广东省广州市2020届高三综合测试一模数学(文科)试题(含答案)

2020届广东省广州市高考数学一模（文）试题一、单选题 1．设集合，，则=（ ）A ．B ．C ．D ．2．高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了n 座城市作试验基地，这n 座城市共享单车的使用量（单位：人次/天）分别为x 1，x 2，…x n ，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是( ) A ．x 1，x 2，…x n 的平均数 B ．x 1，x 2，…x n 的标准差 C ．x 1，x 2，…x n 的最大值 D ．x 1，x 2，…x n 的中位数3．若复数()21a ia R i-∈+为纯虚数，则3ai -=（ ） AB ．13C ．10D4．设等差数列{}an 的前n 项和为Sn ，若则28155a a a +=-,9S =（ ）A ．18B ．36C ．45D ．605．已知4cos()25πθ+=，322ππθ<<，则sin 2θ的值等于( )A.1225 B.1225-C.2425 D.2425-6．若实数x ，y 满足001x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩………，则2z y x =-的最小值为( ) A.2B.2-C.1D.1-7．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用22()4⨯⨯+=⨯+=勾股股勾朱实黄实弦实-，化简，得222+=勾股弦.设勾股形中勾股比为1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）A.134B.866C.300D.5008．已知12121ln ,2x x e -==，3x 满足33ln xe x -=，则（ ）A.123x x x <<B.132x x x <<C.213x x x <<D.312x x x <<9．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A.aB.2aD.210．已知函数())(0f x x ωϕω=+>，)22ππ-<ϕ<，1(3A ，0)为()f x 图象的对称中心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，若4BC =，则()f x 的单调递增区间是( ) A.2(23k -，42)3k +，k Z ∈ B.2(23k ππ-，42)3k ππ+，k Z ∈C.2(43k -，44)3k +，k Z ∈ D.2(43k ππ-，44)3k ππ+，k Z ∈11．一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a 元一年定期，若年利率为r 保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为( ) A.17(1)a r + B.17[(1)(1)]a r r r +-+ C.18(1)a r +D.18[(1)(1)]a r r r+-+ 12．已知函数f （x ）＝（k ＋4k ）lnx ＋24x x－，k ∈[4，＋∞），曲线y ＝f （x ）上总存在两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），使曲线y ＝f （x ）在M ，N 两点处的切线互相平行，则x 1＋x 2的取值范围为A ．（85，＋∞） B ．（165，＋∞） C ．[85，＋∞） D ．[165，＋∞）二、填空题13．已知向量()()3,2,,1a b m =-=．若向量()2//a b b -，则m =_____．14．已知数列{}n a 满足11a =，111(*,2)n n a a a n N n -=++⋯+∈…，则当1n …时，n a =__． 15．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ=______________．16．已知直三棱柱111ABC A B C -外接球的表面积为52π，1AB =，若ABC ∆外接圆的圆心1O 在AC 上，半径11r =，则直三棱柱111ABC A B C -的体积为_____．三、解答题17．某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组[65，75)，第二组[75，85)，⋯⋯第八组[135，145]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分． （1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图；（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；（3）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率．18．在等比数列{}n a 中，公比(0,1)q ∈，且满足32a =，132435225a a a a a a ++=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，当1212n S S S n++⋯+取最大值时，求n 的值． 19．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c，且22sin 30C C -++=． （1）求角C 的大小； （2）若b =，ABC ∆sin A B ，求sin A 及c 的值． 20．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，侧面PAB 是正三角形，2AB =，BC =PC =E 、H 分别为PA 、AB 的中点．（1）求证：PH AC ⊥； （2）求点P 到平面DEH 的距离．21．已知函数2()f x lnx mx =-，21()2g x mx x =+，m R ∈，()()()F x f x g x =+．（1）讨论函数()f x 的单调区间及极值；（2）若关于x 的不等式()1F x mx -…恒成立，求整数m 的最小值．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为cos sin x y αααα⎧=⎪⎨=-⎪⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l 与y 轴交点为P ，经过点P 的直线与曲线C 交于A ，B 两点，证明：PA PB ⋅为定值. 23．已知函数()12()f x x x m m R =-++∈. （1）若2m =时，解不等式()3f x ≤；（2）若关于x 的不等式()23f x x ≤-在[0,1]x ∈上有解，求实数m 的取值范围.2020届广东省广州市高考数学一模（文）试题1. 【答案】B【解析】试题分析：集合，故选B.【考点】集合的交集运算. 2. 【答案】B【解析】根据平均数、标准差、中位数、最值的实际意义逐一判断即可. 【详解】因为平均数、中位数、众数描述样本数据的集中趋势, 方差和标准差描述其波动大小. 所以，表示一组数据12,,...n x x x 的稳定程度的是方差或标准差．故选B ． 【点睛】本题主要考查平均数、标准差、中位数的实际意义，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，以及灵活运用所学知识解答问题的能力，属于基础题. 3. 【答案】A【解析】由题意首先求得实数a 的值，然后求解3ai -即可。

2020年广东省广州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，M＝{3，4，5}，N ＝{1，3，6}，则集合{2，7}等于（）A．M∩N B．∁U（M∪N）C．∁U（M∩N）D．M∪N 2．（5分）某地区小学，初中，高中三个学段的学生人数分别为4800人，4000人，2400人．现采用分层抽样的方法调查该地区中小学生的“智慧阅读”情况，在抽取的样本中，初中学生人数为70人，则该样本中高中学生人数为（）A．42人B．84人C．126 人D．196人3．（5分）直线kx﹣y+1＝0与圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定4．（5分）已知函数f（x）＝，则f[f（）]的值为（）A．4B．2C．D．5．（5分）已知向量＝（2，1），＝（x，﹣2），若|+|＝|2﹣|，则实数x的值为（）A．B．C．D．26．（5分）如图所示，给出的是计算+++…+值的程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i＞9B．i＞10C．i＞11D．i＞12 7．（5分）设函数f（x）＝2cos（x﹣），若对任意x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1﹣x2|的最小值为（）A．4πB．2πC．πD．8．（5分）刘徽是我国古代伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是我国最宝贵的数学遗产刘徽是世界上最早提出十进小数概念的人，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的规则．提出了“割圆术”，并用“割圆术”求出圆周率π为3.14．刘徽在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”被视为中国古代极限观念的佳作．其中“割圆术”的第一步是求圆的内接正六边形的面积，第二步是求圆的内接正十二边形的面积，依此类推．若在圆内随机取一点，则该点取自该圆内接正十二边形的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）已知sinα﹣cosα＝，0＜α＜π，则cos2α＝（）A．﹣B．C．D．﹣10．（5分）已知点P（x0，y0）在曲线C：y＝x3﹣x2+1上移动，曲线C在点P处的切线的斜率为k，若k∈[﹣，21]，则x0的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣，3]C．[﹣，+∞）D．[﹣7，9] 11．（5分）已知O为坐标原点，设双曲线C：﹣＝1（a＞0，b ＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线C上位于第一象限内的点．过点F2作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为A，若b ＝|F1F2|﹣2|OA|，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．212．（5分）在三棱锥A﹣BCD中，△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形，且二面角A﹣BD﹣C的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．7πB．8πC．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知复数z＝﹣i．则z2+z4＝．14．（5分）已知函数f（x）＝在区间（0，+∞）上有最小值4，则实数k＝．15．（5分）已知直线a⊥平面α，直线b⊂平面β，给出下列5个命题①若α∥β，则a⊥b；②若α⊥β，则a⊥b：③若α⊥β，则a ∥b：④若a∥b，则α⊥β；⑤若a⊥b则α∥β，其中正确命题的序号是．16．（5分）如图，在平面四边形ABCD中，∠BAC＝∠ADC＝，∠ABC＝，∠ADB＝，则tan∠ACD＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n＝n﹣S n，设b n＝a n﹣1．（1）求a1，a2，a3；（2）判断数列{b n}是否是等比数列，并说明理由；（3）求数列{a n}的前n项和S n．18．（12分）如图1，在边长为2的等边△ABC中，D，E分别为边AC，AB的中点．将△ADE沿DE折起，使得AB⊥AD，得到如图2的四棱锥A﹣BCDE，连结BD，CE，且BD与CE交于点H．（1）证明：AH上BD；（2）设点B到平面AED的距离为h1，点E到平面ABD的距离为h2，求的值．19．（12分）某种昆虫的日产卵数和时间变化有关，现收集了该昆虫第1夭到第5天的日产卵数据：第x天12345日产卵数y612254995（个）对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值．x i x i2（lny i）（x i•lny i）155515.9454.75（1）根据散点图，利用计算机模拟出该种昆虫日产卵数y关于x 的回归方程为y＝e a+bx（其中e为自然对数的底数），求实数a，b 的值（精确到0.1）；（2）根据某项指标测定，若日产卵数在区间（e6，e8）上的时段为优质产卵期，利用（1）的结论，估计在第6天到第10天中任取两天，其中恰有1天为优质产卵期的概率．附：对于一组数据（v1，μ1），（v2，μ2），…，（v n，μn），其回归直线μ＝α+βv的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝﹣•．20．（12分）已知⊙M过点A（，0），且与⊙N：（x+）2+y2＝16内切，设⊙M的圆心M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程：（2）设直线l不经过点B（0，1）且与曲线C相交于P，Q两点．若直线PB与直线QB的斜率之积为﹣，判断直线l是否过定点，若过定点，求出此定点坐标；若不过定点，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝（x+a）e bx（b≠0）的最大值为，且曲线y＝f（x）在x＝0处的切线与直线y＝x﹣2平行（其中e 为自然对数的底数）．（1）求实数a，b的值；（2）如果0＜x1＜x2，且f（x1）＝f（x2），求证：3x1+x2＞3．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的参数方程为（θ为参数，且θ∈（，））．（1）求C1与C2的普通方程，（2）若A，B分别为C1与C2上的动点，求|AB|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|3x﹣6|+|x+a|．（1）当a＝1时，解不等式f（x）＜3；（2）若不等式f（x）＜11﹣4x对任意x∈[﹣4，﹣]成立，求实数a的取值范围．2020年广东省广州市高考数学一模试卷（文科）答案与解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【分析】由已知求出M∩N＝{3}，M∪N＝{1，3，4，5，6}，再求其补集，可判断结果．【解答】解：由已知：M∩N＝{3}，M∪N＝{1，3，4，5，6}，∴∁U（M∩N）＝{1，2，4，5，6，7），∁U（M∪N）＝{2，7}．故选：B．2．【分析】设高中抽取人数为x，根据条件，建立比例关系进行求解即可．【解答】解：设高中抽取人数为x，则，得x＝42，故选：A．3．【分析】判断直线恒过的定点与圆的位置关系，即可得到结论．【解答】解：圆方程可整理为（x+1）2+（y﹣2）2＝4，则圆心（﹣1，2），半径r＝2，直线恒过点（0，1），因为（0，1）在圆内，故直线与圆相交，故选：A．4．【分析】根据分段函数的解析式，先求出f（）的值，再求f[f（）]的值．【解答】解：因为f（x）＝，∴f（）＝ln；∴f[f（）]＝e＝．故选：D．5．【分析】由向量和向量的坐标求出向量和向量的坐标，再利用|+|＝|2﹣|，即可求出x的值．【解答】解：∵向量＝（2，1），＝（x，﹣2），∴＝（2+x，﹣1），＝（4﹣x，4），∵|+|＝|2﹣|，∴，解得x＝，故选：C．6．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累加并输出s的值，模拟循环过程可得条件．【解答】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：s＝0，n＝2，i＝1不满足条件，第一圈：s＝0+，n＝4，i＝2，不满足条件，第二圈：s＝+，n＝6，i＝3，不满足条件，第三圈：s＝++，n＝8，i＝4，…依此类推，不满足条件，第10圈：s＝+++…+，n＝22，i＝11，不满足条件，第11圈：s＝+++…++，n＝24，i＝12，此时，应该满足条件，退出循环，其中判断框内应填入的条件是：i＞11？．故选：C．7．【分析】由题意可知f（x1）≤f（x）≤f（x2），f（x1）是函数的最小值，f（x2）是函数的最大值，|x1﹣x2|的最小值就是半个周期．【解答】解：函数f（x）＝2cos（x﹣），若对于任意的x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），∴f（x1）是函数的最小值，f（x2）是函数的最大值，|x1﹣x2|的最小值就是函数的半周期，＝×＝2π；故选：B．8．【分析】设圆的半径为1，分别求出圆的面积及圆内接正十二边形的面积，由测度比是面积比得答案．【解答】解：设圆的半径为1，圆内接正十二边形的一边所对的圆心角为＝30°，则圆内接正十二边形的面积为：12××1×1×sin30°＝3．圆的面积为π×12＝π，由测度比为面积比可得：在圆内随机取一点，则此点在圆的某一个内接正十二边形内的概率是．故选：C．9．【分析】把sinα﹣cosα＝平方可得2sinαcosα的值，从而求得sinα+cosα的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2α＝cos2α﹣sin2α＝﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）的值．【解答】解：∵sinα﹣cosα＝，0＜α＜π，∴平方可得：1﹣2sinαcosα＝，2sinαcosα＝＞0．∴α为锐角．∴sinα+cosα═＝＝＝，∴cos2α＝cos2α﹣sin2α＝﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）＝﹣×＝﹣．故选：A．10．【分析】先求出y＝x3﹣x2+1的导数，然后求出曲线C在点P（x0，y0）处的切线斜率k，再根据k∈[﹣，21]求出x0的取值范围．【解答】解：由y＝x3﹣x2+1，得y'＝3x2﹣2x，则曲线C在点P（x0，y0）处的切线的斜率为，∵k∈[﹣，21]，∴∈，∴．故选：B．11．【分析】由角平分线的性质可得延长F2A交PF1与B，由PA为∠F1PF2的角平分线，F2A⊥PA，所以A为F2B的中点，|PF2|＝|PB|，可得OA为△BF1F2的中位线，b＝|F1F2|﹣2|OA|＝2c﹣2a再由a，b，c的关系求出离心率．【解答】解：延长F2A交PF1与B，由PA为∠F1PF2的角平分线，F2A⊥PA，所以A为F2B的中点，|PF2|＝|PB|，连接OA，则OA为△BF1F2的中位线，所以|BF1|＝2|OA|，而|BF1|＝|PF1|﹣|PB|＝|PF1|﹣|PF2|＝2a因为b＝|F1F2|﹣2|OA|＝2c﹣2a，而b2＝c2﹣a2所以c2﹣a2＝4（c﹣a）2整理可得3c2﹣8ac+5c2＝0，即3e2﹣8e+5＝0，解得e＝或1，再由双曲线的离心率大于1，可得e＝，故选：C．12．【分析】如图，取BD中点H，连接AH，CH，则∠AHC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，即∠AHD＝120°，分别过EF作平面ABD，平面BCD的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点，记为O，连接AO，HO，则由对称性可得∠OHE＝60°，进而可求得R的值．【解答】解：如图，取BD中点H，连接AH，CH，因为△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形，所以AH⊥BD，CH⊥BD，则∠AHC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，即∠AHD＝120°，设△ABD与△CBD外接圆圆心分别为E，F，则由AH＝2×＝可得AE＝AH＝，EH＝AH＝，分别过EF作平面ABD，平面BCD的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点，记为O，连接AO，HO，则由对称性可得∠OHE＝60°，所以OE＝1，则R＝OA＝＝，则三棱锥外接球的表面积4πR2＝4π×＝，故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【分析】利用复数的乘方运算和加法法则即可得出．【解答】解：∵z2＝（﹣i）2＝﹣i﹣＝﹣i，∴z4＝（z2）2＝（﹣i）2＝﹣1，∴z2+z4＝﹣1﹣i，故答案是：﹣1﹣i．14．【分析】由函数在（0，+∞）上有最小值可知，k＞0，再由基本不等式即可求得k的值．【解答】解：依题意，k＞0，则，则，解得k＝4．故答案为：4．15．【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用逐一核对四个命题得答案．【解答】解：对于①，由a⊥平面α，α∥β，得a⊥β，又直线b⊂平面β，∴a⊥b，故①正确；对于②，由a⊥平面α，α⊥β，得a∥β或a⊂β，而直线b⊂平面β，∴a与b的关系是平行、相交或异面，故②错误；对于③，由a⊥平面α，α⊥β，得a∥β或a⊂β，而直线b⊂平面β，∴a与b的关系是平行、相交或异面，故③错误；对于④，由a⊥平面α，a∥b，得b⊥α，又直线b⊂平面β，∴α⊥β，故④正确；对于⑤，由a⊥平面α，a⊥b，得b∥α或b⊂α，又直线b⊂平面β，∴α与β相交或平行，故⑤错误．∴其中正确命题的序号是①④．故答案为：①④．16．【分析】设∠ACD＝θ，AC＝1，则AD＝sinθ，进一步可得，再利用正弦定理可得，通过三角恒等变换即可求得tanθ的值，进而得出答案．【解答】解：不妨设∠ACD＝θ，AC＝1，则AD＝sinθ，在△ABD中，，∠ADB＝，则，在△ABD中，由正弦定理得，即，∴，∴，∴，∴，∴．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17．【分析】（1）a n＝n﹣S n，可得a1＝1﹣a1，解得a1．a2＝2﹣（a2+），解得a2．a3＝3﹣（a3++），解得a3．（2）a n＝n﹣S n，n≥2时，a n﹣1＝n﹣1﹣S n﹣1，相减可得：a n﹣1＝（a n﹣1），可得：b n＝b n﹣1．即可得出结论．﹣1（3）由（2）可得：b n＝﹣．可得a n＝b n+1，可得S n＝n﹣a n．【解答】解：（1）a n＝n﹣S n，∴a1＝1﹣a1，解得a1＝．a2＝2﹣（a2+），解得a2＝．a3＝3﹣（a3++），解得a3＝．（2）a n＝n﹣S n，n≥2时，a n﹣1＝n﹣1﹣S n﹣1，相减可得：2a n＝a n+1，﹣1变形为：a n﹣1＝（a n﹣1﹣1），由b n＝a n﹣1．可得：b n＝b n﹣1．b1＝a1﹣1＝﹣．∴数列{b n}是等比数列，首项为﹣，公比为．（3）由（2）可得：b n＝﹣×＝﹣．则a n＝b n+1＝1﹣．∴S n＝n﹣a n＝n﹣1+．18．【分析】（1）在图1中，证明BD⊥AC，ED∥BC，则在图2中，有，得DH＝，然后证明△BAD∽△AHD，可得∠AHD＝∠BAD＝90°，即AH⊥BD；（2）由V B＝V E﹣ABD，得，分别求出三角形ABD与﹣AED三角形AED的面积得答案．【解答】（1）证明：在图1中，∵△ABC为等边三角形，且D为边AC的中点，∴BD⊥AC，在△BCD中，BD⊥CD，BC＝2，CD＝1，∴BD＝，∵D、E分别为边AC、AB的中点，∴ED∥BC，在图2中，有，∴DH＝．在Rt△BAD中，BD＝，AD＝1，在△BAD和△AHD中，∵，∠BDA＝∠ADH，∴△BAD∽△AHD．∴∠AHD＝∠BAD＝90°，即AH⊥BD；（2）解：∵V B＝V E﹣ABD，﹣AED∴，则．∵△AED是边长为1的等边三角形，∴．在Rt△ABD中，BD＝，AD＝1，则AB＝．∴，则．19．【分析】（1）根据y＝e a+bx，两边取自然对数得lny＝a+bx，再利用线性回归方程求出a、b的值；（2）根据y＝e1.1+0.7x，由e6＜e1.1+0.7x＜e8求得x的取值范围，再利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．【解答】解：（1）因为y＝e a+bx，两边取自然对数，得lny＝a+bx，令m＝x，n＝lny，得n＝a+bm；因为＝＝＝0.693；所以b≈0.7；因为＝﹣b＝﹣0.7×3＝1.088；所以a≈1.1；即a≈1.1，b≈0.7；（2）根据（1）得y＝e1.1+0.7x，由e6＜e1.1+0.7x＜e8，得7＜x＜；所以在第6天到第10天中，第8、9天为优质产卵期；从未来第6天到第10天中任取2天的所有可能事件有：（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10）共10种；其中恰有1天为优质产卵期的有：（6，8），（6，9），（7，8），（7，9），（8，10），（9，10）共6种；设从未来第6天到第10天中任取2天，其中恰有1天为优质产卵期的事件为A，则P（A）＝＝；所以从未来第6天到第10天中任取2天，其中恰有1天为优质产卵期的概率为．20．【分析】（1）由两圆相内切的条件和椭圆的定义，可得曲线C的轨迹方程；（2）设直线BP的斜率为k（k≠0），则BP的方程为y＝kx+1，联立椭圆方程，解得交点P，同理可得Q的坐标，考虑P，Q的关系，运用对称性可得定点．【解答】解：（1）设⊙M的半径为R，因为圆M过A（，0），且与圆N相切，所以R＝|AM|，|MN|＝4﹣R，即|MN|+|MA|＝4，由|NA|＜4，所以M的轨迹为以N，A为焦点的椭圆．设椭圆的方程为+＝1（a＞b＞0），则2a＝4，且c＝＝，所以a＝2，b＝1，所以曲线C的方程为+y2＝1；（2）由题意可得直线BP，BQ的斜率均存在且不为0，设直线BP的斜率为k（k≠0），则BP的方程为y＝kx+1，联立椭圆方程x2+4y2＝4，可得（1+4k2）x2+8kx＝0，解得x1＝0，x2＝﹣，则P（﹣，），因为直线BQ的斜率为﹣，所以同理可得Q（，﹣），因为P，Q关于原点对称，（或求得直线l的方程为y＝x）所以直线l过定点（0，0）．21．【分析】（1）对原函数求导数，然后利用在x＝0处切线的斜率为1，函数的最大值为列出关于a，b的方程组求解；（2）利用f（x1）＝f（x2）找到x1，x2的关系式，然后引入t＝x2﹣x1，构造关于t的函数，将3x1+x2转换成关于t的函数，求最值即可．【解答】解：（1）由已知f′（x）＝（bx+ab+1）e bx．则易知f′（0）＝ab+1＝1，∴ab＝0，又因为b≠0，故a＝0．此时可得f（x）＝xe bx（b≠0），f′（x）＝（bx+1）e bx．①若b＞0，则当x时，f′（x）＜0，f（x）递减；．此时，函数f（x）有最小值，无最大值．②若b＜0，则当；x．此时，解得b＝﹣1．所以a＝0，b＝﹣1即为所求．（2）由0＜x1＜x2，且f（x1）＝f（x2）得：．∴．设t＝x2﹣x1（t＞0），则e t x1﹣x1＝t，可得，所以要证3x1+x2＞3，即证．∵t＞0，所以e t﹣1＞0，所以即证（t﹣3）e t+3t+3＞0．设g（t）＝（t﹣3）e t+3t+3（t＞0），则g′（t）＝（t﹣2）e t+3．令h（t）＝（t﹣2）e t+3，则h′（t）＝（t﹣1）e t，当t∈（0，1）时，h′（t）＜0，h（t）递减；t∈（1，+∞）时，h′（t）＞0，h（t）递增．所以h（t）＞h（1）＝3﹣e＞0，即g′（t）＞0，所以g（t）在（0，+∞）上递增．所以g（t）＞g（0）＝0．∴3x1+x2＞3．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用直线和曲线的位置关系式的应用求出结果．【解答】解：（1）由题可得：C1的普通方程为2x﹣y﹣5＝0又因为C2的参数方程为，两边平方可得，所以C 2的普通方程为，且．（2）由题意，设C1的平行直线2x﹣y+c＝0联立消元可得：3x2+4cx+c2+3＝0所以△＝4c2﹣36＝0，解得c＝±3又因为，经检验可知c＝3时与C2相切，所以．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．【分析】（1）a＝1时，f（x）＝|3x﹣6|+|x+1|，讨论x的取值范围，去掉绝对值求不等式f（x）＜3的解集即可；（2）f（x）＝|3x﹣6|+|x+a|＜11﹣4x对任意成立，等价于|x+a|＜5﹣x恒成立，去绝对值，从而求出a的取值范围．【解答】解：（1）a＝1时，f（x）＝|3x﹣6|+|x+1|＝；当x＜﹣1时，由f（x）＜3得﹣4x+5＜3，解得x＞（不合题意，舍去）；当﹣1≤x≤2时，由f（x）＜3得﹣2x+7＜3，解得x＞2（不合题意，舍去）；当x＞2时，由f（x）＜3得4x﹣5＜3，解得x＜2（不合题意，舍去）；所以不等式f（x）＜3的解集∅；（2）由f（x）＝|3x﹣6|+|x+a|＜11﹣4x对任意成立，得﹣（3x﹣6）+|x+a|＜11﹣4x，即|x+a|＜5﹣x，所以，所以，得a＞﹣5且a＜5﹣2x对任意成立；即﹣5＜a＜8，所以a的取值范围是（﹣5，8）．。

2020年广东省高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题）1．已知集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}的子集，集合A＝{1，2，3，4}，则满足A∩∁U B＝{1，2}的集合B可以是（）A．{1，2，3，4}B．{1，2，7}C．{3，4，5，6}D．{1，2，3}2．复数z=4+3i3−4i（i为虚数单位）的虚部为（）A．﹣1B．2C．5D．13．已知向量a→=(12，−1)向量b→满足2a→+b→=（﹣1，m），若a→⊥b→，则m＝（）A．﹣3B．3C．1D．24．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，若四边形AF2BF1是正方形且面积为4，则椭圆C的方程为（）A．x24+y22=1B．x22+y2=1C．x23+y22=1D．x24+y23=15．如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x＝t（0＜t≤2）左侧的图形的面积为f（t），则y＝f（t）的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．6．若sin(π+α)=√23，则sin(2α−π2)的值为（ ）A ．−19B ．−59C ．19D ．597．甲、乙两人分别从4种不同的图书中任选2本阅读，则甲、乙两人选的2本恰好相同的概率为（ ）A ．14B ．13C ．16D ．1368．某广场设置了一些石凳子供大家休息，这些石凳子是由正方体沿各棱的中点截去八个一样的正三棱锥后得到的．如果被截正方体的棱长为40cm ，则石凳子的体积为（ ）A ．1920003cm 3B ．1600003cm 3C ．160003cm 3D ．640003cm 39．执行如图的程序框图，若输出A 的值为70169，则输入i 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．710．已知O 是坐标原点，双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过点F 的直线l 与x 轴垂直，且交双曲线C 于A ，B 两点，若△ABO 是等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√5+12B ．√5−12C ．√5−1D ．√5+111．在△ABC 中，已知A ＝60°，D 是边BC 上一点，且BD ＝2DC ，AD ＝2，则△ABC 面积的最大值为（ ） A ．√3B ．32√3C ．2√3D ．52√312．已知f （x ）是定义在（−π2，π2）上的奇函数，f （1）＝0，且当x ∈（0，π2）时，f （x ）+f ′（x ）tan x ＞0，则不等式f （x ）＜0的解集为（ ） A ．（﹣1，0）∪（1，π2）B ．（﹣1，0）∪（0，1）C ．（−π2，﹣1）∪（1，π2） D ．（−π2，﹣1）∪（0，1）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设函数f （x ）＝mx 2lnx ，若曲线y ＝f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线与直线ex +y +2020＝0平行，则m ＝ ．14．若x ，y 满足约束条件{|x −y|≤1|x|≤2，则z ＝2x +y 的最大值为 ．15．如图，已知三棱锥P ﹣ABC 满足PA ＝PB ＝PC ＝AB ＝2，AC ⊥BC ，则该三棱锥外接球的体积为 ．16．函数f（x）＝sinπx+a cosπx满足f（x）＝f（13−x），x∈[0，32]，方程f（x）﹣m＝0恰有两个不等的实根，则实数m的取值范围为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知{a n}为单调递增的等差数列，设其前n项和为S n，S5＝﹣20，且a3，a5+1，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求S n的最小值及取得最小值时n的值．18．某城市2018年抽样100户居民的月均用电量（单位：千瓦时），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组，得到如表频率分布表：分组频数频率[160，180）n10.04[180，200）19f1[200，220）n20.22[220，240）250.25[240，260）150.15[260，280）10f2[280，300]50.05（1）求表中n1，n2，f1，f2的值，并估计2018年该市居民月均用电量的中位数m；（2）该城市最近十年的居民月均用电量逐年上升，以当年居民月均用电量的中位数u（单位：千瓦时）作为统计数据，如图是部分数据的折线图．由折线图看出，可用线性回归模型拟合u与年份t的关系．①为简化运算，对以上数据进行预处理，令x＝t﹣2014，y＝u﹣195，请你在答题卡上完成数据预处理表；②建立u关于t的线性回归方程，预测2020年该市居民月均用电量的中位数．附：回归直线y=b x+a的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b=∑n i=1x i y i−nxy ∑n i=1x i2−nx2，a=y−b x．19．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1，D是AB的中点，E是C1C的中点，且AB＝1，AA1＝2．（1）证明：CD∥平面A1EB；（2）求点A1到平面BDE的距离．20．动圆C与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1，x2是方程x2+2mx﹣4＝0的两根．（1）若线段AB是动圆C的直径，求动圆C的方程；（2）证明：当动圆C过点M（0，1）时，动圆C在y轴上截得弦长为定值．21．已知函数f（x）＝e x+（m﹣e）x﹣mx2．（1）当m＝0时，求函数f（x）的极值；（2）当m＜0时，证明：在（0，1）上f（x）存在唯一零点．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣2ρsinθ＝1．若P为曲线C1上的动点，Q是射线OP上的一动点，且满足|OP|•|OQ|＝2，记动点Q的轨迹为C2．（1）求C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1与曲线C2交于M，N两点，求△OMN的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f(x)=|x−k|+12|x+3|−2(k∈R)．（1）当k＝1时，解不等式f（x）≤1；（2）若f（x）≥x对于任意的实数x恒成立，求实数k的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}的子集，集合A＝{1，2，3，4}，则满足A∩∁U B＝{1，2}的集合B可以是（）A．{1，2，3，4}B．{1，2，7}C．{3，4，5，6}D．{1，2，3}【分析】根据题意得出1，2∉B，即可判断结论．解：∵集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}的子集，集合A＝{1，2，3，4}，要满足A∩∁U B＝{1，2}；则1，2∉B，故符合条件的选项为C．故选：C．【点评】本题考查集合了的交、并、补集的混合运算问题，是基础题．2．复数z=4+3i3−4i（i为虚数单位）的虚部为（）A．﹣1B．2C．5D．1【分析】利用复数的运算法则即可得出．解：∵z=4+3i3−4i=(4+3i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=25i25=i，∴复数z=4+3i3−4i的虚部是1，故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．3．已知向量a→=(12，−1)向量b→满足2a→+b→=（﹣1，m），若a→⊥b→，则m＝（）A ．﹣3B ．3C ．1D ．2【分析】由题意利用两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质、两个向量的数量积公式，求得m 的值．解：向量a →=(12，−1)，向量b →满足2a →+b →=（﹣1，m ），设b →=（ x ，y ），则（1+x ，﹣2+y ）＝（﹣1，m ），∴1+x ＝﹣1，且﹣2+y ＝m ， 求得x ＝﹣2，m ＝y ﹣2．若a →⊥b →，则a →⋅b →=x 2−y ＝﹣1﹣y ＝0，故y ＝﹣1，∴m ＝y ﹣2＝﹣3， 故选：A ．【点评】本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质、两个向量的数量积公式，属于基础题．4．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上、下顶点分别为A ，B ，若四边形AF 2BF 1是正方形且面积为4，则椭圆C 的方程为（ ） A ．x 24+y 22=1B ．x 22+y 2=1C ．x 23+y 22=1D ．x 24+y 23=1【分析】由四边形AF 2BF 1是正方形且面积为4可得b ，c 的值，再由a ，b ，c 之间的关系求出a 的值，进而求出椭圆的面积． 解：由AF 2BF 1是正方形可得b ＝c ，再由AF 2BF 1的面积为4可得12•2c •2b ＝4，即bc ＝2，又a 2＝b 2+c 2，解得：a 2＝4，b 2＝2，所以椭圆的方程为：x 24+y 22=1；故选：A ．【点评】本题考查椭圆的性质，及正方形的面积与对角线的关系，属于中档题． 5．如图，△OAB 是边长为2的正三角形，记△OAB 位于直线x ＝t （0＜t ≤2）左侧的图形的面积为f （t ），则y ＝f （t ）的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据面积的变换趋势与t 的关系进行判断即可．解：当0＜x ＜1时，函数的面积递增，且递增速度越来越快，此时，CD ，不合适， 当1≤x ≤2时，函数的面积任然递增，且递增速度逐渐变慢，排除A ， 故选：B ．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数递增速度与t 的关系是解决本题的关键．难度不大．6．若sin(π+α)=√23，则sin(2α−π2)的值为（ ）A．−19B．−59C．19D．59【分析】由已知利用诱导公式可求sinα的值，进而利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求即可求解．解：∵sin(π+α)=√23，∴可得sinα=−√23，∴sin(2α−π2)=−cos2α＝2sin2α﹣1＝2×（−√23）2﹣1=−59．故选：B．【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．7．甲、乙两人分别从4种不同的图书中任选2本阅读，则甲、乙两人选的2本恰好相同的概率为（）A．14B．13C．16D．136【分析】基本事件总数n=C42=6，由此能求出甲、乙两人选的2本恰好相同的概率．解：甲、乙两人分别从4种不同的图书中任选2本阅读，基本事件总数n=C42=6，则甲、乙两人选的2本恰好相同的概率p=1 6．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力以及化归与转化思想，是基础题．8．某广场设置了一些石凳子供大家休息，这些石凳子是由正方体沿各棱的中点截去八个一样的正三棱锥后得到的．如果被截正方体的棱长为40cm，则石凳子的体积为（）A ．1920003cm 3B ．1600003cm 3C ．160003cm 3D ．640003cm 3【分析】由正方体的体积减去八个正三棱锥的体积求解． 解：如图，正方体AC 1 的棱长为40cm ，则截去的一个正三棱锥的体积为13×12×20×20×20=40003cm 3．又正方体的体积为V ＝40×40×40＝64000cm 3，∴石凳子的体积为64000−8×40003=1600003cm 3， 故选：B ．【点评】本题考查多面体体积的求法，考查计算能力，是基础题．9．执行如图的程序框图，若输出A 的值为70169，则输入i 的值为（ ）A．4B．5C．6D．7【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量A的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得A=12，k＝1满足条件1≤i，执行循环体，A=25，k＝2满足条件2≤i，执行循环体，A=512，k＝3满足条件3≤i，执行循环体，A=1229，k＝4满足条件4≤i，执行循环体，A=2970，k＝5满足条件5≤i，执行循环体，A=70 169，k＝6由题意，此时不满足条件6≤i，退出循环，输出A的值为70 169，可得输入i的值为5．故选：B．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10．已知O是坐标原点，双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F的直线l与x轴垂直，且交双曲线C于A，B两点，若△ABO是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为（）A．√5+12B．√5−12C．√5−1D．√5+1【分析】由双曲线的性质，结合通径以及半焦距，可得a，c的方程，运用离心率公式计算即可得到．解：由题意可知：|AF |=b 2a，双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过点F 的直线l 与x 轴垂直，且交双曲线C 于A ，B 两点，若△ABO 是等腰直角三角形，可得c =b 2a =c 2−a 2a，e ＝e 2﹣1，e ＞1解得e =√5+12．故选：A ．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查勾股定理的运用，灵活运用双曲线的定义是解题的关键．11．在△ABC 中，已知A ＝60°，D 是边BC 上一点，且BD ＝2DC ，AD ＝2，则△ABC 面积的最大值为（ ） A ．√3B ．32√3 C ．2√3D ．52√3【分析】先根据向量的三角形法则得到AD →=13AB →+23AC →；对其两边平方，求出bc 的取值范围即可求得结论．解：因为在△ABC 中，已知A ＝60°，D 是边BC 上一点，且BD ＝2DC ，AD ＝2，；∴AD →=AB →+BD →=AB →+23BC →=AB →+23（AC →−AB →）=13AB →+23AC →；∴AD →2=19AB →2+2×13AB →×23AC →+49AC →2；即：4=19c 2+49bc •cos60°+49b 2⇒36＝c 2+2bc +4b 2≥2√c 2⋅4b 2+2bc ＝6bc ；∴bc ≤6，（当且仅当2b ＝c 时等号成立）；∵S △ABC =12bc sin A ≤12×6×√32=3√32． 即△ABC 面积的最大值为：3√32．故选：B ．【点评】本题考查△ABC 的面积的求法以及向量知识的综合应用，涉及到基本不等式，属于中档题目．12．已知f （x ）是定义在（−π2，π2）上的奇函数，f （1）＝0，且当x ∈（0，π2）时，f （x ）+f ′（x ）tan x ＞0，则不等式f （x ）＜0的解集为（ ） A ．（﹣1，0）∪（1，π2）B ．（﹣1，0）∪（0，1）C ．（−π2，﹣1）∪（1，π2） D ．（−π2，﹣1）∪（0，1）【分析】令g （x ）＝f （x ）sin x ，g ′（x ）＝[f （x ）+f ′（x ）tan x ]•cos x ，当x ∈（0，π2）时，根据f （x ）+f ′（x ）tan x ＞0，可得函数g （x ）单调递增．又g （1）＝0，可得x ∈（0，1）时，g （x ）＝f （x ）sin x ＜0，sin x ＜0，解得f （x ）＜0．x ＝0时，f （0）＝0，舍去．根据f （x ）是定义在（−π2，π2）上的奇函数，可得g （x ）是定义在（−π2，π2）上的偶函数．进而得出不等式f （x ）＜0的解集．解：令g （x ）＝f （x ）sin x ，g ′（x ）＝f （x ）cos x +f ′（x ）sin x ＝[f （x ）+f ′（x ）tan x ]•cos x ，当x ∈（0，π2）时，f （x ）+f ′（x ）tan x ＞0，∴g ′（x ）＞0，即函数g （x ）单调递增．又g （1）＝0，∴x ∈（0，1）时，g （x ）＝f （x ）sin x ＜0，sin x ＜0，解得f （x ）＜0． x ＝0时，f （0）＝0，舍去．∵f （x ）是定义在（−π2，π2）上的奇函数，∴g （x ）是定义在（−π2，π2）上的偶函数．∴不等式f （x ）＜0的解集为（﹣1，0）∪（0，1）． 故选：B ．【点评】本题考查了利用导数研究的单调性、构造法、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设函数f （x ）＝mx 2lnx ，若曲线y ＝f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线与直线ex +y +2020＝0平行，则m ＝ −13．【分析】求出f （x ）的导数，然后根据切线与直线ex +y +2020＝0平行，得f ′（e ）＝﹣e ，列出关于m 的方程，解出m 的值． 解：f ′（x ）＝m （2xlnx +x ），又曲线y ＝f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线与直线ex +y +2020＝0平行，∴f ′（e ）＝3em ＝﹣e ，解得m =−13．故答案为：−13．【点评】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，同时考查学生运用方程思想解题的能力和运算能力．14．若x ，y 满足约束条件{|x −y|≤1|x|≤2，则z ＝2x +y 的最大值为 7 ．【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值．解：画出x ，y 满足约束条件{|x −y|≤1|x|≤2，可行域如图阴影部分由{x =2x −y =−1，得A （2，3） 目标函数z ＝2x +y 可看做斜率为﹣2的动直线，其纵截距越大z 越大，由图数形结合可得当动直线过点A时，z最大＝2×2+3＝7．故答案为：7．【点评】本题主要考查了线性规划，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属于基础题．15．如图，已知三棱锥P﹣ABC满足PA＝PB＝PC＝AB＝2，AC⊥BC，则该三棱锥外接球的体积为3227√3π．【分析】因为AC⊥BC，所以△ABC的外接圆的圆心为斜边AB的中点D，再由PA＝PB ＝PC可得球心O在直线PD所在的直线上，设为O，然后在直角三角形中由勾股定理可得外接球的半径，进而求出外接球的体积．解：因为AC⊥BC，所以△ABC的外接圆的圆心为斜边AB的中点D，可得外接圆的半径为r=12AB=1，再由PA＝PB＝PC＝AB＝2可得PD⊥面ABC，可得PD=√PA2−AD2=√3，可得球心O在直线PD所在的直线上，设外接球的半径为R，取OP＝OA＝R，在△OAD 中，R 2＝r 2+（PD ﹣R ）2， 即R 2＝1+（√3−R ）2，解得：R =2√3=2√33， 所以外接球的体积V =4π3R 3=32√327π， 故答案为：32√327π．【点评】本题考查三棱锥的棱长与外接球的半径之间的关系，及球的体积公式，属于中档题．16．函数f （x ）＝sin πx +a cos πx 满足f （x ）＝f （13−x ），x ∈[0，32]，方程f （x ）﹣m ＝0恰有两个不等的实根，则实数m 的取值范围为 √3≤m ＜2或﹣2＜m ≤﹣1 ． 【分析】首先利用函数的对称性求出函数的关系式，进一步利用函数的图象求出函数f （x ）的图象和函数y ＝m 的交点，进一步求出结果．解：函数f （x ）＝sin πx +a cos πx 满足f （x ）＝f （13−x ），则函数的对称轴为x =16，当x =16时，函数f （x ）取得最值，即±√1+a 2=sin π6+acos π6，整理得a 2−2√3a +3=0，解得a =√3， 所以f （x ）＝sin πx +√3cosπx =2sin （πx +π3）． 由于x ∈[0，32]，所以π3≤πx +π3≤3π2+π3=11π6，根据函数的图象，当√3≤m＜2或﹣2＜m≤﹣1时，函数的f（x）的图象与y＝m有两个交点，即方程f （x）﹣m＝0恰有两个不等的实根，故答案为：√3≤m＜2或﹣2＜m≤﹣1．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的应用，函数的零点和函数的图象的交点的关系的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知{a n}为单调递增的等差数列，设其前n项和为S n，S5＝﹣20，且a3，a5+1，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求S n的最小值及取得最小值时n的值．【分析】（1）设等差数列的公差为d，d＞0，由等差数列的求和公式和通项公式，结合等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（2）由等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，注意n为正整数，可得所求最值．解：（1）{a n}为单调递增的等差数列，设公差为d，d＞0，由S5＝﹣20，可得5a1+10d＝﹣20，即a1+2d＝﹣4，①由a3，a5+1，a9成等比数列，可得a3a9＝（a5+1）2，即（a1+2d）（a1+8d）＝（a1+4d+1）2，化为2a1d＝2a1+1+8d，②由①②解得d=12，a1＝﹣5，则a n＝﹣5+12（n﹣1）=12（n﹣11）；（2）S n=12n（﹣5+n−112）=14（n2﹣21n）=14[（n−212）2−4414]，由于n为正整数，可得n＝10或11时，S n取得最小值−55 2．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及等比中项的性质，考查方程思想和化简运算能力，属于基础题．18．某城市2018年抽样100户居民的月均用电量（单位：千瓦时），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组，得到如表频率分布表：分组频数频率[160，180）n10.04[180，200）19f1[200，220）n20.22[220，240）250.25[240，260）150.15[260，280）10f2[280，300]50.05（1）求表中n1，n2，f1，f2的值，并估计2018年该市居民月均用电量的中位数m；（2）该城市最近十年的居民月均用电量逐年上升，以当年居民月均用电量的中位数u（单位：千瓦时）作为统计数据，如图是部分数据的折线图．由折线图看出，可用线性回归模型拟合u与年份t的关系．①为简化运算，对以上数据进行预处理，令x＝t﹣2014，y＝u﹣195，请你在答题卡上完成数据预处理表；②建立u关于t的线性回归方程，预测2020年该市居民月均用电量的中位数．附：回归直线y=b x+a的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b=∑n i=1x i y i−nxy ∑n i=1x i2−nx2，a=y−b x．【分析】（1）根据频数、频率和样本容量的关系可分别求出n1，n2，f1，f2的值；设样本的中位数为a，根据中位数的性质可列出关于a的方程，解之即可得解；（2）①根据折线图中的数据和x＝t﹣2014，y＝u﹣195，算出每组数据对应的x和y值即可；②由①中的数据，可求出x，y，再根据a，b的参考公式，求出这两个系数后可得y关于x的线性回归方程，再把t和u代入化简即可得u关于t的线性回归方程；令t＝2020，算出u的值就是所求．解：（1）n1＝100×0.04＝4；n2＝100×0.22＝22；f1=19100=0.19；f2=10100=0.1．设样本频率分布表的中位数为a，则0.04+0.19+0.22+0.25×120×(a−20)=0.5，解得a＝224，由样本估计总体，可估计2018年该市居民月均用电量的中位数m为224千瓦时．（2）①数据预处理如下表：x＝t﹣2014﹣4﹣2024 y＝u﹣195﹣21﹣1101929②由①可知，x=0，y=−21−11+0+19+295=3.2，∴b=∑n i=1x i y i−nxy∑n i=1x i2−nx2=(−4)×(−21)+(−2)×(−11)+2×19+4×29(−4)2+(−2)2+22+42=26040=6.5，a=y−b x=3.2−6.5×0=3.2，∴y关于x的线性回归方程为y=6.5x+3.2，∵x＝t﹣2014，y＝u﹣195，∴u﹣195＝6.5（t﹣2014）+3.2，故u关于t的线性回归方程为u＝6.5t﹣12892.8，当t＝2020时，u＝6.5×2020﹣12892.8＝237.2（千瓦时）．故预测2020年该市居民月均用电量的中位数为237.2千瓦时．【点评】本题考查对频数、频率分布表的认识、线性回归方程的求法，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．19．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1，D是AB的中点，E是C1C的中点，且AB＝1，AA1＝2．（1）证明：CD∥平面A1EB；（2）求点A1到平面BDE的距离．【分析】（1）取A1B的中点F，连接EF，DF，由三角形中位线定理可得DF∥A1A，DF=12A1A，再由已知得到DF∥EC，DF＝EC，得四边形CDEF为平行四边形，则CD∥EF．由直线与平面平行的判定可得CD∥平面A1EB；（2）证明CD⊥平面A1ABB1，又由（1）知，CD∥EF，得到EF⊥平面A1ABB1，再证明AB⊥平面CDE，得AB⊥DE，则BD⊥DE，分别求出平面BDE与平面A1BD的体积，然后利用等体积法求点A1到平面BDE的距离．【解答】（1）证明：取A1B的中点F，连接EF，DF，∵D，F分别是AB，A1B的中点，∴DF∥A1A，DF=12A1A，∵A1A∥C1C，A1A＝C1C，E是C1C的中点，∴DF∥EC，DF＝EC，可得四边形CDEF为平行四边形，则CD∥EF．∵CD⊄平面A1EB，EF⊂平面A1EB，∴CD∥平面A1EB；（2）解：∵△ABC是正三角形，D是AB的中点，∴CD⊥AB，∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴A1A⊥平面ABC，则A1A⊥CD．∵A1A∩AB＝A，∴CD⊥平面A1ABB1，又由（1）知，CD∥EF，∴EF⊥平面A1ABB1，∵AB ＝1，AA 1＝2，∴CD =√32，则S △A 1BD =12×2×12=12．∴V E−A1BD=13S △A 1BD ⋅EF =13×12×√32=√312． 在Rt △CDE 中，DE =√CD 2+CE 2=√72．∵AB ⊥CD ，AB ⊥CE ，CD ∩CE ＝C ， ∴AB ⊥平面CDE ，得AB ⊥DE ，则BD ⊥DE ．∴S △BDE =12×12×√72=√78．设点A 1到平面BDE 的距离为d ，由V A 1−BDE =V E−A 1BD ，得13S △BDE ⋅d =√312，即13×√78=√312，则d =2√217．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求点到平面的距离，是中档题．20．动圆C 与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，且x 1，x 2是方程x 2+2mx ﹣4＝0的两根．（1）若线段AB 是动圆C 的直径，求动圆C 的方程；（2）证明：当动圆C 过点M （0，1）时，动圆C 在y 轴上截得弦长为定值． 【分析】（1）由韦达定理可得到x 1+x 2＝﹣2m ，x 1x 2＝﹣4，从而求得圆心与半径，进而求得动圆C 的方程；（2）先设出动圆C 的方程，再由题设条件解决D 、E 、F 的值，进而求出动圆C 在y 轴上截得弦长．解：（1）∵x 1，x 2是方程x 2+2mx ﹣4＝0的两根，∴x 1+x 2＝﹣2m ，x 1x 2＝﹣4． ∵动圆C 与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，且线段AB 是动圆C 的直径， ∴动圆C 的圆心C 的坐标为（﹣m ，0），半径为|AB|2=|x 2−x 1|2=√(x 1+x 2)2−4x 1x 22=√m +4．∴动圆C 的方程为（x +m ）2+y 2＝m 2+4；（2）证明：设动圆C 的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0，∵动圆C 与y 轴交于M （0，1），N （0，y 1），令y ＝0则x 2+Dx +F ＝0，由题意可知D ＝2m ，F ＝﹣4，又动圆C 过点M （0，1），∴1+E ﹣4＝0，解得E ＝3．令x ＝0，则y 2+3y ﹣4＝0，解得y ＝1或y ＝﹣4，∴y 1＝﹣4．∴动圆C 在y 轴上截得弦长为|y 1﹣1|＝5．故动圆C 在y 轴上截得弦长为定值．【点评】本题主要考查圆的方程及被坐标轴截得的弦长的问题，属于基础题． 21．已知函数f （x ）＝e x +（m ﹣e ）x ﹣mx 2． （1）当m ＝0时，求函数f （x ）的极值；（2）当m ＜0时，证明：在（0，1）上f （x ）存在唯一零点．【分析】（1）将m ＝0带入，求导得f ′（x ）＝e x ﹣e ，再求出函数f （x ）的单调性，进而求得极值；（2）求导得f ′（x ）＝e x ﹣2mx +m ﹣e ，令g （x ）＝f ′（x ），对函数g （x ）求导后，可知g（x）＝f′（x）在（0，1）上单调递增，而g（0）＜0，g（1）＞0，进而函数f （x）在（0，1）上的单调性，再运用零点存在性定理可得证．解：（1）当m＝0时，f（x）＝e x﹣ex，f′（x）＝e x﹣e，又f′（x）是增函数，且f′（1）＝0，∴当x＞1时，f′（x）＞0，当x＜1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴当x＝1时，f（x）取得极小值f（1）＝0，无极大值；（2）证明：f′（x）＝e x﹣2mx+m﹣e，令g（x）＝f′（x）＝e x﹣2mx+m﹣e，则g′（x）＝e x﹣2m，当m＜0时，则g′（x）＞0，故g（x）＝f′（x）在（0，1）上单调递增，又g（0）＝f′（0）＝1+m﹣e＜0，g（1）＝f′（1）＝﹣m＞0，∴存在x0∈（0，1），使得g（x0）＝f′（x0）＝0，且当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，当x∈（x0，1）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，又∵f（0）＝1，f（1）＝0，∴f（x）在（0，1）上存在唯一零点．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值及函数的零点，考查推理论证能力及运算求解能力，属于中档题．一、选择题22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣2ρsinθ＝1．若P为曲线C1上的动点，Q是射线OP上的一动点，且满足|OP|•|OQ|＝2，记动点Q的轨迹为C2．（1）求C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1与曲线C2交于M，N两点，求△OMN的面积．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．解：（1）曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣2ρsinθ＝1．若P为曲线C1上的动点，Q是射线OP上的一动点，且满足|OP|•|OQ|＝2，记动点Q 的轨迹为C2．设P（ρ1，θ），Q（ρ，θ），则：ρ1cosθ﹣2ρ1sinθ＝1，即ρ1=1cosθ−2sinθ，由于|OP|•|OQ|＝2，所以ρ＝2cosθ﹣4sinθ，整理得ρ2＝2ρcosθ﹣4ρsinθ，转换为直角坐标方程为：（x﹣1）2+（y+2）2＝5（原点除外）．（2）曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣2ρsinθ＝1转换为直角坐标方程为：x﹣2y﹣1＝0．曲线C2的圆心为（1，﹣2），半径为√5，所以圆心到直线C1的距离d=√1+(−2)=5．所以|MN|=2√(√5)2−(4√5)2=6√5．由于点O到C1的距离d2=|−1|√1+(−2)=1√5所以S△OMN=12×|MN|×d2=12×6√51√5=35．【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f(x)=|x−k|+12|x+3|−2(k∈R)．（1）当k＝1时，解不等式f（x）≤1；（2）若f（x）≥x对于任意的实数x恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）由题意可得|x﹣1|+12|x+3|≤3，由零点分区间法和绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；（2）由题意可得|x﹣k|+12|x+3|≥x+2恒成立．讨论x≤﹣2恒成立，x＞﹣2时，可得|x﹣k|≥x+12恒成立，讨论﹣2＜x≤﹣1，x＞﹣1时，结合绝对值不等式的解法和恒成立思想，可得所求范围．解：（1）当k＝1时，不等式f（x）≤1即为|x﹣1|+12|x+3|≤3，等价为{x≥1x−1+12x+32≤3或{−3＜x＜11−x+12x+32≤3或{x≤−31−x−12x−32≤3，解得1≤x≤53或﹣1≤x＜1或x∈∅，则原不等式的解集为[﹣1，53 ]；（2）f（x）≥x对于任意的实数x恒成立，即为|x﹣k|+12|x+3|≥x+2恒成立．当x≤﹣2时，|x﹣k|+12|x+3|≥0≥x+2恒成立；当x＞﹣2时，|x﹣k|+12|x+3|≥x+2恒成立等价为|x﹣k|+x+32≥x+2，即|x﹣k|≥x+12恒成立，当﹣2＜x≤﹣1时，|x﹣k|≥x+12恒成立；当x＞﹣1时，|x﹣k|≥x+12恒成立等价为x﹣k≥x+12或x﹣k≤−x+12恒成立．即x≥2k+1或x≤23（k−12）恒成立，则2k+1≤﹣1解得k≤﹣1，所以k的取值范围是（﹣∞，﹣1]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和分类讨论思想，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。

广东省广州市2021年高|考数学一模试卷(文科)一、选择题：本小题共12题,每题5分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的．1．复数的虚部是()A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．22．集合{x|x2+ax=0} ={0 ,1} ,那么实数a的值为()A．﹣1 B．0 C．1 D．23．tanθ=2 ,且θ∈,那么cos2θ= ()A．B．C．D．4．阅读如图的程序框图．假设输入n=5 ,那么输出k的值为()A．2 B．3 C．4 D．55．函数f (x ) =,那么f (f (3 ) ) = ()A．B．C．D．﹣36．双曲线C的一条渐近线方程为2x+3y=0 ,F1 ,F2分别是双曲线C的左,右焦点,点P在双曲线C上,且|PF1| =2 ,那么|PF2|等于()A．4 B．6 C．8 D．107．四个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前放着完全相同的硬币,所有人同时翻转自己的硬币．假设硬币正面朝上,那么这个人站起来；假设硬币正面朝下,那么这个人继续坐着．那么,没有相邻的两个人站起来的概率为()A．B．C．D．8．如图,网格纸上小正方形的边长为1 ,粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图,且该几何体的体积为,那么该几何体的俯视图可以是()A．B．C．D．9．设函数f (x ) =x3+ax2 ,假设曲线y=f (x )在点P (x0 ,f (x0 ) )处的切线方程为x+y=0 ,那么点P的坐标为()A．(0 ,0 ) B．(1 ,﹣1 ) C．(﹣1 ,1 ) D．(1 ,﹣1 )或(﹣1 ,1 )10．<九章算术>中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．假设三棱锥P﹣ABC为鳖臑,P A⊥平面ABC,P A =AB=2 ,AC=4 ,三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上,那么球O的外表积为()A．8πB．12πC．20πD．24π11．函数f (x ) =sin (ωx+φ ) +cos (ωx+φ ) (ω＞0 ,0＜φ＜π )是奇函数,直线y=与函数f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝||对值为,那么()A．f (x )在上单调递减B．f (x )在上单调递减C．f (x )在上单调递增D．f (x )在上单调递增12．函数f (x ) =+cos (x﹣) ,那么的值为()A．2021 B．1008 C．504 D．0二、填空题：本小题共4题,每题5分．13．向量= (1 ,2 ) ,= (x ,﹣1 ) ,假设∥(﹣) ,那么•=．14．假设一个圆的圆心是抛物线x2=4y的焦点,且该圆与直线y=x+3相切,那么该圆的标准方程是．15．满足不等式组的点(x ,y )组成的图形的面积是5 ,那么实数a 的值为．16．在△ABC中,∠ACB=60° ,BC＞1 ,AC=AB+,当△ABC的周长最||短时,BC的长是．三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．数列{a n}的前n项和为S n ,且S n=2a n﹣2 (n∈N* )．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)求数列{S n}的前n项和T n．18．某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲,乙两条流水线的生产情况,随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本,测出它们的这一项质量指标值．假设该项质量指标值落在根据图1 ,估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；(Ⅱ)假设将频率视为概率,某个月内甲,乙两条流水线均生产了5000件产品,那么甲,乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件?(Ⅲ)根据条件完成下面2×2列联表,并答复是否有85%的把握认为"该企业生产的这种产品的质量指标值与甲,乙两条流水线的选择有关〞?甲生产线乙生产线合计合格品不合格品合计附：(其中n=a+b+c+d为样本容量)P (K2≥k )k19．如图1 ,在直角梯形ABCD中,AD∥BC ,AB⊥BC ,BD⊥DC ,点E是BC边的中点,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD ,连接AE ,AC ,DE ,得到如图2所示的几何体．(Ⅰ)求证：AB⊥平面ADC；(Ⅱ) 假设AD=1 ,AC与其在平面ABD内的正投影所成角的正切值为,求点B到平面ADE的距离．20．椭圆C：的离心率为,且过点A (2 ,1 )．(Ⅰ) 求椭圆C的方程；(Ⅱ) 假设P,Q是椭圆C上的两个动点,且使∠P AQ的角平分线总垂直于x轴,试判断直线PQ的斜率是否为定值?假设是,求出该值；假设不是,说明理由．21．函数f (x ) =ln x+．(Ⅰ) 假设函数f (x )有零点,求实数a的取值范围；(Ⅱ) 证明：当a≥时,f (x )＞e﹣x．选修4 -4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数)．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C：ρ=2cos (θ﹣)．(Ⅰ) 求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(Ⅱ) 求曲线C上的点到直线l的距离的最||大值．选修4 -5：不等式选讲23．函数f (x ) =|x+a﹣1| +|x﹣2a|．(Ⅰ) 假设f (1 )＜3 ,求实数a的取值范围；(Ⅱ) 假设a≥1 ,x∈R ,求证：f (x )≥2．参考答案一、选择题1．B【解析】复数==1﹣i的虚部是﹣1．应选：B．2．A【解析】由题意,0 +1 =﹣a ,∴a=﹣1 ,应选A．3．C【解析】∵tanθ=2 ,且θ∈,∴cosθ===,∴cos2θ=2cos2θ﹣1 =2×()2﹣1 =﹣．应选：C．4．B【解析】经过第|一次循环得到的结果为k=0 ,n=16 ,经过第二次循环得到的结果为k=1 ,n=49 ,经过第三次循环得到的结果为k=2 ,n=148 ,经过第四次循环得到的结果为k=3 ,n=445 ,满足判断框中的条件,执行"是〞输出的k 为3应选B5．A【解析】由题意知,f (x ) =,那么f (3 ) =1﹣,所以f (f (3 ) ) ==4•=,应选A．6．C【解析】由双曲线的方程、渐近线的方程可得=,∴a=3．由双曲线的定义可得|PF2|﹣2 =6 ,∴|PF2| =8 ,应选C．7．B【解析】由题意得：正面不能相邻,即正反正反,反正反正,3反一正,全反,其中3反一正中有反反反正,反反正反,反正反反,正反反反,故共7中情况, 故P==,应选：B．8．C【解析】该几何体为正方体截去一局部后的四棱锥P﹣ABCD ,如下列图,该几何体的俯视图为C．应选：C．9．D【解析】∵f (x ) =x3+ax2 ,∴f′ (x ) =3x2+2ax ,∵函数在点(x0 ,f (x0 ) )处的切线方程为x+y=0 ,∴3x02+2ax0=﹣1 ,∵x0+x03+ax02=0 ,解得x0=±1．当x0=1时,f (x0 ) =﹣1 ,当x0=﹣1时,f (x0 ) =1．应选：D．10．C【解析】由题意,PC为球O的直径,PC==2,∴球O的半径为,∴球O的外表积为4π•5 =20π ,应选C．11．D【解析】由题意得,f (x ) =sin (ωx+φ ) +cos (ωx+φ )=[sin (ωx+φ ) +cos (ωx+φ )]=,∵函数f (x ) (ω＞0 ,0＜φ＜π )是奇函数,∴,那么,又0＜φ＜π ,∴φ=,∴f (x ) ==,∵y=与f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝||对值为,∴T=,那么ω=4 ,即f (x ) =,由得4x∈(0 ,π ) ,那么f (x )在上不是单调函数,排除A、C；由得4x∈,那么f (x )在上是增函数,排除B , 应选：D．12．B【解析】∵函数f (x ) =+cos (x﹣) ,∴f (x ) +f (1﹣x ) =+cos (x﹣) ++=1 +0 =1 ,那么=2021 =1008．应选：B．二、填空题13．【解析】= (1﹣x ,3 ) ,∵∥(﹣) ,∴2 (1﹣x )﹣3 =0 ,解得x=﹣．那么•=﹣﹣2 =﹣．故答案为：﹣．14．x2+ (y﹣1 )2=2【解析】抛物线的标准方程为：x2=4y ,∴抛物线的焦点为F (0 ,1 )．即圆C的圆心为C (0 ,1 )．∵圆C与直线y=x+3相切,∴圆C的半径为点C到直线y=x+3的距离d ==．∴圆C的方程为x2+ (y﹣1 )2=2．故答案为：x2+ (y﹣1 )2=2．15．3【解析】根据题意,不等式组⇔或；其表示的平面区域如图阴影局部所示：当a≤1时,其阴影局部面积S＜S△AOB=×2×1 =1 ,不合题意,必有a＞1 ,当a＞1时,阴影局部面积S=×2×1 +×(a﹣1 )×[a+1﹣(3﹣a )] =5 ,解可得a=3或﹣1 (舍)；故答案为：3．16．+1【解析】设A ,B ,C所对的边a ,b ,c ,那么根据余弦定理可得a2+b2+c2=2ab cos C ,将b=c+代入上式,可得a2+c+=ac+,化简可得c=,所以△ABC的周长l=a+b+c=++a ,化简可得l=3 (a﹣1 ) ++,因为a＞1 ,所以由均值不等式可得3 (a﹣1 ) =时,即6 (a﹣1 )2=3 ,解得a=+1时,△ABC的周长最||短,故答案为：+1．三、解答题17．解：(I )∵S n=2a n﹣2 (n∈N* ) ,∴n=1时,a1=2a1﹣2 ,解得a1=2．n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2﹣(2a n﹣1﹣2 ) ,化为：a n=2a n﹣1 ,∴数列{a n}是等比数列,公比为2．∴a n=2n．(II )S n==2n+1﹣2．∴数列{S n}的前n项和T n=﹣2n=2n+2﹣4﹣2n．18．解：(Ⅰ)设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为x ,因为0.48 = ( + + )×5＜＜( + + + )×,那么( + + )×5 +×(x﹣205 ) ,解得．(Ⅱ)由甲,乙两条流水线各抽取的50件产品可得,甲流水线生产的不合格品有15件,那么甲流水线生产的产品为不合格品的概率为,乙流水线生产的产品为不合格品的概率为,于是,假设某个月内甲,乙两条流水线均生产了5000件产品,那么甲,乙两条流水线生产的不合格品件数分别为：．(Ⅲ)2×2列联表：甲生产线乙生产线合计合格品35 40 75不合格品15 10 25合计50 50 100那么,因为＜,所以没有85%的把握认为"该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲,乙两条流水线的选择有关〞．19．(Ⅰ)证明：∵平面ABD⊥平面BCD ,平面ABD∩平面BCD=BD ,又BD⊥DC ,∴DC⊥平面ABD ,∵AB⊂平面ABD ,∴DC⊥AB ,又∵折叠前后均有AD⊥AB ,DC∩AD=D ,∴AB⊥平面ADC．(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知DC⊥平面ABD ,所以AC在平面ABD内的正投影为AD ,即∠CAD为AC与其在平面ABD内的正投影所成角．依题意,AD=1 ,∴．设AB=x (x＞0 ) ,那么,∵△ABD～△BDC ,∴,即,解得,故．由于AB⊥平面ADC ,AB⊥AC ,E为BC的中点,由平面几何知识得AE=,同理DE=,∴．∵DC⊥平面ABD ,∴．设点B到平面ADE的距离为d ,那么,∴,即点B到平面ADE的距离为．20．解：(Ⅰ) 因为椭圆C的离心率为,且过点A (2 ,1 ) ,所以,．因为a2=b2+c2 ,解得a2=8 ,b2=2 ,所以椭圆C的方程为．(Ⅱ)解法一：因为∠P AQ的角平分线总垂直于x轴,所以P A与AQ所在直线关于直线x=2对称．设直线P A的斜率为k ,那么直线AQ的斜率为﹣k．所以直线P A的方程为y﹣1 =k (x﹣2 ) ,直线AQ的方程为y﹣1 =﹣k (x﹣2 )．设点P (x P ,y P ) ,Q (x Q ,y Q ) ,由,消去y ,得(1 +4k2 )x2﹣(16k2﹣8k )x+16k2﹣16k﹣4 =0．①因为点A (2 ,1 )在椭圆C上,所以x=2是方程①的一个根,那么,所以．同理．所以．又．所以直线PQ的斜率为．所以直线PQ的斜率为定值,该值为．解法二：设点P (x1 ,y1 ) ,Q (x2 ,y2 ) ,那么直线P A的斜率,直线QA的斜率．因为∠P AQ的角平分线总垂直于x轴,所以P A与AQ所在直线关于直线x=2对称．所以k P A=﹣k QA ,即,①因为点P (x1 ,y1 ) ,Q (x2 ,y2 )在椭圆C上,所以,②．③由②得,得,④同理由③得,⑤由①④⑤得,化简得x1y2+x2y1+ (x1+x2 ) +2 (y1+y2 ) +4 =0 ,⑥由①得x1y2+x2y1﹣(x1+x2 )﹣2 (y1+y2 ) +4 =0 ,⑦⑥﹣⑦得x1+x2=﹣2 (y1+y2 )．②﹣③得,得．所以直线PQ的斜率为为定值．解法三：设直线PQ的方程为y=kx+b ,点P (x1 ,y1 ) ,Q (x2 ,y2 ) ,那么y1=kx1+b ,y2=kx2+b ,直线P A的斜率,直线QA的斜率．因为∠P AQ的角平分线总垂直于x轴,所以P A与AQ所在直线关于直线x=2对称．所以k P A=﹣k QA ,即=,化简得x1y2+x2y1﹣(x1+x2 )﹣2 (y1+y2 ) +4 =0．把y1=kx1+b ,y2=kx2+b代入上式,并化简得2kx1x2+ (b﹣1﹣2k ) (x1+x2 )﹣4b+4 =0．(* )由,消去y得(4k2+1 )x2+8kbx+4b2﹣8 =0 , (** )那么,代入(* )得,整理得(2k﹣1 ) (b+2k﹣1 ) =0 ,所以或b=1﹣2k．假设b=1﹣2k ,可得方程(** )的一个根为2 ,不合题意．假设时,符合题意．所以直线PQ的斜率为定值,该值为．21．解：(Ⅰ)法1：函数的定义域为(0 , +∞)．由,得．因为a＞0 ,那么x∈(0 ,a )时,f' (x )＜0；x∈(a , +∞)时,f' (x )＞0．所以函数f (x )在(0 ,a )上单调递减,在(a , +∞)上单调递增．当x=a时,[f (x )]min=ln a+1．当ln a+1≤0 ,即0＜a≤时,又f (1 ) =ln1 +a=a＞0 ,那么函数f (x )有零点．所以实数a的取值范围为．法2：函数的定义域为(0 , +∞)．由,得a=﹣x ln x．令g (x ) =﹣x ln x ,那么g' (x ) =﹣(ln x+1 )．当时,g' (x )＞0；当时,g' (x )＜0．所以函数g (x )在上单调递增,在上单调递减．故时,函数g (x )取得最||大值．因而函数有零点,那么．所以实数a的取值范围为．(Ⅱ) 要证明当时,f (x )＞e﹣x ,即证明当x＞0,时,,即x ln x+a＞x e﹣x．令h (x ) =x ln x+a ,那么h' (x ) =ln x+1．当时,f' (x )＜0；当时,f' (x )＞0．所以函数h (x )在上单调递减,在上单调递增．当时,．于是,当时,．①令φ (x ) =x e﹣x ,那么φ' (x ) =e﹣x﹣x e﹣x=e﹣x (1﹣x )．当0＜x＜1时,f' (x )＞0；当x＞1时,f' (x )＜0．所以函数φ (x )在(0 ,1 )上单调递增,在(1 , +∞)上单调递减．当x=1时,．于是,当x＞0时,．②显然,不等式①、②中的等号不能同时成立．故当时,f (x )＞e﹣x．22．解：(Ⅰ) 由直线l的参数方程消去t参数,得x+y﹣4 =0 , ∴直线l的普通方程为x+y﹣4 =0．由=．得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ．将ρ2=x2+y2 ,ρcosθ=x ,ρsinθ=y代入上式,得：曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x+2y ,即(x﹣1 )2+ (y﹣1 )2=2．(Ⅱ) 法1：设曲线C上的点为,那么点P到直线l的距离为= =当时,∴曲线C上的点到直线l的距离的最||大值为；法2：设与直线l平行的直线为l'：x+y+b=0．当直线l'与圆C相切时,得,解得b=0或b=﹣4 (舍去)．∴直线l'的方程为x+y=0．那么：直线l与直线l'的距离为故得曲线C上的点到直线l的距离的最||大值为．23．解：(Ⅰ) 因为f (1 )＜3 ,所以|a| +|1﹣2a|＜3．①当a≤0时,得﹣a+ (1﹣2a )＜3 ,解得,所以；②当时,得a+ (1﹣2a )＜3 ,解得a＞﹣2 ,所以；③当时,得a﹣(1﹣2a )＜3 ,解得,所以；综上所述,实数a的取值范围是．(Ⅱ) 因为a≥1 ,x∈R ,所以f (x ) =|x+a﹣1| +|x﹣2a|≥| (x+a﹣1 )﹣(x﹣2a )| =|3a﹣1| =3a﹣1≥2．。

2020届广东省广州市高三3月阶段训练（一模）数学（文）试题一、单选题1．已知复数z i =()1i +，则z =（ ）A ．12B C ．1 D【答案】D【解析】根据复数模的性质直接计算即可. 【详解】(1)z i i =+Q ,|||(1)||||1|z i i i i ∴=+=+=,故选：D 【点睛】本题主要考查了复数模的性质，属于容易题.2．已知集合{}0,1,2,3A =，}{1,0,1B =-，P A B =⋂，则P 的子集共有（ ） A ．2个 B ．4个C ．6个D ．8个【答案】B【解析】由交集运算求出集合P ，写出所有子集即可. 【详解】{}0,1,2,3A =Q ，}{1,0,1B =-，{0,1}P A B ∴=⋂=，∴P 的子集有,{0},{1},{0,1}φ共4个，故选：B 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，子集的概念，属于容易题.3．设向量a r (),1=m ，b r ()2,1=-，且a b ⊥r r，则m =（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．2【答案】C【解析】根据向量垂直则数量积为0直接计算即可求解. 【详解】 a b ⊥r r Q ,()(),12,1210a b m m ∴⋅=⋅-=-=r r,解得12m =， 故选：C 【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，向量垂直的性质，属于容易题.4．已知{}n a 是等差数列，35a =，2467a a a -+=，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】D【解析】根据条件，联立方程组，即可求出公差. 【详解】{}n a Q 是等差数列，35a =，2467a a a -+=,112537a d a d +=⎧∴⎨+=⎩解得2d =， 故选：D 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了计算能力，属于容易题. 5．已知命题p ：x ∀∈R ，210x x -+<；命题 q ：x ∃∈R ，23x x >，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝【答案】B【解析】分别判断两个命题p ， q 的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可． 【详解】对于命题p ，取1x =时，10<不成立，故命题p 为假命题， 对于命题q ，1x =-时，23(1)(1)->-成立，故命题 q 为真命题，所以p q ∧为假命题，p q ⌝∧为真命题，p q ∧⌝为假命题，p q ⌝∧⌝为假命题， 故选：B 【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的判断，结合条件判断命题p ，q 的真假是解决本题的关键.6．已知偶函数()f x 满足()()20f x x x x=->，则()}{21x f x +>=（ ） A ．{4x x <-或}0x > B ．{0x x <或}4x > C ．{2x x <-或}2x > D ．{2x x <-或}4x >【答案】A【解析】根据题意可得函数的单调性,将所求不等式转化为()|2|(2)1f x f +>=，则有|2|2x +>，求解即可.【详解】0x Q >时，()2f x x x=-，2(2)212f ∴=-=，Q 函数()f x 为偶函数，()2(|2|)1(2)f x f x f ∴+=+>=，Q 当0x >时，()2f x x x=-为增函数， |2|2x ∴+>，解得0x >或4x <- 故选：A 【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及指数不等式的解法，属于基础题. 7．如图，圆O 的半径为1，A ，B 是圆上的定点，OB OA ⊥，P 是圆上的动点， 点P 关于直线OB 的对称点为P '，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，将OP OP '-u u u r u u u r表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[]0,π上的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据图象分析变化过程中在关键位置及部分区域，即可排除错误选项，得到函数图象，即可求解. 【详解】由题意，当0x =时，P 与A 重合，则P '与B 重合，所以||2OP OP BA '-==u u u r u u u r u u u r,故排除C,D 选项；当02x π<<时，||2sin()2cos 2OP OP P P x x π''-==-=u u u r u u u r ，由图象可知选B.故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键,属于中档题.8．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ）A ．()722+πB ．()1022+πC ．()1042+πD ．()1142+π【答案】C【解析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可， 【详解】由题意可知几何体的直观图如图：上部是底面半径为1，高为3的圆柱，下部是底面半径为2，高为2的圆锥, 几何体的表面积为：1442223(1042)2ππππ+⨯⨯⨯=+， 故选：C 【点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键.9．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e ，设地球半径为R ，该卫星近地点离地面的距离为r ，则该卫星远地点离地面的距离为（ ） A ．1211e er R e e ++-- B ．111e er R e e ++-- C ．1211e er R e e-+++ D ．111e er R e e-+++ 【答案】A【解析】由题意画出图形，结合椭圆的定义，结合椭圆的离心率,求出椭圆的长半轴a,半焦距c,即可确定该卫星远地点离地面的距离. 【详解】椭圆的离心率：=(0,1)ce a∈，（ c 为半焦距; a 为长半轴），设卫星近地点，远地点离地面距离分别为r ，n ，如图：则,n a c R r a c R =+-=--所以1r R a e +=-,()1r R ec e+=-, ()121111r R e r R e en a c R R r R e e e e+++=+-=+-=+----故选：A 【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的求法，注意半焦距与长半轴的求法,是解题的关键，属于中档题.10．已知函数()ln 1f x x a x =--存在极值点，且()0f x ≤恰好有唯一整数解，则实数a 取值范围是（ ） A ．(),1-∞ B ．()0,1C ．10,ln 2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,ln 2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据函数有极值点可得0a <，()0f x ≤有唯一整数解可转化为1(1)ln x x a -≤有唯一整数解，令1()(1)g x x a=-，()ln h x x =，只需满足(2)2g h >（）即可求解. 【详解】()1af x x '=-Q (0)x >，且()ln 1f x x a x =--存在极值点 ()10af x x'∴=-=有正根，可得0a >，()0f x ≤Q 恰好有唯一整数解， 即1(1)ln x x a-≤恰好有唯一整数解， 令1()(1)g x x a=-，()ln h x x =，因为(1)1=g h =（）0， 所以只需满足(2)2g h >（）即可，解得10ln 2a <<， 故选：C 【点睛】本题主要考查了函数的极值，利用转化思想处理不等式有唯一整数解，属于中档题.11．已知1F ，2F 是双曲线222:1xC y a-=()0a >的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于A ，B 两点，若AB =2ABF 的内切圆的半径为（ ）A ．3B C ．3D 【答案】B【解析】设左焦点1F 的坐标， 由AB 的弦长可得a 的值，进而可得双曲线的方程，及左右焦点的坐标，进而求出三角形ABF 2的面积，再由三角形被内切圆的圆心分割3个三角形的面积之和可得内切圆的半径. 【详解】由双曲线的方程可设左焦点1(,0)F c -，由题意可得22b AB a==，由1b =，可得a =所以双曲线的方程为: 2212x y -=所以12(F F ，所以2121122ABF S AB F F =⋅⋅==V 三角形ABF 2的周长为()()22112242C AB AF BF AB a AF a BF a AB =++=++++=+==设内切圆的半径为r ，所以三角形的面积11623222S C r r r =⋅⋅=⋅⋅=， 所以326r =，解得3r =， 故选：B 【点睛】本题考查求双曲线的方程和双曲线的性质及三角形的面积的求法，内切圆的半径与三角形长周长的一半之积等于三角形的面积可得半径的应用，属于中档题.12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别是棱AD ，1CC ，11C D 的中点，给出下列四个命题: ①1EF B C ⊥;② 直线FG 与直线1A D 所成角为60︒;③ 过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形; ④ 三棱锥B EFG -的体积为56. 其中，正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】画出几何体的图形，然后转化判断四个命题的真假即可． 【详解】 如图；连接相关点的线段，O 为BC 的中点，连接EFO ，因为F 是中点，可知1B C OF ⊥，1EO B C ⊥，可知1B C ⊥平面EFO ，即可证明1B C EF ⊥，所以①正确；直线FG 与直线1A D 所成角就是直线1A B 与直线1A D 所成角为60︒；正确； 过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为五边形；如图：是五边形EHFGI ．所以③不正确； 如图：三棱锥B EFG -的体积为： 由条件易知F 是GM 中点， 所以B EFG B EFM F BEM V V V ---==, 而=2311522131=2222BEM ABE EDM ABMD S S S S ∆∆+⨯-⨯⨯-⨯-⨯=-梯形， 1551326F EBMV -=⨯⨯=．所以三棱锥B EFG -的体积为56，④正确； 故选：C ． 【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及空间几何体的体积，直线与平面的位置关系的应用，平面的基本性质，是中档题．二、填空题13．已知函数()y f x =的图像与2x y =的图像关于直线y x =对称，则()4f =________. 【答案】2【解析】根据函数图像之间的关系知()y f x =与2x y =互为反函数，求解析式计算即可. 【详解】因为函数()y f x =的图像与2x y =的图像关于直线y x =对称， 所以()y f x =是2x y =的反函数， 即2()log f x x =， 所以()24log 42f ==，故答案为：2 【点睛】本题主要考查了反函数的性质，反函数的求法，属于容易题.14．设x ，y 满足约束条件13,02,x x y ≤≤⎧⎨≤+≤⎩则2z x y =-的最小值为__________.【答案】1-【解析】先根据条件画出可行域，设2z x y =-，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y 轴上的截距最大，只需求出直线2z x y =-，取得截距的最小值，从而得到z 最小值即可． 【详解】由约束条件得到如图可行域，由目标函数2z x y =-得到1122y x z =-； 当直线经过A 时，直线在y 轴的截距最大，使得z 最小，由12x x y =⎧⎨+=⎩得到(1,1)A ，所以z 的最小值为1211-⨯=-； 故答案为：1-． 【点睛】本题考查了简单线性规划问题；借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定． 15．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为_________. 【答案】19【解析】分别计算出选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛的基本事件总数和满足1A 和1B 两人组成一队的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案 【详解】从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，共有22339C C =，选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛有11224C C =，故总的事件个数为9436⨯=种，其中1A 和1B 两人组成一队有11224C C =种，故则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为41369=， 故答案为：19． 【点睛】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．16．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若1122n n n S a --=，则34a a +=_____________，数列{}2n n a a +-的前n 项和n T =______________. 【答案】18-11122n +- 【解析】（1）根据n S 与n a 的关系即可推导出112n n n a a ++=-，令3n =即可求解； （2）由（1）知112n n n a a ++=-，利用上式可得2112n n n a a ++-=，由等比数列求和公式即可求解. 【详解】1122n n n S a --=Q , 11122n nn S a ++∴-=,两式相减可得：11122n n n na a a ++-+=-， 即112n n n a a ++=-， 所以3431128a a +=-=-，由112n n n a a ++=-可得21112n n n a a ++++=-，两式相减可得：211111222n n n n n a a +++-=-+=，{}2n n a a +∴-是以14为首项，12为公比的等比数列，111(1)114212212n n n T +-∴==--， 故答案为：18-，11122n +-【点睛】本题主要考查了数列的递推关系，n S 与n a 的关系，等比数列的求和公式，属于较难题.三、解答题17．某企业质量检验员为了检测生产线上零件的情况，从生产线上随机抽取了80个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：mm ），得到如下的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求这80个零件尺寸的中位数（结果精确到0.01）； （2）已知尺寸在[)63.0,64.5上的零件为一等品，否则为二等品. 将这80个零件尺寸的样本频率视为概率，从生产线上随机抽取1个零件，试估计所抽取的零件是二等品的概率.【答案】（1）63.47（2）0.2【解析】（1）由频率分布直方图中中位数两边频率相等，即可求出中位数的大小； （2）计算尺寸在[63.0，64.5)外的频率，用频率估计概率，即可得出结论． 【详解】（1）由频率分布直方图的性质得：(0.0750.225)0.50.15+⨯=，0.150.750.50.525+⨯=，所以中位数在[63.0，63.5)内，设为a ， 则0.15(63.0)0.750.5a +-⨯=， 解得63.47a ≈，所以估计中位数为63.47；（2）尺寸在[63.0，64.5)上的频率为(0.7500.6500.200)0.50.8++⨯=， 且10.80.2-=，所以从生产线上随机抽取1个零件，估计所抽取的零件是二等品的概率为0.2． 【点睛】本题考查了利用频率分布直方图求中位数、概率的应用问题，是基础题． 18．已知,,a b c 分别是△ABC 内角,,A B C 的对边，2222sin sin sin sin sin 3+-=A C A C B .（1）求sin B 的值；（2）若2b =，△ABC，求△ABC 的周长.【答案】（1（2）2+【解析】（1）由已知结合正弦定理及余弦定理可求cos B ，然后结合同角平方关系可求sin B ；（2）由已知结合三角形的面积公式可求ac ，然后结合余弦定理即可求解a c +，进而可求三角形的周长． 【详解】（1）因为2222sin sin sin sin sin 3+-=A C A C B ．由正弦定理可得，22223a cb ac =+-， 由余弦定理可得，1cos 3B =， 故22sin B =； （2）15sin 22ABC S ac B ac ∆===Q ，所以3ac =， 因为22223a cb ac =+-， 所以28()448123a c ac +=+=+=，所以223a c b ++=+． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式的综合应用，属于中档试题． 19．如图，三棱锥P ABC -中，PA PC =，AB BC =，120APC ︒∠=，90ABC ︒∠=，32AC PB ==.（1）求证：AC PB ⊥； （2）求点C 到平面PAB 的距离. 【答案】（1）证明见解析（235【解析】（1）取AC 的中点为O ，连接BO ，PO ，证明PO AC ⊥，BO AC ⊥，推出AC ⊥平面OPB ，即可证明AC BP ⊥；（2）在直角三角形ABC 中，由2AC =，O 为AC 的中点，得1BO =，求解3PO =，结合23=PB ，可得PO BO ⊥，又PO AC ⊥，得到PO ⊥平面ABC ，然后利用等体积法求点C 到平面PAB 的距离． 【详解】（1）证明：取AC 的中点为O ，连接BO ，PO ．在PAC ∆中，PA PC =Q ，O 为AC 的中点，PO AC ∴⊥， 在BAC ∆中，BA BC =Q ，O 为AC 的中点，BO AC ∴⊥，OP OB O =Q I ，OP ，OB ⊂平面OPB ，AC ∴⊥平面OPB ，PB ⊂Q 平面POB ，AC BP ∴⊥；（2）在直角三角形ABC 中，由2AC =，O 为AC 的中点，得1BO =， 在等腰三角形APC 中，由120APC ∠=︒，得3PO ， 又23PB =Q ，222PO BO PB ∴+=，即PO BO ⊥， 又PO AC ⊥，AC OB O =I ，PO ∴⊥平面ABC ， 求解三角形可得23PA =，又2AB =221232152()()232PAB S ∆=-． 设点C 到平面PAB 的距离为h ，由C P A ABC P B V V --=，得11311522323⨯=，解得355h =， 故点C 到平面PAB 35． 【点睛】本题考查等体积法的应用，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题． 20．已知点P 是抛物线21:34C y x =-的顶点，A ，B 是C 上的两个动点，且4PA PB ⋅=-u u u r u u u r.（1）判断点()0,1D -是否在直线AB 上？说明理由； （2）设点M 是△PAB 的外接圆的圆心，求点M 的轨迹方程. 【答案】（1）点()0,1D -在直线AB 上，理由见解析（2）212x y =【解析】（1）由抛物线的方程可得顶点P 的坐标，设直线AB 的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，求出数量积PA PB uu r uu r g ，再由题意4PA PB =-u u u r u u u rg 可得直线AB 恒过(0,1)-，即得D 在直线AB 上；（2）设A ，B 的坐标，可得直线PA ，PB 的斜率及线段PA ，PB 的中点坐标，进而求出线段PA ，PB 的中垂线的方程，两个方程联立求出外接圆的圆心M 的坐标，由（1）可得M 的横纵坐标关于参数k 的表达式，消参数可得M 的轨迹方程． 【详解】(1) 点()0,1D -在直线AB 上.理由如下， 由题意, 抛物线21:34C y x =-的顶点为(0,3)P - 因为直线与抛物线有2个交点， 所以设直线AB 的方程为()()1122,,,y kx b A x y B x y =+，联立2134y x y kx b⎧=-⎪⎨⎪=+⎩得到244(3)0x kx b --+=， 其中21616(3)0k b ∆=++>，12121244(3)4(3)x x k x x b x x b +==-+=-+，所以()21212242y y k x x b k b +=++=+，()()()2212121212y y kx b kx b k x x kb x x b =++=+++2224(3)4k b k b b =-+++2212k b =-+因为()()1122,3,,3PA x y PB x y =+=+u u u r u u u r所以()()121233PA PB x x y y ⋅=+++u u u r u u u r()12111239x x y y y y =++++()()2224(3)123429b k b k b =-++-++++223b b =+- 4=，所以2221(1)0b b b ++=+=， 解得1b =-， 经检验，满足>0∆，所以直线AB 的方程为1y kx =-，恒过定点()0,1D -.（2）因为点M 是PAB ∆的外接圆的圆心，所以点M 是三角形PAB 三条边的中垂线的交点，设线段PA 的中点为F ，线段PB 的中点为为E ， 因为(0,3)P -，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y所以1(2x F ，13)2y -，2(2x E ，23)2y -，113PA y k x +=，223PB y k x +=，所以线段PA 的中垂线的方程为：11113()232y x xy x y --=--+， 因为A 在抛物线上，所以211134y x +=， PA 的中垂线的方程为：211143()82x x y x x -+=--，即211418x y x x =-+-，同理可得线段PB 的中垂线的方程为：222418x y x x =-+-， 联立两个方程211222418418x y x x x y x x ⎧=-+-⎪⎪⎨⎪=-+-⎪⎩，解得1212221212()3288M x x x x x x x x x y +⎧=-⎪⎪⎨++-⎪=⎪⎩， 由（1）可得124x x k +=，124(3)8x x b =-+=-，所以8432M k x k -⨯=-=，22221212122()288M x x x x x x y k +++===， 即点2(,2)M k k ，所以212MM x y =， 即点M 的轨迹方程为：212x y =． 【点睛】本题考查求直线恒过定点的方程及直三角形外接圆的性质，和直线与椭圆的综合应用，属于难题．21．已知函数()e ln xb f x a x x=-，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为22x y ---0e =.（1）求a ，b 的值；（2）证明函数()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()02ln 22f x <-. 【答案】（1）2,1a b ==（2）证明见解析【解析】（1）求导，可得f '（1）a =，f （1）be =-，结合已知切线方程即可求得a ，b 的值；（2）利用导数可得0000002()221x e f x lnx lnx x x =-=--，0(1,2)x ∈，再构造新函数2()2,121h x lnx x x =-<<-，利用导数求其最值即可得证． 【详解】（1）函数的定义域为(0,)+∞，2()()x x a b xe e f x x x -'=-，则f '（1）a =，f （1）be =-，故曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为0ax y a be ---=， 又曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为220x y e ---=， 2a ∴=，1b =；（2）证明：由（1）知，()2x e f x lnx x =-，则22()x xx xe e f x x -+'=，令()2x x g x x xe e =-+，则()2x g x xe '=-，易知()g x '在(0,)+∞单调递减， 又(0)20g '=>，g '（1）20e =-<， 故存在1(0,1)x ∈，使得1()0g x '=，且当1(0,)x x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当1(x x ∈，)+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，由于(0)10g =>，g （1）20=>，g （2）240e =-<， 故存在0(1,2)x ∈，使得0()0g x =，且当0(0,)x x ∈时，()0>g x ，()0f x '>，()f x 单调递增，当0(x x ∈，)+∞时，()0<g x ，()0f x '<，()f x 单调递减，故函数存在唯一的极大值点0x ，且00000()20x x g x x x e e =-+=，即0002,(1,2)1x x e x x =∈-， 则0000002()221x e f x lnx lnx x x =-=--， 令2()2,121h x lnx x x =-<<-，则222()0(1)h x x x '=+>-， 故()h x 在(1,2)上单调递增，由于0(1,2)x ∈，故0()h x h <（2）222ln =-，即00222221lnx ln x -<--， 0()222f x ln ∴<-．【点睛】本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查推理论证能力，属于中档题．22．已知曲线1C 的参数方程为cos ,(1sin ,x t t y t αα=⎧⎨=+⎩为参数)， 曲线2C的参数方程为sin ,(x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数). （1）求1C 与2C 的普通方程；（2）若1C 与2C 相交于A ，B两点，且AB =sin α的值.【答案】（1）tan 1y x α=+，221(0)2y x y +=…（2）0 【解析】（1）分别把两曲线参数方程中的参数消去，即可得到普通方程；（2）把直线的参数方程代入2C 的普通方程，化为关于t 的一元二次方程，再由根与系数的关系及此时t 的几何意义求解． 【详解】（1）由曲线1C 的参数方程为cos (1sin x t t y t αα=⎧⎨=+⎩为参数），消去参数t ，可得tan 1y x α=+；由曲线2C的参数方程为sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），消去参数θ，可得y =即221(0)2y x y +=…．（2）把cos (1sin x t t y t αα=⎧⎨=+⎩为参数）代入2212y x +=，得22(1cos )2sin 10t t αα++-=．∴1222sin 1t t cos αα-+=+，12211t t cos α-=+．12||||AB t t ∴=-==解得：2cos 1α=，即cos 1α=±，满足△0>．sin 0α∴=．【点睛】本题考查参数方程化普通方程，特别是直线参数方程中参数t 的几何意义的应用，是中档题．23．已知0a >，0b >，且1a b +=. （1）求12a b+的最小值； （2）证明：22212ab b a b +<++. 【答案】（1）3+（2）证明见解析 【解析】（1）利用基本不等式即可求得最小值； （2）关键是配凑系数，进而利用基本不等式得证． 【详解】 （1）12122()()333a b a b a b a b b a +=++=++++…，当且仅当“b =”时取等号， 故12a b+的最小值为3+； （2）222222222412)155ab bab b ab b b b a b ab b a +++===++++++„，当且仅当1,2a b ==时取等号，此时1a b +≠．故2221ab b a b +<++ 【点睛】本题主要考查基本不等式的运用，属于基础题．。