直线与双曲线位置关系

直线与双曲线的位置关系和抛物线及其标准方程知识点1：直线与双曲线的位置关系 1.直线与双曲线的位置关系的判断 设直线y=kx+b ，双曲线x 2a2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)联立消去y 得Ax 2+Bx+C=0（a ≠0），Δ=B 2 －4AC 。

若A=0即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若Δ>0,直线与双曲线相交，有两个交点； 若Δ=0，直线与双曲线相切，有一个交点； 若Δ<0，直线与双曲线相离，无交点；直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。

2.弦长问题设直线l:y=kx+n ，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P1 (x 1,y 1)，P2 (x 2,y 2)， 且由，消去y →ax 2+bx+c=0（a ≠0），Δ=b 2 －4ac 。

弦长公式：12||PP =1212x y y -=-（k 为直线斜率） 例题选讲：例1：直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B ．数k 的取值围；解 (1)将直线l 的方程y=kx+1代入双曲线C 的方程2x 2-y 2=1后，整理得(k 2-2)x 2+2kx+2=0.①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故⎩⎪⎨⎪⎧k 2－2≠0，Δ＝(2k )2－8(k 2－2)>0，－2k k 2－2>0，2k 2－2>0.解得k 的取值围是－2<k <－ 2.例2：已知中心在原点，顶点12,A A 在x 轴上，离心率为213的双曲线经过点(6,6)P （Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）动直线l 经过12A PA ∆的重心G ，与双曲线交于不同的两点,M N ，问是否存在直线l 使G 平分线段MN 。

试证明你的结论。

例3：已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点． (1)求双曲线C 2的方程； (2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2 (其中O 为原点)，求k 的取值围．解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a2－y 2b 2＝1，则a 2＝4－1＝3，c 2＝4，由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， 故C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得 ⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0.Δ＝(－62k )2＋36(1－3k 2) ＝36(1－k 2)>0.∴k 2≠13且k 2<1. ①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1.又∵OA →·OB →>2，得x 1x 2＋y 1y 2>2，∴3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解得13<k 2<3，②由①②得13<k 2<1. 故k 的取值围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫33，1. 例4：已知双曲线的中心在原点，焦点12,F F 在坐标轴上，，且过点(4,． （1）求双曲线方程；（2）若点()3,M m 在双曲线上，求证：120MF MF ⋅=； （3）对于（2）中的点M ，求21MF F ∆的面积．解：（1）由题意，可设双曲线方程为22x y λ-=，又双曲线过点()4,10-，解得6λ=∴ 双曲线方程为226x y -=； （2）由（1）可知，6a b ==，23c =， ∴ ()123,0F -，()223,0F∴ ()1233,MF m =---，()2233,MF m =--， ∴ 2123MF MF m ⋅=-，又点()3,M m 在双曲线上， ∴ 296m -=， ∴ 23m =， 即120MF MF ⋅=； （3）121211433622S F MF F F m ==⋅⋅= ∴21MF F ∆的面积为6．知识点2：抛物线及其标准方程1．抛物线定义平面与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y 2＝2px (p ＞0) y 2＝－2px (p ＞0)图形围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈R对称轴 x 轴顶点坐标 原点O (0,0)焦点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0准线方程 x ＝－p 2x ＝p2离心率e ＝1例1：(1)(2011·高考)已知F 是拋物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该拋物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54D.74(2)(2012·曲阜师大附中质检)在抛物线C ：y ＝2x 2上有一点P ，若它到点A (1,3)的距离与它到抛物线C 的焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( )A ．(－2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(－1,2)[自主解答] (1)如图，由抛物线的定义知，|AM |＋|BN |＝|AF |＋|BF |＝3，|CD |＝32，所以中点C 的横坐标为32－14＝54.(2)由题知点A 在抛物线部，根据抛物线定义，问题等价于求抛物线上一点P ，使得该点到点A 与到抛物线的准线的距离之和最小，显然点P 是直线x ＝1与抛物线的交点，故所求P 点的坐标是(1,2)．[答案] (1)C (2)B练习1：(2012·高考)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．若|AF |＝3，则|BF |＝________.解析：由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)，又∵|AF |＝3，由抛物线定义知，点A 到准线x ＝－1的距离为3，∴点A 的横坐标为2.将x ＝2代入y 2＝4x 得y 2＝8，由图知，y ＝22，∴A (2,22)，∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22x －1，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2 2.由图知，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2，∴|BF |＝12－(－1)＝32.答案：32题型2：抛物线的标准方程及几何性质 例2：(1)(2012·高考)已知双曲线C 1：x 2a2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y(2)(2012·高考)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )A ．22B ．2 3C ．4D ．25[自主解答] (1)∵双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，∴c a＝a 2＋b 2a＝2，∴b ＝3a ，∴双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0，∴抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2到双曲线的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪3×0±p 22＝2，∴p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝16y .(2)依题意，设抛物线方程是y 2＝2px (p >0)，则有2＋p2＝3，得p ＝2，故抛物线方程是y 2＝4x ，点M 的坐标是(2，±22)，|OM |＝22＋8＝23.[答案] (1)D (2)B练习2：若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点,且3||,17||==AF AM ，求此抛物线的方程[解析] 设点'A 是点A 在准线上的射影，则3|'|=AA ，由勾股定理知22|'|=MA ，点A 的横坐标为)23,22(p-，代入方程py x 22=得2=p 或4，抛物线的方程y x 42=或y x 82= 题型3：直线与抛物线的位置关系1．设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，直线Ax ＋By ＋C ＝0，将直线方程与抛物线方程联立，消去x 得到关于y 的方程my 2＋ny ＋q ＝0.(1)若m ≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线有两个公共点； 当Δ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点； 当Δ＜0时，直线与抛物线没有公共点．(2)若m ＝0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线的对称轴平行． 2．与焦点弦有关的常用结论．(以右图为依据) (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)S △AOB ＝p 22sin θ(θ为AB 的倾斜角)．(4)1|AF |＋1|BF |为定值2p. (5)以AB 为直径的圆与准线相切． (6)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切． (7)∠CFD ＝90°.例3： (2012·高考)如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上．(1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q .证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．[自主解答] (1)依题意，|OB |＝83，∠BOy ＝30°.设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin 30°＝43，y ＝|OB |cos 30°＝12.因为点B (43，12)在x 2＝2py 上，所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2.故抛物线E 的方程为x 2＝4y . (2)证明：由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x . 设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝14x 20，且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 2，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2－42x 0，y ＝－1.所以Q 为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1. 设M (0，y 1)，令MP ·MQ ＝0对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立．由于MP ＝(x 0，y 0－y 1)，MQ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1－y 1， 由MP ·MQ ＝0，得x 20－42－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0，即(y 21＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0.(*)由于(*)式对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的y 0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－y 1＝0，y 21＋y 1－2＝0，解得y 1＝1.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1)．练习3：(2012·模拟)如图，点O 为坐标原点，直线l 经过抛物线C ：y 2＝4x的焦点F .(1)若点O 到直线l 的距离为12，求直线l 的方程；(2)设点A 是直线l 与抛物线C 在第一象限的交点．点B 是以点F 为圆心，|FA |为半径的圆与x 轴的交点，试判断AB 与抛物线C 的位置关系，并给出证明．解：(1)抛物线的焦点F (1,0)，当直线l 的斜率不存在时，即x ＝1不符合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0. 所以，|－k |1＋k2＝12，解得k ＝±33. 故直线l 的方程为：y ＝±33(x －1)，即x ±3y －1＝0.(2)直线AB 与抛物线相切，证明如下： 设A (x 0，y 0)，则y 20＝4x 0.因为|BF |＝|AF |＝x 0＋1，所以B (－x 0,0)． 所以直线AB 的方程为：y ＝y 02x 0(x ＋x 0)，整理得：x ＝2x 0yy 0－x 0①把方程①代入y 2＝4x 得：y 0y 2－8x 0y ＋4x 0y 0＝0，Δ＝64x 20－16x 0y 20＝64x 20－64x 20＝0，所以直线AB 与抛物线相切．基础练习：1．(2012·模拟)抛物线的焦点为椭圆x 24＋y 29＝1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为( )A ．x 2＝－45yB ．y 2＝－45xC ．x 2＝－413yD ．y 2＝－413x解析：选A 由椭圆方程知，a 2＝9，b 2＝4，焦点在y 轴上，下焦点坐标为(0，－c )，其中c ＝a 2－b 2＝ 5.∴抛物线焦点坐标为(0，－5)，∴抛物线方程为x 2＝－45y .2．(2012·东北三校联考)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点P 到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p 的值为( )A ．2B ．18C ．2或18D ．4或16解析：选C设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋p2＝10，|y 0|＝6，y 2＝2px 0，∴36＝2p ⎝⎛⎭⎪⎫10－p 2，即p 2－20p ＋36＝0，解得p ＝2或18.3．(2013·模拟)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与曲线x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( )A ．2B ．1 C.12 D.14解析：选A 注意到抛物线y 2＝2px 的准线方程是x ＝－p 2，曲线x 2＋y 2－6x －7＝0，即(x －3)2＋y 2＝16是圆心为(3,0)，半径为4的圆．于是依题意有⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 2＋3＝4.又p ＞0，因此有p 2＋3＝4，解得p ＝2. 4．(2012·模拟)已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是( )A.π6或5π6B.π4或3π4C.π3或2π3D.π2 解析：选B 由焦点弦长公式|AB |＝2p sin 2θ得6sin 2θ＝12， 所以sin θ＝22，所以θ＝π4或3π4. 5．(2012·模拟)抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，点A 、B 、C 在此抛物线上，点A 坐标为(1,2)．若点F 恰为△ABC 的重心，则直线BC 的方程为( )A ．x ＋y ＝0B ．x －y ＝0C ．2x ＋y －1＝0D ．2x －y －1＝0 解析：选C ∵点A 在抛物线上，∴4＝2p ，p ＝2，抛物线方程为y 2＝4x ，焦点F (1,0) 设点B (x 1，y 1)，点C (x 2，y 2)，则有y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，② 由①－②得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝4(x 1－x 2)得k BC ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2.又∵y 1＋y 2＋23＝0，∴y 1＋y 2＝－2，∴k BC ＝－2.又∵x 1＋x 2＋13＝1，∴x 1＋x 2＝2，∴BC 中点为(1，－1)，则BC 所在直线方程为y ＋1＝－2(x －1)，即2x ＋y －1＝0.6．(2013·模拟)已知直线y ＝k (x －m )与抛物线y 2＝2px (p ＞0)交于A 、B 两点，且OA ⊥OB ，OD ⊥AB 于D .若动点D 的坐标满足方程x 2＋y 2－4x ＝0，则m ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 设点D (a ，b )，则由OD ⊥AB 于D ，得⎩⎪⎨⎪⎧ b a ＝－1k ，b ＝k a －m ，则b ＝－km1＋k 2，a ＝－bk ；又动点D 的坐标满足方程x 2＋y 2－4x ＝0，即a 2＋b 2－4a ＝0，将a ＝－bk 代入上式，得b 2k 2＋b 2＋4bk ＝0，即bk 2＋b ＋4k ＝0，－k 3m 1＋k 2－km 1＋k 2＋4k ＝0，又k ≠0，则(1＋k 2)(4－m )＝0，因此m ＝4.7．(2012·模拟)已知椭圆C 1：x 24＋y 2b 2＝1(0＜b ＜2)的离心率为32，抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点是椭圆的顶点．(1)求抛物线C 2的方程；(2)过点M (－1,0)的直线l 与抛物线C 2交于E ，F 两点，过E ，F 作抛物线C 2的切线l 1，l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．解：(1)∵椭圆C 1的长半轴长a ＝2，半焦距c ＝4－b 2.由e ＝c a ＝4－b 22＝32得b 2＝1， ∴椭圆C 1的上顶点为(0,1)，即抛物线C 2的焦点为(0,1)，故抛物线C 2的方程为x 2＝4y .(2)由已知可得直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．由x 2＝4y 得y ＝14x 2， ∴y ′＝12x . ∴切线l 1，l 2的斜率分别为12x 1，12x 2. 当l 1⊥l 2时，12x 1·12x 2＝－1，即x 1x 2＝－4. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x ＋1x 2＝4y 得x 2－4kx －4k ＝0，∴Δ＝(4k )2－4×(－4k )＞0，解得k ＜－1或k＞0.① 且x 1x 2＝－4k ＝－4，即k ＝1，满足①式，∴直线l 的方程为x －y ＋1＝0.。