排列组合(全)

计数原理1.摆列组合知识导学 ：1. 分类计数原理：达成一件事，有ｎ类方法，在第1 类方法中，有 m 1 种不一样的方法，在第 2类方法中，有 m 2 种不一样的方法， 在第ｎ类方法中，有 m n 种不一样的方法，那么达成这件事共有 ＝m 1 ＋ m 2 ＋ ＋ m n 种不一样的方法 .N2. 分步计数原理：达成一件事，需要分红ｎ个步骤，做第 1 步，有 m 1 种不一样的方法，做第2 步，有m 2 种不一样的方法， 做第ｎ步，有 m n 种不一样的方法，那么达成这件事共有 ＝m 1 ×Nm 2 × × m n 种不一样的方法 .摆列数公式 ：A n mn ( n 1)( n 2)( n 3)( n m 1)A n mn! （这里ｍ、ｎ∈ N * ，且ｍ≤ｎ）(n m)!组合数公式：mA n m n(n 1)(n 2)( n 3) ( nm 1)C nA m mnC n mn! （这里ｍ、ｎ∈ N *，且ｍ≤ｎ）m! (n m)!组合数的两个性质C n m C n n m 规定： C n 0 1C n m 1 C n mC n m 1例 l、分类加法计数原理的应用在全部的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？剖析：该问题与计数相关，可考虑采纳两个基来源理来计算，达成这件事，只需两位数的个位、十位确立了，这件事就算达成了，所以可考虑安排十位上的数字状况进行分类．解法一：按十位数上的数字分别是1， 2， 3， 4，5， 6， 7，8 的状况分红8 类，在每一类中知足题目条件的两位数分别是8 个， 7 个， 6 个， 5 个， 4 个， 3 个， 2 个， l 个．由分类加法计数原理知，切合题意的两位数的个数共有8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + l＝36 个．解法二：按个位数字是2， 3， 4， 5， 6，7， 8， 9 分红 8 类，在每一类中知足条件的两位数分别是 l 个、 2 个、 3 个、 4 个、 5 个、 6 个、 7 个、 8 个，所以按分类加法计数原理共有l + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36个．评论：分类加法计数原理是对波及达成某一件事的不一样方法种数的计数方法，每一类的各样方法都是互相独立的，每一类中的每一种方法都能够独立达成这件事。

排列组合算法基本概念从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排列起来，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

当m=n时所有的排列情况叫全排列。

P(n,m)=n(n-1).(n-m+1)=n!-(n-m)! 特别的，定义0!=1组合数公式是指从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。

用符号c(n,m) 表示。

c(n,m)=p(n,m)-m!=n!-((n-m)!*m!)3、计算公式排列算法递归算法#include stdio.hvoid swap(int *a, int *b)void perm(int list[], int k, int m)for(i = 0; i = m; i++)printf("%d ", list[i]);printf("");for(i = k; i = m; i++)swap(list[k], list[i]);perm(list, k + 1, m);swap(list[k], list[i]);int main()int list[] = {1, 2, 3, 4, 5};perm(list, 0, 4);printf("total:%d", n);return 0;template typename Tinline void swap(T* array, unsigned int i, unsigned int j) T t = array[i];array[i] = array[j];array[j] = t;* 递归输出序列的全排列void FullArray(char* array, size_t array_size, unsigned int index)if(index = array_size)for(unsigned int i = 0; i array_size; ++i)cout array[i] ' ';for(unsigned int i = index; i array_size; ++i)swap(array, i, index);FullArray1(array, array_size, index + 1);swap(array, i, index);#include "iostream"using namespace std;void permutation(char* a,int k,int m)if(k == m)span style="white-space:pre"-spanfor(i=0;i=m;i++) span style="white-space:pre"-spancouta[i]; coutendl;for(j=k;j=m;j++)swap(a[j],a[k]);permutation(a,k+1,m);swap(a[j],a[k]);int main(void)char a[] = "abc";couta"所有全排列的结果为："endl;permutation(a,0,2);system("pause");return 0;}#include "iostream"#include "algorithm"using namespace std;void permutation(char* str,int length)sort(str,str+length);for(int i=0;ilength;i++)coutstr[i];coutendl;}while(next_permutation(str,str+length));int main(void)char str[] = "acb";coutstr"所有全排列的结果为："endl;permutation(str,3);system("pause");return 0;}--- 求从数组a[1.n]中任选m个元素的所有组合。

一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。

2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。

注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。

二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A mn -=+---=……2.规定：0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-；(3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。

1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m nm nm mm ==--+=-11……!!!! 10=nC 规定：组合数性质：.2 nn n n n m n m n m n m n n mnC C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，，①；②；③；④11112111212211r r r r r r r rr r r rr r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注：若12mm 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。

排列组合方法归纳大全复习巩固1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有47A 种方法。

高中数学排列组合全排列技巧在高中数学中，排列组合是一个重要的概念和技巧，它涉及到我们日常生活中的很多问题，比如生日礼物的选择、座位的安排等等。

在解决这些问题时，全排列是一种非常常见且有用的方法。

本文将介绍高中数学中全排列的技巧，并通过具体的例题来说明其应用。

全排列是指将一组元素按照一定的顺序进行排列，使得每个元素都出现且只出现一次。

在解决全排列问题时，我们需要注意以下几个关键点。

首先，确定元素的个数。

在解决全排列问题时，我们需要明确给定元素的个数。

例如，有5个不同的字母A、B、C、D、E，我们要求由这5个字母组成的所有三位数的全排列。

其次，确定排列的长度。

在确定元素个数后，我们还需要确定排列的长度。

例如，我们要求由5个字母组成的所有三位数的全排列。

接下来，我们需要确定元素的选择方式。

在全排列中，每个位置上的元素都可以是给定的一组元素中的任意一个。

例如，对于由5个字母组成的所有三位数的全排列，第一个位置上的字母可以是A、B、C、D、E中的任意一个，第二个位置上的字母可以是除去第一个位置上已经选择的字母之外的任意一个，以此类推。

最后，我们需要确定排列的顺序。

在全排列中，我们可以按照字典序、逆序等不同的方式进行排列。

例如，对于由5个字母组成的所有三位数的全排列，我们可以按照字典序进行排列，也可以按照逆序进行排列。

下面通过一个具体的例题来说明全排列的应用。

例题：有4个不同的字母A、B、C、D，要求由这4个字母组成的所有三位数的全排列。

解析：根据题目要求，我们可以确定元素的个数为4，排列的长度为3。

接下来，我们需要确定元素的选择方式。

第一个位置上的字母可以是A、B、C、D中的任意一个，第二个位置上的字母可以是除去第一个位置上已经选择的字母之外的任意一个，第三个位置上的字母可以是除去前两个位置上已经选择的字母之外的任意一个。

最后，我们按照字典序进行排列，得到所有满足条件的三位数的全排列为：ABC, ABD, ACD, BAC, BAD, BCA, BCD, CAB, CAD, CBA, CBD, DAB, DAC, DBA, DBC.通过这个例题，我们可以看出全排列的应用非常广泛。

排列组合算法总结(基于C++实现)全排列n!1.1 递归法设一组数p = {r1, r2, r3, … ,rn}, 全排列为perm(p)，pn = p –{rn}。

则perm(p) = r1perm(p1), r2perm(p2), r3perm(p3), … , rnperm(pn)。

当n = 1时perm(p} = r1。

如：求{1, 2, 3, 4, 5}的全排列1、首先看最后两个数4, 5。

它们的全排列为4 5和5 4, 即以4开头的5的全排列和以5开头的4的全排列。

由于一个数的全排列就是其本身，从而得到以上结果。

2、再看后三个数3, 4, 5。

它们的全排列为3 4 5、3 5 4、 4 3 5、4 53、 5 34、 5 4 3 六组数。

即以3开头的和4,5的全排列的组合、以4开头的和3,5的全排列的组合和以5开头的和3,4的全排列的组合.#include iostreamusing namespace std;void Perm(int start, int end, int a[]) {--得到全排列的一种情况，输出结果if (start == end) {for (int i = 0; i end; i++)cout a[i] ' ';cout endl;for (int i = start; i end; i++) {swap(a[start], a[i]); --交换Perm(start + 1, end, a); --分解为子问题a[start+1.,end-1]的全排列swap(a[i], a[start]); --回溯int main() {int i, n, a[10];while (cin n, n) {for (i = 0; i n; i++)a[i] = i + 1;Perm(0, n, a);return 0;C(n,k)，n个数中任取k个数2.1 递归法实际上就是在n个数中，标记k个数，然后输出这k个数的过程。

教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。

2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。

提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

解决排列组合问题常见策略学习指导1、排列组合的本质区别在于对所取出的元素是作有序排列还是无序排列。

组合问题可理解为把元素取出后放到某一集合中去，集合中的元素是无序的。

较复杂的排列组合问题一般是先分组,再排列。

必须完成所有的分组再排列，不能边分组边排列.排列组合问题的常见错误是重复和遗漏.弄清问题的实质，适当的分类，合理的分步是解决这个错误的关键，采用不同的思路检验结果是否一致是解决这个错误的技巧.集合是常用的工具之一.为了将抽象问题具体化,可以从特殊情形着手，通过画格子，画树图等帮助理解。

“正难则反”是处理问题常用的策略。

常用方法:一. 合理选择主元例1. 公共汽车上有3个座位，现在上来5名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？例2. 公共汽车上有5个座位，现在上来3名乘客，每人坐1个座位,有几种不同的坐法？分析：例1中将5名乘客看作5个元素，3个空位看作3个位置，则问题变为从5个不同的元素中任选3个元素放在3个位置上，共有种不同坐法。

例2中再把乘客看作元素问题就变得比较复杂，将5个空位看作元素，而将乘客看作位置，则例2变成了例1,所以在解决排列组合问题时，合理选择主元,就是选择合适解题方法的突破口。

二. “至少"型组合问题用隔板法对于“至少”型组合问题，先转化为“至少一个"型组合问题，再用n个隔板插在元素的空隙（不包括首尾）中,将元素分成n＋1份。

例5. 4名学生分6本相同的书,每人至少1本，有多少种不同分法?解：将6本书分成4份，先把书排成一排,插入3个隔板，6本书中间有5个空隙，则分法有：（种）三。

注意合理分类元素（或位置)的“地位”不相同时,不可直接用排列组合数公式，则要根据元素（或位置）的特殊性进行合理分类,求出各类排列组合数。

再用分类计数原理求出总数。

例6. 求用0，1，2，3，4,5六个数字组成的比2015大的无重复数字的四位数的个数。

解：比2015大的四位数可分成以下三类：第一类：3×××，4×××,5×××,共有：（个）；第二类：21××，23××,24××，25××，共有：（个)；第三类：203×，204×,205×，共有：(个）∴比2015大的四位数共有237个。

排列组合复习题型总结一、特殊对象问题：优先进行处理1.有5人排成一列，其中甲不在第一的位置，有多少种排法？2.有5人排成一列，其中甲不能在第一，乙不能在最后，有多少种排法？二、名额分配问题：名额插挡板法3.有10个三好学生的名额分给3个班，要求每班至少有一个名额，怎么分？4.有7个三好学生的名额，分给3个班，怎么分？三、分组分配问题：分配等于先分组，再把组分配出去5.有6本不同的书，平均分给甲乙丙三人，有多少种分法？6.有6本不同的书，平均分为三组，有多少种分法？7.有6本不同的书，分甲1本，乙2本，丙3本，有多少种分法？8.有6本不同的书，分三组，一组1本，一组2本，一组3本，有多少分法？9.有6本不同的书，分给三个人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种分法？10.有9本不同分成三组，一组5本，另外两组各2本，有多少种分法？11.有9本不同的书，分给甲乙均2本，丙5本，有多少种分法？12.有9本不同的书，分给两人各2本，另一人5本，有多少种分法？四、相邻问题：捆绑法13.8人排成一列，甲乙丙三人必须相邻，有多少种排法？14.8人排成一列，甲乙两人必须相邻，且都不和丙相邻，有多少种排法？15.一排8个座位，3人坐，5个空座位相邻，有多少种坐法？16.一排8个座位，3人坐，其中恰有4个空座位相邻，有多少种坐法？五、不相邻问题：插空法17.某人射击训练，8枪命中3枪，恰好没有任何2枪连续命中，有多少情况？18.8人排成一列，甲乙丙三人不可相邻，有多少种排法？19.8盏灯关掉3盏，不许关掉相邻的，也不许关掉两端，多少种方法？20.某人射击训练，8枪命中3枪，恰好2枪连续命中，有多少种情况？六、成双成对问题：先按双取出，再从各双分别取出一只，自然不成双21.从6双不同鞋子中取出4只，要求都不许成双，有多少种方法？22.从6双不同鞋子中取出4只，要求恰好有一双，有多少种方法？七、可（不可）重复使用的对象：问题中有两组对象，解决问题时要以不可重复使用的对象作为分步的标准（住店、投信、映射、冠亚军等）23.5人住3家店，有多少种住法？24.若有4项冠军在3个人中产生，没有并列冠军，问有多少种不同的夺冠可能性。

排列组合方法归纳大全复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，n 1m 2m …，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：n n m 12nN m m m =+++ 种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，n 1m 2m 做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：n n m 12nN m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理可得共有种不同的排法522522480A A A =练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中55A 间包含首尾两个空位共有种不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有 种46A 5456A A目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 147A 种坐法，则共有种方法。

全排列是指一组数的所有排列组合。

要求出n 个数字的全排列，可以使用递归的方法。

假设我们要求出3 个数字1、2、3 的全排列，可以这样做：
1.以1 开头的排列：
• 1 开头，2 和3 交换位置：1 2 3
• 1 开头，3 和2 交换位置：1 3 2
2.以2 开头的排列：
• 2 开头，1 和3 交换位置：2 1 3
• 2 开头，3 和1 交换位置：2 3 1
3.以3 开头的排列：
• 3 开头，1 和2 交换位置：3 1 2
• 3 开头，2 和1 交换位置：3 2 1
这样，就能得到3 个数字的全排列：1 2 3、1 3 2、2 1 3、2 3 1、3 1 2、3 2 1。

要求出n 个数字的全排列，可以使用类似的方法。

例如，要求出4 个数字的全排列，可以使用类似的方法，只需要以1、2、3、4 开头，然后对剩下的数字进行全排列即可。

这样的算法是暴力枚举法，时间复杂度为O(n!)，在n 较大时可能会很慢。

有更快的算法可以用来求出n 个数字的全排列，例如Heap 算法。

排列组合技巧有以下几个公式：
排列公式：对于给定的n个不同元素中，取出m个元素进行排列的方案数为：$$P(n, m) = \frac{n!}{(n-m)!}$$
组合公式：对于给定的n个不同元素中，取出m个元素进行组合的方案数为：$$C(n, m) = \frac{n!}{m!(n-m)!}$$
全排列公式：对于给定的n个不同元素进行全排列的方案数为：$$P(n, n) = n!$$
二项式展开公式：对于任意非负整数n和实数a、b，二项式展开公式可表示为：$$(a+b)^n = C(n, 0) \cdot a^n \cdot b^0 + C(n, 1) \cdot a^{n-1} \cdot b^1 + \ldots + C(n, n) \cdot a^0 \cdot b^n$$
这些公式在计算排列组合问题时非常有用。

其中，排列公式用于计算有序排列的方案数，组合公式用于计算无序组合的方案数，全排列公式用于计算全排列的方案数，二项式展开公式用于展开二项式的n次方。

排列组合全部20种⽅法排列组合解法解决排列组合综合性问题的⼀般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进⾏,确定分多少步及多少类。

3.确定每⼀步或每⼀类是排列问题(有序)还是组合(⽆序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握⼀些常⽤的解题策略⼀.特殊元素和特殊位置优先策略1、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.练习、7种不同的花种在排成⼀列的花盆⾥,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆⾥，问有多少不同的种法⼆.相邻元素捆绑策略2、7⼈站成⼀排,其中甲⼄相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.练习、某⼈射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在⼀起的情形的不同种数为三.不相邻问题插空策略3、⼀个晚会的节⽬有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节⽬不能连续出场,则节⽬的出场顺序有多少种练习、某班新年联欢会原定的5个节⽬已排成节⽬单，开演前⼜增加了两个新节⽬.如果将这两个新节⽬插⼊原节⽬单中，且两个新节⽬不相邻，那么不同插法的种数为四.定序问题倍缩空位插⼊策略4、7⼈排队,其中甲⼄丙3⼈顺序⼀定共有多少不同的排法练习、10⼈⾝⾼各不相等,排成前后排，每排5⼈,要求从左⾄右⾝⾼逐渐增加，共有多少排法五.重排问题求幂策略5、把6名实习⽣分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法练习1．某班新年联欢会原定的5个节⽬已排成节⽬单，开演前⼜增加了两个新节⽬.如果将这两个节⽬插⼊原节⽬单中，那么不同插法的种数为2. 某8层⼤楼⼀楼电梯上来8名乘客⼈,他们到各⾃的⼀层下电梯,下电梯的⽅法六.环排问题线排策略6、8⼈围桌⽽坐,共有多少种坐法⼀般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m练习、6颗颜⾊不同的钻⽯，可穿成⼏种钻⽯圈七.多排问题直排策略7、8⼈排成前后两排,每排4⼈,其中甲⼄在前排,丙在后排,共有多少排法练习、有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2⼈就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2⼈不左右相邻，那么不同排法的种数是⼋.排列组合混合问题先选后排策略8、有5个不同的⼩球,装⼊4个不同的盒内,每盒⾄少装⼀个球,共有多少不同的装法.解决排列组合混合问题,先选后排是最基练习、⼀个班有6名战⼠,其中正副班长各1⼈现从中选4⼈完成四种不同的任务,每⼈完成⼀种任务,且正副班长有且只有1⼈参加,则不同的选法有种九.⼩集团问题先整体后局部策略9、⽤1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个⼩集团排列问题中，先整体后练习、１.计划展出10幅不同的画,其中1幅⽔彩画,４幅油画,５幅国画, 排成⼀⾏陈列,要求同⼀品种的必须连在⼀起，并且⽔彩画不在两端，那么共有陈列⽅式的种数为2. 5男⽣和５⼥⽣站成⼀排照像,男⽣相邻,⼥⽣也相邻的排法有种⼗.元素相同问题隔板策略10、有10个运动员名额，分给7个班，每班⾄少⼀个,有多少种分配⽅案练习题：1． 10个相同的球装5个盒中,每盒⾄少⼀有多少装法2 .100x y z w +++=求这个⽅程组的⾃然数解的组数将n 个相同的元素分成m 份（n ，m 为正整数）,每份⾄少⼀个元素,可以⽤m-1⼗⼀.正难则反总体淘汰策略11、从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这⼗个数字中取出三个数，使其和为不⼩于10的偶数,不同的取法有多少种有些排列组合问题,正⾯直接考虑⽐练习、我们班⾥有43位同学,从中任抽5⼈,正、副班长、团⽀部书记⾄少有⼀⼈在内的抽法有多少种⼗⼆.平均分组问题除法策略12、6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是⼀种情况,所以分组后要⼀定要除以(为练习题：1、将13个球队分成3组,⼀组5个队,其它两组4个队, 有多少分法2、10名学⽣分成3组,其中⼀组4⼈, 另两组3⼈但正副班长不能分在同⼀组,有多少种不同的分组⽅法3、某校⾼⼆年级共有六个班级，现从外地转⼊4名学⽣，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排⽅案种数为______⼗三. 合理分类与分步策略例13.在⼀次演唱会上共10名演员,其中8⼈能能唱歌,5⼈会跳舞,现要演出⼀个2⼈唱歌2⼈伴舞的节⽬,有多少选派⽅法解含有约束条件的排列组合问题，可按元练习：1、从4名男⽣和3名⼥⽣中选出4⼈参加某个座谈会，若这4⼈中必须既有男⽣⼜有⼥⽣，则不同的选法共有2、3成⼈2⼩孩乘船游玩,1号船最多乘3⼈, 2号船最多乘2⼈,3号船只能乘1⼈,他们任选2只船或3只船,但⼩孩不能单独乘⼀只船, 这3⼈共有多少乘船⽅法.⼗四.构造模型策略14、马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满⾜条件的关灯⽅法有多少种⼀些不易理解的排列组合题如果能转化为练习、某排共有10个座位，若4⼈就坐，每⼈左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种⼗五.实际操作穷举策略15、设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒⼦,现将5个球投⼊这五个盒⼦内,要求每个盒⼦放⼀个球，并且恰好有两个球的编号与盒⼦的编号相同,有多少投法练习 1、同⼀寝室4⼈,每⼈写⼀张贺年卡集中起来,然后每⼈各拿⼀张别⼈的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配⽅式有多少种 2、给图中区域涂⾊,要求相邻区域不同⾊,现有4对于条件⽐较复杂的排列组合问题，不易⽤54321种可选颜⾊,则不同的着⾊⽅法有种⼗六. 分解与合成策略16、30030能被多少个不同的偶数整除练习:正⽅体的8个顶点可连成多少对异⾯直线分解与合成策略是排列组合问题的⼀种最基本的解题策略,把⼀个复杂问题分解成⼏⼗七.化归策略17、25⼈排成5×5⽅阵,现从中选3⼈,要求3⼈不在同⼀⾏也不在同⼀列,不同的选法有多少种练习、某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表⽰马路，从A ⾛到B 的最短路径有多少种⼗⼋.数字排序问题查字典策略18、由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的⽐324105⼤的数处理复杂的排列组合问题时可以把⼀个问题退化成BA练习:⽤0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从⼩到⼤排列起来,第71个数是⼗九.树图策略19、3⼈相互传球,由甲开始发球,并作为第⼀次传球,经过5次传求后,球仍回到甲的⼿中,则不同的传球⽅式有______练习: 分别编有1，2，3，4，5号码的⼈与椅，其中i号⼈不坐i号椅（54321,,,,i ）的不同坐法有多少种⼆⼗.复杂分类问题表格策略20、有红、黄、兰⾊的球各5只,分别标有A、B、C、D、E五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且三⾊齐备,则共有多少种不同的取法⼀些复杂的分类选取题,要满⾜的排列组合解法解决排列组合综合性问题的⼀般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进⾏,确定分多少步及多少类。

排列组合基本方法排列组合基本方法是数学中常见的一种计算方法，用于求解在一定条件下物体的排列和组合问题。

在实际生活中，排列组合方法被广泛运用于统计学、概率论、组合数学等领域，具有重要的理论意义和实际应用价值。

首先，我们来了解一下排列和组合的概念。

排列指的是将一组物体按照一定的顺序进行排列，而组合则是从一组物体中选择若干个物体，不考虑顺序。

下面分别介绍排列和组合的基本方法：一、排列的计算方法：1. 全排列：全排列是指将一组不同的物体按照一定的顺序进行排列，不允许重复。

全排列的计算方法是通过阶乘来求解，即n个物体的全排列数为n!，其中n表示物体的个数。

2. 循环排列：循环排列是指将一组物体按照一定的顺序排列，允许循环移位。

循环排列的计算方法是通过n个物体的全排列数除以n，即n!/n。

3. 有重复元素的排列：当一组物体中有重复的元素时，排列的计算方法需要考虑重复的情况。

此时，排列数为n!/n1!n2!...nk!，其中n为总的物体数，n1、n2、...、nk为重复元素的个数。

二、组合的计算方法：1. 组合的定义：组合是指从一组物体中选择若干个物体，不考虑顺序。

组合的计算方法是通过组合数的公式来求解，即C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)，其中n表示物体的总数，m表示选择的物体数。

2. 组合的性质：组合数具有一些重要的性质，如C(n,0)=1，C(n,n)=1，C(n,1)=n，C(n,m)=C(n,n-m)，C(n,m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m)等。

3. 组合的应用：组合数在概率计算、组合数学、排列组合等领域有着广泛的应用，如二项式定理、二项分布、组合恒等式等。

总的来说，排列组合的基本方法是数学中重要的计算工具，能够帮助我们解决各种实际问题。

通过掌握排列组合的基本概念和计算方法，我们能够更好地理解和运用数学知识，提高解决问题的能力和效率。

排列组合方法的应用不仅局限于数学领域，还可以在生活和工作中帮助我们进行合理的组合和排列，提高工作效率和创造力。

排列组合典型题大全一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【解析】：（1）43（2）34（3）34【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A、38B、83C、38A D、38C【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果。

所以选A1、4封信投到3个信箱当中，有多少种投法？2、4个人争夺3项冠军，要求冠军不能并列，每个人可以夺得多项冠军也可以空手而还，问最后有多少种情况？3、4个同学参加3项不同的比赛（1）每位同学必须参加一项比赛，有多少种不同的结果？（2）每项竞赛只许一名同学参加，有多少种不同的结果？4、5名学生报名参加4项比赛，每人限报1项，报名方法的种数有多少？又他们争夺这4项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少？5、甲乙丙分10瓶汽水的方法有多少种？6、（全国II文）5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共(A)10种(B)20种(C)25种(D)32种7、5位同学报名参加并负责两个课外活动小组，每个兴趣小组只能有一个人来负责，负责人可以兼职，则不同的负责方法有多少种？8、4名不同科目的实习教师被分配到3个班级，不同的分法有多少种？思考：4名不同科目的实习教师被分配到3个班级，每班至少一个人的不同的分法有多少种？二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有【例1】,,,,A 种【解析】：把,A B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，4424例2.7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

排列组合公式排列定义从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列,称为从n个中取r个的无重排列。

排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示.排列的个数用P（n，r)表示。

当r=n时称为全排列。

一般不说可重即无重.可重排列的相应记号为 P（n，r)，P(n，r)。

组合定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序,称为从n个中取r个的无重组合.组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r）表示，对应于可重组合有记号C（n,r)，C(n,r）.一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于(1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型,需要较强的抽象思维能力；(2）限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解;(3）计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；（4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力.二、两个基本计数原理及应用(1）加法原理和分类计数法1．加法原理2．加法原理的集合形式3．分类的要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法,互不相同（即分类不重）；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类（即分类不漏)(2)乘法原理和分步计数法1．乘法原理2．合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务,必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立;只要有一步中所采取的方法不同,则对应的完成此事的方法也不同例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数集合A为数字不重复的九位数的集合，S(A）=9!集合B为数字不重复的六位数的集合。

把集合A分为子集的集合，规则为前6位数相同的元素构成一个子集。

显然各子集没有共同元素。

每个子集元素的个数，等于剩余的3个数的全排列，即3！这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系，则S（A）=S（B）＊3！S（B）=9！/3!这就是我们用以前的方法求出的P（9，6)例2：从编号为1-9的队员中选6人组成一个队,问有多少种选法？设不同选法构成的集合为C,集合B为数字不重复的六位数的集合.把集合B分为子集的集合,规则为全部由相同数字组成的数组成一个子集，则每个子集都是某6个数的全排列，即每个子集有6！个元素。

各种排列组合奇怪的数的公式和推导(伪)前言啊复习初赛看到排列组合那块，找个推导都难！真是的！一、排列(在乎顺序)全排列：P(n,n)=n!n个人都排队。

第一个位置可以选n个，第二位置可以选n-1个，以此类推得： P(n,n)=n*(n-1)*…*3*2*1= n!部分排列：P(n,m)=n!-(n-m)!n个人，选m个出来排队，第一个位置可以选n个，…，最后一个可以选n-m+1个，以此类推得：P(n,m)=n*(n-1)*.*(n-m+1)=n!-(n-m)!。

二、组合(不在乎顺序)n个人，选m个人出来。

因为不在乎顺序，所以按排列算的话，每个组合被选到之后还要排列，是被算了m!遍的。

即C(n,m)*m!=P(n,m)故而得：C(n,m)=n!-(m!*(n-m)!)有两条性质：1、C(n,m)=C(n,n-m)。

就是说从n个里面选m个跟从n个里面选n-m 个出来不选它是一样的。

2、C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)。

递推式.从n个里面选m个出来的方案=从n-1个里面选m个的方案(即不选第n 个) + 从n-1个里面选m-1个的方案(即选第n个)三、圆排列圆排：Q(n,n)=（n-1)!n个人坐成一圈有多少种坐法。

想想坐成一圈后，分别以每个位置为头断开，可以排成一个序列，就是将n个人全排列中的一种。

这样可以得到n个序列，但是在圆排中是视为同一种坐法的。

所以：Q(n,n)*n=P(n,n)，即Q(n,n)=P(n,n)-n=n!-n=(n-1)!部分圆排：Q(n,m)=P(n,m)-m=n!-(m*(n-m)!)推导类似四、重复排列(有限个)：n!-(a1!*a2!*…*ak!)k种不一样的球，每种球的个数分别是a1,a2.ak,设n=a1+a2+…+ak，求这n个球的全排列数。

把每种球重复的除掉就好了。

假如第一种球有a1个，那么看成都是不一样的话就有a1!种排列方法，然而它们都是一样的，就是说重复了a1!次。