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初中几何证明题经典题（一） 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．证明：过点G 作GH ⊥AB 于H ，连接OE∵EG ⊥CO ，EF ⊥AB∴∠EGO=90°，∠EFO=90°∴∠EGO+∠EFO=180°∴E 、G 、O 、F 四点共圆∴∠GEO=∠HFG∵∠EGO=∠FHG=90°∴△EGO ∽△FHG ∴FG EO =HGGO ∵GH ⊥AB ，CD ⊥AB∴GH ∥CD ∴CDCO HG GO = ∴CD CO FG EO =∵EO=CO∴CD=GF2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内部的一点，∠PAD ＝∠PDA ＝15°。
求证：△PBC 是正三角形．（初二）证明：作正三角形ADM ，连接MP∵∠MAD=60°，∠PAD=15°∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75°∵∠BAD=90°，∠PAD=15°∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75°∴∠BAP=∠MAP∵MA=BA ，AP=AP∴△MAP ≌△BAP∴∠BPA=∠MPA ，MP=BP同理∠CPD=∠MPD ，MP=CP∵∠PAD ＝∠PDA ＝15°∴PA=PD ，∠BAP=∠CDP=75°∵BA=CD∴△BAP ≌∠CDP∴∠BPA=∠CPD∵∠BPA=∠MPA ，∠CPD=∠MPD∴∠MPA=∠MPD=75°∴∠BPC=360°-75°×4=60°∵MP=BP ，MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形3、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．证明:连接AC ，取AC 的中点G,连接NG 、MG∵CN=DN ，CG=DG∴GN ∥AD ，GN=21AD∴∠DEN=∠GNM∵AM=BM ，AG=CG∴GM ∥BC ，GM=21BC ∴∠F=∠GMN∵AD=BC∴GN=GM∴∠GMN=∠GNM∴∠DEN=∠F 经典题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ．（1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）证明：（1）延长AD 交圆于F ，连接BF ，过点O 作OG ⊥AD 于G∵OG ⊥AF∴AG=FG∵AB⌒ =AB ⌒ ∴∠F=∠ACB又AD ⊥BC ，BE ⊥AC∴∠BHD+∠DBH=90°∠ACB+∠DBH=90°∴∠ACB=∠BHD∴∠F=∠BHD∴BH=BF 又AD ⊥BC∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH ）=2GD又AD ⊥BC ，OM ⊥BC ，OG ⊥AD∴四边形OMDG 是矩形∴OM=GD ∴AH=2OM（2）连接OB 、OC∵∠BAC=60∴∠BOC=120°∵OB=OC ，OM ⊥BC∴∠BOM=21∠BOC=60°∴∠OBM=30° ∴BO=2OM由（1）知AH=2OM ∴AH=BO=AO2、设MN 是圆O 外一条直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条割线交圆O 于B 、C 及D 、E ，连接CD 并延长交MN 于Q ，连接EB 并延长交MN 于P .求证：AP ＝AQ ．证明：作点E 关于AG 的对称点F ，连接AF 、CF 、QF∵AG ⊥PQ ∴∠PAG=∠QAG=90°又∠GAE=∠GAF ∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF即∠PAE=∠QAF∵E 、F 、C 、D 四点共圆∴∠AEF+∠FCQ=180°∵EF ⊥AG ，PQ ⊥AG∴EF ∥PQ∴∠PAF=∠AFE∴∠AFE=∠AEF∴∠AEF=∠PAF∵∠PAF+∠QAF=180°∴∠FCQ=∠QAF∴F 、C 、A 、Q 四点共圆∴∠AFQ=∠ACQ又∠AEP=∠ACQ∴∠AFQ=∠AEP3、设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）证明：作OF ⊥CD 于F ，OG ⊥BE 于G ，连接OP 、OQ 、OA 、AF 、AG∵C 、D 、B 、E 四点共圆∴∠B=∠D ，∠E=∠C∴△ABE ∽△ADC ∴DFBG FD 2BG 2DC BE AD AB === ∴△ABG ∽△ADF∴∠AGB=∠AFD∴∠AGE=∠AFC∵AM=AN ，∴OA ⊥MN又OG ⊥BE ，∴∠OAQ+∠OGQ=180°在△AEP 和△AFQ 中 ∠AFQ=∠AEP AF=AE ∠QAF=∠PAE ∴△AEP ≌△AFQ ∴AP=AQ∴O、A、Q、E四点共圆∴∠AOQ=∠AGE同理∠AOP=∠AFC∴∠AOQ=∠AOP又∠OAQ=∠OAP=90°，OA=OA∴△OAQ≌△OAP∴AP=AQ4、如图,分别以△ABC的AB和AC为一边,在△ABC的外侧作正方形ABFG和正方形ACDE，点O是DF的中点，OP⊥BC求证：BC=2OP（初二）证明：分别过F、A、D作直线BC的垂线，垂足分别是L、M、N∵OF=OD，DN∥OP∥FL∴PN=PL∴OP是梯形DFLN的中位线∴DN+FL=2OP∵ABFG是正方形∴∠ABM+∠FBL=90°又∠BFL+∠FBL=90°∴∠ABM=∠BFL又∠FLB=∠BMA=90°，BF=AB∴△BFL≌△ABM∴FL=BM同理△AMC≌△CND∴CM=DN∴BM+CN=FL+DN∴BC=FL+DN=2OP经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）证明：连接BD 交AC 于O 。
1. 已知：如图11所示，∆ABC 中，∠=C E ，且有AC AD CE ==。
求证：DE CD =122. 已知：如图 求证：BC ＝AC3. 已知：如图13所示，过∆ABC 的顶点A ，在∠A 内任引一射线，过B 、C 作此射线的垂线BP 和CQ 。
设M 为BC 的中点。
求证：MP ＝MQ4. ∆ABC 中，∠=︒⊥BAC AD BC 90，于D ，求证：()AD AB AC BC <++14【试题答案】1. 证明：取AC ADAF CDAFC =∴⊥∴∠= 又∠+∠=︒∠+∠=︒14901390，∴∠=∠=∴≅∴=∴=4312AC CEACF CED ASA CF EDDE CD∆∆()2. 分析：本题从已知和图形上看好象比较简单，但一时又不知如何下手，那么在证明一条线段等于两条线段之和时，我们经常采用“截长补短”的手法。
“截长”即将长的线段截CB CE BCD ECD CD CD CBD CEDB EBAC B BAC E=∠=∠=⎧⎨⎪⎩⎪∴≅∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∆∆22又∠=∠+∠BAC ADE E∴∠=∠∴=∴==ADE E AD AEBC CE ，3. 证明：延长PM CQ AP BP BP CQ PBM ⊥∴∴∠=∠，// 又BM CM =，∴≅∴=∆∆BPM CRMPM RM∴QM 是Rt QPR ∆斜边上的中线AD BC AD AEBC AE AD⊥∴<∴=>，22()AB AC BCBC AB AC BC AD AB AC BC AD AB AC BC +>∴<++∴<++∴<++2414。
初中几何证明题经典题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．A P C DB A F G CE BO D D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1C B DA A 1F经典题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O（1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线EB及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．3、设P 是正方形ABCD 一边求证：PA ＝PF ．4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF B、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．经典题（四）1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，求：∠APB 的度数．2、设P是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC·4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．经典难题（五）1、 设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ， 求证：≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝300，∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．APCBACBPDEDCB AA CBPD经典题（一）1.如下图做GH⊥AB,连接EO。
几何证明练习题带答案一、选择题1. 已知三角形ABC中，AB=AC，点D在BC上，且BD=DC。
求证：∠BAD=∠CAD。
A. 利用等腰三角形性质B. 利用角平分线定理C. 利用等边三角形性质D. 利用相似三角形性质答案：B2. 已知线段AB和CD平行，且M是线段AB上的一点，N是线段CD上的一点，MN与AB、CD不平行。
求证：∠AMN≠∠CNM。
A. 利用平行线性质B. 利用内错角定理C. 利用同位角定理D. 利用补角定理答案：A二、填空题1. 在三角形ABC中，若∠A=90°，AB=AC，那么∠B=∠C=______。
答案：45°2. 已知三角形ABC中，AB=5，AC=7，BC=6，根据勾股定理可知这是一个______三角形。
答案：直角三、简答题1. 如何证明三角形内角和定理？答案：在三角形ABC中，延长BC至点D，根据外角定理，∠ACD=∠A+∠B。
又因为∠ACD+∠C=180°，所以∠A+∠B+∠C=180°，证明了三角形内角和为180°。
2. 如何证明圆内接四边形的对角互补？答案：设圆内接四边形ABCD，连接对角线AC和BD，由于AC和BD 都是圆的直径，根据圆周角定理，∠A+∠C=90°，∠B+∠D=90°。
因此，对角互补。
四、证明题1. 已知三角形ABC中，AB=AC，点D在BC上，且BD=DC。
证明∠BAD=∠CAD。
证明：由于AB=AC，根据等腰三角形性质，∠ABC=∠ACB。
又因为BD=DC，根据等边三角形性质，∠ABD=∠ACD。
因此，∠BAD=∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACD=∠CAD。
2. 已知圆O中，弦AB和CD相交于点P，PA=PB，PC=PD。
证明：OP垂直于AB和CD。
证明：由于PA=PB，根据圆周角定理，∠APB=∠PBA。
同理，∠CPD=∠PDC。
因为∠APB+∠CPD=180°，所以∠OPB+∠OPD=90°。
几何证明练习题带答案几何证明是数学中的一个重要部分，它要求学生运用逻辑推理和几何知识来证明几何命题的正确性。
以下是一些几何证明的练习题，以及相应的答案。
# 练习题1题目：证明在一个三角形中，大边对大角。
答案：设三角形ABC中，AB > AC。
我们需要证明∠B > ∠C。
证明：1. 延长BA和AC，使它们相交于点D。
2. 根据三角形的外角性质，我们知道∠BAC = ∠BAD + ∠DAC。
3. 由于AB > AC，根据三角形的边角关系，我们知道BD > CD。
4. 根据边角边(SAS)相似准则，三角形ABD ∽ 三角形ACD。
5. 相似三角形对应角相等，所以∠BAD = ∠CAD。
6. 因此，∠BAC = ∠BAD + ∠DAC > ∠DAC，即∠B > ∠C。
# 练习题2题目：证明在一个圆中，等弦所对的圆心角相等。
答案：设圆O中有两弦AB和CD，且AB = CD。
我们需要证明∠AOB = ∠COD。
证明：1. 根据圆的性质，我们知道OA = OB = OC = OD。
2. 由于AB = CD，根据SSS（边边边）相似准则，三角形OAB ∽ 三角形OCD。
3. 相似三角形对应角相等，所以∠AOB = ∠COD。
# 练习题3题目：证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
答案：设直角三角形ABC中，∠C = 90°，D为斜边AB的中点。
我们需要证明CD = 1/2 AB。
证明：1. 连接CD。
2. 由于D为AB的中点，根据中点定理，我们知道CD = 1/2 AB。
3. 根据直角三角形斜边上的中线性质，我们知道CD垂直于AB，并且CD是AB的一半。
# 练习题4题目：证明平行四边形的对角线互相平分。
答案：设平行四边形ABCD，对角线AC和BD相交于点E。
我们需要证明E是AC和BD的中点。
证明：1. 由于ABCD是平行四边形，我们知道AB || CD且AB = CD。
初一几何证明题答案图片发不上来，看参考资料里的1 如图，AB⊥BC于B，EF⊥AC于G，DF⊥AC于D，BC=DF。
求证：AC=EF。
2 已知AC平分角BAD，CE垂直AB于E， CF垂直AD于F，且BC=CD (1)求证：△BCE全等△DCF3.如图所示，过三角形ABC的顶点A分别作两底角角B和角C的平分线的垂线，AD垂直于BD于D，AE垂直于CE于E，求证：ED||BC.4.已知，如图，PB、PC分别是△ABC的外角平分线，且相交于点P。
求证：点P在∠A的平分线上。
回答人的补充 xx-07-19 00:10 1.在三角形ABC中,角ABC为60度,AD、CE分别平分角BAC 角ACB,试猜想,AC、AE、CD有怎么样的数量关系2.把等边三角形每边三等分,经其向外长出一个边长为原来三分之一的小等边三角形,称为一次生长,如生长三次,得到的多边形面积是原三角形面积的几倍求证：同一三角形的重心、垂心、三条边的中垂线的交点三点共线。
(这条线叫欧拉线) 求证：同一三角形的三边的中点、三垂线的垂足、各顶点到垂心的线段的中点这9点共圆。
~~ (这个圆叫九点圆)3.证明：对于任意三角形，一定存在两边a、b，满足a比b大于等于1，小于2分之根5加14.已知△ABC的三条高交于垂心O，其中AB=a，AC=b,∠BAC=α。
请用只含a、b、α三个字母的式子表示AO的长(三个字母不一定全部用完，但一定不能用其它字母)。
5.设所求直线为y=kx+b (k,b为常数.k不等于0). 则其必过x-y+2=0与x+2y-1=0的交点(-1,1).所以b=k+1,即所求直线为y=kx+k+1 (1) 过直线x-y+2=0与Y轴的交点(0,2)且垂直于x-y+2=0的直线为y=-x+2 (2). 直线(2)与直线(1)的交点为A,直线(2)与直线x+2y-1=0的交点为B,则AB的中点为(0,2),由线段中点公式可求k.6. 在三角形ABC中,角ABC=60,点P是三角ABC内的一点,使得角APB=角BPC=角CPA,且PA=8 PC =6则PB= 2 P是矩形ABCD内一点，PA=3 PB= 4 PC=5 则PD= 3 三角形ABC是等腰直角三角形，角C=90 O 是三角形内一点，O点到三角形各边的距离都等于1，将三角形ABC 饶点O顺时针旋转45度得三角形A1B1C1 两三角形的公共部分为多边形KLMN， 1)证明：三角形AKL 三角形BMN 三角形C 都是等腰直角三角形 2)求三角形ABC与三角形A1B1C1公共部分的面积。
几何证明一1.如图，点E是BC中点，∠BAE=∠CDE，求证：AB=CD2.如图，在△ABC中，CD=AB，∠BAD=∠BDA，AE是BD边的中线.求证：AC=2AE3.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE，DE交BC于点P.探究PE与PD的数量关系.4.已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．ANFECDMB5. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，G 为BC 的中点，EG ∥AD 交CA 延长线于E.求证：BF=CE= 1/2(AB+AC)6. 如图，两个正方形ABDE 和ACGF ，点P 为BC 的中点，连接PA 交EF 于点Q.探究AP 与EF 的关系7. 已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形.A P C DB参考答案：5.延长FG到H，使GH=FG连接CH。
则△BGF≌△HGC∴BF=CH..........①∠BFG=∠BAD=∠DAC=∠E∴在△HEC中EC=CH......②由①②得BF=EC6.延长AP到点M。
使PM=AM。
连接BM、CM则四边形ABMC是平行四边形∴BM=AC=AF，∠BAC+∠ABM=180°∵∠BAE=∠CAF=90°∴∠EAF+∠BAC=180°∴∠EAF=∠ABM∵AB=AE∴△AEF≌△BAM（SAS）∴EF=AM=2AP∴∠AOE＝180º-﹙∠FEA+∠EAQ﹚＝180º-﹙∠ABM+∠EAQ﹚∵∠EAB=90°∴∠ABM+∠EAQ=90°∴∠AQE＝180°-90°=90°∴∠AQE＝90º,∴CD⊥EF7.以AD为边在正方形上方做一个等边三角形ADE，连接PE ∵∠PAD＝∠PDA＝15°∴AP=DP∵AE=DE，PE=PE∴△APE≌△DPE∴∠AEP=∠DEP=1/2∠AED=30°∠EAP=∠EDP=60°+15°=75°∴∠APE=∠DPE=75°∴∠EAP=∠EPA=75°∴AE=PE=AB=BC在△AEP和△ABP中∠EAP=∠BAP=75°(∠BAP=90°-∠DAP=75°)AP=AP，AB=AE∴△AEP≌△ABP∴PE=PB=BC同理PC=PE=BC∴PB=PC=BC∴△PBC是等边三角形。
初一典型几何证明题1、已知： AB=4，AC=2，D是BC中点， AD是整数，求AD解：延长A D到 E,使AD=DE∵D是 BC中点A ∴BD=DC在△ ACD和△ BDE中AD=DE∠BDE=∠ADC B CDBD=DC∴△ACD≌△ BDE∴AC=BE=2∵在△ ABE中AB-BE＜AE＜AB+BE∵AB=4即 4-2＜2AD＜4+21＜AD＜3∴AD=22、已知： BC=DE，∠B=∠E，∠ C=∠D，F 是 CD中点，求证：∠1=∠2A21B EC F D证明：连接BF和 EF∵BC=ED,CF=DF∠, BCF=∠EDF∴△BCF≌△ EDF 第1页共22 页∴BF=EF,∠CBF=∠DEFB E连接在△ BEF中,BF=EF∴∠EBF=∠BEF。
∵∠ABC=∠AED。
∴∠ABE=∠AEB。
∴AB=AE。
在△ ABF和△ AEF中AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴△ABF≌△ AEF。
∴∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
3、已知：∠1=∠2，CD=D，E EF证明：连接EF ∵AB∥CD共22 页第9页∴∠B=∠C∴△BEM≌△CFM（ SAS）∵M是 BC中点∴CF=BE∴BM=CM在△BEM和△CFM中BE=CF∠B=∠CBM=CM7. 已知：如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F 分别是DC、BC的中点，求证：AE＝AF。
证：连接AC DE=BF∵在△ ADC和△ABC中∴△ADE≌△ ABF（SAS）AD=AB ∴AE=AFDC=BCAC=AC∴△ADC≌△ ABC（SSS）D∴∠B=∠ DE∵E、F 分别是DC、BC的中点AC又∵ BC＝DCF∴DE=BFB∵在△ ADE和△ABF中AD=AB∠D=∠B8. 如图，在四边形ABCD中， E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证 : ∠5=∠6．证明：∵在△ADC和△ ABC中∴△DEC≌△ BEC（SAS）∠BAC=∠DAC ∴∠DEC=∠BEC∠BCA=∠DCAAC=AC∴△ADC≌△ ABC（AAS）D∵AB=AD，BC=CD在△ DEC与△ BEC中A12E5634CCE=CEB∠BCA=∠DCABC=CD9. 如图，在△ABC中， AD为∠ BAC的平分线，DE⊥AB于 E，DF⊥AC于 F。
初一典型几何证明题1、已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 ∴AD=22、 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠23、4、 证明：连接BF 和EF ∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴△BCF ≌△EDFBC DF ADBC∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE在△BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。
∵ ∠ABC=∠AED 。
∴ ∠ABE=∠AEB 。
∴ AB=AE 。
在△ABF 和△AEF 中 AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴△ABF ≌△AEF 。
∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
已知：∠1=∠2，CD=DE ，EFP 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB<AC-ABBA CDF2 1 EA在AC 上取点E ， 使AE ＝AB 。
∵AE ＝AB AP ＝AP ∠EAP ＝∠BAE ，∴△EAP ≌△BAP ∴PE ＝PB 。
PC ＜EC ＋PE∴PC ＜（AC －AE ）＋PB ∴PC －PB ＜AC －AB 。
8. 已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BE 证明：在AC 上取一点D ，使得角DBC=角C ∵∠ABC=3∠C∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C ； ∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C; ∴AB=AD∴AC – AB =AC-AD=CD=BD在等腰三角形ABD 中，AE 是角BAD 的角平分线， ∴AE 垂直BD∵BE ⊥AE∴点E 一定在直线BD 上，在等腰三角形ABD 中，AB=AD ，AE 垂直BD ∴点E 也是BD 的中点 ∴BD=2BE ∵BD=CD=AC-AB ∴AC-AB=2BE9. 如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ．P DACB解：延长AD 至BC于点E,∵BD=DC ∴△BDC是等腰三角形∴∠DBC=∠DCB又∵∠1=∠2 ∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2即∠ABC=∠ACB∴△ABC是等腰三角形∴AB=AC在△ABD和△ACD中AB=AC∠1=∠2BD=DC∴△ABD和△ACD是全等三角形（边角边）∴∠BAD=∠CAD∴AE是△ABC的中垂线∴AE⊥BC∴AD⊥BC10. 如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．求证：∠OAB=∠OBA证明：∵OM平分∠POQ∴∠POM＝∠QOM∵MA⊥OP，MB⊥OQ∴∠MAO ＝∠MBO ＝90 ∵OM ＝OM∴△AOM ≌△BOM （AAS ） ∴OA ＝OB ∵ON ＝ON∴△AON ≌△BON （SAS ） ∴∠OAB=∠OBA ，∠ONA=∠ONB ∵∠ONA+∠ONB ＝180 ∴∠ONA ＝∠ONB ＝90 ∴OM ⊥AB11. 如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ． 证明：在AB 上取F ，使AF ＝AD ，连接EF ∵AE 平分∠DAB ∴∠DAE=∠FAE 在⊿ADE 和⊿AFE 中AD ＝AF ∠DAE=∠FAE AE = AE∴⊿ADE ≌⊿AFE （SAS ） ∴∠ADE=∠AFE∵AB 如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ． （1）求证：MB =MD ，ME =MF（2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立若成立PEDCBA{{请给予证明；若不成立请说明理由．(1)证：∵DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ， ∴∠DEC=∠BFA=90°，DE ∥BF ， 在Rt △DEC 和Rt △BFA 中， ∵AF=CE ，AB=CD ， ∴Rt △DEC ≌Rt △BFA （HL ） ∴DE=BF ．在△DEM 和△BFM 中 ∠DEM=∠BFM ∠DME=∠BMF DE=BF∴△DEM ≌△BFM(AAS) ∴MB=MD ，ME=MF(2) 证：∵DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ， ∴∠DEC=∠BFA=90°，DE ∥BF ， 在Rt △DEC 和Rt △BFA 中， ∵AF=CE ，AB=CD ， ∴Rt △DEC ≌Rt △BFA （HL ） ∴DE=BF ．在△DEM 和△BFM 中 ∠DEM=∠BFM ∠DME=∠BMF DE=BF{{∴△DEM≌△BFM(AAS)∴MB=MD，ME=MF13如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．证：∵∠CEB=∠CAB=90°∠ADB=∠CDE在△ABD中，∠ABD = 180°-∠CAB-∠ADB 在△CED中，∠DCE = 180°-∠CEB-∠CDE ∴∠ABD =∠DCE在△ABD和△ACF中∠DAB=∠CAFAB=AC∠ABD =∠DCF∴△ABD≌△ACF(ASA)∴BD=CF∵BD是∠ABC的平分线∴∠FBE =∠CBE在△FBE和△CBE中∠FBE =∠CBEBE=BE∠BEF =∠BEC∴△FBE≌△CBE(ASA)∴CE=FE CF=2CE∴BD=2CEFEDC BA{ {14. 如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。
![[必刷题]2024七年级数学下册几何证明专项专题训练(含答案)](https://uimg.taocdn.com/e2aed845c4da50e2524de518964bcf84b8d52d05.webp)
[必刷题]2024七年级数学下册几何证明专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 在下列几何图形中，哪一个图形可以通过旋转90度后与自身重合？（）A. 矩形B. 等边三角形C. 正方形D. 梯形2. 下列哪个条件可以证明两个三角形全等？（）A. 两边和其中一边的对角相等B. 两角和其中一角的对边相等C. 两边和它们的夹角相等D. 两角和其中一边相等3. 在直角坐标系中，点A(2,3)关于原点对称的点是（）A. (2,3)B. (2,3)C. (2,3)D. (3,2)4. 下列哪个条件可以证明两个角相等？（）A. 两角的度数相等B. 两角的对边相等C. 两角的邻边相等D. 两角的余角相等5. 若一个等腰三角形的底边长为10cm，腰长为13cm，则该三角形的周长为（）A. 32cmB. 42cmC. 46cmD. 52cm6. 在平行四边形ABCD中，若AB=6cm，BC=8cm，则对角线AC的取值范围是（）A. 2cm < AC < 14cmB. 2cm < AC < 6cmC. 2cm < AC < 8cmD. 6cm < AC < 14cm7. 下列哪个条件可以证明两个平行四边形全等？（）A. 一组对边平行且相等B. 两组对边平行C. 一组对边平行，另一组对边相等D. 一组对边平行且相等，另一组对边也相等8. 在三角形ABC中，若AB=AC，∠B=60°，则三角形ABC的周角为（）A. 120°B. 180°C. 240°D. 360°9. 下列哪个图形是轴对称图形？（）A. 等腰梯形B. 直角梯形C. 等腰三角形D. 一般四边形10. 若一个正方形的对角线长为10cm，则该正方形的面积是（）A. 50cm²B. 100cm²C. 200cm²D. 500cm²二、判断题：1. 若两个三角形的两边和夹角分别相等，则这两个三角形全等。
初一上册几何证明题(精选多篇)第一篇：初一上册几何证明题初一上册几何证明题1.在三角形abc中，∠acb=90°，ac=bc，e是bc边上的一点，连接ae，过c作cf ⊥ae于f，过b作bd⊥bc交cf的延长线于d，试说明：ae=cd。
满意回答因为ae⊥cf,bd⊥bc所以∠afc=90°,∠dbc=90°又∠acb=90°，所以∠ace=∠dbc因为∠cae+∠aec=90°∠ecf+∠aec=90°所以∠cae=∠ecf又ac=bc所以△ace全等于△cbd(asa)所以ae=cd像这类题目，一般用全等较好做些2.如图所示，已知ad、bc相交于o，∠a=∠d，试说明∠c=∠b.解：证1：∠a=∠d=====>ab∥cd=====>∠c=∠b(内错角相等)证2：△abo内角和180=△cdo内角和180∠a=∠d∠aob=∠d0c∴∠c=∠b证明：显然有:∠aob=∠cod(两直线相交,对顶角相等)又∠a=∠d,且三角形三个内角的和等于180º∴一定有∠c=∠b.3.(1)d是三角形abc的bc边上的点且cd=ab，角adb=角bad，ae是三角形abd的中线，求证ac=2ae。
(2)在直角三角形abc中，角c=90度，bd是角b的平分线，交ac于d，ce垂直ab于e，交bd于o，过o作fg平行ab，交bc于f，交ac于g。
求证cd=ga。
延长ae至f，使ae=ef。
be=ed，对顶角。
证明abe全等于def。
=》ab=df，角b=角edf角adb=角bad=》ab=bd，cd=ab=》cd=df。
角ade=bad+b=adb+edf。
ad=ad=》三角形adf全等于adc=》ac=af=2ae。
题干中可能有笔误地方：第一题右边的e点应为c点，第二题求证的cd不可能等于ga，是否是求证cd=fa或cd=co。
七年级下册数学几何解析题以及练习题（附答案）宇文皓月9．(2011·扬州)如图，C 岛在A 岛的北偏东60°方向，在B 岛的北偏西45°方向，则从C 岛看A 、B 两岛的视角∠ACB ＝________.答案 105°解析 如图，∵(60°＋∠CAB )＋(45°＋∠ABC )＝180°，∴∠CAB ＋∠ABC ＝75°，在△ABC 中，得∠C ＝105°.12．如图所示，在△ABC 中，∠A ＝80°，∠B ＝30°，CD 平分∠ACB ，DE ∥AC .(1)求∠DEB 的度数；(2)求∠EDC 的度数．解 (1)在△ABC 中，∠A ＝80°，∠B ＝30°，∴∠ACB ＝180°－∠A －∠B ＝70°.∵DE ∥AC ，∴∠DEB ＝∠ACB ＝70°.(2)∵CD 平分∠ACB ，∴∠DCE ＝12∠ACB ＝35°. ∵∠DEB ＝∠DCE ＋∠EDC ，∴∠EDC ＝70°－35°＝35°.13．已知，如图，∠1＝∠2，CF ⊥AB 于F ，DE ⊥AB 于E ，求证：FG ∥BC .(请将证明弥补完整)证明 ∵CF ⊥AB ，DE ⊥AB (已知)，∴ED∥FC( )．∴∠1＝∠BCF( )．又∵∠1＝∠2(已知)，∴∠2＝∠BCF(等量代换)，∴FG∥BC( )．解在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行．14．如图，已知三角形ABC，求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.分析：通过画平行线，将∠A、∠B、∠C作等角代换，使各角之和恰为一平角，依辅助线分歧而得多种证法，如下：证法1：如图甲，延长BC到D，过C画CE∥BA.∵BA∥CE(作图所知)，∴∠B＝∠1，∠A＝∠2(两直线平行，同位角、内错角相等)．又∵∠BCD＝∠BCA＋∠2＋∠1＝180°(平角的定义)，∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°(等量代换)．如图乙，过BC上任一点F，画FH∥AC，FG∥AB，这种添加辅助线的方法能证明∠A＋∠B＋∠C＝180°吗？请你试一试．解∵FH∥AC，∴∠BHF＝∠A，∠1＝∠C.∵FG∥AB，∴∠BHF＝∠2，∠3＝∠B，∴∠2＝∠A.∵∠BFC＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＝180°，即∠A＋∠B＋∠C＝180°.15．(2010·玉溪)平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．(1)如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B＝∠BOD.又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD＋∠D，得∠BPD＝∠B－∠D.将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；(2)在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？(不需证明)(3)根据(2)的结论求图d中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．解(1)不成立，结论是∠BPD＝∠B＋∠D.延长BP交CD于点E，∵AB∥CD，∴∠B＝∠BED.又∠BPD＝∠BED＋∠D，∴∠BPD＝∠B＋∠D.(2)结论：∠BPD＝∠BQD＋∠B＋∠D.(3)设AC与BF交于点G.由(2)的结论得：∠AGB＝∠A＋∠B＋∠E.又∵∠AGB ＝∠CGF ，∠CGF ＋∠C ＋∠D ＋∠F ＝360°，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝360°. 14．把一副经常使用的三角板如图所示拼在一起，那么图中∠ADE 是度． 2．如图，在△ABC 和△ABD 中，现给出如下三个论断：①AD ＝BC ；②∠C ＝∠D ；③∠1＝∠2。
几何证明练习题及答案题目1：已知三角形ABC中，AB=AC，点D在BC上，且AD垂直于BC。
证明：三角形ABD与三角形ACD全等。
答案：由于AB=AC，所以三角形ABC是等腰三角形。
根据等腰三角形的性质，角BAD等于角CAD。
又因为AD垂直于BC，所以角ADB和角ADC都是直角。
因此，我们有：- AD=AD（公共边）- ∠BAD=∠CAD（等腰三角形的性质）- ∠ADB=∠ADC=90°（直角）根据SAS（边角边）全等条件，三角形ABD与三角形ACD全等。
题目2：已知三角形ABC中，AB=AC，点E在AB上，点F在AC上，且BE=CF。
证明：三角形AEF是等腰三角形。
答案：由于AB=AC，三角形ABC是等腰三角形。
根据等腰三角形的性质，角ABC等于角ACB。
又因为BE=CF，我们可以得出：- AB=AC（已知）- BE=CF（已知）- ∠ABC=∠ACB（等腰三角形的性质）根据SSS（边边边）全等条件，三角形BEC与三角形CFB全等。
因此，角BEC等于角CFB。
由于角AEF是三角形AEF的外角，根据外角定理，角AEF等于角BEC加角CFB。
因此：- ∠AEF=∠BEC+∠CFB- ∠AEF=2∠BEC（因为∠BEC=∠CFB）由于角AEF是三角形AEF的两个相等的角，所以三角形AEF是等腰三角形。
题目3：已知四边形ABCD中，AB平行于CD，BC平行于AD，且AB=CD。
证明：四边形ABCD是平行四边形。
答案：由于AB平行于CD且BC平行于AD，根据平行四边形的定义，我们可以推断出AD也平行于BC。
因此，四边形ABCD的对边都是平行的。
又因为AB=CD，根据平行四边形的判定条件，我们可以得出四边形ABCD是平行四边形。
题目4：已知三角形ABC中，角A等于角C，点D在BC上，且AD垂直于BC。
证明：三角形ABD与三角形CBD是等腰三角形。
答案：由于角A等于角C，根据三角形内角和定理，我们可以得出角A+角C+角B=180°。
几何证明练习题带答案一、选择题1. 已知三角形ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，若∠BAC=80°，则∠ADB的度数为______。
A. 80°B. 50°C. 60°D. 40°2. 在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F是CD的中点，连接EF，若AB=10，BC=6，则EF的长度为______。
A. 8B. 6C. 5D. 33. 已知在三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，若AB=6，则三角形ABC的面积为______。
A. 9B. 18C. 12D. 15二、填空题1. 在三角形ABC中，若∠A=60°，AB=AC，且BC=8，则三角形ABC的面积为______。
2. 已知在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，则AC的长度为______。
三、证明题1. 证明：在等腰三角形ABC中，若AB=AC，点D在BC上，且BD=CD，则AD平分∠BAC。
2. 证明：若四边形ABCD为平行四边形，E是AB的中点，F是CD的中点，连接EF，则EF平分对角线AC。
四、解答题1. 在三角形ABC中，AB=AC，点D在BC上，且BD=CD，求证：三角形ABD与三角形ACD全等。
2. 在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F是CD的中点，连接EF，求证：EF是平行四边形ABCD的对角线AC的中位线。
答案：一、选择题1. C2. A3. A二、填空题1. 16√32. 6√3三、证明题1. 证明：在等腰三角形ABC中，AB=AC，根据等腰三角形的性质，我们知道∠ABD=∠ACD。
又因为BD=CD，根据SAS（边-角-边）相似准则，我们可以证明三角形ABD与三角形ACD全等。
由于全等三角形的对应角相等，因此AD平分∠BAC。
2. 证明：因为ABCD是平行四边形，所以AB∥CD。
根据平行线的性质，我们知道∠AEB=∠DFC。
几何证明题专项练习1直接根据图示填空:(1) Za= ___________ ( 2)Za= _____________ ( 3)Za= _____________2. 填空完成推理过程：如图，••• AB// EF ( 已知 )•••/ A +=180(••• DE// BC ( 已知)•••/ DEF _______ ( Z ADE= ______ (3. 已知：如图，Z ADE=Z B,Z DEC= 115° .求Z C 的度数.4. 已知：如图，AD// BC, Z D = 100°, AC 平分Z BCD求Z DAC 的度数.))2.,Z 3= ______ , Z 4= ______5.4.(4)( 5) (6)FB D5. _________________________________ 已知AB// CD Z 1=70° 则Z 2= _________________________________& 如图，AE//CD,EF 分别交AE、CD 于M、N,/EME =MF,MG交CD于G,求/I的度数10. 如图，已知：仁2 , D =50，求B的度数。
11. 已知：如图，AB/CD,/B=4O°,/E=3O O,求/ D的度数12. 如图所示，/仁72 ° , / 2=72°，/3=60°，求/ 4的度数.13. 如图，AB//CD , AE交CD于点C, DE I AE,垂足为E,/ A=37°,14. A B//CD,EF 丄AB于点E,已知/ 1=600.求/ 2的度数.50° ,MG平分/E 求/D的度数.15.6.已知：如图4, AB// CD 直线EF分别交AB CD于点E、F,Z BEF的平分线与/ DEF的平分线相交于点P.求/ P的度数八7•直线AB、CD相交于O, OE 平分/ AOC / EOA / AOD=1 4,求/ EOB的度数.EF交CD于点F,13.L D15. 如图所示,把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，若/ EFG=50 ,求/ DEG的度数.个关系中任选一个加以说明17•如图,AB // CD ,19. 如图AE//CD,/ NCM = 90° / NCB = 30° CM 平分/ BCE ，求/ B 的大小. 20. 如图 5-24, AB 丄BD , CD 丄 MN ，垂足分别是 B 、D 点，/ FDC= / EBA .(1) 判断CD 与AB 的位置关系； (2) BE 与DE 平行吗？为什么？20.图 5-25BF // CE ,则/ B 与/ C 有什么关系？请说明理由./ BDC 的度数.18.N图 5-24 A21. 如图5-25，/ 1+ / 2=180 ° / DAE= / BCF , DA 平分/ BDF .(1)AE与FC会平行吗？说明理由.(2)AD与BC的位置关系如何？为什么？(3)BC平分/ DBE吗？为什么.22. 如图5-28,已知：E 、F 分别是 AB 和CD 上的点，DE 、AF 分别交BC 于G 、H , A= D ,2,求证:0 0 023 如图，CD 是/ ACB 的平分线，/ EDC= 25，/ DCE= 25 ,/ B= 7°证：DE//BC ②求/ BDC 的度数。
初中几何证明题经典题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．证明：过点G 作GH ⊥AB 于H ，连接OE ∵EG ⊥CO ，EF ⊥AB∴∠EGO=90°，∠EFO=90° ∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E 、G 、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO ∽△FHG ∴FG EO =HGGO∵GH ⊥AB ，CD ⊥AB ∴GH ∥CD∴CD COHG GO =∴CDCO FG EO = ∵EO=CO ∴CD=GF2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内部的一点，∠PAD ＝∠PDA ＝15°。
求证：△PBC 是正三角形．（初二） 证明：作正三角形ADM ，连接MP ∵∠MAD=60°，∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°，∠PAD=15°∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA ，AP=AP ∴△MAP ≌△BAP∴∠BPA=∠MPA ，MP=BP 同理∠CPD=∠MPD ，MP=CP ∵∠PAD ＝∠PDA ＝15°∴PA=PD ，∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD∴△BAP ≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD∵∠BPA=∠MPA ，∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75°∴∠BPC=360°-75°×4=60°∵MP=BP ，MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形3、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ．证明:连接AC ，取AC 的中点G,连接NG 、MG ∵CN=DN ，CG=DG ∴GN ∥AD ，GN=21AD ∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM ，AG=CG ∴GM ∥BC ，GM=21BC ∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F经典题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 证明：（1）延长AD 交圆于F ，连接BF ，过点O 作OG ⊥AD 于G ∵OG ⊥AF ∴AG=FG ∵AB⌒ =AB ⌒ ∴∠F=∠ACB又AD ⊥BC ，BE ⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90° ∠ACB+∠DBH=90° ∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD∴BH=BF 又AD ⊥BC ∴DH=DF∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH ）=2GD 又AD ⊥BC ，OM ⊥BC ，OG ⊥AD ∴四边形OMDG 是矩形 ∴OM=GD ∴AH=2OM （2）连接OB 、OC∵∠BAC=60∴∠BOC=120° ∵OB=OC ，OM ⊥BC ∴∠BOM=21∠BOC=60°∴∠OBM=30° ∴BO=2OM由（1）知AH=2OM ∴AH=BO=AO2、设MN 是圆O 外一条直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条割线交圆O 于B 、C 及D 、E ，连接CD 并延长交MN 于Q ，连接EB 并延长交MN 于P. 求证：AP ＝AQ ．证明：作点E 关于AG 的对称点F ，连接AF 、CF 、QF ∵AG ⊥PQ ∴∠PAG=∠QAG=90°又∠GAE=∠GAF ∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF 即∠PAE=∠QAF∵E 、F 、C 、D 四点共圆 ∴∠AEF+∠FCQ=180° ∵EF ⊥AG ，PQ ⊥AG ∴EF ∥PQ∴∠PAF=∠AFE ∵AF=AE∴∠AFE=∠AEF ∴∠AEF=∠PAF ∵∠PAF+∠QAF=180° ∴∠FCQ=∠QAF ∴F 、C 、A 、Q 四点共圆 ∴∠AFQ=∠ACQ 又∠AEP=∠ACQ ∴∠AFQ=∠AEP3、设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）证明：作OF ⊥CD 于F ，OG ⊥BE 于G ，连接OP 、OQ 、OA 、AF 、AG ∵C 、D 、B 、E 四点共圆 ∴∠B=∠D ，∠E=∠C ∴△ABE ∽△ADC ∴DFBGFD 2BG 2DC BE AD AB === ∴△ABG ∽△ADF ∴∠AGB=∠AFD ∴∠AGE=∠AFC ∵AM=AN ， ∴OA ⊥MN 又OG ⊥BE ，∴∠OAQ+∠OGQ=180° ∴O 、A 、Q 、E 四点共圆 ∴∠AOQ=∠AGE 同理∠AOP=∠AFC ∴∠AOQ=∠AOP又∠OAQ=∠OAP=90°，OA=OA ∴△OAQ ≌△OAP在△AEP 和△AFQ 中 ∠AFQ=∠AEP AF=AE ∠QAF=∠PAE ∴△AEP ≌△AFQ ∴AP=AQ4、如图,分别以△ABC 的AB 和AC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ABFG 和正方形ACDE ，点O 是DF 的中点，OP ⊥BC求证：BC=2OP （初二）证明：分别过F 、A 、D 作直线BC 的垂线，垂足分别是L 、M 、N ∵OF=OD ，DN ∥OP ∥FL ∴PN=PL∴OP 是梯形DFLN 的中位线 ∴DN+FL=2OP ∵ABFG 是正方形 ∴∠ABM+∠FBL=90° 又∠BFL+∠FBL=90° ∴∠ABM=∠BFL又∠FLB=∠BMA=90°，BF=AB ∴△BFL ≌△ABM ∴FL=BM同理△AMC ≌△CND ∴CM=DN∴BM+CN=FL+DN ∴BC=FL+DN=2OP经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．（初二）证明：连接BD 交AC 于O 。
