东南大学《工程矩阵理论》06(下)工程矩阵理论统考试卷(A)

12东南大学考试卷（A）Array课程名称工程矩阵理论考试学期08-09-2 得分
适用范围工科硕士研究生考试形式闭卷考试时间长度150分钟
1．地子空间地一组基是；
2．若线性空间地线性变换在基下地矩阵是,则在基下地矩阵是；
3．如果矩阵满足,并且地秩为,则行列式；
4．若矩阵,则矩阵函数地行列式；
5．若是维单位列向量,是正定地,则参数满足条件.
二．（12%）设矩阵.讨论地可能地Jordan标准形.并问：当参数满足什么条件时,矩阵与是相似地.
三．（20%）记,上地变换定义为：对,.
1．证明：是上地线性变换；
2．求在地基下地矩阵；
3．求地特征值及相应地特征子空间地基；
4．问：是否存在地基,使得在这组基下地矩阵是对角阵？如存在,试给出这样地一组基及相应地对角阵；如不存在,请说明理由.
四．（10%）设.试将表示成关于地次数不超过2地多项式.
五．（8%）求地广义逆矩阵.
六．（15%）假设是有限维欧氏空间,是单位向量,上地线性变换定义如下：对任意,.
1.证明：是上地正交变换.
2.在中定义内积：对,.于是,成为欧氏空间.分别求中向量及地长度,并求正实数及单
位向量,使得如上地正交变换将变成.
七．证明题（20%）
1.假设是矩阵,分别是、酉矩阵.证明：.
2.假设是正规矩阵.若地特征值地模都等于1,证明：是酉矩阵.
3.假设是Hermite矩阵,其中,是地子矩阵,并且都是方阵.若是正定地.证明关于行列
式地不等式：.。

杭州电子科技大学研究生考试卷（A卷）课程名称：工程矩阵理论一、单项选择题（每题4分，共20分）1. 设A∈C m⨯n，对A的奇异值分解，下列说法正确的是：（1）存在且唯一（2）存在但不唯一（3）可能不存在（4）可能存在但不唯一2. 设A∈C n⨯n，则A的幂序列E，A，A2/2!, A k/k!,（1）收敛于零（2）发散（3）收敛与否与具体A有关（4）收敛3. 设A∈C n⨯n满足A3= E，则下列说法正确的是：（1）A的最小多项式与特征多项式相同（2）A不可对角化（3）A的约当标准型中约当块的数目为n（4）不能确定A是否可对角化4. 设A为n阶方阵，则有：（1）R(A) ⊕ N(A)= C n , （2）R(A) + N(A)= C n（3）R(A) ⊕ N(A T)= C n, （4）R(A T) ⊕ N(A T)= C n5. 设A为n阶Hermite矩阵，则：（1）A的n个特征值全大于零（2）存在可逆矩阵P使得P H AP=E（3）存在正线上三角矩阵R使得A=R H R（4）存在酉矩阵U使得U H AU=Λ，其中Λ为实对角矩阵二、填空题（每题4分，共20分）1. 设ε1, ε2, ε3为3维线性空间V的一组基，σ是V到自身的一个线性变换。

σ在基ε1, ε2, ε3下的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231232221131211a a a a a a a a a ，则σ在基ε3, 2ε2, 3ε1下的矩阵为。

2. 设方阵A 满足A 2= 3A, 则sin (3A ) = 。

3.矩阵A = diag 21312,,0203⎛⎫⎡⎤⎡⎤ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭，则A 的最小多项式为 。

4. 设X = (x 1, x 2, , x n )T 为变向量，α = (a 1, a 2, , a n )T 为常向量，H = (h ij )n ⨯n 为常矩阵，则：，()=HX X XT D D。

5. 设A ∈C n ⨯n 为Hermite 矩阵，X ∈C n ，A 的n 个特征值为λ1，λ2， ，λn ，满足λ1 ≤ λ2 ≤ ≤ λn ，则： XX AXX H X H 0max ≠ =。

12东南大学考试卷（A）Array课程名称工程矩阵理论考试学期08-09-2 得分
适用范围工科硕士研究生考试形式闭卷考试时间长度150分钟
1．地子空间地一组基是；
2．若线性空间地线性变换在基下地矩阵是,则在基下地矩阵是；
3．如果矩阵满足,并且地秩为,则行列式；
4．若矩阵,则矩阵函数地行列式；
5．若是维单位列向量,是正定地,则参数满足条件.
二．（12%）设矩阵.讨论地可能地Jordan标准形.并问：当参数满足什么条件时,矩阵与是相似地.
三．（20%）记,上地变换定义为：对,.
1．证明：是上地线性变换；
2．求在地基下地矩阵；
3．求地特征值及相应地特征子空间地基；
4．问：是否存在地基,使得在这组基下地矩阵是对角阵？如存在,试给出这样地一组基及相应地对角阵；如不存在,请说明理由.
四．（10%）设.试将表示成关于地次数不超过2地多项式.
五．（8%）求地广义逆矩阵.
六．（15%）假设是有限维欧氏空间,是单位向量,上地线性变换定义如下：对任意,.
1.证明：是上地正交变换.
2.在中定义内积：对,.于是,成为欧氏空间.分别求中向量及地长度,并求正实数及单
位向量,使得如上地正交变换将变成.
七．证明题（20%）
1.假设是矩阵,分别是、酉矩阵.证明：.
2.假设是正规矩阵.若地特征值地模都等于1,证明：是酉矩阵.
3.假设是Hermite矩阵,其中,是地子矩阵,并且都是方阵.若是正定地.证明关于行列
式地不等式：.。

（建筑工程管理）东南大学《工程矩阵理论》试卷样卷及答案(修改)工程矩阵理论试卷样卷10a壹、假如。

1、记。

证明：是的子空间。

2、若A是单位矩阵，求。

3、若，。

求这里V（A）的壹组基及其维数。

4、假如。

问：对上壹题中的和，是否为直和？说明理由。

解：1、证明子空间，即为证明该空间关于加法和数乘封闭。

即若有，，。

设，，，，是的子空间。

2、若A是单位矩阵，则，因为对单位阵I来说，恒成立，故，。

3、若，，设，有，即，，→有，故=故X的壹组基为，维数为2。

4、，即，其基为。

下面计算，若，则是直和。

=（、基的极大线性无关组），为极大线性无关组（能够不求，从上式即可见出），+不是直和。

二、假如，，于上定义变换如下：。

1、证明：是上的线性变换。

2、求于的基下的矩阵M。

3、试求M的jordan标准形，且写出的最小多项式。

4、问：能否找到的基，使得的矩阵为对角阵？为什么？解：1、有：，有←加法封闭，有←数乘封闭是上的线性变换。

2、3、M的若当标准形为，的最小多项式为4、，，基础解系为，，，，基础解系为这四个基础解系所对应的基均线性无关，故能找到找到的基，使得的矩阵为对角阵。

三、设的子空间，，求，使得。

解：思路：求V的基→由该基生成；的含义是指于V中找壹向量，使得的距离最短，即寻找于V中的正投影。

作图如右侧。

由，得V的基为，则，，或四、设，求及矩阵函数。

解：（2重根）时，，故A的jordan标准形为，A的最小多项式为。

令，（计算略）令，(太麻烦了，不算啦！)五、已知矩阵A的特征多项式及最小多项式均等于，且且矩阵。

1、分别给出A和B的jordan标准形；2、问：A和B是否相似？为什么？解：A的特征多项式及最小多项式均等于，故A的jordan标准形为：，A和B有相同的jordan标准形，故A、B相似。

六、已知矩阵，求A的广义逆矩阵。

解：对A进行分块：对进行满秩分解，对进行满秩分解，七、证明题：1、假如是欧几里德空间V中单位向量，V上的线性变换如下：对任意，（镜像变换）。

共 ５ 页 第 页东南大学考试试卷课程名称 工程矩阵理论 考试学期 09-10-2得分适用专业工程硕士考试形式闭卷考试时间长度 120分钟）已知22⨯C的子空间1|,a a V x y C b b ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭， 2|,a b V x y C b a ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬⎪--⎝⎭⎩⎭1V ，2V ，21V V ⋂，21V V +的一组基及它们的维数．（12%）在3R 的子空间{}(,,)|230W x y z x y z =-+=，(1,1,0)η=．求0W η∈，0min Wξηηηξ∈-=-．共 ５ 页 第 页四. （12%）已知矩阵101002101A ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭．1. 求一个多项式()f λ，使得()Atf A Ae =；2. 求A 的广义逆矩阵+A ．五. （12%）已知矩阵,A B 的F-范数和算子2-范数分别是2,F A a A b==，2,FBc B d==，分别求分块矩阵A O M OB ⎛⎫= ⎪⎝⎭的F-范数和算子2-算子． 六. （12%）设矩阵102001b c A a ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，1000312B y x ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭三. （14%）记11122122121101,,001111A A A A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭．已知22⨯C 上的线性变换f 满足()ij ij f E A =(,1,2)i j =． 1． 求f 在基11122122,,,E E E E 下的矩阵；2． 分别求f 的值域()R f 和核子空间()K f 的基和维数； 3． 求f 的特征多项式和最小多项式．共 ５ 页 第 页．根据参数,,,,a b c x y 讨论,A B 可能的Jordan 标准形，并问：参数满足什么条件时，矩阵A 与B 是相似的？ 七. （10%）n 维欧氏空间V 上的线性变换f 定义如下：()(,)f x ax b x ωω=-，V x ∈∀。

工程矩阵理论试卷（A ）2006年10月系别 学号 姓名 成绩一． （20%）记22C ⨯为复数域C 上的22⨯矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域上的线性空间，矩阵1100A -⎛⎫= ⎪⎝⎭，{}22|V X C AX XA ⨯=∈=。

1．证明V 是22C ⨯的子空间，并求V 的基和维数；2．假设22C ⨯的子空间0|,a W a b C a b b ⎧⎫⎛⎫=∀∈⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭，求W 的基和维数； 3．求,V W V W +⋂的基和维数。

二． （12%）假设矩阵0000050000310031A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，试求A 的广义逆矩阵A +。

三． （16%）设矩阵101101000A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭。

1. 分别求A 的特征多项式及Jordan 标准型；2. 写出A 的最小多项式；3. 将At e 表示成关于A 的次数不超过2的多项式，并求At e 。

四． （20%）记22C ⨯为复数域C 上的22⨯矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域上的线性空间，对固定的矩阵22,A B C ⨯∈，定义22C ⨯上的变换如下：对任意22X C ⨯∈，()f X AXB =。

1. 证明：对给定的矩阵22,A B C⨯∈，f 是22C ⨯上的线性变换； 2. 设1011,1000A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

分别求11122122,,,E E E E 在f 下的像，并求f 在22C ⨯的基11122122,,,E E E E 下的矩阵M ；3. 假设1011,1000A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求f 的值域()R f 及核子空间()K f 的各一组基及它们的维数；4. 问：22()()C R f K f ⨯=⊕是否成立？为什么？五． (12%)设矩阵21000403A x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，32020003y B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。

1. 根据x 的不同的值，讨论矩阵A 的所有可能的Jordan 标准形；2. 若A 与B 是相似的，问：参数,x y 应满足什么条件？试说明理由。