湖北省宜昌市高中数学坐标系与参数方程选讲教材习题本(无答案)新人教A版选修4_4

word坐标系与参数方程注意事项：1．答题前，先将自己的某某、某某号填写在试题卷和答题卡上，并将某某号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在极坐标系中，已知π5,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，下列所给出的不能表示点M 的坐标的是（）A ．π5,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．4π5,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2π5,3⎛⎫- ⎪⎝⎭D 5π5,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭2．经过点()1,5M 且倾斜角为π3的直线，以定点M 到动点P 的位移(t 为参数)的参数方程（）A．1125x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩B．1125x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩C．1125x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩D．1125x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩3．P是椭圆4sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数)上一点，且在第一象限，OP (O 为原点)的倾斜角为π6，则点P 的坐标为（）A ．()2,3B．⎝⎭C．(D ．()4,34．将sin y x =的图像横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，再将纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，所得图象的函数解析式为（） A ．12sin 2y x =B ．1sin 22y x =C ．2sin 2y x =D ．11sin 22y x =5．极坐标方程1ρ=表示（） A ．直线B ．射线C ．圆D ．椭圆6．在极坐标系中，过点π2,3⎛⎫⎪⎝⎭且与极轴垂直的直线方程为（）A ．4cos ρθ=-B ．cos 10ρθ-= C．sin ρθ=．ρθ=7．直线cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩ (t 为参数)与圆42cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ为参数)相切，则直线的倾斜角α为（）A ．π6或5π6B ．π4或3π4C ．π3或2π3D ．π6-或5π6-8．在极坐标系中，已知点π2,2A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，3π4B ⎫⎪⎭，()0,0O ，则ABO △为（）A ．正三角形B ．直角三角形C ．锐角等腰三角形D ．直角等腰三角形9．已知直线:2x l y t⎧=⎪⎨=-⎪⎩(t 为参数)和抛物线2:2C y x =，l 与C 分别交于点1P ，2P ，则点()0,2A 到1P ，2P 两点距离之和是（）wordA．4+B．(22+C．(42D．8+10．过抛物线22x ty ⎧=⎪⎨=⎪⎩ (t 为参数)的焦点的弦长为2，则弦长所在直线的倾斜角为（）A ．π3B ．π3或2π3C ．π6D ．π6或5π611．可以将椭圆221108x y +=变为圆224x y +=的伸缩变换是（）A．52'x x y '=⎧⎪=B．''y =⎪⎩C．'x '=D．'y'=12．圆r ρ=与圆()π2sin 04r r ρθ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭的公共弦所在直线的方程为（）A ．()2sin cos r ρθθ+=B ．()2sin cos r ρθθ+=- C()sin cos r θθ+=D()sin cos r θθ+=-二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为33x t y t =+⎧⎨=-⎩ (参数t ∈R )，圆的参数方程为2cos 2sin 1x y θθ=⎧⎨=+⎩(参数[)0,2πθ∈)，则圆心到直线l 的距离为________．14．已知直线的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则极点到直线的距离是________．15．直线l 过点()01,5M ，倾斜角是π3，且与直线0x y --=交于M ，则0MM 的长为________．16．与曲线cos 10ρθ+=关于π4θ=对称的曲线的极坐标方程是________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（10分）在伸缩变换2x x y y '=⎧⎨'=⎩，与伸缩变换22x xy y'=⎧⎨'=⎩的作用下，221x y +=分别变成什么图形？18．（12分）把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线： （1）5cos 4sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩ (ϕ为参数)；（2）134x ty t =-⎧⎨=⎩(t 为参数)．word19．（12分）求直线2x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩ (t 为参数)被双曲线221x y -=上截得的弦长．20．（12分）已知定点(),0A a ，动点P 对极点O 和点A 的X 角π3OPA ∠=．在OP 的延长线上取点Q ，使PQ PA =．当P 在极轴上方运动时，求点Q 的轨迹的极坐标方程．word21．（12分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)．M 是1C 上的动点，点P 满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线2C ． （1）求2C 的方程；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线π3θ=与1C 和异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求AB ．22．（12分）已知半圆直径()20AB r r =>，半圆外一条直线l 与AB 所在直线垂直相交与点T ，并且222r AT a a ⎛⎫=<⎪⎝⎭．若半圆上相异两点M 、N 到l 的距离MP ，NQ 满足:1:MP MA NQ NA ==，通过建立极坐标系，求证：MA NA AB +=．word2018-2019学年选修4-4训练卷 坐标系与参数方程（一）答案一、选择题． 1．【答案】A 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】D 【解析】5．【答案】C 6．【答案】B【解析】设(),M ρθ为直线上除π2,3⎛⎫⎪⎝⎭以外的任意一点，则有πcos 2cos 3ρθ=⋅，则cos 1ρθ=，经检验π2,3⎛⎫⎪⎝⎭符合方程．故选B ．7．【答案】A 8．【答案】D 9．【答案】C【解析】把直线参数方程化为3'12'2x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t '为参数)，代入22y x =求得(12423t t ''+=-，12160t t ''>=，知1t ，2t 均小于零， 则(111222423AP AP t t t t ''''+=+=+=．故选C ．10．【答案】B【解析】将抛物线的参数方程化成普通方程为232y x =，它的焦点为3,08⎛⎫⎪⎝⎭． 设弦所在直线的方程为38y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由23238y x y k x ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，消去y 得()22226448290k x k x k -+=+，设弦的两个端点的坐标为()11,x y ，()22,x y ， 则()222212121222329144161k x x k x x x x k k ⎛⎫+-=++-⋅- ⎪+⎝⎭， 解得3k =．故选B ． 11．【答案】D【解析】方法1：将椭圆方程221108x y +=化为222452x y +=，∴222452x +=， 令252x y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩，得224x y '+='，即224x y +=，∴伸缩变换为5'22x x y y '=． 方法2：将224x y +=改写为224x y '+='，设伸缩变换为()()00x x y y λλμμ'=>⎧⎪⎨'=>⎪⎩，代入224x y '+='，得22224x y λμ+=，即2222144x y λμ+=，与椭圆221108x y +=，比较系数得221410148λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得252λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，word∴伸缩变换为x xy y⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩，即'y ='=．故选D ．12．【答案】D【解析】圆r ρ=的直角坐标方程为222x y r +=，①圆()πππ2sin 2sin cos cos sin sin cos 444r r ρθθθθθ⎛⎫⎛⎫=-+=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，两边同乘以ρ得()2sin cos ρρθρθ=+，∴220x y ++=，② 由①-②)x y r +=-，即为两圆公共弦所在直线的直角坐标方程．)x y r +=-()cos sin r θθ+=-．二、填空题． 13．14．15．【答案】16．【答案】sin 10ρθ+=三、解答题． 17．【答案】见解析．【解析】由2x x y y '=⎧⎨'=⎩得2x x y y '⎧=⎪⎨⎪'=⎩，代入221x y +=得2212x y '⎛⎫'+= ⎪⎝⎭，即2214x y ''+=． 所以在伸缩变换2x x y y'=⎧⎨'=⎩的作用下，单位圆221x y +=变成椭圆2214x y +=．由22x x y y '=⎧⎨'=⎩，得22x x y y '⎧=⎪⎪⎨'⎪=⎪⎩，代入221x y +=得22122x y ''⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即224x y ''+=， 所以在伸缩变换22x xy y'=⎧⎨'=⎩的作用下，单位圆221x y +=变成圆224x y +=．18．【答案】（1）长轴在x 轴上且为10，短轴为8，中心在原点的椭圆；（2）过40,3⎛⎫⎪⎝⎭和()1,0的一条直线．【解析】（1）∵5cos 4sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩，∴cos 5sin 4xy ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，两边平方相加，得2222cos sin 2516x y ϕϕ+=+，即2212516x y +=．∴曲线是长轴在x 轴上且为10，短轴为8，中心在原点的椭圆． （2）∵134x t y t=-⎧⎨=⎩，∴由4y t =代入13x t =-，得134yx =-⋅，∴4340x y +-=，∴它表示过40,3⎛⎫⎪⎝⎭和()1,0的一条直线．19．【答案】【解析】把直线参数方程化为标准参数方程122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (t 为参数)，带入221x y -=，得：221212t ⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 整理，得2460t t -=-．设其两根为1t 、2t ，则124t t +=，126t t =-． 从而弦长为12AB t t =-===word20．【答案】π2sin 6a ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．【解析】设Q 、P 的坐标分别是(),ρθ、()11,ρθ，则1θθ=． 在POA △中，由正弦定理得，12πsin π3sin 3aρθ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，sin πsin 3a PA θ=． 又OQ OP PA =+，∴π2sin 6a ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．21．【答案】（1）2C 的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)；（2）．【解析】（1）设(),P x y ，则由条件知,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭．由于点M 在1C 上，所以2cos 222sin 2xy αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩，从而2C 的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)．（2）曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=． 射线π3θ=与1C 交点A 的极径为1π4sin 3ρ=， 射线π3θ=与2C 的交点B 的极径为2π8sin 3ρ=．所以12AB ρρ=-= 22．【答案】见解析．【解析】证明：证法一 以A 为极点，射线AB 为极轴建立极坐标系， 则半圆的极坐标方程为2cos r ρθ=，设()11,M ρθ，()22,N ρθ，则112cos r ρθ=，222cos r ρθ=，又21112cos 22cos MP a a r ρθθ=++=，22222cos 22cos NQ a a r ρθθ=++=， ∴21122cos 2cos MP a r r θθ+==，∴22222cos 2cos NQ a r r θθ+==， ∴1cos θ，2cos θ是关于cos θ的方程2cos cos 0r r a θθ-+=的两个根，由韦达定理知：12cos cos 1θθ+=，∴122cos 2cos 2MA NA r r r AB θθ+=+==． 证法二 以A 为极点，射线AB 为极轴建立直角坐标系， 则半圆的极坐标方程为2cos r ρθ=， 设()11,M ρθ，()22,N ρθ，又由题意知，()11,M ρθ，()22,N ρθ在抛物线21cos aρθ=-上，∴22cos 1cos ar θθ=-，2cos cos 0r r a θθ-+=，∴1cos θ，2cos θ是方程2cos cos 0r r a θθ-+=的两个根， 由韦达定理知：12cos cos 1θθ+=，∴122cos 2cos 2MA NA r r r AB θθ+=+==．。

曲线的参数方程教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。

2．分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。

3．会进行参数方程和普通方程的互化。

教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。

参数方程和普通方程的互化。

教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。

参数方程和普通方程的等价互化。

教学过程一．参数方程的概念1．探究：（1）平抛运动： 为参数）t gt y tx (215001002⎪⎩⎪⎨⎧-== 练习：斜抛运动：为参数）t gt t v y t v x (21sin cos 200⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=αα2．参数方程的概念 （见教科书第22页） 说明：（1）一般来说，参数的变化X 围是有限制的。

（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。

例1．（教科书第22页例1）已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y tx (t 为参数) （1）判断点M 1(0,1),M 2(5,4)与曲线C 的位置关系； （2）已知点M 3(6,a )在曲线C 上，求a 的值。

)0,1()21,21()21,31()7,2()(2cos sin 2D C B A y x ，、，、，、的坐标是表示的曲线上的一个点为参数、方程θθθ⎩⎨⎧==A 、一个定点B 、一个椭圆C 、一条抛物线D 、一条直线二．圆的参数方程)(sin cos 为参数t t r y t r x ⎩⎨⎧==ωω)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==r y r x说明：（1）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。

（2）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值X 围。

例2．（教科书第24页例2）思考：你能回答教科书第25页的思考吗？三．参数方程和普通方程的互化1．阅读教科书第25页，明确参数方程和普通方程的互化的方法。

[思路点拨] 此类问题关键是参数的选取．本例中由于 A、 B 的滑动而引起点 P 的运动，故可以 OB 的长为参数，或以角 为参数，不妨取 BP 与 x 轴正向夹角为参数来求解．
[解] 法一：设 P 点的坐标为(x，y)，过
P 点作 x 轴的垂线交 x 轴于 Q.如图所示，则 Rt△OAB≌Rt△QBP.
∴xy＝＝bascions
θ， θ.
这就是所求的轨迹方程．
9．如图所示，OA是圆C的直径，且OA＝2a， 射线OB与圆交于Q点，和经过A点的切线 交于B点，作PQ⊥OA，PB∥OA，试求点P 的轨迹方程．
解：设 P(x，y)是轨迹上任意一点，取∠DOQ＝θ， 由 PQ⊥OA，PB∥OA，得 x＝OD＝OQcosθ＝OAcos2θ＝ 2acos2θ，y＝AB＝OAtan θ＝2atan θ. 所以 P 点轨迹的参数方程为xy＝＝22aatcaons2θθ，， θ∈－π2，π2.
解析：x轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为0.
答案：D
2．若点P(4，a)在曲线x＝2t ， (t为参数)上，则a等于(
)
y＝2 t
A．4
B．4 2
C．8
D．1
解析：根据题意，将点P坐标代入曲线方程中得
4＝2t ， a＝2 t
⇒ta＝＝84，2.
答案：B
3．在方程
参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线 位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方法是 一致的．
1．已知点 M(2，－2)在曲线 C：x＝t＋1t ， (t 为参数)上， y＝－2
则其对应的参数 t 的值为________． 解：由 t＋1t ＝2 知 t＝1. 答案：1
2．已知某条曲线 C 的参数方程为xy＝＝a1t＋2 2t， (其中 t 为参数， a∈R)．点 M(5,4)在该曲线上，求常数 a.

坐标系与参数方程 知识点1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数.特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标(,)x y极坐标(,)ρθ互化公式cossinxyρθρθ=⎧⎨=⎩222tan(0)x yyxxρθ=+=≠在一般情况下,由tanθ确定角时,可根据点M所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r的圆(02)rρθπ=≤<圆心为(,0)r,半径为r的圆2cos()22rππρθθ=-≤<圆心为(,)2rπ,半径为r的圆2sin(0)rρθθπ≤<过极点,倾斜角为α的直线(1)()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或(2)(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和过点(,0)a ,与极轴垂直的直线cos ()22a ππρθθ=-<<过点(,)2a π,与极轴平行的直线sin (0)a ρθθπ=<<注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=.二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。