中考数学33.阅读理解及新定义

2021年中考数学核心考点强化突破：阅读理解、新定义问题类型1新定义问题1．在平面直角坐标系中,任意两点A（x1，y1)，B(x2，y2)，规定运算:①A⊕B＝（x1＋x2,y1＋y2）；②A⊗B＝x1x2＋y1y2；③当x1＝x2且y1＝y2时，A＝B，有下列四个命题：(1)若A（1,2）,B （2，－1)，则A⊕B＝（3，1），A⊗B＝0；（2）若A⊕B＝B⊕C，则A＝C;(3）若A⊗B＝B⊗C，则A＝C；（4)对任意点A、B、C,均有(A⊕B）⊕C＝A⊕（B⊕C）成立．其中正确命题的个数为（ C )A．1个B．2个C．3个D．4个解析:(1）A⊕B＝(1＋2，2－1）＝（3,1）,A⊗B＝1×2＋2×（－1）＝0，所以(1)正确；(2）设C（x3，y3)，A⊕B＝（x1＋x2，y1＋y2)，B⊕C＝(x2＋x3，y2＋y3），而A⊕B＝B⊕C，所以x1＋x2＝x2＋x3，y1＋y2＝y2＋y3，则x1＝x3，y1＝y3，所以A＝C,所以（2)正确；(3）A⊗B＝x1x2＋y1y2,B⊗C＝x2x3＋y2y3,而A⊗B ＝B⊗C，则x1x2＋y1y2＝x2x3＋y2y3，不能得到x1＝x3，y1＝y3，所以A≠C，所以(3）不正确；(4）因为（A⊕B）⊕C＝（x1＋x2＋x3，y1＋y2＋y3）,A⊕(B⊕C)＝(x1＋x2＋x3，y1＋y2＋y3），所以(A⊕B)⊕C＝A⊕(B⊕C)，所以（4）正确．2．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（m,n)，规定以下两种变换：(1）f（m,n）＝（m，－n），如f(2，1）＝(2,－1)；（2）g（m，n)＝（－m，－n），如g(2，1）＝（－2，－1）按照以上变换有：f［g(3，4)］＝f(－3,－4)＝(－3,4），那么g［f（－3，2)］＝__(3，2）__．解：∵f(－3，2)＝(－3，－2),∴g［f(－3，2）］＝g（－3，－2）＝(3，2）．3．平面直角坐标系中有两点M（a，b），N(c,d)，规定（a，b)⊕(c，d)＝(a＋c，b＋d），则称点Q（a＋c，b＋d）为M,N的“和点”．若以坐标原点O与任意两点及它们的“和点”为顶点能构成四边形,则称这个四边形为“和点四边形”，现有点A(2，5），B(－1，3）,若以O，A,B,C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，则点C的坐标是__(1，8)__．解析：已知以O，A,B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”,根据题意可得点C的坐标为(2－1,5＋3），即C（1，8）4．已知抛物线y1＝a1x2＋b1x＋c1,y2＝a2x2＋b2x＋c2，且满足错误!＝错误!＝错误!＝k（k≠0，1）．则称抛物线y1，y2互为“友好抛物线”，则下列关于“友好抛物线"的说法正确的是( D ）A．y1，y2开口方向,开口大小不一定相同．B．y1，y2的对称轴相同．C．如果y1与x轴有两个不同的交点，则y2与x轴也有两个不同的交点．D．如果y2的最大值为m,则y1的最大值为km。

2021年中考数学专题复习：新定义和阅读理解题“新定义”题指给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，“给什么，用什么”是应用新“定义”解题的基本思路．这类试题的特点：源于中学数学内容但又是学生没有遇到过的新信息，它可以是新的概念、新的运算、新的符号、新的图形、新的定理或新的操作规则与程序等等．在解决它们过程中又可产生了许多新方法、新观念，增强了学生创新意识．阅读理解题源于课本，高于课本，既考查阅读能力，又综合考查学生的数学意识和数学综合应用能力，尤其侧重于考查学生的数学思维能力和创新意识. 这类题目的结构一般为：给出一段阅读材料，学生通过阅读，将材料所给的信息加以搜集整理，在此基础上，按照题目的要求进行推理解答．一、新定义1．对于任意两个不相等的数a，b定义一种新运算“⊕”如下：a⊕b＝a＋ba－b，如：3⊕2＝3＋23－2＝5，那么12⊕4＝________．2．定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝(a＋b)(a－b)－1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4*3＝(4＋3)(4－3)－1＝7－1＝6.若x*k＝x(k为实数)是关于x的方程，则它的根的情况为()A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根3．已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[4.8]＝4，[－0.8]＝－1.现定义：{x}＝x－[x]，例：{1.5}＝1.5－[1.5]＝0.5，则{3.9}＋{－1.8}－{1}＝________.4．用⊕定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m⊕n＝m2n－mn－3n，如：1⊕2＝12×2－1×2－3×2＝－6.(1)求(－2)⊕3；(2)若3⊕m≥－6，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．5．定义：分数nm(m，n为正整数且互为质数)的连分数1a1＋1a2＋1a3＋…(其中a1，a2，a3，…为整数，且等式右边的每一个分数的分子都为1)，记作n m ＝⊕ 1a 1＋1a 2＋1a 3＋…，例如719＝⊕1197＝12＋57＝12＋175＝12＋11＋25＝12＋11＋152＝12＋11＋12＋12，719的连分数为12＋11＋12＋12，记作719＝⊕12＋11＋12＋12，则________＝⊕11＋12＋13.6．定义一种新运算⎠⎛b a n·x n －1dx ＝a n －b n ，例如⎠⎛n k 2xdx ＝k 2－n 2，若⎠⎛5mm －x －2dx ＝－2，则m＝( )A ．－2 B. －25 C ．2 D.257．在平面直角坐标系xOy 中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”．下列函数的图象中不存在“好点”的是( )A ．y ＝－xB ．y ＝x ＋2C ．y ＝2xD ．y ＝x 2－2x8．对于一个函数，自变量x 取c 时，函数值y 等于0，则称c 为这个函数的零点．若关于x 的二次函数y ＝－x 2－10x ＋m(m≠0)有两个不相等的零点x 1，x 2(x 1＜x 2)，关于x 的方程x 2＋10x －m －2＝0有两个不相等的非零实数根x 3，x 4(x 3＜x 4)，则下列关系式一定正确的是( A )A ．0＜x 1x 3<1 B.x 1x 3>1 C ．0<x 2x 4<1 D.x 2x 4>1二、阅读理解题1．阅读理解：已知两点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则线段MN 的中点K(x ，y)的坐标公式为：x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.如图，已知点O 为坐标原点，点A(－3，0)，⊕O 经过点A ，点B 为弦PA 的中点．若点P(a ，b)，则有a ，b 满足等式：a 2＋b 2＝9.设B(m ，n)，则m ，n 满足的等式是( )A ．m 2＋n 2＝9 B.922322=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-n mC ．(2m ＋3)2＋(2n)2＝3D ．(2m ＋3)2＋4n 2＝9 2．已知点P(x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离可表示为d ＝||kx 0＋b －y 01＋k 2，例如：点(0，1)到直线y ＝2x ＋6的距离d ＝||2×0＋6－11＋22＝ 5.据此进一步可得两条平行线y ＝x 和y ＝x －4之间的距离为________．3．阅读材料：设a→＝(x 1，y 1)，b→＝(x 2，y 2)，如果a→⊕b→，则x 1·y 2＝x 2·y 1.根据该材料填空，已知a→＝(4，3)，b→＝(8，m)，且a→⊕b→，则m ＝________. 4．阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(J.Nplcr ，1550－1617年)，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉(Evlcr ，1707－1783年)才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若a x ＝N(a ＞0且a≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log 216，对数式2＝log 525可以转化为指数式52＝25.我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log a (M·N)＝log a M ＋log a N(a ＞0，a≠1，M ＞0，N ＞0)，理由如下： 设log a M ＝m ，log a N ＝n ，则M ＝a m ，N ＝a n ， ⊕M·N ＝a m ·a n ＝a m＋n，由对数的定义得m ＋n ＝log a (M·N) 又⊕m ＋n ＝log a M ＋log a N ， ⊕log a (M·N)＝log a M ＋log a N. 根据阅读材料，解决以下问题：(1)将指数式34＝81转化为对数式___________________________________；(2)log a MN ＝__________.(a ＞0，a≠1，M ＞0，N ＞0) (3)拓展运用：计算log 69＋log 68－log 62＝________. 5．阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a 1，排在第二位的数称为第二项，记为a 2，依次类推，排在第n 位的数称为第n 项，记为a n .所以，数列的一般形式可以写成：a 1，a 2，a 3，…，a n ，….一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d 表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中a 1＝1，a 2＝3，公差为d ＝2.根据以上材料，解答下列问题：(1)等差数列5，10，15，…的公差d 为________，第5项是________．(2)如果一个数列a 1，a 2，a 3，…，a n …，是等差数列，且公差为d ，那么根据定义可得到：a 2－a 1＝d ，a 3－a 2＝d ，a 4－a 3＝d ，…，a n －a n －1＝d ，….所以 a 2＝a 1＋da 3＝a 2＋d ＝(a 1＋d)＋d ＝a 1＋2d ， a 4＝a 3＋d ＝(a 1＋2d)＋d ＝a 1＋3d ， ……由此，请你填空完成等差数列的通项公式： a n ＝a 1＋(________)d.(3)－4041是等差数列－5，－7，－9…的第________项． 6．阅读下面的材料：如果函数y ＝f(x)满足：对于自变量x 的取值范围内的任意x 1，x 2， (1)若x 1＜x 2，都有f(x 1)＜f(x 2)，则称f(x)是增函数； (2)若x 1＜x 2，都有f(x 1)＞f(x 2)，则称f(x)是减函数． 例题：证明函数f(x)＝6x (x ＞0)是减函数． 证明：设0＜x 1＜x 2，f(x 1)－f(x 2)＝6x 1－6x 2＝6x 2－6x 1x 1x 2＝6（x 2－x 1）x 1x 2. ⊕0＜x 1＜x 2，⊕x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0.⊕6（x 2－x 1）x 1x 2＞0.即f(x 1)－f(x 2)＞0. ⊕f(x 1)＞f(x 2)．⊕函数f(x)＝6x (x ＞0)是减函数． 根据以上材料，解答下面的问题： 已知函数f(x)＝1x2＋x(x ＜0)，f(－1)＝1（－1）2＋(－1)＝0，f(－2)＝1（－2）2＋(－2)＝－74. (1)计算：f(－3)＝________，f(－4)＝________；(2)猜想：函数f(x)＝1x 2＋x(x ＜0)是________函数(填“增”或“减”)．参考答案一 1.2 2.C 3.1.14．解：(1)(－2)※3＝(－2)2×3－(－2)×3－33＝43＋23－33＝3 3.(2)∵3※m ≥－6，∴32·m －3m －3m ≥－6. 解得：m ≥－2.将解集表示在数轴上如下：5.710 6.B 7.B 8.A二 1.D 2.22 3.6 4.(1)4＝log 381(或log 381＝4) (2)log a M －log a N (3)2 5.(1)5 25 (2)n －1 (3)2019 6.(1)－269 －6316 (2)增。

初中数学论文：中考数学“新定义”试题浅析中考数学“新定义”试题浅析随着新课改的深入，中考试题中考查学生的学习能力，促进学生发展的创新型试题不断地涌现。

而“新定义”试题是创新型试题的主要表现之一，也是2022年中考数学试题中的一个热点。

“新定义”试题具有新颖公平的问题背景，且与已学数学知识密切关联的知识基础，能有效考查学生的数学阅读理解能力和运用已学知识分析问题、解决问题的综合能力，在中考试题中有较好地效度。

现举例说明如下：考点一：利用“新定义”构建数、式模型例1、（2022年绍兴市）李老师从油条的制作受到启发，设计了一个数学问题：如图，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB，对折后（点A 与B重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（如在第一次操作后，原线段AB上的1，4311均变成，变成1，等）．那么在线段AB上（除A，B）的点中，在第二次操作422后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数之和是____________．AB0 1 21 ?3 ?2 ?1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （例3图）1311，均变成，变成1，∴在第二次操作后，44221313原线段AB上的，均变成1，∴点所对应的数之和是??1。

4444解：∵在第一次操作后，原线段AB上的【剖析】本题是一道PISA型试题，以学生已学的数轴和已有的生活经验为基础，对某种操作进行了新的定义。

解答本题，关键是要读懂新定义中“一次操作”的真正含义：先对折再拉长到与原线段长度相等的线段即为1个单位长度。

第一次操作后，在拉长后1处为对折点，均匀21131变成1，原线段AB上的，均变成，这在题目中已有提示。

第二次操作后，2442113在线段处有两个数和为对折点，均匀拉长后这两个数都江堰市变为1，根据题意，24413在第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点对应的数为和，这样马上可以得出结论。

4413解：??1。

冲刺中考数学题型全揭秘创新题型新定义计算+阅读理解
冲刺2022年中考数学题型全揭秘——创新题型新定义计算+阅读理解
根据其类型,采用不同的思路.一般地:
(1)定义概念、法则型阅读理解题以纯文字、符号或图形的形式定义一种全新的概念、公式或法则等.解答时要在阅读理解的基础上解答问题.解答这类问题时,要善于挖掘定义的内涵和本质,要能够用旧知识对新定义进行合理解释,进而将陌生的定义转化为熟悉的旧知识去理解和解答。

(2)解题示范、新知模仿型阅读理解题以范例的形式给出,并在求解的过程中暗示解决问题的思路技巧,再以思路技巧为载体设置类似的问题.解决这类问题的常用方法是类比、模仿和转化;正误辨析型阅读理解题抓住学生学习中的薄弱环节和思维漏洞,“刻意”地制造迷惑,使得解答过程似是而非.解答时主要是通过对数学公式、法则、方法和数学思想的准确掌握,运用其进行是非辨别.
(3)迁移探究与拓展应用型,即阅读新问题,并运用新知识探究问题或解决问题,解答这类题的关键是认真阅读其内容,理解其实质,把握其方法、规律,然后加以解决.。

中考数学复习《新定义及阅读理解型问题》测试题（含答案）题型解读1.考查题型：①新定义计算型；②阅读理解型；③新定义与阅读理解结合题. 2.考查内容：①新定义下的实数运算；②涉及“新定义”的阅读理解及材料分析；③与函数、多边形、圆结合，通过材料或定义进行相关证明或计算.3.在做此类题型时，首先要理解新定义的运算方式，提升从材料阅读中提取信息的能力，结合已知条件中的推理方法，学以致用，便可得以解决．1.对于实数a ，b ，定义一种新运算“⊗”为：a ⊗b ＝1a －b 2，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3＝11－32＝－18，则方程x ⊗(－2)＝2x －4－1的解是( ) A . x ＝4 B . x ＝5 C . x ＝6 D . x ＝72.对于实数a 、b ，我们定义符号max {a ，b}的意义为：当a≥b 时，max {a ，b}＝a ；当a ＜b 时，max {a ，b}＝b ；如max {4，－2}＝4，max {3，3}＝3.若关于x 的函数为y ＝max {x ＋3，－x ＋1}，则该函数的最小值是( )A . 0B . 2C . 3D . 43.我们根据指数运算，得出了一种新的运算，下表是两种运算对应关系的一组实例：根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log 216＝4，②log 525＝5，③log 212＝－1.其中正确的是( )A . ①②B . ①③C . ②③D . ①②③4.设a ，b 是实数，定义关于@的一种运算如下：a@b ＝(a ＋b)2－(a －b)2，则下列结论：( ) ①若a@b ＝0，则a ＝0或b ＝0； ②a@(b ＋c)＝a@b ＋a@c ；③不存在实数a ，b ，满足a@b ＝a 2＋5b 2;④设a ，b 是矩形的长和宽，若该矩形的周长固定，则当a ＝b 时，a@b 的值最大． 其中正确的是( )A . ②③④B . ①③④C . ①②④D . ①②③5.对于实数a ，b ，定义运算“*”：a*b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab （a≥b）a －b （a<b ），例如：因为 4>2，所以4*2＝42－4×2＝8，则(－3)*(－2)＝________．6.规定：log a b(a>0，a ≠1，b>0)表示a ，b 之间的一种运算． 现有如下的运算法则：log a a n＝n ，log N M ＝log a Mlog a N(a>0，a ≠1，N>0，N ≠1，M>0)， 例如：log 223＝3，log 25＝log 105log 102，则log 1001000＝________．第7题图7.实数a ，n ，m ，b 满足a<n<m<b ，这四个数在数轴上对应的点分别是A ，N ，M ，B(如图)．若AM 2＝BM·AB，BN 2＝AN·AB，则称m 为a ，b 的“黄金大数”，n 为a ，b 的“黄金小数”，当b －a ＝2时，a ，b 的黄金大数与黄金小数之差m －n ＝________． 8.请阅读下列材料，并完成相应的任务： 阿基米德折弦定理阿基米德(Archimedes ，公元前287～公元前212年，古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯Al －Biruni(973年～1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al －Biruni 译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理． 阿基米德折弦定理：如图①，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线ABC 是圆的一条折弦)，BC>AB ，M 是ABC ︵的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD ＝AB ＋BD.下面是运用“截长法”证明CD ＝AB ＋BD 的部分证明过程．证明：如图②，在CB 上截取CG ＝AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG. ∵M 是ABC ︵的中点， ∴MA ＝MC. …图① 图②任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)填空：如图③，已知等边△ABC 内接于⊙O，AB ＝2，D 为AC ︵上一点，∠ABD ＝45°，AE ⊥BD 于点E ，则△BDC 的周长是________．图③9.如果三角形三边的长a 、b 、c 满足a ＋b ＋c3＝b ，那么我们就把这样的三角形叫做“匀称三角形”．如：三边长分别为1，1，1或3，5，7，…的三角形都是“匀称三角形”．(1)如图①，已知两条线段的长分别为a 、c(a<c)，用直尺和圆规作一个最短边、最长边的长分别为a 、c 的“匀称三角形”(不写作法，保留作图痕迹)；(2)如图②，△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线交AB 延长线于点E ，交AC 于点F.若BE CF ＝53，判断△AEF 是否为“匀称三角形”？请说明理由．10.我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：n ＝p×q(p，q 是正整数，且p≤q)，在n 的所有这种分解中，如果p ，q 两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q 是n 的最佳分解，并规定：F(n)＝pq .例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12－1>6－2>4－3，所以3×4是12的最佳分解，所以F(12)＝34. (1)如果一个正整数a 是另外一个正整数b 的平方，我们称正整数a 是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m ，总有F(m)＝1；(2)如果一个两位正整数t ，t ＝10x ＋y(1≤x≤y≤9，x ，y 是自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t 为“吉祥数”．求所有“吉祥数”中F(t)的最大值．11.已知点P(x 0，y 0)和直线y ＝kx ＋b ，则点P 到直线y ＝kx ＋b 的距离d 可用公式d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2计算． 例如：求点P(－1，2)到直线y ＝3x ＋7的距离． 解：因为直线y ＝3x ＋7，其中k ＝3，b ＝7，所以点P(－1，2)到直线y ＝3x ＋7的距离为d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|3×（－1）－2＋7|1＋32＝210＝105. 根据以上材料，解答下列问题：(1)求点P(1，－1)到直线y ＝x －1的距离；(2)已知⊙Q 的圆心Q 坐标为(0，5)，半径r 为2，判断⊙Q 与直线y ＝3x ＋9的位置关系并说明理由； (3)已知直线y ＝－2x ＋4与y ＝－2x －6平行，求这两条直线之间的距离．12.【图形定义】如图，将正n 边形绕点A 顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O ，连接AO ，我们称AO 为“叠弦”；再将“叠弦”AO 所在的直线绕点A 逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P ，连接PO ，我们称∠OAB 为“叠弦角”，△AOP 为“叠弦三角形”． 【探究证明】(1)请在图①和图②中选择其中一个证明：“叠弦三角形”(即△AOP)是等边三角形； (2)如图②，求证：∠OAB＝∠OAE′. 【归纳猜想】(3)图①、图②中“叠弦角”的度数分别为__________，__________； (4)图中，“叠弦三角形”__________等边三角形(填“是”或“不是”)； (5)图中，“叠弦角”的度数为__________(用含n 的式子表示)．13.若抛物线L ：y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，abc ≠0)与直线l 都经过y 轴上的一点P ，且抛物线L 的顶点Q 在直线l 上，则称此直线l 与该抛物线L 具有“一带一路”关系．此时直线l 叫做抛物线L 的“带线”，抛物线L 叫做直线l 的“路线”．(1)若直线y ＝mx ＋1与抛物线y ＝x 2－2x ＋n 具有“一带一路”关系，求m ，n 的值；(2)若某“路线”L 的顶点在反比例函数y ＝6x 的图象上，它的“带线”l 的解析式为y ＝2x －4，求此“路线”L 的解析式；(3)当常数k 满足12≤k≤2时，求抛物线L ：y ＝ax 2＋(3k 2－2k ＋1)x ＋k 的“带线”l 与x 轴，y 轴所围成的三角形面积的取值范围．1. B 【解析】根据题意a ⊗b ＝1a －b 2，则 x ⊗(－2)＝1x －（－2）2＝1x －4，又∵x ⊗(－2)＝2x －4－1，∴1x －4＝2x －4－1，解得x ＝5，经检验x ＝5是原方程的根，∴原方程x ⊗(－2)＝2x －4－1的解是x ＝5. 2. B 【解析】当x ＋3≥－x ＋1时，max{x ＋3，－x ＋1}＝x ＋3，此时x ≥－1，∴y ≥2；当x ＋3＜－x ＋1时，max{x ＋3，－x ＋1}＝－x ＋1，此时x ＜－1，∴y ＞2.综上y 的最小值为2.3. B 【解析】①∵24＝16，∴log 216＝4，故①正确；②∵52＝25，∴log 525＝2，故②不正确；③∵2－1＝12，∴log 212＝－1，故③正确． 4. C 【解析】∵a @b ＝(a ＋b )2－(a －b )2，若a @b ＝0，则(a ＋b )2－(a －b )2＝0，∴(a ＋b )2＝(a －b )2, ∴a ＋b ＝±(a －b )，∴a ＝0或b ＝0，∴①正确；∵a @b ＝(a ＋b )2－(a －b )2，∴a @(b ＋c )＝[a ＋(b ＋c )]2－[a －(b ＋c )]2＝[a ＋(b ＋c )＋a －(b ＋c )][a ＋(b ＋c )－(a －b －c )]＝4ab ＋4ac ，∵a @b ＋a @c ＝(a ＋b )2－(a －b )2＋(a ＋c )2－(a －c )2＝a 2＋2ab ＋b 2－a 2＋2ab －b 2＋a 2＋2ac ＋c 2－ a 2＋2ac －c 2＝4ab ＋4ac ，∴a @(b ＋c )＝a @b ＋a @c ，∴②正确；∵a @b ＝(a ＋b )2－(a －b )2＝ a 2＋2ab ＋b 2－a 2＋2ab －b 2＝4ab ，当a ＝b ＝0时，满足a @b ＝a 2＋5b 2，∴③错误；若矩形的周长固定，设为2c ，则2c ＝2a ＋2b ，b ＝c －a ，a @b ＝(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab ＝4a (c －a )＝－4(a －12c )2＋c 2，∴当a ＝12c 时，4ab 有最大值是c 2，即a ＝b 时，a @b 的值最大，∴④正确．综上，正确结论有①②④.5. －1 【解析】根据新定义，当a<b 时，a*b ＝a －b 列出常规运算，进行计算便可．∵－3<－2，∴由定义可知，原式＝－3－(－2)＝－1.6. 32 【解析】根据新运算法则，得log 1001000＝log 101000log 10100＝log 10103log 10102＝32. 7. 25－4 【解析】设AN ＝y ，MN ＝x ，由题意可知：AM 2＝BM ·AB ，∴(x ＋y)2＝2(2－x －y)，解得x ＋y ＝5－1(取正)，又BN 2＝AN·AB ，∴(2－y)2＝2y ，解得y ＝3－5(y ＜2)，∴m －n ＝MN ＝x ＝5－1－(3－5)＝25－4，故填25－4.8. 解：(1)又∵∠A ＝∠C ，CG ＝AB. ∴△MBA ≌△MGC(SAS )，∴MB ＝MG . 又∵MD ⊥BC ， ∴BD ＝GD ，∴CD ＝CG ＋GD ＝AB ＋BD. (2)2＋2 2.【解法提示】折线BDC 为⊙O 的一条折弦，由题意知A 为BDC ︵中点，由材料中折弦定理易得BE ＝DE ＋CD ，在Rt △ABE 中可得BE ＝2，所以△BCD 周长为BC ＋CD ＋DE ＋BE ＝2＋2 2.9. 解：(1)作图如解图①.第9题解图①(2)△AEF是“匀称三角形”．理由如下：如解图②，第9题解图②连接AD、OD，∵AB是⊙O直径，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴D是BC中点，∵O是AB中点，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC.∵DF切⊙O于D点，∴OD⊥DF，∴EF⊥AF，过点B作BG⊥EF于点G，易证Rt△BDG≌Rt△CDF(AAS)，∴BG＝CF，∵BECF＝53，∴BEBG＝53，∵BG∥AF(或Rt△BEG∽Rt△AEF)，∴BEBG＝AEAF＝53.在Rt△AEF中，设AE＝5k，则AF＝3k，由勾股定理得，EF＝4k，∴AF＋EF＋AE3＝3k＋4k＋5k3＝4k＝EF，∴△AEF是“匀称三角形”．10. (1)证明：∵m是一个完全平方数，∴m＝p×q，当p＝q时，p×q就是m的最佳分解，∴F(m)＝pq＝pp＝1.(2)解：由题意得，(10y＋x)－(10x＋y)＝18，得y＝x＋2(y≤9)，∴t＝10x＋y＝10x＋x＋2＝11x＋2(1≤x≤7)，则所有的“吉祥数”为：13，24，35，46，57，68，79共7个，∵13＝1×13，24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，35＝1×35＝5×7，46＝1×46＝2×23，57＝1×57，68＝1×68＝2×34＝4×17，79＝1×79，∴F(13)＝113，F(24)＝46＝23，F(35)＝57，F(46)＝223，F(57)＝157，F(68)＝417，F(79)＝179，∴“吉祥数”中F(t)的最大值为：F(35)＝57.11. 解：(1)∵直线y ＝x －1，其中k ＝1，b ＝－1， ∴点P(1，－1)到直线y ＝x －1的距离为： d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|1－（－1）－1|1＋12＝12＝22.(2)相切．理由如下：∵直线y ＝3x ＋9，其中k ＝3，b ＝9，∴圆心Q(0，5)到直线y ＝3x ＋9的距离为d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|3×0－5＋9|1＋（3）2＝42＝2，又∵⊙Q 的半径r 为2，∴⊙Q 与直线y ＝3x ＋9的位置关系为相切．(3)在直线y ＝－2x ＋4上任意取一点P ， 当x ＝0时，y ＝4， ∴P(0，4)，∵直线y ＝－2x －6，其中k ＝－2，b ＝－6，∴点P(0，4)到直线y ＝－2x －6的距离为d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|－2×0－4－6|1＋（－2）2＝105＝25，∴这两条直线之间的距离为2 5.12. (1)选择图①.证明：依题意得∠DAD′＝60°，∠PAO ＝60°. ∵∠DAP ＝∠DAD′－∠PAD′＝60°－∠PAD′，∠D ′AO ＝∠PAO －∠PAD ′＝60°－∠PAD′， ∴∠DAP ＝∠D′AO.∵∠D ＝∠D′，AD ＝AD′， ∴△DAP ≌△D ′AO(ASA )， ∴AP ＝AO ， 又∵∠PAO ＝60°，∴△AOP 是等边三角形． 选择图②.证明：依题意得∠EAE′＝60°，∠PAO ＝60°. ∵∠EAP ＝∠EAE′－∠PAE′＝60°－∠PAE′， ∠E ′AO ＝∠PAO －∠PAE′＝60°－∠PAE′， ∴∠EAP ＝∠E′AO(ASA )． ∵∠E ＝∠E′，AE ＝AE′， ∴△EAP ≌△E ′AO ， ∴AP ＝AO ， 又∵∠PAO ＝60°， ∴△AOP 是等边三角形．第12题解图(2)证明：如解图，连接AC ，AD ′，CD ′. ∵AE ′＝AB ，∠E′＝∠B ＝180°×（5－2）5＝108°，E ′D ′＝BC ，∴△AE ′D ′≌△ABC(SAS )，∴AD ′＝AC ，∠AD ′E ′＝∠ACB ， ∴∠AD ′C ＝∠ACD′， ∴∠OD ′C ＝∠OCD′， ∴OC ＝OD′，∴BC －OC ＝E′D′－OD′，即BO ＝E′O. ∵AB ＝AE′，∠B ＝∠E′， ∴△ABO ≌△AE ′O(SAS )， ∴∠OAB ＝∠OAE′. (3)15°，24°.【解法提示】∵由(1)得，在图①中，△AOP 是等边三角形， ∴∠DAP ＋∠OAB ＝90°－60°＝30°， 在△OAB 和△OAD′中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OABA ＝D′A， ∴△ABO ≌△AD ′O(HL )， ∴∠OAB ＝∠D′AO ， 由(1)知∠D′AO ＝∠DAP ， ∴∠OAB ＝∠DAP ， ∴∠OAB ＝12×30°＝15°；∵由(1)得，在图②中，△PAO 为等边三角形， ∴∠PAE ＋∠BAO ＝∠EAB －∠PAO ，∵∠EAB＝15×180°×(5－2)＝108°，∴∠PAE＋∠BAO＝48°，同理可证得∠OAB＝∠PAE，∴∠OAB＝12×48°＝24°.(4)是．【解法提示】由(1)(2)可知，“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，AO＝AP，且∠PAO ＝60°，故△AOP是等边三角形．(5)60°－180°n(n≥3)．【解法提示】由(1)(2)(3)可知，“叠弦角”的度数为正n边形的内角度数减去60°之后再除以2，即∠OAB＝180°（n－2）n－60°2，化简得∠OAB＝60°－180°n(n≥3)．13. 解：(1)由题意得n＝1，∴抛物线y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，顶点为Q(1，0)，将(1，0)代入y＝mx＋1，得m＝－1，∴m＝－1，n＝1.(2)由题意设“路线”L的解析式为y＝a(x－h)2＋k，∵顶点Q的坐标在y＝6x和y＝2x－4上，∴⎩⎪⎨⎪⎧k＝6hk＝2h－4，解得h＝－1或3，∴顶点Q的坐标为(－1，－6)或(3，2)，∴y＝a(x＋1)2－6或y＝a(x－3)2＋2，又∵“路线”L过P(0，－4)，代入解得a＝2(顶点为(－1，－6))，a＝－23(顶点为(3，2))，∴y＝2(x＋1)2－6或y＝－23(x－3)2＋2，即y＝2x2＋4x－4或y＝－23x2＋4x－4.(3)由题可知抛物线顶点坐标为(－3k2－2k＋12a，4ak－（3k2－2k＋1）24a)，设带线l：y＝px＋k，代入顶点坐标得p＝3k2－2k＋12，11 ∴y ＝3k 2－2k ＋12x ＋k ， 令y ＝0，则带线l 交x 轴于点(－2k 3k 2－2k ＋1，0)，令x ＝0，则带线l 交y 轴于点(0，k)， ∵k ≥12＞0， ∴3k 2－2k ＋1＝3(k －13)2＋23＞0， ∴带线l 与坐标轴围成三角形面积为S ＝12·2k 3k 2－2k ＋1·k ＝k 23k 2－2k ＋1＝11k 2－2·1k ＋3， 令t ＝1k ，∵12≤k ≤2，∴12≤t ≤2，∴S ＝1t 2－2t ＋3，∴1S ＝t 2－2t ＋3＝(t －1)2＋2，故当t ＝2时，(1S )max ＝3；当t ＝1时，(1S )min ＝2.∴13≤S ≤12.。

新定义阅读理解题1. 材料：解形如(x ＋a )4＋(x ＋b )4＝c 的一元四次方程时，可以先求常数a 和b 的均值a ＋b 2，然后设y ＝x ＋a ＋b 2，再把原方程换元求解．用这种方法可以成功地消去含未知数的奇次项，使方程转化成易于求解的双二次方程，这种方法叫做“均值换元法”．例：解方程：(x －2)4＋(x －3)4＝1解：∵－2和－3的均值为－52，∴设y ＝x －52，原方程可化为(y ＋12)4＋(y －12)4＝1. 去括号得(y 2＋y ＋14)2＋(y 2－y ＋14)2＝1. y 4＋y 2＋116＋2y 3＋12y 2＋12y ＋y 4＋y 2＋116－2y 3＋12y 2－12y ＝1. 整理得2y 4＋3y 2－78＝0.(成功地消去了未知数的奇次项) 解得y 2＝14或y 2＝－74(舍去)． ∴y ＝±12，即x －52＝±12.∴x ＝3或x ＝2. (1)用阅读材料中这种方法解关于x 的方程(x ＋3)4＋(x ＋5)4＝1130时，先求两个常数的均值为________．设y ＝x ＋________．原方程转化为：(y －________)4＋(y ＋________)4＝1130；(2)用这种方法，求解方程(x ＋1)4＋(x ＋3)4＝706.2. 求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九章算术》中便记载了求两个正整数最大公约数的一种方法——更相减损术，术曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少成多，更相减损，求其等也，以等数约之”，意思是说，要求两个正整数的最大公约数，先用较大的数减去较小的数，得到差，然后用减数与差中的较大数减去较小数，以此类推，当减数与差相等时，此时的差(或减数)即为这两个正整数的最大公约数．例如：求91与56的最大公约数解：91－56＝35，56－35＝21，35－21＝14，21－14＝7，14－7＝7，所以，91与56的最大公约数是7.请用以上方法解决下列问题：(1)求108与45的最大公约数；(2)求三个数78、104、143的最大公约数．3.材料一：若整数a和整数b除以整数m所得的余数相同，则称a和b对m同余．材料二：一个n位数如果满足相邻两位上的数字之差(高位数字减去低位数字)均为一个相同的整数，我们就叫这个数为阶梯数，当这个整数为k(k≠0)时，这个数叫n位k阶数．如：123是三位负一阶数，4321是四位一阶数．(1)证明：一个任意四位阶梯数与自己的个位数字的差能被6整除；(2)一个四位k阶数的两倍与两位数m2的差能被11整除(1≤m≤6)，且这个四位k阶数和两位数m2对3同余，求这个四位k阶数．4.我们已经知道一些特殊的勾股数，如三个连续正整数中的勾股数：3、4、5；三个连续的偶数中的勾股数6、8、10；事实上，勾股数的正整数倍仍然是勾股数．(1)另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派曾提出的公式：a＝2n＋1，b ＝2n 2＋2n ，c ＝2n 2＋2n ＋1(n 为正整数)是一组勾股数，请证明满足以上公式的a 、b 、c 的数是一组勾股数；(2)然而，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国古代的著名数学著作《九章算术》中，书中提到：当a ＝12(m 2－n 2)，b ＝mn ，c ＝12(m 2＋n 2)(m 、n 为正整数，m ＞n )时，a 、b 、c 构成一组勾股数；利用上述结论．．，解决如下问题：已知某直角三角形的三边长满足上述勾股数，其中一边长为37，且n ＝5，求该直角三角形另两边的长．5. 《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等，现在我们来研究另一种特殊的自然数——“纯数”．定义：对于自然数n ，在计算n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n 为“纯数”．例如：32是“纯数”，因为计算32＋33＋34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23＋24＋25时，个位产生了进位．(1)判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；(2)求出不大于100的“纯数”的个数．6.大数学家欧拉非常推崇观察能力，他说过，今天已知的许多数的性质，大部分是通过观察发现的，历史上许多大家，都是天才的观察家．化归就是将面临的新问题转化为已经熟悉的规范问题的数学方法，这是一种具有普遍适用性的数学思想方法．如多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算：∴26445÷123＝215. ∴(x3＋2x2－3)÷(x－1)＝x2＋3x＋3.请用以上方法解决下列问题：(1)计算：(x3＋2x2－3x－10)÷(x－2)；(2)若关于x的多项式2x4＋5x3＋ax2＋b能被二项式x＋2整除，且a，b均为自然数，求满足以上条件的a，b的值及相应的商．7.阅读下列材料解决问题：如果一个自然数末三位所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差(大数减小数)是13的倍数，则这个数能被13整除．如：593814，814－593＝221，221是13的17倍，所以593814能被13整除．(1)若对任意一个七位数，末三位所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差(大数减小数)是13的倍数，证明这个七位数一定能被13整除；(2)已知一个五位自然数，末三位为m＝500＋10y＋52，末三位以前的数为n＝10(x＋1)＋y(其中1≤x≤8，1≤y≤9且为整数)，交换这个五位自然数的十位和百位上的数字后所得的新数能被13整除，求这个五位数．8.对任意的一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字均不为零，且该数任意两个数位上的数字之和大于另一个数位上的数字，那么我们就把该数称为“三角形数”，现把n的百位数字替换成：十位数字加上个位数字后与百位数字的差，其余数位保持不变，得到一个新数n1；把n的十位数字替换成：百位数字加上个位数字后与十位数字的差，其余数位保持不变，得到一个新数n2；把n的个位数字替换成：百位数字加上十位数字后与个位数字的差，其余数位保持不变，得到一个新数n3(若出现替换后的数位上的数字大于等于10，则该数位上的数字向前一位进位)．我们把n1、n2、n3的和记作F(n)．例如n＝345，则n1＝645，n2＝345，n3＝342，F(n)＝645＋345＋342＝1332；又知n＝839，则n1＝439，n2＝949，n3＝832，F(n)＝439＋949＋832＝2220.(1)计算：F(212)，F(739)；(2)如果一个“三角形数”t：t＝100x＋10y＋z(2≤x≤9，1≤y≤9，1≤z≤9，x，y，z均为整数)，满足x ＋y＋z＝17，正整数s＝100x＋30y＋109和正整数m＝204＋10y，满足s－m得到的新数的各个数位上的数字之和是18，规定：k(t)＝|t－t2t－t1|，求k(t)的最大值．参考答案新定义阅读理解题1.解：(1)4，4，1，1；(2)∵1和3的均值为2，∴设y＝x＋2，原方程可化为(y＋1)4＋(y－1)4＝706.去括号整理得y4＋6y2－352＝0.解得y2＝16或y2＝－22(舍去)．∵y＝±4，即x＋2＝±4，∴x＝－6或x＝2.2.解：(1)∵108－45＝63，63－45＝18，45－18＝27，27－18＝9，18－9＝9，∴108与45的最大公约数是9；(2)先求104与78的最大公约数，104－78＝26，78－26＝52，52－26＝26，∴104与78的最大公约数是26；再求26与143的最大公约数，143－26＝117，117－26＝91，91－26＝65，65－26＝39，39－26＝13，26－13＝13，∴26与143的最大公约数是13，∴78、104、143的最大公约数是13.3. (1)证明：设这个任意四位阶梯数的个位为n，阶数为k，则该四位阶梯数表示为：n＋10(n＋k)＋100(n ＋2k)＋1000(n＋3k)，它与个位数的差为：n＋10(n＋k)＋100(n＋2k)＋1000(n＋3k)－n＝n＋10n＋10k＋100n＋200k＋1000n＋3000k－n＝1110n＋3210k＝6(185n＋535k)，∵6(185n＋535k)是6的倍数，∴6(185n＋535k)能被6整除．即一个任意四位阶梯数与自己的个位数字的差能被6整除；(2)解：设这个任意四位阶梯数的个位为n ，则该四位阶梯数表示为：n ＋10(n ＋k )＋100(n ＋2k )＋1000(n ＋3k )，2[n ＋10(n ＋k )＋100(n ＋2k )＋1000(n ＋3k )]－10m －2＝2222n ＋6420k －10m －2＝11(202n ＋583k )＋7k －10m －2，7k －10m －2是11的倍数；(1111n ＋3210k )÷3与(10m ＋2)÷3的余数相同．易得k 可取－1，－2，1，2，当m ＝1，2，3，4时，无论k 取何值，7k －10m －2都不是11的倍数，当m ＝5时，k ＝－2，此时四位k 阶数为1357，当m ＝6时，k ＝1，此时四位k 阶数为8765，5432.综上，这个四位数是1357，8765，5432.4. (1)证明：由题意知，c 2＝(2n 2＋2n ＋1)2＝(2n 2＋2n )2＋2(2n 2＋2n )＋1＝(2n 2＋2n )2＋4n 2＋4n ＋1＝(2n 2＋2n )2＋(2n ＋1)2.即c 2＝b 2＋a 2，∴满足以上公式的a 、b 、c 的数是一组勾股数；(2)解：当n ＝5时，a ＝12(m 2－25)，b ＝5m ，c ＝12(m 2＋25)， 当a ＝37时，解得m ＝311，非正整数，不合题意，舍去，当b ＝37时，解得m ＝375，非正整数，不合题意，舍去， 当c ＝37时，解得m ＝7，满足题意，此时a ＝12，b ＝35，∴该直角三角形的另外两边的长为12，35.5. 解：(1)2019不是“纯数”，2020是“纯数”，理由如下：∵在计算2019＋2020＋2021时，个位9＋0＋1＝10，产生了进位，∴2019不是“纯数”．∵在计算2020＋2021＋2022时，个位0＋1＋2＝3，十位2＋2＋2＝6，百位0＋0＋0＝0，千位2＋2＋2＝6，它们都没有产生进位，∴2020是“纯数”；(2)由题意，当“纯数”n 为一位数时，n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＝3n ＋3＜10，∴0≤n ＜73，故n ＝0，1，2，即在一位数的自然数中，“纯数”有3个， 当“纯数”n 为两位数时，设n ＝10b ＋a (其中1≤b ≤9，0≤a ≤9，且a ，b 为自然数)，则n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＝30b ＋3a ＋3.此时a ，b 应满足的条件分别为：3a ＋3＜10，即a ＝0，1，2；1≤b ≤3，即b ＝1，2，3.∵3×3＝9(个)，∴在两位数的自然数中，“纯数”有9个．∵100＋101＋102＝303，不产生进位，∴100是“纯数”，∴3＋9＋1＝13(个)．∴在不大于100的自然数中“纯数”的个数是13.6.解：(1)(x3＋2x2－3x－10)÷(x－2)＝x2＋4x＋5；（2）列除式：∴(x3＋2x2－3x－10)÷(x－2)＝x2＋4x＋5；(2)列除式如下：∵多项式2x4＋5x3＋ax2＋b能被二项式x＋2整除，∴余式b＋4(a－2)＝0，即4a＋b＝8.∵a，b是自然数，∴当a＝0时，b＝8，此时多项式为2x4＋5x3＋8，商为2x3＋x2－2x＋4；当a＝1时，b＝4，此时多项式为2x4＋5x3＋x2＋4，商为2x3＋x2－x＋2；当a＝2时，b＝0，此时多项式为2x4＋5x3＋2x2，商为2x3＋x2.7. (1)证明：设任意七位数的末三位为s，末三位以前的数为t，则这个七位数为ts，由题意可令t－s＝13k(k为整数)．ts＝1000t＋s＝1000t－13k＋t＝1001t－13k＝13(77t－k)，∴这个七位数一定能被13整除；(2解：)①当1≤y≤4时，m＝500＋10(5＋y)＋2.交换这个五位数的十位数和百位上的数字后所得的新数为m′＝100(5＋y)＋52，m′－n＝100(5＋y)＋52－10(x＋1)－y＝99y－10x＋542＝13(42＋8y －x )－(4＋5y －3x )，∵1≤x ≤8，1≤y ≤4，且x ，y 都为整数，∴－21≤－(4＋5y －3x )≤15.∴－(4＋5y －3x )的值为13或0或－13.Ⅰ.若－(4＋5y －3x )＝13，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝2.（舍去）. Ⅱ.若－(4＋5y －3x )＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝4.或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1. ∴这个五位数为94592，41562.Ⅲ.若－(4＋5y －3x )＝－13，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3. ∴这个五位数为33582.②当5≤y ≤9时，m ＝600＋10(y －5)＋2.交换这个五位数的十位数和百位上的数字后所得的新数为m ′＝100(y －5)＋62，m ′－n ＝100(y －5)＋62－10(x ＋1)－y＝99y －10x －448＝13(8y －x －34)－(6＋5y －3x )，∵1≤x ≤8，5≤y ≤9，且x ，y 都为整数，∴－48≤－(6＋5y －3x )≤－7.∴－(6＋5y －3x )的值为－39，－26，－13.Ⅰ.若－(6＋5y －3x )＝－39，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝9. ∴这个五位数为59642.Ⅱ.若－(6＋5y －3x )＝－26，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝7. ∴这个五位数为67622.Ⅲ.若－(6＋5y －3x )＝－13，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝5. ∴这个五位数为75602.综上所述：这个五位数为：94592，41562，33582，59642，67622，75602.8. 解：(1)由题得，当n ＝212时，n 1＝112，n 2＝232，n 3＝211， ∴F (212)＝112＋232＋211＝555；当n＝739时，n1＝539，n2＝839，n3＝731，∴F(739)＝539＋839＋731＝2109；(2)s－m＝100x＋30y＋109－204－10y＝100(x－1)＋20y＋5，①当1≤y≤4时，x－1＋2y＋5＝18，∴x＋2y＝14，∴x＝14－2y，把x＝14－2y代入x＋y＋z＝17中，得14－2y＋y＋z＝17，∴z＝y＋3，∵2≤x≤9，1≤z≤9，∴2≤14－2y≤9且1≤y＋3≤9，∴2.5≤y≤6且－2≤y≤6，∵1≤y≤4，∴2.5≤y≤4，∵y为整数，∴y＝3或4，当y＝3时，z＝6，x＝8，∴t＝836；当y＝4时，z＝7，x＝6，∴t＝647；②当5≤y≤9时，x－1＋1＋2y－10＋5＝18，x＋2y＝23，∴x＝23－2y，把x＝23－2y代入x＋y＋z＝17中，得z＝y－6，∵2≤x≤9，1≤z≤9，∴2≤23－2y≤9且1≤y－6≤9，∴7≤y≤10.5且7≤y≤15，∵5≤y≤9，∴7≤y≤9，∵y为整数，∴y＝7或8或9，当y＝7时，z＝1，x＝9，不是三角形数，应舍去；当y＝8时，z＝2，x＝7，∴t＝782；当y＝9时，z＝3，x＝5，不是三角形数，应舍去，综上，t＝836或647或782，当t＝836时，t1＝136，t2＝916，∴k (836)＝|836－916836－136|＝435， 当t ＝647时，t 1＝547，t 2＝697，∴k (647)＝|647－697647－547|＝12， 当t ＝782时，t 1＝382，t 2＝712，∴k (782)＝|782－712782－382|＝740， ∵12>740>435， ∴k (t )的最大值为12.。

专题31新定义与阅读理解创新型问题一．选择题（共3小题）1．（2022•娄底）若10x＝N，则称x是以10为底N的对数．记作：x＝lgN．例如：102＝100，则2＝lg100；100＝1，则0＝lg1．对数运算满足：当M＞0，N＞0时，lgM+lgN＝lg（MN）．例如：lg3+lg5＝lg15，则（lg5）2+lg5×lg2+lg2的值为（）A．5B．2C．1D．02．（2022•重庆）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”．例如：（x﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣m）﹣n ＝x﹣y﹣z+m﹣n，…．下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．33．（2022•常德）我们发现：＝3，＝3，＝3，…，＝3，一般地，对于正整数a，b，如果满足＝a时，称（a，b）为一组完美方根数对．如上面（3，6）是一组完美方根数对，则下面4个结论：①（4，12）是完美方根数对；②（9，91）是完美方根数对；③若（a，380）是完美方根数对，则a＝20；④若（x，y）是完美方根数对，则点P（x，y）在抛物线y＝x2﹣x上，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共1小题）4．（2022•内江）对于非零实数a，b，规定a⊕b＝﹣．若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为．三．解答题（共23小题）5．（2022•遵义）新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x2+2x+1．已知抛物线C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a≠0）的“关联抛物线”为C2．（1）写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；（2）若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N．①当MN＝6a时，求点P的坐标；②当a﹣4≤x≤a﹣2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值．6．（2022•长沙）若关于x的函数y，当t﹣≤x≤t+时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数h＝，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．（1）①若函数y＝4044x，当t＝1时，求函数y的“共同体函数”h的值；②若函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；（2）若函数y＝（x≥1），求函数y的“共同体函数”h的最大值；（3）若函数y＝﹣x2+4x+k，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．7．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m 整除，则称N是m的“和倍数”．例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．又如：∵214÷（2+1+4）＝7＝30……4，∴214不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且a＞b＞c．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F（A），最小的两位数记为G（A），若为整数，求出满足条件的所有数A．8．（2022•常州）第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的举办年份．（1）八进制数3746换算成十进制数是；（2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值．9．（2022•盐城）【发现问题】小明在练习簿的横线上取点O为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．【提出问题】小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．【分析问题】小明利用已学知识和经验，以圆心O为原点，过点O的横线所在直线为x轴，过点O且垂直于横线的直线为y2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为．【解决问题】请帮助小明验证他的猜想是否成立．【深度思考】小明继续思考：设点P（0，m），m为正整数，以OP为直径画⊙M，是否存在所描的点在⊙M上．若存在，求m的值；若不存在，说明理由．10．（2022•遂宁）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如（﹣1，1），（2022，﹣2022）都是“黎点”．（1）求双曲线y＝上的“黎点”；（2）若抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当a＞1时，求c的取值范围．11．（2022•兰州）在平面直角坐标系中，P（a，b）是第一象限内一点，给出如下定义：k1＝和k2＝两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．（1）求点P（6，2）的“倾斜系数”k的值；（2）①若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，请写出a和b的数量关系，并说明理由；②若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，且a+b＝3，求OP的长；（3）如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC：y＝x运动，P（a，b）是正方形ABCD上任意一点，且点P的“倾斜系数”k＜，请直接写出a的取值范围．12．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），N．对于点P给出如下定义：将点a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．（1）如图，点M（1，1），点N在线段OM的延长线上．若点P（﹣2，0），点Q为点P的“对应点”．①在图中画出点Q；②连接PQ，交线段ON于点T，求证：NT＝OM；（2）⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON＝t（＜t＜1），若P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．当点M在⊙O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）．13．（2022•青岛）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、例如：如图①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD＝A'D'、则△ABC 和△A'B'C'是等高三角形．【性质探究】如图①，用S△ABC，S△A'B'C′分别表示△ABC和△A′B′C′的面积，则S△ABC＝BC•AD，S△A'B'C′＝B′C′•A′D′，∵AD＝A′D′∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．【性质应用】（1）如图②，D是△ABC的边BC上的一点．若BD＝3，DC＝4，则S△ABD：S△ADC＝；（2）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△ABC＝1，则S△BEC＝，S△CDE＝；（3）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△ABC＝a，则S△CDE＝．14．（2022•常州）在四边形ABCD中，O是边BC上的一点．若△OAB≌△OCD，则点O叫做该四边形的“等形点”．（1）正方形“等形点”（填“存在”或“不存在”）；（2）如图，在四边形ABCD中，边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”．已知CD＝4，OA＝5，BC＝12，连接AC，求AC的长；（3）在四边形EFGH中，EH∥FG．若边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”，求的值．15．（2022•青海）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．（1）问题发现：如图1，若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边．求证：BD＝CE；（2）解决问题：如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由．16．（2022•嘉兴）小东在做九上课本123页习题：“1：也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1），用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP：AB＝1：．”小东的作法是：如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”．（1）你赞同他的作法吗？请说明理由．（2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造△DPE，使得△DPE∽△CPB．①如图3，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数．②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点N是否为线段ME17．（2022•兰州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，M为AB边上一动点，BN ⊥CM，垂足为N．设A，M两点间的距离为xcm（0≤x≤5），B，N两点间的距离为ycm（当点M和B 点重合时，B，N两点间的距离为0）．小明根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．（1）列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值：x/cm00.51 1.5 1.82 2.53 3.54 4.55y/cm4 3.96 3.79 3.47a 2.99 2.40 1.79 1.230.740.330请你通过计算，补全表格：a＝；（2）描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x 的图象；（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：；（4）解决问题：当BN＝2AM时，AM的长度大约是cm．（结果保留两位小数）18．（2022•深圳）二次函数y＝2x2，先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．y＝2x2y＝2（x﹣3）2+6（0，0）（3，m）（1，2）（4，8）（2，8）（5，14）（﹣1，2）（2，8）（﹣2，8）（1，14）（1）m的值为；（2）在坐标系中画出平移后的图象并写出y＝﹣x2+5与y＝x2的交点坐标；（3）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在新的函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，若y1＞y2，则x1x2．（填不等号）19．（2022•潍坊）某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示2017﹣2021年①号田和②号田年产量情况的点（记2017年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量），如图．小亮认为，可以从y＝kx+b（k＞0），y＝（m＞0），y＝﹣0.1x2+ax+c中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号田的年产量变化趋势．（1）小莹认为不能选y＝（m＞0）．你认同吗？请说明理由；（2）请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数表达式；（3）根据（2）中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？20．（2022•潍坊）为落实“双减”，老师布置了一项这样的课后作业：二次函数的图象经过点（﹣1，﹣1），且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式．【观察发现】请完成作业，并在直角坐标系中画出大致图象．【思考交流】小亮说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在y轴的左侧．”小莹说：“满足条件的函数图象一定在x轴的下方．”你认同他们的说法吗？若不认同，请举例说明．【概括表达】小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数y＝ax2+bx+c的图象与系数a，b，c的关系，得出了提高老师作业批阅效率的方法．请你探究这个方法，写出探究过程．21．（2022•临沂）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）．制作方法如下：第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），确定支点O，并用细麻绳固定，在支点O左侧2cm的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩；第二步：取一个质量为0.5kg的金属物体作为秤砣．（1）图1中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点O右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，OB的长度随之变化．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm．写出y关于x的函数解析式；若0＜y＜48，求x的取值范围．（2）调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点O右侧的B处，使秤杆平衡，如图2．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm，写出y关于x的函数解析式，完成下表，画出该函数的图象．x/kg……0.250.5124……y/cm…………22．（2022•赤峰）阅读下列材料定义运算：min|a，b|，当a≥b时，min|a，b|＝b；当a＜b时，min|a，b|＝a．例如：min|﹣1，3|＝﹣1；min|﹣1，﹣2|＝﹣2．完成下列任务（1）①min|（﹣3）0，2|＝；②min|﹣，﹣4|＝．（2）如图，已知反比例函数y1＝和一次函数y2＝﹣2x+b的图象交于A、B两点．当﹣2＜x＜0时，min|，﹣2x+b|＝（x+1）（x﹣3）﹣x2，求这两个函数的解析式．23．（2022•赤峰）【生活情境】为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD＝4m，宽AB＝1m的长方形水池ABCD 进行加长改造（如图①，改造后的水池ABNM仍为长方形，以下简称水池1）．同时，再建造一个周长为12m的矩形水池EFGH（如图②，以下简称水池2）．【建立模型】如果设水池ABCD的边AD加长长度DM为x（m）（x＞0），加长后水池1的总面积为y1（m2），则y1关于x的函数解析式为：y1＝x+4（x＞0）；设水池2的边EF的长为x（m）（0＜x＜6），面积为y2（m2），则y2关于x的函数解析式为：y2＝﹣x2+6x（0＜x＜6），上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③．【问题解决】（1）若水池2的面积随EF长度的增加而减小，则EF长度的取值范围是（可省略单位），水池2面积的最大值是m2；（2）在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是，此时的x（m）值是；（3）当水池1的面积大于水池2的面积时，x（m）的取值范围是；（4）在1＜x＜4范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值；（5）假设水池ABCD的边AD的长度为b（m），其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积y3（m2）关于x（m）（x＞0）的函数解析式为：y3＝x+b（x＞0）．若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值，求b的值．24．（2022•鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH＝2OF＝．例如：抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF＝MN，FH＝2OH ＝1．【基础训练】（1）请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程：，．【技能训练】（2）如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；【能力提升】（3）如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；【拓展升华】（4）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝＝．后人把这个数称为“黄金分割”数，把点C称为线段AB的黄金分割点．如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时，请直接写出△HME的面积值．25．（2022•贵阳）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．如图，在▱ABCD 中，AN为BC边上的高，＝m，点M在AD边上，且BA＝BM，点E是线段AM上任意一点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得△FBE．（1）问题解决：如图①，当∠BAD＝60°，将△ABE沿BE翻折后，使点F与点M重合，则＝；（2）问题探究：如图②，当∠BAD＝45°，将△ABE沿BE翻折后，使EF∥BM，求∠ABE的度数，并求出此时m的最小值；（3）拓展延伸：当∠BAD＝30°，将△ABE沿BE翻折后，若EF⊥AD，且AE＝MD，根据题意在备用图中画出图形，并求出m的值．26．（2022•呼和浩特）下面图片是八年级教科书中的一道题．如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF 于点F．求证AE＝EF．（提示：取AB的中点G，连接EG．）（1）请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件：；（2）如图1，若点E是BC边上任意一点（不与B、C重合），其他条件不变．求证：AE＝EF；（3）在（2）的条件下，连接AC，过点E作EP⊥AC，垂足为P．设＝k，当k为何值时，四边形ECFP是平行四边形，并给予证明．27．（2022•潍坊）【情境再现】甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处．将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接AG，BH，如图③所示，AB交HO于E，AC交OG于F，通过证明△OBE≌△OAF，可得OE＝OF．请你证明：AG＝BH．【迁移应用】延长GA分别交HO，HB所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明DG与BH的位置关系．【拓展延伸】小亮将图②中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接HB，AG，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与BH的数量关系．。

新定义与阅读理解创新型问题(31题)一、单选题1(2023·湖北武汉·统考中考真题)皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积S=N+12L-1，其中N,L分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知A0,30，B20,10,O0,0，则△ABO内部的格点个数是()A.266B.270C.271D.2852(2023·湖南张家界·统考中考真题)“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边△ABC的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于()A.πB.3πC.2πD.2π-33(2023·重庆·统考中考真题)在多项式x-y-z-m-n(其中x>y>z>m>n)中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x-y-|z-m|-n=x-y-z+m-n，x-y-z-m-n=x-y-z-m+n，⋯．下列说法：①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.34(2023·湖南岳阳·统考中考真题)若一个点的坐标满足k,2k，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于x的二次函数y=t+1x2+t+2x+s(s,t为常数，t≠-1)总有两个不同的倍值点，则s的取值范围是()A.s<-1B.s<0C.0<s<1D.-1<s<05(2023·山东·统考中考真题)若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A(1, 3),B(-2,-6),C(0,0)等都是三倍点”，在-3<x<1的范围内，若二次函数y=-x2-x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是()A.-14≤c<1 B.-4≤c<-3 C.-14<c<5 D.-4≤c<56(2023·福建·统考中考真题)我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．如图，⊙O 的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O 的面积，可得π的估计值为332，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为()A.3B.22C.3D.23二、填空题7(2023·甘肃武威·统考中考真题)如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家．1556年兰州人段续的第一架水车创制成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰．而今，兰州水车博览园是百里黄河风情线上的标志性景观，是兰州“水车之都”的象征．如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条(圆的半径)OA 长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点A 处离开水面，逆时针旋转150°上升至轮子上方B 处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从A 处(舀水)转动到B 处(倒水)所经过的路程是米．(结果保留π)8(2023·湖北随州·统考中考真题)某天老师给同学们出了一道趣味数学题：设有编号为1-100的100盏灯，分别对应着编号为1-100的100个开关，灯分为“亮”和“不亮”两种状态，每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人，第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次，第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次，⋯⋯，第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮”的灯共有多少盏？几位同学对该问题展开了讨论：甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开关被第1个人和第3个人共按了2次，⋯⋯丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有盏．9(2023·湖南常德·统考中考真题)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图．AB是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是弦AB 的中点，D 在AB上，CD ⊥AB ．“会圆术”给出AB长l 的近似值s 计算公式：s =AB +CD 2OA，当OA =2，∠AOB =90°时，l -s =．(结果保留一位小数)10(2023·北京·统考中考真题)学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七道工序，加工要求如下：①工序C ，D 须在工序A 完成后进行，工序E 须在工序B ，D 都完成后进行，工序F 须在工序C ，D 都完成后进行；②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；③各道工序所需时间如下表所示：工序A B C D E F G 所需时间/分钟99797102在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要分钟．11(2023·重庆·统考中考真题)对于一个四位自然数M ，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M 为“天真数”．如：四位数7311，∵7-1=6，3-1=2，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵8-1≠6，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为；一个“天真数”M 的千位数字为a ，百位数字为b ，十位数字为c ，个位数字为d ，记P M =3a +b +c +d ，Q M =a -5，若P MQ M 能被10整除，则满足条件的M 的最大值为．12(2023·四川乐山·统考中考真题)定义：若x ，y 满足x 2=4y +t ,y 2=4x +t 且x ≠y (t 为常数)，则称点M (x ,y )为“和谐点”．(1)若P (3,m )是“和谐点”，则m =．(2)若双曲线y =kx(-3<x <-1)存在“和谐点”，则k 的取值范围为．13(2023·浙江绍兴·统考中考真题)在平面直角坐标系xOy 中，一个图形上的点都在一边平行于x 轴的矩形内部(包括边界)，这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数y =(x -2)20≤x ≤3 的图象(抛物线中的实线部分)，它的关联矩形为矩形OABC ．若二次函数y =14x 2+bx +c 0≤x ≤3 图象的关联矩形恰好也是矩形OABC ，则b =．14(2023·重庆·统考中考真题)如果一个四位自然数abcd的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足ab -bc =cd ，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵41-12=29，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵53-32=21≠24，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为a 312，则这个数为；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc 与后三个数字组成的三位数bcd的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是．三、解答题15(2023·内蒙古通辽·统考中考真题)阅读材料：材料1：关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0a ≠0 的两个实数根x 1，x 2和系数a ，b ，c 有如下关系：x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=ca．材料2：已知一元二次方程x 2-x -1=0的两个实数根分别为m ，n ，求m 2n +mn 2的值．16(2023·江苏徐州·统考中考真题)两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉壁，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边(阴影部分)，“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．(1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为；(2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题(保留作图痕迹，不写作法)．①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．17(2023·浙江宁波·统考中考真题)定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．(1)如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，对角线BD平分∠ADC．求证：四边形ABCD为邻等四边形．(2)如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D．(3)如图3，四边形ABCD是邻等四边形，∠DAB=∠ABC=90°，∠BCD为邻等角，连接AC，过B作BE∥AC交DA的延长线于点E．若AC=8,DE=10，求四边形EBCD的周长．18(2023·山西·统考中考真题)阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图1，在四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD，DA的中点，顺次连接E,F, G,H，得到的四边形EFGH是平行四边形．我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁Varingnon，Pierre1654-1722是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下：证明：如图2，连接AC ，分别交EH ,FG 于点P ,Q ，过点D 作DM ⊥AC 于点M ，交HG 于点N ．∵H ,G 分别为AD ,CD 的中点，∴HG ∥AC ,HG =12AC ．(依据1)∴DN NM =DG GC．∵DG =GC ，∴DN =NM =12DM ．∵四边形EFGH 是瓦里尼翁平行四边形，∴HE ∥GF ，即HP ∥GQ ．∵HG ∥AC ，即HG ∥PQ ，∴四边形HPQG 是平行四边形．(依据2)∴S ▱HPQG =HG ⋅MN =12HG ⋅DM ．∵S △ADC =12AC ⋅DM =HG ⋅DM ，∴S ▱HPQG =12S △ADC ．同理，⋯任务：(1)填空：材料中的依据1是指：．依据2是指：．(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD 及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH ，使得四边形EFGH 为矩形；(要求同时画出四边形ABCD 的对角线)(3)在图1中，分别连接AC ,BD 得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH 的周长与对角线AC ,BD 长度的关系，并证明你的结论．19(2023·河北·统考中考真题)在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点(x,y)移动到点(x+2,y+1)称为一次甲方式：从点(x,y)移动到点(x+1,y+2)称为一次乙方式．例、点P从原点O出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点M(4,2)；若都按乙方式，最终移动到点N(2,4)；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点E(3,3)．(1)设直线l1经过上例中的点M,N，求l1的解析式；并直接写出将l1向上平移9个单位长度得到的直线l2的解析式；(2)点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点Q(x,y)．其中，按甲方式移动了m次．①用含m的式子分别表示x,y；②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为l3，在图中直接画出l3的图象；(3)在(1)和(2)中的直线l1,l2,l3上分别有一个动点A,B,C，横坐标依次为a,b,c，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式．20(2023·湖南张家界·统考中考真题)阅读下面材料：将边长分别为a，a+b，a+2b，a+3b的正方形面积分别记为S1，S2，S3，S4．则S2-S1=(a+b)2-a2=(a+b)+a⋅(a+b)-a=(2a+b)⋅b=b+2a b例如：当a=1，b=3时，S2-S1=3+23根据以上材料解答下列问题：(1)当a=1，b=3时，S3-S2=，S4-S3=；(2)当a=1，b=3时，把边长为a+n b的正方形面积记作S n+1，其中n是正整数，从(1)中的计算结果，你能猜出S n+1-S n等于多少吗？并证明你的猜想；(3)当a=1，b=3时，令t1=S2-S1，t2=S3-S2，t3=S4-S3，⋯，t n=S n+1-S n，且T=t1+t2+t3+⋯+t50，求T的值．21(2023·湖北荆州·统考中考真题)如图1，点P是线段AB上与点A，点B不重合的任意一点，在AB 的同侧分别以A，P，B为顶点作∠1=∠2=∠3，其中∠1与∠3的一边分别是射线AB和射线BA，∠2的两边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段AB为等联线．(1)如图2，在5×3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段AB为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；(2)如图3，在Rt△APC中，∠A=90°，AC>AP，延长AP至点B，使AB=AC，作∠A的等联角∠CPD 和∠PBD．将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到△MPC，再延长PM交BD的延长线于E，连接CE并延长交PD的延长线于F，连接BF．①确定△PCF的形状，并说明理由；②若AP:PB=1:2，BF=2k，求等联线AB和线段PE的长(用含k的式子表示)．22(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)定义：在平面直角坐标系xOy 中，当点N 在图形M 的内部，或在图形M 上，且点N 的横坐标和纵坐标相等时，则称点N 为图形M 的“梦之点”．(1)如图①，矩形ABCD 的顶点坐标分别是A -1,2 ，B -1,-1 ，C 3,-1 ，D 3,2 ，在点M 11,1 ，M 22,2 ，M 33,3 中，是矩形ABCD “梦之点”的是；(2)点G 2,2 是反比例函数y 1=kx图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H 的坐标是，直线GH 的解析式是y 2=．当y 1>y 2时，x 的取值范围是．(3)如图②，已知点A ，B 是抛物线y =-12x 2+x +92上的“梦之点”，点C 是抛物线的顶点，连接AC ，AB ，BC ，判断△ABC 的形状，并说明理由．23(2023·北京·统考中考真题)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1．对于⊙O 的弦AB 和⊙O 外一点C 给出如下定义：若直线CA ，CB 中一条经过点O ，另一条是⊙O 的切线，则称点C 是弦AB 的“关联点”．(1)如图，点A -1,0 ，B 1-22,22，B 222,-22 ①在点C 1-1,1 ，C 2(-2,0)，C 30,2 中，弦AB 1的“关联点”是．②若点C 是弦AB 2的“关联点”，直接写出OC 的长；(2)已知点M 0,3 ，N 655,0 ．对于线段MN 上一点S ，存在⊙O 的弦PQ ，使得点S 是弦PQ 的“关联点”，记PQ 的长为t ，当点S 在线段MN 上运动时，直接写出t 的取值范围．阅读材料：如图1，四边形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，记∠BAE为α、∠FAD为β，若tanα=1 2，则tanβ=13．证明：设BE=k，∵tanα=12，∴AB=2k，易证△AEB≌△EFC AAS∴EC=2k,CF=k，∴FD=k,AD=3k∴tanβ=DFAD =k3k=13，若α+β=45°时，当tanα=12，则tanβ=13．同理：若α+β=45°时，当tanα=13，则tanβ=12．根据上述材料，完成下列问题：如图2，直线y=3x-9与反比例函数y=mx(x>0)的图象交于点A，与x轴交于点B．将直线AB绕点A顺时针旋转45°后的直线与y轴交于点E，过点A作AM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥y轴于点N，已知OA=5．(1)求反比例函数的解析式；(2)直接写出tan∠BAM、tan∠NAE的值；(3)求直线AE的解析式．“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀(控制水的流速大小)的软管制作简易计时装置．【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min 观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：流水时间t/min010203040水面高度h/cm(观察值)302928.12725.8任务1 分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．【建立模型】小组讨论发现：“t=0，h=30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．任务2 利用t=0时，h=30；t=10时，h=29这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式．【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．任务3 (1)计算任务2得到的函数解析式的w值．(2)请确定经过0,30的一次函数解析式，使得w的值最小．【设计刻度】得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．任务4 请你简要写出时间刻度的设计方案．26(2023·山西·统考中考真题)问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC和△DFE，其中∠ACB=∠DEF=90°,∠A =∠D．将△ABC和△DFE按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合(标记为点B)．当∠ABE=∠A 时，延长DE交AC于点G．试判断四边形BCGE的形状，并说明理由．(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；(2)深入探究：老师将图2中的△DBE绕点B逆时针方向旋转，使点E落在△ABC内部，并让同学们提出新的问题．①“善思小组”提出问题：如图3，当∠ABE=∠BAC时，过点A作AM⊥BE交BE的延长线于点M,BM 与AC交于点N．试猜想线段AM和BE的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；②“智慧小组”提出问题：如图4，当∠CBE=∠BAC时，过点A作AH⊥DE于点H，若BC=9,AC=12，求AH的长．请你思考此问题，直接写出结果．27(2023·吉林长春·统考中考真题)【感知】如图①，点A 、B 、P 均在⊙O 上，∠AOB =90°，则锐角∠APB 的大小为度．【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆，点P 在AC上(点P 不与点A 、C 重合)，连结PA 、PB 、PC ．求证：PB =PA +PC ．小明发现，延长PA 至点E ，使AE =PC ，连结BE ，通过证明△PBC ≌△EBA ，可推得PBE 是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长PA 至点E ，使AE =PC ，连结BE ，∵四边形ABCP 是⊙O 的内接四边形，∴∠BAP +∠BCP =180°．∵∠BAP +∠BAE =180°，∴∠BCP =∠BAE ．∵△ABC 是等边三角形．∴BA =BC ，∴△PBC ≌△EBA (SAS )请你补全余下的证明过程．【应用】如图③，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠ABC =90°，AB =BC ，点P 在⊙O 上，且点P 与点B 在AC的两侧，连结PA 、PB 、PC ．若PB =22PA ，则PBPC的值为．28(2023·广西·统考中考真题)【探究与证明】折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．【动手操作】如图1，将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B落在EF上，并使折痕经过点A，得到折痕AM，点B，E的对应点分别为B ，E ，展平纸片，连接AB ，BB ，BE ．请完成：(1)观察图1中∠1，∠2和∠3，试猜想这三个角的大小关系；(2)证明(1)中的猜想；【类比操作】如图2，N为矩形纸片ABCD的边AD上的一点，连接BN，在AB上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B，P分别落在EF，BN上，得到折痕l，点B，P 的对应点分别为B ，P ，展平纸片，连接，P B ．请完成：(3)证明BB 是∠NBC的一条三等分线．29(2023·河南·统考中考真题)李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．(1)观察发现：如图1，在平面直角坐标系中，过点M4,0的直线l∥y轴，作△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，再分别作△A1B1C1关于x轴和直线l对称的图形△A2B2C2和△A3B3C3，则△A2B2C2可以看作是△ABC绕点O顺时针旋转得到的，旋转角的度数为；△A3B3C3可以看作是△ABC向右平移得到的，平移距离为个单位长度．(2)探究迁移：如图2，▱ABCD中，∠BAD=α0°<α<90°，P为直线AB下方一点，作点P关于直线AB的对称点P1，再分别作点P1关于直线AD和直线CD的对称点P2和P3，连接AP，AP2，请仅就图2的情形解决以下问题：①若∠PAP2=β，请判断β与α的数量关系，并说明理由；②若AD=m，求P，P3两点间的距离．(3)拓展应用：在(2)的条件下，若α=60°，AD=23，∠PAB=15°，连接P2P3．当P2P3与▱ABCD的边平行时，请直接写出AP的长．30(2023·甘肃兰州·统考中考真题)在平面直角坐标系中，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，如果点P 到直线EF 的距离等于图形M 上任意两点距离的最大值时，那么点P 称为直线EF 的“伴随点”．例如：如图1，已知点A 1,2 ，B 3,2 ，P 2,2 在线段AB 上，则点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．(1)如图2，已知点A 1,0 ，B 3,0 ，P 是线段AB 上一点，直线EF 过G -1,0 ，T 0,33两点，当点P 是直线EF 的“伴随点”时，求点P 的坐标；(2)如图3，x 轴上方有一等边三角形ABC ，BC ⊥y 轴，顶点A 在y 轴上且在BC 上方，OC =5，点P 是△ABC 上一点，且点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．当点P 到x 轴的距离最小时，求等边三角形ABC 的边长；(3)如图4，以A 1,0 ，B 2,0 ，C 2,1 为顶点的正方形ABCD 上始终存在点P ，使得点P 是直线EF ：y =-x +b 的“伴随点”．请直接写出b 的取值范围．31(2023·云南·统考中考真题)数和形是数学研究客观物体的两个方面，数(代数)侧重研究物体数量方面，具有精确性、形(几何)侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数y=(4a+2)x2+(9 -6a)x-4a+4(实数a为常数)的图象为图象T．(1)求证：无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；(2)是否存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a的值；若不存在，请说明理由．。