2011届高考数学一轮复习百大经典例题之不等式证明(新课标)

典型例题一例1 若10<<x ，证明)1(log )1(log x x a a +>-（0>a 且1≠a ）．分析1 用作差法来证明．需分为1>a 和10<<a 两种情况，去掉绝对值符号，然后比较法证明．解法1 （1）当1>a 时，因为 11,110>+<-<x x ， 所以 )1(log )1(log x x a a +-- )1(log )1(log x x a a +---= 0)1(log 2>--=x a ． （2）当10<<a 时， 因为 11,110>+<-<x x 所以 )1(log )1(log x x a a +-- )1(l o g )1(l o g x x a a ++-=0)1(l o g 2>-=x a ．综合（1）（2）知)1(log )1(log x x a a +>-．分析2 直接作差，然后用对数的性质来去绝对值符号． 解法2 作差比较法．因为 )1(log )1(log x x a a +-- a x a x lg )1lg(lg )1lg(+--=[])1lg()1lg(lg 1x x a+--=[])1lg()1lg(lg 1x x a+---=0)1lg(lg 12>--=x a， 所以)1(log )1(log x x a a +>-．说明：解法一用分类相当于增设了已知条件，便于在变形中脱去绝对值符号；解法二用对数性质（换底公式）也能达到同样的目的，且不必分而治之，其解法自然简捷、明快．典型例题二例2 设0>>b a ，求证：.abba b a b a >分析：发现作差后变形、判断符号较为困难．考虑到两边都是正数，可以作商，判断比值与1的大小关系，从而证明不等式．证明：b a a b ba ab b a b a b aba b a ---=⋅=)( ∵0>>b a ，∴.0,1>->b a ba∴1)(>-b a b a . ∴a b ba ba b a .1> 又∵0>abb a ， ∴.abba b a b a >.说明：本题考查不等式的证明方法——比较法(作商比较法).作商比较法证明不等式的步骤是：判断符号、作商、变形、判断与1的大小.典型例题三例3 对于任意实数a 、b ，求证444()22a b a b ++≥（当且仅当a b =时取等号） 分析 这个题若使用比较法来证明，将会很麻烦，因为，所要证明的不等式中有4()2a b +，展开后很复杂。

典型例题一例1 已知R c b a ∈,,，求证.222ca bc ab c b a ++≥++ 证明：∵ ab b a 222≥+， bc c b 222≥+，ca a c 222≥+， 三式相加，得)(2)(2222ca bc ab c b a ++≥++，即.222ca bc ab c b a ++≥++说明：这是一个重要的不等式，要熟练掌握．典型例题二例2 已知c b a 、、是互不相等的正数，求证：abc b a c c a b c b a 6)()()(222222>+++++ 证明：∵0222>>+a bc c b ，， ∴abc c b a 2)(22>+同理可得：abc b a c abc c a b 2)(2)(2222>+>+，． 三个同向不等式相加，得abc b a c c a b c b a 6)()()(222222>+++++ ①说明：此题中c b a 、、互不相等，故应用基本不等式时，等号不成立．特别地，b a =，c b ≠时，所得不等式①仍不取等号．典型例题三例3 求证)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++．分析：此问题的关键是“灵活运用重要基本不等式ab b a 222≥+，并能由)(2c b a ++这一特征，思索如何将ab b a 222≥+进行变形，进行创造”．证明：∵ab b a 222≥+，两边同加22b a +得222)()(2b a b a +≥+．即2)(222b a b a +≥+．∴)(222122b a b a b a +≥+≥+．同理可得：)(2222c b c b +≥+，)(2222a c a c +≥+． 三式相加即得)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++．典型例题四例4 若正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 ． 解：∵+∈R b a ,， ∴323+≥++=ab b a ab ，令ab y =，得0322≥--y y ，∴3≥y ，或1-≤y （舍去）．∴92≥=ab y ，∴ ab 的取值范围是[).,9+∞说明：本题的常见错误有二．一是没有舍去1-≤y ；二是忘了还原，得出[)+∞∈,3ab ．前者和后者的问题根源都是对ab 的理解，前者忽视了.0≥ab 后者错误地将2y 视为ab ．因此，解题过程中若用换元法，一定要对所设“元”的取值范围有所了解，并注意还原之．典型例题五例5 （1）求41622++=x x y 的最大值． （2）求函数1422++=x x y 的最小值，并求出取得最小值时的x 值． （3）若0,0>>y x ，且2=+y x ，求22y x +的最小值．解：（1）41622++=x x y 13163)1(162222+++=+++=x x x x .3326=≤即y 的最大值为.3当且仅当13122+=+x x 时，即22=x 2±=x 时，取得此最大值．（2）1141142222-+++=++=x x x x y 3142=-⋅≥ ∴ y 的最小值为3，当且仅当11422+=+x x ，即4)1(22=+x ，212=+x ，1±=x 时取得此最小值．（3）∴ xy y x 222≥+ ∴222)()(2y x y x +≥+即2)(222y x y x +≥+∵2=+y x ∴222≥+y x 即22y x +的最小值为2． 当且仅当4==y x 时取得此最小值．说明：解这类最值，要选好常用不等式，特别注意等号成立的条件．典型例题六例6 求函数xx y 321--=的最值． 分析：本例的各小题都可用最值定理求函数的最值，但是应注意满足相应条件．如：0≠x ，应分别对0,0<>x x 两种情况讨论，如果忽视+∈R x 的条件，就会发生如下错误：∵ 6213221)32(1321-=⋅-≤+-=--=xx x x x x y ，.621max -=y 解：当0>x 时，03,02>>x x ，又632=⋅xx ， 当且仅当x x 32=，即26=x 时，函数x x 32+有最小值.62 ∴ .621max -=y 当0<x 时，03,02>->-x x ，又6)3()2(=-⋅-xx ， 当且仅当x x 32-=-，即26+=x 时，函数)32(x x +-最小值.62 ∴ .621min +=y典型例题七例7 求函数91022++=x x y 的最值．分析：291991)9(2222≥+++=+++=x x x x y ．但等号成立时82-=x ，这是矛盾的！于是我们运用函数xx y 1+=在1≥x 时单调递增这一性质，求函数)3(1≥+=t tt y 的最值．解：设392≥+=x t ，∴t t x x y 191022+=++=．当3≥t 时，函数tt y 1+=递增． 故原函数的最小值为310313=+，无最大值．典型例题八例8 求函数4522++=x x y 的最小值．分析：用换元法，设242≥+=x t ，原函数变形为)2(1≥+=t tt y ，再利用函数)2(1≥+=t tt y 的单调性可得结果．或用函数方程思想求解．解：解法一： 设242≥+=x t ，故).2(14522≥+=++=t t t x x y212121212121121)()11()(2t t t t t t t t t t y y t t --=-+-=-≥>，设． 由202121><-t t t t ，，得：0121>-t t ，故：21y y <． ∴函数)2(1≥+=t t t y 为增函数，从而25212=+≥y ． 解法二： 设242≥=+t x ，知)2(1≥+=t tt y ，可得关于t 的二次方程012=+-yt t ，由根与系数的关系，得：121=t t ．又2≥t ，故有一个根大于或等于2，设函数1)(2+-=yt t t f ，则0)2(≤f ，即0124≤+-y ，故25≥y ．说明：本题易出现如下错解：2414452222≥+++=++=x x x x y ．要知道，41422+=+x x 无实数解，即2≠y ，所以原函数的最小值不是2．错误原因是忽视了等号成立的条件．当a 、b 为常数，且ab 为定值，b a ≠时，ab ba >+2，不能直接求最大（小）值，可以利用恒等变形ab b a b a 4)(2+-=+，当b a -之差最小时，再求原函数的最大（小）值．典型例题九例9 ,4,0,0=+>>b a b a 求2211⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a 的最小值．分析：此题出现加的形式和平方，考虑利用重要不等式求最小值． 解：由,4=+b a ，得.2162)(222ab ab b a b a -=-+=+ 又,222ab b a ≥+得ab ab 2216≥-，即4≤ab ．21111222⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴b b a a b b a a .225244444422=⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ab 故2211⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a 的最小值是225．说明：本题易出现如下错解：8441212112222=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴b b a a b b a a ，故2211⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a 的最小值是8．错误的原因是，在两次用到重要不等式当等号成立时，有1=a 和1=b ，但在4=+b a 的条件下，这两个式子不会同时取等号（31==b a 时，）．排除错误的办法是看都取等号时，与题设是否有矛盾．典型例题十例10 已知：+∈R c b a ,,，求证：c b a cab b ac a bc ++≥++． 分析：根据题设，可想到利用重要不等式进行证明．证明：.2,222c bac a bc c ab abc b ac a bc ≥+=≥+即同理：a cab b ac b c ab a bc 2,2≥+≥+ ).(22c b a c ab b ac a bc ++≥⎪⎭⎫⎝⎛++∴.c b a cab b ac a bc ++≥++∴说明：证明本题易出现的思维障碍是：(1)想利用三元重要不等式解决问题；(2)不会利用重要不等式ab ba ≥+2的变式；(3)不熟练证明轮换对称不等式的常用方法．因此，在证明不等式时，应根据求证式两边的结构，合理地选择重要不等式．另外，本题的证明方法在证轮换对称不等式时具有一定的普遍性．典型例题十一例11设R e d c b a ∈、、、、，且8=++++e d c b a ，1622222=++++e d c b a ，求e 的最大值．分析：如何将22b a +与b a +用不等式的形式联系起来，是本题获解的关键．算术平均数与几何平均数定理ab b a 222≥+两边同加22b a +之后得222)(21b a b a +≥+． 解：由222)(21b a b a +≥+，则有 ,)(41])()[(212222222d c b a d c b a d c b a +++≥+++≥+++.5160)8(411622≤≤⇒-≥-∴e e e.51656＝时，当最大值e d c b a ====说明：常有以下错解：abcd cd ab d c b a e 4)(21622222≥+≥+++=-， 448abcd d c b a e ≥+++=-．故abcd e abcd e ≥-≥-4222)48(,4)16(． 两式相除且开方得516014)8(1622≤≤⇒≥--e e e ．错因是两不等式相除，如211,12>>，相除则有22>． 不等式222)(21b a b a +≥+是解决从“和”到“积”的形式．从“和”到“积”怎么办呢？有以下变形：222)(21b a b a +≥+或)(21222b a b a +≥+．典型例题十二例12 已知：0>y x ＞，且：1=xy ，求证：2222≥-+yx y x ，并且求等号成立的条件．分析：由已知条件+∈R y x ，，可以考虑使用均值不等式，但所求证的式子中有y x -，无法利用xy y x 2≥+，故猜想先将所求证的式子进行变形，看能否出现)(1)(y x y x -+-型，再行论证．证明：,1.0,0=>-∴>>xy y x y x 又yx xyy x y x y x -+-=-+∴2)(222 yx y x -+-=2)( .22)(2)(2=-⋅-≥y x y x等号成立，当且仅当)(2)(y x y x -=-时．.4,2,2)(222=+=-=-∴y x y x y x ,6)(,12=+∴=y x xy.6=+∴y x由以上得226,226-=+=y x 即当226,226-=+=y x 时等号成立．说明：本题是基本题型的变形题．在基本题型中，大量的是整式中直接使用的均值不等式，这容易形成思维定式．本题中是利用条件将所求证的式子化成分式后再使用均值不等式．要注意灵活运用均值不等式．典型例题十三例13 已知00>>y x ，，且302=++xy y x ，求xy 的最大值． 分析：由302=++xy y x ，可得，)300(230<<+-=x xxy ， 故)300(2302<<+-=x x x x xy ，令xx x t +-=2302．利用判别式法可求得t （即xy ）的最大值，但因为x 有范围300<<x 的限制，还必须综合韦达定理展开讨论．仅用判别式是不够的，因而有一定的麻烦，下面转用基本不等式求解．解法一：由302=++xy y x ，可得，)300(230<<+-=x xxy ． xx x x x x xy +-+++-=+-=264)2(34)2(23022⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=264)2(34x x 注意到16264)2(2264)2(=+⋅+≥+++x x x x ． 可得，18≤xy ． 当且仅当2642+=+x x ，即6=x 时等号成立，代入302=++xy y x 中得3=y ，故xy 的最大值为18．解法二：+∈R y x , ，xy xy y x ⋅=≥+∴22222， 代入302=++xy y x 中得：3022≤+⋅xy xy 解此不等式得180≤≤xy ．下面解法见解法一，下略．说明：解法一的变形是具有通用效能的方法，值得注意：而解法二则是抓住了问题的本质，所以解得更为简捷．典型例题十四例14 若+∈R c b a 、、，且1=++c b a ，求证：8111111≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-c b a ．分析：不等式右边的数字“8”使我们联想到可能是左边三个因式分别使用基本不等式所得三个“2”连乘而来，而abca cb a a a 2111≥+=-=-． 证明：acb a a a +=-=-111，又0>a ，0>b ，0>c ， a bc a c b 2≥+∴，即a bca a 21≥-． 同理b ca b 211≥-，cab c 211≥-， 8111111≥⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴c b a ．当且仅当31===c b a 时，等号成立． 说明：本题巧妙利用1=++c b a 的条件，同时要注意此不等式是关于c b a 、、的轮换式．典型例题十五例15 设+∈R c b a 、、，求证：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++．分析：本题的难点在于222222a c c b b a +++、、不易处理，如能找出22b a +与b a +之间的关系，问题可得到解决，注意到：b a b a b a b a ab b a +≥+⇒+≥+⇒≥+)(2)()(222222222，则容易得到证明．证明：2222222)(2)(22b a ab b a b a ab b a +≥++≥+∴≥+， ，于是．)(222222b a b a b a +=+≥+ 同理：)(2222c b c b +≥+，)(2222a c a c +≥+． 三式相加即得：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++．说明：注意观察所给不等式的结构，此不等式是关于c b a 、、的轮换式．因此只需抓住一个根号进行研究，其余同理可得，然后利用同向不等式的可加性．典型例题十六例16 已知：+∈R b a 、（其中+R 表示正实数）求证：．ba ab b a b a b a 112222222+≥≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+≥+ 分析：要证明的这一串不等式非常重要，222b a +称为平方根，2b a +称为算术平均数，ab 称为几何平均数，ba 112+称为调和平均数．证明：()．0412222222≥-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+b a b a b a ．222222⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴b a b a +∈R b a 、∴2222ba b a +≥+，当且仅当“b a =”时等号成立． ．0)(412222≥-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+b a b a b a ∴222⎪⎪⎭⎫⎝⎛+≥+b a b a ，等号成立条件是“b a =” ，0)(41222≥-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ab b a ∴ab b a ≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛+22，等号成立条件是“b a =”．ba abab b a b a ab ab ba ab +-+=+-=+-2)(2112 ．0)()2(2≥+-=+-+=ba b a ab b a ab b a ab∴ba ab 112+≥，等号成立条件是“b a =”．说明：本题可以作为均值不等式推论，熟记以上结论有利于处理某些复杂不等式的证明问题．本例证明过程说明，不等式性质中的比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法．典型例题十七例17 设实数1a ，1b ，1c ，2a ，2b ，2c 满足021>a a ，2111b c a ≥，2222b c a ≥，求证2212121)())((b b c c a a +≥++．分析：由条件可得到1a ，2a ，1c ， 2c 同号．为方便，不妨都设为正．将求证式子的左边展开后可看出有交叉项21c a 和12c a 无法利用条件，但使用均值不等式变成乘积后，重新搭配，可利用条件求证．证明：同号．2121,,0a a a a ∴>同理，由22222111b c a b c a ≥≥，知1a 与1c 同号，2a 与2c 同号 ∴1a ，1c ，2a ，2c 同号．不妨都设为正．122122112121))((c a c a c a c a c c a a +++=++∴122122212c a c a b b ⋅++≥221122212c a c a b b ⋅++=222122212b b b b ⋅++≥||2212221b b b b ++=221212221)(2b b b b b b +=++≥，即2212121)())((b b c c a a +≥++．说明：本题是根据题意分析得1a ，1c ，2a ，2c 同号，然后利用均值不等式变形得证．换一个角度，由条件的特点我们还会联想到使用二次方程根的判别式，可能会有另一类证法．实际上，由条件可知1a ，1c ，2a ，2c 为同号，不妨设同为正．又∵2111b c a ≥，2222b c a ≥，∴211144b c a ≥，222244b c a ≥．不等式021121≥++c x b x a ，022222≥++c x b x a 对任意实数x 恒成立（根据二次三项式恒为正的充要条件），两式相加得0)()(2)(2121221≥+++++c c x b b x a a ，它对任意实数x 恒成立．同上可得：2212121)())((b b c c a a +≥++．典型例题十八例18 如下图所示，某畜牧基地要围成相同面积的羊圈4间，一面可利用原有的墙壁，其余各面用篱笆围成，篱笆总长为36m ．问每间羊圈的长和宽各为多少时，羊圈面积最大？分析：可先设出羊圈的长和宽分别为x ，y ，即求xy 的最大值．注意条件3664=+y x 的利用．解：设每间羊圈的长、宽分别为x ，y ，则有3664=+y x ，即1832=+y x ．设xy S =,623223218xy y x y x =⋅≥+=227,227≤≤∴S xy 即 上式当且仅当y x 32=时取“＝”．此时⎩⎨⎧===,1832,32y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧==∴.3,29y x ∴羊圈长、宽分别为29m ，3m 时面积最大． 说明：(1)首先应设出变量（此处是长和宽），将题中条件数学化（即建立数学模型）才能利用数学知识求解；(2)注意在条件1832=+y x 之下求积xy 的最大值的方法：直接用不等式y x y x 3223218⋅≥+=，即可出现积xy ．当然，也可用“减少变量”的方法：22218261)218(261)218(31)218(31⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅≤-⋅⋅=-⋅==→-=x x x x x x xy S x y ，当且仅当x x 2182-=时取“=”．典型例题十九例19 某单位建造一间地面面积为12m 2的背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为1200元/m 2，房屋侧面的造价为800 元/m 2，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3m ，且不计房屋背面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：这是一个求函数最小值的问题，关键的问题是设未知数，建立函数关系．从已知条件看，矩形地面面积为12m 2，但长和宽不知道，故考虑设宽为x m ，则长为x12m ，再设总造价为y ．由题意就可以建立函数关系了．解：设矩形地面的正面宽为x m ，则长为x12m ；设房屋的总造价为y ．根据题意，可得： 5800280012312003+⨯⋅⋅+⋅=x x y 5800576003600++=xx580016236005800)16(3600+⋅⨯≥++=xx x x )(34600580028800元=+=当xx 16=，即4=x 时，y 有最小值34600元． 因此，当矩形地面宽为4m 时，房屋的总造价最低，最低总造价是34600元．说明：本题是函数最小值的应用题，这类题在我们的日常生活中经常遇到，有求最小值的问题，也有求最大值的问题，这类题都是利用函数式搭桥，用均值不等式解决，解决的关键是等号是否成立，因此，在解这类题时，要注意验证等号的成立．典型例题二十例20 某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每1m 长造价40元，两侧墙砌砖，每1m 长造价45元，顶部每1m 2造价20元．计算：(1)仓库底面积Ｓ的最大允许值是多少？(2)为使Ｓ达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ 分析：用字母分别表示铁栅长和一堵砖墙长，再由题意翻译数量关系．解：设铁栅长为x m ，一堵砖墙长为y m ，则有xy S =.由题意得(*).32002045240=+⨯+xy y x应用算术平均数与几何平均数定理，得,201202012020904023200S S xy xy xyy x +=+=+⋅≥,1606≤+∴S S即：.0)10)(10(≤--S S,010,016≤-∴>+S S从而：.100≤S因此S 的最大允许值是2100m ，取得此最大值的条件是y x 9040=，而100=xy ，由此求得15=x ，即铁栅的长应是m 15． 说明：本题也可将xSy =代入（*）式，导出关于x 的二次方程，利用判别式法求解． 典型例题二十一例21 甲、乙两地相距km s ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过km/h c ，已知汽车每小时的运输成本．．．．．．．．（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度km/h v 的平方成正比，且比例系数为b ；固定部分为a 元．（1）把全程运输成本y 元表示为速度km/h v 的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？分析：这是1997年的全国高考试题，主要考查建立函数关系式、不等式性质（公式）的应用．也是综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的一道优秀试题．解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为h vs，全程运输成本为 )(2bv vas v s bv v s a y +=⋅+⋅=．故所求函数为)(bv bas y +=，定义域为)0(c v ，∈．（2）由于v b a s 、、、都为正数，故有bv bas bv v a s ⋅⋅≥+2)(， 即ab s bv va s 2)(≥+．当且仅当bv v a =，即ba v =时上式中等号成立． 若c b a ≤时，则bav =时，全程运输成本y 最小； 当c ba≤，易证c v <<0，函数)()(bv v a s v f y +==单调递减，即c v =时，)(m i n bc cas y +=．综上可知，为使全程运输成本y 最小，在c b a ≤时，行驶速度应为b av =； 在c ba≤时，行驶速度应为c v =．。

不等式的证明考纲要求通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．知识梳理1．基本不等式定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a ，b ＞0，那么a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即两个正数的算数平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．定理3：如果a ，b ，c ∈(0，＋∞)，那么a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 2．不等式的证明(1)比较法①作差法(a ，b ∈R)：a －b ＞0⇔a ＞b ；a －b ＜0⇔a ＜b ；a －b ＝0⇔a ＝b .②作商法(a ＞0，b ＞0)：a b ＞1⇔a ＞b ；a b ＜1⇔a ＜b ；a b＝1⇔a ＝b . (2)综合法与分析法①综合法：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理论证而得出命题成立．综合法又叫顺推证法或由因导果法．②分析法：从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)．这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．1．作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系．2．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等．3．几个重要不等式(1)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(2)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论．( )(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论．( )(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．( )(4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用．( )答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×解析 (1)作商比较法是商与1的大小比较．(3)分析法是从结论出发，寻找结论成立的充分条件．(4)应用反证法时，“反设”可以作为推理的条件应用．2．若a ＞b ＞1，x ＝a ＋1a ，y ＝b ＋1b，则x 与y 的大小关系是( ) A ．x ＞yB ．x ＜yC ．x ≥yD ．x ≤y答案 A解析 x －y ＝a ＋1a －⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＝a －b ＋b －a ab ＝a －b ab －1ab.由a ＞b ＞1得ab ＞1，a －b ＞0，所以a －bab －1ab ＞0，即x －y ＞0，所以x ＞y . 3．已知a ≥b ＞0，M ＝2a 3－b 3，N ＝2ab 2－a 2b ，则M ，N 的大小关系为________． 答案 M ≥N解析 M －N ＝2a 3－b 3－(2ab 2－a 2b )＝2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(2a ＋b )＝(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )．因为a ≥b ＞0，所以a －b ≥0，a ＋b ＞0,2a ＋b ＞0，从而(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )≥0，故2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b ，即M ≥N .4．已知a ＋b ＋c >0，ab ＋bc ＋ac >0，abc >0，用反证法求证a >0，b >0，c >0时的假设为( )A ．a <0，b <0，c <0B ．a ≤0，b >0，c >0C ．a ，b ，c 不全是正数D ．abc <0答案 C5．(2021·聊城模拟)下列四个不等式：①log x 10＋lg x ≥2(x >1)；②|a －b |<|a |＋|b |；③⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2(ab ≠0)；④|x －1|＋|x －2|≥1，其中恒成立的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 log x 10＋lg x ＝1lg x＋lg x ≥2(x >1)，①正确； ab ≤0时，|a －b |＝|a |＋|b |，②不正确；因为ab ≠0，b a 与a b同号， 所以⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ＝⎪⎪⎪⎪b a ＋⎪⎪⎪⎪a b ≥2，③正确；由|x －1|＋|x －2|的几何意义知，|x －1|＋|x －2|≥1恒成立，④也正确，综上①③④正确．6．(2021·西安调研)已知a ＞0，b ＞0且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b的最小值是________． 答案 4解析 由ln(a ＋b )＝0，得a ＋b ＝1.又a ＞0，b ＞0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·a b ＝4.当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．故1a ＋1b的最小值为4.考点一 比较法证明不等式【例1】 设不等式－2＜|x －1|－|x ＋2|＜0的解集为M ，a ，b ∈M .(1)证明：⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ＜14；(2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由．(1)证明 设f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，x ≤－2，－2x －1，－2＜x ＜1，－3，x ≥1.由－2＜－2x －1＜0，解得－12＜x ＜12. 因此集合M ＝⎝⎛⎭⎫－12，12，则|a |＜12，|b |＜12. 所以⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13|a |＋16|b |＜13×12＋16×12＝14. (2)解 由(1)得a 2＜14，b 2＜14. 因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2)＝16a 2b 2－4a 2－4b 2＋1＝(4a 2－1)(4b 2－1)＞0，所以|1－4ab |2＞4|a －b |2，故|1－4ab |＞2|a －b |.感悟升华 比较法证明不等式的方法与步骤(1)作差比较法：作差、变形、判号、下结论．(2)作商比较法：作商、变形、 判断、下结论．提醒 ①当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法． ②当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，一般使用作商比较法．【训练1】 设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是________．答案 s ≥t解析 s －t ＝a ＋b 2＋1－(a ＋2b )＝b 2－2b ＋1＝(b －1)2≥0，∴s ≥t .考点二 综合法证明不等式【例2】 (2020·全国Ⅲ卷)设a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1.(1)证明：ab ＋bc ＋ca <0；(2)用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c }≥34. 证明 (1)由题设可知，a ，b ，c 均不为零，所以ab ＋bc ＋ca ＝12[(a ＋b ＋c )2－(a 2＋b 2＋c 2)]＝ －12(a 2＋b 2＋c 2)<0. (2)不妨设max{a ，b ，c }＝a .因为abc ＝1，a ＝－(b ＋c )，所以a >0，b <0，c <0.由bc ≤b ＋c 24，可得abc ≤a 34，当且仅当b ＝c ＝－a 2时取等号， 故a ≥34，所以max{a ，b ，c }≥34.感悟升华 1.综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．2．在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件．【训练2】 已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1.证明：(1)1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2； (2)(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.证明 (1)因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，又abc ＝1，故有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ＝ab ＋bc ＋ca abc ＝1a ＋1b ＋1c . 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．所以1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2. (2)因为a ，b ，c 为正数且abc ＝1，故有(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥33a ＋b 3b ＋c 3c ＋a3＝3(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a ) ≥3×(2ab )×(2bc )×(2ca )＝24. 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立，所以(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.考点三 分析法证明不等式【例3】 (2021·哈尔滨一模)设a ，b ，c >0，且ab ＋bc ＋ca ＝1.求证：(1)a ＋b ＋c ≥3；(2)a bc ＋b ac ＋c ab≥3(a ＋b ＋c )． 证明 (1)要证a ＋b ＋c ≥3，由于a ，b ，c >0，因此只需证明(a ＋b ＋c )2≥3， 即证a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3，又ab ＋bc ＋ca ＝1，故需证明a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3(ab ＋bc ＋ca )，即证a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .又易知ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2(当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)， ∴原不等式成立．(2)a bc ＋b ac ＋c ab ＝a ＋b ＋c abc. 由于(1)中已证a ＋b ＋c ≥3，因此要证原不等式成立，只需证明1abc ≥a ＋b ＋c ， 即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤1，即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca .又a bc ＝ab ·ac ≤ab ＋ac 2，b ac ≤ab ＋bc 2，c ab ≤bc ＋ca 2， ∴a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca (a ＝b ＝c ＝33时等号成立)． ∴原不等式成立．感悟升华 1.当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．2．分析法证明的思路是“执果索因”，其框图表示为：Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件 【训练3】 已知a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac ＜3a .证明 要证b 2－ac ＜3a ，只需证b 2－ac ＜3a 2.因为a ＋b ＋c ＝0，只需证b 2＋a (a ＋b )＜3a 2，只需证2a 2－ab －b 2＞0，只需证(a －b )(2a ＋b )＞0，只需证(a －b )(a －c )＞0.因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，a －c ＞0，所以(a －b )(a －c )＞0显然成立，故原不等式成立.1．(2021·江西协作体联考)(1)已知x ，y 是实数，求证：x 2＋y 2≥2x ＋2y －2；(2)用分析法证明：6＋7>22＋ 5.证明 (1)(x 2＋y 2)－(2x ＋2y －2)＝(x 2－2x ＋1)＋(y 2－2y ＋1)＝(x －1)2＋(y －1)2，而(x －1)2≥0，(y －1)2≥0，∴(x 2＋y 2)－(2x ＋2y －2)≥0，∴x 2＋y 2≥2x ＋2y －2.(2)要证6＋7>22＋5，只需证(6＋7)2>(22＋5)2成立，即证13＋242>13＋240成立， 即证42>40成立，即证42>40成立，因为42>40显然成立，所以原不等式成立．2．(2020·兰州诊断)函数f (x )＝x 2－2x ＋1＋24－4x ＋x 2.(1)求f (x )的值域；(2)若关于x 的不等式f (x )－m <0有解，求证：3m ＋2m －1>7. 解 f (x )＝x 2－2x ＋1＋24－4x ＋x 2＝|x －1|＋2|x －2|.(1)当x ≥2时，f (x )＝3x －5≥1；当1<x <2时，f (x )＝3－x,1<f (x )<2；当x ≤1时，f (x )＝5－3x ≥2.综上可得，函数的值域为[1，＋∞)．(2)证明 若关于x 的不等式f (x )－m <0有解，则f (x )<m 有解，故只需m >f (x )min ，即m >1，∴3m ＋2m －1＝3(m －1)＋2m －1＋3≥26＋3>7，原式得证． 3．(2021·沈阳五校协作体联考)已知a ，b ，c ，d 均为正实数．(1)求证：(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2；(2)若a ＋b ＝1，求证：a 21＋a ＋b 21＋b ≥13. 证明 (1)(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2≥a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＝(ac ＋bd )2. 当且仅当ad ＝bc 时取等号．(2)3⎝⎛⎭⎫a 21＋a ＋b 21＋b ＝⎝⎛⎭⎫a 21＋a ＋b 21＋b (1＋a ＋1＋b )＝a 2＋1＋b 1＋a ·a 2＋1＋a 1＋b·b 2＋b 2≥a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2＝1，当且仅当a ＝b ＝12时取等号， 所以a 21＋a ＋b 21＋b ≥13. 4．(2021·西安质检)已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1.(1)求证：a 2＋b 2＋c 2≥13； (2)求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 证明 (1)∵a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时，取“＝”)，b 2＋c 2≥2bc (当且仅当b ＝c 时，取“＝”)，c 2＋a 2≥2ca (当且仅当a ＝c 时，取“＝”)，∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，∵(a ＋b ＋c )2＝1，∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1，∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥1，即a 2＋b 2＋c 2≥13. (2)∵a 2b ＋b ≥2a (当且仅当a ＝b 时，取“＝”)，b 2c ＋c ≥2b (当且仅当b ＝c 时，取“＝”)，c 2a ＋a ≥2c (当且仅当a ＝c 时，取“＝”)，∴a 2b ＋b 2c ＋c 2a＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c ， ∵a ＋b ＋c ＝1，∴a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.5．(2021·开封一模)已知a ，b ，c 为一个三角形的三边长．证明： (1)b a ＋c b ＋a c ≥3； (2)a ＋b ＋c2a ＋b ＋c >2.证明 (1)因为a ，b ，c 为一个三角形的三边长，所以b a ＋c b ＋a c ≥33b a ·c b ·a c＝3⎝⎛⎭⎫当且仅当b a ＝c b ＝a c 时，取等号，所以不等式得证． (2)由于a ，b ，c 为一个三角形的三边长，则有(b ＋c )2＝b ＋c ＋2bc >a ，即b ＋c >a ，所以ab ＋ac ＝a (b ＋c )>a ，同理，ab ＋bc >b ，ac ＋bc >c ，三式相加得2ac ＋2bc ＋2ab >a ＋b ＋c ，左右两边同加a ＋b ＋c 得(a ＋b ＋c )2>2(a ＋b ＋c )， 所以a ＋b ＋c2a ＋b ＋c >2，不等式得证．6．(2020·贵阳诊断) ∀a ∈R ，|a ＋1|＋|a －1|的最小值为M .(1)若三个正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝M ，证明：x 2y ＋y 2z ＋z 2x≥2； (2)若三个正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝M ，且(x －2)2＋(y －1)2＋(z ＋m )2≥13恒成立，求实数m 的取值范围．(1)证明 由∀a ∈R ，|a ＋1|＋|a －1|≥|a ＋1－a ＋1|＝2，当且仅当－1≤a ≤1时取等号，得x ＋y ＋z ＝2，即M ＝2.又x ，y ，z >0，所以x 2y ＋y ≥2x 2y·y ＝2x ， 同理可得y 2z ＋z ≥2y ，z 2x＋x ≥2z ， 三式相加可得，x 2y ＋y 2z ＋z 2x≥x ＋y ＋z ＝2，当且仅当x ＝y ＝z ＝23时，取等号， 所以x 2y ＋y 2z ＋z 2x≥2. (2)解 (x －2)2＋(y －1)2＋(z ＋m )2≥13恒成立，等价于13≤[(x －2)2＋(y －1)2＋(z ＋m )2]min ， 由(12＋12＋12)[(x －2)2＋(y －1)2＋(z ＋m )2]≥(x －2＋y －1＋z ＋m )2＝(m －1)2， 当且仅当x －2＝y －1＝z ＋m 时取等号，可得13≤13(m －1)2， 即|m －1|≥1，解得m ≥2或m ≤0，即m 的取值范围是(－∞，0]∪[2，＋∞)．。

8.3 基本不等式的证明【知识网络】1、重要的基本不等式，不等式等号成立的条件；2、证明不等式的方法及应用。

【典型例题】例1：（1）设,a R ∈b ，已知命题:p a b =；命题222:22a b a bq ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，则p 是q 成 立的 （ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B 。

解析： a b =是22222a b a b++⎛⎫≤⎪⎝⎭等号成立的条件。

（2）若,,a b c 为△ABC 的三条边，且222,S a b c p ab bc ac =++=++，则（ ）A ．2S p ≥B ． 2p S p <<C ．S p >D ．2p S p ≤<答案:D ．解析：2222221()[()()()]0,2S p a b c ab bc ac a b b c a c S p -=++-++=-+-+-≥∴≥，又∵222222222||,||,||,2,2,2a b c b c a a c b a ab b c b bc c a a ac c b -<-<-<∴-+<-+<-+< ∴2222(),2a b c ab bc ac S p ++<++∴<。

（3）设x > 0, y > 0,y x y x a +++=1, yyx x b +++=11， a 与b 的大小关系 （ ）A ．a >bB ．a <bC ．a ≤bD ．a ≥b答案：B 。

解析：11111x y x y x ya x y x y x y x y+==+<+++++++++。

（4）b 克盐水中，有a 克盐（0>>a b ），若再添加m 克盐（m >0）则盐水就变咸了， 试根据这一事实提炼一个不等式 .答案：mb ma b a ++<．解析:由盐的浓度变大得． （5）设.11120,0的最小值，求且yxy x y x +=+>> ．答案： 223+。

高中数学辅导网://shuxuefudao课时训练 37 不等式的证明〔二〕【说明】本试卷总分值 100 分，考试时间 90 分钟.一、选择题〔每题6 分，共 42 分〕1.设 0＜ x ＜1,a 、 b 为正常数，a 21 b2 的最小值是〔〕xxA.4abB.2(a 2+b 2)22C.(a+b)D.(a-b)答案： C2θ ,θ ∈ (0, ), 那么 a 2b 2 2222 22 2222解析： 令 x=cos x1 x=a sec θ +bcsc θ =a +b +a tan θ +bcot θ ≥2a 2+b 2+2ab=(a+b) 2.2.假设 a 、 b ∈R ,a 2+b 2=10,那么 a-b 的取值X 围是〔 〕A.［ -25 ，2 5 ］B.［ -2 10 ，2 10 ］C.［- 10， 10 ］D.［0，10 ］答案： A解析： 设 a=10 cos θ,b= 10 sin θ,那么a-b= 10 (cos θ -sin θ )=2 5 ·cos(θ+)4-2 5,2 5 ］.3. a ∈R + ,那么以下各式中成立的是〔 〕A.cos 2θ · lga+sin 2θ · lgb ＜ lg(a+b)B.cos 2θ · lga+sin 2θ · lgb ＞ lg(a+b)C.a cos 2b sin 2=a+bD.a cos 2b sin 2＞ a+b答案： A解析： cos 2θ lga+sin 2θ lgb ＜ cos 2θ lg(a+b)+sin 2θlg(a+b)=lg(a+b).4.设函数 f(x)=ax+b(0 ≤ x ≤1),那么 a+2b ＞0 是 f(x) ＞0 在［ 0， 1］上恒成立的〔 〕A. 充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案： B解析：a+2b ＞ 0a ·1+b ＞ 0 f( 1 )＞ 0,不能推出 f(x) ＞ 0,x ∈［0,1］;反之，f(x) ＞ 0,x ∈［ 0,1］122a+2b ＞ 0.f( )＞ 025.(2021**万州区一模， 7)函数 y=f(x) 满足：① y=f(x+1) 是偶函数；②在［ 1， +∞〕上为增函数 .假设 x 1＜ 0,x 2＞ 0,且 x 1+x 2＜ -2,那么 f(-x 1)与 f(-x 2)的大小关系是 ()A.f(-x 1 )＞ f(-x 2)B.f(-x 1)＜ f(-x 2)C.f(-x )=f(-x 2 )D.f(-x )与 f(-x )的大小关系不能确定112答案： A解析： y=f(x+1) 是偶函数 f(x+1)=f(-x+1)f(x+2)=f(-x). 又 x 1+x 2＜ -2,-x 1＞ 2+x 2＞ 2，京翰教育 1 对 1 家教://zgjhjy/故f(-x 1)＞ f(2+x 2)=f(-x 2).6.(2021**十一校大联考，9)定义在R上的偶函数 y=f(x) 满足 f(x+2)=-f(x) 对所有实数x 都成立，且在［ -2， 0］上单调递增， a=f( 3),b=f(7),c=f( log1 8)，那么以下成立的是 () 222A.a＞ b＞cB.b ＞ c＞ aC.b ＞ a＞ cD.c＞ a＞ b答案： B解析：由 f(x+2)=-f(x) 有 f(x+4)=f(x),∴T=4, 而 f 〔x〕在R上为偶函数又在［ -2， 0］上单调递增，所以f(x) 在［ 0，2］上单调递减.7113).b=f( )=f(-)=f(),c=f( log1 8)=f(-3)=f(1),a=f(22222∵3＞ 1＞1,∴b＞ c＞ a.22设、、、∈，m= a2b2+c2d2,n=(a c) 2(b d )2那么()7. a b c d R,A.m ＜ nB.m ＞ nC.m≤nD.m ≥ n答案： D解析：设 A(a,b),B(c,d),O(0,0),∵|OA|+|OB| ≥ |AB|,∴得 m≥ n.二、填空题〔每题5 分，共 15 分〕8.设 x＞ 0,y＞ 0,A=x y,B=x y,那么 A ， B 的大小关系是 __________________.x y x111y答案： A＜Bx y x y 解析： A=1x y x 11=B.1 x y y9. x2+y 2=1, 对于任意实数x,y 恒有不等式 x+y-k ≥ 0 成立，那么 k 的最大值是 ____________.答案：- 2解析：设 x=cosθ,y=sin θ ,k≤ x+y=sin θ +cosθ= 2 sin(θ +), ∴ k≤ - 2 .∴ k 的最大值为4- 2 .2210.设｛ a n｝是等差数列，且 a1 +a11≤ 100,记 S=a1+a2+⋯ +a11那么 S 的取值X围是______________.答案：［ -55 2， 55 2 ］22≥( a1 a11a1a11∈［ -5 2 ,5 2］ .解析：由a1a11)2222∴S=a1+a2+⋯ +a11京翰教育 1 对 1 家教://zgjhjy/=(a1+a11)+(a2+a10)+⋯ +(a5+a7)+a 6112 ,552 ］.= (a1+a11)∈［ -552三、解答题〔 11— 13 题每题 10 分， 14 题 13 分，共 43分〕11.假设 x,y 均为正数，且x+y ＞ 2.求证 : 1 y与1x中至少有一个小于 2. x y证明：假设1y 与 1x均不小于 2，即1y≥ 2 且1x≥ 2,那么 1+y≥2x,1+x ≥ 2y.相加得x y x y2+x+y ≥ 2(x+y) ，推出 x+y ≤ 2,与题设 x+y ≥ 2矛盾 .故假设错误 .12. a n= 1 2 2 3 +⋯+ n(n 1) (n∈N*),求证：恒成立 .2n(n1) ＜a n＜ (n1)对n∈ N* 22证明： a n＞1222+⋯+ n 2=1+2+3+⋯+n=n(n 1),2而 a n＜1［ (1+2)+(2+3)+ ⋯ +(n+(n+1)) ］ =n+(1+2+3+ ⋯ +n)=n22n ＜ (n1)2. 222213.假设 a,b,c 为三角形三边，x,y,z∈R ,x+y+z=0,2z2证明：∵ z=-x-y,∴a2yz+b 2zx+c 2 xy=a2y(-x-y)+b 2x(-x-y)+c 2xy=-b 2x2-(a2+b2-c2)yx-a 2y2,∴原不等式f(x)=b 2x2+(a2+b2-c2)yx+a 2y2≥0.(*)22 2 222222222］ =(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c),∵Δ =(a +b-c ) -4a b =［ (a +b +2ab)-c］［ (a+b -2ab)-ca,b,c 为三角三边，∴＜ 0.∴b2＞ 0,∴ f(x) ＞ 0 对 x∈R恒成立，即〔 * 〕表示，∴原不等式得证 .14.： a∈R+,求证： a+41≥17.a44aa证明：∵ a∈R+，设 t=a+4a≥ 2a4=4, 那么左式=f(t)=t+1(t ≥4)a t1∴f(t)=(tt)2+2 在 t≥ 4 上递增 .1 17∴f(t) ≥ f(4)=4+ =得证.4 4京翰教育 1 对 1 家教://zgjhjy/。

典型例题一例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ． 分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)(<x f ）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 （2）原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．典型例题二例2 解下列分式不等式：（1）22123+-≤-x x ； （2）12731422<+-+-x x x x 分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或（1）解：原不等式等价于⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔≤+-++-⇔≤+---+⇔≤+--⇔+≤-0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。

典型例题一例1解不等式x+1 A|2X—3 —2a（a 启0）分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念a=丿' ，将不等式中的绝对符号去-a（a c 0）掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式（组），再去求解.去绝对值符号的关键是找零点（使绝对值等于零的那个数所对应的点），将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论.3x = -1，令2x _3 = 0 ,••• x = 2，如图所示.(1 )当x _ -1时原不等式化为-(X • 1) • _(2x -3) - 2•x - 2与条件矛盾，无解.3（2 ）当-1：：：x 时，原不等式化为xT・-（2x-3）-2 .23•x 0 ,故0 ：x _23（3）当x 时，原不等式化为23x 1 2x -3 - 2 . • x 6，故x ：6 .2综上，原不等式的解为*0 ：：：x ：：：说明：要注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理分明、不重不漏.典型例题二例2求使不等式x -4 + x -3 va有解的a的取值范围.分析：此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简便.解法一：将数轴分为- ：：,3,[3,4],（4「：）三个区间7 — a 7 — a当x 3时，原不等式变为（4 -X）■ （3 -X）：：：a,x 有解的条件为3，即a 1 ;2 2当3 - x - 4时，得（4 -X）■ （x -3）：：：a，即a 1 ；+ 7 a+ 7a当x - 4时，得（x -4厂（x -3）：：： a，即x ，有解的条件为 4 • a 1 .2 2以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为解法二：设数X , 3, 4在数轴上对应的点分别为P , A , B ,如图，由绝对值的几何定义，原不等式PA +|PB va 的意义是P 到A 、B 的距离之和小于a .因为AB =1，故数轴上任一点到 A 、B 距离之和大于（等于 1）,即x-4 + x-3>1，故当a>1时,x - 4 +|x -3 <a 有解.典型例题三分析：根据条件凑x - a, y - b . 证明： xy _ab =|xy _ ya + ya _ab= |y(x —a)+a(y —b)勻y|x —a +|a ，y —b cM说明：这是为学习极限证明作的准备，要习惯用凑的方法.典型例题四2 ,2a — b例4求证 _ 曰a - b分析：使用分析法证明••• a| >0，二只需证明，两边同除b 2，即只需证明2 2a -ba 2(-)2 -1 > a 2(-)2 abbb2bba >1时， a 2 (—)2 -1 a 2=(—)2 -1 > (-)2 _a ;当 a bbbbbb :::1时,例3已知x -a c —2My -b| £ 打，y E (0,M )，求证 xy — ab2Mba b 0，原不等式显然成立.•••原不等式成立.说明：在绝对值不等式的证明，常用分析法•本例也可以一开始就用定理:a(1)如果—>1，则a-b 兰0，原不等式显然成立.b典型例题五分析：本题的证法很多，下面给出一种证法：比较要证明的不等式左右两边的形式完全相同，使我们 联想利用构造函数的方法，再用单调性去证明.x 1 x -11 证明：设f (X )1 --1+x 1+x1+xf (x)分别在区间(」：，-1)，区间(-1, •：：)上是增函数. 又 0 _ a b _ a | " |b , • f(a b) _ f (a b) 即 a +b|兰 l a | +|b | _ |a | + |b | 兰 |a| 十 |b |1 +|a +b | _1 +同 +冋 _1 +|a | +|b | 1 +|a |+|b | _ 1 +|a | 1 +|b |•••原不等式成立.说明：在利用放缩法时常常会产生如下错误：••• a +b 兰 a +|b , 1 +a +b >0 ,...a +b 兰 l a [+|b [ _」a | _ + 川 兰」a l .忖_ .1+a+b 1+|a +b | 1+|a +b | 1+|a +b | 1+|a | 1 +|b |错误在不能保证1 +|a +b K 1 +a , 1 +|a +b K 1 + b .绝对值不等式 a ±b E|a +|b 在运用放缩法证明不等 式时有非常重要的作用，其形式转化比较灵活.放缩要适度，要根据题目的要求，及时调整放缩的形式结 构.典型例题六例5求证1b b a 2 -b 22—|b/ 一卩1 “laa ,b(2)如果b <1，则a l>|-b ，利用不等式的传递性知a_ £，b | >|a _ b ,•••原不等式也成立.定义域为{ x x E R ，且x 工一1},空0 JL 与x^3(a 1)x 2(3a 1) <0 (^ R)的解集依次为 _ 2 A 与B ，求使A 二B 的a 的取值范围.分析：分别求出集合A 、B ，然后再分类讨论.所以a 的取值范围是 A B 的a 时，要注意关于a 的不等式组中有没有等号，否则会导致误解.典型例题七例6已知数列通项公式 a^Sina - Sin2a -岂23翌亠'亠岂^匹 对于正整数 m 、n ,当m • n 时，求证:222 23 2n1am 一an 吒―.2n分析：已知数列的通项公式是数列的前n 项和，它的任意两项差还是某个数列的和，再利用不等式印乜2 •…鸟| |印| "禺"，"总，问题便可解决.例6关于实数x 的不等式x_(a 1)2 解：解不等式x(a 1)2 ... (a-1)2 -2 ，(a -1)... (a -1)2— ,22a zx za 2 1, a 三 R 二解不等式 x 2 -3(a 1)x 2(3a 1) _0 , [x -(3a 1)](x -2) _0 .1当a 时（即3a 1 2时），得B =』x 2 兰 x 兰3a +1, a a 」>.1当a 时（即3a • 1乞2时）,得3B =』x 3a+1Wx^2,aE — >.1 当a •-时，要满足 3A -B ,必须2；二2,故1兰a 兰3 ;a 2 +1 兰 3a +1,1当匕时，要满足必须鮎 23a+1, 2 Ka 2 +1;a <-1, —1兰aM1,说明：在求满足条件1 1尹ORJ21 1 1 1-（1 二）n （o ：：：1 二门）• 2“ 』 2* 2皿』11 11 1说明： 一T—r一是以 一T 为首项，以-为公比，共有 m -n 项的等比数列的和，误认为2n12n*22 m 2-T 2共有m -n -1项是常见错误.正余弦函数的值域，即 sin 叫<1 , cosq <1，是解本题的关键•本题把不等式、三角函数、数列、 n 个变量的绝对值不等式问题连在一起，是一个较为典型的综合题目•如果将本题中的正弦改为余弦，不等式同 样成立.典型例题八例 8 已知 f (x) =x 2 —x +13 , x —a c l ，求证：f (x) - f (a) v 2( a +1)分析：本题中给定函数f (x)和条件x-ac1 ,注意到要证的式子右边不含 x ,因此对条件x-ac1的 使用可有几种选择：(1)直接用；(2)打开绝对值用a -1 ：：： x ：：： a • 1 ,替出x ； (3)用绝对值的性质 x -a | |x -a | ；：1—x ::: a 1 进行替换.证明：T f (x) =x 2「x 13 f (a)二 a 2「a 13 ,T x —a| <1，二 x 一 a| 勻 x —a c l .••• x < a +1 ,f (x) _f (a) = x 2 _a 2+a _x = (x —a)(x a) 一(x —a) =(x -a)(x +a T)二am -a n =sin(n 1)a si n(n 2)a 2n 1.....込sin(n +1)asin(n +2)a2^2=x —a x +a -1c|x +a T v x +|a +1 £a +1 +|a +1 =2( a +1),解法一：不等式两边平方得：(3 -X )2(2 x)2 (3 x)2(2 -x)2 .• (x 2 _x _6)2 (x 2 x —6)2，即(x 2 _x _6 x 2 x _6)(x 2 _ x — 6 _x 2 _ x 6) 0 ,2• x(6 —x ) 0，又 0 ：： x ：：3 .解法二：•/ x 0 ,•可分成两种情况讨论：3 — x 2 — x(1)当0：：：x 乞2时，不等式组化为 (0：：：x 乞2 ).3+x 2+x解得0 ： x 岂2 .3 _x x_2⑵当心时，不等式组可化为乔=药(5)，综合(1)、(2)得，原不等式组的解为 0 ：：：x ：：：，选C .说明：本题是在x 0的条件下，解一个含绝对值的分式不等式，如何去绝对值是本题的关键所在, 必须注意，只有在保证两边均为非负数时，才能将不等式两边同时平方.另一种方法则是分区间讨论，从 而去掉绝对值符号.当然本即 f(x) —f (a) ：：：2(a 1).说明：这是绝对值和函数的综合题，这类题通常要涉及绝对值及绝对值不等式的性质等综合知识的运 用•分析中对条件 x —a <1使用时出现的三种可能是经常碰到的，要结合求证，灵活选用.典型例题九例9不等式组 x 0<3 —x 2 —x 的解集是(3 +x > 2 +x)•A .窗 0 : x ：：2 ?B. ： x 0 ：：： x ：：： 25分析：本题是考查含有绝对值不等式的解法,3-x 3 x3 _ x ,知 . 0 , - 3：：：x ：；3，又 x 0 ,• 0 :: x ：：3，解原不等式组实为解不等式 3-x 2-x3 + x 》2 +x(0 ：： x ：： 3 ).f 2X 2 -6 <0 0 <x c3• 0 ：：： x ：：： -. 6 .选 C.题还可用特殊值排除法求解.典型例题十例 10 设二次函数 f (X) =ax ?+bx +c (a 〉0，且 b^O )，已知 b 兰a , f (0) <1, f(—1)兰 1, f (1) <1 , 5 当x <1时，证明f (x)兰上.4分析：从a>0知，二次函数的图像是开口向上的抛物线；从 x|E1且f(-1)|兰1 , f (1) <1知，要求证的是f(x)兰工，所以抛物线的顶点一定在x 轴下方，取绝对值后，图像翻到x 轴上方•因此抛物线的顶点4的取值非常重要，也是解这道题的关键所在.证明：•/ 2b =|(a+b+c) _(a _b+c)_ a b c | _|a -b c二 f(1)| 屮(-1) <1 1=2 ,••• b <1 .又••• b <a , • b <1 .af (丄)卜c - b 2 兰c +2a 丨4a 1 14a11而f(x)的图像为开口向上的抛物线，且x <1 ,•••| fg , | …，f(£Wf(-*)2a 4ac -b 2 b 2 ——c ■4a ' 又 c = f(0) <1 ,• f (x)的最大值应在x =1 ,x = T 或x —处取得.2a2a 2ba5••• f（x）乞5.4说明：本题考查了绝对值不等式的性质、二次函数的最值及分类讨论的思想和逻辑思维的能力，关键是通过对参数a，b，c的分析，确定抛物线顶点的取值范围，然后通过比较求出函数在x乞1范围内的最大值.。

2011年高考数学复习知识点之不等式1、不等式的性质：（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若；②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若；④b a b a 11,0<<<则若；⑤b aa b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0；⑧11,a b a b>>若，则0,0a b ><。

其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）； （2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：137x y ≤-≤）；2. 不等式大小比较的常用方法：比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小（答：当01x <<或43x >时，1+3log x ＞2log 2x ；当413x <<时，1+3log x ＜2log 2x ；当43x =时，1+3log x ＝2log 2x ）3. 利用重要不等式求函数最值（1）下列命题中正确的是A 、1y xx =+的最小值是2 B 、2y =的最小值是2C 、423(0)y x x x =-->的最大值是2-D 、423(0)y x x x=-->的最小值是2-（答：C ）；（2）若21x y +=，则24x y+的最小值是______（答：）；（3）正数,x y 满足21x y +=，则yx 11+的最小值为______（答：3+；4.常用不等式有：如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_____（答：[)9,+∞）5、证明不等式的方法：（1）已知c b a >>，求证：222222ca bc ab a c c b b a ++>++ ；(2) 已知R c b a ∈,,，求证：)(222222c b a abc a c c b b a ++≥++；（3）已知,,,a b x y R +∈，且11,x y a b>>，求证：x y x a y b>++；(4)已知R c b a ∈,,，求证：2222a b b c +22()c a abc a b c +≥++； 6.简单的一元高次不等式的解法：（1）解不等式2(1)(2)0x x -+≥。

专题四 不等式、推理与证明一、选择题1．(2011年高考重庆卷)若函数f ()x ＝x ＋1x －2()x >2在x ＝a 处取最小值，则a ＝( ) A ．1＋2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．42．(2011年高考天津卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为( )A ．－4B ．0 C.43D ．43．(2011年高考安徽卷)设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ≥0，则x ＋2y 的最大值和最小值分别为( )A ．1，－1B ．2，－2C ．1，－2D ．2，－14．(2011年高考广东卷)不等式2x 2－x －1＞0的解集是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，1 B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(1，＋∞) 5．(2011年高考大纲全国卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤6，x －3y ≤－2，x ≥1，则z ＝2x ＋3y 的最小值为( )A ．17B ．14C ．5D ．36．(2011年高考大纲全国卷)下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是( ) A ．a >b ＋1 B ．a >b －1C ．a 2>b 2D ．a 3>b 37．(2011年高考湖北卷)直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20，表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个8．(2011年高考四川卷)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z ＝( )A ．4650元B ．4700元C ．4900元D ．5000元9．(2011年高考浙江卷)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，2x ＋y －7≥0，x ≥0，y ≥0，则3x ＋4y 的最小值是( )A ．13B ．15C ．20D ．2810．(2011年高考北京卷)如果log 12x <log 12y <0，那么( )A ．y <x <1B ．x <y <1C ．1<x <yD ．1<y <x11．(2011年高考广东卷)已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y ，给定，若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为( ) A ．3 B ．4 C ．3 2 D ．4 2 二、填空题12．(2011年高考课标全国卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ＋y ≤9，6≤x －y ≤9，则z ＝x ＋2y 的最小值为________．13．(2011年高考浙江卷)若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________． 14．(2011年高考湖南卷)设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1，下，目标函数z ＝x ＋5y 的最大值为4，则m 的值为________．15．(2011年高考上海卷)不等式1x＜1的解为________．16．(2011年高考天津卷)已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b 的最小值为________． 17．(2011年高考江西卷)对于x ∈R ，不等式|x ＋10|－|x －2|≥8的解集为________．18．(2011年高考上海卷)若变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．三、解答题19．(2011年高考辽宁卷)设函数f (x )＝x ＋ax 2＋b ln x ，曲线y ＝f (x )过P (1,0)，且在P 点处的切线斜率为2.(1)求a ，b 的值； (2)证明：f (x )≤2x －2.专题四 不等式、推理与证明一、选择题1．【解析】选C.f ()x ＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2. ∵x >2，∴x －2>0.∴f ()x ＝x －2＋1x －2＋2≥2 ()x －2·1x －2＋2＝4， 当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，“＝”成立．又f ()x 在x ＝a 处取最小值．∴a ＝3. 2．【解析】选D.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，表示的平面区域如图所示．z ＝3x －y 在(2,2)取得最大值．z max ＝3×2－2＝4. 3．【解析】选B.作出可行域(如图阴影部分所示)，设z ＝x ＋2y ，作l 0：x ＋2y ＝0，把l 0向左下方平移到点(0，－1)时，z 有最小值，z min ＝0＋2×(－1)＝－2.把l 0向右上方平移到点(0,1)时，z 有最大值，z max ＝0＋2×1＝2. 4．【解析】选D.∵2x 2－x －1＝(2x ＋1)(x －1)，∴由2x 2－x －1＞0得(2x ＋1)(x －1)＞0，解得x ＞1或x ＜－12，∴不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(1，＋∞)．5．【解析】选C.如图，作出可行域(阴影部分)，再作出初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，即y ＝－23x ，发现l 0向上移动时z 越来越大，故l 0平移到过C 点时z 最小，又C (1，1)，∴z min ＝2＋3＝5.6．【解析】选A.要求a >b 成立的充分不必要条件，必须满足由选项能推出a >b ，而由a >b 推不出选项．在选项A 中，a >b ＋1能使a >b 成立，而a >b 时a >b ＋1不一定成立，故A 正确；在选项B 中，a >b －1时a >b 不一定成立，故B 错误；在选项C 中，a 2>b 2时a >b 也不一定成立，因为a ，b 不一定均为正值，故C 错误；在选项D 中，a 3>b 3是a >b 成立的充要条件，故D 也错误．7．【解析】选B.画出可行域如图阴影部分所示．∵直线过()5，0点，故只有1个公共点()5，0. 8．【解析】选C.设当天派用甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤19，x ＋y ≤12，10x ＋6y ≥72，0≤x ≤8，0≤y ≤7，x ，y ∈N .设每天的利润为z 元，则z ＝450x ＋350y . 画出可行域如图阴影部分所示．由图可知z ＝450x ＋350y ＝50()9x ＋7y ，经过点A 时取得最大值．又由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝12，2x ＋y ＝19，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝5， 即A ()7，5.∴当x ＝7，y ＝5时，z 取到最大值，z max ＝450×7＋350×5＝4900()元. 9．【解析】选A.作出可行域，如图所示，两条直线的交点为A (3,1)，作直线3x ＋4y ＝0，并将它向右上平移，当过点A (3,1)时，3x ＋4y 取得最小值，且最小值为3×3＋4×1＝13.10．【解析】选D.不等式转化为⎩⎨⎧log 12x <log 12y ，log 12y <0，⇒1<y <x .11．【解析】选B.由线性约束条件⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y ，画出可行域如图阴影部分所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)的坐标代入z ＝2x ＋y 得z 的最大值为4.二、填空题 12．【解析】作出不等式表示的可行域如图(阴影部分)．易知直线z ＝x ＋2y 过点B 时，z 有最小值． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝9，2x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－5. 所以z min ＝4＋2×()－5＝－6. 【答案】－6 13．【解析】由x 2＋y 2＋xy ＝1，得1＝(x ＋y )2－xy ，∴(x ＋y )2＝1＋xy ≤1＋(x ＋y )24，解得－233≤x ＋y ≤233，∴x ＋y 的最大值为233.【答案】23314．【解析】根据约束条件画出可行域如图，目标函数化为斜截式为y ＝－15x ＋z5.当目标函数过y ＝mx 与x ＋y ＝1的交点时，z 有最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ，x ＋y ＝1，得交点坐标为⎝⎛⎭⎫1m ＋1，m m ＋1，代入目标函数得z ＝1m ＋1＋5·mm ＋1＝4，解得m ＝3.【答案】315．【解析】当x ＞0时，1x＜1⇔x ＞1；当x ＜0时，1x＜1⇔x ＜0.故原不等式的解集是x ＜0或x ＞1. 【答案】{x |x ＜0或x ＞1} 16．【解析】由log 2a ＋log 2b ≥1得log 2(ab )≥1，即ab ≥2，∴3a ＋9b ＝3a ＋32b ≥2×3a ＋2b 2(当且仅当3a ＝32b，即a ＝2b 时“＝”号成立)．又∵a ＋2b ≥22ab ≥4(当且仅当a ＝2b 时“＝”成立)， ∴3a ＋9b ≥2×32＝18.即当a ＝2b 时，3a ＋9b 有最小值18. 【答案】18 17．【解析】当x ≥2时，不等式化为x ＋10－x ＋2≥8，即12≥8，成立． 当x ≤－10时，不等式化为－x －10＋x －2≥8，即－12≥8，不成立． 当－10＜x ＜2时，不等式化为x ＋10＋x －2≥8，即x ≥0， 所以0≤x ＜2.综上，得原不等式的解集为{x |x ≥0}． 【答案】[0，＋∞) 18．【解析】作出可行域如图所示，作出直线l ：x ＋y ＝0，由图可知当l 平移到A 点时，z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝0，x －3y ＋5＝0，得⎩⎨⎧x ＝58，y ＝158，∴A ⎝⎛⎭⎫58，158，∴z max ＝58＋158＝208＝52.【答案】52三、解答题19．【解】(1)f ′(x )＝1＋2ax ＋bx.由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝0，f ′(1)＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝0，1＋2a ＋b ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.(2)证明：因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，由(1)知f (x )＝x －x 2＋3ln x .设g (x )＝f (x )－(2x －2)＝2－x －x 2＋3ln x ，则g ′(x )＝－1－2x ＋3x ＝－(x －1)(2x ＋3)x.当0<x <1时，g ′(x )>0；当x >1时，g ′(x )<0.所以g (x )在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减． 而g (1)＝0，故当x >0时，g (x )≤0，即f (x )≤2x －2.。