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4.1.1变量与函数一.教学目标知识与技能：认识变量、常量，学会用含一个变量的代数式表示另一个变量.过程与方法：逐步感受变量间的关系.情感态度与价值观：对数学产生好奇心和求知欲.二.教学重点和难点思考：1.图4-1是某地气象站用自动温度记录仪描出的某一天的温度曲线，它反映了该地某一天的温度曲线，它反映了该地某一天的气温T是如何随时间t的变化而变化的.（1）这一天中，4时的温度是.14是时的气温是.（2）随着的变化而变化.（气温、时间）（3）当时间t取定一个值时，温度T有唯一的值与它对应.2.当正方形的边长x分别取1、2、3、4、5…时，正方形的面积S分别是多少？试填写下表. 观察思考：（1）正方形的边长越，面积就越大.（2）当边长x取定一个值时，面积S有唯一的值与它对应.（3）说明在这一过程中，随着边长x的变化，相应的面积S也随之.（4）在这一过程中，面积S与边长X之间满足的关系是.3.某城市居民用的天然气，1m3收费2.88元，使用x（m3）天然气应缴纳的费用y（元）为y=2.88x，当x=10时，缴纳的费用为多少？思考：（1）随着的变化而变化.（2）当x=10时，y= （元），当x=20时，y= （元）（3）当所用天然气的体积x取定一个值时，使用天然气缴纳的费用y有的值与它对应.结论：在某一变化过程中，取值会发生变化的量称为变量，取值固定不变的量称为常量.在上述问题中：变量有：，常量有：；随堂练习：（1）球的表面积S与球的半径r的关系式是S=4R2.（2）圆柱的表面半径R不变，圆柱的体积V与圆柱的高度h的关系式，是V=R2h.（3）以固定的速度V0向上抛一个小球，小球的高度h与小球运动时间t的关系是h=v0-4.9t2根据以上三个问题思考：（1）以上每个变化过程中都有几个变量？（2）变量之间是怎样变化的？（3）给其中一个变量取定一个值，另一个变量有几个值与之相对应？定义：一般地，在一个变化过程中有两个变量，例如x和y,对于x的每一个值，y都有唯一的一个值与它对应，我们就说x是自变量，y是因变量，此时y是x的函数。
湘教版数学八年级下册《4.1.1变量与函数》教学设计一. 教材分析湘教版数学八年级下册《4.1.1变量与函数》是学生在学习了初中阶段函数概念的基础上，进一步探讨变量与函数的关系。
本节内容通过具体的实例让学生理解自变量、函数的概念，以及如何用函数式表示变量之间的关系。
教材内容由浅入深，既巩固了以前的知识，又为后续学习函数的图像和性质打下基础。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了变量、常量的概念，对函数有了初步的认识。
但部分学生对函数的定义和判断仍然存在模糊的地方，对函数式子的理解也不够深入。
因此，在教学过程中，需要帮助学生理清变量、常量、函数之间的关系，并通过具体例子让学生感受函数式表示变量之间的方法。
三. 教学目标1.理解自变量、函数的概念，掌握用函数式表示变量之间的关系。
2.能够判断一个关系是否为函数，并能用函数式表示。
3.培养学生的抽象思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：理解自变量、函数的概念，掌握用函数式表示变量之间的关系。
2.难点：判断一个关系是否为函数，并能用函数式表示。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究变量与函数的关系。
2.利用具体实例，让学生感受函数式表示变量之间的方法。
3.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
4.利用板书、多媒体等教学辅助工具，提高教学效果。
六. 教学准备1.准备相关实例，用于讲解变量与函数的关系。
2.准备多媒体课件，用于展示函数图像和实例。
3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个生活中的实例，如投篮问题，引导学生思考投篮命中次数与投篮次数之间的关系。
让学生意识到这两个量之间存在一种依赖关系，进而引出自变量、函数的概念。
2.呈现（10分钟）呈现投篮问题的具体数据，让学生观察命中次数与投篮次数之间的关系。
引导学生用函数式表示这种关系，如命中次数 = 投篮次数 × 命中率。
《变量与函数》教学设计教学目标知识与技能（1）基于生活经验，学生初步感知用常量和变量来刻画一些简单的数学问题，能指出具体问题中的常量和变量。
（2）借助简单实例，初步理解变量与函数的关系，知道存在一类变量可以用函数方式来刻画，能举出涉及含有两个变量的实例，并指出哪一个变量确定另一个变量，这两个变量是否具有函数关系。
（3）借助简单实例，初步理解对应的思想，体会函数概念的核心是两个变量之间的特殊对应关系，能判断两个变量之间是否具有函数关系。
过程与方法借助简单实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程，体会从生活实例抽象出数学知识的方法，感知现实世界中变量之间联系的复杂性，数学研究从最简单的情形入手。
情感、态度与价值观从学生熟悉、感兴趣的实例引入课题，学生初步感知实际生活蕴藏着丰富的数学知识，感知数学是有用的、有趣的学科。
教学重点难点重点：借助简单实例，从两个变量间的特殊对应关系抽象出函数概念难点：怎样理解“唯一对应”教学过程（一）创设情境，导入新课1.如图，是某地气象站用自动温度记录仪描出的某一天的温度曲线，它反映了该地某一天的气温T（℃）是如何随时间t的变化而变化的，你能从图中得到哪些信息？（1）这天的4时、14时气温分别是多少？10℃ 20℃（2）问题中有几个量在发生着变化？2个2.当正方形的边长x分别取1，2，3，4，5，…时，正方形面积s 分别是多少？试填写下表：正方形的面积随着它的边长变化而变化3.某城市居民用的天然气，1m3 收费2.88元，使用x（m3）天然气应缴纳的费用y（元）为y=2.88x. 当x=10时，缴纳的费用为多少？28.8元（二）探究新知第1个问题中，某地一天中的气温(T)随着时间(t)的变化而变化.第2个问题中，正方形的面积(S)随着它的边长(x)的变化而变化.第3个问题中，使用天然气缴纳的费用(y)随所用天然气的体积(x)的变化而变化.像上述问题这样，在某一变化过程中会发生变化的量称为变量，取值固定不变的量称为常量。
第1 课时§ 4.1 变量与函数教学目标：借助简单实例，学生初步感知用常量与变量来刻画一些简单的数学问题，能指出具体问题中的常量、变量．初步理解存在一类变量可以用函数方式来刻画，能举出涉及两个变量的实例，并指出由哪一个变量确定另一个变量，这两个变量是否具有函数关系。
初步理解对应的思想，体会函数概念的核心是两个变量之间的特殊对应关系，能判断两个变量间是否具有函数关系。
教学重点借助简单实例，从两个变量间的特殊对应关系抽象出函数的概念教学难点怎样理解“唯一对应”教学过程一、创设情境、导入新课我们生活在一个运动的世界中，周围的事物都是运动的，例如：地球在宇宙中的运动这一问题，此时地球在宇宙中的位置随着时间的变化而变化，这是生活中的常识，学生都很容易理解。
再例如，气温随着高度的升高而降低，年龄随着时间的增长而增长。
这几个问题中都涉及两个量的关系，地球的位置与时间，温度与高度，年龄与时间。
二、合作交流、解读探究第1个问题中,某地一天中的气温随着时间的变化而变化,从图中可看出,4时的气温是10℃,14时的气温是17℃第2个问题中,正方形的面积随着它的边长的变化而变化。
3、某城市居民的生活用电，1kw/h收费0.63元，使用xkw/h应交纳的费用为y（元），怎样用含x的式子表示y呢？思考：上述三个问题中，分别涉及哪些量的关系？那些量是变化的？那些量是不变的？哪个量的变化导致另一个量的变化而变化？在一个问题中，当一个量取了确定的值之后，另一个量对应的能取几个值？三、应用迁移、巩固提高例1 ：已知圆柱的高是4cm，底面半径是rcm，当圆柱的底面半径r由小变大时，圆柱的体积Vcm3是r的函数。
（1）用含r的代数式来表示圆柱的体积V，指出自变量r的取值范围；（2）当r=5,10时，V是多少（结果保留）？解：(1)、圆柱的体积V=4πr2,自变量r的取值范围是r>0.(2)、当r = 5时V=4π×25=100π(cm3)当r =10时,V=4π×100=400π(cm3)四、课堂练习：教材P112页练习1、2题五、小结1 、通过一些具体问题感受到现实世界中存在着变化但互相依赖的量，并且知道了变量及常量。
变量与函数教案教学目标：知识与技能：1、通过简单实例，了解变量与常量的定义；2、通过实例，掌握函数的定义。
过程与方法：通过实例，让学生感受生活中的一些变化关系，从而理解函数的意义。
情感态度与价值观：通过实例感受函数和日常生活的密切关系，增强学生学习函数的兴趣和信心。
教学重点：函数的概念教学难点：函数概念的理解教学方法：讲授法、谈话法、演示法、情境法、练习法、讨论法、自主探究法教学设计：一、概念引入（一）情境导入同学们，我们生活在一个充满变化的世界里，人的身高随着年龄的变化而变化；匀速行驶的列车，行驶的路程随着时间的变化而变化；前段时间有一部非常火爆的电影——《战狼2》，它的票房随着时间的变化而变化。
这样的变化还有很多，同学们，你能举例说一说吗？这说明，我们的大千世界一直在不断地变化，用我们数学的眼光来看，这些变化有没有规律呢？有规律的话，又有些什么样的规律？又该如何描述这些规律呢？今天这节课，我们就来学习刻画一些变化规律的量和关系——变量与函数。
最近我们这里的温差特别大，我们班上都已经有好几位同学感冒了，那接下来我们就通过图像来了解一下气温如何随着时间的变化而变化。
（二）情境探究课件分别展示三个问题：问题一：气温与时间问题出示课件。
师：你能从图中得到哪些信息？生：有两个变化的量，气温随着时间的变化而变化。
等等。
师：同学们想一想，4时的气温可不可能既是10摄氏度，又是12摄氏度，或者同时又是其他的值呢？生：不可能。
师追问：那这说明了什么呢？生：对于时间取的每一个值，气温都有唯一的一个值与它对应。
师：刚刚同学们说得非常好，那我们来总结一下，从这个题目中，我们得到气温与时间之间有什么关系呢？总结：在这个题中有两个变化的量，气温随着时间的变化而变化，对于时间取的每一个值，气温都有唯一的一个值与它对应。
师：刚刚我们从图像中发现了气温与时间之间的变化关系，接下来，从表格中是否也能有所发现呢？问题二：正方形的面积与边长问题出示课件。
《变量与函数》教学设计【在整堂课中，使用教学PPT课件以及一体机白板，让课堂显得生动活泼，尽量能激发学生学习积极性。
】教学目标结合学生现有的认知水平与实际情况，确定本节课的教学目标如下：1.知识与技能目标：能够运用丰富的实例，在具体情境中领悟函数概念的意义。
了解常量与变量的含义，能分清实例中的常量与变量，了解自变量与函数的意义。
2.过程与方法目标：通过动手实践与探索，参与变量的发现和函数概念的形成过程，提析问题和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：在解决问题的过程中体会数学的应用价值并感受成功的喜悦，建立自信心。
增强对学习的兴趣和积极参与数学活动的热情。
教学重、难点根据学生现有水平及新课标的要求，确立本节课的重点和难点如下：重点：了解函数概念的形成过程，正确理解函数的概念。
难点：理解变量的内涵。
教学过程：(一)设疑导入我会展示两个问题引导学生思考：1.汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时，先填写下表，再试着用含的式子表示。
2.请学生分组进行实验活动，然后各组选派代表汇报。
如图所示，用火柴棒摆图形，按照这样的规律继续摆下去，第四个图形需要_________根火柴棒，第五个图形需要_________根火柴棒，第n个图形需要________根火柴棒。
在学生动手实验并充分发表自己意见的基础上，师生共同归纳：上面的问题和实验都反映了不同事物的变化过程。
其中有些量(例如时间t，里程s的值)是按照某种规律变化的。
在一个变化过程中，数值发生变化的量，我们称之为变量。
也有些量是始终不变的，如上面问题中的速度60(千米/时)等，我们称之为常量。
通过动手实验，学生的学习积极性被充分调动起来，进一步深刻体会了变量间的关系，学会了运用表格形式来表示实验信息。
从而感知到变量函数的存在和意义，体会变量之间的相互依存关系和变化规律。
3.请学生具体指出上面这些问题和实验中，哪些量是变量，哪些量是常量。
课题：变量与函数教学目标1、借助简单实例，学生初步感知用常量与变量来刻画一些简单的数学问题，能指出具体问题中的常量、变量．初步理解存在一类变量可以用函数方式来刻画，能举出涉及两个变量的实例，并指出由哪一个变量确定另一个变量，这两个变量是否具有函数关系。
初步理解对应的思想，体会函数概念的核心是两个变量之间的特殊对应关系，能判断两个变量间是否具有函数关系。
2、引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体会从生活实例抽象出数学知识的方法，感知现实世界中变量之间联系的复杂性，数学研究从最简单的情形入手，化繁为简。
3、从学生熟悉、感兴趣的实例引入课题，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体验“发现、创造”数学知识的乐趣。
学生初步感知实际生活蕴藏着丰富的数学知识，感知数学是有用、有趣的学科。
重点：借助简单实例，从两个变量间的特殊对应关系抽象出函数的概念难点：理解函数的“唯一对应”性。
教学过程：一、情境导入（出示ppt课件）如图，是某地气象站用自动温度记录仪描出的某一天的温度曲线，它反映了该地某一天的气温T（℃）是如何随时间t的变化而变化的。
你能从图中得到哪些信息？从图中可以看出，4时的气温是℃，14时的气温是℃.这个问题中，某地一天中的气温随着时间的变化而变化。
关注其中数量的变化，用数量变化描述变化规律还可以举出很多这样的例子。
二、合作探究（出示ppt课件）（一）提出问题：1.一辆汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程为s千米，行驶时间为t小时，以下为汽车在每小时行驶过的路程的情况：路程（S）=速度(v)×时间（t）试用含t的式子表示S：S = 60t在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量；有些量的数值是始终不变的，我们称它为常量.这个问题中，变量是，常量是。
2. 当正方形的边长x分正方形的面积S分别是多少？试填写下表：这个问题中，正方形的面积随着它的边长的变化而变化.写出s与x的关系式：s = x2这个问题中，变量是，常量是。
湘教版数学八年级下册4.1.1《变量与函数》说课稿一. 教材分析《变量与函数》是湘教版数学八年级下册4.1.1的内容，本节内容是在学生已经掌握了代数式的知识基础上进行讲述的，旨在让学生了解变量的概念，并引入函数的概念。
教材通过生活中的实例，引导学生理解变量和函数的关系，从而为后续的函数学习打下基础。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的代数基础，对于代数式、方程等概念有一定的了解。
但是，对于变量和函数的概念，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要通过生动的实例和生活情境，帮助学生理解变量和函数的概念，并建立它们之间的关系。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生理解变量和函数的概念，并掌握它们之间的关系。
2.过程与方法：通过实例分析，让学生学会如何用变量和函数来描述实际问题。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
四. 说教学重难点1.重点：变量和函数的概念及其关系。
2.难点：如何用变量和函数来描述实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、小组合作学习法等。
2.教学手段：多媒体课件、实例分析、小组讨论等。
六. 说教学过程1.导入：通过生活中的实例，如气温变化、物体运动等，引导学生思考变量和函数的关系。
2.新课导入：介绍变量的概念，让学生理解变量是如何表示事物的变化。
3.案例分析：分析生活中的实例，引导学生理解函数的概念。
4.知识讲解：讲解变量和函数之间的关系，让学生掌握它们的基本概念。
5.练习巩固：让学生通过练习题，巩固所学知识。
6.课堂小结：对本节课的内容进行总结，帮助学生形成知识体系。
7.课后作业：布置相关作业，让学生进一步巩固所学知识。
七. 说板书设计板书设计如下：1.变量与函数2.变量的概念3.函数的概念4.变量与函数的关系八. 说教学评价教学评价主要从学生的学习效果、课堂表现、作业完成情况等方面进行。
教师应及时关注学生的学习进度，针对不同学生进行差异化指导，提高教学效果。
第4章 一次函数 4．1 函数和它的表示法
4．1.1 变量与函数
1．了解常量、变量的概念；(重点) 2．了解函数的概念；(重点)
3．确定简单问题的函数关系．(难点
)
一、情境导入
如图，水滴激起的波纹可以看成是一个不断向外扩展的圆，它的面积随着半径的变化而变化，随着半径的确定而确定．
在上述例子中，每个变化过程中的两个变量：当其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化；当一个变量确定时，另一个变量也随着确定．
你能举出一些类似的实例吗？ 二、合作探究
探究点一：常量与变量
分析并指出下列关系中的变量与
常量：
(1)球的表面积S cm 2与球的半径R cm 的关系式是S ＝4πR 2；
(2)以固定的速度v 0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h 米与小球运动的时间t 秒之间的关系式是h ＝v 0t －4.9t 2；
(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m 与它下落的时间t s 的关系式是h ＝1
2
gt 2(其中g 取9.8m/s 2)； (4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w 千克与所付款x 元之间的关系式是x ＝1.8w .
解析：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量．
解：(1)球的表面积S cm 2与球的半径R cm 的关系式是S ＝4πR 2，其中，常量是4π，变量是S ，R ；
(2)以固定的速度v 0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h 米与小球运动的时间t 秒之间的关系式是h ＝v 0t －4.9t 2，常量是v 0，4.9，变量是h ，t ；
(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m 与它下落的时间t s 的关系式是h ＝12gt 2(其中g 取9.8m/s 2)，其中常量是12g ，变量是h ，t ；
(4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w 千克与所付款x 元之间的关系式是x ＝1.8w ，常量是1.8，变量是x ，w .
方法总结：常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化．
探究点二：函数的定义
下列说法中正确的是( )
A ．变量x ，y 满足x ＋3y ＝1，则y 是x 的函数
B ．变量x ，y 满足y ＝－x 2－1，则y 可以是x 的函数
C ．变量x ，y 满足|y |＝x ，则y 可以是x 的函数
D ．变量x ，y 满足y 2＝x ，则y 可以是x 的函数
解析：A 中x ＋3y ＝1，y 可以看作x 的函数，因为y ＝1－x
3
；B 中y ＝
－x 2－1，
因为－x 2－1<0，等式无意义，即对于变量x 的任何一个取值，变量y 都没有唯一确定的值，故y 不是x 的函数；C 、D 中的|y |＝x 和
y 2＝x ，对于变量x 的任意一个正数值，变量
y 都有两个(不唯一)值与其对应，故y 不是x 的函数．故选A.
方法总结：判断两个变量是否是函数关系，就看是否存在两个变量，并且在这两个变量中，确定好哪个是自变量，哪个是函数，然后再看看这两个变量是否是一一对应的关系．
探究点三：确定自变量的取值范围
【类型一】 确定函数解析式中自变量的取值范围
写出下列函数中自变量x 的取值
范围．
(1)y ＝2x －3； (2)y ＝3
1－x ；
(3)y ＝4－x ； (4)y ＝x －1
x －2.
解析：当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数；当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为
零；当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
解：(1)全体实数；
(2)分母1－x ≠0，即x ≠1； (3)被开方数4－x ≥0，即x ≤4；
(4)由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧x －1≥0，
x －2≠0，解得x ≥1且
x ≠2.
方法总结：本题考查了函数自变量的取值范围：有分母的要满足分母不能为0，有
根号的要满足被开方数为非负数．
【类型二】
实际问题中自变量的取值范围
水箱内原有水200升，7：30打开
水龙头，以2升/分的速度放水，设经过t 分钟后，水箱内存水y 升．
(1)求y 关于t 的函数关系式和自变量的取值范围；
(2)7：55时，水箱内还有多少水？ (3)几点几分水箱内的水恰好放完？
解析：(1)根据水箱内还有的水等于原有水减去放掉的水列式整理即可，再根据剩余水量不小于0列不等式求出t 的取值范围；(2)7：55时，t ＝55－30＝25，将t ＝25代入(1)中的关系式即可；(3)令y ＝0，求出t 的值即可．
解：(1)∵水箱内存有的水＝原有水－放掉的水，∴y ＝200－2t .∵y ≥0，∴200－2t ≥0，解得t ≤100，∴0≤t ≤100，∴y 关于t 的函数关系式为y ＝200－2t (0≤t ≤100)；
(2)∵7：55－7：30＝25(分钟)，∴当t
＝25时，y＝200－2t＝200－50＝150(升)，∴7：55时，水箱内还有水150升；
(3)当y＝0时，200－2t＝0，解得t＝100，而100分钟＝1小时40分钟，7点30分＋1小时40分钟＝9点10分，故9点10分水箱内的水恰好放完．
探究点四：简单问题的函数关系
一个弹簧秤最大能称不超过10kg
的物体，它的原长为10cm，挂上重物后弹
簧的长度y(cm)随所挂重物的质量x(kg)的变
化而变化，每挂1kg物体，弹簧伸长0.5cm；
(1)求弹簧的长度y(cm)与所挂重物质量
x(kg)之间的函数表达式；
(2)当挂5kg重物时，求弹簧的长度．
解析：根据弹簧的长度等于原长加上伸
长的长度，列式即可；
解：(1)y＝10＋
1
2x，其中x是自变量，y
是自变量的函数；
(2)将x＝5代入y＝10＋
1
2x，得y＝10＋
1
2×5＝12.5(cm)．
答：当挂5kg重物是，弹簧的长度为12.5
厘米．
方法总结：根据题意，找出等量关系，
列出相应的函数表达式．求函数值时，将自
变量代入函数表达式中，求出即可．
探究点五：函数值
根据如图所示程序计算函数值，
若输入x的值为
5
2，则输出的函数值为(
)
A.
3
2 B.
2
5 C.
4
25 D.
25
4
解析：∵x＝
5
2
时，在2≤x≤4之间，∴
将x＝5
2
代入函数y＝1
x
，得y＝2
5.故选B.
方法总结：根据所给的自变量的值，结
合各个函数关系式所对应的自变量的取值
范围，确定其对应的函数关系式，再代入计
算．
三、板书设计
1．常量和变量的概念
2．函数的概念
3．函数关系式
4．自变量的取值范围
5．函数值
通过本课时的教学，学生对于常量、变量以
及函数关系式掌握较好，但是对于有些实际
问题中自变量的取值范围还存在一些困
难．在以后的教学中要通过实例让学生不断
加以强化，达到整体进步.。
