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中考圆专题复习经典全套

人教版九年级数学上册圆的基本性质

点与圆的位置关系

1.决定圆的大小的是圆的_____;决定圆位置的是_____.

2.在Rt△ABC中∠C=90O,AC=4,OC=3,E、F分别为AO、AC的中点,以O为圆心、OC为半径作圆,点E在⊙O

的圆_____,点F在⊙O的圆_____.

3.如图;AB、CD是⊙O的两条直径,AE∥CD,BE与CD相交于P点,

则OP∶AE=____.

4.经过A、B两点的圆的圆心在________,这样的圆有______个.

5.如图;AB是直径,AO=2.5,AC=1.CD⊥AB,则CD=_______.

6.一已知点到圆周上的点的最大距离为m ,最小距离为n .则此圆的半径_____.

7.有个长、宽分别为4和3的矩形ABCD,现以点A为圆心,若B、C、D至少有一个点在圆内,且至少有一个

点在圆外,则⊙A半径r 的范围是_________.

8.⊙O的半径为15厘米,点O到直线l的距离OH=9厘米,P,Q,R为l上的三个点,PH=9厘米,QH=12厘

米,RH=15厘米,则P,Q,R与⊙O的位置关系分别

为 .

9.若点A(a,-27)在以点B(-35,-27)为圆心,37为半径的圆上,a= .

10.在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,以点A为圆心作圆,若B,C,D三点中至少有一点在圆内,且至少有一点在圆外,

则⊙A的半径R的取值范围是

11.在直角坐标系中,⊙O的半径为5厘米,圆心O的坐标为(-1,-4),点P(3,-1)与圆O的位置关系

是 .

12.如图⊙O是是等腰三角形ABC的外接圆,AB=AC,D是弧AC的中点，已

知∠EAD=114O，求∠CAD在度数。

13.已知⊙O的直径为16厘米，点E是⊙O内任意一点，（1）作出过点E的最短的弦；（2）若OE=4厘米，

则最短弦在长度是多少？

14.如图7-4，已知在△ABC中，∠CAB=900 ，AB=3厘米，AC=4厘米，以点A为圆心、AC长为半径画弧交CB

的延长线于点D.求CD的长。

15.试问:任意四边形的四个内角的平分线相交的四个点在同一个圆上吗？又问：任意四边形各外角在平分

线所相交在四边形在同一圆上吗？为什么？

16. 如图7-6，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点P ，（1）已知CD=8厘米，AP:PB=1:4,求⊙O 的半径；（2）

如果弦AE 交CD 于点F 。求证：AC 2

=AF ?AE.

17. 已知四边形ABCD 是菱形，设点E 、F 、G 、H 是各边的中点，试判断点E 、F 、G 、H 是否在同一个圆上，

为什么？又自AC 、BD 的交点O 向菱形各边作垂线，垂足分别为M 、N 、P 、Q 点，问:这四点在同一个圆上吗?为什么？

18. ⊙O 中有n 条等弦A 1B 1、A 2B 2、???A n B n ,它们的中点分别是P 1、P 2、???P n ,试问：P 1、P 2、???P n 这n 个点

在同一个圆上吗？请证明你的判断。又若⊙O 上有一点A ，自点A 引n 条弦A 1B 1、A 2B 2、???A n B n,,若它们的中点分别为Q 1、Q 2、???Q n ，试问：Q 1、Q 2、???Q n ，这n 个点在同一圆上吗？请证明你的判断。

垂径定理

19. ⊙o 中等于1200

劣弧所对的弦是123厘米,则⊙O 的半径是厘米.

20.过⊙o 上一点A,作弦AB 、AC 、分别等于该圆的半径R ，连结BC ，则点O 到BC 的距离=_______，BC=_______。

21.如图7-7，在⊙O 中，弦AB=2a ，点C 是弧AB 的中点，CD ⊥AB,CD=b,则⊙O 的半径R=______.

22.如图7-8，ABCD 是⊙O 1的内接矩形，边AB 平行y 轴，且AB ∶BC=3∶4，已知⊙O 1 的半径为5，圆心O 1的坐标是（10，10），矩形四个顶点A 、B 、C 、D 的坐标是A______;B______;C______;D_______.

23.在⊙O 中，弦AB=40厘米，CD=48厘米，且AB ∥CD,AB 与CD 距离是22厘米，则圆的半径为_______厘米 24.四边形ABCD 是⊙O 的内接梯形，AB ∥BC,对角线AC 、BD 相交于点E.求证：OE 平分∠BEC. 25.如图7-9，在⊙O 中，已待AC=BD.求证：（1）OC=OD; （2）?

=BF AE

26. ⊙O 1与⊙O 2相交于点A 、B ，过点B 作CD ∥O 1O 2 ,分别交两圆于点C 、D.求证:CD= 2O 1O 2

27.如图7-10，⊙O 1、⊙O 2是两个等圆，点P 是O 1O 2的中点，过点P 的直线交⊙O 1、⊙O 2于点A 、B 、C 、D 。求证：AB=CD.

28.如图7-11，⊙O 的半径为5，P 是圆外一点，PO=8，∠OPA=30O ,求AB 、PB 的长。

29.如图7-12，圆管内，原有积水平面宽CD=10厘米，水深GF=1厘米，后水面上升1厘米（即EG=1厘米），问：些时水面宽AB 为多少?

30.在⊙O 的弦AB 上取AC=BD ，过点C 、D 分别作AB 的垂线CE 、DF 交圆于点E 、F ，并使E 、F 在AB 的同旁。

求证：CE=DF.

31.如图7-13，在⊙O 的直径MN 上任取一点P ，过点P 作弦AC 、BD ，使∠APN=∠BPN.求证：PA=PB.

32.AB 、CD 是⊙O 的两条相交于点P 的弦，且AB=CD ，又点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，求证:△PEF 是等腰三角形。

33.如图7-14，AB 是半圆O 的直径，CD 是弦，AE ⊥CD,BF ⊥CD,点E 、F 是垂足，若BF 交半圆于点G ，求证：（1）EC=FD;(2)?

=DG AC

34.如图7-15，在△ABC 中，AB=AC ，以点A 为圆心、小于AB 长的线段为半径作圆交BC 于D 、E 两点（但半径必须大于BC 边上的高）。求证:BD=EC.

35.如图7-16，已知在⊙O 中,?

=CD AB ,BA 、DC 延长后相交于点E ，求证：（1）OE 平分∠BED;(2)EA=EC. 36.如图7-17，AB 是⊙O 的直径，割线l 交⊙O 于点M 和N ，AC ⊥l ,且交⊙O 于点E ，BD ⊥l ,点C 、D 是垂足。（1）求证：OC=OD; (2)若AB=10厘米，AC=7厘米，BD=1厘米，求OC 的长。 37.点P 是⊙O 外一点，PAB 、PCD 分别交⊙O 于点A 、B 和点C 、D,求证:(1)若AB=CD,则PA=PC ；（2）若PA=PC ，则AB=CD.

38.如图7-18，AB 为⊙O 的弦，取AG=BH,∠DGB=∠FHA,求证：CD=EF.

39.如图7-19，⊙O 半径为10厘米，G 是直径AB 上一点，弦CD 经过G 点，CD=16厘米，过点A 和点B 分别向CD 引垂线段AE 和BF.问：AE-BF 是多少？ 40.AB 为⊙O 的弦，C 、D 在AB 上，且AC=CD=DB,OC 与OD 的延长线分别交⊙O 于点E 、F.求证：（1）∠AOC=∠BOF; (2) ∠COD >∠AOC; (3)?

<=EF

BF AE

41.如图7-20，点B 、C 三等分半圆直径EF ，点A 在这个半圆上。求证：AB+AC ≤

EF.

42.如图7-21，已知⊙O 内两条弦AB 、DC 的延长相交于点P,且∠P=90O .求证：S △OAD =S △OBC .

圆心角、圆周角

43.如图7-22，设⊙O 的半径的为R,且AB=AC=R,则∠BAC=_______.

44.如图7-23，AB 为⊙O 的弦，∠OAB=75O ,则此弦所对的优弧是圆周的______。

45.如图7-24，（1）∠α=_______；（2）∠α=_______。

46.如图7-25，在△ABC 中，∠C 是直角，∠A=32O 18’ ，以点C 为圆心、BC 为半径作圆，交AB 于点D,交AC 于点E,则?

BD 的度数是______。

47.如图7-26，点O 是△ABC 的外心，已知∠ACB=100O

,则劣弧?

AB 所对的∠AOB=______度。

48.如图7-27，AB 是⊙O 的直径，CD 与AB 相交于点E, ∠ACD=60O

, ∠ADC=50O

,则∠AEC=______度。

49.如图7-28，以等腰△ABC 的边AB 为直径的半圆，分别交AC 、BC 于点D 、E,若AB=10, ∠OAE=30O

,则DE=______。

50.在锐角△ABC 中，∠A=50O ,若点O 为外心，则∠BOC=_____;若点I 为内心，则∠BIC=______；若点H 为垂心，则∠BHC=________.

51.若△ABC 内接于⊙O ，∠A=n O

,则∠BOC=_______.

52.如图7-29，已知AB 和CD 是⊙O 相交的两条直径，连AD 、CB ，那么α和β的关系是（） (A)α=β (B) β>

21α (C) β<2

α (D) β=2α 53.如图7-30，在⊙O 中，弦AC 、BD 交于点E ，且

??==CD

BC AB ，若∠BEC=130O ,则∠ACD 的度数为（）

(A) 15O (B) 30O (C)80O (D)105O

54.如图7-31，AB 为半圆的直径，AD ⊥AB,点C 为半圆上一点，CD ⊥AD,若CD=2,AD=3,求AB 的长。

55.如图7-32，AO ⊥BO,AO 交⊙O 于点D ，AB 交⊙O 于点C, ∠A=27O ,试用多种方法求?

DC 、?

BC 的度数。

56.求证：如果AB 和CD 为⊙O 内互相垂直的两条弦，那么∠AOC 和∠BOD 互补。

57.如图7-33，设AB 是⊙O 的任意直径，取AO 上一点C,若以点C 为圆心，OC 为半径的圆与⊙O 相交于点D,DC 的延长线与⊙O 相交于点E,求证：?

=AD BE 3.

58.如图7-34，AB 为⊙O 的直径，OC ⊥AB,过点C 任引弦CD 、CE 分别交AB 于点F 、G 。求证：△CED ∽△CFG. 59.如图7-35，设点P 是⊙O 的直径AB 上的一点，在AB 的同侧由点P 到圆上作两条线段PQ 、PR ，若∠APQ=∠BPR.求证：△APQ ∽△RPB.

60.如图7-36，在△ABC 的外接圆中，若∠B 、∠C 所对弧的中点分别为点P 、Q.求证：直线PQ 与AB 、AC 相交成等腰△ADE;若△ADE 为等边三角形，求证：弧?

BC 的长等于该圆周长的三分之一。 61.如图7-37，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB,AD 、DB 是方程x 2-5x+4=0的两个根，求CD 的长。 62.已知A 、B 、C 为圆上三点，?AB ∶?BC ∶?

CA =3∶2∶1,BC=5厘米，求弦AB 、AC 的长。

63.已知AB 是⊙O 的直径，C 为半圆上一点，连CA 、CB,M 为AB 上的点，且MB=3,过点M 作MN ⊥AB,交BC 于点N,MN=3,BC=73,求⊙O 的半径。

64.如图7-38，AB 是⊙O 的直径，D 是?

AB 的中点，CD 交AB 于点E ，（！）求证：AD 2=CD ?DE; (2)若AC=6,BC=3,求BE 的长。

65.如图7-39，△ABC 的高AD 、BE 交于点M ，延长AD ，交△ABC 外接圆于点G,求证：D 为GM 的中点。 66.如图7-40，以AB 为直径的半圆上任取两点M 和C,过点M 作MN ⊥AB,交AC 延长线于点E,交BC 于点F.求证：MN 是NF 和NE 的比例中项。

67.如图7-41，△ABC 为圆内接三角形，AP 为直径，H 为垂心，求证：∠BHC= ∠BPC. 68. △ABC 内接于⊙O ，AH ⊥BC,垂足为H,AD 平分∠BAC ，D 在圆上，求证：AD 平分∠HAO.

69.AB 、AC 、AD 是同一圆O 的三条弦，且AC 平分∠BAD,自点C 向AB 、AD 作垂线，垂足分别为E 、F.求证：DF=BE. 70.已知AB 是⊙O 的直径，OC 是垂直于AB 的半径，过?

AC 上一点P 作弦PE,分别交OC 和?

BC 于点D 、E,若PO=PD,求证：∠AOP=

∠BOE.

71.C 是⊙O 的直径AB 上的一点，过点C 作弦DE,使CD=CO.求证：?

?=AD BE 3.

72.已知AB 是⊙O 的直径，P 是OA 上的一点，C 是⊙O 上一点，求证：PA

73.如图7-42，在⊙O 中，AB 、CD 是互相垂直的两条直径，过点C 任作两条弦CF 、CE,交AB 于点H 、G ，求证：

EF CF =. 74.如图7-43，在△ABC 中，∠A=90O ,AD ⊥BC,BE 平分∠ABC,由A 、D 、E 三点确定的圆，交BE 于点M,求证：BM=MD=FM.

75.如图7-44，已知⊙O 与⊙O 1相交于点A 、B ，点P 是⊙O 上的一点，引割线PAC 、PBD ，交⊙O 1 于点C 、D ，连结CD 。（1）作PE ⊥CD,求证：PE 必过⊙O 的圆心O ；（2）连结PO ，求证：PO 必垂直于CD.

76.如图7-45，两圆相交于点A 、B ，过点A 引割线ACD ，交一圆于点C,另一圆于点D,又点G 为CD 的中点，直线GB 义两圆于点E 、F.求证：四边形EDFC 是平行四边形。

77.如图7-46，设AB 是⊙O 上的两定点，且不是直径的两端点，若过点A 的任意弦AC 与过A 、B 、O 三点的圆相交于点P.求证：PB=PC. 78.设

为90O

的弧，点B 、C 将

三等分，连AD 与半径OB 、OC 分别交于点E 、F.求证：AE=DF=BC

79.证明下列各题：

(1)已知△ABC 内接于⊙O ，AD ⊥BD 于点D ，AE 是直径，求证：AB ?AC=AD ?AE;

(2)已知△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线交BC 于点D,交⊙O 于点E,求证：AB ?AC=AD ?AE; (3)已知△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，过点A 的任一弦AE 交BC 于点D,求证： AB ?AC=AD ?AE

80.设锐角△ABC 的各顶点向对边作垂线AD 、BE 、CF ，垂足分别为点D 、E 、F,并延长AD 、BE 、CF 各△ABC 的外接圆分别交于点P 、Q 、R.求证：△ABC 的垂心是△PQR 的内心。

81.在△ABC 中，AB=AC,过A 点直线与△ABC 外接圆交于点E,与BC 的延长线交于点D 。求证：AD 2-AC 2

=AD ?ED 82.如图7-47，已知⊙O 的直径AB 垂直弦CD,垂足为G,F 为CD 延长线上的一点，AF 交⊙O 于点E 。求证：AC 2=AE ?AF

83.如图7-48，AB 是⊙O 的直径，半径OC ⊥AB,D 为上任一点，E 为BD 弦上一点，且AD=BE.求证：△CDE

为等腰直角三角形。

84.如图7-49，等边△ABC 的外接圆

上任一点P ，CP 的延长和AB 的延长线交于点D ，求证：（1）∠D=∠CBP;

(2)AC 2=CP ?CD

85. ⊙O 的直径BE 与弦AC 互相垂直，垂足为点F,延长AB 到点D,使BD=AB,已知BE=20厘米，AB=11厘米，求CD 的长。 86.如图7-50，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC ⊥BD,垂足为点E ，

∶

=3∶1，

DF 交AC 于点G,且AF ?AB=AG ?AE,BE=2,ED=3,(1)求证：△AFG ≌△DFB;(2)求：S 四边形ABCD 的值；（3）求sin∠ADC 的值

87.点P 为正方形ABCD 的外接圆

上的任意一点，连结PA 、PB 、PC.求证：

PA +的值为常数。 88.如图7-51，六边形AGBHCK 内接于⊙O ，⊙I 内切于△ABC ，点D 、E 、F 为⊙I 与△ABC 各边相切的切点，

若∠EDF=65O , ∠DEF=60O

,求∠G 、∠H 、∠K 的度数。 89.如图7-52，△ABC 内接于⊙O ，∠BAD=∠CAD,DE ∥AB,DE 交AC 于点P 。求证：（1）OD 垂直平分BC; (2)AC=DE; (3)PO 平分∠APD.

90.AB 是⊙O 的直径，CD 是此圆内长度一定的动弦，自点A 、B 分别向CD 所在的直线作垂线AH 、BK 、H 、K 为垂足。（1）若点C 、D 在AB 的同旁，问：AH + BK 的值会变化吗？为什么？（2）若C 、D 在AB 的两侧，问：BK AH -的值也会变化吗？并证明你的结论。

91.已知以AB 为直径的半圆上有C 、D 两点，∠DCB=120O , ∠ADC=105O ,CD=1.试求四边形ABCD 的面积。 92.已知AB 、CD 为圆O 的两条互相垂直的直径，P 为半圆上的一点，求证： S 四边形ADPC =

1AP 2

圆的内接四边形

93.圆上四点，A 、B 、C 、D 分圆周为四段弧，:

=1:2:3:4,则圆内接四边形的最大内角为______。

94.在锐角△ABC 中，三条高AD 、BE 、CF 相交于点H ，在该图中，四点共圆共有_______组。

95.如图7-53，四边形ABCD 是正方形，点P 是AC 上的任一点，过点P 作EF ∥BC,交AB 、CD 于点E 、F,过点P 作GH ∥AB,交BC 、AD 于点G 、H.在该图中，四点共圆共有_______组。

96.如图7-54，在梯形ABCD 中，AB ∥DC,AD=DC=BC, ∠ADC=138O,E 是梯形外一点，若点E 在梯形ABCD 的外接圆上，则∠AEB=________

97.如图7-55，在梯形ABCD 中，AD ∥BC,过B 、C 两点作一圆，AB 、CD 的延长线交该圆于点E 、F 。求证：A 、D 、E 、F 四点共圆。

98.在△ABC 中，∠A=60O ，BD 、CE 是∠ABC 、∠ACB 的平分线，它们相交于点I 。求证：A 、E 、I 、D 四点共圆。

99.在梯形ABCD 中，DC ∥AB,过DC 作圆，交BC 于点E,交AD 于点F ，求证：A 、B 、E 、F 四点共圆。 100.如图7-56，在△ABC 中，AD=AE,BE 与CD 交于点P,DP=EP,求证：B 、C 、E 、D 四点共圆。

101.从圆内接四边形ABCD 的顶点C ，作对角线BD 的平行线，交AD 的延长线于点E ，求证：DE ?AB=BC ?CD.

102.证明：钝角三角形三边中点与夹钝角一边上的高的垂足共圆。

103.如图7-57，在△ABC 中，AB=AC,AD ⊥BC, ∠1=∠2=∠3,CE 交AB 于点G,连GF.求证：（1）G 、F 、C 、B 四点共圆；（2）GF ∥BE. 104.如图7-58，在△ABC 中，∠C=90O,BD 是∠CBA 的平分线，BE 为△ABD 外接圆的直径，求证：

DA CD .

105.在△ABC 中，AD ⊥BC,点O 在AD 上，以点O 为圆心、OA 为半径的圆交AB 、AC 于点F 、E.求证：F 、B 、C 、E 四点共圆。

106.在四边形ABCD 中，AC ⊥BD,AC 与BD 相交于O,OM ⊥AB,ON ⊥BC,OP ⊥DC,OQ ⊥AD 求证：M 、N 、P 、Q 四点共圆。 107.如图7-59，在ABCD 中，E 是对角线BD 上的一点，EC ⊥BC,EF ⊥AB,又FG 交DC 的延长线于点H.求证：E 、G 、H 、D 四点在同一个圆上。

108.如图7-60，已知△ABC ，AB 、AC 的垂直平分线交AC 、AB 的延长线于点F 、E 。求证：E 、F 、C 、B 四点共圆。

109.如图7-61，在⊙O 中，AB ∥CD,点P 是AB 的中点，CP 的延长线交⊙O 于点F ，又点E 为

上任上点，

连EF 交AB 于点G.求证：P 、G 、E 、D 四点共圆。

110.如图7-62，在△ABC 中，∠BAC 为直角，AB=AC,BM=MC,过M 、C 任作一圆，与AC 交于点E ，BE 与圆交于F 点，求证：AF ⊥BE. 111.如图7－63，在ABCD 的对角线上，任取一点P ，过点P 作AB 、CD 的公垂线EG ，又作AD 、BC 的公垂

线FM 。求证：EF//GM.

112.如图7－64，P △ABC 外接圆一任意一点，点P 到△ABC 三边的垂足分别为D 、E 、F 三点成一直线。 113．如图7-65，在ABCD 中，过D 、B 两点作一圆，交平行四边形四条边(或它们的延长线)于点E 、F 、G 、H ．求证：EF//GH.

114．如图7-66，四边形ABC0是⊙O 的内接四边形，DE ⊥AC ，AF ⊥BD ，点E 、F 是垂足．求证：EF//BC. 115．如图7-67，AB 为半圆的直径，弦AC 、BD 相交于点H ，HP ⊥AB.求证：∠1＝∠2． 116．在锐角△ABC 中，三条高AD 、BE 、CF 相交于点H ．求证：点H 是△DEF 的内心。

117．如图7－68，四边形ABCD 是正方形，点E 为BC 上的任一点，AE ⊥EF ，EF 交∠BCD 的外角平分线于点F ．求证：EA=EF.

118．在△ABC 中，∠BAC ＝90O ，又四边形BCDE 是正方形，它的中心为点O ，连结OA ．求证：OA 平分∠BAC ． 119．四边形ABCD 内接于⊙O ，AC ⊥BD ，点M 是月BC 的中点．求证：OM ＝

AD ． 120．圆内接四边形ABCD 的一组对边AB 、DC 的延长线相交于点P ，求证：(1)PB ?AC ＝PC ?BD ；(2)点P 到AD 的距离与点P 到BC 的距离之比等于AD:BC.

121.如图7-69，已知AB 为半圆O 的直径，C 、D 为半圆上的两点，CE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AB 于点F,DG ⊥OC 于

点G 。求证：CE=GF.

122. ⊙O 中弦AB//CD ，M 为CD 中点，BM 延长相交⊙O 于点E.求证：A 、E 、M 、O 四点共圆。 123.四边形ABCD 内接于圆，AD 、BC 的延长线相交于点E ，BA 、CD 的延长线相交于点F, ∠E 、∠F 的平分线

交AB 、CD 、BC 、AD 于点G 、M 、H 、N,连结GH 、HM 、MN 、NG.求证:四边形GHMN 是菱形。

124.如图7－70，AB 是⊙O 的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F 。求证：（1）

A 、D 、E 、F 四点共圆；（2）A

B 2=BE ?BD-AE ?AC.

125.四边形ABCD 内接于圆O,AB=4,CD=2,且∠A ＝90O , ∠B=60O

.求：（1）AD 及BC 的长；（2）四边形ABCD 的

面积。

126.如图7-71，△ABC 内接于圆O ，AB=AC, ∠A=30O 。圆O 的半径为10厘米，又弦KN//BC,交AB 、AC 于点

L 、M ，且KL=LM=MN.求弦KN 的长。

直线和圆的位置关系：

127.在直角△ABO 中，∠AOB=90O ，OC ⊥AB,垂足为点C,已知OA ＝43，OB=26,那么以点O 为圆心、4为半径的圆与AB 这条直线的位置关系是______. 128.在Rt △ABC 中，∠C=90O ,AC=5,AB=13.

(1)以点A 为圆心、4为半径的圆A 与直线BC 的位置关系是_____;

(2)以点B 为圆心、以AB 的长为半径的圆B 与直线AC 的位置关系是_____; (3)以点C 为圆心，当半径为______时，圆C 与直线AB 相切。

129.⊙O 的半径是6，⊙O 的一条弦AB 长为63，以3为半径的同心圆，与AB 的位置关系是_______. 130.⊙O 的直径是8，直线l 和⊙O 相交，圆心O 到直线l 的距离是d ，则d 应满足________. 131.⊙O 的半径为r ，⊙O 的一条弦AB 长也等于r ，则以O 为圆心、

r 为半径的圆与AB 的位置关系是______。 132.如图7－72，在△ABC 中，∠C=90O , ∠A=30O ,点O 为AB 上的一点，BO=m, ⊙O

的半径r 为

，当m 在什么范围内取值时，BC 与⊙O 相离？相切？相交？ 133.已知∠BAC ＝30O ，点D 是AC 边上的一点，AD=5,则以点D 为圆心，且与射线AB 相交两点的圆半径R 的

取值范围怎样？

134.在△ABC 中，AB=4厘米，AC=3厘米，∠BAC ＝60O ，AD 为∠BAC 的平分线，试问：以点D 为圆心、R 为半

径的圆，当R 满足什么条件时，⊙D 与AB 相交？相切？相离？此时⊙D 与边AC 又有怎样的位置关系？

135.已知⊙O 外一点P ，若⊙O 的半径为R ，PO=2R ，又过点P 作一射线PA ，且∠APO=30O

，则PA 与⊙O 的位

置关系怎样？为什么？

136.已知某圆的半径等于5厘米，圆心到三条直线的距离分别是3厘米、5厘米和7厘米，那么这三条直线

与该圆的交点一共有多少个？为什么？

圆的切线

137.如图7－73，在⊙O 中，AO 为半径，AB 为弦，BC 为切线，且OA ＝AB=BC,则弧BD 的度数为_____；弧DE

的度数为_______.

138.如图7－74，PA 、PB 切⊙O 于点A 、B,BD ⊥AP,BD 交弧AB 于点C, ∠CAD=25O ,则∠P 的度数为_______. 139.如图7－75，AB 为⊙O 的直径，∠PAB=45O , ∠ABC=75O ,TC 为⊙O 的切线，则∠TCP=_____,弧AP ∶弧

PC=_______.

140.如图7-76，直线MN 切⊙O 于点T ，AB//MN,弧AT=2弧AB ，则∠MTB=_______,

∠ATB=________.

141.如图7-77，在Rt △ABC 中，∠C ＝90O

,AC=3,BC=5,以点A 为圆心、1为半径作⊙A ，又BD 切⊙A 于点D ，

则切线BD 的长是_______.

142.如图7－78，PA 、PB 、DE 分别切⊙O 于点A 、B 、C,若PO=13厘米，⊙O 的半径r=5厘米，则△PDE 周长

为______;若∠APB=50O ,则∠DOE=_____.

143.如图7－79，直线AB 切⊙O 于点C ，DE 是⊙O 的直径，EF ⊥AB,垂足为F ，DC 的延长线与EG 的延长线交

于点G ，若∠G ＝56O

,则∠E ＝______.

144. 在△ABC 中，∠C ＝90O ，半圆直径MN 在AB 上，半圆分别与AC 切于点D ，与BC 切于点E,已知AC ＝12

厘米，BC=16厘米，则半圆的直径MN ＝_____

145.如图7－80，在⊙O 中，过弦AB 的端点A 和B 分别作⊙O 切线AP 和BQ,在弧AB 上取一点M,作MC//AP,

交AB 于点C,MD//BQ,交AB 于点D,若AC=4厘米，BD=5厘米，则MC ＝________. 146.如图7－81，⊙O 的直径等于8，OA ⊥OB,OC 是AB 边上的高，OA=45,OB=25. 求证：AB 与⊙O 相切。 147.在△ABC 中，AD 是底边BC 上的高，且等于BC 的一半，求证：以中位线EF 为直径作半圆，必与BC 相

同。

148.已知A 是⊙O 外的一点，OA 交⊙O 于点C ，过⊙O 上一点P 作弦PE ⊥OA,垂足为E ，且∠EPC=∠CPA.求证：

PA 是⊙O 的切线。

149.已知AB 是⊙O 的弦，BF 与⊙O 相切于点B ，OE ⊥AB,E 是垂足，延长OE 交FB 的延长线于M 点，连结AM 。

求证：MA 是⊙O 的切线。

150.圆O 1的半径为4厘米，圆O 2的半径为3厘米，这两个圆相交于A 、B 两点，且圆心距为5厘米。求证：

过A 点与圆O 1相切的直线必经过O 2点。

151.如图7－82，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90O ，AC ＝BC ，点D 是三角形内一点，且∠ADC ＝135O .求证:AB 是

△ADC 外接圆的切线。

152.PA 切半圆于点A ，割线PBC 过圆心O,AD ⊥BC,垂足为点D.求证：

CD OB . 153. 在△ABC 中，AB=28,BC=26,CA=30,半圆O 切AC 、BC 于点D 、E,点O 在AB 上。求半圆的半径r. 154.如图7－83，DA ⊥AB,AB 是半圆的直径，E 是AD 的中点，BD 交半圆于点C 。若CE=

132

,BC=4,求OE 的长。

155.AB 是半圆O 的直径，点C 是AB 延长线上一点，CD 切半圆于点D ，DE ⊥AB,点E 是垂足。已知

BE=51AB,AE=5

AB,CD=2,求BC 的长。

156.如图7－84，过△ABC 的两顶点B 、C 的圆与AB 、AC 分别交于点M 、N,又EF 切△ABC 的外接圆于点A 。求证：EF//MN.

157.如图7－85，⊙O 和⊙O 1相交于点A 、B 两点，且∠ABC ＝∠ABD ，AB 2=BC ?BD.求证：AC 是⊙O 的切线。 158.如图7－86，在等腰直角△ABC 中，∠ABC ＝90O ，AB ＝BC,沿∠C 的平分线CF 对称，使点B 落在AC 边上

的E 点。求证：以EF 为直径的圆必与AC 相切于点E.

159.如图7－87，在Rt △AOB 中，∠AOB=90O

,AO=BO,点D 在AB 上，且BD=BO,又点M 是AB 的中点，以点O 为

圆心，OM 为半径作⊙O ，交OA 于点E.求证：AB 和DE 都是⊙O 的切线。

160.如图7－88，△ABC 内接于⊙O ，点P 为弧BC 的中点，AP 交BC 于点D,EF 切⊙O 于点A,BE//PA 1交EF 于

点E,连结ED 。求证：∠ABC=∠AED. 161.如图7－89，在△ABC 中∠A 的内、外角平分线AE 、AF 分别交直线BC 及延长于点E 、F ，又过点A 作△ABC

的外接圆O 的切线，交BC 于点D.求证：DF=DE.

162.PA 、PB 是⊙O 的切线，AC 是⊙O 的直径，OP 交AB 于点D,且AC ＝4，PD=3.求BC 的长。

163.如图7－90，△AOB 是直角三角形，∠AOB=90O ,以点O 为圆心作圆，切斜边AB 于点C ，又AD 、BE 是⊙O

的切线，切⊙O 于点D 、E 。求证：D 、O 、E 三点在一条直线上。

164.如图7－91，AB 是⊙O 的直径，C 是圆上一点，过C 点的切线与过A 、B 两点的切线分别交于E 、F 两点，

AF 、BE 相交于P 点。求证：CP//AE.

165.如图7－92，AB 是⊙O 的直径，BP 切⊙O 于点B ，⊙O 的弦AC 平行于OP 。(1)求证：PC 是⊙O 的切线；

(2)如果切线PC 和BA 的延长线相交于点D ，且DA 等于⊙O 的半径，求证：

DP PB =. 166.如图7－93，AB 是⊙O 的直径，AB=AC,DE ⊥AC,连BE 交⊙O 于点F 。求证：(1)DE 为⊙O 的切线；

(2)AE?EC=BE?EF. 167.如图7－94，AT 切⊙O 于点T ，CB 为⊙O 直径，∠BCT=30O ,CT=3，求BC 、AC 、S △ABT .

168.如图7－95，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 交BC 于点D ，交AB 于点E,连结CE ，过点D

作⊙O 的切线交AB 于点M.求证：(1)DM//CE; (2) DC 2

=AC?BM. 169.如图7－96⊙O 的半径为5，10=OP ,PM 为⊙O 的切线，切点为M 。求(1)切点M 的坐标；（2）MA 的长。 170.O 是正方形ABCD 一边BC 的中点，AP 与以点O 为圆心、OB 为半径的半圆切于T 点，求AT ∶TP 的值。

171.在△ABC 中，∠C ＝90O

，⊙O 分别切AC 、BC 于点M 、N,圆心O 在AB 上，且AO ＝15厘米，BO=20厘米，

求⊙O 的面积。

172.如图7－97，△ABC 内接于⊙O ，AB=AC,过点B 作⊙O 的切线交AC 的延长于点D ，又DE ⊥AB 于点E 。求

证：CD=2BE.

173.如图7－98，AB 是⊙O 的直径，点C 是BA 延长线上的一点，CD 切⊙O 于点D ，∠BCD 的平分线交BD 于

点E ，又CA ＝1，CD 是⊙O 半径的3倍，求DE 和EB 的长。

174.如图7－99，CD 切⊙O 于点D ，CA 是过圆心O 的割线，过点B 作⊙O 的切线交CD 于点E,DE=

EC.求证：CA=3CD.

175.如图7-100，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD 是∠A 的平分线，AD 的延长线交⊙O 于点M ，过点M 作PQ//BC,

分别交AB 、AC 的延长线于点P 、Q.求证：(1)PQ 是⊙O 的切线；(2)QC

PB PM =. 176.如图7－101，⊙O 在∠ACB 内部，且切CA 于点T ，OH ⊥CB ，点H 为垂足，又HP 切⊙O 于点P 。求证：

CT 2=CH 2+HP 2

177.如图7－102，PB 、PC 切⊙O 于点B 、C ，作直径BA 并延长与PC 的延长线相交于点D ，若弧BC 为120O ，

求证：(1)AC=AD; (2)PO 等于⊙O 的直径。

178.AB 为半圆O 的直径，DA ⊥AB,CB ⊥AB,垂足为点A 、B ，DC 切⊙O 于点E,又点F 是DC 的中点，如果AD ＝

13厘米，BC=25厘米，求EF 和ABR 长度。

179.如图7－103，BD 、CE 分别是△ABC 两边AC 、AB 上的高，O 是△ABC 的外心，求证：OA ⊥DE.

180.如图7－104，弦CD 平行于直径AB ，BE 切⊙O 于点B ，交AD 的延长线于点E ，EF ⊥AC,F 为垂足。求证：

FC=AC.

181.如图：7－105，直线AF 切△ABC 外接圆O 于点A ，交△ABC 的高CE 的延长线于点F ，BD ⊥AC.求证：

AD ∶DC=EF ∶EC.

182.如图7－106，由正方形ABCD 的顶点A 引一条直线，与BD 、CD 及BC 的延长线分别交于点E 、F 、G 。求

证：CE 和△CGF 的外接圆O 相切。

183.如图7－107，直线DF 平分△ABC 中∠A 的外角，交△ABC 外接圆于点E ，FB 为△ABC 外接圆的切线。求

证：AD ?EF=BF ?DC.

184.如图7－108，AB 为⊙O 的直径，AD 是切线，FB 和DB 是割线。求证:BE?BF=CB?DB

185.如图7－109，C 是⊙O 直径AB 上一点，D 在⊙O 上，DC ⊥AB,DF 切⊙O 于点D ，CE ⊥DF 于点E ，求证：

AB ?CE=AC ?BC + DC 2 .

186.在Rt △ABC 中，∠A ＝90O ，以AB 为直径作半圆交BC 于点D,过点D 作半圆的切线交AC 于点E 。求证：

(1)AE=CE; (2) CD?CB=4DE 2 .

187.PA 为⊙O 的切线，A 是切点，PBC 为割线，E 是AB 的中点，PE 的延长线交AC 于点F.求证：FC

PC PA

22 188.如图7－110，直线L 在⊙O 外，过圆心作OA ⊥L ，A 为垂足，过点A 作割线交⊙O 于点B 、C ，过B 、C

两点作⊙O 的切线，交L 于点E 、F 。求证：AE=AF.

189.如图7－111，CD 为半圆O 的直径，P 为半圆外一点，PA 、PB 切半圆O 于点A 、B ，AC 与BD 相交于点E ，

PC 交半圆于点F 。求证：(1) △BPE∽△BOC; (2)PE 2=PF?PC .

190.如图7－112，AB 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的弦，过点D 作⊙O 的切线交AB 的延长线交于点C,过点C 作

AB 的垂线交AD 的延长线于点E ，已知AB=5厘米，AD=4厘米。（1）求BD 的长；（2）求证：△CDE 是等

腰三角形；（3）求△CDE 的面积。

191.如图7－113，在等腰梯形ABCD 中，AB//CD(AB>CD),AD=BC,以AD 为直径的⊙O 交AB 于点E ，⊙O 的切

线EF 交BC 于点F ，且cosA=

53。(1)求证：△ADE ∽△BEF; (2)当7

AB DC 时，求证△BEF 的面积与△ADE

的面积的比值；(3)当DC 与AB 两底长满足什么关系时，DF 与⊙O 相切？

192.已知OA 、OB 是⊙O 的两条互相垂直的半径，过弧AB 上的任一点M 作⊙O 的切线，分别交OA 、OB 的延

长线于点S 、T ；又MP ⊥OS,P 为垂足，求证：△AOB 的面积是△MOP 的面积与△SOT 面积的比例中项。三角形的内切圆

193.一个直角三角形的斜边为10厘米，内切圆半径为1厘米，则这个三角形的周长是_______。

194.如图7－114，⊙O 是△ABC 内切圆，⊙O 1与BC 相切且与AB 、AC 的延长线分别切于P 、Q 两点，若∠APQ

＝70O

，则∠A ＝_____; ∠BOC=_______; 若BC=7厘米，AC ＝8厘米，AB ＝5厘米，则AP=_____.

195.等腰梯形ABCD 外切于⊙O ，AD ＝3厘米，BC ＝7厘米，则⊙O 的直径为____厘米。

196.如图7－115，在⊙O 的外切四边形ABCD 中，若AB ＝4，BC=5,CD=3,则S △BOC :S △COD : S △AOD :S △AOB =_______

197.半径是r 的圆外切正三角形的边长与它的内接正方形边长的比值是______. 198.在△ABC 中，AB=AC=39,BC=30,则内切的直径为______.

199.已知圆的半径为R ，那么这个圆的内接正三角形的内切圆半径为______.

200.在圆的外切四边形ABCD 中，AB=(m+n),CD=(m-n)2,则AD+BC 用m 、n 可表示为______.

201.已知直角三角形的斜边和一条直角边的比为25 ：7，它的内切圆的半径r=1.2厘米，则这个直角三角

形各边长分别为______.

202.已知半圆的圆心O 在Rt △ABC 的斜边BC 上，且半圆分别与AB 、AC 切于D 、E,AB=4，AC=5，则半圆半径

R ＝_______.

203.如图7－116，在△ABC 中，AB ＝20厘米，BC ＝22厘米，AC ＝14厘米，⊙O 为△ABC 内切圆，切各边于

点F 、D 、E ，又直线MN 切⊙O 于点G ，分别交AB 和BC 于点M 、N ，则△BMN 的周长为_____厘米。 204.三角形内切圆与三边的切点分圆为10:9:5的三条弧，则这个三角形最小角的余切等于_______。 205．△ABC 的内切圆切各边于点D 、E 、F,则△ABC 必定是_________三角形。

206.三角形的内心是以各边与内切圆的切点为顶点的三角形的______（填:外心、内心、重心、垂心） 207.三角形的垂心是这个三角形三条高的垂足所成三角形的_______(填：外心、内心、重心、垂心)

208. △ABC的内切圆被三个切点分成三段弧，在每段弧上取一点，分别过这些点作内切圆的切线，截原三角形得三个小三角形，设这三个小三角形的周长分别为p1、p2、p3 ，则△ABC的周长为________. 209.在△ABC中，∠A＝60O，内切圆I在BC边上的切点分BC为2和5两段，则AB和AC的长分别为________. 210.如果O是△ABC内一点，且△OAB、△OBC、△OCA的面积比为AB:BC:CA,那么O是△ABC的______（填：外心、内心、重心、垂心)

211.在△ABC中，∠A＝60O，内切圆I在BC边上的切点为D,若BD=2,DC=5，则AB和AC的长分别为________ 212.直角三角形两条直角边为m和n，它的外接圆直径为P，内切圆直径为q，则m、n、p、q之间的关系为 .

213如图7－117，在⊙O的外切直角梯形ABCD中，AB//CD，∠A＝90，E、F、G、H分别为各边上的切点，若CD＝4厘米，AB＝8厘米，则内切圆直径是( )．

214.如图7－118，⊙O是边长为2的正方形ABCD的内切圆，EF切①O于P点，交AB、BC于点E、F，则△BEF的周长是．

215.等腰三角形的腰被内切圆的切点分为7：5(由顶点开始)两部分，求腰与底边之比．

216.已知点P为⊙O外的一点，PA、PB切⊙O于点A、B，OP与AB交于点C，⊙O的半径为3厘米，∠APB ＝60O，求OP、PA、AB、AC、OC和CP的长.又设PO交⊙O于点E，问：点E是△ABC的什么“心”? 217.已知等腰梯形两底之和为10厘米，两底之差为6厘米，且有内切圆，用两种方法求内切圆的半径．218.在Rt△ABC中，C=90，内切圆I切AB于点D．求证:S△ABC =AD·BD．

219.四边形ABCD是⊙O的外切四边形，AD//BC，⊙O切AD、BC于点M、N．求证：AM·BN=DN·CN．

220.在△ABC中，AB=AC，点I是内心．求证：AB、AC都与△IBC的外接圆相切．

221.如图7－119，点I是△ABC的内心，过点I且垂直于AI的直线交AB、AC于点D、E.求证：BID＝C．222．等腰△ABC，腰长为10厘米，底边长为12厘米，求三角形内切圆的半径．

223.如图7-120，已知一等腰直角三角形的外接圆和内切圆半径分别为R和r，求斜边AB和直角边AC的长．224.⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=9O，三边分别为a、b、c，求(1)内切圆半r；(2)外接圆半径R(3)若三边分别为6、8、10，则r、R各等于多少?

225.圆的半径为5厘米，它的外切四边形的面积为120cm2并且四边形的三边依次为1：2：3，求这四边形各边的长．

226．⊙O是梯形ABCD的内切圆，⊙O的面积是3π厘米，梯形ABCD的中位线长

是3.8厘米，且∠B＝60，求梯形ABCD的两腰AB、CD的长．

2-,

227．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，⊙O内切于梯形ABCD，AD＝1

BC＝2+1，求(1)AB的长；(2)内切圆半径r．

228．在△ABC中，∠C＝90O，内切圆I与AB、BC、CA分别切于点D、E、F，若⊙I的半径为r，BE=n，试用r和n表示△ABC的面积得____．

229．已知△ABC三边长为6、8、10，则它的内心、外心间的距离为___；若三边长为5、5、8，则内心、外心间的距离为_____;内心、重心间的距离为___，外心与重心

间的距离为______．

230．△ABC 的外心在AB 上，且△ABC 是直角三角形，△ABC 的周长为30厘米，重心G 离C 点的距离为4

1厘米，求△ABC 重心G 到AB 边的距离．

231．若斜边为13的直角三角形的两条直角边分别是一元二次方程x 2

－(m －1)x+3(m+2)＝0的两根，求(1)m

的值； (2)直角三角形内切圆的面积． 232．如图7-121，△ABC 的面积是103，∠A ＝60O

，AB ∶ AC ＝5∶2，求这个三角形内切圆半径r (用

最简根式表示)．

233．已知等腰三角形的顶角为120O

，它的内切圆的周长为12π，求这三角形的周长与面积．

234．如图7-122，等腰三角形的腰长AB ＝AC ＝5，内切圆的两腰上两切点间的距离EF 为2.4，求(1)BC 的

长；(2)S △ABC ． 235．△ABC 的内切圆切AC 于点E ，且AE ＝2厘米，EC=5厘米，已知∠B ＝

(∠A+∠C)，求(1)AB 与BC 的长；(2)内切圆面积.

236.如图7-123，⊙I 为△ABC 的内切圆，切点为D 、E 、F ，∠A ＝62O

，求(1)∠BIC (2)∠DIE ；(3)若BG 、

CG 分别为∠B 、∠C 的外角平分线，求∠BGC ．

237．如图7-124，△ABC 的内切圆O ，切各边于点D 、E 、F ，MN 切⊙O 于点P ，且MN ∥BC ，AB ＝15，BC=14，

AC=13，求(1)△AMN 周长；(2)MN 之长．

238．⊙O 是任意三角形ABC 的内切圆，三边分别为a 、b 、c ，且三角形面积为S ，求(1)内切圆半径r ；(2)

外接圆半径R ；(3)若a ＝17，b ＝21,c ＝10，S ＝84，问：r 、R 各等于多少？

239．已知⊙O 的半径是r ，作⊙O 的外切三角形ABC ，使BC>AC>AB ，⊙O 分别与AB 、BC 、AC 相切于点D 、E 、

F ，设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，(1)用a 、b 、c 表示AD 的长；(2)求证：如果△ABC 是直角三角形，那么

r ＝

c b -+；(3)如果△ABC 是钝角三角形，那么b+c-a 的值应在什么范围内变化?(只要求写出结论，不要求说明理由，也不要求给出证明)

240．如图7-125，在△ABC 中，∠C ＝90O

，内切圆I 切AB 于点E ，已知⊙I 的半径为5，且IA=13，求BE 的

长．

241．在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C ＝1:2:3，点O 是△ABC 的内心，求S △BOC :S △AOC :S △AOB ．

242．已知圆外切直角梯形的周长为18厘米，其中不垂直于底边的腰长为5厘米，求圆的半径．

243．如图7-126，△ABC 的内切圆I 分别切BC 和AC 于点D 、E ，ED 的延长线交∠A 的平分线于点F ．求证：

BF ⊥AF ．

244．如图7-127，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，△ABC 的内切圆交AD 于点E ，过点E 作MN ∥BC 分

别交AB 、AC 于点M 、N ．求证：(1)OM ⊥OB ；(2)DE 2

=BC ?MN ．

245．在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于点D ．求证：CD 等于△ABC 、△BCD 和 △ACD 的内切圆半径之和．

246．如图7-128，△ABC 的三边AB 、AC 、BC 与其内切圆分别切于D 、E 、F 点，FG ⊥ DE ，G 是垂足．求证：

EG DG = 247．如图7-129，Rt △ABC 的内切圆O 与斜边AB 切于点D ，与BC 、AC 切于点E 、G ，DE 与AC 的延长线交于

点F ．(1)求证：BD=CF ；(2)若AD ＝10，BD=3，求⊙O 的半径r 及S △BDE :S △CEF 的值．

248．如图7-130，已知Rt △ABC 的三边AB 、BC 、CA 的长为15、17、8，其内切圆O 在各边上的切点为F 、D 、E ，另外，在内切圆的弧EF 的两边CA 、AB 之间再作一个与它们相切的⊙O 1、，求⊙O 及⊙O 1的半径．

249．如图7-13Rt △ABC 中，∠C=90°，CA=5，BC=12，在三角形内作两个互相外切的等圆⊙O 1与⊙O 2，并且

⊙O 1切边AB 、BC ，⊙O 2切边AB 、CA ，求这两个等圆的半径之长。

250．在下列各图7-132中，设AC ⊥CB ，BC=a ，CA ＝b ，AB=c ，求⊙O 的半径R 。

251．在△ABC 中，中线BE 、CF 相交于点G ，并且△BGF 与△CGE 的内切圆相等．试证：△ABC 是等腰三角形．

252．如图7-133，在△ABC 中，∠C ＝90°，内切圆I 分别切边AB 、AC 、BC 于点D 、F 、E ，设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，AF ＝m ，BE ＝n ，内切圆半径为r ．(1)求证：△ABC 的面积为mn ；(2)证明:m 、n 是关于x 的方程2x-2cx+ab=0的两个根；(3)若AB 边上的中线为1，△ABC 的周长为2+6，求△ABC 的内心I 与外心间的距离；(4)证明：tan

2tan 2B A +=ab

rc 2 253．如图7-134，在边长为a 的等边△ABC 中，半圆O 的直径在BC 上，又分别与

AB 、AC 相切于点Q 、R ，点P 是弧QR 上(不包括Q 、R 点)任意一点，过点P 的切线

分别与AB 、AC 相交于点D 、E ．(1)求△ADE 的周长；(2)求∠DOE 的大小；(3)求证：△BOD ∽△CEO ；(4)

当DE ＝

a 2

5-时，求BD 、EC 的长．` 254．如图7-135，在△ABC 中，⊙I 是它的内切圆，切AB 、BC 、CA 于点F 、D 、E 。

△ABC 的周长为2m ．又GH ∥BC ，G 、H 分别在AB 、AC 上，且GH 切⊙I 于点 K ．问：GH 的最大值是多少? 弦切角

255．如图7-136，在⊙O中，AC是弦，AD是切线，CB⊥AD，垂足为B，CB与圆相交

于点E，如果AE平分∠BAC，则∠ACB=____

256．如图7-137，⊙O的两条直径AB与CD，BT是过B点的切点，且弧BD＝45°，则∠BAD＝____；∠CBT=____

257．如图7-138，MN切⊙O于点p，AB∥MN，PA交⊙O于点C，PB交⊙O于点D．求证：C、D、B、A四点共圆．

258．如图7-139，AB是⊙O的弦，C是弧AB的中点，BD是切线，CD∥AB．求证：DC=DB．

259．如图7-140，PA、PC分别切⊙O于点A、C，D为弧AC上任一点，连结CD交AP于点E，∠P＝30°，则∠ADE＝____

260．如图7-141，CD为⊙O的直径，AE切⊙O于点B，DC的延长线交AB于点A，∠DBE=62°，则∠A＝_度．261．如图7-142，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠A＝40°，CE切⊙O于点C，BE⊥AC，则∠E＝_____ 度. 262．如图7-143，AD是切线，点D是切点，BC是半圆O的直径，AB=BC＝2，则AD=___

DC:DB＝____ ；DB=____，DC＝____，S△ABD＝____．

263．如图7-144，∠ACB＝90°，MN切△ABC的外接圆于点C，AE⊥MN，BF⊥MN，垂足分别是点E、F，AC ＝3，BC＝4，则四边形AEFB的面积等于____.

264．如图7-145，PA、PB切⊙O于点A、B，CE⊥AD，垂足为点E，交BD于点C，且CE过圆心O，则图中与∠D相等的角共有( )．

(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个

265．如图7-146，PA 切⊙O 于点A ，C 为弧AB 上任一点，∠PAB=42°，则∠C 的度数为( )．

(A)116° (B)132° (C)138° (D)159°

266．如图7-147，割线PAB 过⊙O 的圆心，交⊙O 于A 、B 两点，PC 切⊙O 于C 点,且PC=BC

CD ⊥PB ，垂足为D ，求CD ：BC ．

267．如图7-148，BC 切⊙O 于C 点，DF ∥BC ，延长BD 交⊙O 于点A ，AC 交DF 于点E ．求证：BD:CE ＝BC:CF.

268．如图7-149，已知△ABC 是⊙O 内接三角形，BM 、CN 是圆的切线，AD ∥CN ，AE//BM,求证：AD 2

=BE ?CD

269．半圆O 的直径AB ＝2，C 是半圆上的一点，且弧AC ：弧CB ＝1：2，过点B 、C 的切线交于点P ，PA 交

⊙O 于点E ，求PE 的长． 270．AB 是⊙O 的直径，延长AB 至点C ，使BC ＝

AB ，自点C 作CD 切⊙O 于点 D ，连结AD ．求证：△DAC 是等腰三角形．

271．已知在⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠A=73°，∠B=92°，且弧DC=弧BC ，过各顶点作⊙O 的切线，围

成的四边形为PQMN ，求⊙O 外切四边形PQMN 各内角的度数． 172．设⊙O l 与⊙O 2。相交于A 、B 两点，⊙O 1的弦CA 切⊙O 2于点A ，且∠CAB=60°若⊙O 2的半径为33，求AB 的长．

173．BC 为⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点C ，AB 交⊙O 于点D ．已知AD ：AB=2：5，且AC ＝10厘米，求(1)BC

的长；(2)tanB 的值．

274．如图7-150，在△ABC 中，∠CAB 及它的外角的平分线与BC 及其延长线分别交于点D 、E ，若外接圆过

点A 的切线AF 与CE 的交点为点F ．求证：DF ＝EF ．

275．如图7-151，圆内相交两弦AB 、CD 的交点为点P ，作△APC 外接圆的切线PT ，求证；PT ∥BD ． 276．如图7-152，AB 、AC 切⊙O 于点B 、C ，BC 与AO 相交于点D ，过点C 作弦CE ，又自点A 向EC 引垂线，

垂足为点H ．求证：△ADH ∽△CBE ．

277．如图7-153，在⊙O 中，弦AE 和CF 相交于点B ，AD ∥CB ，DC ∥AB ，MN 切⊙O 于点D ．求证：MN ∥EF ．

278．P为两同心圆的大圆上的一点，过点P作大圆的弦PA、PB，且都与小圆相切，又CD切大圆于点P．试用两种方法证明；CD∥AB．

279．如图7-154，△ABC内接于⊙O，过点C的切线与AB的延长线相交于点D，且DC=DE．求证：CE平分∠ACB．

280．如图7-155，若AF是△ABC外接圆的切线，AD⊥BC，DE⊥AB，求证：AF∥EC．

281．如图7-156，AB为⊙O的直径，DC切⊙O于点C，过点D作DE⊥AB，交AC于点F，E是垂足，试用两种方法证明：△DFC是等腰三角形。

282．如图7-157，△ABC内接于⊙O，DE∥BC，点D在AB上，点E在AC上，且DE的延长线交过点A的切线于点P．求证：PA2＝PD?PE．

283．如图7-158，在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O过点C，且切AB的中点于点D，交

AC于点E，F为弧EC上任意一点．求证：∠CFD=2∠DFE．

284．△ABC内接于⊙O，BD⊥AC，CE⊥AB，又MN切⊙O于点A．求证：MN∥ ED．

285．如图7-159，PA是△ABC外接⊙O的切线，DE∥AC，PD＝PE，若AB＝7厘米，AD＝2厘米，求DE的长．286．如图7-160，AB、AC分别切⊙O于点B、C，P是⊙O上一点，PD⊥BC于点D，PE⊥AB于点E，PF⊥AC 于点F．求证：PD2＝PE?PF．

287．如图7－161，设∠A(A为锐角)为等腰△ABC的顶角，过点C作三角形外接圆的切线，交AB的延长线于点D，又过点D作AC的垂线，E为垂足．求证：(1)BD＝2CE：(2)若顶角A为钝角时，试证之(如图7-162)．

288．如图7-163，在梯形ABCD中，已知CD＝a，AD＝b，AB＝c，AD⊥AB，以BC为直径作⊙O交AB于点E，切AD于点F，连BF、CF，设∠ABF＝α，求证；关于x的方程ax2-bx+c＝o有两个相等的实数根，且这两个等根都等于cotα.

289．⊙O直径AB垂直弦CD于点E，EF⊥AC，求证：AC?FC＝AE?BE．

290．已知AB为⊙O直径，EF切⊙O于C点，AE⊥EF，BF⊥EF，E、F为垂足．求证：EF2＝4AE?BF．

291．如图7-164，在直角坐标系中，⊙M的圆心M在y轴上，⊙M与x轴交于点T、R,与y轴交于点A、B，

中考数学专题训练圆专题复习

——圆 ◆知识讲解一．圆的定义 1、在一个平面内，线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。 2、圆是到定点的距离等于定长的所有点的集合。 3、确定一个圆需要两个要素：一是位置二是大小，圆心确定其位置，半径确定其大小。 4、连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弦记作“圆弧AB”，或者“弧AB”。大于半圆的弧叫作优弧（用三个字母表示，如ABC）叫优弧；小于半圆的弧（如AB）叫做劣弧。二、垂直于弦的直径、弧、弦、圆心角 1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弦。 2、垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 3、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等。在等圆中，弦心距相等的弦相等。三、圆周角 1、定义：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角。 2、定理：一条弧所以的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。 3、推论：（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所以的圆周角相等。（2）直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。四、点和圆的位置关系 1、设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d。则d>r ?点在圆外，d=r ?点在圆上，d

2019年中考数学圆专题复习试卷含详解

2018-2019学年初三数学专题复习圆一、单选题 1.下列说法，正确的是( ) A. 半径相等的两个圆大小相等 B. 长度相等的两条弧是等弧 C. 直径不一定是圆中最长的弦 D. 圆上两点之间的部分叫做弦 2.如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（） A. 50° B. 80° C. 90° D. 100° 3.已知⊙O的半径为5，A为线段OP的中点，当OP＝6时，点A与⊙O的位置关系是( ) A. 点A在⊙O内 B. 点A在⊙O上 C. 点A在⊙O外 D. 不能确定 4.如果两圆半径分别为5和8，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 5. 两个圆的半径分别为2和3，当圆心距d=5时，这两个圆的位置关系是（） A. 内含 B. 内切 C. 相交 D. 外切 6.一个扇形的半径为2，扇形的圆心角为48°，则它的面积为（）。 A. B. C. D. 7.钝角三角形的外心在（） A. 三角形的内部 B. 三角形的外部 C. 三角形的钝角所对的边上 D. 以上都有可能 8.如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4cm，则⊙O的周长为（） A. 5πcm B. 6πcm C. 8πcm D. 9πcm 9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，若把Rt△ABC绕直线AC旋转一周，则所得圆锥的侧面积等于( ) A. 6π B. 9π C. 12π D. 15π 10.直线a上有一点到圆心O的距离等于⊙O的半径，则直线a与⊙O的位置关系是（） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相切或相交 11.如图，BD是⊙O的直径，点A、C在圆上，且CD=OB，则∠DAC等于（）

中考圆专题复习经典全套

人教版九年级数学上册圆的基本性质点与圆的位置关系 1.决定圆的大小的是圆的_____;决定圆位置的是_____. 2.在Rt△ABC中∠C=90O,AC=4,OC=3,E、F分别为AO、AC的中点,以O为圆心、OC为半径作圆,点E在⊙O 的圆_____,点F在⊙O的圆_____. 3.如图;AB、CD是⊙O的两条直径,AE∥CD,BE与CD相交于P点, 则OP∶AE=____. 4.经过A、B两点的圆的圆心在________,这样的圆有______个. 5.如图;AB是直径,AO=,AC=⊥AB,则CD=_______. 6.一已知点到圆周上的点的最大距离为m ,最小距离为n .则此圆的半径_____. 7.有个长、宽分别为4和3的矩形ABCD,现以点A为圆心,若B、C、D至少有一个点在圆内,且至少有一个点在圆外,则⊙A半径r 的范围是_________. 8.⊙O的半径为15厘米,点O到直线l的距离OH=9厘米,P,Q,R为l上的三个点,PH=9厘米,QH=12厘米,RH=15厘米,则P,Q,R与⊙O的位置关系分别为 . 9.若点A(a,-27)在以点B(-35,-27)为圆心,37为半径的圆上,a= . 10.在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,以点A为圆心作圆,若B,C,D三点中至少有一点在圆内,且至少有一点在圆外, 则⊙A的半径R的取值范围是 11.在直角坐标系中,⊙O的半径为5厘米,圆心O的坐标为(-1,-4),点P(3,-1)与圆O的位置关系是 . 12.如图⊙O是是等腰三角形ABC的外接圆,AB=AC,D是弧AC的中点，已知∠EAD=114O，求∠CAD在度数。 13.已知⊙O的直径为16厘米，点E是⊙O内任意一点，（1）作出过点E的最短的弦；（2）若OE=4厘米，则最短弦在长度是多少 14.如图7-4，已知在△ABC中，∠CAB=900 ，AB=3厘米，AC=4厘米，以点A为圆心、AC长为半径画弧交CB 的延长线于点D.求CD的长。 15.试问:任意四边形的四个内角的平分线相交的四个点在同一个圆上吗又问：任意四边形各外角在平分线所相交在四边形在同一圆上吗为什么 16.如图7-6，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，（1）已知CD=8厘米，AP:PB=1:4,求⊙O的半径；（2）如果弦AE交CD于点F。求证：AC2=AF?AE. 17.已知四边形ABCD是菱形，设点E、F、G、H是各边的中点，试判断点E、F、G、H是否在同一个圆上，为什么又自AC、BD的交点O向菱形各边作垂线，垂足分别为M、N、P、Q点，问:这四点在同一个圆上吗为什么

中考复习专题圆

专题复习----圆 1、如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于D,DE ⊥AC 于 E,连接AD,则下列结论正确的个数是( ） ①AD ⊥BC ②∠EDA=∠B ③OA=1 2 AC ④DE 是⊙O 的切线 A ．1 个 B ．2个 C ．3 个 D ．4个 2、如图，AB 是O ⊙的直径，AD 是O ⊙的切线，点C 在O ⊙上， BC OD ∥，23AB OD ==，,则BC 的长为（） A ．23 B ． 32 C D ． 2 3、如图10，AB 是⊙O 的直径，C 是弧BD 的中点，CE⊥AB，垂足为E ，BD 交CE 于点F ．（1）求证：CF BF =；（2）若2AD =，⊙O 的半径为3，求BC 的长． 4、如图，△ABC 内接于半圆，AB 是直径，过A 作直线MN ，若∠MAC=∠ABC ．（1）求证：MN 是半圆的切线；（2）设D 是弧AC 的中点，连结BD 交AC 于G ，过D 作DE⊥AB 于E ，交AC 于F ．求证：FD ＝FG ．（3）若△DFG 的面积为4.5，且DG=3，GC=4，试求△BCG 的面积． 5、如图，AB 为⊙O 的直径，D 是弧BC 的中点，DE ⊥AC 交AC 的延长线于E ，⊙O 的切线BF 交AD 的

延长线于F ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若DE=3，⊙O 的半径为5．求BF 的长． 6、如图， Rt ABC △中，90ABC ∠=°，以AB 为直径的O ⊙交AC 于点D ，过点D 的切线交BC 于E ．（1）求证：1 2 DE BC = ；（2）若tan 2C DE = =，求AD 的长． 7、如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，连结BC ，AC ，过点C 作直线CD ⊥AB 于点D ，点E 是 AB 上一点，直线CE 交⊙O 于点F ，连结BF ，与直线CD 交于点G ．求证：BF BG BC ?=2 8、如图所示，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，过点C 的切线交AD 的延长线于点

中考数学综合题专题【圆】专题训练含答案

中考数学综合题专题【圆】专题训练含答案一、选择题 1．（北京市西城区）如图，BC 是⊙O 的直径，P 是CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于（）（A ） 15 （B ） 30 （C ） 45 （D ） 60 2．（北京市西城区）如果圆柱的高为20厘米，底面半径是高的 41，那么这个圆柱的侧面积是（）（A ）100π平方厘米（B ）200π平方厘米（C ）500π平方厘米（D ）200平方厘米 3．（北京市西城区）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：“如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE ＝1寸，AB ＝寸，求直径CD 的长”．依题意，CD 长为（）（A ）2 25寸（B ）13寸（C ）25寸（D ）26寸 4．（北京市朝阳区）已知：如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于（）（A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）214 5．（北京市朝阳区）如果圆锥的侧面积为20π平方厘米，它的母线长为5厘米，那么此圆锥的底面半径的长等于（）（A ）2厘米（B ）22厘米（C ）4厘米（D ）8厘米 6．（天津市）相交两圆的公共弦长为16厘米，若两圆的半径长分别为10厘米和17厘米，则这两圆的圆心距为（）（A ）7厘米（B ）16厘米（C ）21厘米（D ）27厘米 7．（重庆市）如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于（）

中考数学专题复习(二)圆

专题二：圆知识要点扫描归纳一圆的基本概念（1）圆的定义：在平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。定点叫做圆心，定长叫半径。（2）确定圆的条件； ①已知圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一条直线上的三点确定一个圆； ③已知圆的直径的位置和长度可确定一个圆；（3）点和圆的位置关系设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则点与圆的位置关系有三种。 ①点在圆外?d ＞r ； ②点在圆上?d=r ； ③点在圆内? d ＜r ；（4）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直线。直径是圆中最大的弦。圆心到弦的距离叫做弦心距。（5）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。（6）等圆、等弧：能够重合的两个圆叫做等圆。同圆或等圆的半径相等。在同圆或等圆中，能够互相重合的两条弧叫做等弧。（7）圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。圆绕圆心旋转任何角度，都能够与原来的图形重合，因此圆还具有旋转不变性。二圆中的重要定理 1．垂径定理及其推论：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．推论1：一条直线，如果具有①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧．这五个性质中的任何两个性质这条直线就具有其余的三条性质．推论2：圆的平行弦所夹的弧相等． 2．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、定理及推论．在同圆或等圆中，四组量：①两个圆心角；②两条弧；③两条弦；④两条弦心距．其中任一组量相等，则其余三组量也分别相等．即在同圆或等圆中：圆心角相等←?? →←??→←??→所对所对所对弧相等弦相等弦心距相等 3．圆周角 ①定义：顶点在圆上，且两边与圆相交的角． ②定理及推论定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90o 的圆周角所对的弦是直径．

初中圆专题

圆一、知识点梳理知识点1：圆的定义： 1. 圆上各点到圆心的距离都等于 . 2. 圆是对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的；圆又是对称图形，是它的对称中心. 知识点2：弦、弧、半圆、优弧、同心圆、等圆、等弧、圆心角、圆周角等与圆有关的概念 1.在同圆或等圆中，相等的弧叫做 2. 同弧或等弧所对的圆周角，都等于它所对的圆心角的 . 3. 直径所对的圆周角是，90°所对的弦是 . 例1 P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；?最长弦长为_______．例2如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90度．点P是半圆弧AC的中点，连接BP交AC于点D，若半圆弧的圆心为O，点D、点E关于圆心O对称．则图中的两个阴影部分的面积S1，S2之间的关系是（） A．S1＜S2 B．S1＞S2 C．S1=S2 D．不确定例3如图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，所围成的图形（阴影部分）的面积为（）例4车轮半径为0.3m的自行车沿着一条直路行驶，车轮绕着轴心转动的转速为100转/分，则自行车的行驶速度（） A．3.6π千米/时 B．1.8π千米/时 C．30千米/时 D．15千米/时例5 如图，⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，图中弦的条数有（）A．2条 B．3条 C．4条 D．5条知识点3：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两个圆周角中有一组量，那么它们所对应的其余各组量都分别 . 知识点4：垂径定理

垂直于弦的直径平分，并且平分；平分弦(不是直径)的垂直于弦，并且平分 . 例1、如图（1）和图（2），MN是⊙O的直径，弦AB、CD?相交于MN?上的一点P，?∠APM=∠CPM．（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．例2在圆柱形油槽内装有一些油．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为（） A．6分米 B．8分米 C．10分米 D．12分米例3 小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一

2018届中考数学复习《圆的有关性质》专项训练题含答案

2018届初三数学中考复习圆的有关性质专项复习练习 2. 如图，AB 是OO 的直径，BOCD ^DE / C0D= 34°,则/AEO 勺度数是（） 3. 如图是以厶ABC 的边AB 为直径的半圆 Q 点C 恰在半圆上，过 C 作CD L AB 3 交AB 于 D,已知cos / AC 3 , BC= 4,贝卩AC 的长为（） 5 20 16 A. 1 B. 20 C . 3 D. § 4. 已知OO 的直径CD= 10 cm, AB 是OO 的弦，AB!CD 垂足为M 且AB= 8 cm, 则AC 的长为（） A. 2 5 cm B . 4命 cm C. 2 5 cm 或 4 5 cm D . 2 3 cm 或 4 3 cm A. 51° B. 56 5. 如图，在O Q 中，QALBC / AQB= 70°，则/ ADC 勺度数为（ 1.如图，已知O O 的半径为13,弦AB 长为24,则点O 到AB 的距离是（） C. / () D B

A. 30° B . 35° C . 45° D . 70° 6. 如图，00的直径AB垂直于CD / CAB= 36°，则/ BCD勺大小是（） A. 18° B . 36° C . 54° D . 72° 7. 如图，已知OO为四边形ABCD勺外接圆，O为圆心，若/ BCD= 120°, AB= AD= 2,则00的半径长为（ 8. 如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB= CD= 0.25 米, BD= 1.5米，且AB CD与水平地面都是垂直的.根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是（） A. 2 米 B . 2.5 米C . 2.4 米D . 2.1 米 9. 如图，AB是00的直径，弦CDLAB于点E, / CDB= 30°, O O的半径为5 cm 则圆心O到弦CD的距离为（） A 晋 B. f C. 3 D. 2、 3 3 fi R D

初三《圆》基础知识复习专题

《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充） 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系 1、点在圆内?d r ?点A在圆外；三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离?d r >?无交点； 2、直线与圆相切?d r =?有一个交点； 3、直线与圆相交?d r

外离（图1）? 无交点 ? d R r >+；外切（图2）? 有一个交点 ? d R r =+；相交（图3）? 有两个交点 ? R r d R r -<<+；内切（图4）? 有一个交点 ? d R r =-；内含（图5）? 无交点 ? d R r <-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 六、圆心角定理图1 图2 图4 图5 B D

天津市2020版中考数学专题练习：圆50题_含答案

、选择题： 1. 如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子 3. 已知圆内接正三角形的边心距为 1，则这个三角形的面积为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 4. 如图，点 A ， B ， C ，在⊙ O 上，∠ ABO=32°，∠ ACO=38°，则∠ BOC 等于 ( 6.如图, ⊙O 是△ ABC 的外接圆 ,弦AC 的长为 3,sinB=0.75, 则⊙ O 的半径为( ) 圆 50 题垂直，在测直径时，把 A ． O 点靠在圆周上，读得刻度 OE=8个单位， 12 个单位 B ． 10 个单位 C CD 是⊙ O 的两条弦，连结 AD 、BC ．若∠ BCD=70°， OF=6个单位，则圆的直径为 ( 1 个单位 D ． 15 个单位则∠ BAD 的度数为( 2. 如图， AB 、 A ． 40° B ．50° C ． 60° D ． 70° B ．70° C ．120° D ． 140° 5. 如图 , 点 A,B,C 在⊙ O 上, ∠A=36° , ∠ C=28° , 则∠ B=( A.100 B.72 C.64 D.36 OA 、 OB 在 O 点钉在一起，并使它们保持

AD 切⊙ O 于点 A ，点 C 是弧 BE 的中点，则下列结论不成立的是( B ． EC=B C C ．∠ DAE=∠ABE D ．AC ⊥OE 10. 如图 , △ABC 中,AB=5,BC=3,AC=4, 以点 C 为圆心的圆与 AB 相切 ,则⊙ C 半径为( 11. 数学课上，老师让学生尺规作图画 Rt △ABC ，使其斜边 AB=c ，一条直角边 BC=a ，小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ ACB 是直角的依据是( ) A.4 B.3 C.2 D. OB=6cm,高 OC=8cm 则. 这个圆锥的侧面积是 7. 如图，圆锥的底面半径 22 A.30cm 2 B.30 π cm 2 C.60 2 π cm D.120cm 9. 如图,AB 是⊙ O 的直径 ,C 、D 是⊙ O 上两点 , 分别连接 AC 、BC 、CD 、OD ．∠ DOB=140° A.20° B.30 C.40 D.70 ，则∠ ACD (= B.2.5 C.2.4 D.2.3

中考数学精编—初中数学圆专题复习

初中数学圆的专题圆一、知识点梳理知识点1：圆的定义： 1. 圆上各点到圆心的距离都等于 . 2. 圆是对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的；圆又是对称图形，是它的对称中心. 知识点2：弦、弧、半圆、优弧、同心圆、等圆、等弧、圆心角、圆周角等与圆有关的概念 1.在同圆或等圆中，相等的弧叫做 2. 同弧或等弧所对的圆周角，都等于它所对的圆心角的 . 3. 直径所对的圆周角是，90°所对的弦是 . 例1 P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；?最长弦长为_______．例2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90度．点P是半圆弧AC的中点，连接BP交AC于点D，若半圆弧的圆心为O，点D、点E关于圆心O对称．则图中的两个阴影部分的面积S 1，S 2 之间的关系是（） A．S 1＜S 2 B．S 1 ＞S 2 C．S 1 =S 2 D．不确定例3 如图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，所围成的图形（阴影部分）

的面积为（）例4 车轮半径为0.3m的自行车沿着一条直路行驶，车轮绕着轴心转动的转速为100转/分，则自行车的行驶速度（） A．3.6π千米/时 B．1.8π千米/时 C．30千米/时 D．15千米/时例5 如图，⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，图中弦的条数有（） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条知识点3：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两个圆周角中有一组量，那么它们所对应的其余各组量都分别 . 知识点4：垂径定理垂直于弦的直径平分，并且平分；平分弦(不是直径)的垂直于弦，并且平分 . 例1、如图（1）和图（2），MN是⊙O的直径，弦AB、CD?相交于MN?上的一点P，?∠APM=∠CPM．（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．

初中数学圆专题训练(一)

初中数学圆专题训练（一）（一）选择题 1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（）（A ）4个（B ）3个（C ）2个（D ）1个 2．下列判断中正确的是（）（A ）平分弦的直线垂直于弦（B ）平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧（C ）弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧（D ）平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦 3．如图，在两半径不同的同心圆中，∠AOB ＝∠A ′OB ′＝60°，则（）（A ）＝（B ）＞（C ）的度数＝的度数（D ）的长度＝的长度 4．如图，已知⊙O 的弦AB 、CD 相交于点E ，的度数为60°，的度数为100°，则∠AEC 等于（）（A ）60° （B ）100° （C ）80° （D ）130° 5．圆内接四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 的度数比是2︰3︰6，则∠D 的度数是（）（A ）67.5° （B ）135° （C ）112.5° （D ）110° 6．OA 平分∠BOC ，P 是OA 上任一点，C 不与点O 重合，且以P 为圆心的圆与OC 相离，那么圆P 与OB 的位置关系是（）（A ）相离（B ）相切（C ）相交（D ）不确定 7．△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，它的内切圆的半径为r ，则△ABC 的面积为（）（A ） 21（a ＋b ＋c ）r （B ）2（a ＋b ＋c ）（C ）3 1 （a ＋b ＋c ）r （D ）（a ＋b ＋c ）r 8．如图，已知四边形ABCD 为圆内接四边形，AD 为圆的直径，直线MN 切圆于点B ，DC 的延长线交MN 于G ，且cos ∠ ABM ＝ 2 3 ，则tan ∠BCG 的值为……（）（A ） 33 （B ）2 3 （C ）1 （D ）3 9．在⊙O 中，弦AB 和CD 相交于点P ，若P A ＝3，PB ＝4，CD ＝9，则以PC 、PD 的长为根的一元二次方程为（）（A ）x 2＋9 x ＋12＝0 （B ）x 2－9 x ＋12＝0 （C ）x 2＋7 x ＋9＝0 （D ）x 2－7 x ＋9＝0 10．已知半径分别为r 和2 r 的两圆相交，则这两圆的圆心距d 的取值范围是（）（A ）0＜d ＜3 r （B ）r ＜d ＜3 r （C ）r ≤d ＜3 r （D ）r ≤d ≤3 r 11.两圆半径分别为2和3，两圆相切则圆心距一定为（）（A ）1cm （B ）5cm （C ）1cm 或6cm （D ）1cm 或5cm 12.弦切角的度数是30°，则所夹弧所对的圆心角的度数是（）（A ）30° （B ）15° （C ）60° （D ）45° 13.在两圆中，分别各有一弦，若它们的弦心距相等，则这两弦（）（A ）相等（B ）不相等（C ）大小不能确定（D ）由圆的大小确定 ∠PAD= （） 14. A.10° B.15° C.30° D.25°

中考数学培优专题复习圆的综合练习题附详细答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，四边形OABC 是平行四边形，以O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于D ，延长AO 交O 于E ，连接CD ，CE ，若CE 是⊙O 的切线，解答下列问题：（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若BC=4，CD=6，求平行四边形OABC 的面积．【答案】（1）证明见解析（2）24 【解析】试题分析：（1）连接OD ，求出∠EOC=∠DOC ，根据SAS 推出△EOC ≌△DOC ，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可；（2）根据切线长定理求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=OD=4，根据平行四边形的面积公式=2△COD 的面积即可求解．试题解析：（1）证明：连接OD ， ∵OD=OA ， ∴∠ODA=∠A ， ∵四边形OABC 是平行四边形， ∴OC ∥AB ， ∴∠EOC=∠A ，∠COD=∠ODA ， ∴∠EOC=∠DOC ，在△EOC 和△DOC 中， OE OD EOC DOC OC OC =?? ∠=∠??=? ∴△EOC ≌△DOC （SAS ）， ∴∠ODC=∠OEC=90°，即OD ⊥DC ， ∴CD 是⊙O 的切线；（2）由（1）知CD 是圆O 的切线， ∴△CDO 为直角三角形， ∵S △CDO = 1 2 CD?OD ，又∵OA=BC=OD=4，

∴S △CDO = 1 2 ×6×4=12， ∴平行四边形OABC 的面积S=2S △CDO =24． 2．已知 O 的半径为5，弦AB 的长度为m ，点C 是弦AB 所对优弧上的一动点． ()1如图①，若m 5=，则C ∠的度数为______； ()2如图②，若m 6=． ①求C ∠的正切值； ②若ABC 为等腰三角形，求ABC 面积．【答案】()130；()2C ∠①的正切值为3 4 ；ABC S 27=②或 432 25 . 【解析】【分析】 ()1连接OA ，OB ，判断出AOB 是等边三角形，即可得出结论； ()2①先求出10AD =，再用勾股定理求出8BD =，进而求出tan ADB ∠，即可得出结论； ②分三种情况，利用等腰三角形的性质和垂径定理以及勾股定理即可得出结论．【详解】 ()1如图1，连接OB ，OA ，

中考圆专题复习

《圆》复习（2）知识点与典型题型知识点1：圆的定义： 1. 圆上各点到圆心的距离都等于. 2. 圆是对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的；圆又是对称图形，是它的对称中心. 例1、(2009太原市)如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿 ? OA AB BO --的路径运动一周．设OP为s，运动时间为t，则下列图形能大致地刻画s与t之间关系的是( ) 例2、(2009荆门市)如图，在□ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD． (1)求证：A、E、C、F四点共圆； (2)设线段BD与(1)中的圆交于M、N．求证：BM=ND．知识点2：弦、弧、半圆、优弧、同心圆、等圆、等弧、圆心角、圆周角等与圆有关的概念 1.在同圆或等圆中，相等的弧叫做 2. 同弧或等弧所对的圆周角，都等于它所对的圆心角的. 3. 直径所对的圆周角是，90°所对的弦是. 例3、(2008年泰州市)如图，⊿ABC内接于⊙O，AD是⊿ABC的边BC上的高，AE是⊙O 的直径，连接B E，⊿ABE与⊿ADC相似吗？请证明你的结论。

知识点3：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两个圆周角中有一组量，那么它们所对应的其余各组量都分别 . 例4、(2008呼伦贝尔)如图：=，D E ，分别是半径OA 和OB 的中点，CD 与CE 的大小有什么关系？为什么？知识点4：垂径定理垂直于弦的直径平分，并且平分；平分弦(不是直径)的垂直于弦，并且平分 . 例5、(2009南宁)如图，AB O 是⊙的直径，303cm CD AB E CDB O ⊥∠=于点，°，⊙的半径为，则弦CD 的长为( ) A ． 3 cm 2 B ．3cm C ．23cm D ．9cm 例6、(2008南通)已知：如图，M 是⌒ AB 的中点，过点M 的弦MN 交AB 于点C ，设⊙O 的半径为4cm ，MN ＝43cm ． (1)求圆心O 到弦MN 的距离； (2)求∠ACM 的度数．知识点5：确定圆的条件三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的___________、这个圆的圆心叫做三角形的、这个三角形是圆的 . 例7、(2009年新疆)如图，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过小正方形网格的格点 A B C ，，，已知A 点的坐标是(35)-，，则该圆弧所在圆的圆心坐标是___________． A B C M N O ·

中考专题训练阿氏圆

在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．如下图，已知A、B两点，点P满足PA:PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P构成的图形为圆．以下给出两种证明法一：构造角分线先复习两个定理（1）角平分线定理：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，则AB:AC=DB:DC．证明：利用等积法，即AB:AC=DB:DC （2）外角平分线定理：如图，在△ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D，则AB:AC=DB:DC．证明：在BA延长线上取点E使得AE=AC，连接BD，则△ACD△△AED（SAS），CD=ED且AD平分△BDE，则DB:DE=AB:AE，即AB:AC=DB:DC．接下来开始证明：如图，PA：PB=k，作△APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，MA:MB=PA:PB=k，

故M 点为定点，即△APB 的角平分线交AB 于定点；作△APB 外角平分线交直线AB 于N 点，根据外角平分线定理，NA:NB=PA:PB=k ，故N 点为定点，即△APB 外角平分线交直线AB 于定点；又△MPN=90°，定边对定角，故P 点轨迹是以MN 为直径的圆．中考专题训练阿氏圆模型阿氏圆（阿波罗尼斯圆）：已知平面上两定点A 、B ，则所有满足）（1≠=k k PB PA 的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆. 在初中的题目中往往利用逆向思维构造“斜A ”型相似（也叫“母子型相似”）＋两点间线段最短，解决带系数两线段之和．．．．．．．．的最值问题. 观察下面的图形，当P 在⊙O 上运动时，用PA 、PB 的长在不断的发生变化，但PB PA 的比值却始终保持不变. 解决阿氏圆问题，首先要熟练掌握母子型相似三角形的性质和构造方法. 那么如何应用“阿氏圆”的性质解答带系数的两条线段和的最小值呢？我们来看一道基本题目：例.已知∠ACB=90°，CB=4，CA=6，∠C 半径为2，P 为圆上一动点. （1）求BP AP 2 1 +的最小值为 . （2）求 BP AP +3 1 的最小值为 .

(完整版)九年级数学中考圆专题复习

九年级圆专题复习第21题圆这道题对于升学考高中的学生来说是一道必得分题，随着中考复习的逐步深入，学生从知识上对于这道题已经很熟练了，都知道这道题的第（2）问主要考查圆与相似、三角函数、勾股定理等等。如果不进行归类，学生的脑海中还是显得比较杂，比较乱。在复习的过程中，教师如何引导学生进行归类，如何提升学生的转化能力，这些则是教学最需要突破的地方。如果教师能够引导学生对第21题考查的题型结构进行有效的归类，那么学生在面对这道题的时候，首先将这道题归纳为几个重要的熟悉的题型，然后利用自己对这几个题型的熟练理解，则可以大大提高解决问题的速度和准确性。一、历年题型对比分析及2017年中考题型预测 1. （2013?武汉四月调考）在圆O 中，AB 为直径，PC 为弦，且PA=PC. （1）如图1，求证：OP//BC ；（2）如图2，DE 切圆O 于点C ，若DE//AB ，求tan ∠A 的值。 2. （2013?武汉中考）如图，已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是弧AB 的中点，连接PA 、PB 、PC （1）如图①，若∠BPC ＝60°，求证：AP AC 3 ；（2）如图②，若sin ∠BPC= 25 24 ,求tan ∠PAB 的值。 3. （2014?武汉四月调考）已知：P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，点C 为⊙O 上一点．（1）如图1，若AC 为直径，求证：OP ∥BC ；（2）如图2，若sin ∠P=，求tan ∠C 的值．

4.（2014?武汉中考）如图，AB 是⊙O 的直径，C 、P 是弧AB 上两点，AB ＝13，AC ＝5 (1) 如图(1)，若点P 是弧AB 的中点，求PA 的长 (2) 如图(2)，若点P 是弧BC 的中点，求PA 得长 5.（2015?武汉四月调考）已知：⊙O 为Rt △ABC 的外接圆，点D 在边AC 上，AD ＝AO ．（1）如图1，若弦BE ∥OD ，求证：OD=BE ；（2）如图2，点F 在边BC 上，BF ＝BO ，若OD ＝2 2 ，OF ＝3，求⊙O 的直径． 6.（2015?武汉中考）如图，AB 是⊙O 的直径，∠ABT=45°，AT=AB ．（1）求证：AT 是⊙O 的切线；（2）连接OT 交⊙O 于点C ，连接AC ，求tan ∠TAC ． 7.（2016?武汉四月调考）已知⊙O 为△ABC 的外接圆，点E 是△ABC 的内心，AE 的延长线交BC 于点F ，交⊙O 于点D ． (1)如图1，求证：BD= ED ； (2)如图2,AO 为⊙O 的直径，若BC= 6,sin ∠BAC=5 3 ，求OE 的长． E D O A B C F D O A B C

中考专题复习圆

A 2013中考专题复习（2） --------- 圆 1．如图，C 是⊙O 的直径AB 延长线上一点，点D 在⊙O 上，且∠A=30°，∠BDC = 1 2 ABD ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若OF ∥AD 分别交BD 、CD 于E 、F ，BD =2，求OE 及CF 的长． 2. 已知：如图，在△ABC 中，AB=BC ，D 是AC 中点，BE 平分∠ABD 交AC 于点E ，点O 是AB 上一点，⊙O 过B 、E 两点, 交BD 于点G ，交AB 于点F ．（1）求证：AC 与⊙O 相切；（2）当BD=6，sinC=5 3 时，求⊙O 的半径． F E D C O B A

A 3．如图，O ⊙的直径AB 与弦CD （不是直径）相交于点E ，且CE DE =，过点B 作CD 的平行线交AD 延长线于点F ．（1）求证：BF 是O ⊙的切线；（2）连结BC ，若O ⊙的半径为4，3 sin 4 BCD ∠=，求CD 的长． 4．已知：如图，在△ABC 中，∠A ＝∠B ＝30o， D 是AB 边上一点，以AD 为直径作⊙O 恰过点C ．（1）求证：BC 所在直线是⊙O 的切线；（2）若AD ＝，求弦AC 的长． 5．如图，在△ABC 中，AB =BC ，以AB 为直径的⊙O 与AC 交于点D ，过点D 作DF ⊥BC 于点F ，交AB 的延长线于点E ． ⑴求证：直线DE 是⊙O 的切线； ⑵当cos E =5 4 ，BF =6时，求⊙O 的直径． E F D O A B C

6．如图，已知直线P A 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠P AE ，过点C 作CD ⊥P A 于D ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AD ：DC =1：3，AB =8，求⊙O 的半径． 7.如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交BC 、AC 于D 、E 两点，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为F . （1）求证：DF 是⊙O 的切线；（2）若AE = DE ，DF =2，求⊙O 的半径. 8．如图，四边形ABCD 内接于 O ，BD 是O 的直径，AE CD ⊥于点E ，DA 平分 BDE ∠．（1）求证：AE 是圆O 的切线；（2）如果AB =4，AE =2，求O 的半径．

2020中考数学专题练习：圆的综合题(含答案)

2020中考数学专题练习：圆的综合题（含答案）类型一与全等结合 1. 如图，⊙O 的直径AB ＝4，C 为⊙O 上一点，AC ＝ 2.过点C 作⊙O 的切线DC ，P 点为优弧CBA ︵上一动点(不与A 、C 重合)． (1)求∠APC 与∠ACD 的度数； (2)当点P 移动到劣弧CB ︵的中点时，求证：四边形OBPC 是菱形； (3)当PC 为⊙O 的直径时，求证：△APC 与△ABC 全等．第1题图 (1)解：∵AC ＝2，OA ＝OB ＝OC ＝1 2 AB ＝2，

∴AC ＝OA ＝OC ， ∴△ACO 为等边三角形， ∴∠AOC ＝∠ACO ＝∠OAC ＝60°， ∴∠APC ＝1 2∠AOC ＝30°，又∵DC 与⊙O 相切于点C ， ∴OC ⊥DC ， ∴∠DCO ＝90°， ∴∠ACD ＝∠DCO －∠ACO ＝90°－60°＝30°；第1题解图 (2)证明：如解图，连接PB ，OP ， ∵AB 为直径，∠AOC ＝60°， ∴∠COB ＝120°，当点P 移动到CB ︵的中点时，∠COP ＝∠POB ＝60°， ∴△COP 和△BOP 都为等边三角形，

∴OC ＝CP ＝OB ＝PB ， ∴四边形OBPC 为菱形； (3)证明：∵CP 与AB 都为⊙O 的直径， ∴∠CAP ＝∠ACB ＝90°，在Rt △ABC 与Rt △CPA 中， ? ????AB ＝CP AC ＝AC ， ∴Rt △ABC ≌Rt △CPA (HL)． 2. 如图，AB 为⊙O 的直径，CA 、CD 分别切⊙O 于点A 、D ，CO 的延长线交⊙O 于点M ，连接BD 、DM . (1)求证：AC ＝DC ； (2)求证：BD ∥CM ； (3)若sin B ＝4 5 ，求cos ∠BDM 的值．第2题图 (1)证明：如解图，连接OD ，

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