人教A版(2019) 高中数学必修一3.3幂函数 同步练习(含答案)

高中数学人教A版（2019）必修一第三章第三节幂函数的性质及图像一、单选题(共11题；共55分)1．（5分）幂函数y=x23的大致图像是（）A．B．C．D．2．（5分）如图是幂函数y=x n的部分图像，已知n取12,2,−2,−12这四个值，则于曲线C1,C2,C3,C4相对应的n依次为（）A．2,12,−12,−2B．−2,−12,12,2C．−12,−2,2,12D．2,12,−2,−123．（5分）若幂函数f(x)=(m2+m−5)x m2−2m−3的图像不经过原点，则m的值为（）A．2B．-3C．3D．-3或24．（5分）如图的曲线是幂函数y=x n在第一象限内的图像.已知n分别取±2，±12四个值，与曲线c1、c2、c3、c4相应的n依次为（）A．2，12，−12，−2B．2，12，−2，−12C．−12，−2，2，12D．−2，−12，12，25．（5分）下图给出4个幂函数的图象，则图像与函数的大致对应是（）A．①y=x13，②y=x2，③y=x12，④y=x−1B．①y=x3，②y=x2，③y=x12，④y=x−1C．①y=x2，②y=x3，③y=x12，④y=x−1D．①y=x13，②y=x12，③y=x2，④y=x−16．（5分）函数y=x53的图象大致是()A．B．C．D．7．（5分）在下列四个图形中，y＝x−12的图像大致是()A．B．C．D．8．（5分）幂函数y=f(x)的图象经过点(8,2√2)，则f(x)的图象是（）A．B．C．D．9．（5分）函数f(x)=x−12的大致图象是()A．B．C．D．10．（5分）函数y=x23的图象是（）A．B．C．D．11．（5分）函数y＝x a，y＝x b，y＝x c的图像如图所示，则实数a、b、c的大小关系为()A．c<b<a B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 二、多选题(共2题；共10分)12．（5分）若函数f(x)=(3m2−10m+4)x m是幂函数，则f(x)一定（）A．是偶函数B．是奇函数C．在x∈(−∞，0)上单调递减D．在x∈(−∞，0)上单调递增13．（5分）已知幂函数y=xα的图像如图所示，则a值可能为（）A．13B．12C．15D．3三、填空题(共6题；共35分)14．（5分）已知幂函数f(x)=(m2−2m−2)x m2−2在(0，+∞)为减函数，则f(2)=. 15．（5分）若幂函数y=(m2−m−1)x m为偶函数，则m= .16．（5分）已知幂函数f(x)=mx n的图像过点(14，116)，则mn=.17．（5分）函数y=(m2−m−1)x m2−2m−1是幂函数，且在x∈(0，+∞)上是减函数，则实数m=.18．（5分）已知幂函数f(x)=(m2+m−1)x m的图像如图所示，那么实数m的值是.19．（10分）已知幂函数y=x n的图像过点(3，19)，则n=，由此，请比较下列两个数的大小：(x2−2x+5)n(−3)n.四、解答题(共1题；共10分)20．（10分）已知幂函数f(x)=xα的图像过点(2,4).（1）（5分）求函数f(x)的解析式；（2）（5分）设函数ℎ(x)=2f(x)−kx−1在[−1,1]是单调函数，求实数k的取值范围.答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：∵23>0，∴幂函数在第一象限内的图象为增函数，排除A，C，D，故答案为：B．【分析】利用幂函数的单调性进行判断，可得答案。

3.3幂函数（精练）1．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数()f x 的图象经过点()8,4，则()f x 的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】设()f x x α=，因为()f x 的图象经过点()8,4，所以84α=，即3222α=，解得23α=，则()23f x x ==，因为()()f x f x -===，所以()f x 为偶函数，排除B 、D ，因为()f x 的定义域为R ，排除A ．因为()23f x x =在[)0,∞+内单调递增，结合偶函数可得()f x 在(],0-∞内单调递减，故C 满足，故选：C.2．（2023·山东聊城）已知421333111,,2325a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．c<a<bC ．a b c>>D ．b<c<a【答案】B【解析】由已知，421333111,,2325a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简222333111,,435a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为幂函数23y x =在()0,+∞上单调递增，而15<14<13，所以222333111543<<⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.3．（2022秋·辽宁葫芦岛·高一校联考期中）设 1.2111y =， 1.428y =，0.63130y =，则（）A ．231y y y >>B ．312y y y >>C ．132y y y >>D ．321y y y >>【答案】D【解析】由题意可知，()0.61.220.611111121y ===，()()1.40.61.43 4.270.628222128y =====，因为0.6y x =在()0,∞+上是增函数，130128121>>，所以321y y y >>.故选：D.4．（2023·福建南平）下列比较大小中正确的是（）A ．0.50.53223⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．112335--⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．3377(2.1)(2.2)--<-D ．44331123⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】对于A 选项，因为0.5y x =在[0,)+∞上单调递增，所以0.50.523()()32<，故A 错误，对于B 选项，因为1y x -=在(,0)-∞上单调递减，所以1123()()35--->-，故B 错误，对于C 选项，37y x =为奇函数，且在[0,)+∞上单调递增，所以37y x =在(,0)-∞上单调递增，因为333777115(2.2)511--⎭==⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎝⎭，又()337752.111⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，所以3377(2.1)(2.2)--<-，故C 正确，对于D 选项，43y x =在[0,)+∞上是递增函数，又443311()()22-=，所以443311()()23>，所以443311()()23->，故D 错误.故选：C.5．（2022秋·河南·高一统考期中）()3a π=-，27b =-，()05c =-，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．<<c a bD ．c b a<<【答案】A【解析】 3()f x x =，在R 上单调递增，而()(3)a f b f π=-=-，，根据单调递增的性质，得0a b <<，又1c =，所以a b c <<.故选：A6（2022秋·福建泉州·高一校联考期中）下列比较大小正确的是（）A 12433332-->>B ．12433332-->>C ．12433332--->>D ．21433323--->>【答案】C2242333π---⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，21333--=又23y x -=在()0,∞+上单调递减，2π>，所以2223332π---<<，所以12433332-->>.故选：C7．（2023·江苏常州）下列幂函数中，既在区间()0,∞+上递减，又是奇函数的是（）．A ．12y x=B ．13y x =C ．23y x -=D ．13y x -=【答案】D【解析】对选项A ，12y x =在()0,∞+为增函数，故A 错误.对选项B ，13y x =在()0,∞+为增函数，故B 错误.对选项C ，23y x -=在()0,∞+为减函数，设()123321f x xx -⎛⎫== ⎪⎝⎭，定义域为{}|0x x ≠，()()()11332211f x f x x x ⎡⎤⎛⎫-===⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 为偶函数，故C 错误.对选项D ，13y x -=在()0,∞+为减函数，设()11331f x xx -⎛⎫== ⎪⎝⎭，定义域为{}|0x x ≠，()()113311f x f x x x ⎛⎫⎛⎫-==-=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，所以()f x 为奇函数，故D 正确.故选：D8．（2023春·江苏南京）幂函数2223()(1)m m f x m m x --=--在()0,∞+上是减函数，则实数m 值为（）A ．2B ．1-C ．2或1-D ．1【答案】A【解析】 幂函数2223()(1)mm f x m m x --=--，211m m ∴--=，解得2m =，或1m =-；又,()0x ∈+∞时()f x 为减函数，∴当2m =时，2233m m --=-，幂函数为3y x -=，满足题意；当1m =-时，2230m m --=，幂函数为0y x =，不满足题意；综上，2m =，故选：A ．9．（2022·高一单元测试）幂函数()()22231mm f x m m x+-=--在区间（0，+∞）上单调递增，且0a b +>，则()()f a f b +的值（）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断【答案】A【解析】幂函数()()22231m m f x m m x+-=--在区间（0，+∞）上单调递增，∴2211230m m m m ⎧--=⎨+-⎩＞，解得m ＝2，∴5()f x x =，∴()f x 在R 上为奇函数，由0a b +>，得a b >-，∵()f x 在R 上为单调增函数，∴()()()f a f b f b >-=-，∴()()0f a f b +>恒成立．故选：A ．10．（2023·浙江台州）（多选）关于幂函数(,y x R ααα=∈是常数），结论正确的是（）A ．幂函数的图象都经过原点()0,0B ．幂函数图象都经过点()1,1C ．幂函数图象有可能关于y 轴对称D ．幂函数图象不可能经过第四象限【答案】BCD【解析】对于A ：幂函数1y x -=不经过原点()0,0，A 错误对于B ：对于幂函数(,y x R ααα=∈是常数），当1x =时，1y =，经过点()1,1，B 正确；对于C ：幂函数2y x =的图像关于y 轴对称，C 正确；对于D ：幂函数图象不可能经过第四象限，D 正确.故选：BCD.11．（2023·全国·高一专题练习）（多选）已知幂函数()f x 的图象经过点(，则（）A ．()f x 的定义域为[)0,∞+B ．()f x 的值域为[)0,∞+C ．()f x 是偶函数D ．()f x 的单调增区间为[)0,∞+【答案】ABD【解析】设()()a f x x a =∈R ，则()22af ==12a =，则()12f x x ==，对于A 选项，对于函数()f x =0x ≥，则函数()f x 的定义域为[)0,∞+，A 对；对于B 选项，()0f x =≥，则函数()f x 的值域为[)0,∞+，B 对；对于C 选项，函数()f x =[)0,∞+，定义域不关于原点对称，所以，函数()f x 为非奇非偶函数，C 错；对于D 选项，()f x 的单调增区间为[)0,∞+，D 对.故选：ABD.12．（2023·宁夏银川）（多选）幂函数()()211m f x m m x --=+-，*N m ∈，则下列结论正确的是（）A ．1m =B ．函数()f x 是偶函数C ．()()23f f -<D ．函数()f x 的值域为()0,∞+【答案】ABD【解析】因为()()211m f x m m x --=+-是幂函数，所以211m m +-=，解得2m =-或1m =，又因为*N m ∈，故1m =，A 正确；则()2f x x -=，定义域为{|0}x x ≠，满足()2()()f x x f x --=-=，故()f x 是偶函数，B 正确；()2f x x -=为偶函数，在(0,)+∞上单调递减，故()()2(2)3f f f -=>，C 错误；函数()221f x x x -==的值域为()0,∞+，D 正确，故选：ABD13．（2022秋·广东惠州）（多选）已知函数()()21m mf x m x -=-为幂函数，则（）A ．函数()f x 为奇函数B ．函数()f x 在区间()0,∞+上单调递增C ．函数()f x 为偶函数D ．函数()f x 在区间()0,∞+上单调递减【答案】BC【解析】因为()()21mmf x m x -=-为幕函数，所以11m -=，即2m =，所以()2f x x =．函数()2f x x =的定义域为R ，()()()22f x x x f x -=-==，所以函数()f x 为偶函数，又函数()2f x x =在()0,∞+为增函数．故选：BC.14．（2023春·河北保定）（多选）若幂函数()()1f x m x α=-的图像经过点()8,2，则（）A ．3α=B ．2m =C ．函数()f x 的定义域为{}0x x ≠D ．函数()f x 的值域为R【答案】BD【解析】因为()()1f x m x α=-是幂函数,所以11m -=,解得2m =,故B 正确;所以()f x x α=,又因的图像经过点()8,2,所以3282αα==,所以31α=,解得13α=,故A 错误;因为()13f x x =,则其定义域,值域均为R ,故C 错误,D 正确.故选:BD.15．（2023春·山西忻州·高一统考开学考试）（多选）已知幂函数()()23mx m x f =-的图象过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是奇函数C ．()f x 在(),0∞-上为减函数D ．()f x 在()0,∞+上为减函数【答案】AD【解析】根据幂函数定义可得231m -=，解得2m =±；又因为图象过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以可得2m =-，即()221f x x x -==；易知函数()f x 的定义域为()()0,,0+∞⋃-∞，且满足()()()2211f x f x xx -===-，所以()f x 是偶函数，故A 正确，B 错误；由幂函数性质可得，当()0,x ∈+∞时，()2f x x -=为单调递减，再根据偶函数性质可得()f x 在(),0∞-上为增函数；故C 错误，D 正确.故选：AD16．（2022秋·安徽滁州·高一校考期中）（多选）对幂函数()32f x x -=，下列结论正确的是（）A ．()f x 的定义域是{}0,R x x x ≠∈B ．()f x 的值域是()0,∞+C ．()f x 的图象只在第一象限D ．()f x 在()0,∞+上递减【答案】BCD【解析】对幂函数()32f x x -=，()f x 的定义域是{}0,R x x x >∈，因此A 不正确;()f x 的值域是()0,∞+，B 正确;()f x 的图象只在第一象限，C 正确;()f x 在()0,∞+上递减，D 正确;故选:BCD ．17．（2023·四川成都）（多选）已知幂函数()f x 的图像经过点(9,3)，则（）A ．函数()f x 为增函数B ．函数()f x 为偶函数C ．当4x ≥时，()2f x ≥D ．当120x x >>时，1212()()f x f x x x -<-【答案】AC【解析】设幂函数()f x x α=，则()993f α==，解得12α=，所以()12f x x =，所以()f x 的定义域为[)0,∞+，()f x 在[)0,∞+上单调递增，故A 正确，因为()f x 的定义域不关于原点对称，所以函数()f x 不是偶函数，故B 错误，当4x ≥时，()()12442f x f ≥==，故C 正确，当120x x >>时，因为()f x 在[)0,∞+上单调递增，所以()()12f x f x >，即()()12120f x f x x x ->-，故D 错误．故选：AC.18．（2023·湖北）（多选）下列关于幂函数说法不正确的是（）A ．一定是单调函数B ．可能是非奇非偶函数C ．图像必过点(1,1)D ．图像不会位于第三象限【答案】AD【解析】幂函数的解析式为()ay x a =∈R .当2a =时，2y x =，此函数先单调递减再单调递增，则都是单调函数不成立，A 选项错误；当2a =时，2y x =，定义域为R ，此函数为偶函数，当12a =时，y =，定义域为{}0x x ≥，此函数为非奇非偶函数，所以可能是非奇非偶函数，B 选项正确；当1x =时，无论a 取何值，都有1y =，图像必过点()1,1，C 选项正确；当1a =时，y x =图像经过一三象限，D 选项错误.故选：AD.19．（2023·高一课时练习）有关幂函数的下列叙述中，错误的序号是______．①幂函数的图像关于原点对称或者关于y 轴对称；②两个幂函数的图像至多有两个交点；③图像不经过点()1,1-的幂函数，一定不关于y 轴对称；④如果两个幂函数有三个公共点，那么这两个函数一定相同．【答案】①②④【解析】①，12y x ==y 轴对称，所以①错误.②④，由3y x y x =⎧⎨=⎩解得11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩或00x y =⎧⎨=⎩，即幂函数y x =与3y x =有3个交点，所以②④错误.③，由于幂函数过点()1,1，所以图像不经过点()1,1-的幂函数，一定不关于y 轴对称，③正确.故答案为：①②④20．（2023·湖南娄底·高一统考期末）已知幂函数()()2133m f x m m x +=-+为偶函数.(1)求幂函数()f x 的解析式；(2)若函数()()1f xg x x+=，根据定义证明()g x 在区间()1,+∞上单调递增.【答案】(1)()2f x x =；(2)见解析.【解析】（1）因为()()2133m f x m m x +=-+是幂函数，所以2331m m -+=,解得1m =或2m =.当1m =时，()2f x x =为偶函数，满足题意；当2m =时，()3f x x =为奇函数，不满足题意.故()2f x x =.（2）由（1）得()2f x x =，故()()11f xg x x x x+==+.设211x x >>,则()()()12212121212112121111x x f x f x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫--=+--=-+=-- ⎪⎝⎭，因为211x x >>，所以210x x ->，121x x >，所以12110x x ->,所以()()210f x f x ->，即()()21f x f x >，故()g x 在区间()1,+∞上单调递增.21．（2023·天津宝坻·高一天津市宝坻区第一中学校考期末）已知幂函数()ag x x =的图象经过点(，函数()()241g x bf x x ⋅+=+为奇函数.(1)求幂函数()y g x =的解析式及实数b 的值；(2)判断函数()f x 在区间()1,1-上的单调性，并用的数单调性定义证明.【答案】(1)()g x =b =(2)()f x 在()1,1-上单调递增，证明见解析【解析】（1）由条件可知2a=12a =，即()12g x x ==，所以()42g =，因为()221x b f x x +=+是奇函数，所以()00f b ==，即()221xf x x =+，满足()()f x f x -=-是奇函数，所以0b =成立；（2）函数()f x 在区间()1,1-上单调递增，证明如下，由（1）可知()221xf x x =+，在区间()1,1-上任意取值12,x x ，且12x x <，()()()()()()211212122222121221221111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++，因为1211x x -<<<，所以210x x ->，1210x x -<，()()2212110x x ++>所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数在区间()1,1-上单调递增.22．（2023·福建厦门·高一厦门一中校考期中）已知幂函数()af x x =的图象经过点12A ⎛ ⎝.(1)求实数a 的值，并用定义法证明()f x 在区间()0,∞+内是减函数.(2)函数()g x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()g x f x =，求满足()1g m -≤m 的取值范围.【答案】(1)12α=-，证明见解析；(2)46,,55⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U 【解析】(1)由幂函数()af x x =的图象经过点12A ⎛ ⎝12α⎛⎫∴= ⎪⎝⎭12α=-证明：任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x<11222121()()f x f x x x ---=-==210x x >> ，120x x ∴-<0>21()()0f x f x ∴-<，即21()()f x f x <所以()f x 在区间()0,∞+内是减函数.(2)当0x ≥时，()()g x f x =，()f x 在区间[)0,∞+内是减函数，所以()g x 在区间()0,∞+内是减函数，在区间(),0∞-内是增函数，又15g ⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)g m -1(1)5g m g ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭函数()g x 是定义在R 上的偶函数，则115m -≥，解得：65m ≥或45m ≤所以实数m 的取值范围是46,,55⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U 23．（2023福建）已知幂函数()21()22m f x m m x +=-++为偶函数.（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()30h x f x ax a =++-≥在区间[2,2]-上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2()f x x =；（2）[7,2]-.【解析】（1）由()f x 为幂函数知2221m m -++=，得1m =或12m =-()f x 为偶函数∴当1m =时，2()f x x =，符合题意；当12m =-时，12()f x x =，不合题意，舍去所以2()f x x =（2）22()()324a a h x x a =+--+，令()h x 在[2,2]-上的最小值为()g a ①当22a -<-，即4a >时，()(2)730g a h a =-=-≥，所以73a ≤又4a >，所以a 不存在；②当222a -≤-≤，即44a -≤≤时，2()()3024a ag a h a =-=--+≥所以62a -≤≤.又44a -≤≤，所以42a -≤≤③当22a->，即4a <-时，()(2)70g a h a ==+≥所以7a ≥-.又4a <-所以74a -≤<-.综上可知，a 的取值范围为[7,2]-1．（2023广西）（多选）已知幂函数()nm f x x =（m ，*n ∈N ，m ，n 互质），下列关于()f x 的结论正确的是（）A ．m ，n 是奇数时，幂函数()f x 是奇函数B ．m 是偶数，n 是奇数时，幂函数()f x 是偶函数C ．m 是奇数，n 是偶数时，幂函数()f x 是偶函数D ．01mn<<时，幂函数()f x 在()0,∞+上是减函数E ．m ，n 是奇数时，幂函数()f x 的定义域为R 【答案】ACE【解析】()nm f x x ==当m ，n 是奇数时，幂函数()f x 是奇函数，故A 中的结论正确；当m 是偶数，n 是奇数，幂函数/()f x 在0x <时无意义，故B 中的结论错误当m 是奇数，n 是偶数时，幂函数()f x 是偶函数，故C 中的结论正确；01mn<<时，幂函数()f x 在()0,∞+上是增函数，故D 中的结论错误；当m ，n 是奇数时，幂函数()f x =R 上恒有意义，故E 中的结论正确.故选：ACE.2．（2022秋·福建福州·高一校联考期中）（多选）已知幂函数()()22922mm f x m m x+-=--对任意120x x ∞∈+，（，）且12x x ≠，都满足1212()()0f x f x x x ->-，若()()0f a f b +>，则（）A ．0a b +<B ．0a b +>C ．()()22f a f b a b f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭D ．()()22f a f b a b f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭【答案】BD【解析】因为()()22922mm f x m m x+-=--为幂函数，所以2221m m --=，解得1m =-或3m =，因为对任意120x x ∞∈+，（，）且12x x ≠，都满足1212()()0f x f x x x ->-，所以函数()f x 在(0,)+∞上递增，所以290m m +->当1m =-时，2(1)(1)990-+--=-<，不合题意，当3m =时，233930+-=>，所以3()f x x =因为33()()f x x x -=-=-，所以()f x 为奇函数，所以由()()0f a f b +>，得()()()f a f b f b >-=-，因为3()f x x =在R 上为增函数，所以a b >-，所以0a b +>，所以A 错误，B 正确，对于CD ，因为0a b +>，所以333()()2222f a f b a b a b a b f ++++⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33322344(33)8a b a a b ab b +-+++=33223()8a b a b ab +--=223[()()]8a ab b a b ---=23()()08a b a b -+=≥，所以()()22f a f b a b f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以C 错误，D 正确，故选：BD3．（2023·江苏·校联考模拟预测）（多选）若函数13()f x x =，且12x x <，则（）A ．()()()()12120x x f x f x -->B ．()()1122x f x x f x ->-C ．()()1221f x x f x x -<-D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭【答案】AC【解析】由幂函数的性质知，13()f x x =在R 上单调递增.因为12x x <,所以()()12f x f x <，即120x x -<，()()120f x f x -<，所以()()()()12120x x f x f x -->．故A 正确；令120,1x x ==，则0(0)1(1)0f f -=-=，故B 错误；令()13()g x f x x x x =+=+，则由函数单调性的性质知，13()f x x =在R 上单调递增，y x =在R 上单调递增，所以13()y f x x x x =+=+在R 上单调递增，因为12x x <，所以()12()g x g x <，即()()1122f x x f x x +<+，于是有()()1221f x x f x x -<-，故C 正确；令121,1x x =-=，则1202x x +=，所以因为(1)(1)(0)02f f f +-==，故D 错误．故选：AC.4．（2022秋·江西九江·高一统考期末）已知幂函数()()223mm f x x m --+=∈N 的图像关于直线0x =对称，且在()0,∞+上单调递减，则关于a 的不等式()()33132mma a --+<-的解集为______．【答案】()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】由()()223mm f x x m --+=∈N 在()0,∞+上单调递减得，2230m m --<，故13m -<<，又m +∈N ，故1m =或2，当1m =时，()4f x x =－，满足条件；当2m =时，()3f x x =－，图像不关于直线0x =对称，故1m =.因为函数13()g x x -=在()(),0,0,-∞+∞为减函数，故由不等式()()1133132a a --+<-得，10320132a a a a +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩或10320132a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩或10320a a +<⎧⎨->⎩.解得2332a <<或1a <-，综上：23132a a <-<<或.故答案为：()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭5．（2023·山西太原）已知函数()3f x x x =+．若对于任意[]2,4m ∈，不等式()()240f ma f m m-++恒成立，则实数a 的取值范围是___________．【答案】6a ≥【解析】因为()()()()()33f x x x x x f x -=-+-=-+=-，所以()3f x x x =+是R 上的奇函数，因为3,y x y x ==均是R 上的增函数，所以()3f x x x =+是R 上的增函数，因为()()240f ma f m m-++，所以()()24f m mf ma +--，即()()24f m mf ma +-所以24m m ma +-，由[]2,4m ∈知0m >，故41a m m++，令()41g m m m=++，[]2,4m ∈设1224m m <，()()1212121212444411g m g m m m m m m m m m ⎛⎫-=++-++=-+- ⎪⎝⎭()()()21121212121244m m m m m m m m m m m m ---=-+=由1224m m <，得120m m -<，124m m >，则()()120g m g m -<，即()()12g m g m <，所以()g m 在[]2,4上单调递增，当4m =时，()g m 取得最大值6，故6a ．故答案为：6a ．6．（2023春·四川广安·高一校考阶段练习）已知幂函数()()()215R m f x m m x m +=+-∈在()0,∞+上单调递增．(1)求m 的值及函数()f x 的解析式；(2)若函数()21g x ax a =++-在[]0,2上的最大值为3，求实数a 的值．【答案】(1)2m =，()3f x x =；(2)2a =±.【解析】（1）幂函数()()()215R m f x m m x m +=+-∈在()0,∞+上单调递增，故25110m m m ⎧+-=⎨+>⎩，解得2m =，故()3f x x =；（2）由（1）知：()3f x x =，所以()22121g x ax a x ax a =+-=-++-，所以函数()g x 的图象为开口向下的抛物线，对称轴为直线x a =；由于()g x 在[]0,2上的最大值为3，①当2a ≥时，()g x 在[]0,2上单调递增，故()()max 2333g x g a ==-=，解得2a =；②当0a ≤时，()g x 在[]0,2上单调递减，故()()max 013g x g a ==-=，解得2a =-；③当02a <<时，()g x 在[]0,a 上单调递增，在[],2a 上单调递减，故()()2max 13g x g a a a ==+-=，解得1a =-（舍去）或2a =（舍去）．综上所述，2a =±．7．（2023·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考期末）已知幂函数()()23122233p p f x p p x--=-+是其定义域上的增函数．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()h x x af x =+，[]1,9x ∈，是否存在实数a 使得()h x 的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由；(3)若函数()()3g x b f x =-+，是否存在实数(,)m n m n <，使函数()g x 在[],m n 上的值域为[],m n ？若存在，求出实数b 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】(1)()f x =(2)存在1a =-(3)9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】（1）因为()()23122233p p f x p p x--=-+是幂函数，所以2331p p -+=，解得1p =或2p =当1p =时，()1f x x=，在()0,∞+为减函数，当2p =时，()f x =在()0,∞+为增函数，所以()f x =（2）()()h x x af x x =+=+t =，因为[]1,9x ∈，所以[]1,3t ∈，则令()2k t t at =+，[]1,3t ∈，对称轴为2a t =-．①当12a-≤，即2a ≥-时，函数()k t 在[]1,3为增函数，()min ()110k t k a ==+=，解得1a =-．②当132a <-<，即62a -<<-时，2min ()024a a k t k ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，解得0a =，不符合题意，舍去．当32a-≥，即6a ≤-时，函数()k t 在[]1,3为减函数，()min ()3930k t k a ==+=，解得3a =-．不符合题意，舍去．综上所述：存在1a =-使得()h x 的最小值为0.（3）()()3g x b f x b =-+=()g x 在定义域范围内为减函数，若存在实数(,)m n m n <，使函数()g x 在[],m n 上的值域为[],m n ，则()()g m b n g n b m ⎧==⎪⎨==⎪⎩①②，②-①()()33m n m n =-=+-+，=+，1=③．将③代入②得：1b m m ==+令t m n <，0≤<，所以10,2t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．所以2219224b t t t ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，在区间10,2t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭单调递减，所以924b -<≤-故存在实数(,)m n m n <，使函数()g x 在[],m n 上的值域为[],m n ，实数b 的取值范围且为9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦．8．（2023·福建龙岩）已知幂函数()21()2910m f x m m x -=-+为偶函数，()()(R)k g x f x k x=+∈．(1)若(2)5g =，求k ；(2)已知2k ≤，若关于x 的不等式21()02g x k ->在[1,)+∞上恒成立，求k 的取值范围．【答案】(1)2k =(2)12k <≤【解析】（1）对于幂函数()21()2910m f x m m x -=-+，得229101m m -+=，解得32m =或3m =，又当32m =时，12()f x x =不为偶函数，3m ∴=，2()f x x ∴=，2()k g x x x∴=+，(2)452kg ∴=+=，解得2k =；（2）关于x 的不等式21()02g x k ->在[1,)+∞上恒成立，即22102k x k x +->在[1,)+∞上恒成立，即22min 12k x k x ⎡⎤+>⎢⎥⎣⎦，先证明()2kh x x x=+在[1,)+∞上单调递增：任取121x x >>，则()()()()1212221212121212x x x x k k k h x h x x x x x x x x x +-⎛⎫⎛⎫-=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，121x x >> ，120x x ∴->，()12122x x x x +>，又2k ≤，()12120x x x x k ∴+->，()()120h x h x ∴->，即()()12h x h x >，故()2kh x x x=+在[1,)+∞上单调递增，()()min 11h x h k ∴==+，2112k k ∴+>，又2k ≤，解得12k <≤.9．（2022秋·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）设R m ∈，已知幂函数()()2133m f x m m x +=+-⋅是偶函数.(1)求m 的值；(2)设R a ∈，若函数()[],0,2y f x ax a x =-+∈的最小值为1-，求a 的值.【答案】(1)1m =(2)1a =-或5a =.【解析】（1）因为幂函数()()2133m f x m m x +=+-⋅是偶函数，所以2331m m +-=且1m +为偶数，解得：1m =或4m =-（舍），则1m =，所以()2f x x =.（2）令()()2y g x f x ax a x ax a ==-+=-+的开口向上，对称轴2a x =，①当02a≤即0a ≤，()g x 在[]0,2上单调递增，所以()()min 01g x g a ===-，所以1a =-；②当022a <<即04a <<，()g x 在0,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，所以()22min1242a a a g x g a ⎛⎫==-+=- ⎪⎝⎭，解得：2a =+2a =-③当22a≥即4a ≥，()g x 在[]0,2上单调递减，所以()()min 241g x g a ==-=-，解得：5a =所以5a =.综上：1a =-或5a =.10．（2022秋·河南·高一校联考期中）已知幂函数223()(2)m x f x m -⋅=-在(0,)+∞上单调递增．(1)求实数m 的值；(2)若对[]2,2x ∀∈-，[2,2]a ∃∈-，使得()221f x at t a ≤+++都成立，求实数t 的取值范围.【答案】(1)3m =；(2)实数t 的取值范围为[)3,1,2∞∞⎛⎤--⋃+ ⎥⎝⎦.【解析】（1）因为幂函数()223(2)m x f x m -⋅=-在(0,)+∞上单调递增，所以()2213230m m m ⎧-=⎪⇒=⎨->⎪⎩；（2）由（1）可得3()f x x =因为对[2,2]x ∀∈-，使得()221f x at t a ≤+++都成立所以2max ()21f x at t a ≤+++，其中[2,2]x ∈-，由（1）可得函数()f x 在[]22-,上的最大值为8，所以2218at t a +++≥，又[2,2]a ∃∈-，使得2218at t a +++≥都成立所以()2max 270a t t ⎡⎤++-≥⎣⎦，因为220t +>，所以()227y a t t =++-是关于a 的单调递增函数，∴()()22max272270a t t t t ⎡⎤++-=++-≥⎣⎦，即2230t t +-≥，∴32t ≤-或1t ≥，所以实数t 的取值范围为[)3,1,2∞∞⎛⎤--⋃+ ⎥⎝⎦.11．（2023·浙江）已知幂函数()()2223mf x m m x =--．(1)若()f x 的定义域为R ，求()f x 的解析式；(2)若()f x 为奇函数，[]1,2x ∃∈，使()31f x x k >+-成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1)()2f x x=(2)(),1-∞-【解析】（1）因为()()2223mf x m m x =--是幂函数，所以22231m m --=，解得2m =或1m =-，当2m =时，()2f x x =，定义域为R ，符合题意；当1m =-时，()11x xf x -==，定义域为()(),00,∞-+∞U ，不符合题意；所以()2f x x =；（2）由（1）可知()f x 为奇函数时，()11x xf x -==，[]1,2x ∃∈，使()31f x x k >+-成立，即[]1,2x ∃∈，使131x k x>+-成立，所以[]1,2x ∃∈，使113k x x-<-成立，令()[]13,1,2h x x x x=-∈，则()max 1k h x -<，[]12,1,2x x ∀∈且12x x <，则()()()1212211212111333h x h x x x x x x x x x ⎛⎫-=--+=-+ ⎪⎝⎭，因为1212x x ≤<≤，所以211210,0x x x x ->>，所以()2112130x x x x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，即()()12h x h x >，所以()13h x x x=-在[]1,2上是减函数，所以()()max 1132h x h ==-=-，所以12k -<-，解得1k <-，所以实数k 的取值范围是(),1-∞-。

第三章 3.31．在函数y ＝1x2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝3x 中，幂函数的个数为( B ) A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 显然，根据幂函数定义可知，只有y ＝1x2＝x －2是幂函数． 2．幂函数y ＝x α(α∈R )的图象一定不经过( A )A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限 [解析] ∵α∈R ，x >0，∴y ＝x α>0，∴图象不可能经过第四象限，故选A ．3．(2019·山东金乡县高一期中测试)已知幂函数f (x )＝x α(α是常数)的图象过点(2，12)，则函数f (x )的值域为( C )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)∪(0，＋∞)D ．(－∞，＋∞) [解析] 由题意得12＝2α，∴α＝－1. ∴f (x )＝x －1＝1x≠0， ∴f (x )的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．4．幂函数f (x )的图象过点(2，2)，那么f (9)的值是__3__.[解析] 设f (x )＝x α，∴2＝2α，∴212 ＝2α，∴α＝12，∴f (x )＝x 12 ，∴f (9)＝912 ＝3. 5．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：(1)(－1.5)3，(－1.4)3；(2)1－1.5，1－1.4. [解析] (1)设f (x )＝x 3，则f (x )在R 上为增函数．∵－1.5<－1.4，∴(－1.5)3<(－1.4)3.(2)设g (x )＝1x，则g (x )在(－∞，0)上为减函数． ∵－1.5<－1.4<0，∴1－1.5>1－1.4.由Ruize收集整理。

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3.3 幂函数作业练习一、单选题1．下面是有关幂函数3()-=f x x 的四种说法，其中错误的叙述是 A ．()f x 的定义域和值域相等 B ．()f x 的图象关于原点中心对称 C ．()f x 在定义域上是减函数D ．()f x 是奇函数2．已知幂函数y =f (x )=xa 的图象经过点(2，4)，则f (-3)=（ ） A ．-9B ．9C ．3D ．-33．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的为（ ） A ．y ＝x －4 B ．y ＝x －1 C ．y ＝x 2D ．y ＝x 134．已知函数()()2265mm m f x x -=--是幂函数，对任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-，若a ，b R ∈，且0a b +>，则()()f a f b +的值（ ） A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断5．若幂函数f （x ）的图象过点（64，2），则f （x ）＜f （x 2）的解集为（ ） A ．（﹣∞，0） B ．（0，1）C ．（1，+∞）D ．（0，1）∪（1，+∞）6．已知幂函数pq y x =（*,,1p q q ∈>N 且,p q 互质）的图象如图所示，则（ ）A ．p ，q 均为奇数，且1pq> B ．q 为偶数，p 为奇数，且1p q> C ．q 为奇数，p 为偶数，且1p q> D ．q 为奇数，p 为偶数，且01p q<<二、多选题7．已知函数()f x x α=的图像经过点(9,3)，则下列结论正确的有（ ）． A ．()f x 为偶函数 B ．()f x 为增函数C ．若1x >，则()1f x >D ．若120x x >>，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭8．已知幂函数()f x 的图像经过127,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，则幂函数()f x 具有的性质是（ ）A ．在其定义域上为增函数B ．在()0,∞+上单调递减C ．奇函数D ．定义域为R9．已知幂函数()f x x α=的图象经过点()2,4，则下列判断中正确的是（ ） A ．函数图象经过点(1,1)- B ．当[1,2]x ∈-时，函数()f x 的值域是[0,4] C ．函数满足()()0f x f x +-=D ．函数()f x 的单调减区间为(,0]-∞10．已知幂函数()f x 的图像经过127,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，则幂函数()f x 具有的性质是（ ）A ．在其定义域上为增函数B ．在()0,∞+上单调递减C ．奇函数D ．定义域为R11．已知幂函数()f x 的图象经过点(.则（ ） A ．()f x 的定义域为[)0,+∞ B ．()f x 的值域为[)0,+∞ C ．()f x 是偶函数D ．()f x 的单调增区间为[)0,+∞三、填空题12．若幂函数()22231mm y m m x --=--在区间()0,∞+上是严格减函数，则m =______.13．已知幂函数21()m f x x +=过点(3,27)，若()23(98)0f k f k ++-<，则实数k 的取值范围是__________．14．已知幂函数1,1,,1,2,32y x αα⎧⎫=∈-⎨⎬⎩⎭，若函数()f x 为奇函数，且在(,0)-∞是减函数，则α=___________.四、解答题15．已知幂函数()223Z mm y x m +-=∈在区间()0,∞+上是严格减函数.(1)求该函数的表达式；(2)设()223m m f x x+-=（m 为奇数），()()b g x xf x =，且函数()y g x =的图像关于原点对称，写出实数a 、b 满足的条件. 16．已知函数()211mx f x x +=+是R 的偶函数． （1）求实数m 的值；（2）判断函数()f x 在(],0-∞上的单调性； （3）求函数()f x 在3,2上的最大值与最小值．17．已知幂函数2242()(1)m m f x m x -+=-在()0,∞+上单调递增，函数()2xg x k =-．(1)求m 的值：(2)当[]1,2x ∈时，记()f x ，()g x 的值域分别为A ，B ，若A B A ⋃=，求实数k 的取值范围．参考答案与试题解析1．C 2．B 3．A 4．A 5．C 6．D 7．BCD 8．BC 9．ABD 10．BC 11．ABD 12．2 13．(2,6) 14．1-15．(1)4y x -=或3y x -= (2)0a =，0b ≠16．（1）0m =（2）函数()f x 在(],0-∞上单调递增．（3）最大值1，最小值110． 17．(1)0m = (2)[]0,1。

人教A 新版必修1《3.3 幂函数》同步练习卷（二）练习1. 已知幂函数f(x)＝kx α的图象过点(12,√2)，则k −α＝（ ） A.1B.12C.32D.22. 如图曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限内的图象，已知n 取±2，±12四个值，相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为（ ）A.2，12,−12，−2B.−2，−12,12，2C.2，12，−2，−12D.−12，−2，2，123. (23)23，3−23，223的大小关系是________．4. 已知幂函数f(x)=x m 2−2m−3(m ∈Z)在(0, +∞)是单调减函数，且为偶函数．（1）求f(x)的解析式；（2）讨论F(x)＝af(x)+(a −2)x 5⋅f(x)的奇偶性，并说明理由．5. 在函数y =1x 2，y ＝2x 2，y ＝x 2+x ，y ＝1中，幂函数的个数是（ ）A.1B.0C.3D.26. 下列关系中正确的是（ ）A.(12)13<(12)23<(15)23B.(12)23<(15)23<(12)13C.(15)23<(12)13<(12)23D.(15)23<(12)23<(12)137. 在同一坐标系内，函数y =x a (a ≠0)和y =ax +1a 的图象可能是( ) A.B. C. D.8. 下列函数中，既是偶函数，又在区间(0, +∞) 上单调递减的函数是( )A.y =x −1B.y =x −2C.y =x 13D.y =x 29. 若函数f(x)=(2m +3)x m2−3是幂函数，则m 的值为________．10. 函数f(x)＝(x +3)−2的单调递增区间是________．11. 已知函数y ＝(a 2−3a +2)x a 2−5a+5（a 为常数）．问：（1）a 为何值时此函数为幂函数？（2）a 为何值时此函数为正比例函数？12. 已知(3−2m)12>(m +1)12，求实数m 的取值范围．13. 下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（ ）A.①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y =x 12，④y ＝x −1B.①y =x 13，②y ＝x 2，③y =x 12，④y ＝x −1C.①y＝x2，②y＝x3，③y=x 12，④y＝x−1D.①y=x 13，②y=x12，③y＝x2，④y＝x−114. 若幂函数y＝(m2−3m+3)x m−2的图象关于原点对称，则m的取值范围为（）A.m＝1或m＝2B.1≤m≤2C.m＝1D.m＝215. 幂函数f(x)＝x3m−5(m∈N)在(0, +∞)上是减函数，且f(−x)＝f(x)，则m等于________．16. 幂函数y=xα，当α取不同的正数时，在区间[0, 1]上它们的图象是一簇美丽的曲线（如图）．设点A(1, 0)，B(0, 1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα，y=xβ的图象三等分，即有BM=MN=NA．那么，αβ=________．17. 如图，幂函数y=x3m−7(m∈N)的图象关于y轴对称，且与x轴，y轴均无交点，求此函数的解析式及不等式f(x+2)<16的解集．18. 若点A(2, 12)在幂函数y＝xα的图象上，则该幂函数在下列区间上单调递减的是（）A.(0, +∞)B.(−∞, 0)C.(−∞, +∞)D.(−4, 4)19. 已知f(x)＝(a2−a−1)x a（a是常数）为幂函数，且在第一象限单调递增．（1）求f(x)的表达式；（2）讨论函数g(x)=f(x)+3x+1在(−√2, +∞)上的单调性，并证之．x参考答案与试题解析人教A新版必修1《3.3 幂函数》同步练习卷（二）练习1.【答案】此题暂无答案【考点】幂函数来概念斗解析式场定找域、值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】幂函射空图象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】利表不础式丁内两数大小【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】幂函都指性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】幂函数来概念斗解析式场定找域、值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】指数函数于图象视性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】幂函都特图像【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】函数奇三性的判刺函较绕肠由的判断与证明【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】幂函数来概念斗解析式场定找域、值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】复合函表的型调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】幂函都指性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】幂函都指性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答13.【答案】此题暂无答案【考点】幂函射空图象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答14.【答案】此题暂无答案【考点】幂函数来概念斗解析式场定找域、值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答15.【答案】此题暂无答案【考点】幂函都指性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答16.【答案】此题暂无答案【考点】幂函都特图像指数式与表镜式的互化【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答17.【答案】此题暂无答案【考点】其他不三式的解州幂函都指性质幂函都特图像幂函数来概念斗解析式场定找域、值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答18.【答案】此题暂无答案【考点】幂函都指性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答19.【答案】此题暂无答案【考点】函验掌够性权性质与判断幂函数来概念斗解析式场定找域、值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！§3．3 幂函数限时作业一．选择题1．给出下列函数：4．函数13y x =的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图是幂函数n y x =的部分图像，已知n 取11,2,2,22--这四个值，则于曲线1234,,,C C C C 相对应的n 依次为（ ）A ．112,,,222--B ．112,,,222--C ．11,2,2,22--D ．112,,2,22--6．已知幂函数()f x x a =的图像过点(8,4),则()f x x a = 的值域是( )A ．(),0-¥B ．()(),00,-¥+¥U C ．()0,+¥D ．[)0,+¥7．函数121y x =-的图象关于x 轴对称的图象大致是( )A B C D8．若幂函数m n y x =（*,m n ÎN 且,m n 互素）的图象如下图所示，则下列说法中不正确的是（ ）A ．0<1mn<B ．m 是偶数，n 是奇数C ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n<D ．m 、n 是偶数，且1m n >二．填空题9．比较下列各式的大小(1) 0.525æöç÷èø 0.513æöç÷èø； (2) 123-æö-ç÷èø 135-æö-ç÷èø．10．已知幂函数()21()*()m m f x x m N Î－＋＝，经过点，试确定m 的值，则满足条件(2)(1)f a f a >－－的实数a 的取值范围 ．三．解答题11．已知幂函数()24-=m m f x x （实数m Z Î）的图像关于y 轴对称，且()()23f f >．（1）求m 的值及函数()f x 的解析式；（2）若()()212+<-f a f a ，求实数a 的取值范围．12．已知函数()()2531m f x m m x --=--，m 为何值时，()f x ：(1)是幂函数；(2)是正比例函数；(3)是反比例函数；(4)是二次函数．§3．3 幂函数限时作业【参考答案】一．选择题1．给出下列函数：【答案】B　4．函数13y x=的图象是（）A．B．C．D ．【答案】B5．如图是幂函数n y x =的部分图像，已知n 取11,2,2,22--这四个值，则于曲线1234,,,C C C C 相对应的n 依次为（ ）A ．112,,,222--B ．112,,,222--C ．11,2,2,22--D ．112,,2,22--【答案】A6．已知幂函数()f x x a =的图像过点(8,4),则()f x x a = 的值域是( )A ．(),0-¥B ．()(),00,-¥+¥U C ．()0,+¥D ．[)0,+¥【答案】D 7．函数121y x =-的图象关于x 轴对称的图象大致是( )A B C D【答案】B8．若幂函数m ny x =（*,m n ÎN 且,m n 互素）的图象如下图所示，则下列说法中不正确的是（ ）A ．0<1mn<B ．m 是偶数，n 是奇数C ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n<D ．m 、n 是偶数，且1m n>【答案】D二．填空题9．比较下列各式的大小(1) 0.525æöç÷èø 0.513æöç÷èø； (2) 123-æö-ç÷èø 135-æö-ç÷èø．【答案】,>>10．已知幂函数()21()*()m m f x x m N Î－＋＝，经过点，试确定m 的值，则满足条件(2)(1)f a f a >－－的实数a 的取值范围 ．【答案】 ∵()f x 的图象过点21()2m m -+=，∴22m m +=，又*m N Î，∴1m =．即12()f x x =，其定义域为0x ³，且在定义域上函数为增函数，∴由(2)(1)f a f a ->-得012a a £-<-，解得312a £<．三．解答题11．已知幂函数()24-=m m f x x （实数m Z Î）的图像关于y 轴对称，且()()23f f >．（1）求m 的值及函数()f x 的解析式；（2）若()()212+<-f a f a ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）由题意，函数()24-=m m f x x （实数m Z Î）的图像关于y 轴对称，且()()23f f >，所以在区间(0,)+¥为单调递减函数，所以240m m -<，解得04m <<，又由m Z Î，且函数()24-=m m f x x （实数m Z Î）的图像关于y 轴对称，所以24m m -为偶数，所以2m =，所以()4f x x -=．（2）因为函数()4f x x -=图象关于y 轴对称，且在区间(0,)+¥为单调递减函数，所以不等式()()212+<-f a f a ，等价于122a a -<+且120,20a a -¹+¹，解得1132a -<<或132a <<，所以实数a 的取值范围是111(,(,3)322-U ．12．已知函数()()2531m f x m m x --=--，m 为何值时，()f x ：(1)是幂函数；(2)是正比例函数；(3)是反比例函数；(4)是二次函数．【答案】(1)m ＝2或m ＝－1．(2)m ＝－45 ．(3)m ＝－25．(4) m ＝－1． (1)∵f (x )是幂函数，故m 2－m －1＝1，即m 2－m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－1．(2)若f (x )是正比例函数，则－5m －3＝1，解得m ＝－．此时m2－m－1≠0，故m＝－．(3)若f(x)是反比例函数，则－5m－3＝－1，则m＝－，此时m2－m－1≠0，故m＝－．(4)若f(x)是二次函数，则－5m－3＝2，即m＝－1，此时m2－m－1≠0，故m＝－1．。

姓名，年级：时间：3．3 幂函数1．理解幂函数的概念．2．掌握y＝xα(α＝－1，12,1,2，3）的图象与性质．3．理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题．1．幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量,α是常数．2．常见幂函数的图象与性质温馨提示:幂函数在区间(0,＋∞)上,当a>0时，y＝xα是增函数；当α<0时,y＝xα是减函数．1．y＝2x2和y＝－错误!是幂函数吗？[答案] 不是2．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×"）（1)函数y＝x0（x≠0)是幂函数．（)(2)幂函数的图象必过点（0，0)和（1，1)．( ）(3)幂函数的图象都不过第二、四象限．（)(4）当α>0时，y＝xα是增函数．( ）［答案] （1）√（2)×（3)×(4）×题型一幂函数的概念【典例1】(1)在函数①y＝错误!，②y＝x2,③y＝2x，④y＝1，⑤y＝2x2，⑥y＝x错误!中，是幂函数的是（)A．①②④⑤B．③④⑥C．①②⑥D．①②④⑤⑥（2)已知幂函数y＝(m2－m－1)x m2－2m－3，求此幂函数的解析式，并指出其定义域．［思路导引] 紧扣幂函数的定义求解．[解析］(1)幂函数是形如y＝xα(α为常数）的函数，①是α＝－1的情形，②是α＝2的情形,⑥是α＝－错误!的情形，所以①②⑥都是幂函数;③是指数函数，不是幂函数；⑤中x2的系数是2，所以不是幂函数；④是常函数，不是幂函数．所以只有①②⑥是幂函数．故选C。

(2）∵y＝(m2－m－1）x m2－2m－3为幂函数，∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1。

当m＝2时，m2－2m－3＝－3,则y＝x－3，且有x≠0；当m＝－1时，m2－2m－3＝0，则y＝x0,且有x≠0.故所求幂函数的解析式为y＝x－3或y＝x0,它们的定义域都是{x|x≠0}．［答案］（1)C （2）见解析判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα（α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：（1)指数为常数;（2）底数为自变量；(3）系数为1。

《幂函数》基础训练一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.第6题为多选题，选对得5分，选错得0分，部分选对得2分） 1.下列函数为幂函数的是（ ） A.2yx B.2yx C.2x yD.22yx2.函数3()f x x 的图象（ ）A.关于直线yx 对称 B.关于x 轴对称C.关于原点对称D.关于y 轴对称 3.给出下列说法： ①当0n 时，n y x 的图象是一条直线；②幂函数n y x ，当0n 时，在第一象限内函数值y 随x 值的增大而增大； ③幂函数n yx ，当0n 时，在第一象限内函数值y 随x 值的增大而减小.其中正确说法的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 4.已知幂函数()f x x 的图象经过点(4,2)，则()f x 的增区间为（ ）A.(,) B.(,0] C.[0,) D.(1,)5.函数13()f x x x 的图象大致为（ ）A. B.C. D.6.（多选）已知幂函数*(),,,m nf x xm n m n N 互质)，下列关于()f x 的结论正确的是（ ）A.,m n 是奇数时，幂函数()f x 是奇函数B.m 是偶数，n 是奇数时，幂函数()f x 是偶函数C.m 是奇数，n 是偶数时，幂函数()f x 是偶函数D.01mn时，幂函数()f x 在(0,)上是减函数E.,m n 是奇数时，幂函数()f x 的定义域为R二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 7.若2()44m f x m m x 是幂函数，则实数m ______.8.已知 1.30.70.7 1.3mm，则实数m 的取值范围是______.三、解答题（本大题共2小题，每小题15分，共30分） 9.比较下列各组数的大小.（1）7818与7819;（2）523与523.1；（3）2323与236.10.已知函数223()()m m f x xm Z 为偶函数，且(3)(5)f f ，求m 的值，并确定()f x 的解析式.参考答案 一、选择题 1. 答案：A解析：根据幂函数的定义知A 正确. 2. 答案：C 解析：易知3()f x x 是奇函数，()f x 的图象关于原点对称.3. 答案：C解析：0n 时，n yx 的图象是一条不包含点(0,1)的直线，故①不正确；根据幂函数的图象和性质易知②③正确. 4. 答案：C解析：因为幂函数()f x x α的图象过点(4,2)，所以24a ，所以222α，即12α，则12()f x x ，则有0x ，所以()f x 的增区间为[0,).5. 答案：A解析：易知()f x 的定义域为R ，关于原点对称，又1133()()(),f x x x x xf x 函数13()f x x x 是奇函数，可排除C ，D ；又11331111130,(1)110888828ff ，可排除B.故选A.6. 答案：AB 解析：()m nm nf x xx ，当,m n 是奇数时，幂函数()f x 是奇函数，A 正确；当m 是偶数，n 是奇数，幂函数()f x 是偶函数，B 正确；当m 是奇数，n 是偶数时，幂函数()f x 在0x 时无意义，C 错误；01mn时，幂函数()f x 在(0,)上是增函数，D 错误；,m n 是奇数时，若0m n，幂函数()f x 在0x 时无意义，E 错误.故选AB. 二、填空题 7.答案：5或1 解析：因为2()44m f x m m x 是幂函数，所以2441m m ，解得5m 或1m .8.答案：(0,)解析：因为 1.30.700.71,1.31， 所以 1.30.70.7 1.3， 又因为 1.30.70.7 1.3mm，所以幂函数m y x 在(0,)上单调递增，所以0m .二、解答题 9.答案：见解析 解析：（1）函数78yx 在(0,)上单调递增，又1189， 77881189.（2）25yx 在(0,)上为减函数，又52253 3.1,33.1.（3）函数23yx 是偶函数，2222333322,3366ππ，又函数23y x 在(0,)上为减函数，且22332233222,,363636πππ.10.答案：见解析 解析：()f x 为偶函数，且m Z ，223m m 为偶数.222323(3)(5),35m m m m f f ，即223315m m ，2230m m ，解得312m， 又,0m m Z 或1m .当0m 时，3()f x x ，不满足()f x 为偶函数； 当1m 时，2()f x x ，满足()f x 为偶函数. m 的值为21,()f x x .。

3.3 幂函数【本节明细表】基础巩固1．已知幂函数的图象通过点，则该函数的解析式为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设幂函数的解析式为.∵幂函数的图象过点，∴，∴，∴该函数的解析式为.2．在下列幂函数中，是偶函数且在(0，＋∞)上是增函数的是( )A.y＝x－2B.C.D.【答案】D【解析】对于A，有f(－x)＝f(x)，是偶函数，但在(0，＋∞)上递减，则A不满足；对于B，定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，不具有奇偶性，则B不满足；对于C，有f(－x)＝－f(x)，为奇函数，则C不满足；对于D，定义域R关于原点对称，f(－x)＝f(x)，则为偶函数，且在(0，＋∞)上递增，则D满足. 故选:D.3．已知幂函数过点，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设幂函数，∵过点，∴，∴，故选B.4．幂函数的图象如图所示，则的值为( )A.－1B.0C.1D.2【答案】C【解析】由图象上看，图象不过原点，且在第一象限下降，故，即且；又从图象看，函数是偶函数，故为负偶数，将分别代入，可知当时，，满足要求．故选C.5．设∈，则使函数y=的定义域为R且为奇函数的所有的值为（）A．，1，3 B．，1 C．，3 D．1，3【答案】D【解析】当＝﹣1时，函数的定义域为{x|x≠0}，不满足定义域为R；当＝1时，函数y＝的定义域为R且为奇函数，满足要求；当函数的定义域为{x|x≥0}，不满足定义域为R；当＝3时，函数y＝的定义域为R且为奇函数，满足要求；故选：D．6．幂函数的图象关于轴对称，则实数_______.【答案】2【解析】函数是幂函数，解得：或，当时，函数的图象不关于轴对称，舍去，当时，函数的图象关于轴对称，∴实数．7．已知幂函数的图象过，那么在上的最大值为_____________。

【答案】【解析】设，因为的图象过，，解得，在上是单调递增的在上的最大值为，故答案为。

8．比较下列各题中两个幂的值的大小：(1)2.3，2.4；(2) ，；(3)(－0.31) ，0.35.【答案】(1)2.3<2.4.(2) >；(3)(－0.31) <0.35.【解析】(1)∵y＝为R上的增函数，又2.3<2.4，∴2.3<2.4.(2)∵y＝为(0，＋∞)上的减函数，又<，∴()>().(3)∵y＝为R上的偶函数，∴＝.又函数y＝为[0，＋∞)上的增函数，且0.31<0.35，∴0.31<0.35，即(－0.31) <0.35.能力提升9．已知函数的图象如图所示，则的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由图像可知，，得，故选：A..10．对幂函数有以下结论（1）的定义域是；（2）的值域是；（3）的图象只在第一象限；（4）在上递减；（5）是奇函数．则所有正确结论的序号是______.【答案】（2）（3）（4）【解析】解：对幂函数，以下结论（1）的定义域是，因此不正确；（2）的值域是，正确；（3）的图象只在第一象限，正确；（4）在上递减，正确；（5）是非奇非偶函数，因此不正确．则所有正确结论的序号是（2）（3）（4）．故答案为：（2）（3）（4）．11．已知幂函数的图象经过点.（1）求实数的值；（2）求证：在区间（0，+∞）上是减函数.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】（1）∵的图象经过点，∴，即，解得.（2）证明：由（1）可知，，任取，且，则，∴，即.∴在区间（0，+∞）上是减函数.素养达成12．讨论函数的定义域、奇偶性，并作出它的简图，根据图象说明它的单调性．【答案】定义域R；偶函数；图象略；在区间(-∞,0]上是减函数，[0,+∞)上是增函数．【解析】函数定义域为R，因为，所以函数为偶函数，作出函数图象可知，在单减，在[0,+∞)上单增.。

3.3幂函数课时幂函数题组一幂函数的图象与性质1.(9分)下列幂函数在(-∞，0)上为减函数的是()A.y=x13B.y=x2C.y=x3D.y=x122.(9分)已知当x∈(1，+∞)时，函数y=xα的图象恒在直线y=x的下方，则α的取值范围是()A.0<α<1B.α<0C.α<1D.α>13.(9分)为了保证信息的安全传输，有一种密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=xα(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是()A.√3B.3C.9D.274.(9分)若函数f(x)=(1-4m)√x在区间[0，+∞)上是增函数，则m的取值范围为())A.(-∞，14B.(1，+∞)4)C.(-∞，-14D.(-1，+∞)45.(9分)函数y=x a与y=ax(a∈{-1，1，2，3})的图象只可能是下面中2()6.(9分)函数f (x )=(m 2-m+1)x m2+2m -3是幂函数，且在(0，+∞)上是减函数，则实数m=( )A.0B.1C.2D.0或17.(14分)幂函数f (x )的图象经过点(√2，2)，点(-2，14)在幂函数g (x )的图象上.(1)求f (x )，g (x )的解析式；(2)当x 为何值时，f (x )>g (x )?当x 为何值时，f (x )<g (x )?题组二 幂函数的图象与性质的应用8.(9分)若(a+1)13<(3-2a )13，则实数a 的取值范围是( )A.(-∞，23)B.(23，+∞)C.(0，23)D.(-23，23) 9.(9分)设a=0.60.6，b=0.70.6，c=1.50.6，则a 、b 、c 的大小关系是() A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a 10.(14分)已知函数f (x )=x 13-x -135，g (x )=x 13+x -135，x ≠0. (1)证明：f (x 2)-5f (x )g (x )=0.(2)讨论函数f (x )的奇偶性并求其单调区间.参考答案1.B解析：本题考查幂函数的单调性.函数y=x13，y=x3，y=x12在各自定义域上均是增函数，y=x2在(-∞，0)上是减函数.2.C解析：本题考查幂函数的图象.由幂函数的图象特征知α<1.3.C解析：本题考查幂函数的实际应用.由题目可知加密密钥y=xα(α是常数)是一个幂函数，模型，所以要想求得解密后得到的明文，就必须先求出α的值.由题意，得2=4α，解得α=12则y=x12，由x12=3，得x=9，即明文是9..4.A解析：本题考查幂函数的性质.∵f(x)=(1-4m)√x为增函数，∴1-4m>0，即m<145.C解析：本题考查幂函数的图象.直线对应函数为y=x，曲线对应函数为y=x-1，1≠-1，故A项错；直线对应函数为y=2x，曲线对应函数为y=x12，2≠1，故B项错；直线对应函数为2y=2x，曲线对应函数为y=x2，2=2，故C项对；直线对应函数为y=-x，曲线对应函数为y=x3，-1≠3，故D项错.6.A解析：本题考查幂函数的性质.由m2-m+1=1，得m=0或m=1，再把m=0和m=1分别代入m2+2m-3<0检验，得m=0符合题意.7.解析：本题考查幂函数图象与性质.(1)设f(x)=xα，则(√2)α=2，∴α=2，∴f(x)=x2，设g(x)=xβ，则(-2)β=1，4即β=-2，g(x)=x-2(x≠0).(2)从图象可知，当x>1或x<-1时，f(x)>g(x)；当-1<x<0或0<x<1时，f(x)<g(x).8.A解析：本题考查利用幂函数的单调性解不等式.因为函数f(x)=x13的定义域为R，且为单.调递增函数，所以由不等式可得a+1<3-2a，解得a<239.A 解析：本题考查利用幂函数的性质比较数的大小.∵0.6∈(0，1)，∴y=x 0.6是增函数， ∵0.6<0.7<1.5，∴a<b<c .10.解析：本题考查幂函数性质的应用.(1)f (x2)-5f (x )g (x )=(x 2)13-(x 2)-135-5×x 13-x -135×x 13+x -135 =x 23-x -235-x 23-x -235=0， 故f (x 2)-5f (x )g (x )=0成立.(2)∵函数f (x )的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞)，∴定义域关于原点对称.又∵f (-x )=(-x )13-(-x )-135=-x 13-x -135=-f (x )， ∴函数f (x )为奇函数.在(0，+∞)上任取x 1，x 2，且x 1<x 2，则x 113<x 213，x 2-13<x 1-13，从而f (x 1)-f (x 2)=x 113-x 1-135-x 213-x 2-135=15(x 113-x 213)+15(x 2-13-x 1-13)<0，∴函数f (x )=x 13-x -135在(0，+∞)上是增函数. 又∵f (x )是奇函数，∴函数f (x )在(-∞，0)上也是增函数.故函数f (x )的单调递增区间为(-∞，0)，(0，+∞).。

3．3 幂函数必备知识基础练1．[2022·河北沧州高一期末]下列函数是幂函数的是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝x 3D ．y ＝2x2．幂函数y ＝x 23的大致图象是( )3．下列幂函数中，其图象关于y 轴对称且过点(0，0)、(1，1)的是( )A ．y ＝x 12 B ．y ＝x 4C ．y ＝x －2D ．y ＝x 134．[2022·河北石家庄高一期末]若幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2，2)，则f (3)＝( )A ．13 B ． 3 C ．3 D ．95．(多选)下列说法正确的是( ) A ．当α＝0时，y ＝x α的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1) C ．幂函数的图象不可能出现在第四象限D ．若幂函数y ＝x α在区间(0，＋∞)上单调递减，则α<06．[2022·北京五中高一期末]已知幂函数f (x )＝x α过点(2，8)，若f (x 0)＝－5，则x 0＝________．7．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2，14)，则该函数的图象关于________对称．关键能力综合练1．已知幂函数y 1＝x a，y 2＝x b，y 3＝x c，y 4＝x d在第一象限的图象如图所示，则( )A ．a >b >c >dB ．b >c >d >aC ．d >b >c >aD ．c >b >d >a 2．已知幂函数f (x )＝(a 2－3a ＋3)x a ＋1为偶函数，则实数a 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．1或23．幂函数f (x )＝(m 2－2m －2)x m －2在(0，＋∞)上单调递减，则实数m 的值为( )A ．－1B ．3C ．－1或3D ．－34．已知幂函数f (x )＝(3m 2－2m )x 12－m满足f (2)>f (3)，则m ＝( ) A ．23 B ．－13C ．1D ．－1 5．[2022·河北沧州高一月考]已知函数f (x )＝x n的图象经过点(3，13)，则f (x )在区间[14，4]上的最小值是( ) A ．4 B ．14 C ．2 D ．126．[2022·辽宁高一期末](多选)已知函数f (x )＝x α的图象经过点(12，2)，则( )A ．f (x )的图象经过点(2，4)B ．f (x )的图象关于原点对称C ．f (x )单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)D ．f (x )在(0，＋∞)内的值域为(0，＋∞)7．已知幂函数f (x )＝mx n＋k 的图象过点(116，14)，则m －2n ＋3k ＝________．8．若幂函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋2m 的图象不经过原点，则实数m 的值为________．9．已知幂函数f (x )＝x α的图象经过点(3，19)，求函数的解析式，并作出该函数图象的草图，判断该函数的奇偶性和单调性．10．已知幂函数f (x )＝x 2m2－m －6(m ∈Z )在区间(0，＋∞)上是减函数．(1)求函数f (x )的解析式；(2)讨论函数f (x )的奇偶性和单调性．核心素养升级练1．(多选)某同学在研究幂函数时，发现有的具有以下三个性质：①是奇函数；②值域是{y |y ∈R 且y ≠0}；③在(－∞，0)上是减函数．则以下幂函数符合这三个性质的有( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝xC ．f (x )＝x －1D ．f (x )＝x －132．[2022·辽宁丹东高一期末]写出一个具有性质①②③的函数f (x )＝________． ①f (x )定义域为{x |x ≠0}； ②f (x )在(－∞，0)单调递增； ③f (ab )＝f (a )·f (b ).3．[2022·北京房山高一期末]已知幂函数f (x )＝x α的图象经过点(2，2). (1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数f (x )满足条件f (2－a )>f (a －1) ，试求实数a 的取值范围．3．3 幂函数必备知识基础练1．答案：C解析：形如y ＝x α的函数为幂函数，则y ＝x 3为幂函数． 2．答案：B解析：∵23>0，∴幂函数在第一象限内的图象为增函数，排除A ，C ，D.3．答案：B解析：由于函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，所以函数y ＝x 12图象不关于y 轴对称，故A 错误；由于函数y ＝f (x )＝x 4的定义域为(－∞，＋∞)，且f (－x )＝(－x )4＝f (x )，所以函数y ＝x 4关于y 轴对称，且经过了点(0，0)、(1，1)，故B 正确；由于y ＝x －2的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以函数y ＝x －2不过点(0，0)，故C 错误；由于y ＝f (x )＝x 13的定义域为(－∞，＋∞)，且f (－x )＝(－x )13＝－x 13＝－f (x )，所以y ＝x 13图象关于原点中心对称，故D 错误．4．答案：B解析：设幂函数y ＝f (x )＝x α， 其图象经过点(2，2)， ∴2α＝2，解得α＝12，∴f (x )＝x 12＝x ，∴f (3)＝ 3. 5．答案：CD解析：对于选项A ，当α＝0时，y ＝x α的定义域为：{x |x ≠0，x ∈R }，所以函数的图象不是一条直线，故A 不正确；对于选项B ，由幂函数的性质可知幂函数图象一定经过(1，1)，但不一定经过(0，0)，如y ＝x －1，故B 不正确；对于选项C ，由幂函数的性质可知，幂函数在第四象限没有图象，故C 正确； 对于选项D ，若幂函数y ＝x α在区间(0，＋∞)上单调递减，此时α<0，满足幂函数的性质，故D 正确．6．答案：－35解析：因为幂函数f (x )＝x α过点(2，8)， 所以2α＝8，得α＝3， 所以f (x )＝x 3，因为f (x 0)＝－5，所以x 30 ＝－5，得x 0＝－35. 7．答案：y 轴解析：设y ＝f (x )＝x α，由题意可得，2α＝14，解得α＝－2，所以f (x )＝x －2，函数为偶函数，故该函数的图象关于y 轴对称．关键能力综合练1．答案：B解析：根据幂函数y 1＝x a ，y 2＝x b ，y 3＝x c ，y 4＝x d在第一象限的图象知，b >c >1>d >0>a ，即b >c >d >a .2．答案：C解析：∵幂函数f (x )＝(a 2－3a ＋3)xa ＋1为偶函数，∴a 2－3a ＋3＝1，且a ＋1为偶数，则实数a ＝1. 3．答案：A解析：因为f (x )＝(m 2－2m －2)xm －2是幂函数，故m 2－2m －2＝1，解得m ＝3或－1， 又因为幂函数在(0，＋∞)上单调递减， 所以需要m －2<0，则m ＝－1. 4．答案：C解析：由幂函数的定义可知，3m 2－2m ＝1，即3m 2－2m －1＝0，解得：m ＝1或m ＝－13，当m ＝1时，f (x )＝x －12在(0，＋∞)上单调递减，满足f (2)>f (3)；当m ＝－13时，f (x )＝x 56在(0，＋∞)上单调递增，不满足f (2)>f (3)，综上：m ＝1.5．答案：B解析：由题意知13＝3n，∴n ＝－1.∴f (x )＝x －1在[14，4]上是减函数．∴f (x )＝x －1在[14，4]上的最小值是14.6．答案：BD解析：将点(12，2)代入f (x )＝x α，可得α＝－1，则f (x )＝1x ，因为f (2)＝12，故f (x )的图象不经过点(2，4)，A 错误；根据反比例函数的图象与性质可得：f (x )的图象关于原点对称， f (x )单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，f (x )在(0，＋∞)内的值域为(0，＋∞)，故BD 正确，C 错误．7．答案：0解析：因为f (x )是幂函数，所以m ＝1，k ＝0，又f (x )的图象过点(116，14)，所以(116)n ＝14，解得n ＝12，所以m －2n ＋3k ＝0. 8．答案：－1解析：因为函数f (x )＝(m 2－m －1)x m2＋2m是幂函数，所以m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或m ＝2；当m ＝－1时，f (x )＝x －1，图象不经过原点，满足题意； 当m ＝2时，f (x )＝x 8，图象经过原点，不满足题意； 所以m ＝－1.9．解析：因为幂函数f (x )＝x α的图象经过点(3，19)，故可得3α＝19，解得α＝－2，故f (x )＝x －2，其定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称； 其函数图象如图所示：数形结合可知，因为f (x )的图象关于y 轴对称，故其为偶函数；且f (x )在(0，＋∞)单调递减，在(－∞，0)单调递增．10．解析：(1)依题意2m 2－m －6<0，即(2m ＋3)(m －2)<0，解得－32<m <2，因为m ∈Z ，所以m ＝－1或m ＝0或m ＝1， 所以f (x )＝x －3或f (x )＝x －6或f (x )＝x －5.(2)若f (x )＝x －3定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，则f (x )＝x －3为奇函数，且在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减；若f (x )＝x －6的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，则f (x )＝x －6为偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减；若f (x )＝x －5定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，则f (x )＝x －5为奇函数，且在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减．核心素养升级练1．答案：CD解析：由已知可得，此函数为奇函数，而A 选项f (x )＝x 2为偶函数，不满足题意，排除选项；选项B ，f (x )＝x 的值域为{y |y ∈R }，且该函数在R 上单调递增，不满足题意条件，排除选项；选项C 、D 同时满足三个条件．2．答案：1x2(答案不唯一)解析：f (x )＝1x2的定义域为{x |x ≠0}，在区间(－∞，0)递增，且f (ab )＝1（ab ）2＝1a 2·1b2＝f (a )·f (b )，所以f (x )＝1x2符合题意．3．解析：(1)因为幂函数f (x )＝x α的图象经过点(2，2)，则有(2)α＝2， 所以α＝2，所以f (x )＝x 2.(2)因为f (－x )＝x 2＝f (x )，所以函数f (x )＝x 2为偶函数， 又函数f (x )＝x 2在(0，＋∞)上递增，且f (2－a )>f (a －1)， 所以|2－a |>|a －1|， 所以4－4a ＋a 2>a 2－2a ＋1， 解得a <32，所以满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围为(－∞，32).。

人教A 版（2019）数学必修第一册3.3幂函数同步测试共 17 题一、单选题1、在同一坐标系内，函数和 的图象可能是( )A. B.C.D.2、已知幂函数的图象经过点，则 的值为 （ ）A.B. 1C. 2D. 83、 设a=,b= ,c=它们的大小关系是（ ）A. c<a<b B. a<c<bC. b<a<cD. c<b<a 4、 下列函数为幂函数的是（ ）A.B.C.D.5、 已知幂函数f(x)＝(n 2＋2n －2)(n ∈Z)的图像关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A. 1 B. 2C. 1或2D. 1或－36、 若幂函数f （x ）的图象过点（16，8），则f （x ）<f （x 2）的解集为（ ）A. （–∞，0）∪（1，+∞）B. （0，1）C. （–∞，0）D. （1，+∞）7、 下列结论中，正确的是( )A. 幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1)B. 幂函数的图象可以出现在第四象限C. 当幂指数α取1,3，时，幂函数y ＝x α是增函数 D. 当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x α在定义域上是减函数8、 函数y ＝x a ， y ＝x b ， y ＝x c 的图像如图所示，则实数a 、b 、c 的大小关系为( )A. c<b<aB. a<b<cC. b<c<aD. c<a<b二、填空题9、幂函数 y=(m2-m-1)x-5m-3在时为减函数，则m=________。

10、已知关于的函数是幂函数，则 ________．11、已知幂函数的图象过点，则此函数的解析式为________．12、幂函数y= 的图象是________（填序号）．①. ②.③. ④.13、已知幂函数f（x）的图象经过点（2，4），则f（x）为________函数．（填奇偶性）三、解答题14、已知幂函数的图象过点和．(1)求的值；(2)若函数在区间上的最大值比最小值大，求实数的值．15、已知幂函数在上单调递增.(1)求实数的值；(2)若，求实数的取值范围.16、比较下列各题中两个幂的值的大小：(1) 2.3 ，2.4 ；(2)，；(3)(－0.31) ，0.35 .17、已知幂函数f（x）=（m3﹣m+1）x （m∈Z）的图象与x轴，y轴都无交点，且关于y轴对称(1)求f（x）的解析式；(2)解不等式f（x+1）＞f（x﹣2）参考答案一、单选题1、 【答案】B【解析】【解答】若 在 递增，排除 选项，递增，排除 ；纵轴上截距为正数，排除 ，即 时，不合题意；若 ， 在 递减，可排除 选项，由 递减可排除 ，故答案为：B.【分析】解决本题时，针对每一个选项进行证明，对于A 选项，由幂函数的图像，知,所以直线斜率为负，对于C选项，x 为偶数，所以直线与y 轴的截距为正，对于D 选项，x 为奇数，直线斜率为正，即可得出答案。