分析力学 00第八章力学的变分原理
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§9 变分原理9.1 弹性变形体的功能原理学习要点:本节讨论弹性体的功能原理。
能量原理为弹性力学开拓了新的求解思路,使得基本方程由数学上求解困难的偏微分方程边值问题转化为代数方程组。
而功能关系是能量原理的基础。
首先建立静力可能的应力和几何可能的位移概念;静力可能的应力和几何可能的位移可以是同一弹性体中的两种不同的受力状态和变形状....................态,二者彼此独立而且无任何关系。
................建立弹性体的功能关系。
功能关系可以描述为:对于弹性体,外力在任意一组几何可能的位移上所做的功,等于任意一组静力可能的应力在与上述几何可能的位移对应的应变分量上所做的功。
9.1.1 静力可能的应力:假设弹性变形体的体积为V,包围此体积的表面积为S。
表面积为S 可以分为两部分所组成:一部分是表面积的位移给定,称为Su;另外一部分是表面积的面力给定,称为Sσ。
+Sσ显然S=Su假设有一组应力分量σij在弹性体内部满足平衡微分方程在面力已知的边界Sσ,满足面力边界条件这一组应力分量称为静力可能的应力。
静力可能的应力未必是真实的应力,................因为真实的应力还....................必须满足应力表达的变形协调方程...............,但是真实的应力分量必然是静力可能的应力。
.........为了区别于真实的应力分量,我们用表示静力可能的应力分量。
9.1.2 几何可能的位移:假设有一组位移分量u i和与其对应的应变分量εij,它们在弹性体内部满足几何方程在位移已知的边界S u上,满足位移边界条件这一组位移称为几何可能的位移。
几何可能的位移未必是真实的位移,因为真实的位移还必须在弹性体内部满足位移表示的平衡微分方程..........;在面力已知的边界..................。
但是,真实的位移必然是...S.σ.上,必须满足以位移表示的面力边界条件几何可能的。
变分原理基础罗建辉2009年夏季1 能量原理能量原理是以能量形式表述的力学定律。
概括地说,在所有满足一定的约束条件的可能状态中,真实状态应使其能量取极值或驻值。
本课程讨论结构力学、弹性力学、薄板的能量原理,只讨论线性平衡问题。
2 弹性系统真实平衡状态的能量特征举例从能量角度看,弹性系统的真实平衡状态具有如下的能量特征:即与其他可能状态相比,真实状态的能量为极值或驻值。
对这一能量特征举几个简例。
例0—1. 弹簧系统真实平衡状态的能量特征图0—1 所示为一弹簧下端挂一重物。
弹簧的刚度系数为k ,重物的重力为P 。
用∆表示位移,当弹簧系统处于平衡状态时,求得位移∆的真解为kP =∆=∆0)(真解 (1)真解的能量特征是弹簧系统的势能p ∏为极小。
现检验如下:∆-∆=∏P k p221 (2)式(2)右边第一项是弹簧的应变能,第二项是重力P 的势能。
系统势能p ∏是位移∆的二次式。
由式(2)得221()22pP Pk kk∏=∆--(3)现考察真解的能量特征。
显然,真解(1)使势能p ∏取极小值。
换一个角度,求p ∏的一阶及二阶导数,得Pk d d p-∆=∆∏ (4)22>=∆∏k d d p(5)将真解(1)代入式(4),得0=∆∏d d p,故知势能p∏为驻值。
根据式(5),又知势能p∏变分原理广义变分原理单变量形式多变量形式为极小值。
例0—2 超静定梁真实平衡状态的能量特征图0—2a 所示为一超静定梁,取图0—2b 所示静定梁为其基本结构。
根据平衡条件,基本结构的弯矩可表示为PMX M M +=11 (6)其中p M 是在荷载作用下基本结构的弯矩,1M 是在单位多余力11=X 作用下基本结构的弯矩,1X 是任意值。
式(6)同时也是超静定梁满足平衡条件的可能弯矩,由于1X 是任意参数,因此超静定梁的可能弯矩尚未唯一确定。
为了确定1X 的真解,还必须应用变形协调条件)(1111=∆+p X 真解δ (7)式中⎰=∆dxEI M M pp 11 (8)⎰=dxEIM 2111δ试验证真解的能量特征是梁的余能c ∏为极小值,余能c ∏的表示式为dxMX M EIdx EIMpc ⎰⎰+==∏2112)(212 (9)余能c ∏是1X 的二次函数,由式(9)得11111122211221212211112221111111111(2)21[2]21[2]21[()]2p c p p p p p p p p M X M M X M dxEIM dx M M dx M dx X X EIEI EIM dx X X EIM dx X EIδδδδ∏=++=++=+∆+=+∆-∆+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(10)由式(10)可知变形协调条件(7)使余能c ∏取极小值。
分析力学5动力学变分原理(5)西安电子科技大学郭空明qq:717004648Email:kmguo@4.1泛函与变分原理(1)4.2哈密顿原理(2)4.3连续系统的微振动(1)4.4欧拉-拉格朗日方程(1)力学的变分原理:提供一种准则,将真实的运动(满足动力学方程)从所有可能的运动中甄别出来。
具有更高的概括性和普适性。
4.1泛函和变分原理弹簧的应变能(势能)21U x k x=数值数值()2弹簧的应变能只依赖于一点的位移x ,是自变量为x 的函数。
y =f(x)当自变量x 有一增量:函数y 也有一增量:10Δy =y -y 10Δx =x -x 函数的微分Differential of a function10=f(x )-f(x )Δy =f (x)Δx'dy 与dx ,分别称为自变量x 与函数y 的微分。
dy =f (x)dx'——微分问题泛函的变分variation of functional()U U y x 函数y 有一微小变化:1y y y 泛函U 也有一增量:y1()()U U y x U y x U函数的增量δy 、泛函的增量δU 等称为变分。
研究函数的变化与泛函的增量之间的关系称为变分问题。
变分问题例子:最速下降问题质点受重力作用从A 到B 沿曲线路径自由下滑,不考虑摩擦力,求质点下降最快的路径。
1'201()2x y T y dx gy +=⎰用泛函的极值问题表示的原理称为变分原理。
普通的动力学原理直接研究真实的状态,然后得到状态所应满足的方程。
而变分原理则不然,它不是专注于实际的状态,而是考察约束所容许的一切可能的状态,根据真实状态所满足的变分条件(如:真实位移使势能取极值,势能变分为零),进而得到真实状态所应满足的方程。
{F}真实变形曲线4.2哈密顿原理:a)作用:提出了质点系的真实运动与在质点系真实运动邻近,且为约束所能允许的可能运动的区分准则。
变分法综述1.变分法1.1.变分法起源变分法是17世纪末发展起来的一门数学分支,主要是古典变分法,它理论完整,在力学、光学、物理学、摩擦学、经济学、宇航理论、信息论和自动控制论等诸多方面有广泛应用。
20世纪中叶发展起来的有限元法,其数学基础之一就是变分法。
[1]变分法是处理泛函的数学领域,和处理函数的普通微积分相对。
譬如,这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。
变分法最终寻求的是极值函数:它们使得泛函取得极大或极小值。
有些曲线上的经典问题采用这种形式表达:一个例子是最速降线,在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A 到达不直接在它底下的一点B 。
在所有从A 到B 的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。
变分法的关键定理是欧拉-拉格朗日方程。
它对应于泛函的临界点。
在寻找函数的极大和极小值时,在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。
它不能分辨是找到了最大值或者最小值(或者都不是)。
变分法在理论物理中非常重要:在拉格朗日力学中,以及在最小作用量原理在量子力学的应用中。
变分法提供了有限元方法的数学基础,它是求解边界值问题的强力工具。
它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。
而在纯数学中的例子有,黎曼在调和函数中使用狄力克雷原理。
最优控制的理论是变分法的一个推广。
[2]同样的材料可以出现在不同的标题中,例如希尔伯特空间技术,摩尔斯理论,或者辛几何。
变分一词用于所有极值泛函问题。
微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。
极小曲面(肥皂泡)上也有很多研究工作,称为Plateau 问题。
1.2变分问题类型固定边界的变分问题,可动边界的变分问题,条件极值变分问题和参数形式的变分问题。
[3](1)古典变分问题举例 例1:最速降线或捷线问题(Brachistorone or curve of Steepest descent )问题。
这是历史上出的第一个变分法问题,1696年约翰·伯努利提出的。
第二章 变分原理变分原理是力学分析中重要数学工具之一,能量法、有限元法、加权残值法等力学方法都是以变分原理为数学工具的。
变分法的早期思想是Johann Bernoulli 在1696年以公开信的方式提出最速降线命题,并在1697年进行了解决。
关于变分法的一般理论是Euler 于1774年、Lagrange 于1762年共同奠基的,我们称之为Euler-Lagrange 变分原理。
1872年Betti 提出了功的互等定理。
1876年意大利学者Castigor 提出了最小功原理。
德国学者Hellinger 于1914年发表了有关不完全广义变分原理,后来美国学者Reissner 发表了与Hellinger 相类似的工作,此工作被称之为Hellinger-Reissner 变分原理。
我国学者钱令希于1950年发表“余能原理”论文。
我国学者胡海昌于1954年发表了有关广义变分原理的论文,日本学者鹫津久一郎(Washizu)于1955年发表了与有胡海昌相类似的工作,此工作被称之为胡-鹫变分原理。
1956年Biot 建立了热弹性力学变分原理。
1964年钱伟长提出用Lagranger 乘子构造广义 分原理的方法。
1964年Gurtin 提出了线弹性动力学变分原理。
1967年意大利学者Tonti 提出了四类变量的广义变分原理,在这类变分原理中,位移、应变、应力及Beltrami 应力函数都是变分变量。
§ 2.1 历史上著名的变分法命题历史上有三个著名的变分法命题,即最速降线问题、短程线线问题和等周问题。
这三个命题的提出和解决推动了变分法的发展。
1、最速降线命题1695年,Bernoulli 以公开信方式提出了最速降线命题。
如图2-1所示,设有不在同一垂线上的A 、B 两点,在此两点间连一曲线,有一重物沿此曲线下滑,忽略各种阻力的理想情况,什么曲线能使重物沿曲线AB 光滑下滑的时间最短。
设A 点与坐标原点O 重合,B 点的坐标为(x 1,y 1),滑体质量为m ,从O 点下滑至P 点时的速度为v ,根据能量恒原理,有:221mv mgy =(2-1) 用s 表示弧长,则沿弧切向方向的速度为: 图2-1 最速降线图gy dtdsv 2==(2-2) 曲线弧长为:dx dx dy dy dx ds 2221⎪⎭⎫⎝⎛+=+= (2-3)于是,时间为:()dx gyy v ds dt 212'+== (2-4)下降时间为:()⎰⎰+==12'21x Tdx gyy dt T (2-5) 经过求解,最速降线为圆滚线,其参数方程为:()()θθθcos 12sin 2-=-=Cy Cx (2-6)2、短程线命题设()0,,=z y x ϕ是如图2-2所示的曲面,在此曲面上有A 、B 两点,试问如何连接可使此曲面上A 、B 两点间的距离最短。
第一章 变分原理与变分法1.1 关于变分原理与变分法(物质世界存在的基本守恒法则)一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切,似乎存在着各种安排原理:昼/夜,日/月,阴/阳,静止/运动 等矛盾/统一的协调体; 对静止事物:平衡体的最小能量原理,对称/相似原理;对运动事物:能量守恒,动量(矩)守恒,熵增原理等。
变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律,获称最小作用原理。
Examples :① 光线最短路径传播;② 光线入射角等于反射角,光线在反射中也是光传播最短路径(Heron ); ③CB AC EB AE +>+Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理;在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。
二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法(求解约束方程系统极值的数学方法),是计算泛函驻值的数学理论数学上的泛函定义定义:数学空间(集合)上的元素(定义域)与一个实数域间(值域)间的(映射)关系特征描述法:{ J :R x R D X ∈=→⊂r J )(|}Examples :① 矩阵范数:线性算子(矩阵)空间数域‖A ‖1 = ∑=ni ij ja 1max ;∑=∞=nj ij ia A 1max;21)(1122∑∑===n j ni ij a A② 函数的积分: 函数空间数域D ⊂=⎰n ban f dxx f J )(Note : 泛函的自变量是集合中的元素(定义域);值域是实数域。
Discussion :① 判定下列那些是泛函:)(max x f f b x a <<=;x y x f ∂∂),(; 3x+5y=2; ⎰+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。
物理问题中的泛函举例① 弹性地基梁的系统势能i. 梁的弯曲应变能: ⎰=∏l b dx dxw d EJ 0222)(21ii. 弹性地基贮存的能量: dx kw lf⎰=∏0221 iii. 外力位能: ⎰-=∏l l qwdx 0iv. 系统总的势能:000;})({221222021===-+=∏⎰dxdww x dx qw kw dxw d EJ l 泛函的提法:有一种梁的挠度函数(与载荷无关),就会有一个对应的系统势能。