一元二次方程复习课 第一讲

D a
。
考点三、解法 ⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法 ⑵关键点：降次
类型一、直接开方法： x2 mm 0, x m
※※对于 x a2 m ， ax m2 bx n2 等形式均适用直接开方法
典型例题：
例 1、解方程： 12x2 8 0;
225 16 x2 =0;
D x2 5
。
变式 1： a2 b2 2 a2 b2 6 0,则a2 b2
。
变式 2：若 x y2 x y 3 0 ，则 x+y 的值为
。
变式 3：若 x2 xy y 14 ， y 2 xy x 28 ，则 x+y 的值为
。
例 3、方程 x2 x 6 0 的解为（ ）
.
y kx 2,
★★4、
k
为何值时，方程组
y
2
4
x
2
y
1
0.
（1）有两组相等的实数解，并求此解； （2）有两组不相等的实数解； （3）没有实数解.
★ ★★5、当 k 取何值时，方程 x2 4mx 4x 3m2 2m 4k 0 的根与 m 均为有理数？
考点五、方程类问题中的“分类讨论” 典型例题：
★2、以1 7 与1 7 为根的一元二次方程是（）
D.4 个
A． x2 2x 6 0
B． x2 2x 6 0
C． y2 2 y 6 0
D． y2 2 y 6 0
★★3、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为 1，且两根互为倒数： ⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为 1，且两根互为相反数：
典型例题：
例 1、下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是（ ）
A 3x 12 2x 1
B 1 120 x2 x
C ax2 bx c 0
D x2 2x x2 1
变式：当 k
时，关于 x 的方程 kx2 2x x2 3 是一元二次方程。
例 2、方程 m 2x m 3mx 1 0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为
是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及 k 的值；若没有，请说明理由。
考点六、应用解答题 ⑴“握手”问题；⑵“利率”问题；⑶“几何”问题；⑷“最值”型问题；⑸“图表”类问题 典型例题： 1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯 990 次，问晚宴共有多少人出席？
2、某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品，据市场分析，若按每千克 50 元销售，一个月能售出 500 千 克，销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10 千克，针对此回答： （1）当销售价定为每千克 55 元时，计算月销售量和月销售利润。 （2）商店想在月销售成本不超过 10000 元的情况下，使得月销售利润达到 8000 元， 销售单价应定为多少？
⑴求 k 的值； ⑵方程的另一个解。
★3、已知 m 是方程 x2 x 1 0 的一个根，则代数式 m2 m
。
★★4、已知 a 是 x2 3x 1 0 的根，则 2a2 6a
。
★★5、方程 a bx2 b cx c a 0 的一个根为（ ）
A 1
B1
C bc
★★★6、若 2x 5y 3 0, 则 4 x • 32 y
★★2、已知 x2 1 x 1 4 0 ，则 x 1
.
x2
x
x
★★★3、若 t 2 3x2 12x 9 ，则 t 的最大值为
，最小值为
。
★★★4、如果 a b c 1 1 4 a 2 2 b 1 4 ,那么 a 2b 3c 的值为 。
类型四、公式法
⑴条件： a 0,且b2 4ac 0
A. m 0且m 1
B. m 0
C. m 1
D. m 1
例 3、已知关于 x 的方程 x2 k 2x 2k 0
(1)求证：无论 k 取何值时，方程总有实数根；
(2)若等腰 ABC 的一边长为 1，另两边长恰好是方程的两个根，求 ABC 的周长。
例 4、已知二次三项式 9x2 (m 6)x m 2 是一个完全平方式，试求 m 的值.
考点四、根的判别式 b2 4ac
根的判别式的作用： ①定根的个数； ②求待定系数的值； ③应用于其它。 典型例题：
例 1、若关于 x 的方程 x2 2 k x 1 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是
。
例 2、关于 x 的方程 m 1x2 2mx m 0 有实数根，则 m 的取值范围是( )
。
例 3、已知关于 x 的一元二次方程 ax2 bx c 0a 0 的系数满足 a c b ，则此方程必有一根为
。
1
针对练习：
★1、已知方程 x2 kx 10 0 的一根是 2，则 k 为
，另一根是
。
★2、已知关于 x 的方程 x2 kx 2 0 的一个解与方程 x 1 3 的解相同。 x 1
31 x2 9 0;
例 2、若 9x 12 16x 22 ，则 x 的值为
。
针对练习：下列方程无解的是（ ）
A. x2 3 2x2 1 B. x 22 0
C. 2x 3 1 x
D. x2 9 0
类型二、因式分解法: x x1 x x2 0 x x1,或x x2
例 4、已知 a b ， a2 2a 1 0 ， b2 2b 1 0 ，求 a b
变式：若 a2 2a 1 0 ， b2 2b 1 0 ，则 a b 的值为
。
ba
例 5、已知, 是方程 x2 x 1 0 的两个根，那么 4 3
练习、A、B 两地间的路程为 36 千米.甲从 A 地，乙从 B 地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走 2 小时 30 分 到达 B 地，乙再走 1 小时 36 分到达 A 地，求两人的速度.
考点七、根与系数的关系
⑴前提：对于 ax2 bx c 0 而言，当满足① a 0 、② 0 时，才能用韦达定理。
⑵主要内容：
x1
x2
b a
,
x1
x2
c a
⑶应用：整体代入求值。
典型例题：
例 1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程 2x2 8x 7 0 的两根，则这个直角三角形的斜边是（ ）
A. 3
B.3
C.6
D. 6
例 2、已知关于 x 的方程 k 2 x 2 2k 1x 1 0 有两个不相等的实数根 x1, x2 ，
6
3、将一条长 20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。 （1）要使这两个正方形的面积之和等于 17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？ （2）两个正方形的面积之和可能等于 12cm2 吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不 能，请说明理由。 （3）两个正方形的面积之和最小为多少？
例
5、
m
为何值时，方程组
x2
2y2
6,
有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？
mx y 3.
5
针对练习： ★1、当 k
时，关于 x 的二次三项式 x2 kx 9 是完全平方式。
★2、当 k 取何值时，多项式 3x2 4x 2k 是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？
★3、已知方程 mx2 mx 2 0 有两个不相等的实数根，则 m 的值是
A. x1 3，x 2 2 B. x1 3，x 2 2 C. x1 3，x 2 3 D. x1 2，x 2 2
例 4、解方程： x2 2 3 1 x 2 3 2 0
针对练习： ★1、下列说法中：
①方程 x2 px q 0 的二根为 x1 ， x2 ，则 x2 px q (x x1)( x x2 )
一、知识结构： 一元二次方程
学习内容与过程
二、考点精析
考点一、概念
(1)定义：
。
(2)一般表达式： ax2 bx c 0(a 0)
⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是 2”：
①该项系数不为“0”；
②未知数指数为“2”；
③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
⑵公式： x b b2 4ac , a 0,且b2 4ac 0 2a
典型例题： 例 1、选择适当方法解下列方程：
⑴ 31 x2 6.
⑵ x 3x 6 8. ⑶ x2 4x 1 0
⑷ 3x2 4x 1 0
⑸ 3x 13x 1 x 12x 5
类型五、 “降次思想”的应用
例 1、关于 x 的方程 m 1x2 2mx 3 0
⑴有两个实数根，则 m 为
,
⑵只有一个根，则 m 为
。
例2、 不解方程，判断关于 x 的方程 x 2 2x k k 2 3 根的情况。
例 3、如果关于 x 的方程 x2 kx 2 0 及方程 x2 x 2k 0 均有实数根，问这两方程
★★★7、方程 1999 x2 1998 2000 x 1 0 的较大根为 r，方程 2007x2 2008x 1 0 的较小根为 s，则 s-r
的值为
。
3
类型三、配方法 ax2

c
0a
0
x
b
2
2a
b2 4ac 4a 2
※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。 典型例题：
⑴求代数式的值；
⑵解二元二次方程组。
典型例题：
4
例1、 已知 x2 3x 2 0 ，求代数式 x 13 x 2 1 的值。
x 1
例 2、如果 x2 x 1 0 ，那么代数式 x3 2x2 7 的值。
例
3、已知
a
是一元二次方程
x2
3x
1
0
的一根，求