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广东省广州市2020届高中毕业班综合测试（一）数学【文】试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在平面直角坐标系中，»»»¼,,,AB CD EF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以O x 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是A ．»ABB ．»CDC ．»EF D ．¼GH2．现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有（ ）种． A ．2267A A B ．3247A A C ．322367A A A D ．362467A A A3．某校为了解本校高三学生学习的心理状态，采用系统抽样方法从人中抽取人参加某种测试，为此将他们随机编号为，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为，抽到的人中，编号落在区间的人做试卷，编号落在的人做试卷，其余的人做试卷，则做试卷的人数为( ) A ．B ．C ．D ．4．如图，1F ，2F 是双曲线2221(0)24x y a a -=>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线交于点,A B ，若2ABF ∆为等边三角形，则12BF F ∆的面积为（ ）A ．8B ．82．83．165．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x （件）与单价P （元）之间的关系为1602P x =-，生产x 件所需成本为C （元），其中50030C x =+元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x 的取值范围是（ ）A ．2030x ≤≤B ．2045x ≤≤C ．1530x ≤≤D ．1545x ≤≤ 6．函数的部分图象如图所示，如果，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知圆()()221 221:C x y ++-=，圆 ()()222 2516:C x y -+-= ，则圆1C 与圆2 C 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切8．若函数y ＝e x ﹣e ﹣x （x ＞0）的图象始终在射线y ＝ax （x ＞0）的上方，则a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，e] B ．（﹣∞，2] C ．（0，2]D ．（0，e]9．已知椭圆C ：2214x y +=上的三点A ，B ，C ，斜率为负数的直线BC 与y 轴交于M ，若原点O 是ABC ∆的重心，且BMA ∆与CMO ∆的面积之比为32，则直线BC 的斜率为（ ）A ．2 B ．14-C ．36-D ．33-10．已知函数()f x 为定义在[]3,2t --上的偶函数，且在[]3,0-上单调递减，则满足22(23)()5tf x x f x -+-<+的x 的取值范围（ ）A ．(1,)+∞B ．(0,1]C ．2]D ．2⎡⎤⎣⎦ 11．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．ln (),()xf x eg x x ==B ．24(),()22x f x g x x x -==-+C ．sin 2(),()sin 2cos xf xg x x x ==D ．2()||,()f x x g x x ==12．已知集合{|0}A x x =>，2{|log (31)2}B x x =-<，则（ ） A ．(0,)A B ⋃=+∞B ．10,3A B ⎛⎤= ⎥⎝⎦IC ．A B R ⋃=D ．50,3A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭I 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
文科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务势必自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应地点填涂考生号。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．（1）已知会合Ax 1 x 1 ，B x x2 2x 0，则A B（ A）x 1 x 2 （ B）x 1 x 0 （ C）x 1 x 2 （ D）x 0 x 1答案：D分析：会合 A＝x－1 x 1 ，会合B＝ x 0 x 2，因此，A B x 0 x 1 。
（2）已知复数z 3 i，此中 i 为虚数单位，则复数z 所对应的点在1 i（ A）第一象限（B）第二象限（ C）第三象限（ D）第四象限答案：D(3 i )(1－ i )2－ i ，对应坐标为（2，－ 1），在第四象限。
分析： z2x2 x, x 1,（3）已知函数f x1 , x则 f f 2 的值为1,1 x（ A）1（ B）1（ C）1（ D）1 2 5 5 2答案：C分析：f （－2） f ( f ( 2)) f (6)11，选 C。
＝4＋2＝6，61 5（ 4）设P是△ABC所在平面内的一点，且CP 2PA ，则△PAB与△PBC的面积之比是（A）1（B）1（C）2（D）3答案：B3 2 34 分析：依题意，得： CP＝ 2PA，设点 P 到 AC之间的距离为h，则S BPA1PA h 1△ PAB 与△ PBC 的面积之比为2S BCP1PC h =22（5）假如函数 f xcosx0 的相邻两个零点之间的距离为，则 的值46为（A ）3 （B ） 6（C ） 12（ D ）24答案：B分析 ：依题意，得：周期 T ＝，2，因此， ＝ 6。
2020年广东省广州市普通高中毕业班数学文科综合测试卷二2020．4本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分．考试用时120分钟． 参考公式：()()22221211236n n n n ++++++=L()S r r l π'=+圆台侧（,r r '分别表示圆台上、下底面半径，l 表示母线长）第一部分 选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．sin 480o的值为A ．12-B ．．12D 2．函数2xy =（x ∈R ）的反函数为A ．2log y x =（0x >）B ．2log y x =（1x >）C ．log 2x y =（0x >）D ．log 2x y =（1x >）3．某个路口的交通指示灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为10秒，绿灯时间为40秒.当你到达路口时,看见红灯的概率是A ．18 B ．38 C ．12 D ．584．已知等差数列{}n a 的前三项分别为1a -，21a +，7a +，则这个数列的通项公式为A ．43n a n =-B ．21n a n =-C ．42n a n =-D ．23n a n =-5．已知向量OA u u u r 和向量OC u u u r 对应的复数分别为34i +和2i -，则向量AC u u u r对应的复数为A ．53i +B ．15i +C ．15i --D ．53i -- 6．1a =是直线1y ax =+和直线()21y a x =--垂直的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．一个圆台的两底面的面积分别为π，16π，侧面积为25π，则这个圆台的高为A ．3B ．4C ．5 D9．如图1所示，ABCDEF 为正六边形，则以F 、C 为焦点，且经过A 、E 、D 、B 四点的双曲线的离心率为 A 1 B 1C 1D 110．已知方程210ax bx +-=（,a b ∈R 且0a >）有两个实数根，其中一个根在区间()1,2内，则a b -的取值范围为A ．()1,-+∞B ．(),1-∞-C ．(),1-∞D ．()1,1-第二部分 非选择题（共100分）二、填空题：本大题共5小题，其中11～13题是必做题，14～15题是选做题，每小题5分，满分20分．11．已知函数()sin ,03y x x πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭R 的最小正周期为π，则ω= ． 12．某班的54名学生对数学选修专题《几何证明选讲》和《极坐标与参数方程》的选择情况如下（每位学生至少选．．．．．．．1．个专题．．．）：两个专题都选的有6人，选《极坐标与参数方程》的学生数比选《几何证明选讲》的多8人，则只选修了《几何证明选讲》的学生有 人．13．已知函数()f x 满足()12f =，()()()111f x f x f x ++=-，则()3f 的值为 ，()()()()1232007f f f f ⋅⋅⋅⋅L 的值为 ．▲选做题：在下面两道小题中选做一题，二题都选的只计算第14题的得分． 14．在极坐标系中，若过点()4,0且与极轴垂直的直线交曲线图1图26cos ρθ=于,A B 两点，则=AB ．15．如图2，P 是⊙O 的直径AB 延长线上一点，PC 与⊙O 相切于点C ，∠APC 的角平分线交AC 于点Q ，则AQP ∠的大小为_________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小球被取出的可能性相等． （Ⅰ）求取出的两个球上标号为相邻整数的概率； （Ⅱ）求取出的两个球上标号之和能被3整除的概率． 17．（本小题满分14分）如图3所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=o，2AB =，1BC =，1AA =（Ⅰ）证明：1A C ⊥平面11AB C ；（Ⅱ）若D 是棱1CC 的中点，在棱AB 上是否存在一点E ，使DE P 平面11AB C ？证明你的结论．18．（本小题满分12分）已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且222a cb ac +-=． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若3c a =，求tan A 的值． 19．（本小题满分14分）已知椭圆E 的两个焦点分别为()11,0F -、()21,0F ，点31,2C ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆E 上． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若点P 在椭圆E 上，且满足12PF PF t =u u u r u u u u rg，求实数t 的取值范围． 20．（本小题满分14分）已知曲线C ：xy e =（其中e 为自然对数的底数）在点()1,P e 处的切线与x 轴交于点1Q ，过点1Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点1P ，曲线C 在点1P 处的切线与x 轴交于点2Q ，过点2Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点2P ，……，依次下去得到一系列点1P 、2P 、……、n P ，设点n P 的坐标为(),n n x y （*n ∈N ）．（Ⅰ）分别求n x 与n y 的表达式； （Ⅱ）设O 为坐标原点，求21ni i OP =∑． 21．（本小题满分14分）已知函数()242f x ax x =+-，若对任意1x ，2x ∈R 且12x x ≠，都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭． （Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）对于给定的实数a ，有一个最小的负数()M a ，使得(),0x M a ∈⎡⎤⎣⎦时，()44f x -≤≤都成立，则当a 为何值时，()M a 最小，并求出()M a 的最小值．[参考答案]一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分． 1．D 2．A 3．B 4．A 5．C 6．C 7．B 8．B 9．D 10．A二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，其中11～13题是必做题，14～15题是选做题．每小题5分，满分20分．第13题中的第一个空2分，第二个空3分． 11．2 12．20 13．12-；3 14．．135o三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查古典概型等基础知识，考查或然与必然的数学思想与方法，以及运算求解能力）解法一：利用树状图可以列出从甲、乙两个盒子中各取出1个球的所有可能结果：可以看出，试验的所有可能结果数为16种． ……4分 （Ⅰ）所取两个小球上的标号为相邻整数的结果有1－2，2－1，2－3，3－2，3－4， 4－3，共6种． ……6分故所求概率63168P ==． 答：取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为38． ……8分 （Ⅱ）所取两个球上的数字和能被3整除的结果有1－2，2－1，2－4，3－3，4－2，共5种． ……10分故所求概率为516P =． 答：取出的两个小球上的标号之和能被3整除的概率为516． ……12分 解法二：设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为y x ,，用),(y x 表示抽取结果，则所有可能有()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()2,1，()2,2，()2,3，()2,4，()3,1，()3,2，()3,3，()3,4，()4,1，()4,2，()4,3，()4,4，共16种． ……4分（Ⅰ）所取两个小球上的数字为相邻整数的结果有()1,2， ()2,1， ()2,3，()3,2，()3,4， ()4,3，共6种． ……6分故所求概率63168P ==． 答：取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为38． ……8分 （Ⅱ）所取两个球上的数字和能被3整除的结果有()1,2， ()2,1， ()2,4， ()3,3，()4,2，共5种． ……10分故所求概率为516P =． 答：取出的两个小球上的标号之和能被3整除的概率为516． ……12分 （注：利用列表的方法求解，仿照上述解法给分） 17．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间中线面关系，考查数形结合的数学思想和方法，以及空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力）证明：（Ⅰ）∵90ACB ∠=o，∴BC AC ⊥．∵三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，∴1BC CC ⊥． ∵1AC CC C =I ，∴BC ⊥平面11ACC A ．∵1AC ⊂平面11ACC A ，∴1BC A C ⊥， ∵11BC B C P ，则111B C AC ⊥． ……4分 在Rt ABC ∆中，2AB =，1BC =，∴AC =∵1AA =11ACC A 为正方形． ∴11A C AC ⊥． ……6分 ∵1111B C AC C =I ，∴1A C ⊥平面11AB C ． ……7分 （Ⅱ）当点E 为棱AB 的中点时，DE P 平面11AB C ． ……9分 证明如下：如图，取1BB 的中点F ，连EF 、FD 、DE ，∵D 、E 、F 分别为1CC 、AB 、1BB 的中点， ∴1EF AB P ．∵1AB ⊂平面11AB C ，EF ⊄平面11AB C ， ∴EF P 平面11AB C ． ……12分 同理可证FD P 平面11AB C ． ∵EF FD F =I ，∴平面EFD P 平面11AB C ． ∵DE ⊂平面EFD ，∴DE P 平面11AB C ． ……14分 18．（本小题满分12分）（本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、解三角形等基础知识，考查运算求解能力）（Ⅰ）解：由余弦定理，得222cos 2a c b B ac +-=＝12． ……2分∵0B π<<，∴ 3B π=． ……4分（Ⅱ）解法一：将3c a =代入222a cb ac +-=，得b =． ……6分由余弦定理，得222cos 214b c a A bc +-==． ……8分∵0A π<<，∴sin 14A ==． ……10分∴sin tan cos A A A ==． ……12分解法二：将3c a =代入222a cb ac +-=，得b =． ……6分由正弦定理，得sin B A =． ……8分∵3B π=，∴sin 14A =． ……10分又b a =>，则B A >，∴cos A ==．∴sin tan cos A A A ==． ……12分解法三：∵3c a =，由正弦定理，得sin 3sin C A =． ……6分 ∵3B π=，∴()23C A B A ππ=-+=-． ∴2sin 3sin 3A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ……8分 ∴22sincos cos sin 3sin 33A A A ππ-=．1sin 3sin 2A A A +=．∴5sin A A =． ……10分∴sin tan cos A A A ==． ……12分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆的概念、椭圆的方程等基础知识，考查待定系数法、数形结合的数学思想与方法，以及运算求解能力）（Ⅰ）解法一：依题意，设椭圆E 的方程为22221x y a b+=（0a b >>），由已知半焦距1c =，∴221a b -=． ① ……2分 ∵点31,2C ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆E 上，则221914a b +=． ② ……4分 由①、②解得，24a =，23b =．∴椭圆E 的方程为22143x y +=． ……6分 解法二：依题意，设椭圆E 的方程为22221x y a b+=（0a b >>），∵点31,2C ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆E 上，∴1224a CF CF =+=，即2a =． ……3分 由已知半焦距1c =，∴2223b a c =-=． ……5分∴椭圆E 的方程为22143x y +=． ……6分（Ⅱ）设()00,P x y ，由12PF PF t =u u u r u u u u rg，得 ()()00001,1,x y x y t -----=g ，即22001x y t +=+． ③ ……8分∵点P 在曲线C 上，∴2200143x y +=． ④ 由③得22001y t x =+-，代入④，并整理得()2042x t =-． ⑤ ……10分由④知，2004x ≤≤， ⑥ ……12分结合⑤、⑥，解得：23t ≤≤．∴实数t 的取值范围为[]2,3． ……14分 20．（本小题满分14分）（本小题主要考查数列、导数等基础知识，考查有限与无限的数学思想与方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）解：（Ⅰ）∵xy e '=，∴曲线C ：xy e =在点()1,P e 处的切线方程为()1y e e x -=-，即y ex =．此切线与x 轴的交点1Q 的坐标为()0,0，∴点1P 的坐标为()0,1． ……2分 ∵点n P 的坐标为(),n n x y （*n ∈N ），∴曲线C ：xy e =在点n P (),n n x y 处的切线方程为()nn x x n y ee x x -=-， ……4分令0y =，得点1n Q +的横坐标为11n n x x +=-．∴数列{}n x 是以0为首项，1-为公差的等差数列．∴1n x n =-，1n n y e -=．（*n ∈N ） ……6分（Ⅱ）∵()()2221221i ii i OP x y i e -=+=-+， ……8分∴222221231nin i OPOP OP OP OP ==++++∑L()()()()()2212022240121n e e e n e ---⎡⎤=+++++++-+⎣⎦L ……10分()()22122241211n n e e e ---⎡⎤⎡⎤=++++-+++++⎣⎦⎣⎦L L ……12分 ()()22121161nn n n e e -----=+-()()()2222121161n n n n n e e e ----=+-． ……14分 21．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数及其运算、不等式及其性质等基础知识，考查化归与转化、数形结合的数学思想方法，以及抽象概括能力、逻辑推理能力、运算求解能力和创新意识）解：（Ⅰ）∵()()121222f x f x x x f ++⎛⎫-⎪⎝⎭22212121122222x x x x ax bx c ax bx c a b c +++++++⎛⎫⎛⎫=++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()21204a x x =--<， ……2分 ∵12x x ≠，∴0a >．∴实数a 的取值范围为()0,+∞． ……4分（Ⅱ）∵()2224422f x ax x a x a a ⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭，显然()02f =-，对称轴20x a=-<． ……6分 （1）当424a --<-，即02a <<时，()2,0M a a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且()4f M a =-⎡⎤⎣⎦． 令2424ax x +-=-，解得2x a-=，此时()M a 取较大的根，即()2M a a -==， ∵02a <<，∴()1M a =>-． ……10分（2）当424a --≥-，即2a ≥时，()2M a a<-，且()4f M a =⎡⎤⎣⎦．令2424ax x +-=，解得x =，此时()M a 取较小的根，即()M a ==， ∵2a ≥，∴()3M a =≥-．……13分 当且仅当2a =时，取等号．∵31-<-，∴当2a =时，()M a 取得最小值－3． ……14分。
