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(a b)sin m
(a b)sin
100 ,
100
相邻缝光线的光程差为 。
100
第 1 缝和第 51 缝光线的光程差为λ/ 2 ，产生相消干涉； 第 2 缝和第 52 缝光线的光程差为λ/ 2 ，产生相消干涉；
…… 结果：屏上会聚处形成第1个暗纹。
⑵ m 2,
(a b)sin ,
k a b k' (k' 1, 2, 3,) a
(14-13)
例： a b 3 , k 3k' (k' 1, 2, 3,) a
则 k 3, 6, 9, 缺级
缺
缺
级
级
6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
5. 光栅衍射条纹强度
I I衍 I干
a2
sin2 u2
u
sin2 Nv sin2 v
相邻缝光线的光程差为 。
50
50
第 1 缝和第 26 缝光线的光程差为λ/ 2 ，产生相消干涉；
第 2 缝和第 27 缝光线的光程差为λ/ 2 ，产生相消干涉；
…… 结果：屏上会聚处形成第 2 个暗纹。
以此类推…… ，屏上会聚处形成第 99 个暗纹。
⑶ m 100, (a b)sin , 恰为第1级明纹主极大。
a
3. 当 a 时， sin 0
CAI
大学物理学
V 3.0
当缝宽比波长大很多时，形成单一的明条纹，显示了
光的直线传播的性质。几何光学是波动光学在 a 时
的极限情况。
五、注意
1. 单缝衍射中央明纹范围： a sin
明纹公式 a sin 2k 1 中 k 0
2 （ k = 0，a sin 已包含在中央明纹之中）
(1) 由单缝衍射明纹公式
a sin (2k 1) , k 1 , 2 ,
2
得 2a sin 2a tan 2 a x
2k 1 2k 1 (2k 1) f
2 a x 2 0.61.4 mm 4200 nm
(2k 1) f (2k 1) 400
2k 1
k 1,2,3,
r
dS
S
r
dE C k( ) cos 2 ( t r ) dS
•P
r
T
dE C k( ) cos 2 ( t r ) dS
r
T
dS
其中： c — 比例常数， k ( θ ) — 倾斜因子。
θ ↓， k (θ )↑； θ = 0，k (θ ）最大； S
r
θ ≥ π ，k (θ ) = 0， dE = 0 。
★ 结论： 各级明纹主极大之间有 N 1个暗纹极小和 N 2 个
光强很弱的次极大。当 N 很大时在各级明纹主极大之间形成
一片暗区，因此光栅衍射只需确定明纹主极大的位置即可。
N= 1 N= 2 N= 5 N = 20
4. 缺级现象及其条件 由于单缝衍射的影响在应该出现明纹主极大的
地方不再出现明纹的现象称为缺级现象。
第十四章
光的衍射
基本要求
一、了解惠更斯—菲涅耳原理； 二、理解半波带法分析单缝夫琅和费衍射条纹分布
规律的方法，掌握单缝衍射公式确
定谱线位置的方法；
四、了解衍射对光学仪器分辨率的影响，了解 x 射
线衍射的布拉格公式。
§14-1 光的衍射现象 惠更斯-菲涅耳原理
,
eD
★ 例： 天文望远镜
（2）透镜直径 D 一定，
0
,
e 1
★ 例： 电子显微镜
例题：
讲义 P.306 例 14-3
人眼瞳孔 D = 3 mm ，视觉波长 λ= 550 nm，问：
(1) 人眼最小分辨角；(2) l = 25 cm 刚好分辨两物点的最小间距； （3）黑板上“ = ”号间距 Δx = 2 mm，距离多远的同学能刚好
S2
··
爱里斑
第一级暗环衍射角为 1 0 1
最小分辨角为：
0
1.22
D
其中： — 入射光波长， D — 透镜直径。
3. 光学仪器分辨率 e = 最小分辨角的倒数 e 1 D
1
0
0 1.22
(14-11)
其中：D —光学仪器的透光孔径； — 入射光波长。
(1) 入射光波长 一定，
0
1 D
的面积愈小。
A2
C
B
A
2
C
B
ⅲ) 任意两相邻的半波带上各对应点的子波到屏上会聚点
的光程差皆为λ/ 2 ，可以相互叠加产生相消干涉。
2. 明暗条纹成因
★ 三个半波带 AC a sin 3
2
明纹
A. a A1.
A2.
C
B.
O
x
P f
★ 四个半波带 AC a sin 4
暗纹
2
A.
a AAAB213....
C
O
x
P f
★ 结论： 单缝面分成奇数个半波带时屏上会聚处为明纹 ， 单缝面分成偶数个半波带时屏上会聚处为暗纹 。
3. 单缝衍射明暗纹公式
a sin
k
暗纹中心
k 1, 2, 3,
(2k 1)
明纹中心 (14-2)
2
0
中央明纹中心
二、单缝衍射图象和条纹特点
I
O
1. 各级暗纹到屏中央的距离
爱里斑
0
0
S1 S2
··
· ··
1. 瑞利判据： 一个物点的衍射图象的爱里斑中心刚好与另一个 物点的衍射图象的爱里斑边缘相重合，这两个物 象恰好能为这一光学仪器所分辨。
0.86 I0
I0
··
能分辨
··
恰能分辨
··
不能分辨
2. 最小分辨角 — 恰能分辨两物象时两物点对透镜光心的张角0
0
1
·· S1
缺
缺
级
级
6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
当衍射角 φ 同时满足
(a b)sin k
a sin k'
( k 0, 1, 2,) 光栅衍射明纹 ( k' 1, 2, 3,) 单缝衍射暗纹
时，该方向应出现的那一级明纹主极大发生缺级。
由上述条件得：
sin k k'
ab a
得满足下式的 k 将缺级：
•P
2
惠更斯 — 菲涅耳原理解释了波为什么不向后传的问题，
这是惠更斯原理所无法解释的。
P 点的光振动 ( 惠 - 菲原理的数学表达 ) 为：
E
dE
C
k
(
r
)
cos
2
(t T
r
)
dS
(14-1)
三、衍射的分类
1. 菲涅耳衍射
光源 接收屏
障碍物
距离为有限远。
2. 夫琅和费衍射
光源 接收屏
障碍物
距离为无限远。
看清 ？
解： （1）
0
1.22
D
1.22
550 106 3
x
0
l
2.24 104 8'
（2） Δx l 0 25 2.24 104 0.0056 cm
（3） L
Δx
0
2 103 2.24 104
8.9
m
§14-4 光栅衍射
一、衍射光栅和光栅常数
1. 光栅 — 大量等宽、等间距的平行透光狭缝构成的光学元件。
明纹主极大
多缝干涉明纹也称为明纹主极大，狭缝数愈多，光强愈 集中，因此明纹也愈又细又亮。
3. 光栅方程（重点）
相邻狭缝对应点在衍射角 φ 方向光线的光程差：
(a b)sin
(a b)sin
(a b)sin
a+b
O
x
f
★ 光栅方程 — 光栅衍射形成明纹主极大的公式。
(a b)sin k , k 0, 1, 2, (14-12)
其中： u a sin / , v a bsin /
中央明纹极大
次极大
明纹主极大
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
暗纹极小
各级明纹主级大之间有许多暗纹极小，其间又充满许多次极大。
★ N个缝的暗纹公式： (a b)sin m
N
其中： m 1, 2 ,,(N 1), (N 1), (m kN )
例：N =100，
⑴ m 1,
极大仍位于屏上 O 点。
O CAI
大学物理学
V 3.0
2. 光栅衍射条纹的成因
I
单缝衍射 多缝干涉
总效果
（ⅰ）每个缝的入射光产生单缝衍射； （ⅱ）各个缝的衍射光之间相互叠加产生干涉。
光栅衍射是单缝衍射和缝间光线干涉两种效应的叠加、 多缝干涉光强分布受单缝衍射光强分布调制、明纹位置决定 于缝间光线干涉的结果。
k 1 , 1400nm (非可见光 ) k 2 , 840nm (非 )
k 3 , 600nm (黄光 ) k 4 , 467nm (蓝光 )
k 5 , 380 nm (非 ) (2) P点处可能出现 600 nm 的第 3 级明纹；
或 467 nm 的第 4 级明纹。
-2.46 -1.43
I I0
a sin 0 1.43 2.46
角增加时，半波带数增加，未被抵消的半波带面积
面积减少，所以光强变小。
★ 结论： 中央明纹是各级明纹宽度的两倍，集中了绝大部分 光强，其余各级明纹亮度随级数增大而减小。
四、说明
由公式
k
a sin (2k 1)
2
1. 入射波波长 一定时
