北师大版高中数学选修1-1第二章单元检测(B)

一、选择题1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线0x y -=与椭圆C 相交于不同的两点A B 、，若P 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为12-，则椭圆C 的方程为（ ） A ．22132x y +=B ．22143x y +=C ．22152x y +=D ．22163x y +=2．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线被圆()2223x y -+=截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．3B ．2C D 3．已知双曲线22221x y a b -=的两个焦点分别为21(,0)(,0)(0)F c F c c ->，过点2,0a P c ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线与双曲线的左右两支分别交于,A B 两点，且122F A F B =-，求双曲线的离心率（ ）A B C D 4．已知F 是双曲线2222:1(0)x y E a b a b-=>>的左焦点，过点F 的直线与双曲线E 的左支和两条渐近线依次交于,,A B C 三点，若||||||FA AB BC ==，则双曲线E 的离心率为（ ）A B C ．2D 5．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，，点M 在双曲线C 的渐近线上，若212211221cos 12cos ,3MF F MF F FMF MF F ∠+=∠∠=∠，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．BC ．D ．26．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,124ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则该椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）A ．12,23⎛⎫⎪⎝⎭B ．2⎛ ⎝⎭C ．,23⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．323⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭7．已知直线:(1)(2)230l a x a y a +++--=经过定点P ，与抛物线24x y =交于,A B 两点，且点P 为弦AB 的中点，则直线l 的方程为（ ） A ．230x y +-= B ．210x y -+= C ．210x y -+=D ．20x y +-=8．已知抛物线2:C x y =，点()2,0A ，()0,2B -，点P 在抛物线上，则满足PAB △为直角三角形的点P 的个数有（ ） A ．2B ．4C ．6D ．89．设1F 、2F 是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且1PF <2PF ，线段1PF 垂直平分线经过2F ，若1C 和2C 的离心率分别为1e 、2e ，则129e e +的最小值（ ）A ．2B ．4C ．6D ．810．已知动点(),P x y 5a a=+(a 为大于零的常数)﹐则动点P 的轨迹是（ ） A ．线段B ．圆C ．椭圆D ．双曲线11．设双曲线2214y x -=的左、右焦点分别为12,F F ，若点P 在双曲线上，且12F PF △为锐角三角形，则12PF PF +的取值范围是（ ）A ．B ．(6,8)C ．D ．(6,10)12．已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点F 在y 轴正半轴上．若点F 到双曲线222:126x y C -=的一条渐近线的距离为2，则1C 的标准方程是（ ）A ．23y x =B ．23y x =C ．28x y =D ．216x y =二、填空题13．已知抛物线22y px =上三点(2,2),,A B C ，直线,AB AC 是圆22(2)1x y -+=的两条切线，则直线BC 的方程为___________. 14．方程1169x x y y+=表示的曲线为函数()y f x =的图象.对于函数()y f x =，现有如下结论：①函数()y f x =的值域是R ；②()y f x =在R 上单调递减；③()y f x =的图象不经过第三象限；④直线340x y +=与曲线()y f x =没有交点.其中正确的结论是___________.15．设1A 、2A 为椭圆()222210x ya b a b+=>>的左、右顶点，若在椭圆上存在异于1A 、2A的点P ，使得10PO PA ⋅=，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是_____. 16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，过点F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，点P 在双曲线上，且3FP FH =，则双曲线的离心率为__________．17．若M ，P 是椭圆2214x y +=两动点，点M 关于x 轴的对称点为N ，若直线PM ，PN 分别与x 轴相交于不同的两点A (m ，0)，B (n ，0)，则mn =_________.18．已知双曲线M ：22221x y a b-=（0a >，0b >），ABC 为等边三角形．若点A 在y轴上，点B ，C 在双曲线M 上，且双曲线M 的实轴为ABC 的中位线，则双曲线M 的离心率为________．19．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为椭圆的右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率的最大值为______．20．已知抛物线C : y 2=2px (p >0)，直线l ：y = 2x + b 经过抛物线C 的焦点，且与C 相交于A 、B 两点．若|AB | = 5，则p = ___．三、解答题21．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到直线:l y x =的距离为2,2A B ，为抛物线C 上两个动点，满足线段AB 的中点M 在直线l 上，点(0,2)N .（1）求抛物线C 的方程； （2）求NAB △面积的取值范围.22．如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，过椭圆右焦点2F 作两条互相垂直的弦AB 与CD ，当直线AB 的斜率为0时，||||7AB CD +=．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求||||AB CD +的取值范围．23．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过点()2,1A ，椭圆C 在点A 处的切线方程为3y x =-+.（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点()3,0B 且与x 轴不重合的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，直线AM ，AN 分别与直线3x =-分别交于P ，Q ，记点P,Q 的纵坐标分别为p ，q ，求p q +的值.24．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左，右顶点分别为,A B ，离心率3e =E 上任意一点M 到两个焦点1F ，2F 的距离之积的最大值为4.（1）求椭圆E 的方程；（2）已知点P 为直线l ：4x =上的任意一点，直线PA 、PB 与椭圆E 分别交于两点C 、D （不同于A 、B 两点），求证：直线CD 经过定点，并求出该定点的坐标，25．已知椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>经过如下四个点中的三个，1132P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，()20,1P ，3132P ⎫⎪⎭，，)43P ，1. （1）求椭圆M 的方程;（2）设直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且以线段AB 为直径的圆经过椭圆M 的右顶点C (A ，B 均不与点C 重合)，证明:直线l 过定点.26．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，点M 为短轴的一个端点，离心率为12，12MF F △的面积3S = （1）求椭圆C 的方程；（2）设A 是椭圆上的一点，B 是点A 关于x 轴的对称点，P 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，且直线PA 、PB 分别于x 轴交于不同的点C 、D ，O 为坐标原点，求POC POD S S ⋅△△的最大值，并求出此时P 点的坐标【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】设出,A B 两点的坐标，代入椭圆方程，作差变形，利用斜率公式和中点坐标可求得结果. 【详解】设(,0)F c -，因为直线0x y -=过(,0)F c -，所以00c --=，得c = 所以2223a b c -==， 设1122(,),(,)A x y B x y ，由22112222222211x y a b x y a b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2222121222x x y y a b --=-，得2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+， 因为P 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，所以1212(,)22x x y y P ++，1212121212202OP y y y y k x x x x +-+===-++-，所以221222122(2)ABy y b b k x x a a-==-⋅-=-， 又,A B在直线0x y -=上，所以1AB k =，所以2221b a =，即222a b =，将其代入223a b -=，得23b =，26a =，所以椭圆C 的方程为22163x y +=.故选：D 【点睛】方法点睛：本题使用点差法求解，一般涉及到弦的中点和斜率问题的题目可以使用点差法，步骤如下：①设出弦的两个端点的坐标；②将弦的两个端点的坐标代入曲线方程； ③作差变形并利用斜率公式和中点坐标公式求解.2．D解析：D 【分析】设双曲线C 的渐近线方程为y kx =，其中bk a=±，利用圆的半径、渐近线截圆所得弦长的一半、弦心距三者满足勾股定理可求得k的值，再利用e =C 的离心率e 的值. 【详解】设双曲线C 的渐近线方程为y kx =，其中b k a=±， 圆()2223x y -+=的圆心坐标为()2,0，半径为r =圆心到直线y kx =的距离为d =另一方面，由于圆的半径、渐近线截圆所得弦长的一半、弦心距三者满足勾股定理，可得d ===，解得1k =±，1ba∴=， 因此，双曲线C的离心率为c e a ==== 故选：D. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.3．B解析：B 【分析】先根据题意画出图形，再根据122F A F B=-，得到21F AF B B P ∽，根据相似比得到222a a c c c c ⎛⎫+=⨯- ⎪⎝⎭，即可求出离心率. 【详解】 解：如图所示：122F A F B =-， 12//F A F B ∴，12AF B BF P ∴∽，且122F PF P=, 即222a a c c c c ⎛⎫+=⨯- ⎪⎝⎭， 两边同时除以a 得2a c c a c a a c ⎛⎫+=⨯- ⎪⎝⎭， 即122e e e e+=-， 又1e >，解得：3e = 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用三角形相似比得到,a c 的关系式，进而求得离心率.4．B解析：B 【分析】可设出直线AB ，与两渐近线方程联立，解出,B C y y ，利用两者的关系式求出直线的斜率.进而表示出A 的坐标，代入双曲线方程，得到,,a b c 的关系式，从而求得离心率. 【详解】||||||FA AB BC ==，故有1123A B C y y y == 故32B C y y =设过点F 的直线方程为：()y k x c =+联立()y k x c by x a ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，解之得C C kc x bk a b kc a y b k a -⎧=⎪+⎪⎪⎨⎪=⎪⎪+⎩ 同理联立()y k x c by x a ⎧=+⎪⎨=⎪⎩解之得B B kc x bk a b kc a y b k a ⎧=⎪-⎪⎪⎨⎪=⎪⎪-⎩由32B C y y =有23b bkc kca ab b k k a a =+-，故3232b b k k a a +=- 解之得5bk a=-直线为：()5by x c a=-+ 则1212A B bc y y a -==，又()5A A b y x c a =-+ 故712A cx =-又A 在双曲线上可得：2222491144144c c a a -= 得2213c a=故ca=故选：B 【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．5．D解析：D 【分析】根据角的关系计算出12216030MF F MF F ∠=︒∠=︒，，从而求出渐近线方程为3y x =±，得到3ba=，可求离心率. 【详解】因为21221cos 12cos MF F MF F ∠+=∠，故1221cos cos2MF F MF F ∠=∠，即12212MF F MF F ∠=∠，而12213FMF MF F ∠=∠，故12216030MF F MF F ∠=︒∠=︒，，则三角形1MFO 为等边三角形，故双曲线C 的渐近线方程为3y x =±，则2212b e a=+=，故选D ．【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．6．B解析：B 【分析】由题意设椭圆的左焦点为N ，连接AN ，BN ，因为AF ⊥BF ，所以四边形AFBN 为长方形，再根据椭圆的定义化简得22cos 2sin a c c ＝＋αα，得到离心率关于α的函数表达式，再利用辅助角公式和三角函数的单调性求得离心率的范围. 【详解】由题意椭圆22221x y a b+=()00a b >>，上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，设左焦点为N ，连接AN ，BN ，因为AF ⊥BF ，所以四边形AFBN 为长方形．根据椭圆的定义：2AF AN a +=，由题∠ABF ＝α，则∠ANF ＝α， 所以22cos 2sin a c c αα+＝，利用2112sin cos 4c e a πααα===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∵,124ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴342πππα<+<14πα<<⎛⎫+ ⎪⎝⎭e 的取值范围是⎝⎭，故选B . 【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的取值范围问题，其中解答中合理利用椭圆的定义和题设条件，得到22cos 2sin a c c ＝＋αα,再利用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.7．B解析：B 【分析】利用点差法求出直线斜率，即可得出直线方程. 【详解】由直线:(1)(2)230l a x a y a +++--=得(2)(23)0a x y x y +-++-= 所以20230x y x y +-=⎧⎨+-=⎩ 解得11x y =⎧⎨=⎩则()1,1P设1122(,),(,)A x y B x y ，则21122244x y x y ⎧=⎨=⎩，两式相减得121212()()4()x x x x y y -+=-， 即121212142AB y y x x k x x -+===-， 则直线方程为11(x 1)2y -=-，即210x y -+=. 故选：B. 【点睛】方法点晴：点差法是求解中点弦有关问题的常用方法.8．B解析：B 【分析】分三个角为直角分别进行讨论，通过数形结合即得结果. 【详解】(1)若APB ∠为直角，如下图，即以AB 为直径的圆与抛物线的交点为P ，易见有O ，P 两个点符合题意；（2）若PAB ∠为直角，则过A 作直线垂直AB ，如下图，易见有P ，P '两个点符合题意；（3）若PBA ∠为直角，则过B 作直线垂直AB ，如上图，易见无交点，不存在点P 符合题意.综上，共有4个点符合题意. 故选：B. 【点睛】 关键点点睛：本题的解题关键在于对三个角为直角进行分类讨论，再结合数形结合思想即突破难点.9．D解析：D 【分析】设椭圆和双曲线的方程，由题意可得2122PF F F c ==，再利用椭圆和双曲线的定义分别求出1PF ，即可得122a a c +=，计算12112e e +=，()121212111992e e e e e e ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭展开后利用基本不等式即可求最值. 【详解】设椭圆1C 的方程为2222111x y a b +=，则222111c a b =-，设双曲线2C 的方程为2222221x y a b -=，则222222c a b =+，因为椭圆1C 和双曲线2C 的焦点相同，所以2212c c =，设12c c c ==即22221122a b a b -=+，因为P 是椭圆1C 和双曲线2C 的一个公共点， 所以1212+=PF PF a ，2122PF PF a -=，因为线段1PF 垂直平分线经过2F ，所以2122PF F F c ==， 所以1122PF a c =-，且1222PF c a =-， 所以122222a c c a -=-，可得122a a c +=， 所以11c e a =，22c e a =，所以1212121122a a a a ce e c c c c++=+===， 所以()211212121291111991022e e e e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11101023822⎛≥+=+⨯= ⎝， 当且仅当21129e e e e =，即213e e =时等号成立， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用已知条件得出122a a c +=，进而可得12112e e +=， 再利用基本不等式可求最值.10．C解析：C 【分析】由a 为大于零的常数，可知5a a+的最小值，再根据两点间距离公式得几何意义以及椭圆定义判断轨迹. 【详解】的几何意义为点(),P x y 与点(0,2)A 间的距离，的几何意义为点(),P x y 与点(0,2)B -间的距离，且4AB =又由a为大于零的常数，可知54a a +≥=>，当且仅当5a a=，即5a =时取等， 故()()22225224x y x y a a+-+++=+>， 即动点P 到点A 与到点B 的距离之和为定值，且大于AB ， 所以动点P 的轨迹为椭圆， 故选：C. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F 1F 2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况．11．D解析：D 【分析】由题意画出图形，不妨设P 在第一象限，P 点在1P 与2P 之间运动，求出112F PF ∠和122F F P ∠ 为直角时12PF PF +的值，可得12F PF △ 为锐角三角形时12PF PF +的取值范围． 【详解】12F PF △为锐角三角形，不妨设P 在第一象限，P 点在1P 与2P 之间运动，如图，当P 在1P 处，11290FPF ∠=，又1,2,5a b c === 由222111212|||||20|PF PF F F =+=，1112||||2PF PF -=， 可得1112||||8PF PF ⋅=， 此时 1112||||6PF PF +=；当P 在2P 处，12290FF P ∠=，25P x =易知24P y = 则224P F =此时12222222||||||2||10P F P F P F a P F +=++=∴12F PF △为锐角三角形，则12PF PF +的取值范围是()6,10， 故选：D ． 【点晴】关键点点晴：本题的关键在于求出112F PF ∠和122F F P ∠ 为直角时12PF PF +的值.12．D解析：D 【分析】先根据双曲线的方程求解出双曲线的渐近线方程，再根据点到直线的距离公式求解出抛物线方程中的p ，则抛物线方程可求. 【详解】双曲线2C 的渐近线方程是22026x y -=，即y =.因为抛物线的焦点()0,02p F p ⎛⎫> ⎪⎝⎭0y -=的距离为2，2=，即8p =，所以1C 的标准方程是216x y =，故选：D ． 【点睛】方法点睛：求解双曲线方程的渐近线方程的技巧：已知双曲线方程22221x y a b-=或22221y x a b -=，求解其渐近线方程只需要将方程中的“1”变为“0”，由此得到的y 关于x 的一次方程即为渐近线方程. 二、填空题13．【分析】先利用点求抛物线方程利用相切关系求切线再分别联立直线和抛物线求出点即求出直线方程【详解】在抛物线上故即抛物线方程为设过点与圆相切的直线的方程为：即则圆心到切线的距离解得如图直线直线联立得故由 解析：3640x y ++=【分析】先利用点(2,2)A 求抛物线方程，利用相切关系求切线,AB AC ，再分别联立直线和抛物线求出点,B C ，即求出直线BC 方程. 【详解】(2,2)A 在抛物线22y px =上，故2222p =⨯，即1p =，抛物线方程为22y x =，设过点(2,2)A 与圆22(2)1x y -+=相切的直线的方程为：()22y k x -=-，即220kx y k -+-=，则圆心()2,0到切线的距离2202211k kd k -+-==+，解得3k =±，如图，直线():232AB y x -=-，直线():232AC y x -=--.联立)22322y x y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，得()23431416830x x ++-=，故16833A B x x -=，由2A x =得8433B x -=，故2363B y =， 联立)22322y x y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，得()23431416830x x -++=，故1683A C x x +=，由2A x =得843C x +=，故236C y --=， 故2362364B C y y ---+=+=-，又由,B C 在抛物线上可知， 直线BC 的斜率为22221114222B C B C BC B C B C B C y y y y k x x y y y y --=====--+--，故直线BC 的方程为23618432y x ⎛--=- ⎝⎭，即3640x y ++=. 故答案为：3640x y ++=14．①②③④【分析】根据方程分别讨论和四种情况得到不同的解析式画出对应的图象即可得答案【详解】当时方程为表示椭圆在第一象限的部分当时方程为表示双曲线在第四象限的部分当时方程为表示双曲线在第二象限的部分当解析：①②③④ 【分析】根据方程，分别讨论0,0x y ≥≥、0,0x y ><、0,0x y <>和0,0x y <<四种情况，得到不同的解析式，画出对应的图象，即可得答案. 【详解】当0,0x y ≥≥时，方程为221169x y+=，表示椭圆在第一象限的部分，当0,0x y ><时，方程为221169x y -=，表示双曲线在第四象限的部分，当0,0x y <>时，方程为221916y x-=，表示双曲线在第二象限的部分，当0,0x y <<时，方程为221916y x --=，无意义，所以()y f x =图象如下所示：所以函数()y f x =的值域是R ；故①正确；()y f x =在R 上单调递减，故②正确；()y f x =的图象不经过第三象限，故③正确；直线340x y +=为双曲线的渐近线，所以曲线()y f x =没有交点，故④正确. 故答案为：①②③④ 【点睛】解题的关键是根据题意，分类讨论，得到不同的解析式，再画图求解，考查分类讨论，数形结合的能力，属基础题.15．【分析】设点由可得出求出函数在区间上的零点为化简得出进而可解得的取值范围【详解】设点则可知点设则函数在区间上存在零点则为方程的一根设函数在区间内的零点为由韦达定理可得所以即整理可得即解得因此椭圆的离解析：2⎫⎪⎪⎝⎭【分析】设点(),P x y ，由10PO PA ⋅=可得出2220e x ax b ++=，求出函数()f x 在区间(),0a -上的零点为22ab c-，化简得出2201b c <<，进而可解得e 的取值范围.【详解】设点(),P x y ，则22222b y b x a=-，可知点()1,0A a -，(),PO x y =--，()1,PA a x y =---，()()22222222221220b c PO PA x a x y x y ax x b x ax x ax b a a⋅=---+-=++=+-+=++=，设()222f x e x ax b =++，则函数()f x 在区间(),0a -上存在零点，()2220f a c a b -=-+=，则a -为方程2220e x ax b ++=的一根，设函数()f x 在区间(),0a -内的零点为1x ，由韦达定理可得222122b a b ax e c -==，212ab x c∴=-，所以，220ab a c -<-<，即2201b c <<，整理可得2222a c b c -=<，222a c ∴<，即221e >，01e <<，解得12e <<.因此，椭圆的离心率e 的取值范围是2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出a 、c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a 、b 、c 的齐次式，结合222b a c =-转化为a 、c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程（或不等式），解方程（或不等式）即可得e （e 的取值范围）．16．【分析】根据向量条件求出的坐标代入双曲线方程即可得出结论【详解】由题意设直线的方程为与渐近线联立可得的坐标为即代入双曲线方程可得化简可得故答案为：【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质求双曲【分析】根据向量条件，求出P 的坐标，代入双曲线方程，即可得出结论.【详解】由题意，设(,)P x y ，直线FH 的方程为()ay x c b=+，与渐近线b y x a =-联立，可得H 的坐标为2(,)c aba c-，3FP FH =，即23a x c c cab y c ⎧+=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 2323a x c c ab y c ⎧=-+⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，代入双曲线方程可得，222223(2)91a c a c a c-+-=， 化简可得22413c a=，132c ea， 【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．17．4【分析】设出的坐标写出坐标满足的关系式根据题意写出直线的方程求出的横坐标计算得出的值【详解】解：设则则所以直线的方程为令可得同理有直线的方程为令可得则故答案为：【点睛】圆锥曲线中求定值问题常见的方解析：4 【分析】设出,,M N P 的坐标，写出坐标满足的关系式.根据题意，写出直线PM ，PN 的方程，求出,A B 的横坐标，计算得出mn 的值. 【详解】解：设(),M a b ，则(),N a b -，(),P c d ，则2214a b +=，2214c d +=所以PM d bk c a-=- 直线PM 的方程为()d b y b x a c a --=--，令0y =可得ad bcm d b-=- 同理有PM d b k c a+=- 直线PN 的方程为()d b y b x a c a ++=--，令0y =可得ad bcn d b+=+ 则222222ad bc ad bc a d b c mn d b d b d b -+-⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪-+-⎝⎭⎝⎭222222111144111144a c c a c a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭ ()2222414a c a c -==-故答案为：4 【点睛】圆锥曲线中求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．18．【分析】可根据实轴为的中位线得出再根据对称性及为等边三角形表示出的坐标代入双曲线方程得到关系式求解离心率【详解】实轴长为则关于轴对称不妨设在双曲线左支则其横坐标为根据为等边三角形可得故将的坐标代入双【分析】可根据实轴为ABC 的中位线，得出BC ，再根据对称性及ABC 为等边三角形，表示出B 的坐标，代入双曲线方程，得到,a b 关系式求解离心率. 【详解】实轴长为2a ，则4BC a =，BC 关于y 轴对称不妨设B 在双曲线左支，则其横坐标为2a ，根据ABC 为等边三角形，60ABC ∠=可得B y =故()2,B a，()2,C a -，将B 的坐标代入双曲线方程有2222431a a a b-=，则a b =，则c =故e =【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．19．【分析】设左焦点为根据椭圆的定义有且O 是直角三角形斜边的中点所以离心率由角的范围可求得离心率的最大值【详解】因为关于原点对称所以B 也在椭圆上设左焦点为根据椭圆的定义：又因为所以O 是直角三角形斜边的中解析：3【分析】设左焦点为F '，根据椭圆的定义有，||||2AF BF a +=，且O 是直角三角形ABF 斜边的中点，所以||2,||2sin ,||2cos AB c AF c BF c αα===，离心率11sin cos 4c a πααα==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由角的范围可求得离心率的最大值.【详解】因为,B A 关于原点对称，所以B 也在椭圆上，设左焦点为F '，根据椭圆的定义：||2AF AF a '+=，又因为||BF AF '=，所以||||2AF BF a +=，O 是直角三角形ABF 斜边的中点，所以||2,||2sin ,||2cos AB c AF c BF c αα===，所以2(sin cos )2c a αα+=，所以11sin cos 4c a πααα==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 由于,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以当12πα=,. 【点睛】关键点点睛：求椭圆的离心率关键在于由椭圆的定义，善于利用平面几何中的边、角关系建立关于,,a b c 的等式或不等式.20．2【分析】法1：首先利用直线过焦点得再利用直线与抛物线方程联立利用根与系数的关系表示计算求得；法2：由已知求得的值再利用弦长公式求的值【详解】法1：由题意知直线即直线经过抛物线的焦点即直线的方程为设解析：2 【分析】法1：首先利用直线过焦点，得b p =-，再利用直线与抛物线方程联立，利用根与系数的关系表示12AB x x p =++，计算求得p ；法2：由已知tan 2θ=，求得sin θ的值，再利用弦长公式22sin pAB θ=，求p 的值. 【详解】法1：由题意知，直线:2l y x b =+，即22b y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭．直线l 经过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，22b p∴-=，即b p =-．∴直线l 的方程为2y x p =-． 设()11,A x y 、()22,B x y ，联立222y x py px=-⎧⎨=⎩，消去y 整理可得22460x px p -+=，由韦达定理得1232p x x +=，又5AB =，12552x p p x ∴++==，则2p =.法2：设直线的切斜角为θ，则tan 2k θ==，得sin θ=，∴22225sin p pAB θ===，得2p =.故答案为：2 【点睛】结论点睛：当直线过抛物线的焦点时，与抛物线交于,A B 两点，AB 称为焦点弦长，有如下的性质：直线与抛物线交于()()1122,,,A x y B x y ，①221212,4p y y p x x =-=；②12AB x x p =++；③11AF BF +为定值2p ；④弦长22sin p AB θ= （θ为直线AB 的倾斜角）；⑤以AB 为直径的圆与准线相切；⑥焦点F 对,A B 在准线上射影的张角为90.三、解答题21．（1）24y x =；（2）(0,4]. 【分析】（1）利用抛物线焦点F 到直线l，求出抛物线方程； （2）设出直线AB 的方程与抛物线方程联立，由弦长公式和点线距公式表示出NAB △的面积，并由线段AB 的中点M 在直线l 上减少参数，利用换元法得出NAB △面积的取值范围． 【详解】 （1）,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭由2pd ==，解得2p = 所以抛物线方程为24y x =（2）设直线AB 的方程为：221212,,,,44y y x my t A y B y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭联立方程组24y xx my t⎧=⎨=+⎩，消去x 得2440y my t --=所以121244y y my y t+=⎧⎨=-⎩，得(2,2)M m m有2212444y y m +=，即()21212216y y y y m +-= 所以222t m m =- 点N 到AB 的距离h =||AB ==所以1||2|22NABSAB h m t =⋅⋅=+242m m =-令u =u =由24y xy x=⎧⎨=⎩，得l 与抛物线的两交点坐标为(0,0),(4,4)， 因点M 在l 上可得(0,2)m ∈ 所以(0,1]μ∈ 得34(0,4]NABSu =∈【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查面积公式，解决本题的关键点是由弦长公式和点线距公式表示出NAB △的面积，并由线段AB 的中点M 在直线l 上减少参数，利用换元法和函数的性质得出NAB △的面积的取值范围，考查了学生计算能力，属于中档题．22．（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）48,77⎡⎤⎢⎥⎣⎦；【分析】（Ⅰ）通过当直线AB 的斜率为0时可知||2AB a =，22||b CD a =，结合12c e a ==，计算即得结论；（Ⅱ）分别对两条弦的斜率进行讨论，当两条弦中一条斜率为0时、另一条弦的斜率不存在时易得结论；当两条弦斜率均存在且不为0时，通过设直线AB 、CD 的方程并分别与椭圆方程联立，利用韦达定理及两点间距离公式，可得||||AB CD +的表达式，利用换元法及二次函数的性质计算即得结论． 【详解】解：（Ⅰ）当直线AB 的斜率为0时，直线CD 垂直于x 轴， ||2AB a ∴=，22||b CD a =，即22||||27b AB CD a a+=+=， 12c e a ==，且222a b c =+，解得：2,a b =，所以椭圆方程为22143x y +=；（Ⅱ）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在， 由题意可知，||||7AB CD +=；②当两条弦斜率均存在且不为0时，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 设直线AB 的方程为(1)y k x =-，则直线CD 的方程为1(1)y x k=--，将直线AB 的方程代入椭圆方程中，并整理得：2222(34)84120k x k x k +-+-=，∴221212228412,3434k k x x x x k k -+==++，∴212212(1)|||34k AB x x k +=-=+，同理，2222112(1)12(1)||4343k k CD k k++==++， ∴2222222212(1)12(1)84(1)||||3434(34)(34)k k k AB CD k k k k ++++=+=++++，令21t k =+，则1t >，∴2222848484||||1149(41)(31)121()24t t AB CD t t t t t +===-++---+，1t >，∴101t<<，∴211494912()244t <--+，∴241111494912()24t <--+， ∴24884711497()24t <--+，∴48||||77AB CD +<， 综合①②可知，||||AB CD +的取值范围为：48,77⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．23．（1）22163x y +=；（2）12.【分析】（1）椭圆C 过点()2,1A ，()2,1B --，在点A 处的切线方程为3y x =-+,可用待定系数法求椭圆的标准方程；（2）用设而不求法把p ，q 表示出来，整理化简即可. 【详解】（1）由题意知椭圆C 在()2,1A 处的切线方程为2221x y a b +=也为3y x =-+，∴22621133a a b b ⎧=⎪==⇒⎨=⎪⎩ 椭圆C 的方程为22163x y +=.（2）直线l 的方程为()3y k x =-，()11,M x y ，()22,N x y()()2222232696026y k x x k x x x y ⎧=-⇒+-+-=⎨+=⎩ ()222212121860k xk x k +-+-=直线AM 方程为：()111212y y x x -=-+-，令()1151312y x p x --=-⇒=+- 直线AN 方程为()221212y y x x -=-+-，令()2251312y x q x --=-⇒=+- ∴()()1212121231311152522222k x k x y y p q x x x x ⎡⎤----⎛⎫--+=-++=-++⎢⎥⎪----⎝⎭⎣⎦ ()()()()()121212122121452105122222k x k k x k x x k k x x x x ⎡⎤------+-=-++=-++⋅+⎢⎥----⎣⎦()()()222222221241************121244105122210512212k k k k k kk k k k k k k k -+=-++⋅+--+++-=-++⋅+-=-++⋅+=.即12p q +=.【点睛】（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；（2）"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.24．（1）2214x y +=；（2）证明见解析，()1,0.【分析】（1）利用椭圆的定义可得12|||2|MF MF a =+，根据基本不等式求出2a =，再由离心率求出c =222a b c =+即可求解.（2）当点C 是椭圆上顶点时，求出()4,3P ，进而求出点83,55D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，写出直线CD 的方程，得出直线CD 经过定点()1,0N ，设l 上任意点()4,P m ，设(),C C C x y ，(),y D D D x ，写出直线PA 的方程，将直线与椭圆联立，求出2221826,99m m C m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理求出222222,11m m D m m ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，若直线CD 经过定点()1,0N ，只需,,N C D 三点共线，利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】（1）由椭圆的定义知12|||2|MF MF a =+，所以2122122MF MF MF MF a ⎛+⎫≤= ⎪⎝⎭，已知12||||4MF MF ≤，所以24a =，2a =.因为e =c = 因为222a b c =+，所以1b =，所以椭圆E 的方程为2214x y +=.（2）当点C 是椭圆上顶点时，直线AC 的方程为()122y x =+， 可得()4,3P ，则()3:22PB l y x =-与2214x y +=联立解得83,55D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线CD 的方程为：10x y +-=，由椭圆的对称性可知，直线CD 经过x 轴上的定点， 所以直线CD 经过定点()1,0N . 以下证明一般性：设l 上任意点()4,P m ，设(),C C C x y ，(),y D D D x 则直线PA 的方程为()26my x =+ 联立22(2)614m y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得()2222944360m x m x m +++-=由韦达定理得2243629C m x m --=+，解得2221826,99m m C m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭因为直线PB 的方程为()22my x =- 联立22(2)214m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得()222214440m x m x m +-+-=由韦达定理得224421D m x m -=+，解得222222,11m m D m m ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭直线CD 经过定点()1,0N ，即,,N C D 三点共线因为222936,99m m NC m m ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭，22232,11m m ND m m ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭ 因为222222932639191m m m m m m m m ---⨯-⨯++++ ()()()332218661891m m m m mm -+--=++0=所以//NC ND ，那么,,N C D 三点共线 所以直线CD 经过定点()1,0N ， 【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，解题的关键是利用点C 是椭圆上顶点时，求出定点()1,0N ，再证明一般性，借助,,N C D 三点共线求解，考查了运算求解能力.25．（1）2214x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）先分析椭圆M 经过P 1、P 3、P 2，用待定系数法求标准方程；（2）先用联立方程组，设而不求法把以AB 为直径的圆经过C,找到两个参数的关系，证明直线过定点. 【详解】(1)2214x y +=; 由题意，点112P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，与点312P ⎫⎪⎭，关于原点对称， 根据椭圆的对称性且椭圆过其中的三个点可知，点112P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，和点312P ⎫⎪⎭，都在椭圆上， 又因为点312P ⎫⎪⎭，与点)4P 1不可能同时在椭圆上，即椭圆过点112P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，312P ⎫⎪⎭，，()20,1P ，所以(2222121a b⎛⎫ ⎪⎝⎭+=， 且2222011a b+=， 故24a =，21b =，所以，椭圆M 的方程为2214x y +=.(2)直线l 恒过点6,05⎛⎫⎪⎝⎭. 由题意，可设直线AB 的方程()2x ky m m =+≠，联立2214x y x ky m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x ，得()2224240k y kmy m +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则有12224km y y k -+=+，212244m y y k -⋅=+① 又以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，0CA CB =∴⋅，由()112,CA x y =-，()222,CB x y =- 得()()1212220x x y y --+= ， 将11x ky m =+，22x ky m =+代入上式得()()()()2212121220ky y k m y y m ++-++-=，将①代入上式求得65m =或2m =(舍)， 则直线l 恒过点6,05⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；（2）"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题；（3）证明直线过定点，通常有两类：①直线方程整理为斜截式y=kx+b ，过定点(0,b )；②直线方程整理为点斜式y - y o =k (x- x 0)，过定点(x 0,y 0) ．26．（1）22143x y +=；（2）POC POD S S ⋅△△的最大值为3，此时P点坐标为(0,和(.【分析】（1）由面积得bc =,,a b c ，得椭圆方程；（2）设()00,A x y ，则()00,B x y -，不妨设00y >，设()11,P x y ，写出直线,PA PB 方程，求得,C D 两点的横坐标，计算C D x x ⋅，注意点,A P 是椭圆上的点由此可得4C D x x ⋅=为常数，这样可计算出POC POD S S ⋅△△＝2P y ，最大值易得．【详解】 解：（1）由12c a =，2a c =，得b =，又12122MF F S c b =⨯⨯=△ 所以1c =，2a =，b =。

选修1－1 模块综合测试(二)(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．已知命题p ：∀x ∈R ，x ≥1，那么命题¬p 为( ) A ．∀x ∈R ，x ≤1 B ．∃x ∈R ，x <1 C ．∀x ∈R ，x ≤－1D ．∃x ∈R ，x <－1解析：全称命题的否定是特称命题． 答案：B2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有一个相同的焦点F ，且该点到双曲线的渐近线的距离为1，则该双曲线的方程为( )A. x 2－y 2＝2B. x 23－y 2＝1C. x 2－y 2＝3D. x 2－y 23＝1 解析：本题主要考查双曲线与抛物线的有关知识．由已知，a 2＋b 2＝4 ①，焦点F (2,0)到双曲线的一条渐近线bx －ay ＝0的距离为|2b |a 2＋b 2＝1 ②，由①②解得a 2＝3，b 2＝1，故选B.答案：B3．已知命题p ，q ，如果命题“¬p ”与命题“p ∨q ”均为真命题，那么下列结论正确的是( )A ．p ，q 均为真命题B ．p ，q 均为假命题C ．p 为真命题，q 为假命题D ．p 为假命题，q 为真命题解析：命题“¬p ”为真，所以命题p 为假命题．又命题“p ∨q ”也为真命题，所以命题q 为真命题．答案：D4．[2014·福建高考]直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件解析：若k ＝1，则直线l ：y ＝x ＋1与圆相交于(0,1)，(－1，0)两点，所以△OAB 的面积S △OAB ＝12×1×1＝12，所以“k ＝1”⇒“△OAB 的面积为12”；若△OAB 的面积为12，则k ＝±1，所以“△OAB 的面积为12”D ⇒/“k ＝1”，所以“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分而不必要条件，故选A.答案：A5．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于( ) A. e 2 B. e C. ln22D. ln2解析：f ′(x )＝x ′·ln x ＋x ·(ln x )′＝ln x ＋1， ∴f ′(x 0)＝ln x 0＋1＝2，∴ln x 0＝1，∴x 0＝e. 答案：B6．若直线y ＝x ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点，则|AB →|等于( )A.43B.423C.83D.823解析：联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 22＋y 2＝1，得3x 2＋4x ＝0，解得A (0,1)，B (－43，－13)，所以|AB →|＝(－43－0)2＋(－13－1)2＝423. 答案：B7．若函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )>0，f ′(x )>0，那么下列关于函数y ＝xf (x )的说法正确的是( )A. 存在极大值B. 存在极小值C. 是减少的D. 是增加的解析：y′＝f(x)＋xf′(x)，∵x∈(0，＋∞)，且f(x)>0，f′(x)>0，∴y′>0，即函数y＝xf(x)在(0，＋∞)上是增加的．答案：D8．下列四个结论中正确的个数为()①命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是“若x>1或x<－1，则x2>1”；②已知p：∀x∈R，sin x≤1，q：若a<b，则am2<bm2，则p∧q为真命题；③命题“∃x∈R，x2－x>0”的否定是“∀x∈R，x2－x≤0”；④“x>2”是“x2>4”的必要不充分条件．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：只有③中结论正确．答案：B9．如图是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图像，则x21＋x22等于()A. 23 B.43C. 83 D. 4解析：由图像可知，函数f(x)的图像过点(0,0)，(1,0)，(2,0)，∴f(x)＝x(x－1)(x－2)＝x3－3x2＋2x.∴f′(x)＝3x2－6x＋2.∵x1，x2是极值点，∴x1，x2是方程f′(x)＝3x2－6x＋2＝0的两根．∵x1＋x2＝2，x1x2＝23.∴x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝83.答案：C10. 把函数f(x)＝x3－3x的图像c1向右平移u个单位长度，再向下平移v个单位长度后得到图像c2.若对任意u>0，曲线c1与c2至多有一个交点，则v的最小值为()A. 2B. 4C. 6D. 8解析：f ′(x )＝3x 2－3. 令f ′(x )>0，得x >1或x <－1.x (－∞，－1)－1 (－1,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋ f (x )2－2由此根据图像c 1可得v min ＝4.答案：B11．已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为3的直线交抛物线于A 、B 两点，则||FA |－|FB ||的值为( )A. 83B. 163C. 833D. 823解析：本题主要考查直线与抛物线的位置关系以及抛物线的有关性质．直线AB 的方程为y ＝3(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝3(x －1)得3x 2－10x ＋3＝0，故x 1＝3，x 2＝13，所以||FA |－|FB ||＝|x 1－x 2|＝83.故选A.答案：A12．[2012·浙江高考]如图，F 1、F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与双曲线C 的两条渐近线分别交于P 、Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|＝|F 1F 2|，则双曲线C 的离心率是( )A. 233B.62C. 2D. 3解析：本题主要考查双曲线离心率的求解．结合图形的特征，通过PQ 的中点，利用线线垂直的性质进行求解．不妨设c ＝1，则直线PQ ：y ＝bx ＋b ，双曲线C 的两条渐近线为y ＝±b a x ，因此有交点P (－a a ＋1，b a ＋1)，Q (a 1－a ，b 1－a )，设PQ 的中点为N ，则点N 的坐标为(a 21－a 2，b 1－a 2)，因为线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ，|MF 2|＝|F 1F 2|，所以点M 的坐标为(3,0)，因此有k MN ＝b1－a 2－0a 21－a 2－3＝－1b ，所以3－4a 2＝b 2＝1－a 2，所以a 2＝23，所以e ＝62.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0”的否定是__________．解析：特称命题的否定是全称命题，故原命题的否定是∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0. 答案：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>014．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与方向向量为k ＝(6,6)的直线交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(4,1)，则该双曲线的渐近线方程是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2－y 21b 2＝1且x 22a 2－y 22b 2＝1得：y 2－y 1x 2－x 1＝b 2(x 2＋x 1)a 2(y 2＋y 1)＝4b 2a 2，又k ＝1，∴4b 2a 2＝1即：b a ＝±12.即双曲线的渐近线方程为：y ＝±12x .答案：y ＝±12x15．函数f (x )＝ax 4－4ax 3＋b (a >0)，x ∈[1,4]，f (x )的最大值为3，最小值为－6，则a ＋b ＝________.解析：f ′(x )＝4ax 3－12ax 2.令f ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)，或x ＝3. 所以f (x )的最小值为f (3)＝b －27a . 又f (1)＝b －3a ，f (4)＝b ， ∴f (4)为最大值，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，b －27a ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝3，∴a ＋b ＝103.答案：10316. [2014·湖北省襄阳五中月考]已知函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R )，给出下列命题：①若a 2－b ≤0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数；②若a 2－b >0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数；③当x ＝a 时，f (x )有最小值b －a 2；④当a 2－b ≤0时，f (x )有最小值b －a 2.其中正确命题的序号是________．解析：本题考查含绝对值的二次函数单调区间和最小值问题的求解．由题意知f (x )＝|x 2－2ax ＋b |＝|(x －a )2＋b －a 2|.若a 2－b ≤0，则f (x )＝|(x －a )2＋b －a 2|＝(x －a )2＋b －a 2，可知f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数，所以①正确，②错误；只有在a 2－b ≤0的条件下，才有x ＝a 时，f (x )有最小值b －a 2，所以③错误，④正确．答案：①④三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)(1)设集合M ＝{x |x >2}，P ＝{x |x <3}，则“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的什么条件？(2)求使不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立的充要条件． 解：(1)x ∈R ，x ∈(M ∩P )⇔x ∈(2,3)． 因为“x ∈M 或x ∈P ”x ∈(M ∩P )． 但x ∈(M ∩P )⇒x ∈M 或x ∈P .故“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的必要不充分条件．(2)当m ≠0时，不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧4m <0Δ＝4m 2＋16m <0⇔－4<m <0.又当m ＝0时，不等式4mx 2－2mx －1<0对x ∈R 恒成立， 故使不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立的充要条件是－4<m ≤0. 18．(12分)[2014·山西忻州联考]设函数f (x )＝x e x －x (a2x ＋1)＋2.(1)若a ＝1，求f (x )的单调区间；(2)当x ≥0时，f (x )≥x 2－x ＋2恒成立，求a 的取值范围． 解：(1)∵a ＝1，∴f (x )＝x e x －x (12x ＋1)＋2＝x e x －12x 2－x ＋2，∴f ′(x )＝(e x －1)(x ＋1)，∴当－1<x <0时，f ′(x )<0； 当x <－1或x >0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(－1,0)上单调递减，在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增． (2)由f (x )≥x 2－x ＋2，得x (e x －a ＋22x )≥0，即要满足e x ≥a ＋22x ，当x ＝0时，显然成立；当x >0时，即e x x ≥a ＋22，记g (x )＝e xx ，则g ′(x )＝e x (x －1)x 2，易知g (x )的最小值为g (1)＝e ，∴a ＋22≤e ，得a ≤2(e －1)．19．(12分)设直线l ：y ＝x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两个不同的点，l 与x 轴相交于点F .(1)证明：a 2＋b 2>1；(2)若F 是椭圆的一个焦点，且AF →＝2FB →，求椭圆的方程．(1)证明：将x ＝y －1代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去x ，整理，得(a 2＋b 2)y 2－2b 2y ＋b 2(1－a 2)＝0.由直线l 与椭圆相交于两个不同的点，得Δ＝4b 4－4b 2(a 2＋b 2)(1－a 2)＝4a 2b 2(a 2＋b 2－1)>0，所以a 2＋b 2>1. (2)解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(a 2＋b 2)y 21－2b 2y 1＋b 2(1－a 2)＝0，① 且(a 2＋b 2)y 22－2b 2y 2＋b 2(1－a 2)＝0.②因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2.将y 1＝－2y 2代入①，与②联立，消去y 2，整理得(a 2＋b 2)(a 2－1)＝8b 2.③ 因为F 是椭圆的一个焦点，则有b 2＝a 2－1. 将其代入③式，解得a 2＝92，b 2＝72，所以椭圆的方程为2x 29＋2y 27＝1.20．(12分)已知两点M (－1,0)、N (1,0)，动点P (x ，y )满足|MN →|·|NP →|－MN →·MP →＝0， (1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)假设P 1、P 2是轨迹C 上的两个不同点，F (1,0)，λ∈R ，FP 1→＝λFP 2→，求证：1|FP 1→| ＋1|FP 2→|＝1.解：(1)|MN →|＝2，则MP →＝(x ＋1，y )， NP →＝(x －1，y )． 由|MN →||NP →|－MN →·MP →＝0， 则2(x －1)2＋y 2－2(x ＋1)＝0，化简整理得y 2＝4x .(2)由FP 1→＝λ·FP 2→，得F 、P 1、P 2三点共线，设P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，斜率存在时，直线P 1P 2的方程为：y ＝k (x －1)． 代入y 2＝4x 得：k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0. 则x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.∴1|FP 1→| ＋1|FP 2→| ＝1x 1＋1＋1x 2＋1 ＝x 1＋x 2＋2x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＝1.当P 1P 2垂直x 轴时，结论照样成立．21．(12分)[2014·吉林长春调研]已知函数f (x )＝(3x 2－6x ＋6)e x －x 3. (1)求f (x )的单调区间和极值；(2)若x 1≠x 2，满足f (x 1)＝f (x 2)，求证：x 1＋x 2<0. 解：(1)∵f ′(x )＝3x 2e x －3x 2＝3x 2(e x －1)， ∴当x >0时，f ′(x )>0；当x <0时，f ′(x )<0.则f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0)． ∴f (x )在x ＝0处取得极小值f (0)＝6，无极大值． (2)f (x 1)＝f (x 2)且x 1≠x 2，由(1)可知x 1，x 2异号． 不妨设x 1<0，x 2>0，则－x 1>0.令g (x )＝f (x )－f (－x )＝(3x 2－6x ＋6)e x －(3x 2＋6x ＋6)·e －x －2x 3， 则g ′(x )＝3x 2e x ＋3x 2e －x －6x 2＝3x 2(e x ＋e －x －2)≥0， ∴g (x )在R 上是增函数． 又g (x 1)＝f (x 1)－f (－x 1)<g (0)＝0， ∴f (x 2)＝f (x 1)<f (－x 1)，又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴x 2<－x 1，即x 1＋x 2<0.22．(12分)[2014·四川高考]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，求F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .①证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)；②当|TF ||PQ |最小时，求点T 的坐标．解：(1)由已知可得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2b ，2c ＝2a 2－b 2＝4，解得a 2＝6，b 2＝2，所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 22＝1.(2)①由(1)可得，F 的坐标是(－2,0)，设T 点的坐标为(－3，m )，则直线TF 的斜率k TF＝m －0－3－(－2)＝－m . 当m ≠0时，直线PQ 的斜率k PQ ＝1m ，直线PQ 的方程是x ＝my －2.当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 26＋y 22＝1，消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0， 其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0. 所以y 1＋y 2＝4mm 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12m 2＋3.所以PQ 的中点M 的坐标为(－6m 2＋3，2mm 2＋3)，所以直线OM 的斜率k OM ＝－m3.又直线OT 的斜率k OT ＝－m3，所以点M 在直线OT 上，因此OT 平分线段PQ .②由①可得， |TF |＝m 2＋1，|PQ |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(m 2＋1)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2] ＝(m 2＋1)[(4mm 2＋3)2－4·－2m 2＋3]＝24(m 2＋1)m 2＋3.所以|TF ||PQ |＝124·(m 2＋3)2m 2＋1＝124·(m 2＋1＋4m 2＋1＋4)≥124·(4＋4)＝33. 当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1即m ＝±1时，等号成立，此时⎪⎪⎪⎪TF PQ 取得最小值． 所以当⎪⎪⎪⎪TF PQ 最小时，T 点的坐标是(－3,1)或(－3，－1)．。

第二章 §2 2.2一、选择题(每小题5分，共20分)1．顶点在原点，对称轴是y 轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程( ) A ．x 2＝±3y B ．y 2＝±6x C ．x 2＝±12yD ．x 2＝±6y解析： 由顶点与焦点的距离等于3，所以p2＝3，p ＝6.又因为对称轴是y 轴，所以选C.答案： C2．设抛物线的顶点在原点，焦点F 在y 轴上，抛物线上的点(k ，－2)与F 的距离为4，则k 的值为( )A ．4B ．－2C ．4或－4D ．2或－2解析： 由题意知抛物线方程可设为x 2＝－2py (p >0)， 则p2＋2＝4，∴p ＝4，∴x 2＝－8y ，将(k ，－2)代入得k ＝±4. 答案： C3．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．4解析： 因AB 线段过焦点F ，则|AB |＝|AF |＋|BF |. 又由抛物线的定义知|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1， 故|AB |＝x1＋x 2＋2＝8. 答案： B4．以抛物线y 2＝2px (p >0)的焦半径为直径的圆与y 轴的位置关系是( ) A ．相交 B ．相离 C ．相切D ．不确定解析： 如图，取AF 中点C ，作CN ⊥y 轴，AM ⊥y 轴，可得|CN |＝12|AF |.故选C.答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．抛物线y 2＝16x 上一点P 到x 轴的距离为12，则点P 与焦点F 间的距离|PF |＝________. 解析： 由于点P 到x 轴的距离为12， 可知点P 的纵坐标为12，∴点P 的横坐标x ＝y 216＝12×1216＝9.由抛物线的定义知|PF |＝x ＋p2＝9＋4＝13.答案： 136．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________.解析： 设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＋p ＝8.设直线AB 的方程为y ＝x －p 2，联立y 2＝2px ，得x 2－3px ＋p 24＝0，∴x 1＋x 2＝3p .∴3p ＋p ＝8，即p ＝2. 答案： 2三、解答题(每小题10分，共20分)7．正三角形AOB 的两个顶点在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上．若S △OAB ＝363，试确定抛物线的方程．解析： 由于正△AOB 的A 、B 两点在抛物线y 2＝2px 上，依对称性知∠AOX ＝30°，其中X 为线段AB 与x 轴的交点．设OA 所在直线方程为y ＝33x . 方法一：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x ，y 2＝2px得A (6p,23p )，B (6p ，－23p )． 则|AB |＝43p . 由S △AOB ＝34×(43p )2＝123p 2＝363， 得p 2＝3，p ＝ 3.故抛物线的方程为y 2＝23x . 方法二：设|OA |＝a ，由S △AOB ＝34a 2＝363知a ＝12. 即|OA |＝x 2＋⎝⎛⎭⎫33x 2＝⎪⎪⎪⎪23x ＝12， 得x ＝±63，y ＝33×(±63)＝±6. 由于A (x ，y )在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，所以A (63，6)． 由点A (63，6)在y 2＝2px 上得p ＝ 3. 故抛物线的方程为y 2＝23x .8.已知直线l 经过拋物线y 2＝4x 的焦点F ，且与拋物线相交于A 、B 两点．(1)若|AF |＝4，求点A 的坐标； (2)求线段AB 的长的最小值．解析： 拋物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)，准线为x ＝－1. (1)设A (x 0，y 0)，则|AF |＝|x 0＋1|＝4， ∴x 0＝3， ∴y 0＝±23， ∴A (3，±23)．(2)当直线l 的斜率不存在时，|AB |＝4，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 易知k ≠0，令A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，∴|AB |＝x 1＋x 2＋2＝4＋4k 2＞4，综上所述，|AB |≥4， 即线段AB 长的最小值为4. 尖子生题库☆☆☆9．(10分)给定抛物线C ：y 2＝4x ，F 是抛物线C 的焦点，过F 的直线l 与C 相交于A ，B两点．(1)设直线l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程； (2)若|F A |＝2|BF |，求直线l 的方程． 解析： (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， AB 中点M (x 0，y 0)，l ：y ＝x －1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1y 2＝4x ，消去y 得x 2－6x ＋1＝0，∴x 0＝x 1＋x 22＝3，y 0＝x 0－1＝2，故圆心M (3,2)，半径|AB |2＝x 1＋x 2＋p 2＝4，从而以AB 为直径的圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16. (2)显然直线l 的斜率存在，故可设直线l ：y ＝k (x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x，消去y 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，则x 1x 2＝1，故x 1＝1x 2.①又|F A |＝2|BF |， ∴F A →＝2BF →，则 x 1－1＝2(1－x 2)．② 由①②得x 2＝12(x 2＝1舍去)，所以B ⎝⎛⎭⎫12，±2，得直线l 的斜率为k ＝k BF ＝±22， ∴直线l 的方程为y ＝±22(x －1)．。

一、选择题1．设O 为坐标原点，1F ，2F 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，若在椭圆上存在点P 满足123F PF π∠=，且OP ，则该椭圆的离心率为（ ）A ．12B ．14C ．12D ．22．已知()5,0F 是双曲线()2222:=10,0x y C a b a b->>的右焦点，点(A .若对双曲线C 左支上的任意点M ，均有10MA MF +≥成立，则双曲线C 的离心率的最大值为（ ）A B ．5C ．52D ．63．已知椭圆221124y x +=，圆22:4O x y +=，过椭圆上任一与顶点不重合的点G 引圆的两条切线，切点分别为,P Q ，直线PQ 与x 轴，y 轴分别交于点,M N ，则2231OMON+=（ ）A ．54 B ．45C ．43D ．344．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线被圆()2223x y -+=截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．3B ．2C D5．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上，且满足||||PA m PF =，则m 的最大值是（ ）A ．1BC ．2D ．46．过抛物线26y x =的焦点作一条直线与抛物线交于()()1122,,,A x y B x y 两点，若123x x +=，则这样的直线（ ）A ．有且只有一条B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有且只有四条7．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线分别交抛物线于A ，B 两点，若4AF =，1BF =，则p =（ ） A ．165B ．2C ．85D ．18．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，()1221,2i i M F M F a i -==，且1M ，2F ，2M 三点共线，点D 在线段21M F 上，且1121F M D M M D ∠=∠1112122M F M F M D +=，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．22y x =±B ．2y x =±C ．3y x =±D ．3y x =±9．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点32,32D ⎛⎫⎪⎝⎭的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为（ ） A ．2B ．52C ．3D ．7210．设双曲线2214y x -=的左、右焦点分别为12,F F ，若点P 在双曲线上，且12F PF △为锐角三角形，则12PF PF +的取值范围是（ ） A ．(42,6)B ．(6,8)C ．(42,8)D ．(6,10)11．已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点F 在y 轴正半轴上．若点F 到双曲线222:126x y C -=的一条渐近线的距离为2，则1C 的标准方程是（ ）A ．2833y x =B ．21633y x =C ．28x y =D ．216x y =12．在抛物线型内壁光滑的容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在y 轴上，抛物线顶点在坐标原点，已知抛物线方程是24x y =，圆的半径为r ，若圆的大小变化时，圆上的点无法触及抛物线的顶点O ，则圆的半径r 的取值范围是（ ）A ．()2,+∞B ．()1,+∞C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞二、填空题13．已知双曲线()22210y x a a -=>的离心率5e =，点12,F F 分别是它的下焦点和上焦点，若Р为该双曲线上支上的一个动点，则1PF 与P 到一条渐近线的距离之和的最小值为_________．14．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线与圆()22234x y +-=相交于A ，B 两点，且2AB =，则双曲线C 的离心率为___________.15．已知圆22:68210C x y x y ++++=，点A 是圆C 上任一点，抛物线28y x =的准线为l ，设抛物线上任意一点Р到直线l 的距离为m ，则m PA +的最小值为_______ 16．点P 为椭圆C 上一动点，过点P 作以椭圆短轴为直径的圆的两条切线，切点分别为M ，N ，若60MPN ∠=︒，则椭圆C 的离心率的取值范围是______.17．已知椭圆22:143x y C +=的左､右焦点分别为12F F 、，过2F 且倾斜角为π4的直线l交椭圆C 于A B 、两点，则1F AB 的面积为___________. 18．已知抛物线218y x =的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，抛物线的准线与y 轴交于点M ，当AMAF最大时，弦AB 长度是___________. 19．若M ，P 是椭圆2214x y +=两动点，点M 关于x 轴的对称点为N ，若直线PM ，PN 分别与x 轴相交于不同的两点A (m ，0)，B (n ，0)，则mn =_________.20．如图所示，已知M ，N 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上关于原点对称的两点，点M与点Q 关于x 轴对称，2516ME MQ =，直线NE 交双曲线右支于点P ，若2NMP π∠=，则e =_____________．三、解答题21．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，则椭圆在其上一点()'',A x y 处的切线方程为''221x y x ya b+=，试运用该性质解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且经过点21,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）设F 为椭圆C 的右焦点，直线l 与椭圆C 相切于点P (点P 在第一象限)，过原点O 作直线l 的平行线与直线PF 相交于点Q ，问：线段PQ 的长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y x =被抛物线2:2(0)C y px p =>截得的弦长为2l 与抛物线C 相交于点M ，N ，点()1,2A ，且直线AM ，AN 的斜率之和为4.（1）求抛物线C 的方程；（2）求证：直线l 过定点，并求出定点坐标.23．A B 是抛物线24y x =上两个不同的点，A 、B 纵坐标之和为4． （1）求直线AB 的斜率；（2）O 为原点，若OA OB ⊥，求直线AB 的方程．24．已知点A 、B 坐标分别是(2,0)-，(22,0)，直线AP 、BP 相交于点P ，且它们斜率之积是12-． （1）试求点P 的轨迹Γ的方程；（2）已知直线:4l x =-，过点()2,0F -的直线（不与x 轴重合）与轨迹Γ相交于M ．N 两点，过点M 作MD l ⊥于点D ．求证：直线ND 过定点，并求出定点的坐标． 25．已知点1F 、2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，离心率为22，点P 是以坐标原点O 为圆心的单位圆上的一点，且120PF PF ⋅=．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设斜率为k 的直线l （不过焦点）交椭圆于M ，N 两点，若x 轴上任意一点到直线1MF 与1NF 的距离均相等，求证：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标．26．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为4，焦距为23，点P 为椭圆C 上一动点，且直线,AP BP 的斜率之积为14-．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设,A B 分别是椭圆C 的左右顶点，若点,M N 是C 上不同于,A B 的两点，且满//,//AP OM BP ON ，求证：MON △的面积为定值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据中线向量可得()1212PO PF PF =+，平方后结合椭圆的定义可得212PF PF a ⋅=，在焦点三角形中再利用余弦定理可得224c a =，从而可求离心率. 【详解】因为O 为12F F 的中点，故()1212PO PF PF =+， 所以()2221212124PO PF PF PF PF =++⋅，故22212123112442a PF PF PF PF ⎛⎫=++⋅⋅ ⎪⎝⎭， 故()2222121212123a PF PF PF PF PF PF PF PF =++⋅=+-⋅，所以212PF PF a ⋅=，又22212121422c PF PF PF PF =+-⋅⋅， 故()2222212124343c PF PF PF PF a a a =+-⋅=-=，故12e =. 故选：A. 【点睛】方法点睛：与焦点三角形有关的计算问题，注意利用椭圆的定义来转化，还要注意利用余弦定理和向量的有关方法来计算长度、角度等.2．C解析：C 【分析】设E 是双曲线的左焦点，利用双曲线的定义把MF 转化为ME 后易得MA ME +的最小值，从而得a 的最小值，由此得离心率的最大值． 【详解】设E 是双曲线的左焦点，M 在左支上，则2MF ME a -=，2MF ME a =+，22MA MF MA ME a EA a +=++≥+，当且仅当E A M ,,三点共线时等号成立．则222(5)(11)210EA a a +=-++≥，2a ≥，所以552c e a a ==≤． 故选：C ．【点睛】思路点睛：本题考查双曲线的定义的应用．在涉及双曲线上的点与一个焦点和另外一个定点距离和或差的最值时，常常利用双曲线的定义把到已知焦点的距离转化为到另一焦点的距离，从而利用三点共线取得最值求解．3．D解析：D 【分析】设112233(,),(,),(,)P x y Q x y G x y ，则可得切线,GP GQ 的方程，即可得到直线PQ 的方程，进而可求出点点,M N 的坐标，再结椭圆方程可求出2231OMON+的值【详解】解：设112233(,),(,),(,)P x y Q x y G x y ，则切线GP 的方程为114x x y y +=，切线GQ 的方程为224x x y y +=， 因为点G 在切线,GP GQ 上，所以13134x x y y +=，23234x x y y +=， 所以直线PQ 的方程为334x x y y +=， 所以3344(,0),(0,)M N x y ， 因为点33(,)G x y 在椭圆221124y x+=上，所以2233312x y +=，所以22223333223311123(3)161616164x y x y OM ON+=+=+==， 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的标准方程，以及简单性质有应用，解题的关键是设点33(,)G x y ，再由已知条件得到直线PQ 的方程为334x x y y +=，从而可得,M N 的坐标，进而可得答案，考查计算能力和转化能力，属于中档题4．D解析：D 【分析】设双曲线C 的渐近线方程为y kx =，其中bk a=±，利用圆的半径、渐近线截圆所得弦长的一半、弦心距三者满足勾股定理可求得k的值，再利用e =可求得双曲线C 的离心率e 的值. 【详解】设双曲线C 的渐近线方程为y kx =，其中b k a=±， 圆()2223x y -+=的圆心坐标为()2,0，半径为r =圆心到直线y kx =的距离为d =另一方面，由于圆的半径、渐近线截圆所得弦长的一半、弦心距三者满足勾股定理， 可得2212d r =-=，即2221k k =+，解得1k =±，1ba∴=， 因此，双曲线C 的离心率为22222212c c a b b e a a a a +⎛⎫====+= ⎪⎝⎭. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.5．B解析：B 【分析】由抛物线的对称性可不妨设P 在第一象限或为原点，过P 作准线1y =-的垂线，垂足为E ，利用抛物线的定义可得1sin PAE m=∠，求出sin PAE ∠的最小值后可得m 的最大值. 【详解】由抛物线24x y =可得准线方程为：1y =-，故()0,1A -.如图，由抛物线的对称性可不妨设P 在第一象限或为原点， 过P 作准线1y =-的垂线，垂足为E ，则PE PF =，故1||||sin ||||PF PE PAE m PA PA ===∠， 当直线AP 与抛物线相切时，PAE ∠最小， 而当P 变化时，02PAE π<∠≤，故当直线AP 与抛物线相切时sin PAE ∠最小，设直线:1AP y kx =-，由241x yy kx ⎧=⎨=-⎩得到2440x kx -+=，216160k ∆=-=，故1k =或1k =-（舍），所以直线AP 与抛物线相切时4PAE π∠=，故1m的最小值为2即m， 故选：B. 【点睛】方法点睛：与抛物线焦点有关的最值问题，可利用抛物线的定义把到焦点的距离问题转化为到准线的距离问题.6．A解析：A 【分析】由抛物线方程求得焦点F 的坐标，分直线AB 斜率不存在和直线斜率存在，存在时设直线AB 方程与抛物线方程联立，由韦达定理表示出A 、B 两点的横坐标之和，求得k ，即可得结论. 【详解】抛物线26y x =的焦点为3,02F ⎛⎫⎪⎝⎭， 当过焦点的直线斜率不存在时，即为32x =， 1232x x ==，符合123x x +=， 当过焦点的直线斜率存在时设为32y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 与抛物线交于()()1122,,,A x y B x y 两点，由2632y x y k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩得()222293604k k x k x -++=， 所以2122363k x x k++==，即22363k k +=，所以无解， 则这样的直线有且只有一条. 故选：A. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，解题的时候要注意讨论直线斜率不存在时的情况，以免遗漏，是中档题.7．C解析：C 【分析】直接设出直线方程，用“设而不求法”表示出AF ，BF ，利用性质可解. 【详解】由题意可知直线AB的斜率一定存在，设为k ，联立2,22,p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩消去y 可得()22222204k p k x k px -++=，设()11,A x y ，()22,B x y ，所以2124p x x =.又根据抛物线的定142p x +=，212p x +=，所以241224p p p ⎫⎫⎛⎛--= ⎪⎪⎝⎝⎭⎭，解得85p =.故选：C 【点睛】"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.8．B解析：B 【分析】先取11M F 的中点E ，由题意分析12M F DE 为菱形，得到()()222442c a a =-，从而求出渐近线方程. 【详解】由()1221,2i i M F M F a i -==知：M 1、M 2在双曲线上. 取11M F 的中点E ，连接DE ，2DF ，由111211111222,22,M F M F M D M F M D M F +=∴=-， 即112122,M F F D F D E M =∴=,可知四边形12M F DE 为平行四边形； 又1M D 为112F M F 的角平分线，故四边形12M F DE 为菱形，1212M E F M F D DE ===又21//DE M M 故D 为线段21M F 的中点； 因为211//DF M F ，故2F 为线段12M M 的中点， 故1222M F F M =； 所以21112M F M F =由双曲线的定义：11122M F M F a -=，所以21114,2M F a M F a == 而12M M x ⊥轴，故222121112F F M F M F =-，故()()222442c a a =-，故==ce a，故双曲线C 的渐近线方程为y = 故选B ． 【点睛】求双曲线的渐近线的方法:（1）直接令标准方程22221x y a b-=中的1变成0,得到22220x y a b -=,利用平方差公式得到渐近线方程: bxy a=±； （2）根据题意，找到找到a 、b 、c 的关系，消去c ，从而求出渐近线方程.9．B解析：B 【分析】利用抛物线的定义，把P 到y 轴的距离转化为1||2PF -,利用几何法求最值 【详解】抛物线22y x =的焦点1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,准线1:2l x =-，如图示：过P 作PP 1⊥y 轴于P 1,作PP 2⊥l于P 2,则211||||2PP PP -= 所以点P 到点332D ⎛ ⎝的距离与点P 到y 轴的距离之和为 1211||||||||||||22PD PP PD PP PD PF +=+-=+- 由图示，易知，当P 落在Q 时，DPF 三点共线，||||||PD PF DF +=, 其他位置，都有||||||PD PF DF +> 所以点P 到点332D ⎛⎝的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为： 221111335||||||||||2022222PD PP PD PF DF ⎛⎫⎛⎫+=+-≥-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当D 、P 、F 三点共线时取最小值. 故选：B 【点睛】解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．10．D解析：D 【分析】由题意画出图形，不妨设P 在第一象限，P 点在1P 与2P 之间运动，求出112F PF ∠和122F F P ∠ 为直角时12PF PF +的值，可得12F PF △ 为锐角三角形时12PF PF +的取值范围． 【详解】12F PF △为锐角三角形，不妨设P 在第一象限，P 点在1P 与2P 之间运动，如图，当P 在1P 处，11290F PF∠=，又1,2,5a b c ===由222111212|||||20|PF PF F F =+=，1112||||2PFPF -=， 可得1112||||8PF PF ⋅=， 此时 1112||||6PF PF +=；当P 在2P 处，12290F F P ∠=，25P x = 易知24P y = 则224P F =此时12222222||||||2||10P F P F P F a P F +=++=∴12F PF △为锐角三角形，则12PF PF +的取值范围是()6,10， 故选：D ． 【点晴】关键点点晴：本题的关键在于求出112F PF ∠和122F F P ∠ 为直角时12PF PF +的值.11．D解析：D 【分析】先根据双曲线的方程求解出双曲线的渐近线方程，再根据点到直线的距离公式求解出抛物线方程中的p ，则抛物线方程可求. 【详解】双曲线2C 的渐近线方程是22026x y -=，即3y x =.因为抛物线的焦点()0,02p F p ⎛⎫> ⎪⎝⎭30x y -=的距离为2，2=，即8p =，所以1C 的标准方程是216x y =，故选：D ． 【点睛】方法点睛：求解双曲线方程的渐近线方程的技巧：已知双曲线方程22221x y a b-=或22221y x a b -=，求解其渐近线方程只需要将方程中的“1”变为“0”，由此得到的y 关于x 的一次方程即为渐近线方程. 12．A解析：A 【分析】设圆心为(0,)P a ，（0a >），半径为r ，(,)Q x y 是抛物线上任一点，求出2PQ ，当2PQ 的最小值在原点处取得时，圆P 过原点，可得此时圆半径的范围，半径不在这个范围内的圆不过原点． 【详解】设圆心为(0,)P a ，（0a >），半径为r ，(,)Q x y 是抛物线上任一点，22222()4()(2)44PQ x y a y y a y a a =+-=+-=-++-，若2PQ 的最小值不在(0,0)O 处取得，则圆P 不过原点，所以20a ->，即2a >，此时圆半径为2r ==>．因此当2r >时，圆无法触及抛物线的顶点O ．故选：A ． 【点睛】关键点点睛：本题考查圆与抛物线的位置关系，题中圆不过原点，说明抛物线上的点到圆心距离的最小值不是在原点处取得，由此得到解法，即设圆心为(0,)P a ，抛物线上点的坐标为(,)Q x y ，求出PQ ，然后确定其最小值，由最小值点不是原点可得结论．二、填空题13．【分析】根据离心率先求出双曲线的方程得出渐近线方程根据双曲线的定义可得：所以设点到一条渐进线的距离为则从而得出答案【详解】双曲线的离心率所以解得所以双曲线由的双曲线的渐进线方程为由为该双曲线上支上的 解析：5【分析】根据离心率先求出双曲线的方程，得出渐近线方程，根据双曲线的定义可得：1224PF PF a -==，所以124PF PF =+，设点Р到一条渐进线的距离为d ，则124PF d PF d +=++，从而得出答案.【详解】双曲线()22210y x a a -=>的离心率5e =所以221514e a =+=，解得2a =，所以()()120,5,0,5F F - 双曲线2214y x -=，由2204y x -=，的双曲线的渐进线方程为2y x =±由Р为该双曲线上支上的一个动点，根据双曲线的定义可得：1224PF PF a -== 所以124PF PF =+，设点Р到渐进线2y x =的距离为d则124PF d PF d +=++，过2F 作渐进线2y x =的垂线，垂足为M ,如图.所以225112F M ==+所以122445PF d PF d F M +=++≥+=同理1PF 与P 到渐近线2y x =-的距离之和的最小值为5 故答案为：5【点睛】关键点睛：本题考查利用双曲线的定义解决距离之和的最值问题，解答本题的关键是根据双曲线的定义可得：1224PF PF a -==，所以124PFPF =+，设点Р到渐进线2y x =的距离为d ，则124PF d PF d +=++，过2F 作渐进线2y x =的垂线，属于中档题.14．2【分析】由双曲线圆的方程确定渐近线方程为圆心为半径为根据圆的相交弦与半径弦心距之间的几何关系有结合双曲线参数间的关系即可求其离心率【详解】由题意知：双曲线的渐近线为而圆心为半径为∴圆心到渐近线的距解析：2 【分析】由双曲线、圆的方程确定渐近线方程为by x a=±，圆心为(0,，半径为2r ，根据圆的相交弦与半径、弦心距之间的几何关系有222||4AB r d -=，结合双曲线参数间的关系即可求其离心率. 【详解】由题意知：双曲线的渐近线为by x a=±，而圆心为(0,，半径为2r ，∴圆心到渐近线的距离d ==，而2AB =，∴221r d -=，故222123a a b=+，又222,1c a b c e a +==>， ∴2e =. 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：根据双曲线、圆的标准方程确定渐近线方程、圆心、半径长，结合圆中相交弦的几何性质及双曲线参数关系，列出关于,a c 的齐次方程求离心率.15．【分析】由抛物线的定义可知结合圆的性质当且仅当三点共线时等号成立取得最值【详解】由圆可得圆心设的焦点为则抛物线上任意一点Р到直线l 的距离为过点作于点则由抛物线的定义可知所以当且仅当三点共线时等号成立2【分析】由抛物线的定义可知m PF =，m PA PF PA +=+结合圆的性质，当且仅当,,P F C 三点共线时等号成立取得最值. 【详解】由圆22:68210C x y x y ++++=可得圆心()3,4C --，2r，设28y x =的焦点为F ，则()2,0F ，:2l x =-，抛物线上任意一点Р到直线l 的距离为m ， 过点P 作PH l ⊥于点H ，则PH m =， 由抛物线的定义可知PH PF =，所以2m PA PH PA PF PA FC r FC +=+=+≥-=-()()223242412=--+-=，当且仅当,,P F C 三点共线时等号成立， 所以m PA +412， 412. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用抛物线的定义转化为抛物线上一点到焦点的距离与到圆上一点的距离之和的最小值，利用三点共线即可求解.16．【分析】根据题意找到abc 的关系求出离心率的范围【详解】设椭圆的中心为因为所以所以所以椭圆上的点到原点距离最远的是长轴端点所以即所以离心率所以故答案为：【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据解析：32⎫⎪⎢⎪⎣⎭【分析】根据题意，找到a 、b 、c 的关系，求出离心率的范围 【详解】设椭圆的中心为O ，因为60MPN ∠=︒，所以60POM ∠=︒，所以||2||OP OM =，所以2OP b =，椭圆上的点到原点距离最远的是长轴端点，所以2a b ≥，即12b a ≤，2222211,,44b ac a a -∴≤∴≤所以离心率2c e a ==≥=，所以⎫∈⎪⎪⎣⎭e .故答案为：⎫⎪⎪⎣⎭【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．17．【分析】先求出直线的方程与椭圆方程联立消去x 求出|y1-y2|利用即可求出的面积【详解】由题意得:直线:设则有:消去x 得:7y2+6y-9=0∴即的面积为【点睛】求椭圆(双曲线)的焦点弦三角形的面积【分析】先求出直线l 的方程,与椭圆方程联立,消去x ,求出| y 1- y 2|,利用11212|1|||2F AB S F F y y =-△即可求出1F AB 的面积. 【详解】由题意得: 直线l :1y x =-, 设1122(,),(,)A x y B x y ,则有:2213412y x x y =-⎧⎨+=⎩消去x 得:7y 2+6y -9=0, ∴121269,77y y y y +=-=-12211111|||227|2227F AB S F F y y -∴=⨯=⨯⨯==△即1F AB 的面积为7【点睛】求椭圆(双曲线)的焦点弦三角形的面积: （1）直接求出弦长|AB |,利用11||2F AB AB d S =△; （2）利用11212|1|||2F AB S F F y y =-△. 18．【分析】作出图形过点作垂直于抛物线的准线于点可得出可知当取最小值时即直线与抛物线相切时最大可求出直线的斜率求出点的坐标利用对称性可求得点的坐标抛物线的焦点弦长公式进而可求得弦的长度【详解】设点为第一 解析：8【分析】作出图形，过点A 作AE 垂直于抛物线218y x =的准线于点E ，可得出1sin AM AF AME=∠，可知当AME ∠取最小值时，即直线AM 与抛物线相切时，AM AF 最大，可求出直线AM 的斜率，求出点A 的坐标，利用对称性可求得点B 的坐标，抛物线的焦点弦长公式，进而可求得弦AB 的长度. 【详解】设点A 为第一象限内的点，过点A 作AE 垂直于抛物线218y x =的准线于点E ，如下图所示：由抛物线的定义可得AE AF =，则1sin AM AM AF AE AME==∠， 可知当AME ∠取最小值时，即直线AM 与抛物线相切时，AMAF最大， 抛物线218y x =的焦点为()0,2F ，易知点()0,2M -. 当直线AM 与抛物线218y x =相切时，直线AM 的斜率存在， 设直线AM 的方程为2y kx =-，联立228y kx x y=-⎧⎨=⎩，消去y 得28160x kx -+=，264640k ∆=-=，因为点A 在第一象限，则0k >，解得1k =，方程为28160x x -+=，解得4x =，此时，228x y ==，即点()4,2A ，此时AB y ⊥轴，由对称性可得()4,2B -，因此，448AB =+=. 故答案为：8 【点睛】方法点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12AB x x p =++或12AB y y p =++，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．19．4【分析】设出的坐标写出坐标满足的关系式根据题意写出直线的方程求出的横坐标计算得出的值【详解】解：设则则所以直线的方程为令可得同理有直线的方程为令可得则故答案为：【点睛】圆锥曲线中求定值问题常见的方解析：4 【分析】设出,,M N P 的坐标，写出坐标满足的关系式.根据题意，写出直线PM ，PN 的方程，求出,A B 的横坐标，计算得出mn 的值. 【详解】解：设(),M a b ，则(),N a b -，(),P c d ，则2214a b +=，2214c d +=所以PM d bk c a-=- 直线PM 的方程为()d b y b x a c a --=--，令0y =可得ad bcm d b-=-同理有PM d bk c a+=- 直线PN 的方程为()d b y b x a c a ++=--，令0y =可得ad bcn d b+=+ 则222222ad bc ad bc a d b c mn d b d b d b -+-⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪-+-⎝⎭⎝⎭222222111144111144a c c a c a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭()2222414a c a c -==-故答案为：4 【点睛】圆锥曲线中求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．20．【分析】设利用点差法得到即可求出离心率；【详解】解：设则由得从而有又所以又由从而得到所以所以故答案为：【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)常见有两种方解析：54【分析】设()()1122,,,M x y P x y 利用点差法得到22PM PN b k k a⋅=，即可求出离心率； 【详解】解：设()()1122,,,M x y P x y ，则()()1111,,,N x y Q x y ---．由2516ME MQ =，得1117,8E x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而有11119,16MN PN ENy y k k k x x ===-，又1190,MN yNMP k x ∠==，所以11MP x k y =-， 又由()()()()22112212121212222222221111x y a bx x x x y y y y ab x y a b ⎧-=⎪⎪⇒+-=+-⎨⎪-=⎪⎩， 从而得到22PM PNb k k a⋅=所以211211991616PM PN x y b k k y x a ⎛⎫⋅=-⋅-== ⎪⎝⎭，所以54e ==．故答案为：54【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．三、解答题21．（1）2212x y +=；（2.【分析】（1）根据椭圆离心率为2，以及椭圆经过点2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，结合椭圆的性质列方程求解即可；（2）设()00,P x y ，题意可知，切线l 的方程为0022x x y y +=，过原点O 且与l 平行的直线'l 的方程为0020x x y y +=，求出Q 的坐标，表示出PQ 的长，再化简即可得结论. 【详解】（1）由题意知2222221112c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩1a b ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩ ∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设()00,P x y ，题意可知，切线l 的方程为0022x x y y +=， 过原点O 且与l 平行的直线'l 的方程为0020x x y y +=， 椭圆C 的右焦点()1,0F ，所以直线PF 的方程为()00010y x x y y ---=，联立()000001020y x x y y x x y y ⎧---=⎨+=⎩，所以2000002,22y x y Q x x ⎛⎫-⎪--⎝⎭，所以PQ =====为定值. 【点睛】方法点睛：探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.22．（1）24y x =；（2）直线l 过定点，定点坐标为()0,1-，证明见解析. 【分析】（1）联立直线方程和抛物线方程，求出交点的坐标后利用弦长公式可求p 的值，从而可求抛物线的方程.（2）设直线l 的方程为x my b =+，联立直线方程和抛物线方程，消去x 后利用韦达定理化简斜率之和，从而可得b m =，故可求定点坐标.我们也可以设211,4y M y ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，222,4y N y ⎛⎫⎪⎝⎭，用坐标表示斜率之和，再用该两点的坐标表示直线l ，化简后可得直线过定点. 【详解】 （1）由2,2,y x y px =⎧⎨=⎩解得10x =，22x p =， 因为直线y x =被抛物线()2:20C y px p =>截得的弦长为0p -=，0p >，解得2p =， 所以抛物线C 的方程为24y x =.（2）法一： 设直线l 的方程为x my b =+，()11,M x y ，()22,N x y ， 由2,4,x my b y x =+⎧⎨=⎩得2440y my b --=， 所以124y y m +=，124y y b =-，因为点()1,2A ，且直线AM ，AN 的斜率之和为4，所以121222411y y x x --+=--，而2114y x =，2224y x =，化简得12120y y y y ++=， 所以440m b -=，即b m =， 所以直线l 的方程为()1x m y =+， 所以直线l 过定点，定点坐标为()0,1-.法二： 设211,4y M y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，222,4y N y ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因为点()1,2A ，且直线AM ，AN 的斜率之和为4，所以1222122241144y y y y --+=--，即12120y y y y ++=， ①当210y y +≠时，直线l 的方程为221112221444y yy y y x y y ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭-即2141y x y y =--， 所以直线l 过定点，定点坐标为()0,1-；②当210y y +=时，120y y =，所以120y y ==，不满足题意. 所以直线l 过定点，定点坐标为()0,1-. 【点睛】方法点睛：. 直线与抛物线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题，也可以设出交点坐标，用交点坐标表示目标代数式，从而解决定点、定值、最值问题. 23．（1）1；（2）y x =或4y x =-． 【分析】（1）法一：设()11,A x y ，()22,B x y 代入抛物线方程相减结合斜率公式即可求得；法二：设直线方程与抛物线联立结合韦达定理求得结果；（2）由OA OB ⊥得0OA OB ⋅=即12120x x y y +=结合两根关系可求得m ，即可求直线方程. 【详解】（1）法一：设()11,A x y ，()22,B x y ，则2112224,4,y x y x ⎧=⎨=⎩两式相减得()()()1212124y y y y x x +-=-． ∵124y y +=，∴()()121244y y x x -=-． 根据题意可知12x x ≠，∴12121AB y y k x x -==-， ∴直线AB 的斜率为1．法二：据题意直线AB 斜率存在，可设直线AB 的方程为y kx m =+， 与24y x =联立得204k m y y -+=，则1244y y k+==， ∴1k =，∴直线AB 的斜率为1．（2）由（1）得，124y y +=，124y y m ⋅=， 由题意，0OA OB ⋅=，即()221212121214016x x y y y y y y m m +=+=+=， 解得，0m =或4m =-．所以，直线AB 的方程为y x =或4y x =-． 【点睛】解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．24．（1）221(84x y x +=≠±；（2）证明见解析，()3,0-.【分析】（1）首先设点(),P x y ，利用12PA PB k k ⋅=-，转化为关于,x y 的方程；（2）方法一，首先由椭圆的对称性可知定点必在x 轴上，设:2MN x my =-，与椭圆方程联立，由根与系数的关系得到()1212my y y y =-+，并求出直线ND 的方程，求与x 轴的交点；方法二，直线:2MN x my =-与椭圆方程联立后，利用求根公式求得两个交点的纵坐标，再代入直线ND 的方程，化简，求定点的坐标. 【详解】（1）设(),P x y ，由题意得：12PA PB k k ⋅=-12=-，化简得22184x y +=．又x ≠±，∴点P的轨迹方程为221(84x y x +=≠±．（2）方法一：由椭圆的对称性知，直线ND 过的定点必在x 轴上， 由题意得直线MN 的斜率不为0，设:2MN x my =-，与22184x y +=联立消去x 得：()222440m y my +--=， ()23210m ∆=+>恒成立，设()11,M x y ，()22,N x y ，则()14,D y -，12242m y y m +=+，12242y y m -=+， ∴()1212my y y y =-+，2112:(4)4y y ND y x y x -=+++，令0y =， ∴()()12122121424y x y my x y y y y +++=-=---()1211212121221y y y my y y y y y y -+++=-=-=--，3x =-，∴直线ND 过定点()3,0-．方法二：由题意可得直线MN 的斜率不为0，设:2MN x my =-，与22184x y +=联立消去x 得：()222440m y my +--=， ()23210m ∆=+>恒成立，设()11,M x y ，()22,N x y ，则()14,D y -，12242m y y m +=+，12242y y m -=+，()12422m y m -=+，()22422m y m +=+， ()2112121122(4)2:(4)42y y x my y y y y ND y x y x my -+++-=++=++2244)2222m x m m m my -+++++=+2222(4)222x m m my +-++==+∴3x =-时0y =， ∴直线ND 过定点()3,0-. 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆中直线过定点问题，第一个关键是首先判断定点在x 轴上，方法一的关键是利用根与系数的关系得到()1212my y y y =-+，再代回直线方程求交点，方法二的关键是变形，化简.25．（1）22121x y +=；（2）证明见解析，（-2,0）.【分析】（1）根据离心率为2，点P 是以坐标原点O 为圆心的单位圆上的一点，且120PF PF ⋅=,可用待定系数法求椭圆的标准方程;（2）先用设而不求法表示出1212,x x x x +，然后分析得到110MF NF k k +=，代入，求出2m k =，即可证明直线过定点（-2，0）. 【详解】(1)设椭圆的标准方程为()22221,,x y P x y a b+=由题意可得2222221(,)(,)0c a x y x c y x c y b c a ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪-⋅+=⎪+=⎪⎩解得：222211a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩即椭圆C 的标准方程：22121x y +=.(2)设直线l ：1122,(,),(,)y kx m M x y N x y =+ 则1111221122,1111MF NF y kx m y kx mk k x x x x ++====++++ 有22121x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去 y 得：222(12)4220k x mkx m +++-=， 所以2221222122168(1)(12)04122212k m m k mk x x k m x x k ⎧⎪∆=--+>⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩因为x 轴上任意一点到直线1MF 与1NF 的距离均相等， 所以x 轴为直线1MF 与1NF 的角平分线， 所以111212011MF NF kx m kx mk k x x +++=+=++，即 12122()()20kx x m k x x m ++++= 所以2222242()201212m mkk m k m k k--+++=++ 整理化简得：2m k =即直线l ：2(2)y kx m kx k k x =+=+=+ 故直线恒过定点（-2,0）. 【点睛】（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；（2）"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.26．（1）2214x y +=；（2）定值为1，证明见解析【分析】（1）根据题意可得2a =，c =222a b c =+即可求解.（2）设1122(,),(,)M x y N x y ，且直线MN 的方程为：x my t =+，由题意可得14OM ON k k ⋅=-，联立直线MN 和椭圆方程，利用韦达定理可得2224t m =+，再由121||||2S t y y =-，化简整理即可求解.【详解】（1）由题意可得222242a c a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩解得1b =，∴椭圆C 的标准方程为2214xy +=（2）证明：设1122(,),(,)M x y N x y ，直线MN 的方程为：x my t =+ 由1//,//,,4AP BP AP OM BP ON k k ⋅=-得14OM ON k k ⋅=- 即121214y y x x ⋅=-， 联立直线MN 和椭圆方程：2214x my tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，。