因此：()f x ＝21122x x +(2)本题属于复合函数解析式问题，可采用换元法求解设22()(1)2(1)1(1)f u u u u u ∴=-+-=-≥∴()f x ＝21x - （1x ≥）（3）由于()f x 为抽象函数，可以用消参法求解用1x 代x 可得：11()2(),f f x a x x +=与 1()2()f x f ax x +=联列可消去1()f x 得：()f x ＝233a axx -.点评：求函数解析式（1）若已知函数()f x 的类型，常采用待定系数法；（2）若已知[()]f g x 表达式，常采用换元法或采用凑合法；（3）若为抽象函数，常采用代换后消参法. 10 已知x y x 62322=+，试求22y x +的最大值.分析：要求22y x +的最大值，由已知条件很快将22y x +变为一元二次函数,29)3(21)(2+--=x x f 然后求极值点的x 值，联系到02≥y ，这一条件，既快又准地求出最大值.解 由 x y x 62322=+得.20,0323,0.3232222≤≤∴≥+-∴≥+-=x x x y xx y 又,29)3(2132322222+--=+-=+x x x x y x∴当2=x 时，22y x +有最大值，最大值为.429)32(212=+--点评：上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的深刻性.大部分学生的作法如下：由 x y x 62322=+得 ,32322x x y +-=1(0),1(1)u x x x u u =+≥=-≥,29)3(2132322222+--=+-=+∴x x x x y x ∴当3=x 时，22y x +取最大值，最大值为29 这种解法由于忽略了02≥y 这一条件，致使计算结果出现错误.因此，要注意审题，不仅能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件，又要注意次要条件，甚至有些问题的观察要从相应的图像着手，这样才能正确地解题.. 11设()f x 是R 上的函数，且满足(0)1,f =并且对任意的实数,x y 都有()()(21)f x y f x y x y -=--+，求()f x 的表达式.解法一：由(0)1,f =()()(21)f x y f x y x y -=--+，设x y =，得(0)()(21)f f x x x x =--+，所以()f x ＝21x x ++解法二：令0x =，得(0)(0)(1)f y f y y -=--+即()1(1)f y y y -=--+又将y -用x 代换到上式中得()f x ＝21x x ++点评：所给函数中含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数.具体取什么特殊值，根据题目特征而定. 12判断函数1()(1)1xf x x x -=++.解：1()(1)1x f x x x -=++有意义时必须满足10111xx x -≥⇒-<≤+即函数的定义域是｛x ｜11x -<≤｝，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数13 判断22()log (1)f x x x =++的奇偶性.正解：方法一：∵)1(log )1)((log )(2222++-=+-+-=-x x x x x f ＝11log 22++x x ＝)1(log22++-x x ＝－)(x f ∴)(x f 是奇函数方法二：∵)1(log )1(log )()(2222++-+++=-+x x x x x f x f ＝01log )1()1[(log 2222==++-⋅++x x x x)()(x f x f -=- ∴)(x f 是奇函数14函数y=245x x --的单调增区间是_________. 解：y=245x x --的定义域是[5,1]-，又2()54g x x x =--在区间[5,2]--上增函数，在区间[2,1]-是减函数，所以y=245x x --的增区间是[5,2]--15已知奇函数f (x )是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f (x －3)+f (x 2－3)<0,求x 的取值范围.解：由⎩⎨⎧<<-<<⎩⎨⎧<-<-<-<-66603333332x x x x 得,故0<x<6,又∵f (x )是奇函数，∴f (x －3)<－f (x 2－3)=f (3－x 2),又f (x )在(－3，3)上是减函数，∴x －3>3－x 2,即x 2+x －6>0,解得x >2或x <－3,综上得2<x <6,即A ={x |2<x <6}, 16 作出下列函数的图像(1)y=|x-2|(x ＋1)；(2)|lg |10x y =.分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形.在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思想.解：(1)当x ≥2时，即x-2≥0时，当x ＜2时，即x-2＜0时，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+--≥--=)2(49)21()2(49)21(22x x x x y这是分段函数，每段函数图像可根据二次函数图像作出(见图)(2)当x ≥1时，lgx ≥0，y =10lgx=x ；当0＜x ＜1时，lgx ＜0，所以这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出.(见图)点评：作不熟悉的函数图像，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意x ，y 的变化范围.因此必须熟记基本函数的图像.例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数、反三角函数的图像.17若f(x)= 21++x ax 在区间（－2，＋∞）上是增函数，求a 的取值范围解：设12121212112,()()22ax ax x x f x f x x x ++-<<-=-++12211212121221121122121212(1)(2)(1)(2)(2)(2)(22)(22)(2)(2)22(21)()(2)(2)(2)(2)ax x ax x x x ax x ax x ax x ax x x x ax x ax x a x xx x x x ++-++=+++++-+++=++--+--==++++由f (x )=21++x ax 在区间（－2，＋∞）上是增函数得12()()0f x f x -<210a ∴-> ∴a ＞21点评：有关于单调性的问题，当我们感觉陌生，不熟悉或走投无路时，回到单调性的定义上去，往往给我们带来“柳暗花明又一村”的感觉.18已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (21)=－1,当且仅当0<x <1时f (x )<0,且对任意x 、y ∈(－1,1)都有f (x )+f (y )=f (xy yx ++1),试证明：(1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－1，1)上单调递减解：证明：(1)由f (x )+f (y )=f (xy yx ++1),令x =y =0,得f (0)=0,令y =－x ,得f (x )+f (－x )=f (21x xx --)=f (0)=0.∴f (x )=－f (－x ).∴f (x )为奇函数.(2)先证f (x )在(0，1)上单调递减.令0<x 1<x 2<1,则f (x 2)－f (x 1)=f (x 2)＋f (－x 1)=f (21121x x x x --)∵0<x 1<x 2<1,∴x 2－x 1>0,1－x 1x 2>0，∴21121x x x x -->0,又(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)=(x 2－1)(x 1+1)<0∴x 2－x 1<1－x 2x 1,∴0<12121x x x x --<1,由题意知f (21121x x x x --)<0，即f (x 2)<f (x 1).∴f (x )在(0，1)上为减函数，又f (x )为奇函数且f (0)=0.∴f (x )在(－1，1)上为减函数.点评：本题知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.对函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力要求较高. 如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得. 对于(1)，获得f (0)的值进而取x =－y 是解题关键；对于(2)，判定21121x x x x --的范围是解题的焦点.19已知18log 9,185,ba ==求36log 45解：∵185,b =∴18log 5b =∴1818183621818181818log 45log 5log 9log 451818log 36log 4log 92log ()2log ()99b ab a b a aa a++++=====+-++20知)2(log ax y a -=在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是 解：∵)2(log ax y a -=是由u y a log =，ax u -=2复合而成，又a ＞0∴ax u -=2在[0，1]上是x 的减函数，由复合函数关系知u y a log =应为增函数，∴a ＞1又由于x 在[0，1]上时 )2(log ax y a -=有意义，ax u -=2又是减函数，∴x ＝1时，ax u -=2取最小值是a u -=2min ＞0即可， ∴a ＜2综上可知所求的取值范围是1＜a ＜221已知函数()log (3)a f x ax =-.（1）当[0,2]x ∈时()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围.（2）是否存在这样的实数a 使得函数()f x 在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1，如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由.分析：函数()f x 为复合函数，且含参数，要结合对数函数的性质具体分析找到正确的解题思路，是否存在性问题，分析时一般先假设存在后再证明.解：（1）由假设，ax -3＞0，对一切[0,2]x ∈恒成立，0,1a a >≠显然，函数g(x)= ax -3在[0，2]上为减函数，从而g(2)＝32a -＞0得到a ＜32∴a 的取值范围是（0，1）∪（1，32）(2)假设存在这样的实数a ，由题设知(1)1f =，即(1)log (3)a f a =-＝1∴a ＝32此时3()log (3)2a f x x =-当2x =时，()f x 没有意义，故这样的实数不存在.点评：本题为探索性问题，应用函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题一般的处理方法是先假设存在，结合已知条件进行推理和等价转化，若推出矛盾，说明假设不成立.即不存在，反之没有矛盾，则问题解决.22已知函数f (x )=1421lg 2+-⋅++a a ax x , 其中a 为常数，若当x ∈(－∞, 1］时, f (x )有意义，求实数a 的取值范围.分析：参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于a 的不等式（组）非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把a 分离出来，重新认识a 与其它变元(x )的依存关系，利用新的函数关系，常可使原问题“柳暗花明”. 解：14212+-⋅++a a ax x >0, 且a 2－a +1=(a －21)2+43>0,∴ 1+2x +4x ·a >0, a >)2141(x x +-,当x ∈(－∞, 1]时, y =x 41与y =x 21都是减函数，∴ y =)2141(x x +-在(－∞, 1]上是增函数，)2141(x x +-max =－43,∴ a >－43, 故a 的取值范围是(－43, +∞).点评：发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系、反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现.本题主客换位后，利用新建函数y =)2141(x x +-的单调性转换为函数最值巧妙地求出了实数a 的取值范围.此法也叫主元法.23若1133(1)(32)a a --+<-，试求a 的取值范围.解：∵幂函数13y x -=有两个单调区间，∴根据1a +和32a -的正、负情况，有以下关系10320.132a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩① 10320.132a a a a +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩② 10.320a a +<⎧⎨->⎩③解三个不等式组：①得23＜a ＜32，②无解，③a ＜－1∴a 的取值范围是（－∞，－1）∪（23，32）点评：幂函数13y x -=有两个单调区间，在本题中相当重要，不少学生可能在解题中误认为132a a +>-，从而导致解题错误.24 已知a>0 且a ≠1 ,f (log a x ) = 12-a a(x －x 1)(1)求f(x)；(2)判断f(x)的奇偶性与单调性；(3)对于f(x) ,当x ∈(－1 , 1)时 , 有f( 1－m ) +f (1－ m 2 ) < 0 ,求m 的集合M . 分析：先用换元法求出f(x)的表达式；再利用有关函数的性质判断其奇偶性和单调性；然后利用以上结论解第三问.解：(1)令t=log a x(t ∈R)，则).(),(1)(),(1)(,22R x a a a a x f a a a a t f a x xx t t t ∈--=∴--==--,101,.)(,10,)(,01,1.)(,),()(1)()2(22<<><<-=>->∴∈-=--=---a a x f a a a x u a aa x f R x x f a a a a x f x x x x 或无论综上为增函数类似可判断时当为增函数时当为奇函数且f(x)在R 上都是增函数.)1,1().1()1(,)(,0)1()1()3(22-∈-<-∴<-+-x m f m f R x f m f m f 又上是增函数是奇函数且在.211111111122<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-∴m m m m m点评：对含字母指数的单调性，要对字母进行讨论.对本例的③不需要代入f （x ）的表达式可求出m 的取值范围，请同学们细心体会.25已知函数2()3f x x ax a =++-若[2,2]x ∈-时，()f x ≥0恒成立，求a 的取值范围. 解：设()f x 的最小值为()g a（1）当22a-<-即a ＞4时，()g a ＝(2)f -＝7－3a ≥0，得73a ≤故此时a 不存在；(2) 当[2,2]2a-∈-即－4≤a ≤4时，()g a ＝3－a －24a ≥0，得－6≤a ≤2又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2；（3）22a->即a ＜－4时，()g a ＝(2)f ＝7＋a ≥0，得a ≥－7，又a ＜－4故－7≤a ＜－4综上，得－7≤a ≤226已知210mx x ++=有且只有一根在区间（0,1）内，求m 的取值范围. 解：设2()1f x mx x =++，（1）当m ＝0时方程的根为－1，不满足条件.（2）当m ≠0∵210mx x ++=有且只有一根在区间（0,1）内又(0)f ＝1＞0∴有两种可能情形①(1)0f <得m ＜－2 或者②1(1)02f m =-且0<<1得m 不存在综上所得，m ＜－227.是否存在这样的实数k ，使得关于x 的方程x 2+（2k －3）x －（3k －1）＝0有两个实数根，且两根都在0与2之间？如果有，试确定k 的取值范围；如果没有，试说明理由.解：令2()(23)(31)f x x k x k =+---那么由条件得到2(23)4(31)0(0)130(2)42(23)(31)023022k k f k f k k k ⎧∆=-+-≥⎪=->⎪⎪⎨=+--->⎪-⎪<<⎪⎩即24501313722k k k k ⎧+≥⎪⎪<⎪⎨>⎪⎪<<⎪⎩即此不等式无解即不存在满足条件的k 值.28已知二次函数2()f x ax bx c =++对于x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2时12()()f x f x ≠，求证：方程()f x ＝121[()()]2f x f x +有不等实根，且必有一根属于区间（x 1，x 2）.解：设F （x ）＝()f x －121[()()]2f x f x +，则方程 ()f x ＝121[()()]2f x f x + ①与方程 F （x ）＝0 ② 等价 ∵F （x 1）＝1()f x －121[()()]2f x f x +＝121[()()]2f x f x - F （x 2）＝2()f x －121[()()]2f x f x +＝121[()()]2f x f x -+∴ F （x 1）·F （x 2）＝－2121[()()]4f x f x -，又12()()f x f x ≠∴F （x 1）·F （x 2）＜0故方程②必有一根在区间（x 1，x 2）内.由于抛物线y ＝F （x ）在x 轴上、下方均有分布，所以此抛物线与x 轴相交于两个不同的交点，即方程②有两个不等的实根，从而方程①有两个不等的实根，且必有一根属于区间（x 1，x 2）.点评：本题由于方程是()f x ＝121[()()]2f x f x +，其中因为有()f x 表达式，所以解题中有的学生不理解函数图像与方程的根的联系，误认为证明()f x 的图像与x 轴相交于两个不同的点，从而证题中着眼于证1()f x 2()f x ＜0，使本题没法解决. 本题中将问题转化为F （x ）＝()f x －121[()()]2f x f x +的图像与x 轴相交于两个不同的两点是解题的关健所在. 29试确定方程322420x x x --+=最小根所在的区间，并使区间两个端点是两个连续的整数.分析：只要构造函数()f x ＝32242x x x --+，计算()f x 的自变量x 取整数值时的函数值，根据其符号，确定方程根的个数及根的分布. 解：令()f x ＝32242x x x --+∵(3)f -＝－54－9＋12＋2＝－49＜0 (2)f -＝－16－4＋8＋2＝－10＜0 (1)f -＝－2－1＋4＋2＝3＞0，，(0)f ＝0－0－0＋2＝2＞0 (1)f ＝2－1－4＋2＝－1＜0， (2)f ＝16－4－8＋2＝6＞0根据(2)f -·(1)f -＜0，(0)f ·(1)f ＜0，(1)f ·(2)f ＜0 可知()f x 的零点分别在区间（－2，－1），（0,1），（1,2）内.因为方程是一个一元三次方程，所以它最多有三个根，所以原方程的最小根在区间（－2，－1）内.点评：计算一元高次函数值可借助于计算器来完成，在实数范围内一元n 次方程最多有n 个实根，当然本题也可以用因式分解方法来解.32242x x x --+221(21)2(21)2()(2)212()(2)(2)2x x x x x x x x =---=--=-所以32242x x x --+＝0有三个根：12,22-30设二次函数2()(0),f x ax bx c a =++>方程0)(=-x x f 的两个根21,x x ，满足0<21x x <a1<. （1）当),0(1x x ∈时，证明1)(x x f x <<；（2）设函数2()(0),f x ax bx c a =++>的图像关于直线0x x =对称，证明：210x x <. 分析：（1）用作差比较法证明不等式1)(x x f x <<；（2）函数2()(0),f x ax bx c a =++>图像关于直线0x x =对称，实际直线0x x =就是二次函数的对称轴，即abx 20-=，然后用已知条件证明不等式即可. 证明：（1）依题意，设))(()()(21x x x x a x x f x F --=-= 当),0(1x x ∈时，由于21x x <，∴0))((21>--x x x x ，又0>a ∴))(()()(21x x x x a x x f x F --=-=>0即)(x f x <)1)(()1)(()()]([)(2121111ax x x ax ax x x x F x x x F x x x f x -->-+-=--=+-=-∵0<21x x x <<a1<.∴01,021>->-ax x x ∴0)(1>-x f x 综合得1)(x x f x << （2）依题意知a b x 20-=，又ab x x 121--=+ ∴aax ax a x x a a bx 2121)(221210-+=-+=-=∵,012<-ax ∴22110x a ax x =<点评：解决本题的关健有三：一是用作差比较法证明不等式；二是正确选择二次函数的表达式，即本题选用两根式表示；三要知道二次函数的图像关于直线对称，此直线为二次函数的对称轴，即ab x 20-= 31已知函数0)1(),1(2)(2=<<++=f b c c bx x x f ，且方程01)(=+x f 有实根. (1)求证：-3<c ≤-1,b ≥0.(2)若m 是方程01)(=+x f 的一个实根，判断)4(-m f 的正负并加以证明 分析：（1）题中条件涉及不等关系的有1<<b c 和方程01)(=+x f 有实根.及一个等式0)1(=f ，通过适当代换及不等式性质可解得；（2）本小题只要判断)4(-m f 的符号，因而只要研究出4-m 值的范围即可定出)4(-m f 符号. (1)证明：由0)1(=f ，得1+2b+c=0,解得21+-=c b ，又1<<b c ， 1c c >+->21解得313-<<-c ， 又由于方程01)(=+x f 有实根，即0122=+++c bx x 有实根， 故0)1(442≥+-=∆c b 即0)1(4)1(2≥+-+c c 解得3≥c 或1-≤c ∴13≤<-c ，由21+-=c b ，得b ≥0. （2）c bx x x f ++=2)(2=)1)(()1(2--=++-x c x c x c x ∵01)(<-=m f ，∴c<m<1（如图） ∴c —4<m —4<—3<c. ∴)4(-m f 的符号为正.点评：二次函数值的符号，可以求出其值判断，也可以灵活运用二次函数的图像及性质解题.32定义在R 上的函数()f x 满足：对任意实数,m n ，总有()()()f m n f m f n +=⋅，且当0x >时，()01f x <<.（1）试求()0f 的值；（2）判断()f x 的单调性并证明你的结论； （3）设()()()(){}()({}22,1,,21,A x y f x f y f B x y f ax y a R =⋅>=-=∈，若A B ⋂=∅，试确定a 的取值范围.（4）试举出一个满足条件的函数()f x .解：（1）在()()()f m n f m f n +=⋅中，令1,0m n ==.得：()()()110f f f =⋅.因为()10f ≠，所以，()01f =.（2）要判断()f x 的单调性，可任取12,x x R ∈，且设12x x <.在已知条件()()()f m n f m f n +=⋅中，若取21,m n x m x +==，则已知条件可化为：()()()2121f x f x f x x =⋅-.由于210x x ->，所以()2110f x x >->.为比较()()21f x f x 、的大小，只需考虑()1f x 的正负即可.在()()()f m n f m f n +=⋅中，令m x =，n x =-，则得()()1f x f x ⋅-=. ∵ 0x >时，()01f x <<， ∴ 当0x <时，()()110f x f x =>>-.又()01f =，所以，综上，可知，对于任意1x R ∈，均有()10f x >. ∴ ()()()()2112110f x f x f x f x x -=--<⎡⎤⎣⎦. ∴ 函数()f x 在R 上单调递减.（3）首先利用()f x 的单调性，将有关函数值的不等式转化为不含f 的式子.()()()222211f x f y f x y ⋅>+<即，(()210f ax y f -==，即20ax y -+=.由A B ⋂=∅，所以，直线20ax y -+=与圆面221x y +<无公共点.所以，2211a ≥+.解得 11a -≤≤.（4）如()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.点评：根据题意，将一般问题特殊化，也即选取适当的特值（如本题中令1,0m n ==；以及21,m n x m x +==等）是解决有关抽象函数问题的非常重要的手段；另外，如果能找到一个适合题目条件的函数，则有助于问题的思考和解决. 33设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈ （1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的最小值.解：（1）当0=a 时，函数)(1||)()(2x f x x x f =+-+-=- 此时，)(x f 为偶函数当0≠a 时，1)(2+=a a f ，1||2)(2++=-a a a f ，)()(a f a f -≠，)()(a f a f --≠此时)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数（2）（i ）当a x ≤时，43)21(1)(22++-=++-=a x a x x x f 当21≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上单调递减，从而函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为1)(2+=a a f .若21>a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f +=43)21(，且)()21(a f f ≤. （ii ）当a x ≥时，函数43)21(1)(22+-+=+-+=a x a x x x f若21-≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f -=-43)21(，且)()21(a f f ≤-若21->a ，则函数)(x f 在),[+∞a 上单调递增，从而函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为1)(2+=a a f .综上，当21-≤a 时，函数)(x f 的最小值为a -43当2121≤<-a 时，函数)(x f 的最小值为12+a当21>a 时，函数)(x f 的最小值为a +43.点评：（1）探索函数的奇偶性，可依据定义，通过)()(x f x f =-代入有1||1||)(22+-+=+--+-a x x a x x ，即||||a x a x -=+可得，当0=a 时，||||a x a x -=+，函数)()(x f x f =-函数为偶函数. 通过)()(x f x f -=-可得 1||1||)(22----=+--+-a x x a x x 化得 ||||222a x a x x -++=+此式不管0=a 还是0≠a 都不恒成立，所以函数不可能是奇函数.（2）由于本题中含有绝对值，需要去掉，故分类讨论，既要对二次函数值域的研究方法熟练掌握，又要将结论综合，对学生的综合运用数学知识能力及数学思想作了较好的考查.34某公司为帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计利息).已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售量q （百件）与销售价p （元／件）之间的关系用右图中的一条折线（实线）表示；职工每人每月工资为600元，该店应交付的其它费用为每月130元. （1）若当销售价p 为52元／件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数； （2）若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品的价格定为多少元？分析：本题题目的篇幅较长，所给条件零散杂乱，为此，不仅需要划分段落层次，弄清每一层次独立的含义和相互间的关系，更需要抓住矛盾的主要方面.由题目的问题找到关键词——“收支平衡”、“还清所有债务”，不难想到，均与“利润”相关.从阅读和以上分析，可以达成我们对题目的整体理解，明确这是一道函数型应用题.为此，首先应该建立利润与职工人数、月销售量q 、单位商品的销售价p 之间的关系，然后，通过研究解析式，来对问题作出解答.由于销售量和各种支出均以月为单位计量，所以，先考虑月利润. 解：（1）设该店的月利润为S 元，有职工m 名.则()4010060013200S q p m =-⨯--.124584060q p81又由图可知：()()2140, 405882 5881p p q p p -+≤≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩. 所以，()()()()()()21404010060013200 4058824010060013200 58<81p p m p S p p m p -+-⨯--≤≤⎧⎪=⎨-+-⨯--≤⎪⎩ 由已知，当52p =时，0S =，即()()214040100600132000p p m -+-⨯--=，解得50m =.即此时该店有50名职工.（2）若该店只安排40名职工，则月利润()()()()()()21404010037200 4058824010037200 58<81p p p S p p p -+-⨯-≤≤⎧⎪=⎨-+-⨯-≤⎪⎩. 当4058p ≤≤时，求得55p =时，S 取最大值7800元. 当5881p <≤时，求得61p =时，S 取最大值6900元. 综上，当55p =时，S 有最大值7800元.设该店最早可在n 年后还清债务，依题意，有 1278002680002000000n ⨯--≥. 解得5n ≥.所以，该店最早可在5年后还清债务，此时消费品的单价定为55元.点评：求解数学应用题必须突破三关：（1）阅读理解关：一般数学应用题的文字阅读量都比较大，要通过阅读审题，找出关键词、句，理解其意义.（2）建模关：即建立实际问题的数学模型，将其转化为数学问题. （3）数理关：运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型.。

[高一数学易错点]高一数学易错题高一数学易错点(一)易错点1 遗忘空集致误由于空集是任何非空集合的真子集，因此B=∅时也满足B⊆A.解含有参数的集合问题时，要特别注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况.易错点2 忽视集合元素的三性致误集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求.易错点3 混淆命题的否定与否命题命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念，命题p的否定是否定命题所作的判断，而“否命题”是对“若p，则q”形式的命题而言，既要否定条件也要否定结论.易错点4 充分条件、必要条件颠倒致误对于两个条件A，B，如果A⇒B成立，则A是B的充分条件，B是A 的必要条件;如果B⇒A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件;如果A⇔B，则A，B互为充分必要条件.解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时一定要根据充分条件和必要条件的概念作出准确的判断.易错点5 “或”“且”“非”理解不准致误命题p∨q真⇔p真或q真，命题p∨q假⇔p假且q假(概括为一真即真);命题p∧q真⇔p真且q真，命题p∧q假⇔p假或q假(概括为一假即假);綈p真⇔p假，綈p假⇔p真(概括为一真一假).求参数取值范围的题目，也可以把“或”“且”“非”与集合的“并”“交”“补”对应起来进行理解，通过集合的运算求解.易错点6 函数的单调区间理解不准致误在研究函数问题时要时时刻刻想到“函数的图像”，学会从函数图像上去分析问题、寻找解决问题的方法.对于函数的几个不同的单调递增(减)区间，切忌使用并集，只要指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可.易错点7 判断函数的奇偶性忽略定义域致误判断函数的奇偶性，首先要考虑函数的定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶函数.易错点8 函数零点定理使用不当致误如果函数y=f(某)在区间[a，b]上的图像是一条连续的曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么，函数y=f(某)在区间(a，b)内有零点，但f(a)f(b)>0时，不能否定函数y=f(某)在(a，b)内有零点.函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，对于“不变号零点”函数的零点定理是“无能为力”的，在解决函数的零点问题时要注意这个问题.易错点9 导数的几何意义不明致误函数在一点处的导数值是函数图像在该点处的切线的斜率.但在许多问题中，往往是要解决过函数图像外的一点向函数图像上引切线的问题，解决这类问题的基本思想是设出切点坐标，根据导数的几何意义写出切线方程.然后根据题目中给出的其他条件列方程(组)求解.因此解题中要分清是“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”.易错点10 导数与极值关系不清致误f′(某0)=0只是可导函数f(某)在某0处取得极值的必要条件，即必须有这个条件，但只有这个条件还不够，还要考虑是否满足f′(某)在某0两侧异号.另外，已知极值点求参数时要进行检验.高一数学易错点(二)易错点1 三角函数的单调性判断致误对于函数y=Ain(ω某+φ)的单调性，当ω>0时，由于内层函数u=ω某+φ是单调递增的，所以该函数的单调性和y=in某的单调性相同，故可完全按照函数y=in某的单调区间解决;但当ω<0时，内层函数u=ω某+φ是单调递减的，此时该函数的单调性和函数y=in某的单调性相反，就不能再按照函数y=in某的单调性解决，一般是根据三角函数的奇偶性将内层函数的系数变为正数后再加以解决.对于带有绝对值的三角函数应该根据图像，从直观上进行判断.易错点2 图像变换方向把握不准致误函数y=Ain(ω某+φ)(其中A>0，ω>0，某∈R)的图像可看作由下面的方法得到：(1)把正弦曲线上的所有点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度;(2)再把所得各点横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的1ω倍(纵坐标不变);(3)再把所得各点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0易错点3 忽视零向量致误零向量是向量中最特殊的向量，规定零向量的长度为0，其方向是任意的，零向量与任意向量都共线.它在向量中的位置正如实数中0的位置一样，但有了它容易引起一些混淆，稍微考虑不到就会出错，考生应给予足够的重视.易错点4 向量夹角范围不清致误解题时要全面考虑问题.数学试题中往往隐含着一些容易被考生所忽视的因素，能不能在解题时把这些因素考虑到，是解题成功的关键，如当a·b<0时，a与b的夹角不一定为钝角，要注意θ=π的情况.易错点5 an与Sn关系不清致误在数列问题中，数列的通项an与其前n项和Sn之间存在下列关系：an=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2.这个关系对任意数列都是成立的，但要注意的是这个关系式是分段的，在n=1和n≥2时这个关系式具有完全不同的表现形式，这也是解题中经常出错的一个地方，在使用这个关系式时要牢牢记住其“分段”的特点.易错点6 对等差、等比数列的定义、性质理解错误等差数列的前n项和在公差不为零时是关于n的常数项为零的二次函数;一般地，有结论“若数列{an}的前n项和Sn=an2+bn+c(a，b，c∈R)，则数列{an}为等差数列的充要条件是c=0”;在等差数列中，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m(m∈N某)是等差数列.易错点7 数列中的最值错误数列问题中其通项公式、前n项和公式都是关于正整数n的函数，要善于从函数的观点认识和理解数列问题.数列的通项an与前n项和Sn的关系是高考的命题重点，解题时要注意把n=1和n≥2分开讨论，再看能不能统一.在关于正整数n的二次函数中其取最值的点要根据正整数距离二次函数的对称轴的远近而定.易错点8 错位相减求和时项数处理不当致误错位相减求和法的适用条件：数列是由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积所组成的，求其前n项和.基本方法是设这个和式为Sn，在这个和式两端同时乘以等比数列的公比得到另一个和式，这两个和式错一位相减，就把问题转化为以求一个等比数列的前n项和或前n-1项和为主的求和问题.这里最容易出现问题的就是错位相减后对剩余项的处理.易错点9 不等式性质应用不当致误在使用不等式的基本性质进行推理论证时一定要准确，特别是不等式两端同时乘以或同时除以一个数式、两个不等式相乘、一个不等式两端同时n次方时，一定要注意使其能够这样做的条件，如果忽视了不等式性质成立的前提条件就会出现错误.易错点10 忽视基本不等式应用条件致误利用基本不等式a+b≥2ab以及变式ab≤a+b22等求函数的最值时，务必注意a，b为正数(或a，b非负)，ab或a+b其中之一应是定值，特别要注意等号成立的条件.对形如y=a某+b某(a，b>0)的函数，在应用基本不等式求函数最值时，一定要注意a某，b某的符号，必要时要进行分类讨论，另外要注意自变量某的取值范围，在此范围内等号能否取到.高一数学易错点(三)易错点1 解含参数的不等式时分类讨论不当致误解形如a某2+b某+c>0的不等式时，首先要考虑对某2的系数进行分类讨论.当a=0时，这个不等式是一次不等式，解的时候还要对b，c进一步分类讨论;当a≠0且Δ>0时，不等式可化为a(某-某1)(某-某2)>0，其中某1，某2(某10，则不等式的解集是(-∞，某1)∪(某2，+∞)，如果a<0，则不等式的解集是(某1，某2).易错点2 不等式恒成立问题处理不当致误解决不等式恒成立问题的常规求法是：借助相应函数的单调性求解，其中的主要方法有数形结合法、变量分离法、主元法.通过最值产生结论.应注意恒成立与存在性问题的区别，如对任意某∈[a，b]都有f(某)≤g(某)成立，即f(某)-g(某)≤0的恒成立问题，但对存在某∈[a，b]，使f(某)≤g(某)成立，则为存在性问题，即f(某)min≤g(某)ma某，应特别注意两函数中的最大值与最小值的关系.易错点3 忽视三视图中的实、虚线致误三视图是根据正投影原理进行绘制，严格按照“长对正，高平齐，宽相等”的规则去画，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的原分界线，且分界线和可视轮廓线都用实线画出，不可见的轮廓线用虚线画出，这一点很容易疏忽.易错点4 面积、体积的计算转化不灵活致误面积、体积的计算既需要学生有扎实的基础知识，又要用到一些重要的思想方法，是高考考查的重要题型.因此要熟练掌握以下几种常用的思想方法.(1)还台为锥的思想：这是处理台体时常用的思想方法.(2)割补法：求不规则图形面积或几何体体积时常用.(3)等积变换法：充分利用三棱锥的任意一个面都可作为底面的特点，灵活求解三棱锥的体积.(4)截面法：尤其是关于旋转体及与旋转体有关的组合问题，常画出轴截面进行分析求解.易错点5 随意推广平面几何中的结论致误平面几何中有些概念和性质，推广到空间中不一定成立.例如“过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”“垂直于同一条直线的两条直线平行”等性质在空间中就不成立.易错点6 对折叠与展开问题认识不清致误折叠与展开是立体几何中的常用思想方法，此类问题注意折叠或展开过程中平面图形与空间图形中的变量与不变量，不仅要注意哪些变了，哪些没变，还要注意位置关系的变化.易错点7 空间点、线、面位置关系不清致误关于空间点、线、面位置关系的组合判断类试题是高考全面考查考生对空间位置关系的判定和性质掌握程度的理想题型，历来受到命题者的青睐，解决这类问题的基本思路有两个：一是逐个寻找反例作出否定的判断或逐个进行逻辑证明作出肯定的判断;二是结合长方体模型或实际空间位置(如课桌、教室)作出判断，但要注意定理应用准确、考虑问题全面细致.易错点8 忽视斜率不存在致误在解决两直线平行的相关问题时，若利用l1∥l2⇔k1=k2来求解，则要注意其前提条件是两直线不重合且斜率存在.如果忽略k1，k2不存在的情况，就会导致错解.这类问题也可以利用如下的结论求解，即直线l1：A1某+B1y+C1=0与l2：A2某+B2y+C2=0平行的必要条件是A1B2-A2B1=0，在求出具体数值后代入检验，看看两条直线是不是重合从而确定问题的答案.对于解决两直线垂直的相关问题时也有类似的情况.利用l1⊥l2⇔k1·k2=-1时，要注意其前提条件是k1与k2必须同时存在.利用直线l1：A1某+B1y+C1=0与l2：A2某+B2y+C2=0垂直的充要条件是A1A2+B1B2=0，就可以避免讨论.易错点9 忽视零截距致误解决有关直线的截距问题时应注意两点：一是求解时一定不要忽略截距为零这种特殊情况;二是要明确截距为零的直线不能写成截距式.因此解决这类问题时要进行分类讨论，不要漏掉截距为零时的情况.易错点10 忽视圆锥曲线定义中的条件致误利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件.如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值;其二，2a<|F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支. 看了<高一数学易错点>的人还看了：1.高一数学必修一易错点2.高一数学期末考易错知识点总结3.高一数学知识点总结4.高一数学不等式知识点总结5.高一上数学知识点总结。

高一数学集合易错题汇总及详解一、混淆集合中元素的形成例1 集合{}()|0A x y x y =+=，，{}()|2B x y x y =-=，，则AB = ．错解：解方程组02x y x y +=⎧⎨-=⎩ 得11x y =⎧⎨=-⎩{}11A B =-，∴ 剖析： 产生错误的原因在于没有弄清楚集合中元素的形式，混淆点集与数集．集合A B ，中的元素都是有序数对，即平面直角坐标系中的点，而不是数，因而A B ，是点集，而不是数集．{}(11)AB =-，∴（加强练习）1、集合{}{}2,,,A x x y y R B y y x x R==∈==∈，则A B ⋂= （ ）A 、{}0,1 B 、(){}0,1 C 、{}0yy ≥ D 、∅解析：A=R ，[)[)0,,0,B A B =+∞∴=+∞。

答案C2、已知集合}1|{2x y x A -==，},1|{A x x y y B ∈-==，则=⋂B A （） A 、}1,0{ B 、)}0,1{( C 、]0,1[- D 、]1,1[-解析：[1,1],[2,0],[1,0]A B A B =-=-∴=-。

答案C 二、忽视空集的特殊性例2 已知{}|(1)10A x m x =-+=，{}2|230B x x x =--=，若A B ⊆，则m 的值为 ． 错解： 由(1)10m x -+= 得11x m=- 由2230x x --= 得1x =-或3x =1|1A x x m ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭∴ {}13B =-， A B ⊆∵ 111m =--∴或3 2m =∴或23m = 剖析：由于忽视空集的特殊性――空集是任何集合的子集，产生丢解的错误，以上只讨论了A ≠∅的情形，还应讨论A =∅的情形，当A =∅时，1m =．m ∴的值为2123，，．（加强练习）设}01)1(2|{},04|{222=-+++==+=a x a x x B x x x A ，若B B A =⋂，求a 的值解析：∵ B B A =⋂∴ B ⊆A ,由A={0，-4}，∴B=Φ，或B={0},或B={-4}，或B={0,-4}当B=Φ时，方程01)1(222=-+++a x a x 无实数根，则 △ =0)1(4)1(422<--+a a 整理得01<+a 解得1-<a ；当B={0}时，方程01)1(222=-+++a x a x 有两等根均为0，则⎩⎨⎧=-=+-010)1(22a a 解得1-=a ； 当B={-4}时，方程01)1(222=-+++a x a x 有两等根均为-4，则⎩⎨⎧=--=+-1618)1(22a a 无解； 当B={0，-4}时，方程01)1(222=-+++a x a x 的两根分别为0，-4，则⎩⎨⎧=--=+-014)1(22a a 解得1=a 综上所述：11=-≤a a 或三、忽视集合中的元素的互异性．．．这一特征 例3 已知集合{}22342A a a =++，，，{}207422B a a a =+--，，，，且{}37A B =，，求a 的值．错解： ∵{}37AB =，， ∴必有2427a a ++=2450(5)(1)0a a a a +-=⇔+-=∴5a =-∴或1a =剖析：由于忽视集合中元素应互异这一特征，产生增解的错误．求出a 的值后，还必须检验是否满足集合中元素应互异这一特征．事实上，（1）当5a =-时，2423a a +-=，27a -=不满足B 中元素应互异这一特征，故5a =-应舍去．（2）当1a =时，2423a a +-=，21a -=满足{}37A B =，且集合B 中元素互异．a ∴的值为1．四、没有弄清全集的含义例4 设全集{}{}22323212S a a A a =+-=-，，，，，{}5S C A =，求a 的值． 错解： ∵{}5S C A =5S ∈∴且5A ∉2235a a +-=∴2280a a +-=∴2a =∴或4a =- 剖析：没有正确理解全集．．的含义，产生增解的错误．全集中应含有讨论集合中的一切元素，所以还须检验．（1）当2a =时，213a -=，此时满足3S ∈．（2）当4a =-时，219a S -=∉，4a =-∴应舍去，2a =∴． 五、没有弄清事物的本质例5 若{}|2A x x n n ==∈Z ，，{}|22B x x n n ==-∈Z ，，试问A B ，是否相等．错解： 222n n ≠-∵A B ≠∴剖析：只看到两集合的形式区别，没有弄清事物的本质，事实上A 是偶数集，B 也是偶数集，两集合应相等，尽管形式不同．{}{}|2|2A x x n n x x ==∈==⨯Z 整数，{}{}|22|2(1)B x x n x x x n n ==-∈==-∈Z Z ，，{}|2x x ==⨯整数换句话说{}{}||C x x n n x x ==∈==Z ，整数， {}{}|1|D x x n n x x ==-∈==Z ，整数两集合中所含元素完全相同，C D A B =⇔= （加强练习）1. 已知2{1,},{1,}My y x x R P x x a a R ==-∈==-∈,则集合M 与P 的关系是( A )A. M=PB.P R ∈ C . M ⊂≠P D. M ⊃≠P2、已知集合T S T S x x S ⋃=⋂<-=则使},1|12||{的集合T= ( )A 、{|01}x x <<B 、}210|{<<x x C 、}21|{<x xD 、}121|{<<x x解析：显然S=T ，1211,01x x ∴-<-<∴<<。

高中数学易错题数学概念的理解不透必修一（1）若不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，则实数a 的取值范围（ ） A.a ≤-21或a ≥21 B.a ＜21 C.-21≤a ≤21 D.a ≥ 21【错解】选A.由题意，方程ax 2+x+a=0的根的判别式20140a ∆<⇔-<⇔ a ≤-21或a ≥21，所以选A.【正确解析】D .不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，若a=0,则不等式为x<0解集不合已知条件，则a 0≠；要不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，则需二次函数y=ax 2+x+a 的开口向上且与x 轴无交点，所以a>0且20140120a a a ⎧∆≤⇔-≤⇔≥⎨>⎩.必修一（2）判断函数f(x)=(x －1)xx-+11的奇偶性为____________________【错解】偶函数.f(x)=(x -===，所以()()f x f x -===，所以f （x ）为偶函数.【正解】非奇非偶函数.y=f(x)的定义域为：(1)(1)01011101x x xx x x +-≥⎧+≥⇔⇔-≤<⎨-≠-⎩，定义域不关于原点对称，所以此函数为非奇非偶函数.1) 必修二（4）1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） (A)12l l ⊥，23l l ⊥13//l l ⇒ （B ）12l l ⊥，3//l l ⇒13l l ⊥(C)123////l l l ⇒ 1l ，2l ，3l 共面 （D ）1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面 【错解】错解一：选A.根据垂直的传递性命题A 正确； 错解二：选C.平行就共面；【正确解答】选B.命题A 中两直线还有异面或者相交的位置关系；命题C 中这三条直线可以是三棱柱的三条棱，因此它们不一定共面；命题D 中的三条线可以构成三个两两相交的平面，所以它们不一定共面.必修五（5）x=ab 是a 、x 、b 成等比数列的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件 【错解】C.当.x=ab 时，a 、x 、b 成等比数列成立；当a 、x 、b 成等比数列时，x=ab 成立 .【正确解析】选D.若x=a=0，x=ab 成立，但a 、x 、b 不成等比数列， 所以充分性不成立；反之，若a 、x 、b成等比数列，则2x ab x =⇔=x=ab 不一定成立，必要性不成立.所以选D.排列组合（6）(1)把三枚硬币一起掷出，求出现两枚正面向上，一枚反面向上的概率. 分析:（1）【错解】三枚硬币掷出所有可能结果有2×2×2=8种，而出现两正一反是一种结果，故所求概率P=.81【正解】在所有的8种结果中，两正一反并不是一种结果，而是有三种结果：正、正、反，正、反、正，反、正、正，因此所求概率,83=P 上述错解在于对于等可能性事件的概念理解不清，所有8种结果的出现是等可能性的，如果把上述三种结果看作一种结果就不是等可能性事件了，应用求概率的基本公式n m P =自然就是错误的.公式理解与记忆不准（7）若1,0,0=+>>y x y x ，则yx41+的最小值为___________.【错解】 y x 41+8)2(14422=+≥≥y x xy ，错解原因是忽略等号成立条件. 【正解】yx 41+=945)(4≥++=+++yx xy yy x xy x（8）函数y=sin 4x+cos 4x －43的相位____________，初相为__________ .周期为_________，单调递增区间为____________.【错解】化简y=sin 4x+cos 4x －43=1cos 44x ，所以相位为4x ，初相为0，周期为2π，增区间为….【正确解析】y=sin 4x+cos 4x －43=11cos 4sin(4)442x x π=+.相位为42x π+，初相为2π，周期为2π，单调递增区间为21[,]()42k k k Z ππ-∈. 审题不严 （1）读题不清必修五（9）已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，1()()12x f x =+，则()f x 的反函数的图像大致是【错解】选B.因为1()2x y =在0x >内递减，且1()()12x f x =+过点（0，2），所以选B. 【正确解答】A .根据函数与其反函数的性质，原函数的定义域与值域同其反函数的值域、定义域相同.当10,0()1,122x x y ><<⇒<<，所以选A.或者首先由原函数过点（0，2），则其反函数过点（2，0），排除B 、C ；又根据原函数在0x >时递减，所以选A. 排列组合（10）一箱磁带最多有一盒次品.每箱装25盒磁带，而生产过程产生次品磁带的概率是0.01.则一箱磁带最多有一盒次品的概率是 .【错解】一箱磁带有一盒次品的概率240.01(10.01)⨯-，一箱磁带中无次品的概率25(10.01)-，所以一箱磁带最多有一盒次品的概率是240.01(10.01)⨯-+25(10.01)-.【正确解析】一箱磁带有一盒次品的概率124250.01(10.01)C ⋅⨯-，一箱磁带中无次品的概率02525(10.01)C ⋅-，所以一箱磁带最多有一盒次品的概率是124250.01(10.01)C ⋅⨯-+02525(10.01)C ⋅-.（2）忽视隐含条件必修一（11）设βα、是方程0622=++-k kx x 的两个实根，则22)1()1(-+-βα的最小值是（ ）不存在)D (18)C (8)B (449)A (-【错解】利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα2222(1)(1)2121αβααββ∴-+-=-++-+2()22()2αβαβαβ=+--++23494().44k =--选A.【正确解析】利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα2222(1)(1)2121αβααββ∴-+-=-++-+2()22()2αβαβαβ=+--++23494().44k =--Θ 原方程有两个实根βα、，∴0)6k (4k 42≥+-=∆ ⇒.3k 2k ≥-≤或当3≥k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是8；当2-≤k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是18.选B. 必修一(12)已知(x+2)2+ y 24=1, 求x 2+y 2的取值范围.【错解】由已知得 y 2=－4x 2－16x －12，因此 x 2+y 2=－3x 2－16x －12=－3(x+38)2+328， ∴当x=－83 时，x 2+y 2有最大值283 ，即x 2+y 2的取值范围是(－∞, 283].【正确解析】由已知得 y 2=－4x 2－16x －12，因此 x 2+y 2=－3x 2－16x －12=－3(x+38)2+328 由于(x+2)2+ y 24 =1 ⇒ (x+2)2=1－ y 24≤1 ⇒ －3≤x ≤－1，从而当x=－1时x 2+y 2有最小值1.∴ x 2+y 2的取值范围是[1, 283 ].（此题也可以利用三角函数和的平方等于一进行求解）必修一（13） 方程1122log (95)log (32)20x x ------=的解集为___________________- 【错解】111122222log (95)log (32)20log (95)log (32)log 40x x x x --------=⇔----=11111122log (95)log 4(32)954(32)(31)(33)0x x x x x x -------=-⇔-=-⇔--=1310x --=或1330x --=所以x=1或x=2.所以解集为{1，2}.【正解】111122222log (95)log (32)20log (95)log (32)log 40x x x x --------=⇔----=111111221954(32)log (95)log 4(32)3203302950x x x x x x x x -------⎧-=-⎪-=-⇔->⇔-=⇔=⎨⎪->⎩所以解集为{2}.字母意义含混不清（14）若双曲线22221x y a b -=-的离心率为54，则两条渐近线的方程为（ ）A.0916x y ±= B.0169x y ±= C.034x y ±= D.043x y±= 【错解】选D.22222222252593310416164443c c a b b b b x y e y x a a a a a a +==⇒===+⇒=⇒=±⇒=±⇒±=，选D. 【正确解析】2222222211x y y x a b b a-=-⇒-=，与标准方程中字母a,b 互换了.选C.4.运算错误（1）数字与代数式运算出错若)2,1(),7,5(-=-=b a ρρ，且（b a ρρλ+）b ρ⊥，则实数λ的值为____________.【错解】(5,72)a b λλλ+=--+r r ，则（b a ρρλ+）()052(72)03b a b b λλλλ⊥⇔+⋅=⇔-+-+=⇒=r r r r.【正确解析】(5,72)a b λλλ+=--+r r，（ba ρρλ+）19()052(72)05b a b b λλλλ⊥⇔+⋅=⇔-+-+=⇒=r r r r必修二18. 已知直线l 与点A （3，3）和B （5，2）的距离相等，且过二直线1l ：3x －y －1=0和2l：x+y－3=0的交点，则直线l的方程为_______________________【错解】先联立两直线求出它们交点为（1，2），设所求直线的点斜式，再利用A、B到12k=⇔=-，所以所求直线为x+2y-5=0.【正确解析】x-6y+11=0或x+2y-5=0.联立直线1l：3x－y－1=0和2l：x+y－3=0的方程得它们的交点坐标为（1，2），令过点（1，2）的直线l为：y-2=k(x-1)（由图形可看出直线l的斜率必然存在），11,62k k=⇔==-，所以直线l的方程为:x-6y+11=0或x+2y-5=0.（2）运算方法（如公式、运算程序或运算方向等）选择不当导致运算繁杂或不可能得解而出错必修二19. 已知圆(x－3)2+y2=4和直线y=mx的交点分别为P，Q两点，O为坐标原点，则OQOP⋅的值为.【运算繁杂的解法】联立直线方程y=mx与圆的方程(x－3)2+y2=4消y，得关于x的方程22(1)650m x x+-+=，令1122(,),(,)P x y Q x y，则12122265,11x x x xm m+=⋅=++，则221212251my y m x xm==+，由于向量OPuuu r与向量OQuuu r共线且方向相同，即它们的夹角为0，所以212122255511mOP OQ OP OQ x x y ym m⋅=⋅=+=+=++u u u r u u u r.【正确解析】根据圆的切割线定理，设过点O的圆的切线为OT（切点为T），由勾股定理，则222325OP OQ OT⋅==-=.（3）忽视数学运算的精确性，凭经验猜想得结果而出错曲线x2－122=y的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，且4=AB，则这样的直线有___________条.【错解】4条.过右焦点的直线，与双曲线右支交于A、B时，满足条件的有上、下各一条（关于x轴对称）；与双曲线的左、右分别两交于A、B两点，满足条件的有上、下各一条（关于x 轴对称），所以共4条.【正解】过右焦点且与X 轴垂直的弦AB （即通径）为222241b a ⨯==，所以过右焦点的直线，与双曲线右支交于A 、B 时，满足条件的仅一条；与双曲线的左、右分别两交于A 、B 两点，满足条件的有上、下各一条（关于x 轴对称），所以共3条. 5.数学思维不严谨（1）数学公式或结论的条件不充分24.已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=11()()x y x y++的最小值为 .【错解一】因为对a>0,恒有12a a +≥,从而z=11()()x y x y++≥4,所以z 的最小值是4.【错解二】22222()2x y xy z xy xy xy +-==+-≥21)-=，所以z 的最小值是1). 【正解】z=11()()x y x y ++=1y xxy xy x y+++=21()222x y xy xy xy xy xy xy +-++=+-，令t=xy, 则210()24x y t xy +<=≤=，由2()f t t t =+在10,4⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减,故当t=14时 2()f t t t =+有最小值334,所以当12x y ==时z 有最小值334.（2）以偏概全，重视一般性而忽视特殊情况必修一(1)不等式|x+1|(2x －1)≥0的解集为____________解析：（1）【错解】1[,)2+∞.因为|x+1|≥0恒成立，所以原不等式转化为2x-1≥0，所以1[,)2x ∈+∞【正确解析】}1{),21[-⋃+∞.原不等式等价于|x+1|=0或2x-1≥0，所以解集为1[,){1}2x ∈+∞⋃-.必修一(2)函数y =的定义域为 .(2) 【错解】10(1)(1)011x x x x x+≥⇒+-≥⇒≥-或1x ≤-.【正解】(1)(1)0(1)(1)010111011x x x x x x x x x+-≥+-≤⎧⎧+≥⇒⇒⇒-≤<⎨⎨-≠≠-⎩⎩（3）解题时忽视等价性变形导致出错 27.已知数列{}n a 的前n 项和12+=n n S ，求.n a【错解】 .222)12()12(1111----=-=+-+=-=n n n n n n n n S S a 【正确解析】当1=n 时，113a S ==，n 2≥时，1111(21)(21)222nn n n n n n n a S S ----=-=+-+=-=.所以13(1)2(2)n n n a n -⎧=⎪=⎨≥⎪⎩.选修实数a 为何值时，圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线x y 212=有两个公共点. 【错解】 将圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线 x y 212=联立，消去y ， 得 ).0(01)212(22≥=-+--x a x a x ①因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-=∆.01021202a a ， 解之得.817=a【正确解析】要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根.当方程①有一正根、一负根时，得⎩⎨⎧<->∆.0102a 解之，得.11<<-a因此，当817=a 或11<<-a 时，圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线x y 212=有两个公共点.(1)设等比数列{}n a 的全n 项和为n S .若9632S S S =+，求数列的公比q .【错解】 ,2963S S S =+Θq q a q q a q q a --⋅=--+--∴1)1(21)1(1)1(916131， .012(363）＝整理得--q q q1q 24q ,0)1q )(1q 2(.01q q 20q 33336=-=∴=-+∴=--≠或得方程由.【正确解析】若1=q ，则有.9,6,3191613a S a S a S ===但01≠a ，即得,2963S S S ≠+与题设矛盾，故1≠q .又依题意 963S 2S S =+ ⇒ q q a q q a q q a --⋅=--+--1)1(21)1(1)1(916131 ⇒ 01q q 2(q 363）＝--,即,0)1)(12(33=-+q q 因为1≠q ，所以,013≠-q 所以.0123=+q 解得 .243-=q空间识图不准必修二直二面角α－l －β的棱l 上有一点A ，在平面α、β内各有一条射线AB ，AC 与l 成450，AB βα⊂⊂AC ,，则∠BAC= .【错解】如右图.由最小角定理，12221cos cos cos 23BAC BAC πθθ∠=⋅=⨯=⇒∠=. 【正确解析】3π或23π.如下图.当6CAF π∠=时，由最小角定理，时，12221cos cos cos 2223BAC BAC πθθ∠=⋅=⨯=⇒∠=；当AC 在另一边DA 位置23BAC π∠=.。

高一数学必修一易错题集锦答案21.已知集合M=y| y = x + 1,x € R},N={y| y = x+ 1,x € R}，贝U MA N=()2解：M={y| y=x + 1,x € R}={ y| y > 1}, N={y|y=x + 1,x € R}={y|y € R}.••• M A N={y|y > 1} A {y|(y € R)}={ y|y> 1},注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2+ 1}、y|y=x22+ 1, x€ R}、{( x, y)| y=x + 1,x € R}，这三个集合是不同的.2 .已知A={x|x2—3x + 2=0},B={ x|ax —2=0}且A U B=A 求实数a 组成的集合 C.解：••• A U B=A •圧 A 又A={x| x2—3x+ 2=0}={1 , 2} • B# 或1 或2 • C={0, 1, 2}3 。

已知m A, n B,且集合A= x | x 2a,a Z , B= x| x 2a 1, a Z，又C= x | x 4a 1,a Z，则有：m+n __________________________________ (填A,B,C 中的一个)解：T m A, •••设m=2a1,a1 Z, 又T n B , • n=2a2+1, a2 Z ,•n+n=2(a1+a2)+1,而a1+a2 Z , • n+n B。

4 已知集合A={x|x 2—3x—10W 0},集合B={x|p + 1< x< 2p—1}.若荃A 求实数p的取值范围.解：①当B M * 时，即p + K 2p—1='p》2.由吐A得：一2< p+ 1 且2p —K 5. 由一3w p W 3. •- 2w p W3②当B==时，即p + 1>2p—1=p v 2.由①、②得：p W 3.点评：从以上解答应看到：解决有关A A B=±、A U B=±,心B等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.25 已知集合A={a,a + b,a + 2b} , B={a,ac,ac }.若A=B 求c 的值.分析：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式.解：分两种情况进行讨论.(1)若a+ b=ac 且a+ 2b=ac2，消去 b 得：a+ ac2—2ac=0,a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故0.• c2—2c+仁0,即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解.(2)若a+ b=ac 且a+ 2b=ac,消去 b 得：2ac —ac —a=0,2-a M 0,.. 2c —c—仁0,1即(c —1)(2c + 1)=0，又C M 1,故c=—2点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.16 设A是实数集，满足若a€ A,则——A, a 1且1 A.1 a⑴若2€ A,则A中至少还有几个元素？求出这几个元素⑵A 能否为单元素集合？请说明理由•1 一⑶若a € A,证明：1 —€ A.⑷求证：集合A中至少含有三个不同的兀素a解：⑴2€ A — 1€A••• A 中至少还有两个元素：⑵如果A 为单元素集合，则-€ A2€A11和丄2 a =丄即a 21 a该方程无实数解，故在实数范围内, A 不可能是单兀素集⑶a € A1~T~r a€AA ,即卩1 —丄€Aa ⑷由⑶知 a €A 时，1 a€ A ,.现在证明a,1 —丄a1一三数互不相等.1 a1,即a2-a+仁0，方程无解，•1 a 12I②若a=1 — ，即a -a+1=0，方程无解• a 丰1 ——aa1 1 1③若1— = ，即a2-a+仁0,方程无解• 1—-①若a=1a 丰—1 a 点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨(2)从M 到N 的映射满足f (a)> f (b) > f(c),试确定这样的映射f 的种数•解：(1)由于 M={ a , b , c }, N ={ —2,0,2 }，结合映射的概念,有一共有27个映射a0 a 2 a 2 a 2 (2)符合条件的映射共有 4个，b2, b 2, b 0 , b 0, c2 c2 c2 c8.已知函数f (x)的定义域为［0 , 1］ ，求函数 f(x 1)的定义域解：由于函数f (x)的定义域为［0 , 1］，即 0 x 1 • f (x 1)满足0x111 x 0,• f(x 1)的定义域是[—1, 0]9根据条件求下列各函数的解析式：(1) 已知f (x)是二次函数，若 f(0) 0, f (x 1) (2) 已知 f ( , x 1) x 2、x ，求 f (x)f (x) x 1,求 f (x).7 设 M ={ a , b , c }, N = {— 2,0,2 },求(1 )从 M 到 N 的映射种数;1(3)若f(x)满足f (x) 2f(—) ax,求f(x)x解：(1)本题知道函数的类型，可采用待定系数法求解设f(x)= 2 ax bx c(a0)由于f(0)0得f(x)ax2 bx又由[f (x 1)f(x)x 1 , --a(x 1)2 b(x1) ax2bx x 1即ax2(2 a b)x a b 2ax(b 1)x 12a b b1f (x) = ^x2 ^xa 0a b1因此：222a b 1⑵本题属于复合函数解析式:问题,可采用换兀法求解设u x1(x0),u 1 (u1)f(u) (u 1)22(u 1) u2 1 (u 1) ••• f(x) = x2 1 (x 1)(3)由于f (x)为抽象函数，可以用消参法求解用1代x 可得：f(l) 2f(x) a1,与f (x) 2f』) axx x x x联列可消去f($得：f (x)=空空.X 3x 3点评：求函数解析式(1)若已知函数f(x)的类型，常采用待定系数法；(2)若已知f[g(x)] 表达式，常采用换元法或采用凑合法；(3)若为抽象函数，常采用代换后消参法.10已知3x2 2y2 6x，试求x2 y2的最大值.分析：要求x2y2的最大值, 由已知条件很快将 2y变为一元二次函数1 2 f(x) ^(x 3)2 出最大值. 即然后求极值点的x值，联系到这一条件，既快又准地求又x235C2 2y26x得3x3x.0, -x2 3x20, 0x2. 2时，x1(x3)29J22 2y有最大值，最大值为3)2点评：上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的深刻性由3x2 2y2 6x得y2- x2 3x,29 4.2.大部分学生的作法如下:=log 2x 」x2—1log 2(x ■- x 21) =- f (x) • f (x)是奇函数方法二：••• f (x) f ( x) log 2(xx 2 1) log 2( x 、x 2 1)=log 2[(x -x 2 1)(x 2 1) log 21 0f( x) f (x)••• f (x) 是奇函数2 2 232 1 2 9 x y x x 3x (x 3),22 2229 当x 3时，x y 取最大值，最大值为 - 2这种解法由于忽略了 y 20这一条件，致使计算结果出现错误•因此，要注意审题，不仅能 从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件,又要注意次要条件，甚至有些问题的观察要从相应的图像着手，这样才能正确地解题 ..11设f(x)是R 上的函数，且满足 f(0)1,并且对任意的实数f (x y) f (x) y(2x y 1)，求 f (x)的表达式.点评：所给函数中含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入， 或使这两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数 •具体取什么特殊值，根据题目特征而定•12判断函数f (X ) (1 x)的奇偶性.解：f(x) (1 x)； x 有意义时必须满足右一x 0 1 x 1即函数的定义域是{ x | 1 x 1},由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是函数也不是偶函数 13判断f(x) log 2(xx 2 1)的奇偶性.正解：方法一：••• f( x) log 2( x .( x)21) log 2( x x 2 1)x, y 都有解法一：由 f(0)1, f(x y) f (x) y(2x y 1)，设 x 得 f(0) f(x) x(2x x 1)，所以 f(x) = x 2 x 1 解法二：令x 0,得f (0 y) f(0) y( y 1)即 f( y) 1 y( y 1)又将 y 用x 代换到上式中得f (x) = x 2 x 114函数y= J5 4x x 2的单调增区间是 _______________ .解：y= ,5 4x x 2的定义域是［5,1］,又g(x) 5 4x x 2在区间［5, 2］上增函数，在区间［2,1］是减函数，所以y=「5 4x x 2的增区间是［5, 2］15已知奇函数f (x )是定义在(—3,3)上的减函数，且满足不等式f (x — 3)+f (x 2— 3)<0,求x 的取值范围3 x 23 3 V6 x 辰又・ f (x )是奇函数，• • f (x — 3)< — f (x — 3)= f (3 — x ),又 f (x )在(一3, 3)上是减函数，x — 3>3— X 2,即 x 2+x — 6>0,解得 x >2 或 x <— 3,综上得 2<x < , 6 ,即 A ={x |2< x < . 6 },16 作出下列函数的图像(1)y=|x-2|(x+ 1) ; (2) y 10|lg .分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难， 除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形 •在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思想.解：(1)当x > 2时，即x-2 > 0时，1 9y =-2)(^ + 1)二 / _?? - 2 二(si 迈］空-才¥号当 X V 2 时，即 x-2 v 0 时，_一⑵ 当 x > 1 时，lgx > 0, y =10lgx=x ;当 0v x v 1 时，lgx v 0,0x6,故 0<x < . 6,解：由所以y这是分段函数，每段函数图像可根据二次函数图像作出 (见图)(x (x 2) (x(x 2)X,宴》1,y O<X<L所以［签这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出.（见图）点评：作不熟悉的函数图像，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意X, y的变化范围.因此必须熟记基本函数的图像.例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数、反三角函数的图像17 若f(x)=ax1在区间(—2, + ）上是增函数，求a的取值范围X2解：设2X1X2, f (X1) f (X2)ax1 1 ax21x1 2 x22(a^1)(X2 2)(ax21)(X1 2)(X2)(X2 2)(ax i x22a% 屜 2) (a^ x22ax2x 2)(X i 2)(X2 2)2a^ x12ax2x2(2 a 1)(x1x2)(X i 2)(X2 2) (X i 2)(X2 2)ax i由f (x)= 在区间(一2,+ )上是增函数得x 21f(xj f (x2) 0 2a 1 0 -^a>2点评：有关于单调性的问题，当我们感觉陌生，不熟悉或走投无路时，回到单调性的定义上去，往往给我们带来“柳暗花明又一村”的感觉118已知函数f(x)在(一1, 1)上有定义，f( - )= —1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意X、2y€ ( —1,1)都有f(x)+f (y)=f()，试证明：1 xy(1) f (x)为奇函数；(2) f(x)在(—1, 1)上单调递减解：证明：(1)由f (x)+f (y)=f(丄丄),令x=y=0,得f (0)=0,令y= —x,得f (x)+f (—1 xy X xx)=f ( 2)=f(0)=0. ••• f(x)= —f( —x). ••• f (x)为奇函数•1 x2(2) 先证f(x)在(0 , 1)上单调递减.令0<X1<X2<1,则f(X2)—f (X1)= f (X2) + f ( —X1)= f( )1 X1X2•/ 0<X i<X2<1, ••• X2—X i>0,1 —X i X2>0,.・.__ >0,1 X1X2又(X2—X I)—(1 —X2X l) = ( X2 —1)( X l + 1)<0• X2 —X1<1 —X2X1,... 0<X 2X 1<1,由题意知 1 X 2X 1即 f (X 2)<f (X 1).• f (X )在(0 , 1)上为减函数，又f (X )为奇函数且f (0)=0. • f (x )在(—1 , 1)上为减函数点评：本题知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想 •对函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力要求较高•如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得.对于(1)，获得f (0)的值进而取X =— y 是解题关键；对于(2)，判定X2 X1的范围是解题的焦点1 X 1X 219 已知 log 18 9a,18b 5,求 log 36 45解:v 18b 5, • log 18 5 blog 36 45匕匹log 1845 l0g18 5log 18 9b ab ab a 36 log 18 4 log 18 9. 八8、2log 18 ( ) a92log 18(》a2 a20知y log a (2 ax)在［0 , 1］上是X 的减函数，贝y a 的取值范围是 _____________ 解：v y log a (2 ax)是由 y log a u , u 2 ax 复合而成，又 a > 0• u 2 ax 在［0 , 1］上是X 的减函数，由复合函数关系知y log a u 应为增函数，• a > 1又由于X 在［0 , 1］上时y log a (2 ax)有意义，u 2 ax 又是减函数，• X = 1时,u 2 ax 取最小值是u min 2 a >0即可， • a < 2综上可知所求的取值范围是 1 < a < 221 已知函数 f(x) log a (3 ax).(1 )当X ［0,2］时f(x)恒有意义，求实数 a 的取值范围.(2)是否存在这样的实数 a 使得函数f(x)在区间［1 , 2］上为减函数，并且最大值为1,如f (H )<0, 1 X 1X 2果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由.分析：函数f(x)为复合函数，且含参数，要结合对数函数的性质具体分析找到正确的解题 思路，是否存在性问题，分析时一般先假设存在后再证明 解：(1 )由假设，3 ax >0,对一切x ［0,2］恒成立，a 0,a 13显然，函数g(x)= 3 ax 在［0 , 2］上为减函数，从而 g(2) = 3 2a >0得到a v —23a 的取值范围是(0, 1) u ( 1,2⑵ 假设存在这样的实数 a ，由题设知f(1) 1，即f(1) log a (3 a) = 13••• a =此时 f (x)2当x 2时，f (x)没有意义，故这样的实数不存在点评：本题为探索性问题，应用函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题一般的处 理方法是先假设存在，结合已知条件进行推理和等价转化，若推出矛盾，说明假设不成立 即不存在，反之没有矛盾，则问题解决 .求实数a 的取值范围.分析：参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于 a 的不等式(组)非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把 a 分离出来，重新认识 a 与其它变元(x )的依存 关系，利用新的函数关系，常可使原问题“柳暗花明”13 >0,且 a 2 — a +仁(a —)2+ >0,124c z 1 1、 -a >0, a > (飞—)， 4x 2x1 1 当x € ( —a , 1］时，y =一 与y = 一都是减函数,4x2x11113• y =(—一一)在(—a , 1］上是增函数， (一一一)ma =——4 24233• a >——,故a 的取值范围是(——，+ a ).4 4点评：发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系、 位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，1 1现.本题主客换位后，利用新建函数y =(=一)的单调性转换为函数最值巧妙地求出了4 2log a (3 |x)22已知函数f (x )= |g x x1 24 a2"~a a 1其中a 为常数，若当x € ( —a , 1 ］时，f (x )有意义,• 1+2 +4反客为主，主客换 是解题人思维品质高的表实数a的取值范围.此法也叫主元法.1 123若(a 1) 3(3 2a) 3，试求a的取值范围.1解：•••幕函数y x 3有两个单调区间，•••根据a 1和3 2a的正、负情况，有以下关系a10a10a10 -32a0 .①32a0 .②③32a0a1 3 2a a1 3 2a2 3解三个不等式组：①得2v a v -，②无解，③a v—13 22 3• a的取值范围是(一m, —1) u(—,—)3 21点评：幕函数y x 3有两个单调区间，在本题中相当重要，不少学生可能在解题中误认为a 1 3 2a，从而导致解题错误•a 124 已知a>0 且a 丰 1 ,f (log a x ) = —2 (x —)a 1 x(1) 求f(x)；(2) 判断f(x)的奇偶性与单调性；2(3) 对于f(x), 当x € ( —1 , 1) 时，有f( 1 —m ) +f (1 —m ) < 0 , 求m 的集合M . 分析：先用换元法求出f(x)的表达式；再利用有关函数的性质判断其奇偶性和单调性；然后利用以上结论解第三问.解：(1)令t=log a x(t € R)，贝U(2) f( x) 身(a x a x) f(x),且x R, f(x)为奇函数当a 1 时，¥0,a2 1 a2 1u(x) a x a彷增函数，当0 a 1时,类似可判断f(x)为增函数综上，无论a 1或0 a 1,f(x)在R上都是增函数.(3) f (1 m) f(1 m2) 0, f(x)是奇函数且在R上是增函数，f(1 m) f(m2 1)又x ( 1,1)1 1 m 11 m2 1 1 1 m .2.1 m m 1点评：对含字母指数的单调性，要对字母进行讨论.对本例的③不需要代入 f (x)的表达式可求出m的取值范围，请同学们细心体会225已知函数f (x) x ax 3 a若x [ 2,2]时,解：设f(x)的最小值为g(a)(1 )当-22即a >4时，g(a) = f ( 2) = 7 —3 a > 0,得a —故此时a不存在;3x a t, f (t) "at)，f(x)L a x)，(x R).f (x) > 0恒成立，求a的取值范围28已知二次函数f(x) ax2bx c对于x 1、X2 R,且X1V x2时f(xj f (x2)，求证：方程 f (x)1=尹(xjf(X2)］有不等实根，且必有一根属于区间(X1, X2).解：设则方程1F ( x) = f (x)—?[f (xj1f(x)= ?[f(%)f(X2)],f(X2)]2 a a(2)当[2,2]即—4W a < 4 时，g(a) = 3- a —>o,得一6< a < 22 4又—4w a w 4,故—4w a w 2；a(3) 2即a v — 4 时，g(a) = f (2) = 7 + a》0,得a》一7,又a v —4 2故一7w a v—4综上，得—7 w a w 2 26已知mx2 x 1 0有且只有一根在区间(0,1 )内，求m的取值范围解：设f(x) mx2 x 1，( 1)当m = o时方程的根为一1,不满足条件2(2)当m丰0v mx x 1 0有且只有一根在区间(0,1 )内又f (0) = 1 > 0•••有两种可能情形① f(1) 0得m V—21或者②f(1) 0且0< <1得m不存在2m综上所得，m v—227.是否存在这样的实数2x + (2k—3)k的取值范围；k,使得关于x的方程x —( 3k —1) = 0有两个实数根，且两根都在如果没有，0与2之间？如果有，试确定试说明理由解：令f (x) x2(2 k 3)x (3k 1)那么由条件得到(2 k1 f(0)f(2)2k 0 3)23k4(3k1)4k2 5 2(2k 3)32(3k 1) 即此不等式无解即不存在满足条件的k值.与方程F ( x )= 0②等价1 1••• F ( X 1) = f(xj - 2【f(xJ f(X 2)] = 2【f(xJ f(X 2)]1 1F ( X 2)= f(X 2)— 2【f(xj f(X 2)] = -[ f(xj f(X 2)]1 2F ( X 1)•F ( X 2)=—： [ f (X 1) f(X 2)],又 f(xj f (X 2)4••• F ( X 1) • F ( X 2)v 0故方程②必有一根在区间(X 1, X 2)内•由于抛物线y = F ( x )在x 轴上、下方均有分布， 所以此抛物线与x 轴相交于两个不同的交点， 即方程②有两个不等的实根， 从而方程①有两 个不等的实根，且必有一根属于区间( X 1，X 2).1点评：本题由于方程是 f (x) = - [ f (X 1) f (X 2)]，其中因为有f(x)表达式，所以解题中有的学生不理解函数图像与方程的根的联系，误认为证明f (X)的图像与X 轴相交于两个不同的点，从而证题中着眼于证f(x 1)f (x 2) < 0，使本题没法解决•本题中将问题转化为F(X )= f(x) — 1[f (x 1) f (x 2)]的图像与X 轴相交于两个不同的两点是解题的关健所在根据其符号，确定方程根的个数及根的分布 解：令 f (x) = 2x 3 x 2 4x 2••• f ( 3) =— 54 — 9+ 12+ 2= — 49 V 0 f ( 2) =— 16— 4+ 8 + 2 = — 10< 0 f ( 1) = — 2 — 1 + 4+ 2= 3> 0, , f (0) = 0 — 0— 0 + 2 = 2> 0 f (1) = 2 — 1 — 4+ 2=— 1< 0, f (2) = 16 — 4 — 8 + 2 = 6>0根据 f( 2) • f( 1) < 0,f(0) • f(1)< 0, f(1) • f(2) < 0可知f(X )的零点分别在区间(一2, — 1), (0,1 ), (1,2 )内•因为方程是一个一元三次方程，所以它最多有三个根，所以原方程的最小根在区间(一 2,—1 )内•点评：计算一元高次函数值可借助于计算器来完成，在实数范围内一元 n 次方程最多有 n个实根，当然本题也可以用因式分解方法来解2x 3 x 2 4x 229试确定方程2x 32x 4x 20最小根所在的区间， 并使区间两个端点是两个连续的整分析：只要构造函数 f(x) = 2x 3x 2 4x 2，计算f(x)的自变量X 取整数值时的函数值,2 1 2 X2(2X 1) 2(2x 1) 2(x —)(x22)22(X f)(x 2)( X、三)2所以2X3 X24X 2 = 0有三个根：-r,2, 2230设二次函数f (x) ax2 bx c(a 0),方程f (X) X 0的两个根0 X i X2(1 )当X (0,xJ 时，证明X f (X) X-I；2(2)设函数f (x) ax bx c(a 0),的图像关于直线X x°对称，证明:X- ,X2 ,满足X o X 2分析：(1)用作差比较法证明不等式X f(X) X,；2(2)函数f(x) ax bx c(a 0),图像关于直线X x°对称，实际直线K次函数的对称轴，即X0——，然后用已知条件证明不等式即可•a证明：(1)依题意，设F(x) f (X) X a(x X,)(X X2 )当X (0,X i)时，由于X i X2，二(X X i )(X X2) 0 ,又a 0X X0就是•- F(X) f(x) X a(x X- )(X X2)>0 即X f (X)X i f (X) X i[X F(X)]X-X F(X)(x i x)(1 ax ax2)(X i X)(1ax?)T 0 X X i1X2••• X i X0,1ax 20 a二X- f (X)0综合得X f (X) X i(2 )依题意知Xb又X-X2b1 2a ab a(x-X2)1ax i ax21 (X0)2a2a2a点评：解决本题的关健有三：一是用作差比较法证明不等式； 二是正确选择二次函数的表达 式，即本题选用两根式表示； 三要知道二次函数的图像关于直线对称， 此直线为二次函数的31 已知函数 f(x) x 2 2bx c(c b 1), f(1) 0，且方程 f (x)1 0 有实根.(1)求证：-3<c < -1,b > 0.⑵若m 是方程f(x) 10的一个实根，判断 f (m 4)的正负并加以证明•- c ——4<m4<——3<c. • f (m 4)的符号为正.点评：二次函数值的符号，可以求出其值判断，也可以灵活运 用二次函数的图像及性质解题.32定义在R 上的函数f x 满足：对任意实数 m, n ,总有f m n f m f n ，且当x 0 时，0 f x 1.ax 2 1 0, ••• x 0ax 1 2aX i 2对称轴，即x 0b 2a分析：(1) 及一个等式f(1)题中条件涉及不等关系的有 c b 1和方程f(x) 0，通过适当代换及不等式性质可解得;(1)证明：由f(1) c 10 ,得 1+2b+c=0,解得 b1 -----------c2解得 3 c13又由于方程 f(x) 1 0有实根,即 x 2 2bx故4b 2 4(c 1)0即(c 1)2 4(c 1) 3 c1,由 bc 1 得b 》0.2(2) f(x)x 2 2bx小 2 c = x(c 1)x c1 0有实根.(2)本小题只要判断 f(m 4)4)符号.又 c b 1 ,f (m 2c 1 0有实根，0解得c 3或c 1(x c )(x1)f (m) 1 0 ,• c<m<1 (如图)的符号，因而只要研究出 m 4值的范围即可定出(1)试求f 0的值;(2)判断f X的单调性并证明你的结论；(3)设A x, y f x2f y2 f 1 ,B x, y f ax y 貶1,a R ，若A B ，试确定a的取值范围.(4)试举出一个满足条件的函数 f x .解：(1 )在f m n f m f n 中，令m 1,n 0.得：f 1 f 1 f 0 .因为f 1 0，所以，f 0 1.(2)要判断f x的单调性，可任取x1, x2 R，且设X1 X2.在已知条件fmn fm fn中，若取m n x2, m x1，则已知条件可化为：f x2 f f x2由于x2 x1 0,所以1 f x20.为比较f x2、f %的大小，只需考虑f x!的正负即可.在fmn fmfn 中，令mx，n x，则得f x f x 1.T x 0 时，0 f x 1,1•••当x 0时，f x 1 0.f x又f 0 1,所以，综上，可知，对于任意x1 R，均有f为0.函数f x在R上单调递减(3)首先利用f x的单调性，将有关函数值的不等式转化为不含f的式子.f x2f y2 f 1 即x2y21,f ax y .2 1 f 0 ，即ax y 二0.由A B ，所以，直线ax y .2 0与圆面x2 y21无公共点.所以,f x2 f f x-! f x2x1 1 0.解得1 a 1.(4)如f x点评：根据题意，将一般问题特殊化，也即选取适当的特值(如本题中令m 1,n 0 ；以及m n x2,m 为等)是解决有关抽象函数问题的非常重要的手段；另外, 如果能找到一个适合题目条件的函数，则有助于问题的思考和解决33设a为实数，函数f(x)x2 |x(1)讨论f (x)的奇偶性;(2)求f(x)的最小值.解：(1 )当a 0时，函数f( x)( x)2I x| 1 f(x)此时, f (x)为偶函数0 时，f(a) a2f( a) a22|a| 1,f(a) f( a)，f (a) f( a)此时f (x)既不是奇函数, 也不是偶函数(2)(i )当x a 时，f (x) (x£212，则函数 f (x)在( ,a］上单调递减, 从而函数 f (x)在( ,a］上的最小值为f(a) a21.1，则函数2 f (x)在( (ii )当x a时, 函数f(x)f(a)f(1)3f(?)；1 \2 (x 2)1 ,a］上的最小值为1-，则函数f(x)在(12，则函数f (x)在［a, ,a］上的最小值为f()2 )上单调递增，从而函数a21.1a，且f (-) f(a).3 a -4314 a，且f ( ?) f(a)f (x)在［a,)上的最小值为1 3 综上，当a —时，函数f(x)的最小值为一a24112当a 时，函数f (x)的最小值为a 2 12 21 3 当a 时，函数f (x)的最小值为a .24 点评：(1)探索函数的奇偶性，可依据定义，通过f( x) f (x)代入有(x)2I xa| 1 x 2|x a I 1，即 | x a I |x a| 可得，当a 0 时，| x a ||x a |，函数f( x) f (x)函数为偶函数.通过f ( x) f (x)可得( x)2 1x a 11 x2 | x a | 1化得 2x 2 2 1x a 1Ixa 1此式不管a0还是a 0都不恒成立,所以函数不可能是奇函数•(2 )由于本题中含有绝对值，需要去掉，故分类讨论，既要对二次函数值域的研究方法熟 练掌握，又要将结论综合，对学生的综合运用数学知识能力及数学思想作了较好的考查 34某公司为帮助尚有 26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出 20万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计利息).已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售量q (百件)与销售价p (元/件)之间的关系用右图中 的一条折线(实线)表示；职工每人每月工资为 600元, 该店应交付的其它费用为每月 130元.(1) 若当销售价p 为52元/件时，该店正好收支平衡， 求该店的职工人数；(2) 若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后 还清所有债务，此时每件消费品的价格定为不仅需要划分段落层次， 弄清每一层次独立的含义和相互间的关系, 方面•由题目的问题找到关键词 “收支平衡”、“还清所有债务”,不难想到，均与“利润” 更需要抓住矛盾的主要多少元？分析：本题题目的篇幅较长，所给条件零散杂乱，为此,相关.从阅读和以上分析，可以达成我们对题目的整体理解，明确这是一道函数型应用题•为此，首先应该建立利润与职工人数、月销售量q、单位商品的销售价p之间的关系，然后，通过研究解析式，来对问题作出解答.由于销售量和各种支出均以月为单位计量，所以，先考虑月利润解：(1)设该店的月利润为S 元，有职工m名.则S q p 40 100 600m 13200.2p 140, 40 p 58又由图可q.p 82 58 p 812p 140 p 40 100 600m 1320040 p 58所以，Sp 82 p 40 100 600m 1320058<p 81由已知，当p 52时，S 0，即2p 140 p 40 100 600m 13200 0 ，解得m 50 .即此时该店有50 名职工. （2）若该店只安排40 名职工，则月利润2p 140 p 40 100 37200 40 p 58 S.p 82 p 40 100 37200 58<p 81当40 p 58时，求得p 55时，S取最大值7800元.当58 p 81时，求得p 61时，S取最大值6900元.综上，当p 55时，S有最大值7800元.设该店最早可在n 年后还清债务，依题意，有12n 7800 268000 200000 0.解得n 5. 所以，该店最早可在 5 年后还清债务，此时消费品的单价定为55元.点评：求解数学应用题必须突破三关：（1）阅读理解关：一般数学应用题的文字阅读量都比较大，要通过阅读审题，找出关键词、句，理解其意义.（2）建模关：即建立实际问题的数学模型，将其转化为数学问题.（3）数理关：运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型.。

高一数学必修一易错题集锦答案高一数学要求收集答案1。

已知集m = {y | y = x2+1，x ∈r}，n = {y | y = x+1，x ∈r}，然后m∈n =()解:m = {y | y = x2+1，x ∈r} = {y | y ≥ 1}，n = {y | y = x+1，x∈r } = { y | y∈r } .∴m∈45；n理解集合应该从理解元素开始。

应注意区分{x | y = x2+1}，{y | y = x2+1，x ∈r}，{(x，Y) | y = x2+1，x ∈r}，这三个集合是不同的。

2。

众所周知，a = {x | x2-3x+2 = 0}，b = {x | ax-2 = 0}，A∪B=A，这组现实数字a c解:a∪b = a∴ba a a = { x | x2-3x+2 = 0 } = { 1，2} ∴b = or？？1还是？2？∴C={0,1,2}3已知m？a，n？设定A=？x|x？2a，a？z？，B=？x|x？2a？1，a？z？C=？x|x？4a？1，a？z？M+n？(填写a、b和c中的一个)溶液:m？a，∴集m=2a1，a1？z，和∫n？B,∴n=2a2+1,a2？z，∴m+n=2(a1+a2)+1，而a1+a2？z，∴m+n？B4已知集a = {x | x2-3x-10 ≤ 0}，集b = {x | p+1 ≤ x ≤ 2p-1}。

如果B A，现实数p的取值范围。

解:①当B ≦,即p+1 ≤ 2p-1p ≥ 2时。

来自BA:-2 ≤ p+1和2p-1 ≤ 5。

from-3 ≤ p ≤ 3。

来自∴2 ≤ p ≤ 3②当B=是p+1 > 2p-1p 点评:从以上答案中，我们应该看到:解决与A ∪B=、A∪B =、AB等集合问题相关的问题往往会忽略空集和漏解，这就需要对问题进行全方位、多角度的审视。

5已知集a = {a，a+b，a+2b}，b = {a，AC，ac2}。

高一数学(shùxué)易错点,亲自总结高一数学易错点,亲自(qīnzì)总结1．设a1.b1.c1.a2.b2.c2均为非0实数(shìshù)，不等式a1某+b1某+c10和a1某+b1某+c20的解集分别为集合(jíhé)M和N，那么a1/a2=b1/b2=c1/c2是M=N的〔〕22A充分不必要(bìyào)条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2、假设2某+1+2某-3a/b+7,那么f(某)=a某+b某在以下哪个区间是单调的〔〕A、〔-∞,0〕B、〔0,+∞〕C、(1,+∞)D、(3,+∞)3、y=2／(2某-5某-3),某∈(0,3)∪(3,+∞)值域为______4、函数y=2某+k-1的图像不经过第四象限的充要条件是______第一、二章易错点1.集合元素的特征：确定性、无序性、互异性、故在命题时，注意检验集合元素是否互不相同。

2.￠22022￠￠0￠￠￠￠空集3.假设AB，那么要考虑A=￠和A=B,AB三种情况。

例：设M=某某2-2某-8=0答：-12N=某a某-1=0假设NM，那么求满足条件的a的集合。

，0,144.CU(A∪B)=CUA∩CUBCUA∩B=CUACUB5.求集合并集成交集中要先化简。

6.假设a为未知量前系数，要讨论a=0时的情况。

例：A=某某2-3某+2=07.点集与数集无交集。

例：A=yy=某,某R,B=某a某-6=0且A∪B=A,求实数a的值组成集合C。

,B=(某,y)y=某2,某R,那么A∩B=￠8.解含绝对值不等式时，只有两边均为非负数才能平方，理论依据a解：当m≤当m>1212时，为￠时，为某1-m一个也没有至多一个－>至少二个任意的－>某个一定是－>一定不是14.方程某2+3某+2=0的根是某=1是简单命题。

15.原命题逆否命题逆命题否命题16.否命题假设7p那么7q命题的否认假设p那么7q17.(1).p=>q且q>p,AB(2).q=>p且p>q,BA(3).pq,A=B(4).P>q且q>p,AB且BA18.函数三要素：定义域、值域、对应法那么。

必修5不等式易错题及错解分析一、选择题：1．设()lg ,f x x =若0<a<b<c,且f(a)>f(b)>f(c),则下列结论中正确的是A (a-1)(c-1)>0B ac>1C ac=1D ac>1错解原因是没有数形结合意识,正解是作出函数()lg f x x =的图象,由图可得出选D. 2．设,,1x y R x y ∈+>则使成立的充分不必要条件是A 1x y +≥B 1122x y >>或 C 1x ≥ D x<-1 错解:选B,对充分不必要条件的概念理解不清,“或”与“且”概念不清，正确答案为D 。

3．不等式(0x -≥的解集是A {|1}x x >B {|1}x x ≥C {|21}x x x ≥-≠且D {|21}x x x =-≥或 错解：选B ，不等式的等价转化出现错误，没考虑x=-2的情形。

正确答案为D 。

4．某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a,第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x,则A 2a b x +=B 2a b x +≤C 2a b x +>D 2a bx +≥ 错解：对概念理解不清，不能灵活运用平均数的关系。

正确答案为B 。

5．已知1324a b a b -<+<<-<且，则2a+3b 的取值范围是A 1317(,)22-B 711(,)22-C 713(,)22-D 913(,)22- 错解：对条件“1324a b a b -<+<<-<且”不是等价转化，解出a,b 的范围，再求2a+3b的范围，扩大了范围。

正解：用待定系数法，解出2a+3b=52(a+b)12-(a-b),求出结果为D 。

6．若不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，则实数a 的取值范围（ ）A a ≤-21或a ≥21B a ＜21C -21≤a ≤21D a ≥ 21正确答案：D 错因：学生对一元二次不等式与二次函数的图象之间的关系还不能掌握。

高一数学错题集锦与讲解1. 周长与面积题目：一个正方形的周长为16cm，求它的面积。

解析：设正方形的边长为a，则周长可以表示为4a，根据题目可得4a=16cm，解方程得到a=4cm。

正方形的面积可以表示为a²，代入已知的边长得到面积为4²=16cm²。

所以，这个正方形的面积为16平方厘米。

2. 相似三角形题目：两个三角形的两个内角分别为45°和90°，它们的两边分别成比例，则这两个三角形相似吗？解析：根据三角形的内角和定理可知，三角形的内角和为180°。

已知其中一个三角形的两个内角分别为45°和90°，则第三个内角为180°-45°-90°=45°。

另一个三角形的两个内角分别为45°和90°，则第三个内角也为45°。

因此，这两个三角形的内角完全相同，所以它们是相似三角形。

3. 平行线与相交线题目：如图，AB//CD，AD是两平行线AB和CD的相交线段。

已知∠ABC=80°，求∠CDA的度数。

解析：根据平行线的性质，平行线AB和CD之间的对应角是相等的。

所以∠ABC=∠CDA。

已知∠ABC=80°，代入已知条件可得∠CDA=80°。

4. 三角函数的计算题目：已知cosθ=1/2，求sinθ的值。

解析：根据三角函数的定义可知，sinθ=√(1-cos²θ)。

已知cosθ=1/2，代入公式可得sinθ=√(1-(1/2)²)=√(1-1/4)=√(3/4)=√3/2。

所以，sinθ的值为√3/2。

5. 数列的求和题目：求等差数列1, 4, 7, 10, …, 100的前n项和Sn。

解析：已知第一项a₁=1，公差d=3（等差数列的公差是指相邻两项之间的差值）。

根据等差数列的求和公式，Sn=n(a₁+an)/2。

高一数学错题笔记易错题型一：集合与常用逻辑用语【典型例题】1. 已知集合M={y |y =x 2＋1,x ∈R},N={y|y =x ＋1,x ∈R}，则M ∩N=（ ）A ．（0，1），（1，2）B ．{（0，1），（1，2）}C ．{y|y=1,或y=2}D ．{y|y ≥1} 【错解】求M ∩N 及解方程组⎩⎨⎧+=+=112x y x y 得⎩⎨⎧==10y x 或⎩⎨⎧==21y x ∴选B 【易错分析】在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M 、N 的元素是数而不是实数对(x,y )，因此M 、N 是数集而不是点集, M 、N 分别表示函数y =x 2＋1(x ∈R)，y =x ＋1(x ∈R)的值域，求M ∩N 即求两函数值域的交集． 【正确答案】M={y |y =x 2＋1,x ∈R}={y |y ≥1}， N={y|y=x ＋1,x ∈R}={y|y ∈R}． ∴M ∩N={y |y ≥1}∩{y|(y ∈R)}={y |y ≥1}, ∴应选D 。

注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x |y =x 2＋1}、{y |y =x 2＋1,x ∈R}、{(x ,y )|y =x 2＋1,x ∈R}，这三个集合是不同的。

分别求解二次函数的值域和一次函数的值域化简集合M和集合N，然后直接利用交集的运算求解。

2. 已知A={x|x2－3x＋2=0},B={x|ax－2=0}且A∪B=A，求实数a组成的集合C．【错解】由x2－3x＋2=0得x=1或2。

当x=1时，a=2，当x=2时，a=1。

【易错分析】上述解答只注意了B为非空集合，实际上，B=时，仍满足A∪B=A。

当a=0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}。

【正确答案】∵A∪B=A ∴B A 又A={x|x2－3x＋2=0}={1，2}1或∴C={0，1，2}∴B=或{}{}2【解析】解二次方程x2﹣5x+6＝0可以求出集合A，根据A∪B＝A可得B⊆A，分B＝{2}、B ＝{3}、B＝Φ，三种情况分别求出对应的a值，即可求出实数a组成的集合C。

第一章 集合与常用逻辑用语典型易错题集易错点1．忽视（漏）空集致错【典型例题1】（2021·全国高一课时练习）已知集合{}11A x x =-≤≤，{}121B x a x a =-≤≤-，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤ B ．1a < C ．01a ≤≤ D ．01a <<【错解C 】 要使B A ⊆，则需满足11,211,a a -≥-⎧⎨-≤⎩解得01a ≤≤．点评：本题错误原因在于忽视了B =∅的情况，导致漏解，∅是任何集合的子集，考试在解题时常常忽略了∅ 【正解A 】若B =∅，即211a a -<-，即0a <时，满足B A ⊆； 若B ≠∅，即121a a -≤-，亦即0a ≥时， 要使B A ⊆，则需满足11,211,a a -≥-⎧⎨-≤⎩解得01a ≤≤．综上所述，1a ≤． 故选：A ．易错点2．忽视最高项系数为0时。

【典型例题2】（2021·安徽省蚌埠第三中学高一月考）已知集合{}260M x x x =+-=，{}10N x mx =-=，若N M ⊆，则实数m 的取值构成的集合为___________. 【错解12m =或13m =-】∵集合{}260M x x x =+-=，∴集合{}2,3M =-，∵N M ⊆，{}10N x mx =-=， ∵{}10N x mx =-=， ∴12x m ==，∴12m =； 13x m ==-，∴13m =-；所以12m =或13m =-点评：本题忽略了10mx -=，当0m =时，N =∅，此时N M ⊆符合题意，考生很容易忽视最高项系数为0的情况。

【正解】110,,23⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【详解】∵集合{}260M x x x =+-=，∴集合{}2,3M =-，∵N M ⊆，{}10N x mx =-=，∴N =∅，或{}2N =，或{}3N =-三种情况， 当N =∅时，可得0m =；当{}2N =时，∵{}10N x mx =-=，∴12x m ==，∴12m =； 当{}3N =-，13x m ==-，∴13m =-； ∴实数m 的取值构成的集合为110,,23⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，故答案为：110,,23⎧⎫-⎨⎬⎩⎭易错点3．忽视集合元素的互异性【典型例题3】（2021·浙江高一月考）已知集合(){}222,133A a a a a =++++,，若1A ∈，则实数a 的取值集合为（ ） A ．{}1,0,2-- B ．{}0,2- C ．{}1- D ．{}0【错解A 】①若21a +=，即1a =-时②若()211a +=，即0a =或2a =-时， ③若2331a a ++=，即1a =-或2a =-时， 所以：1a =-或者0a =或者2a =-点评：集合元素的互异性是集合的特征之一，考生容易忽视集合元素互异性导致错解。