山东省济南市商河县第一中学2021届高三阶段性考试数学试卷

山东名校考试联盟2024年10月高三年级阶段性检测数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考生号､姓名､考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3全卷满分150分．考试用时120分钟．．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知()(){}23230,02x A x x x B x x +=∈−−==∈≤ − Q R∣，则A B = （ ）A. {}2B. {C. {}2D. ∅【答案】D 【解析】【分析】解方程与不等式求得集合,A B ，进而可求A B ∩.【详解】由2(2)(3)0x x −−=，可得2x =或x =，又Q x ∈，所以2x =，所以{2}A =；由302x x +≤−，可得(3)(2)020x x x +−≤ −≠，解得32x −≤<，所以{|32}Bx x =−≤<， 所以{2}{|32}A B x x =−≤<=∅ . 故选：D.2. 幂函数()23f x x =的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据题意，利用函数奇偶性的判定方法，得到函数()f x 为偶函数，再由幂函数的性质，结合选项，即可求解.【详解】由函数()23f x x ==，可得函数的定义域为R ，关于原点对称，且()()f x f x −===，所以函数()f x 为偶函数，所以函数()f x 的图象关于y 轴对称，又由幂函数的性质得，当0x ≥时，函数()f x 单调递增， 结合选项，选项B 符合题意. 故选：B.3. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ ，空气的温度是0C θ，那么min t 后物体的温度θ（单位：C ）可由公式)01010ktθθθθ−=+−⋅求得，其中k 是一个随物体与空气的接触情况而定的正常数．现有65C 的物体，放到15C 的空气中冷却，1min 后物体的温度是35C ，已知lg20.3≈，则k 的值大约为（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5【答案】C 【解析】【分析】根据题意列出等式()3515651510k−=+−⋅，化简后即可求解.【详解】由题意知015C θ= ，165C θ=， 代入公式()01010ktθθθθ−=+−⋅，可得()3515651510k−=+−⋅，则2105k−=，两边同时取对数得2lg10lg 5k−=， 即lg2lg 50.30.70.4k −=−≈−=−，则0.4k =，故C 正确. 是故选：C.4. 如图所示，一个组合体的上面部分是一个高为0.5m 长方体，下面部分是一个正四棱锥，公共面是边长为1m 的正方形，已知该组合体的体积为32m 3，则其表面积为（ ）A. (22m +B. (23m +C. (22m +D. (23m +【答案】B 【解析】【分析】由题意先利用棱锥体积公式求出正四棱锥的高，然后再求出其斜面上的高，即可求解. 【详解】由题意知该组合体由长方体和正四棱锥组成，且该组合体的体积为32m 3， 长方体的体积为31110.5m 2××=，则正四棱锥体积为3211m 326−=， 所以正四棱锥的高为1316m 112×=×，2112×， 所以组合体的表面积为()(210.541143m ××+×=+，故B 正确.故选：B.5. 若12,x x 是一元二次方程()()220x m x m m −++=∈R 的两个正实数根，则1221x x x x +的最小值为（ ） A. 2 B. 4C. 6D. 8【答案】C 【解析】【分析】由题意及韦达定理可得122x x m +=+，12x x m =，从而得()2221212211222m mx x x x x x x x m+−++==，再结合基本不等式即可求解.【详解】由若12,x x 是一元二次方程()()220x m x m m −++=∈R 的两个正实数根， 所以122x x m +=+，12x x m =，则mm >0所以()()222212121212211212222x x x x m mx x x x x x x x x x m+−+−++===2244226m m m m m ++==++≥+=，当且仅当2m =时取等号，故C 正确. 故选：C.6. 已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且21nn S n T =+，则35=a b （ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12【答案】C 【解析】【分析】分别设出为n S 和n T 的二次形式，由此求得35,a b ，即可化简后得到结果. 【详解】由等差数列{aa nn }和等比数列{bb nn }的前n 项和分别为n S 和n T ，所以可设()21n S kn n =+，n T kn =，0k ≠， 所以可得33255421101154a S S k k b T T k k−−===−−，故C 正确. 故选：C.7. 若2x =是函数()222exax x f x +−=的极小值点，则实数a 的取值范围是（ ） A. (),1∞−− B. (),1−∞C. ()1,−+∞D. ()1,+∞【答案】A 【解析】【分析】求导，利用导数，分0a =，0a >，0a <三种情况讨论可求实数a 的取值范围.【详解】由()222exax x f x +−=，可得()222(22)e (22)e (22)4(2)(2)(e e e)x x x x xax ax x ax a x ax x f x +−+−−+−+−−−′===， 若0a =，当2x <时，()0f x ′>，当2x >时，()0f x ′<，故2x =是()222exax x f x +−=的极大值点，不符合题意，若0a ≠时，令()0f x ′=，可得(2)(2)0ax x −−−=，可得2x =或2x a=−， 若0a >时，则20a−<，当22x a −<<时，()0f x ′>，当2x >时，()0f x ′<，故2x =是()222exax x f x +−=的极大值点，不符合题意， 若0a <时，则20a−>，由二次函数的(2)(2)y ax x =−−−图象可知， 要使2x =是函数()222exax x f x +−=的极小值点， 需22a−<，解得1a <−， 所以实数a 的取值范围是(,1)∞−−. 故选：A.8. 已知函数()()6sin cos 10f x x x ωωω=+−>在π0,3上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是（ ） A. 3,32B. 3,32C. 93,2D. 93,2【答案】D 【解析】【分析】化简得23()sin 24f x x ω=−，由题意可得2π2π3π3ω<≤，求解即可. 详解】()()()66224224sin cos 1sin cos sin sin ?cos cos 1f x x x x x x x x x ωωωωωωωω=+−=+−+−()242242222sin sin ?cos cos 1sin cos 3sin ?cos 1x x x x x x x x ωωωωωωωω−+−=+−−22222313sin cos 13sin cos sin 24x x x x x ωωωωω=−−=−=− ，因为π0,3x ∈，2π20,3x ωω ∈ ， 【由函数()()66sin cos 10f x x x ωωω=+−>在π0,3上有且仅有3个零点，可得2π2π3π3ω<≤，解得932ω<≤，所以ω的取值范围是9(3,]2.故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若3n n S a n =+，则（ ） A. 112a =B. 数列{}1n a −为等比数列C. 312nn a =−D. 3332nn S n =−⋅+【答案】BCD 【解析】【分析】当1n =时，1131S a =+，解得112a =−；根据3n n S a n =+，可得当2n ≥时，1131n n S a n −−=+−，从而得13122n n a a −=−，即()13112n n a a −−=−；根据B 可求得312nn a−=−；从而可求出333?2nn S n =−+.【详解】A ：当1n =时，1131S a =+，解得112a =−，故A 错误； B ：因为3n n S a n =+，当2n ≥时，1131n n S a n −−=+−， 将两式相减可得1331n n n a a a −=−+，即13122n n a a −=−， 则()13112n n a a −−=−，因112a =−，则1312a −=−，数列{}1n a −为首项为32−，公比为32的等比数列，故B 正确；C ：由B 可得13331?222n n n a −−=−=−，所以312nn a =− ，故C 正确；D ：3333?2nn n S a n n =+=−+，故D 正确.故选：BCD.10. 已知幂函数()()293m f x m x =−的图象过点1,n m−，则（ ）A. 23m =−B. ()f x 为偶函数C. n =D. 不等式()()13f a f a +>−的解集为(),1−∞ 【答案】ABC 【解析】【分析】利用幂函数的定义结合过点1,n m−，可求,m n 判断AC ；进而可得函数的奇偶性判断B ；解不等式可求解集判断D.【详解】因为函数()()293m f x mx =−为幂函数，所以2931m −=，解得23m =±，当23m =时，幂函数()23f x x =的图象不可能过点3,2n − ，故23m ≠，当23m =−，幂函数()23f x x −=的图象过点2,3n，则2332n =，解得32()32n ==，故AC 正确； ()23f x x −=的定义域为{|0}x x ≠，且()2233()()f x x xf x −−−=−==，故()f x 为偶函数，故B 正确；函数()23f x x−=在(0,)+∞上单调递减，由()()13f a f a +>−，可得()()|1||3|f a f a +>−，所以1310a a a +<− +≠，解得1a <且1a ≠−，故D 错误.故选：ABC.11. 已知函数()f x 及其导函数()f x ′的定义域均为R ，记()()g x f x ′=，若()2g x +的图象关于直线2x =−对称，且()()()111f x f x f x −++=+−，则（ ）A. ()g x 是偶函数B. ()f x 是奇函数C. 3为()y f x =的一个周期D.20251()0i g i ==∑【答案】ACD 【解析】【分析】由()2g x +的图象关于直线2x =−对称，则可得()g x 关于xx =0对称，可对A 判断；由gg (xx )=ff ′(xx )，从而可得ff (xx )关于()0,1对称，可对B 判断；由ff (xx )关于()0,1对称，可得()()()113f x f x f x −+++=，故()()()213f x f x f x −+−+=，从而得()()12f x f x +=−，即()()3f x f x +=，可对C 判断；由()()()113f x f x f x −+++=，两边求导得()()()110g x g x g x −+++=，可对D 判断.【详解】A ：因为()2g x +的图象关于直线2x =−对称，故将()2g x +的图象向右平移2个单位后变为()g x 的图象，此时()g x 关于xx =0对称，所以()g x 是偶函数，故A 正确；B ：因为()g x 是偶函数，所以ff (xx )关于()0,c 对称且c 为常数，当xx =0时，()()()1110f f f −+=+，又因为()()112f f c −+=，()0f c =，所以1c =，所以ff (xx )关于()0,1对称，故B 错误； C ：因为ff (xx )关于()0,1对称，所以()()2f x f x −=−+，所以()()()()1113f x f x f x f x −++=+−=−，所以()()()113f x f x f x −+++=①，故()()()213f x f x f x −+−+=②，则①②两式相减得()()12f x f x +=−，即()()3f x f x +=，所以3是()y f x =的一个周期，故C 正确； D ：因为()()()113f x f x f x −+++=，两边求导得()()()110g x g x g x −+++=，且()g x 的周期为3，又因为20256753=×，所以()202510i g i ==∑，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：B 中因为()g x 是偶函数，所以可得ff (xx )关于()0,c 对称，从而可求出1c =；D 中可有()()()113f x f x f x −+++=，两边求导得()()()110g x g x g x −+++=，从而可知()g x 中连续3项之和为零.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知函数()ln f x x x =，则曲线()y f x =在1x =处的切线方程是 _____.【答案】10x y −−=【解析】【分析】求出导函数，根据导数的几何意义得出斜率，求出切点坐标，代入点斜式方程，即可得出答案.【详解】因为()ln 1f x x ′=+，所以()11f ′=. 根据导数的几何意义可知，曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率()11k f ′==. 又()10f =，所以，切线方程为1y x =−，即10x y −−=. 故答案为：10x y −−=. 13. 已知0a >且1a ≠，函数()2,1,1x x x f x a x ≥= <，若关于x 的方程()()2560f x f x −+=恰有3个不相等的实数解，则实数a 的取值范围是______． 【答案】(]2,3 【解析】【分析】当1x ≥时，()2xf x =，方程()()2560fx f x −+=有2个不相等实数解，则当1x <时，()x f x a =，此时方程()()2560f x f x −+=只有1个实数解，对a 分类讨论，由()x f x a =的值域求实数a 的取值范围. 【详解】方程()()2560fx f x −+=，即()2f x =或()3f x =， 当1x ≥时，()2xf x =，由()2f x =解得1x =，由()3f x =解得2log 3x =； 当1x <时，()xf x a =，此时方程()()2560fx f x −+=只有1个实数解， 若01a <<，则()xf x a =在(),1∞−上单调递减，()(),f x a ∞∈+，的此时()2f x =和()3f x =都有解，不合题意，若1a >，则()xf x a =在(),1∞−上单调递增，()()0,f x a ∈，则23a <≤.所以实数a 的取值范围是(]2,3. 故答案为：(]2,314. 已知三棱锥A BCD −的四个顶点都在球O 的球面上，若AB CD =O 的半径为，则三棱锥A BCD −体积的最大值为__________．【答案】 【解析】【分析】设,AB CD 的中点为,M N ，球心为O ，由题意可得,,O M N 在同一直线上时，ABN 的面积最大，CD ⊥平面ABN ，三棱锥A BCD −体积的最大值，求解即可. 【详解】设,AB CD 的中点为,M N ，球心为O ，由题意可得,OM AB ON CD ⊥⊥，由题意可得1,2OM ON ==，当,,O M N 在同一直线上时，ABN 的面积最大，最大面积为1(12)2×+， 设C 到平面ABN 的距离为d ，由题意可得D 到平面ABN 的距离也为d ，当CD ⊥平面ABN 时，d 取最大值12CD =所以三棱锥A BCD −体积的最大值为112233ABN S d ××=×=故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15. 已知函数()2π2sin 4f x x x=+．（1）求()f x 在π0,2上的单调递增区间；（2）已知ABC 的内角,,A B C 的对边长分别是,,a b c，若π1212C f−，2c =，求ABC 面积的最大值． 【答案】（1）5π[0,]12（2）2 【解析】【分析】（1）化简π()12sin(2)3f x x =+−，利用πππ2π22π,Z 232k x k k −+≤−≤+∈，可求单调区间；（2）由余弦定理可得22242cos 2c a b ab C ab ==+−≥，可求ab 的最大值，进而可求ABC 面积的最大值. 【小问1详解】()2π1cos 2π22sin 21sin 242x f x x x x x x−+=+=×−=+−πππ12(sin 2cos cos2sin 12sin(2)333x x x =+−=+−， 由πππ2π22π,Z 232k x k k −+≤−≤+∈，得π5πππ,Z 1212k x k k −+≤≤+∈， 又π0,2∈ x ，所以函数()f x 在π0,2上的单调递增区间为5π[0,]12；【小问2详解】由π1212C f−=−，得ππ12sin[2()]12123C +×−−，所以πsin()2C −，所以cos C =，因为0πC <<，所以π6C =，又2c =，在ABC中，由余弦定理可得22242cos 2c a b ab C ab ==+−≥−，所以4(2ab ≤=，当且仅当a b ==时取等号，所以111sin 4(22222ABC S ab C =≤×+×=+所以ABC 面积的最大值为2． 16. 已知函数()()ln R mf x x m x=+∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1m =时，证明：当1x ≥时，()e e 0xxf x x −−+≤.【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论即可得解；（2）构造函数()()e e xg x xf x x =−−+，利用二次导数，结合函数的最值情况，证得()0g x ≤，从而得证.【小问1详解】因为()ln mf x x x=+的定义域为()0,∞+， 所以()221m x mf x x x x −′=−=，当0m ≤时，()0f x ′>恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增； 当0m >时，令()0f x ′=，得x m =， 当()0,x m ∈时，()()0,f x f x ′<单调递减， 当(),x m ∈+∞时，()()0,f x f x ′>单调递增， 综上，当0m ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0m >时，()f x 在()0,m 上单调递减，在(),m +∞上单调递增. 【小问2详解】当1m =时，()1ln f x x x=+， 令()()e e ln e e 1xxg x xf x x x x x =−−+=−−++，则()ln e xg x x =−′， 令()()ln e xh x g x x ′==−，则()1e xh x x=′−，因为1x ≥，所以11,e e 1x x≤≥>， 所以当1x ≥时，()h x ′1e 0xx=−<恒成立，所以()h x 在[)1,+∞上单调递减，即()ln e x g x x =−′在[)1,+∞上单调递减，所以()()1e 0g x g ′≤−′=<， 所以()g x 在[)1,+∞上单调递减，所以()()10g x g ≤=，即()e e 0xxf x x −−+≤. 【点睛】结论点睛：恒成立问题：（1）()0f x >恒成立()min 0f x ⇔>；()0f x <恒成立()max 0f x ⇔<． （2）()f x a >恒成立()min f x a ⇔>；()f x a <恒成立()max f x a ⇔<．（3）()()f x g x >恒成立()()min 0f x g x ⇔−> ；()()f x g x <恒成立()()max 0f x g x ⇔−< ； （4）1x M ∀∈，2x N ∀∈，()()()()1212min max f x g x f x g x >⇔>．17. 已知函数()33x x af x a+=−．（1）若()f x 为奇函数，求a 的值；（2）当0a <时，函数()f x 在[],m n 上的值域为11,33m n −− ，求a 的取值范围．【答案】（1）1或1−（2）(,3−∞−− 【解析】【分析】（1）由ff (xx )为奇函数，可得()()0f x f x +−=，从而可求解； （2）当0a <时，可得()y f x =是单调增函数，从而可得即,m n 是函数3133x x x a a +=−−的两个解，参数分离可得23313x x xa +=−，利用换元法设13xt =−，可得23a t t =+−，且1t <，再结合对勾函数性质从而可求解.【小问1详解】由()32133x xx a af x a a+==+−−，所以()22?31131?3x x x a a f x a a −−=+=+−−， 因为ff (xx )为定义域上的奇函数，所以()()0f x f x +−=， 即22?311031?3xx xa a a a +++=−−，化简得·3131?3x xx a a a a +=−−−， 则22222·3?3?33?3?30x x x x x x a a a a a a a −+−+−−+=，则得21a =， 所以aa =−1或1a =. 【小问2详解】当0a <时，()32133x x xa af x a a+==+−−，所以()y f x =是单调增函数， 由函数()f x 在[],m n 上的值域为11,33m n −−， 所以()3133m m m a f m a +==−−,()3133n n n a f n a +==−−，即,m n 是函数3133x x x a a +=−−的两个解，则得23313x x xa +=−，设130xt =−<，则22332313x xxa t t +==+−−，0t <，根据对勾函数性质可得23y t t=+−在()上单调递减，(,−∞上单调递增，其中23y t t=+−在(),0−∞上的值域为(,3 −∞− ，当t =时取最大值，综上可得3a <−，所以a 的取值范围为(),3−∞−−. 18. 已知函数()()28ln 1exf x axbx =+++．（1）若()f x ′在R 上单调递减，求a 的最大值； （2）证明：曲线()y f x ′=是中心对称图形； （3）若()8ln2f x ，求a 的取值范围． 【答案】（1）1− （2）证明见解析 （3）(],1−∞−【解析】【分析】（1）对ff (xx )求导得()8e 21e x x f x ax b =+++′，令()8e 21exxg x ax b =+++，再结合基本不等式从而可得()8201e 2ex x g x a =++′≤+，即可求解. （2）由()()28f x f x b ′′−+=+，从而曲线yy =ff ′(xx )关于点()0,4b +对称，即可求解. （3）分情况讨论求出0a <，4b =−，然后再利用导数讨论1a ≤−，10a −<<情况下，从而可求出a 的取值范围是(],1−∞−. 【小问1详解】由函数()()28ln 1e xf x ax bx =+++，所以()8e 21exxf x ax b =+++′， 令()8e 21e xxg x ax b =+++，因若ff ′(xx )在RR 上单调递减，则()()28e 822011e e 2exxxx g x a a =+=+++′≤+恒成立，因为1e 224e x x ++≥=，当且仅当xx =0时取等号， 则821e 2e x x −≥−++，所以821e 2ex x a ≤−++，即22a ≤−，得1a ≤−. 故a 的最大值为1−. 【小问2详解】证明：由（1）知()8e 21e x x f x ax b =+++′，则()8e 21exxf x ax b −−−=−++′， 则()()8e 8e 8e 8222281e 1e 1e 1ex x x x x x xf x f x ax b ax b b b −−−+=−++++=++=+′+′+++， 所以曲线yy =ff ′(xx )关于点()0,4b +对称，是中心对称图形.【小问3详解】当aa >0时，则当x →+∞时，()f x →+∞，与()8ln2f x ≤矛盾，所以0a ≤；为当0a =，0b ≥时，则当x →+∞时，()f x →+∞，与()8ln2f x ≤矛盾； 当0a =，0b <时，则当x →−∞时，()f x →+∞，与()8ln2f x ≤矛盾； 所以0a <.当4b >−，则当402b x a +<<−时，()8e 24201exxf x ax b ax b =++>++>+′， 此时()()08ln 2f x f >=，矛盾； 当4b <−，则当402b x a +−<<时，()8e 24201ex x f x ax b ax b =++<++<+′， 此时()()08ln 2f x f >=，矛盾； 因此4b =−，所以()8e 241exxf x ax =+−+′， 当1a ≤−，由（1）可知ff ′(xx )在RR 上单调递减，又()00f ′=，所以当0x ≤时，()0f x ′≥，ff (xx )在区间(],0−∞上单调递增； 当xx >0时，()0f x ′<，ff (xx )在区间(0,+∞）上单调递减； 此时()()08ln 2f x f ≤=，符合题意； 当10a −<<，则当0ln 1x <<−时，()()()228e 82201e 1e xxxg x a a =+>+′>++，此时()()()00f x g x g >′==，则()()08ln 2f x f >=，不合题意. 综上所述：a 的取值范围是(],1−∞−.【点睛】方法点睛：（1）导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理；（2）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用；（3）证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.19. 若存在1,1,2,2,,,n n 的一个排列n A ，满足每两个相同的正整数()1,2,,k k n = 之间恰有k 个正整数，则称数列n A 为“有趣数列”，称这样的n 为“有趣数”．例如，数列7:4,6,1,7,1,4,3,5,6,2,3,7,2,5A 为“有趣数列”，7为“有趣数”．（1）判断下列数列是否为“有趣数列”，不需要说明理由； ①2:1,2,1,2A ；②3:3,1,2,1,3,2A ． （2）请写出“有趣数列”4A 的所有可能情形；（3）从1,2,,4n 中任取两个数i 和()j i j <，记i 和j 均为“有趣数”的概率为n P ，证明：14n P <． 【答案】（1）①不是；②是（2）4,1,3,1,2,4,3,2或2,3,4,2,1,3,1,4 （3）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据“有趣数列”定义逐项判断即可求解.（2）分当两个1中间为2，当两个1中间为3，当两个1中间为4，共3种情况从而可找到符合题意的“有趣数列”，即可求解.（3）先设“有趣数列”n A 中数字()1,2,3,k k n = 第一次出现的项记作k a 项，从而可得()21111n n n k k k k k k a a a k k === +++=∑∑∑，可求得()1314nk k n n a =−=∑，再分情况讨论当()*43,42n m m m =−−∈N ，()*41n m m =−∈N ，()*4nm m ∈N 时符合“有趣数列”的情况，从而可得224C 1C 4nn nP =<，即可求解.【小问1详解】①2:1,2,1,2A 中两个2之间间隔数只有一个，故不是“有趣数列”， ②3:3,1,2,1,3,2A 中两个1之间间隔数有1个，两个2之间间隔数有2个， 两个3之间间隔数有3个，故是“有趣数列”.小问2详解】当两个1中间为2，不妨设1,2,1右边两个2中间可能为1,3或1,4， 则4A 可能为4,3,1,2,1,3,2,4或4,3,1,2,1,4,2,3，不符合题意； 当两个1中间为3，两个2中间可能为3,4或4,3，则4A 可能为4,1,3,1,2,4,3,2或2,3,4,2,1,3,1,4，符合题意；【当两个1中间为4，不妨设1,4,1右边两个2中间可能为3,4或4,3， 则4A 可能为1,4,1,2,3,4,2,3或1,4,1,2,4,3,2,3，不符合题意； 综上所述：“有趣数列”4A 可能为4,1,3,1,2,4,3,2或2,3,4,2,1,3,1,4. 【小问3详解】将“有趣数列”n A 中数字()1,2,3,k k n = 第一次出现的项记作k a 项， 由题意可知数字k 第二次出现的项为()1k a k ++项， 于是()21111n nn k kk k k k a aa k k === +++=∑∑∑，则()()13221222nk k n n n n a =+++=∑，即()1314nk k n n a =−=∑，又因为1nk k a =∑为整数，故必有()314n n −为整数，当()*43,42n m m m =−−∈N时，()314n n −不可能为整数，不符合题意； 当()*41n m m =−∈N时，()314n n −为整数，构造“有趣数列”41m A −为44,,2,42,23,1,41,1,23,m m m m m m −−−−− 2,,44,21,43,,21,42,m m m m m −−−+−22,,2,21,41,2,,22,21,,43m m m m m m −−−−+− ，符合题意； 当()*4nm m ∈N 时，()314n n −为整数，构造“有趣数列”4m A 为44,,2,42,23,1,41,1,23,m m m m m m −−−−− 2,,44,4,43,,21,42,m m m m m m −−+−22,,2,21,41,2,,22,21,,43,21,4m m m m m m m m −−−−+−− ，符合题意；这里44,,2m m − 是指将44m −一直到2m 的偶数按从大到小的顺序进行排列，23,,1m − 是指将23m −一直到1的奇数按从大到小的顺序进行排列，故1,2,,4n 中的“有趣数列”为3,4,7,8,,41,4n n − 共2n 个，则所求概率为()224C 211C 2414nn nn P n −==<−. 【点睛】方法点睛：本题主要是根据“有趣数列”定义，理解并应用，对于（3）中主要巧妙设出“有趣数列”n A 中数字()1,2,3,k k n = 第一次出现的项记作k a 项，由题意可知数字k 第二次出现的项为()1k a k ++项，从而求出()1314nk k n n a =−=∑，从而可求解.。

2021届山东省济南市高三一模数学试题一、单选题1．已知(0,)απ∈，若1cos 2α=-，则tan α的值为（ ）A ．B ．CD ．【答案】D【详解】解析：因为(0,)απ∈，1cos 2α=-，所以23πα=，2tan3π=D2．设集合1|0x A x x -⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，{}|10B x x =+>，则“x A ∈”是“x B ∈”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【详解】解析：由10x x-<，得()10x x -<，解得01x <<，因此{}|01A x x =<<，由10x +>，得1x >-，因此{}|1B x x =>-，A B ，所以“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，故选B .3．已知单位向量a ，b ，c 满足0a b c ++=，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3πC ．23π D ．56π 【答案】C【详解】解析：由0a b c ++=，得a b c +=-，所以a b c +=-，即22221a b a a b b +=+⋅+=，所以12⋅=-a b ，由1,2ab a b cos a b =<>=-，得2,3a b π<>=，故选C . 4．环保部门为降低某社区在改造过程中产生的扬尘污染，决定对全部街道采取洒水降尘作业.该社区街道的平面结构如图所示(线段代表街道)，洒水车随机选择A ，B ，C ，D ，E ，F 中的一点驶入进行作业，则选择的驶入点使洒水车能够不重复地走遍全部街道的概率为（）A．16B．13C．12D．23【答案】B【详解】解析：仅能从E或B点出发不重复地走遍全城，所以16213PC==，故选B. 5．已知双曲线221(0)1x ymm m-=>+的渐近线方程为30x y±=，则m=（）A．12B．31-C．312+D．2【答案】A【详解】解析：由渐近线3by x xa=±=±，所以3ba=，则2213ba=，即113mm=+，12m=，故选A.6．函数()y f x=在[]2,2ππ-上的图象如图所示，则()f x的解析式可能是（）A．()sin cosf x x x=+B．()sin cosf x x x=+C．()sin cosf x x x=+D．()sin cosf x x x=+【答案】B【详解】解析：有图像知，()f x为偶函数，可排除A；当xπ=时()1f x=-，可排除D；对于C，当0x>时，()sin cos24f x x x xπ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，在54=xπ时，取得最小值2-，不符合题意，排除C，故选B.7．已知菱形ABCD，2AB BD==，将ABD∆沿BD折起，使二面角A BD C--的大小为60︒，则三棱锥A BCD-的体积为（）A．BCD．【答案】ABDCEHVS 【详解】略8．设2022ln 2020a =，2021ln 2021b =，2020ln 2022c =，则（ ） A ．a c b >> B ．c b a >> C ．b a c >> D ．a b c >>【答案】D【详解】解析：设()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=，在(,)e +∞，()0f x '<，()f x 递减所以()()20202022f f >，即：ln 2020ln 202220202022>所以2022ln 20202020ln 2022>，即a c > 又()20222020ln 20222021ln 20212020ln 2022ln 2021ln 20212020lnln 202102021c b -=-=--=-<故0c b -<，c b < 所以a b c >>，故选D .二、多选题9．在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，下列说法正确的是（ ）A ．常数项为160B ．第4项的二项式系数最大C ．第3项的系数最大D ．所有项的系数和为64【答案】BC【详解】解析：展开式的通项为()()662616221rr rr r r r T x C x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由260r -=，得3r =，所以常数项为()333621160C -=-，A 错误；展开式共有7项，所以第4项二项式系数最大，B 正确；第3项得系数最大，C 正确；令1x =，得6012621x a a a a x ⎛⎫-=+++⋯+= ⎪⎝⎭，所有项的系数和为1，D 错误；故选BC .10．已知函数()31f x x ax =-+的图象在2x =处切线的斜率为9，则下列说法正确的是（ ） A ．3a =B ．()f x 在1x =-处取得极大值C ．当(]2,1∈-x 时，()(]1,3f x ∈-D ．()f x 的图象关于点()0,1中心对称【答案】ABD【详解】解析：()23f x x a '=-，由题意得()2129f a ='-=，3a ∴=，A 正确；()()()311f x x x -'=+，由()0f x '=得，1x =-或1，所以在(,1)-∞-，(1,)+∞上()0f x '>，()f x 为增函数，在()1,1-上()0f x '<，()f x 为减函数，所以()f x 在1x =-处取得极大值，B 正确；因为()11f =-，()13f -=，故在(]2,1-上的值域为[]1,3-，C 错误；令()()1f x g x =+，则()3g x x x =-是奇函数，()g x 图象关于()0,0中心对称，所以()f x 关于()0,1中心对称，D 正确；故选ABD .11．1904年，瑞典数学家科赫构造了一种曲线.如图，取一个边长为1的正三角形，在每个边上以中间的13为一边，向外侧凸出作一个正三角形，再把原来边上中间的13擦掉，得到第2个图形，重复上面的步骤，得到第3个图形.这样无限地作下去，得到的图形的轮廓线称为科赫曲线.云层的边缘，山脉的轮廓，海岸线等自然界里的不规则曲线都可用“科赫曲线”的方式来研究，这门学科叫“分形几何学”.下列说法正确的是（ ）A ．第4个图形的边长为181B ．记第n 个图形的边数为n a ，则14n n a a +=C ．记第n 个图形的周长为n b ，则1433n n b -⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅D ．记第n 个图形的面积为n S ，则对任意的n ∈+N ，存在正实数M ，使得n S M < 【答案】BCD【详解】解析：易知，各个图形的边长成等比数列，且13q =，因此可设边长为113n n c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则3411327C ⎛⎫== ⎪⎝⎭，A 错误；易知，各个图形的边数也成等比数列且4q =，所以134n n a -=⋅，B 正确；周长为1433n n n n b a c -⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，C 正确；由极限思想易知，当n →∞时，图形无限接近于圆，故n S S M <=圆，D 正确；故选BCD .12．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，1F ，2F 分别为椭圆的左､右焦点，A ，B 为椭圆上两个动点.直线l 的方程为220bx ay a b +--=.下列说法正确的是（ ）A ．C 的蒙日圆的方程为2223x y b +=B ．对直线l 上任意点P ，0PA PB ⋅>C ．记点A 到直线l 的距离为d ，则2d AF -D ．若矩形MNGH 的四条边均与C 相切，则矩形MNGH 面积的最大值为26b 【答案】AD【详解】解析：易知点(),Q a b 在蒙日圆上，所以方程为2222x y a b +=+，又由c e a ==，得222a b =，A 正确；l 过顶点(),P b a ，而Q 又满足蒙日圆方程，所以P 在圆2223x y b +=上，当A ､B 恰为切点时，10PA PB <⋅=-，B 错误；由A 在椭圆上，故122AF AF a +=，所以()21122d AF d a AF d AF a -=--=+-，当1F A l ⊥时，1d AF +有最小值，即1F到l距离d '=，即d '=，所以()2min2d AF a -=-，C 错误；当矩形四边都与椭圆C 相切时，它为蒙日圆得内接矩形，对角线为蒙日圆得直径，设边长为x ，y ，则()222222412x y r r b +===，22262x y S xy b +=≤=矩形，D 正确；故选AD .三、填空题 13．已知复数2iz i+=-(其中i 为虚数单位)，则z 的值为___________. 【答案】5【详解】解析：22551i i z i i ++====-- 14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若728S =，则237a a a ++的值为___________. 【答案】12【详解】解析：因为()177477282a a S a +===，所以134a d +=， ()()()()237111126333412a a a a d a d a d a d ++=+++++=+=⨯=.15．能够说明“若a b >，则33a a b b<++”是假命题的一组非零实数a ，b 的值依次为___________.【答案】1，1-(答案不唯一)【详解】解析：答案不唯一，只需要第1个数大于0，第2个数小于0即可，即0a >，0b <，用反比例函数在各自象限具有单调性，而不是定义域内具有单调性.16．在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型P ABCD -，并要求同学们将该四棱锥切割成三个小四棱锥.某小组经讨论后给出如下方案：第一步，过点A 作一个平面分别交PB ，PC ，PD 于点E ，F ，G ，得到四棱锥P AEFG -；第二步，将剩下的几何体沿平面ACF 切开，得到另外两个小四棱锥.在实施第一步的过程中，为方便切割，需先在模型表面画出截面四边形AEFG ，若35PE PB =，12PF PC =，则PGPD的值为___________.【答案】34【详解】解析：建立如图所示空间直角坐标系，设()0,0,P b ，(),0,0A a ，()0,,0B a a ，()0,,0D a -，(),0,0C a -，PA xPE yPF zPG =++，其中1x y z ++=，则()0,,PB a b =-，(),0,PC a b =-，()0,,PD a b =--，(),0,PA a b =-，3330,,555PE PB a b ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，1,0,222ab PF PC ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，设()0,,PF PC a b λλλ==--，则()()33,0,0,,,0,0,,5522ab a b x a b y z a b λλ⎛⎫⎛⎫-=-+--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 5300,0,2352ay a b b x a z x y b z λλ-⎛⎫=+++---- ⎪⎝⎭由方程组250033521ay a a x a z b bb x y b z x y z λλ⎧=-⎪⎪⎪+-=⎪⎨⎪-=---⎪⎪⎪++=⎩，得5035233y z x z x z x z λλ=-⎧⎪⎪-=⎪⎨⎪+=⎪⎪+=⎩，解得，34λ=.四、解答题17．在ABC ∆中，已知角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，5a =3b =，sin 522A B =（1）求角A 的值； （2）求ABC ∆的面积. 【答案】（1）4A π=；（2）面积为32或3. 【详解】（1）因为5a =sin 522A B =所以sin sin A a B +=sin sin a B b A =，所以sin 3sin A A +=sin A =在ABC ∆中，因为a b <，所以A 为锐角， 所以4A π=；（2）因为2222cos a b c bc A =+-，所以240c -+=，解得c =c =当c =113sin 3,222ABC S bc A ∆==⨯=当c =11sin 3322ABC S bc A ∆==⨯⨯=， 所以ABC ∆的面积为32或3. 18．已知函数()2(1),01,02x a x e x f x x ax x x ⎧+≤⎪=⎨-+>⎪⎩. （1）若2a =，求()f x 的最小值；（2）若()f x 恰好有三个零点，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）最小值为12-；（2）)+∞. 【详解】（1）2a =时，22(1),0()12,02x x e x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨-+>⎪⎩. 当0x <时，()2(2)x f x x e '=+，所以()f x 在(,2)-∞-上单调递减，在()2,0-上单调递增， 此时()f x 的最小值为()222f e -=-； 当0x >时，()f x 在()0,1上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 此时()f x 的最小值为()112f =-； 因为2212e ->-，所以()f x 的最小值为12-；（2）显然0a ≠；因为0x ≤时，()f x 有且只有一个零点1-， 所以原命题等价于()f x 在(0,)+∞上有两个零点.所以2200a a ⎧->⎨>⎩，解得2a >，故实数a 的取值范围是(2,)+∞.19．已知正方体1111ABCD A BC D -和平面α，直线1//AC 平面a ，直线//BD 平面α.（1）证明：平面α⊥平面11B CD ；（2）点P 为线段1AC 上的动点，求直线BP 与平面α所成角的最大值. 【答案】（1）证明见解析；（2）最大值为6π. 【分析】（1）连接11AC ，先证11B D ⊥平面11AAC ，再证1AC ⊥平面11B CD ，通过过直线1AC 作平面β与平面α相交于直线l ，l ⊥平面11B CD ，进而可得结果；（2）求出平面α的法向量()1,1,2n =-，设101()AP t AC t =≤≤，将直线BP 与平面α所成角的正弦值表示为关于t 的函数，求出最值即可.【详解】（1）证明：连接11AC ，则1111B D AC ⊥，因为1AA ⊥平面1111D C B A ，11B D ⊂平面1111D C B A ，所以111AA B D ⊥；又因为1111AA AC A ⋂=，所以11B D ⊥平面11AAC ； 因为1AC ⊂平面11AAC ，所以111B D AC ⊥；同理11B C AC ⊥；因为1111B D B C B ⋂=，所以1AC ⊥平面11B CD ；因为1//AC 平面α，过直线1AC 作平面β与平面α相交于直线l ，则1//AC l ； 所以l ⊥平面11B CD ；又l ⊂平面α， 所以平面α⊥平面11B CD ；（2）设正方体的棱长为1，以A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()0,1,0D ，()11,1,1C ， 所以()11,1,1AC =，()1,1,0BD =-. 设平面α的法向量为(),,n x y z =，则100n AC n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00x y z x y ++=⎧⎨-+=⎩，取1x =，则()1,1,2n =-；设101()AP t AC t =≤≤，则(),,AP t t t =，因为()1,0,0BA =-， 所以()1,,BP BA AP t t t =+=-； 设直线BP 与平面α所成的角为θ，则22||sin ||||6321126333n BP n BP t t t θ⋅===-+⎛⎫-+⎪⎝⎭， 所以当13t =时，sin θ取到最大值为12，此时θ的最大值为6π. 【点睛】引入新的变量t ，将BP 用t 表示，线面角的正弦值表示为关于t 的函数是解题的关键.20．如图，A ，B ，M ，N 为抛物线22y x =上四个不同的点，直线AB 与直线MN相交于点()1,0，直线AN 过点()2,0.（1）记A ，B 的纵坐标分别为A y ，B y ，求A B y y 的值；（2）记直线AN ，BM 的斜率分别为1k ，2k ，是否存在实数λ，使得21k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）2A B y y ⋅=-；（2）存在，2λ=.【分析】（1）设直线AB 的方程为1x my =+，代入22y x =由韦达定理得出A B y y 的值；（2）设直线AN 的方程为2x ny =+，代入22y x =，由韦达定理得出4A N y y ⋅=-，结合2M N y y ⋅=-，2A B y y ⋅=-得出212k k λ==. 【详解】解：（1）设直线AB 的方程为1x my =+，代入22y x =得2220y my --=，则2A B y y ⋅=-.（2）由（1）同理得2M N y y ⋅=-设直线AN 的方程为2x ny =+，代入22y x =得2240y ny --=，则4A N y y ⋅=-又122222N A N A N A N A N A y y y y k y y x x y y --===-+-，同理22M B k y y =+ 则212222A NA N A NB M A Ny y y y y y k k y y y y λ++=====--+-+ ∴存在实数2λ=，使得212k k =成立.【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于联立直线方程以及抛物线方程，结合韦达定理得出根与系数的关系，进而得出证明.21．某机构为研究考生物理成绩与数学成绩之间的关系，从一次考试中随机抽取11名考生的数据，统计如下表：（1）由表中数据可知，有一位考生因物理缺考导致数据出现异常，剔除该组数据后发现，考生物理成绩y 与数学成绩x 之间具有线性相关关系，请根据这10组数据建立y 关于x 的回归直线方程，并估计缺考考生如果参加物理考试可能取得的成绩；（2）已知参加该次考试的10000名考生的物理成绩服从正态分布2(,)N μσ，用剔除异常数据后的样本平均值作为μ的估计值，用剔除异常数据后的样本标准差作为σ的估计值，估计物理成绩不低于75分的人数Y 的期望. 附：参考数据：上表中的x ；表示样本中第i 名考生的数学成绩，y ；表示样本中第i 名考生的物理成绩，111111i i y y ==∑.参考公式：①对于一组数据：12,,,n u u u ，其方差：()22221111n n i i i i s u u u u n n ===-=-∑∑.②对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ，其回归直线ˆˆˆv a bu=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1221ˆni i i nii u v nuvb unu==-=-∑∑，ˆˆav bu =-.③若随机变量ε服从()2,N μσ，则()0.683P μσξμσ-<<+≈，220.55()9P μσξμσ-<<+≈，330.97()9P μσξμσ-<<+≈. 【答案】（1）ˆ0.3135y x =+，物理成绩为69.1；（2）1585.【分析】（1）结合题中数据以及公式可得ˆ0.3135yx =+，将110代入即可得结果； （2）先得考生的物理成绩服从正态分布()266,9N ，根据正态分布的概率特征不低于75分的概率，进而得期望.【详解】（1）设根据剔除后数据建立的y 关于x 的回归直线方程为ˆˆˆy bx a =+，剔除异常数据后的数学平均分为111011010010-=，剔除异常数据后的物理平均分为66006610-=， 则2268586110010661002586ˆ0.31120426110101008326b-⨯-⨯⨯==≈--⨯，则ˆ660.3110035a=-⨯=， 所以所求回归直线方程为ˆ0.3135yx =+. 又物理缺考考生的数学成绩为110，所以估计其可能取得的物理成绩为ˆ0.311103569.1y=⨯+=. （2）由题意知66μ=，因为()2111122211660114770114437011iii i y y y y ==⎛⎫=-+=+⨯= ⎪⎝⎭∑∑，所以9σ===， 所以参加该次考试的10000名考生的物理成绩服从正态分布()266,9N ，则物理成绩不低于75分的概率为10.6830.15852-=， 由题意可知()~10000,0.1585Y B ， 所以物理成绩不低于75分的人数Y 的期望100000.15851585EY =⨯=.22．已知正项数列{}n a ，11a =，()11ln 12n n a a +=+，n ∈+N .证明： （1）1n n a a +<；（2）112n n n n a a a a ++-<⋅； （3）11122n n n a -<≤.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）先证()ln 1x x +<成立，得出112n n a a +<，结合0n a >即可得结果； （2）利用分析法即证即证()2ln 12n n n a a a +>+成立，构造函数2()ln(1)2xg x x x =+-+，利用导数得出单调性，得出()0g x >，即可得结果；（3）结合（2）中的结论1121n n a a +<+可得12n n a >，由（1）中的结论12n n a a +>，知112n n a -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭.【详解】（1）先证明()ln 1x x +<对(0,)x ∈+∞恒成立， 记()()ln 1f x x x =+-，则1()1011xf x x x -'=-=<++， 所以()f x 在(0,)+∞上单调递减， 所以0x >时，()()00f x f <=， 所以(0,)x ∈+∞时，()ln 1x x +<. 又0n a >，所以()111ln 122n n n a a a +=+<，即112n n n a a a ++>>. 即1n n a a +<，得证.（2）要证112n n n n a a a a ++-<⋅成立，只需证()()1ln 1ln 12n n n n a a a a -+<⋅⋅+成立，即证()2ln 12n nn a a a +>+成立； 记2()ln(1)2xg x x x =+-+，(0,)x ∈+∞， 则22214()01(2)(1)(2)x g x x x x x '=-=>++++， 所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以0x >时，()()00g x g >=， 所以(0,)x ∈+∞时，2ln(1)2xx x +>+， 又0n a >，所以()2ln 12nn n a a a +>+，得证.（3）由（2）知112n n n n a a a a ++-<⋅，即1121n na a +<+， 则11211221n n n a a a +⎛⎫+<+=+ ⎪⎝⎭，即111211n na a ++<+， 又1112a +=，所以111222n n n a -+≤⋅=，所以11212n n na ≥>-； 由（1）知12n n a a +>，所以112n n a a +<，又11a =， 则1111122n n n a --⎛⎫⎛⎫≤⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.综上11122n n n a -<≤. 【点睛】关键点点睛：通过证明()ln 1x x +<是解决（1）的关键，通过构造函数2()ln(1)2xg x x x =+-+利用其单调性是解决（2）的关键，运用（2）中的结论是解决（3）的关键.。

商河县第一中学2021届高三上学期阶段性考试地理“在这七百多平方千米的岛上,田园生活是艰苦而费力的，每一小块葡萄园,都用防风石围了起来,农作物便生长在这一个个浅浅的石井里。

”著名作家三毛描写的景观位于加那利群岛中的兰萨罗特岛（图6)。

该小岛的葡萄种植很有特点，单株种植在单个的坑里,坑宽3米多，深1米多，坑边还用当地的火山石垒成半圆形的石墙。

看起来,一株株葡萄仿佛就种在一个个浅浅的“石井”里（图7）。

据此完成1~2题。

1。

兰萨罗特岛适宜葡萄种植的优势自然条件是A.终年高温，降水丰富B.光照强，昼夜温差大C.海雾缭绕，水源充足D.有机质多，土壤肥沃2。

图中鱼鳞坑和石墙的主要作用是A。

减少风蚀，堆积土壤B。

削减风速，收集水分 C.汇集水汽，增加降水D。

减少光照，增大温差（2020·全国高三其他）下击暴流是一种极端天气，其形成与雷暴云顶的上冲和崩溃紧密联系。

随着上冲高度的增加,上升气流不断被储存起来，一旦云顶迅速崩溃，巨大的乳状云从天而降，压向地面。

气流到达地面后，会产生一股直线型大风，越接近地面风速会越大，最大地面风力可达15级,研究表明：垂直高度45～80千米，提前预警的时间为0；小于20千米或大于80千米的则无法准确预警.下图示意2020年2月28日澳大利亚珀斯机场附近某摄影师拍下的下击暴流的画面。

据此完成下面小题。

3．下击暴流类似于前后叠加的两种天气系统分别是A．锋面、低气压B．反气旋、高气压C．低气压、气旋D．低气压、高气压4．目前很难对下击暴流准确预警的原因是A．时间极短，尺度极小B．卫星遥感分辨率低C．风力极大破坏性大D．天气系统变化剧烈牛轭湖是由于河流的变迁或改道，曲形河道自行裁弯取直后留下的旧河道形成的湖泊，因其形状恰似牛轭,故被称为牛轭湖。

尺八湖（又称老江河）原系长江荆江河段，属典型的牛轭湖，位于湖北省监利县，沿河进出水口共20余个,承雨面积138平方千米.下图为尺八湖示意图。

山东省济南市商河县第一中学2020-2021学年第一学期高二数学期中试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知向量351,,22a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，153,,2b λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭满足//a b ，则λ等于（ ） A ．23 B ．92 C ．92- D ．23- 2．圆224610x y x y +-+-=的圆心坐标为（ ）A ．(2,3)-B ．(2,3)-C ．(2,3)--D ． (2,3) 3．已知m 为实数，直线1:10+-=l mx y ，()23220l m x my -+-=：，若12l l //，则实数m 的值( ) A ．2 B ．1 C ．1或2 D ．0或13 4．在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1,1AB BC AA ===，则1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为（ ）A ．10BC ．5D ．5 5．如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为,OB AC ，,M N 分别是对边,OB AC 的中点，点G 在线段MN 上，2MG GN =，现用基向量,,OA OB OC 表示向量OG ，设OG xOA yOB zOC =++，则,,x y z 的值分别是（ ）A ．111333x y z ===，， B ．111336x y z ===，， C ．111363x y z ===，， D ．111633x y z ===，， 6．设12F F 、分别是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，M 的坐标为（6，4），则1||PM PF +的最大值为（ ）A ．13B ．14C ．15D ．167．椭圆2212x y +=上的点到直线27x y -=距离最近的点的坐标为（ ） A ．41,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．41,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．417,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．417,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ 8．已知点P 在离心率为12的椭圆2222:1x y E a b+=上，F 是椭圆的一个焦点，M 是以PF 为直径的圆1C 上的动点，N 是半径为2的圆2C 上的动点，圆1C 与圆2C 相离且圆心距1292C C =，若MN 的最小值为1，则椭圆E 的焦距的取值范围是（ ） A ．[]1,3 B ．[]2,4 C ．[]2,6 D ．[]3,6 9．已知直线1l ：10ax y -+=，2l ：10x ay ++=，a R ∈，以下结论不正确的是（ ）A ．不论a 为何值时，1l 与2l 都互相垂直B ．当a 变化时，1l 与2l 分别经过定点()0,1A 和()1,0B -C ．不论a 为何值时，1l 与2l 都关于直线0x y +=对称D ．如果1l 与2l 交于点M ，则MO二、多选题10．给出下列命题，其中正确命题有（ ）A ．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底B ．已知向量//a b ，则存在向量可以与a ，b 构成空间的一个基底C ．A ，B ，M ，N 是空间四点若,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底那么A ，B ，M ，N 共面D ．已知向量组{},,a b c 是空间的一个基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的一个基底11．下列说法正确的是（ ） A ．已知()1,0A -，()10B ,且三角形ABC 的周长是6，则顶点C 的轨迹方程是()221043x y y +=≠B ．点()0,2关于直线1y x =+的对称点是()1,1C ．过()11,x y ，()22,x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=-- D ．经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程是20x y +-=12．已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的离心率为2，ABC 的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，F ，且三条边所在直线的斜率分别1k ，2k ，3k ，且1k ，2k ，3k 均不为0．为坐标原点，则（ ）A ．22:2:1a b =B ．直线AB 与直线OD 的斜率之积为-2C ．直线BC 与直线OE 的斜率之积为12- D ．若直线OD ，OE ，OF 的斜率之和为1，则123111k k k ++的值为-2三、填空题13．1F ，2F 是椭圆2212516x y +=的两个焦点，P 和Q 是此椭圆上关于原点对称的两个点，且6PQ =，则12PF F △的面积是______.14．直线经过点A （2，1），B （1，m 2）两点（m ∈R ），那么直线l 的倾斜角取值范围是 .15．已知圆的方程为（x -1）2+（y -1）2=9，P （2，2）是该圆内一点，过点P 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积是______ ．16．若点O 和点F 分别为椭圆22198x y 的中点和左焦点，点P 为椭圆上的任一点，则OP FP ⋅的最小值为________．四、解答题17．在平面直角坐标系中，三角形ABC 的三个顶点坐标分别为()2,1A ，()2,3B -，()3,0C -，求：（1）BC 边所在直线的方程；（2）BC 边上的高AD 所在直线的方程.18．已知圆C 经过点()1,4P 和点()5,0Q 且圆心在直线1x y +=上.（1）求圆C 的标准方程；（2）若过点()1,4-的直线l 与圆C 相交于,A B 两点，且120ACB ∠=︒，求直线l 的方程.19．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D －中，已知AB ＝2，15AA ＝ ，E 、F 分别为1D D 、1B B 上的点，且11DE B F ＝＝.(1)求证：BE⊥平面ACF ；(2)求点E 到平面ACF 的距离．20．已椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>经过点. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l ：2y kx =-与椭圆C 交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆经过不在直线l 上的点(2,0)D ，求直线l 的方程.21．已知四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PD 的中点．（Ⅰ）求证：//AF 平面PCE ；（Ⅱ）若二面角P CD B --为45︒，2AD =，3CD =，求PD 与平面PCE 所成角的正弦值．22．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，长半轴长与短半轴长的差为2，离心率为12． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若在x 轴上存在点M ，过点M 的直线l 分别与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且2211PMQM 为定值，求点M 的坐标．参考答案1．B【分析】根据向量平行坐标表示列方程，解得结果.【详解】因为//a b ，所以15392,351222. 故选：B【点睛】 本题考查向量平行坐标表示，考查基本分析求解能力，属基础题.2．B【分析】将方程配方化成标准式，即可得圆心坐标.【详解】22224610(2)(3)14x y x y x y +-+-=∴-++=所以圆心坐标为(2,3)-故选：B【点睛】本题考查圆的标准方程，考查基本分析求解能力，属基础题.3．B【分析】根据直线平行的等价条件，求出m 的值；【详解】解：当0m =时，两直线方程分别为10y -=和220x --=，不满足条件．当0m ≠时，则12//l l ，∴32211m m m --=≠-， 由321m m m -=得2320m m -+=得1m =或2m =， 由211m -≠-得2m ≠，则1m =，故选：B【点睛】本题考查两直线的位置关系求参数的值，属于基础题.4．D【分析】根据垂直关系，作111C M B D ⊥，1C BM ∠为所求角，直角三角形1C MB 中求111sin C M C BM C B∠=. 【详解】 如图，作111C M B D ⊥，交11B D 于点M ，连接MB ，因为1BB ⊥平面1111D C B A ，所以11BB C M ⊥，又因为111C M B D ⊥，且1111BB B D B ⋂=， 所以1C M ⊥平面11BB D D ，即1C BM ∠为所求角，1BC ==，11B D ==所以112C M ⨯，所以1C M =111sin C M C BM C B ∠===. 故选：D【点睛】本题考查线面角的几何求法，重点考查垂直关系，属于基础题型.5．D【分析】根据向量的加减法运算和数乘运算原则可表示出OG ，进而得到结果.【详解】()1212121223232323OG OM MG OA MN OA MA AN OA OA AN =+=+=++=+⨯+()525221636332OA AB BN OA AB BC =++=++⨯()()521111633633OA OB OA OC OB OA OB OC =+-+-=++ 16x ∴=，13y =，13z = 故选：D【点睛】本题考查用基底表示向量，关键是能够熟练掌握向量的加减法运算和数乘运算原则. 6．C【分析】 由椭圆的标准方程2212516x y +=得到a 、b 、c ，然后借助定义转化为求2PM PF -的最大值即可．【详解】如图所示，由椭圆2212516x y +=可得：5a =，4b =，3c ==， ()13,0F ∴-，()23,0F ， 由椭圆的定义可得：12210PF PF a +==，()1222210101015PM PF PM a PF PM PF MF ∴+=+-=+-≤+=+=， 则1PM PF +的最大值为15，故选：C【点睛】 本题主要考查了椭圆的标准方程及其性质，三角形三边大小关系，两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．B【分析】设和椭圆相切的且与直线平行的直线和椭圆方程联立，求出后再与椭圆方程联立，可求得答案.【详解】 设和椭圆2212x y +=相切且与直线27x y -=平行的直线方程为2y x b =+， 所以22122x y y x b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2298202x bx b ++=-，因为直线和圆相切，所以22362)64(20b b ∆=⨯-=-，所以3b =±，3b =-时，27x y -=与23y x =-3b =时，27x y -=与23y x =+的距离为>此时直线虽然与椭圆相切，但是在椭圆的上方，舍去，所以3b =-， 所以221223x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2924160x x -+=，解得切点坐标为41,33⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故选：B.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，求切点坐标的问题.8．C 【分析】由圆1C 与圆2C 相离且圆心距1292C C =，以及MN 的最小值为1，可得圆1C 的直径，即PF 的长，再由P 在椭圆E 上，可得a c a c PF -≤≤+，进而可求出结果.【详解】因为M 是以PF 为直径的圆1C 上的动点，N 是半径为2的圆2C 上的动点，圆1C 与圆2C 相离且圆心距1292C C =，又MN 的最小值为1，所以1292122PF C C =++=，解得3PF =， 又因P 在椭圆E 上，所以a c a c PF -≤≤+，因为离心率为12，所以a 2c =, 所以c 33c ≤≤，故1c 3≤≤，所以22c 6≤≤. 故选C 【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，做题的关键在于，由两圆相离先确定PF 的长，进而可根据椭圆的性质，即可求出结果，属于常考题型. 9．C 【分析】利用直线垂直，系数满足()110a a ⨯+-⨯=即可判断A ；根据直线过定点与系数无关即可判断B ； 在1l 上任取点(),1x ax +，关于直线0x y +=对称的点的坐标为()1,ax x ---，代入2:10l x ay ++=，左边可得不恒为0，从而可判断C ；将两直线联立求出交点，在利用两点间的距离公式即可求解. 【详解】对于A ，()110a a ⨯+-⨯=恒成立，1l 与2l 都互相垂直恒成立，故A 正确；对于B ，直线1:10l ax y -+=， 当a 变化时，0x =，1y =恒成立， 所以1l 恒过定点(0,1)A ；2:10l x ay ++=，当a 变化时，1x =-，0y =恒成立， 所以2l 恒过定点(1,0)B -，故B 正确. 对于C ，在1l 上任取点(),1x ax +，关于直线0x y +=对称的点的坐标为()1,ax x ---， 代入2:10l x ay ++=， 得20ax =，不满足不论a 为何值时，20ax =成立， 故C 不正确；对于D ，联立1010ax y x ay -+=⎧⎨++=⎩，解得221111a x a a y a --⎧=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩，即2211,11a a M a a ---+⎛⎫⎪++⎝⎭，所以MO ==≤， 所以MO，故D 正确. 故选：C. 【点睛】本题考查了直线垂直时系数之间的关系、直线过定点问题、直线关于直线对称问题、两直线的交点、两点间的距离公式，考查了考生的计算求解能力，综合性比较强，属于中档题. 10．ACD 【分析】根据空间基底的概念，结合向量的共面定量，逐项判定，即可求解得到答案. 【详解】选项A 中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以A 正确；选项B 中，因为//a b ，根据空间基底的概念，可得B 不正确；选项C 中，由,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，可得,,BA BM BN 共面， 又由,,BA BM BN 过相同点B ，可得,,,A B M N 四点共面，所以C 正确；选项D 中：由{},,a b c 是空间的一个基底，则基向量,a b 与向量m a c =+一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以D 正确． 故选：ACD . 【点睛】本题主要考查了空间基底的概念及其判定，其中解答中熟记空间基底的概念，合理利用共面向量定量进行判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 11．AB 【分析】根据椭圆的定义，可判断A 的正误；根据点关于线的对称点的求法，可求得对称点坐标，即可判断B 的正误；根据直线的两点式方程，即可判断C 的正误；根据直线的截距式方程，可判断D 的正误，即可得答案. 【详解】对于A ：因为2AB =，所以42CA CB +=>，所以C 点到两定点A 、B 的距离之和为定值4>2，满足椭圆的定义，所以2422a c =⎧⎨=⎩，解得21a c =⎧⎨=⎩，23b =，所以顶点C 的轨迹方程是()221043x y y +=≠，故A 正确；对于B ：设点()0,2关于直线1y x =+的对称点是11(,)x y ，则111121(1)2122y x y x -⎧⋅=-⎪⎪⎨+⎪=+⎪⎩，解得111,1x y ==，故对称点为()1,1，故B 正确； 对于C ：当2121,y y x x ≠≠时，过()11,x y ，()22,x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=--，故C 错误；对于D ：若直线在x 轴和y 轴上截距都为0时，设直线y kx =，又直线过点()1,1，代入解得k =1，所以直线方程为y x =；当直线在x 轴和y 轴上截距都相等且都不为0时，设截距为a ，则直线方程为1x ya a+=，又直线过点()1,1，代入解得a =2，所以方程为221x y+=，整理可得20x y +-=，故D 错误. 故选：AB 12．ACD 【分析】根据离心率可得,a b 的关系，从而可判断A 正确，利用点差法可得B 、C 、D 的正误， 【详解】因为椭圆的离心率为2，由2222221a b b e a a -==-得2212b a =，故A 正确； 设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,D x y ，则12012022x x x y y y +=⎧⎨+=⎩，且22112222222211x y a bx y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式作差得22221212220x x y y a b--+=， 即()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-++=，所以()()()()2121221212y y y y b x x x x a-+=--+，因为AB 的斜率12112y y k x x -=-，OD 的斜率012012ODy y y k x x x +==+，所以21212OD b k k a ⋅=-=-，同理212OE k k ⋅=-，312OF k k ⋅=-，故B 错误，C 正确. 又112OD k k =-，同理可得212OE k k =-，312OF k k =-， 所以()1231112OD OE OF k k k k k k ++=-++，又直线OD ，OE ，OF 的斜率之和为1，即1OD OE OF k k k ++=，所以1231112k k k ++=-，故D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】本题考查椭圆基本量的计算、点差法，注意圆锥曲线中与弦的中点、弦的斜率有关的问题，一般用点差法来处理，本题属于中档题. 13．16 【分析】根据题意，可得3OP =，设11(,)P x y ，所以22119x y +=，又P 在椭圆上，联立两方程，可求得1163y =，代入面积公式，即可求得答案. 【详解】因为P ，Q 是椭圆上关于原点对称的两个点，且6PQ =，所以3OP =，设11(,)P x y ，所以22119x y +=，又P 在椭圆上，所以221112516x y +=，联立方程22112211912516x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，可得212569y =，即1163y =，所以12PF F △的面积1211116616223S F F y =⋅⋅=⨯⨯=. 故答案为：16 14．α∈0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦∪,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】k ＝tanα＝2112m －－＝1－m 2≤1，所以α∈0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦∪,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭.15． 【分析】因为经过P 点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦,根据垂径定理可求得最短弦长,由此可求得四边形的面积. 【详解】∵圆的方程为（x -1）2+（y -1）2=9， ∴圆心坐标为M （1，1），半径r =3． ∵P （2，2）是该圆内一点，∴经过P 点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦． 结合题意，得AC 是经过P 点的直径，BD 是与AC 垂直的弦．∵|PM =∴由垂径定理，得|BD ．因此，四边形ABCD 的面积是S =12|AC |•|BD |=12×6×．故答案为 【点睛】本题考查了圆中的垂径定理,属中档题. 16．6 【分析】可设(,)P x y ，可求得OP 与FP 的坐标，利用向量的数量积的坐标公式，结合椭圆的方程即可求得其答案. 【详解】点P 为椭圆22198x y 上的任意一点，设(,)P x y (33,x -≤≤-≤，依题意得左焦点(1,0)F -， ∴(,),(1,)OP x y FP x y ==+，∴222728(1)9x OP PF x x y x x -⋅=++=++21923()924x =++， ∵33x -≤≤，∴3915222x ≤+≤，∴299225()424x ≤+≤， ∴2119225()49236x ≤+≤，∴219236()12924x ≤++≤， 即612OP FP ≤⋅≤，故最小值为6. 【点睛】该题考查的是有关向量数量积的最值的求解问题，涉及到的知识点有椭圆上点的坐标所满足的条件，向量数量积的坐标运算式，椭圆上点的坐标的范围，二次函数在给定区间上的最值问题，属于中档题目.17．（1）390x y -+=；（2）350x y +-=. 【分析】（1）求出直线BC 的斜率，代入点斜式方程即可；(2)求出直线BC 的斜率，得到BC 边上的高所在直线的斜率，代入点斜式方程即可. 【详解】（1）设BC 的直线方程为y kx b =+. 将()2,3B -，()3,0C -坐标代入可得3203k b k b =-+⎧⎨=-+⎩，解方程组可得39k b =⎧⎨=⎩，则直线BC 方程为39y x =+，化为一般式为390x y -+=. （2）因为AD 为直线BC 的高，所以AD BC ⊥，故113AD BC k k =-=-， 设AD 的直线方程为13y x m =-+，将()2,1A 代入，解得53m =， 得AD 的直线方程为1533y x =-+，代为一般式为350x y +-=. 【点睛】本题主要考查了直线方程问题，考查求直线的斜率，两条垂直直线斜率间的关系，属于基础题．18．（1）22(1)16x y -+=； （2）1x =-或34130x y +-=..【分析】（1）求得线段PQ 的垂直平分线方程，联立方程组，求得圆心C ，根据4CQ =，求得圆的半径，即可求得圆C 的方程；（2）根据题意，得到圆心到直线l 的距离为2d =，①当直线l 的斜率不存在时，直线方程为1x =-，符合题意；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为40kx y k -++=，根据点到直线的距离公式，列出方程，求得k ，进而得出直线的方程. 【详解】（1）设PQ 的中点为00(,)C x y ， 因为点()1,4P 和点()5,0Q ，所以0015403,222xy ++====，即()3,2C ， 又由40115PQ k -==--，所以PQ 的垂直平分线的斜率为1k =， 所以线段PQ 的垂直平分线方程为10x y --=，联立方程组1010x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得1,0x y ==，即圆心坐标(1,0)C ，又由4CQ =，即圆的半径为4r =， 所以圆C 的方程为22(1)16x y -+=.（2）过点()1,4-的直线l 与圆C 相交于,A B 两点，且120ACB ∠=︒， 所以圆心到直线l 的距离为2d =，①当直线l 的斜率不存在时，此时直线方程为1x =-， 则圆心到直线l 的距离为2d =，符合题意；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为4(1)y k x -=+，即40kx y k -++=，则圆心到直线的距离为2d ==，解得34k =-，此时直线l 的方程为34130x y +-=，综上可得，直线l 的方程为1x =-或34130x y +-=. 【点睛】本题主要考查了圆的标准方程的求解，以及直线与圆的位置关系的应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题. 19．（1）见解析（2）53【解析】分析：（1）以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，要证明线与面垂直，只需证明这条直线与平面上的两条直线垂直即可；（2）BE 为平面ACF 的一个法向量，向量AE 在BE 上的射影长即为E 到平面ACF 的距离，根据点到面的距离公式可得到结论.详解：(1)证明：以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则D (0,0,0)、A (2,0,0)、B (2,2,0)、C (0,2,0)、D 1(0,0,5)、E (0,0,1)、F (2,2,4)．∴＝(－2,2,0)、＝(0,2,4)、＝(－2，－2,1)、＝(－2，0,1)．∵·＝0，·＝0，∴BE ⊥AC ，BE ⊥AF ，且AC ∩AF ＝A . ∴BE ⊥平面ACF . (2)由(1)知，为平面ACF 的一个法向量，∴点E 到平面ACF 的距离d ＝＝.故点E 到平面ACF 的距离为.点睛：本题主要考查利用空间向量求点到面的距离，属于中档题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20．（1）22142x y +=；（2）32y x =-. 【分析】（1）根据题意，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点，离心率为2，建立方程，由此算出a ，b ，即可得到椭圆C 的方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由题意可得DA DB ⊥，即()()1212220x x y y --+=，即可求出参数k 的值，从而得解；【详解】解：（1）由题意得22222211,2,a b ca abc ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得：2a =，b =c =所以椭圆C 的方程为22142x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立222,1,42y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 并化简整理得()2221840k x kx +-+=，则有122821k x x k +=+，122421x x k =+ ()222164162102k k k ∆=-+>⇒>，又()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =--=-++， 由DA DB ⊥得()()1212220x x y y --+=()()2121212(1)80k x x k x x ⇒+-+++=()2224812(1)802121kk k k k ⇒+-++=++2430k k ⇒-+=，解得3k =或1k =.当1k =时，直线l 过点(2,0)D ，与题意不符； 当3k =时，直线l 不过点(2,0)D ，符合题意，故直线l 的方程为32y x =-. 【点睛】本题考查待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，属于中档题.21．（1）证明见解析；（2）17【分析】（1）G 为CD 的中点，由线面平行的判定即有//PC 面AFG ，//EC 面AFG ，又PC EC C ⋂=，由面面平行判定即有面//PCE 面AFG ，由面面平行的性质即得证；（2）构建以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴构建空间直角坐标系，求面PCE 的法向量与斜线方向向量的夹角余弦值，结合它与线面角的关系即可求得PD 与平面PCE 所成角的正弦值 【详解】（1）若G 为CD 的中点，连接FG 、AG ，如下图示∵E 、F 分别是AB 、PD 的中点∴//FG PC ，且//AE GC ，AE GC =即AGCE 为平行四边形，有//AG EC 又由FGAG G =，PC ⊄面AFG ，EC ⊄面AFG∴//PC 面AFG ，//EC 面AFG ，又PC EC C ⋂=，即面//PCE 面AFG 由AF ⊂面AFG ，即有//AF 面PCE 得证（2）由四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，且二面角P CD B --为45︒，即有AP 、AB 、AD 两两垂直，且45PDA ∠=︒∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴构建空间直角坐标系由2AD =，3CD =，知：(3,2,0)C ，(0,2,0)D ，3(,0,0)2E ，(0,0,2)P∴(0,2,2)PD =-，(3,2,2)PC =-，3(,0,2)2PE =- 令(,,)m x y z =为面PCE 的一个法向量，则32203202x y z x z +-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，若1x =有33(1,,)44m =- ∴317cos ,PD m PD m PD m⋅==由平面法向量与斜线的方向量的夹角与线面角的关系，知：PD 与平面PCE 所成角的正弦【点睛】本题考查了由面面平行判定证面面平行，利用面面平行性质定理证明线面平行，通过构建空间直角坐标系，求平面法向量与斜线方向向量夹角的余弦值，根据其与线面角的关系求线面角的正弦值22．(1) 22143x y +=(2) 7M ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）由题意可得：a ﹣b 2=12c a =，a 2＝b 2+c 2．联立解得：a ，c ，b ．可得椭圆C 的标准方程．（2）设M （t ，0），P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）．分类讨论：①当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：x ＝my +t ．与椭圆方程联立化为：（3m 2+4）y 2+6mty +3t 2﹣12＝0．△＞0．可得|PM |22211()x t y =-+=（1+m 2）21y ，同理可得：|PQ |2＝（1+m 2）22y ．把根与系数的关系代入()2222212111111y y m PMQM⎛⎫+=+ ⎪+⎝⎭，化简整理可得．②当直线l 的斜率为0时，设P （2，0），Q （﹣2，0）．|PM |＝|t +2|，|QM |＝|2﹣t |．代入同理可得结论． 【详解】（1）由题意可得：2a b -=12c a =，222a b c =+． 联立解得：2a =，1c =，b =C 的标准方程为：22143x y +=.（2）设(),0M t ，()11,P x y ，()22,Q x y ．①当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：x my t =+．联立223412x my t x y =+⎧⎨+=⎩，化为：()2223463120my mty t +++-=．()2248340m t ∆=-+>．∴122634mt y y m +=-+，212231234t y y m -=+． ()()222211121x t y m y PM -+=+=，同理可得：()22221PQ m y =+．∴()2222221111111y MQMy m P ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭()()()212122212211y y y y m y y +-=+()()()222222222223123634341131234t m t m m m t m --++=⋅+⎛⎫- ⎪+⎝⎭()()()()2222222312164314t m t mt=⎡⎤++-⎣⎦+-.∵2211PMQM +为定值，∴必然有22312164t t +=-，解得7t =±． 此时221179PMQM+=为定值，M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． ②当直线l 的斜率为0时，设()2,0P ，()2,0Q -．2PM t =+，2QM t =-．此时()()()2222222111128224t t PMQ t t M+=+=-++-，把247t =代入可得：221179PMQM+=为定值． 综上①②可得：221179PMQM+=为定值，,07M ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集为R ,集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭,{}2|680B x x x =-+≤,则R A C B =A.{}|0x x ≤B.{}|24x x ≤≤C.{}|024x x x ≤<>或 D.{}|024x x x <≤≥或2.已知a 是实数，i1ia -+是纯虚数，则a =A.1B.1- C.2 D.3.“18a =”是“对任意的正数x ，21ax x+≥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为A.540B.300C.180D.1505.设113244342,,433a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是A.c a b << B.c b a <<C.a c b<< D.b c a<<6．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何?”意思是：“现有一根金箠，一头粗，一头细．在粗的一端截下一尺，重四斤；在细的一端截下一尺，重二斤．问依次每一尺各重几斤?”根据己知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为A ．6斤B ．9斤C ．10斤D ．12斤7.已知函数(),0,1ln ,xx x f x x x x⎧≤⎪⎪-=⎨⎪>0.⎪⎩若关于x 的方程，()f x x a =+无实根，则实数a 的取值范围为A.()1,0,1e ⎛⎫-∞⎪⎝⎭B.(－1，0)C.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0，1)8.我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若AB = a ,=AD b ，E 为BF 的中点，则AE =A.45a ＋25b B ．25a ＋45bC.43a ＋23b D ．23a ＋43b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

商河县第一中学2021届高三期末考试数学试题本试卷共6页，22题，全卷满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =(其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}260,10=A x x x B x x A B =--≤=-<⋃，则 A. (]3-∞，B ．(]2-∞，C. ()1-∞，D ．[)21-，2．若复数z 满足()12z i i +=-(其中i 为虚数单位)，则z 的共轭复数是 A. 1i -B ．1+iC. 1i --D ．1i -+3．设x R ∈，则“24x>”是“()110g x ->”的 A. 充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C. 充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数()ln ,0,0,xx x x f x x x e >⎧⎪=⎨≤⎪⎩，则函数()1y f x =-的图象大致是5．看抛物线()220y px p =>的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于A ，B两点，且8AB =，则弦AB 的中点到y 轴的距离为 A.2B ．3C ．4D ．66．已知函数()()()21111ln 5ln 25f x g x x f f ⎛⎫=++++= ⎪⎝⎭，则 A.0B ．12C.1D ．27．考古发现，在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857，因为142857×2=285714，142857×3=428571，…，所以这组数字又叫走马灯数．该组数字还有如下规律：142+857=999，571+428=999，…．若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任意取出3个数字构成一个三位数x ，则999x -的结果恰好是剩下3个数字构成的一个三位数的概率为 A.45B ．35C.25D ．3108．若F 为双曲线22:145x y C -=的左焦点，过原点的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，则14FA FB-的取值范围是 A. 11,45⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 1,04⎛⎤-⎥⎝⎦D ．11,45⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．习总书记讲到：“广大人民群众坚持爱国奉献，无怨无悔，让我感到千千万万普通人最伟大，同时让我感到幸福都是奋斗出来的”．某企业2019年12个月的收入与支出数据的折线图如下：已知：利润=收入－支出，根据该折线图，下列说法正确的是A.该企业2019年1月至6月的总利润低于2019年7月至12月的总利润B.该企业2019年第一季度的利润约是60万元C.该企业2019年4月至7月的月利润持续增长D.该企业2019年11月份的月利润最大10．声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数sin y A t ω=，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数()1sin sin 22f x x x =+，则下列结论正确的是 A. 2π是()f x 的一个周期B. ()f x 在[]0.2π上有3个零点B. ()f x 的最大值为334D ．()02f x π⎡⎤⎢⎥⎣⎦在，上是增函数11．给定两个不共线的空间向量a b 与，定义叉乘运算：a b ⨯．规定：①a b ⨯为同时与,a b 垂直的向量；②,,a b a a ⨯三个向量构成右手系(如图1)；③sin ,a b a b a b ⨯=． 如图2，在长方体111112,4ABCD A B C D AB AD AA -===中，，则下列结论正确的是A. 1AB AD AA ⨯=B. AB AD AD AB ⨯=⨯C. ()111AB AD AA AB AA AD AA +⨯=⨯+⨯D ．长方体1111ABCD A B C D -的体积()1V AB AD CC =⨯⋅12．若实数,a b 满足2332a b a b +=+，则下列关系式中可能成立的是 A. 01a b <<< B ．0b a << C ．1a b <<D ．a b =三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．()52x y -的展开式中，含32x y 项的系数为_________(用数字作答)． 14．已知sin 3cos tan 236ππααα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则的值为________． 15．平行四边形ABCD 中，M 为CD 的中点，点N 满足2BN NC AB AM AN λμ==+，若，则λμ+的值为_________．16．如图，矩形ABCD 中，23,2,AB AD Q ==为BC 的中点，点M ，N 分别在线段AB ，CD 上运动(其中M 不与A ，B 重合，N 不与C ，D 重合)，且MN ∥AD ，沿MN 将△DMN 折起，得到三棱锥D —MNQ ，则三棱锥D —MNQ 体积的最大值为_______；当三棱锥D —MNQ 体积最大时，其外接球的表面积的值为________．(本题第一空2分，第二空3分．)四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)在①2222b ac a c +=+，②cos sin a B b A =，③sin cos 2B B +=这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，_______，,23A b ABC π==∆，求的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．(12分)如图，五面体ABCDEF 中，正方形ABCD 的边长为222AB EF =，，点P 在线段DE 上，且2,DP PE Q =为BC 的中点．(1)求证：//BE 平面APQ ；(2)已知AE ⊥平面ABCD ，且AE=2，求二面角P —AF —E 的余弦值． 19．(12分)数学家也有一些美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：()221n n F n N =+∈是质数．1732年，瑞士数学家欧拉算出56416700417F =⨯，该数不是质数．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且()()2log 11n n S F n N +=--∈． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()211log n n b n a +=+，设n T 为数列2n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求出n T ，并证明：对任意n N +∈，12n T ≤<.20．(12分)截止到2018年末，我国公路总里程达到484．65万公里，其中高速公路达到14.26万公里，规模居世界第一．与此同时，行车安全问题也成为管理部门关注的重点．右图是某部门公布的一年内道路交通事故成因分析，由图可知，超速驾驶已经成为交通事故的一个主要因素．研究表明，急刹车时的停车距离等于反应距离与制动距离的和，下表是根据某部门的调查结果整理所得的数据(v 表示行车速度，单位：1km ／h ；1d ，2d 分别表示反应距离和制动距离，单位：m)．(1)从一年内发生的道路交通事故中随机抽出3起进行分析研究，求其中恰好有1起属于超速驾驶的概率(用频率代替概率)；(2)已知2d 与υ的平方成正比，且当行车速度为100km ／h 时，制动距离为65m.(i)由表中数据可知，d 1与v 之间具有线性相关关系，请建立1d 与υ之间的回归方程，并估计车速为110 km ／h 时的停车距离；(ii)我国《道路交通安全法》规定：车速超过100 km ／h 时，应该与同车道前车保持100m 以上的距离，请解释一下上述规定的合理性． 参考数据：()()101010102111111110331004,210,22187.3,106054,0.2152524i i i i i i i i d i d υυυ========≈∑∑∑∑参考公式：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅，其回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121,niii nii x x y y b a y bx x x ==--==--∑∑．21．(12分)已知12,F F 分别为椭圆()2222:1x y C a b a b+=>>0的左、右焦点，P 为C 上的动点，其中P到F 1的最短距离为1，且当12PF F ∆的面积最大时，12PF F ∆恰好为等边三角形． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)以椭圆长轴为直径的圆叫做椭圆的“外切圆”，记椭圆C 的外切圆为E ． (i)求圆E 的方程；(ii)在平面内是否存在定点Q ，使得以PQ 为直径的圆与E 相切，若存在，求出定点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．22．(12分) 已知函数()ln x f x k x =+是的极大值为1ee+，其中 2.71828e =…为自然对数的底数． (1)求实数k 的值； (2)若函数()x ag x e x=-，对任意()()()0,x g x af x ∈+∞≥，恒成立． (i)求实数a 的取值范围；(ii)证明：()22sin 1x f x a x x >+-.。