高一数学教案：等差数列的前n项和1

第五课时 等差数列的前n 项和(一)教学目标：掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路，会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题；提高学生的推理能力，增强学生的应用意识. 教学重点：等差数列前n 项和公式的推导、理解及应用. 教学难点：灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题. 教学过程： Ⅰ.复习回顾经过前面的学习，我们知道，在等差数列中： （1）a n －a n －1＝d (n ≥1)，d 为常数.（2）若a ，A ，b 为等差数列，则A ＝a ＋b2.（3)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .（其中m ，n ，p ，q 均为正整数） Ⅱ.讲授新课随着学习数列的深入，我们经常会遇到这样的问题.例：如图，一个堆放铅笔的V 形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V 形架上共放着多少支铅笔?这是一堆放铅笔的V 形架，这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图，看到此图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系，而且可以用一个式子来表示这种关系，利用它便可以求出每一层的铅笔数.那么，这个V 形架上共放着多少支铅笔呢？这个问题又该如何解决呢？经过分析，我们不难看出，这是一个等差数求和问题？首先，我们来看这样一个问题：1＋2＋3＋…＋100＝？对于这个问题，著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果，你知道他是怎么算的吗？高斯的算法是：首项与末项的和：1＋100＝101， 第2项与倒数第2项的和：2＋99＝101， 第3项与倒数第3项的和：3＋98＝101， ……第50项与倒数第50项的和：50＋51＝101，于是所求的和是101×1002 ＝5050.这个问题，它也类似于刚才我们所遇到的问题，它可以看成是求等差数列1，2，3，…，n ,…的前100项的和.在上面的求解中，我们发现所求的和可用首项、末项及项数n 来表示，且任意的第k 项与倒数第k 项的和都等于首项与末项的和，这就启发我们如何去求一般等差数列的前n 项的和.如果我们可归纳出一计算式，那么上述问题便可迎刃而解.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ① 把项的次序反过来，S n 又可写成S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1 ② ①＋② 2S n ＝(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a n ＋a 1)又∵a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝a 4＋a n －3＝…＝a n ＋a 1 ∴2S n ＝n (a 1＋a n ) 即：S n ＝n （a 1＋a n ）2若根据等差数列{a n }的通项公式，S n 可写为：S n =a 1+(a 1+d )+…+[a 1+(n －1)d ]①,把项的次序反过来，S n 又可写为：S n =a n +(a n －d )+…+[a n －(n －1)d ②],把①、②两边分别相加，得2S n ＝444444844444476个n n n n a a a a a a )()()(111++⋅⋅⋅++++＝n (a 1＋a n )即：S n ＝n （a 1＋a n ）2.由此可得等差数列{a n }的前n 项和的公式S n ＝n （a 1＋a n ）2.也就是说，等差数列的前n 项和等于首末两项的和与项数乘积的一半. 用这个公式来计算1＋2＋3＋…＋100＝？我们有S 100＝100（1＋100）2 ＝5050.又∵a n ＝a 1+(n －1)d ,∴S n ＝n （a 1＋a n ）2 ＝n [a 1＋a 1＋（n －1）d ）]2 ＝na 1＋n （n －1）2 d∴S n ＝n （a 1＋a n ）2 或S n ＝na 1＋n （n －1）2d有了此公式，我们就不难解决最开始我们遇到的问题，下面我们看具体该如何解决？分析题意可知，这个V 形架上共放着120层铅笔，且自上而下各层的铅笔成等差数列，可记为{a n }，其中a 1＝1，a 120＝120，n ＝120.解：设自上而下各层的铅笔成等差数列{a n }，其中n ＝120，a 1＝1，a 120＝120.则：S 120＝120（1＋120）2＝7260答案：这个V 形架上共放着7260支铅笔. 下面我们再来看一例题：等差数列－10，－6，－2，2，…前多少项的和是54?分析：先根据等差数列所给出项求出此数列的首项，公差，然后根据等差数列的求和公式求解.解：设题中的等差数列为{a n }，前n 项为的S n ，由题意可知：a 1＝－10，d ＝(－6)－(－10)＝4，S n ＝54由等差数列前n 项求和公式可得：－10n ＋n （n －1）2×4＝54解之得：n 1＝9，n 2＝－3(舍去)答案：等差数列－10，－6，－2，2，…前9项的和是54. ［例1］在等差数列{a n }中，（1）已知a 2＋a 5＋a 12＋a 15＝36，求S 16（2）已知a 6＝20，求S 11. 分析：（1）由于本题只给了一个等式，不能直接利用条件求出a 1，a 16，d ，但由等差数列的性质，可以直接利用条件求出a 1＋a 16的和，于是问题得以解决.（2）要求S 11只需知道a 1＋a 11即可，而a 1与a 11的等差中项恰好是a 6，从而问题获解. 解：（1）∵a 2＋a 15＝a 5＋a 12＝a 1＋a 16＝18∴S 16＝16（a 1＋a 16）2 ＝8×18＝144.（2）∵a 1＋a 11＝2a 6∴S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11a 6＝11×20＝220.［例2］有一项数为2n ＋1的等差数列，求它的奇数项之和与偶数项之和的比. 分析一：利用S n ＝na 1＋n （n －1）2d 解题.解法一：设该数列的首项为a 1，公差为d ，奇数项为a 1，a 1＋2d ，…其和为S 1，共n ＋1项；偶数项为a 1＋d ，a 1＋3d ，a 1＋5d ，…，其和为S 2，共n 项.∴S 1S 2 ＝（n ＋1）a 1＋12 （n ＋1）[（n ＋1）－1]2dn （a 1＋d ）＋12 n （n －1）2d＝n ＋1n. 分析二：利用S n ＝n （a 1＋a n ）2 解题.解法二：由解法一知：S 1＝（n ＋1）（a 1＋a 2n ＋1）2 ，S 2＝n （a 2＋a 2n ）2∵a 1＋a 2n +1＝a 2＋a 2n ∴S 1S 2 ＝n ＋1n［例3］若两个等差数列的前n 项和之比是（7n ＋1）∶(4n ＋27)，试求它们的第11项之比.分析一：利用性质m ＋n ＝p ＋q a m ＋a n ＝a p ＋a q 解题.解法一：设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }的前n 项和为T n . 则：a 11＝a 1＋a 212 ，b 11＝b 1＋b 212,∴a 11b 11 ＝a 1＋a 212 b 1＋b 212 ＝a 1＋a 212 ·21b 1＋b 212 ·21 ＝S 21T 21 ＝7×21＋14×21＋27 ＝43分析二：利用等差数列前n 项和S n ＝An 2+Bn 解题.解法二：由题设，令S n ＝(7n ＋1)·nk ，T n ＝(4n ＋27)·nk 由a n ＝S n －S n －1＝k (14n －6)，得a 11＝148k ，n ≥2 b n ＝T n －T n －1＝k (8n －23)，得b 11＝111k ，n ≥2,∴a 11b 11 ＝148k 111k ＝43. 评述：对本例，一般性的结论有：已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，则：（1）a n b n ＝S 2n －1T 2n －1 ；(2) a mb n ＝2n －12m －1 ·S 2m －1T 2n －1.［例4］等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为 A.30 B.170 C.210 D.260 答案：C 分析一：把问题特殊化，即命m ＝1来解.解法一：取m ＝1，则a 1＝S 1＝30，a 2＝S 2－S 1＝70∴d ＝a 2－a 1＝40，a 3＝a 2＋d ＝70＋40＝110，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝210 分析二：利用等差数列的前n 项和公式S n ＝na 1＋n （n －1）2 d 进行求解.解法二：由已知，得⎩⎨⎧S m＝ma 1＋m （m －1）2 d ＝30S 2m＝2ma 1＋2m （2m －1）2d ＝100 解得a 1＝10m ＋20m 2 ，d ＝40m2∴S 2m ＝3ma 1＋3m （3m －1）2d ＝210.分析三：借助等差数列的前n 项和公式S n ＝n （a 1＋a n ）2 及性质m ＋n ＝p ＋q ⇒a m ＋a n＝a p ＋a q 求解.解法三：由已知得⎩⎨⎧m （a 1＋a m ）＝60 ①m （a 1＋a 2m ）＝100 ②3m （a 1＋a 3m ）＝2S 3m ③ a 3m －a 2m ＝a 2m －a m ④由③－②及②－①结合④，得S 3m ＝210. 分析四：根据性质：“已知{a n }成等差数列，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…，S kn －S (k －1)n ，…(k ≥2)成等差数列”解题.解法四：根据上述性质，知S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列. 故S m ＋(S 3m －S 2m )＝2(S 2m －S m ), ∴S 3m ＝3(S 2m －S m )＝210.分析五：根据S n ＝an 2＋bn 求解. 解法五：∵{a n }为等差数列， ∴设S n ＝a ·n 2＋b ·n ,∴S m ＝am 2＋bm ＝30，S 2m ＝4m 2a ＋2mb ＝100得a ＝20m 2 ，b ＝10m∴S 3m ＝9m 2a ＋3mb ＝210.分析六：运用等差数列求和公式，S n ＝na 1＋n （n －1）2 d 的变形式解题.解法六：由S n ＝na 1＋n （n －1）2 d ，即S nn ＝a 1＋n －12d由此可知数列{S n n }也成等差数列，也即S m m ，S 2m 2m ，S 3m3m 成等差数列.由S 2m 2m ＝S m m ＋S 3m3m，S m ＝30，S 2m ＝100 ∴S 3m ＝210.评述：一般地，对于等差数列{a m }中，有S p －S q p －q ＝S p ＋q p ＋q(p ≠q ).[例5]在a ，b 之间插入10个数，使它们同这两个数成等差数列，求这10个数的和.分析：求解的关键有二：其一是求和公式的选择；其二是用好等差数列的性质.解法一：设插入的10个数依次为x 1，x 2，x 3，…，x 10，则a ，x 1，x 2，…，x 10，b 成等差数列.令S ＝x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 10，需求出首项x 1和公差d . ∵b ＝a 12＝a 1＋11d∴d ＝b －a 11 ，x 1＝a ＋b －a 11 ＝10a ＋b 11∴S ＝10x 1＋10×92 d ＝10·10a ＋b 11 ＋10×92 ·b －a 11 ＝5(a ＋b )解法二：设法同上，但不求d .依x 1＋x 10＝a ＋b ∴S ＝10（x 1＋x 10）2 ＝5(a ＋b )解法三：设法同上，正难则反∴S ＝S 12－(a ＋b )＝12（a ＋b ）2－(a ＋b )＝5(a ＋b )评述：求和问题灵活多变，要注意理解和运用.［例6］在凸多边形中，已知它的内角度数组成公差为5°的等差数列，且最小角是 120°，试问它是几边形？解：设这是一个n 边形，则⎩⎪⎨⎪⎧S m ＝n ×1200＋n （n －1）2 ·50＝（n －2）×18001200＋（n －1）·50＜1800⇔⎩⎨⎧n 2－25n ＋144＝0n ＜13⇔n ＝9 所以这是一个九边形.Ⅲ.课堂练习课本P 42练习1，2，3，4. Ⅳ.课时小结通过本节学习，要熟练掌握等差数列前n 项和公式:S n ＝n （a 1＋a n ）2 ＝na 1＋n （n －1）2 d 及其获取思路.Ⅴ.课后作业课本P 45习题 1，2，3。