等差数列前n项和

课时作业(三十三)一、选择题1．(2012年山西大同市高三学情调研)设数列{a n }是等差数列，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则a 1＋a 2＋…＋a 7＝( )A ．14B ．21C ．28D ．35解析：由a 3＋a 4＋a 5＝12得a 4＝4，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝7(a 1＋a 7)2＝7a 4＝28.答案：C2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18－a 5，则S 8等于 ( ) A ．18 B ．36 C ．54D ．72解析：由a 4＝18－a 5，得a 4＋a 5＝18. 所以S 8＝8(a 1＋a 8)2＝4(a 4＋a 5)＝4×18＝72.答案：D3．(2011年全国卷大纲版)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：S n ＝n ＋n (n －1)2×2＝n 2，由S k ＋2－S k ＝(k ＋2)2－k 2＝4k ＋4＝24，得k ＝5.答案：D4．(2012年浙江)设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误的是( )A．若d<0，则数列{S n}有最大项B．若数列{S n}有最大项，则d<0C．若数列{S n}是递增数列，则对任意n∈N*，均有S n>0D．若对任意n∈N*，均有S n>0，则数列{S n}是递增数列解析：若{S n}为递增数列，∴当n≥2时，S n－S n－1＝a n>0，即n≥2时，a n 均为正数，而a1是正数、负数或是零均有可能，故对任意n∈N*，不一定S n始终大于0.答案：C5．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，若S1＝1，S4S2＝4，则S6S4的值为A.94 B.32C.54D．4解析：设数列{a n}的公差为d.依题意得S4＝4×1＋4×32d＝4＋6d，S2＝2＋d，且S4＝4S2，即4＋6d＝4(2＋d)，d＝2，S6＝6×1＋6×52d＝36，S4＝16，S6S4＝3616＝94，选A.答案：A6．已知在等差数列{a n}中，对任意n∈N*，都有a n>a n＋1，且a2，a8是方程x2－12x＋m＝0的两根，且前15项的和S15＝m，则数列{a n}的公差是() A．－2或－3 B．2或3C．－2 D．－3解析：2a5＝a2＋a8＝12，得a5＝6，由S15＝m得a8＝m15.又因为a8是方程x2－12x＋m＝0的根，解之得m＝0，或m＝－45，则a8＝0或－3. 由3d＝a8－a5得d＝－2或－3.答案：A二、填空题7．(2011年湖南)设S n 是等差数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和，且a 1＝1，a 4＝7，则S 5＝________.解析：∵a 1＝1，a 4＝1＋3d ＝7，∴d ＝2， ∴S 5＝5a 1＋5×42d ＝5＋10×2＝25. 答案：258．(2012年福建泉州质检)定义运算|a c b d |＝ad －bc ，函数f (x )＝|x －1－x2x ＋3|图象的顶点是(m ，n )，且k ，m ，n ，r 成等差数列，则k ＋r ＝________.解析：f (x )＝(x －1)(x ＋3)＋2x ＝x 2＋4x －3，顶点是(－2，－7)，因为k ，m ，n ，r 成等差数列，所以k ＋r ＝m ＋n ＝－9.答案：－99．(2013届江西省百所重点高中阶段性诊断)已知分别以d 1和d 2为公差的等差数列{a n }和{b n }满足a 1＝18，b 14＝36，a k ＝b k ＝0，且数列a 1，a 2，…，a k ，b k＋1，b k ＋2，…，b 14，…(k <14)的前n 项和S n 满足S 14＝2S k ，则a n ＋b n ＝__________. 解析：由S 14＝2S k ，得S k ＝S 14－S k ， ∵a k ＝b k ＝0，S k ＝S 14－S k －1 ∴18＋02×k ＝36＋02×(14－k ＋1)，则9k ＝18×(15－k )，得k ＝10，d 1＝0－189＝－2，d 2＝36－014－10＝9，则a n ＝－2n ＋20，b n ＝9n －90，即有a n ＋b n ＝7n －70.答案：7n －70 三、解答题10．(2012年山东临沂二模节选)在数列{a n }中，a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)．(1)求证：数列{1a n}是等差数列；(2)求数列{a n }的通项．解：(1)证明：因为3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)， 整理得1a n －1a n －1＝3(n ≥2)．所以数列{1a n}是以1为首项，3为公差的等差数列．(2)由(1)可得1a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，所以a n ＝13n －2.11．(1)在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 有最大值，并求出它的最大值．(2)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝4n －25，求数列{|a n |}的前n 项和． 解：(1)由a 1＝20，S 10＝S 15，解得公差d ＝－53. ∵S 10＝S 15，∴S 15－S 10＝a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. ∵a 11＋a 15＝a 12＋a 14＝2a 13，∴a 13＝0， 又∵a 1>0，∴a 1、a 2、…、a 11、a 12均为正数，而a 14及以后各项均为负数． ∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，为S 12＝S 13＝130. (2)∵a n ＝4n －25，a n ＋1＝4(n ＋1)－25， ∴a n ＋1－a n ＝4＝d ，又a 1＝4×1－25＝－21.所以数列{a n }是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列， 令⎩⎨⎧a n ＝4n －25<0， ①a n ＋1＝4(n ＋1)－25≥0， ② 由①得n <614；由②得n ≥514，所以n ＝6.即数列{|a n |}的前6项是以21为首项，公差为－4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列，而|a 7|＝a 7＝4×7－24＝3. 设{|a n |}的前n 项和为T n ，则T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧21n ＋n (n －1)2×(－4)(n ≤6)66＋3(n －6)＋(n －6)(n －7)2×4(n ≥7)＝⎩⎨⎧－2n 2＋23n (n ≤6)，2n 2－23n ＋132 (n ≥7).12．(2012年江苏泰州高三第一学期期末考试)已知数列{a n }，对于任意n ≥2，在a n －1与a n 之间插入n 个数，构成的新数列{b n }成等差数列，并记在a n －1与a n 之间插入的这n 个数均值为C n －1.(1)若a n ＝n 2＋3n －82，求C 1，C 2，C 3；(2)在(1)的条件下是否存在常数λ，使{C n ＋1－λC n }是等差数列？如果存在，求出满足条件的λ，如果不存在，请说明理由；(3)求出所有的满足条件的数列{a n }．解：(1)由题意a 1＝－2，a 2＝1，a 3＝5，a 4＝10， ∴在a 1与a 2之间插入－1,0，C 1＝－12. 在a 2与a 3之间插入2,3,4，C 2＝3. 在a 3与a 4之间插入6,7,8,9，C 3＝152.(2)在a n －1与a n 之间插入n 个数构成等差数列，d ＝a n －a n －1n ＋1＝1， ∴C n －1＝n (a n －1＋a n )2n ＝a n －1＋a n 2＝n 2＋2n －92.假设存在λ使得{C n ＋1－λC n }是等差数列．∵(C n ＋1－λC n )－(C n －λC n －1)＝C n ＋1－C n －λ(C n －C n －1) ＝2n ＋52－λ·2n ＋32＝(1－λ)n ＋52－32λ＝常数，∴λ＝1时，{C n ＋1－λC n }是等差数列．(3)由题意满足条件的数列{a n }应满足a n －a n －1n ＋1＝a n ＋1－a nn ＋2，∴a n ＋1－a n a n －a n －1＝n ＋2n ＋1， ∴a n ＋1－a n a n －a n －1·a n －a n －1a n －1－a n －2·…·a 4－a 3a 3－a 2·a 3－a 2a 2－a 1 ＝n ＋2n ＋1·n ＋1n ·…·54·43＝n ＋23. ∴a n ＋1－a n ＝13(a 2－a 1)·(n ＋2)，∴a n －a n －1＝13(a 2－a 1)·(n ＋1)， …a 3－a 2＝13(a 2－a 1)×4， a 2－a 1＝13(a 2－a 1)×3，∴a n －a 1＝13(a 2－a 1)·(n －1)(3＋n ＋1)2(n ≥2)，∴a n ＝16(a 2－a 1)(n －1)(n ＋4)＋a 1(n ≥2)，又∵n ＝1时也满足条件，∴形如a n ＝a (n －1)(n ＋4)＋b (a ，b ∈R)的数列均满足条件． [热点预测]13．(1)(2012年安徽江南十校第一次联考)已知函数f (x )＝cos x ，x ∈(0,2π)有两个不同的零点x 1，x 2，且方程f (x )＝m 有两个不同的实根x 3，x 4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m ＝( )A.12 B ．－12 C.32D ．－32(2)(2012年山东滨州一模)把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设a ij (i ，j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如a 63＝18，若a ij ＝2 012，则i ＋j ＝( )A.75 C ．77D ．78解析：(1)若m >0，则公差d ＝3π2－π2＝π， 显然不成立，所以m <0， 则公差d ＝3π2－π23＝π3.所以m ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝－32，故选D.(2)观察此三角形数表可得到以下信息：(1)奇数行中都是奇数，偶数行中都是偶数；(2)第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数，依此类推，第2n 行有2n 个数；(3)单看偶数行，第2行、第4行共有6个数，而第4行最后一个数为12＝6×2，第2行、第4行、第6行共有12个数，而第6行最后一个数为24＝12×2，依此类推，前2n (n ∈N *)行(包括第2n 行)共有2＋4＋6＋…＋2n ＝(2＋2n )n 2＝n 2＋n 个偶数，第2n 行的最后一个数为2n 2＋2n ，当n ＝32时，2n 2＋2n ＝2 112，故2 012应在第64行，又2 112－2 0122＝50，所以2 012应在第64行从左往右数第64－50＝14个数，所以i ＋j ＝64＋14＝78.选D.答案：(1)D (2)D。