湘教版九上数学第3课时 反比例函数的图象与性质的综合应用教案

湘教版九上数学第3课时反比例函数的图象与性质的综合应用【知识与技能】1.会求反比例函数的表达式；2.综合运用一次函数和反比例函数的知识解决有关问题；3.借助一次函数和反比例函数的图象解决某些简单的实际问题．【过程与方法】经历观察、分析、交流的过程，逐步提高运用知识的能力.【情感态度】能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题，培养学生看图（象）、识图（象）能力、体会用“数、形”结合思想解答函数题.【教学重点】1.会用待定系数法求反比例函数的表达式；2.理解并掌握一次函数，反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题.【教学难点】学会从图象上分析、解决问题，理解反比例函数的性质.一、情境导入，初步认识1.正比例函数有哪些性质？2.一次函数有哪些性质？3.反比例函数有哪些性质？4.我们学会了根据函数表达式画函数图象，那么你能根据一些条件求反比例函数的表达式吗？【教学说明】对所学的三种函数的性质教学复习，让学生对它们的性质有系统的了解.二、思考探究，获取新知1.思考：已知反比例函数ky x=的图象经过点P （2,4） （1）求k 的值，并写出该函数的表达式；（2）判断点A （-2，-4），B(3，5)是否在这个函数的图象上；（3）这个函数的图象位于哪些象限？在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大如何变化？分析： (1)题中已知图象经过点P （2，4），即表明把P 点坐标代入解析式成立，这样能求出k ，解析式也就确定了.(2)要判断A 、B 是否在这条函数图象上，就是把A 、B 的坐标代入函数解析式中，如能使解析式成立，则这个点就在函数图象上.否则不在.(3)根据k 的正负性，利用反比例函数的性质来判定函数图象所在的象限、y 随x 的值的变化情况.【归纳结论】这种求解析式的方法叫做待定系数法求解析式.2.已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于P （-3,4），试求出它们的表达式，并在同一坐标系内画出这两个函数的图象.解：设正比例函数，反比例函数的表达式分别为y=k 1x ，2k y x=，其中，k 1，k 2是常数，且均不为0.由于这两个函数的图象交于P （-3,4），则P （-3,4）是这两个函数图象上的点，即点P 的坐标分别满足这两个表达式.因此，()2143,43k k =⨯-=- 解得，124123k k =-=-所以，正比例函数解析式为43y x =-，反比例函数解析式为12y x =-.函数图象如下图.【教学说明】通过图象，让学生掌握一次函数与反比例函数的综合应用. 3.在反比例函数6y x=的图象上取两点P （1，6），Q （6，1），过点P 分别作x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S 1=_______；过点Q 分别作x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S 2=_______；S 1与S 2有什么关系？为什么？【归纳结论】反比例函数ky x=（k ≠0）中比例系数k 的几何意义：过双曲线ky x=（k ≠0）上任意一点引x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为k 的绝对值.【教学说明】引导学生根据一定的分类标准研究反比例函数的性质，同时鼓励学生用自己的语言进行表述，从而提高学生的表达能力与数学语言的组织能力．三、运用新知，深化理解1.已知如图，A 是反比例函数ky x=的图象上的一点，AB 丄x 轴于点B ，且△ABO 的面积是3，则k 的值是（ ）A.3B.-3C.6D.-6分析：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 是个定值，即S ＝12k ． 解：根据题意可知：S △AOB ＝12k ＝3， 又反比例函数的图象位于第一象限，k ＞0，则k ＝6． 【答案】 C2.反比例函数6y x =与2y x=在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x 轴的直线分别交双曲线于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则△AOB 的面积为（ ）A.12B.2C.3D.1 分析：分别过A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E ，过B 作BC ⊥y 轴，点C 为垂足，再根据反比例函数系数k 的几何意义分别求出四边形OEAC 、△AOE 、△BOC 的面积，进而可得出结论．解：分别过A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E ，过B 作BC ⊥y 轴，点C 为垂足，∵由反比例函数系数k 的几何意义可知，S四边形OEAC=6，S△AOE=3，S △BOC =1，∴S △AOB =S 四边形OEAC -S △AOE -S △BOC =6-3-1=2． 【答案】 B3.已知点P(2，2)在反比例函数ky x= (k ≠0)的图象上， (1)当x=-3时，求y 的值；(2)当1＜x ＜3时，求y 的取值范围． 解： （1）∵点P （2，2）在反比例函数ky x=的图象上， ∴2=2k，即k=4，∴反比例函数的解析式为4y x=． ∴当x=-3时，y=43-．（2）∵当x=1时，y=4；当x=3时，y=43， 又反比例函数4y x=在x ＞0时y 值随x 值的增大而减小，∴当1＜x ＜3时，y 的取值范围为43＜y ＜4． 4.已知直线y ＝x ＋b 经过点A(3,0)，并与双曲线ky x=的交点为B(-2，m)和C ，求k 、b 的值．解：点A(3,0)在直线y ＝x ＋b 上，所以0＝3＋b ，b ＝-3． 一次函数的解析式为：y ＝x-3．又因为点B(-2，m)也在直线y ＝x-3上，所以m ＝-2-3＝-5，即B(-2,-5)． 而点B(-2,-5)又在反比例函数ky x=上，所以k ＝-2×(-5)＝10． 5.已知反比例函数1k y x=的图象与一次函数y ＝k 2x-1的图象交于A(2,1)． (1)分别求出这两个函数的解析式；(2)试判断A 点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系．分析: (1)因为点A 在反比例函数和一次函数的图象上，把A 点的坐标代入这两个解析式即可求出k 1、k 2的值．(2)把点A 关于坐标原点的对称点A ′坐标代入一次函数和反比例函数解析式中，可知A ′是否在这两个函数图象上．解：(1)因为点A(2,1)在反比例函数和一次函数的图象上，所以k 1＝2×1＝2． 1＝2k 2-1，k 2＝1．所以反比例函数的解析式为：2y x=；一次函数解析式为：y ＝x-1． (2)点A(2,1)关于坐标原点的对称点是A ′(-2,-1)．把A′点的横坐标代入反比例函数解析式得，212y==--，所以点A在反比例函数图象上．把A′点的横坐标代入一次函数解析式得，y＝-2-1＝-3，所以点A′不在一次函数图象上．6.如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数myx=的图象交于A、B两点．(1)利用图象中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围．分析: (1)把A、B两点坐标代入两解析式，即可求得一次函数和反比例函数解析式．(2)因为图象上每一点的纵坐标与函数值是相对应的，一次函数值大于反比例函数值，反映在图象上，自变量取相同的值时，一次函数图象上点的纵坐标大于反比例函数图象上点的纵坐标．解∶(1)观察图象可知，反比例函数myx=的图象过点A(-2,1)，m＝-2×1＝-2．所以反比例函数的解析式为：2yx=-．又点B(1,a)也在反比例函数图象上，a=221-=-．即B(1,-2)．因为一次函数图象过点A、B．所以12,2.k bk b=-+⎧⎨-=+⎩解得，1,1.kb=-⎧⎨=-⎩一次函数解析式为：y＝-x-1．(2)观察图象可知，当x＜-2或0＜x＜1时，一次函数的值大于反比例函数值. 【教学说明】检测题采取多种形式呈现，增加了灵活性，以基础题为主，也有少量综合问题，可使不同层次水平的学生均有机会获得成功的体验．四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业：教材“习题1.2”中第6题.教学中，我深深地体会到：要想让学生真正掌握求函数解析式的方法，教师应在给出相应的典型例题的条件下，让学生自己去寻找答案，自己去发现规律.最后，教师清楚地向学生总结每一种函数解析式的适用范围，以及一般应告知的条件.在信息社会飞速发展的今天，教师要从以前的教师教、学生学的观念中解放出来，教会学生如何学，让学生自己去探究，自己去学习，去获取知识.在《中学数学课程标准》中明确规定：教师不仅是学生的引导者，也是学生的合作者.教学中，要让学生通过自主讨论、交流，来探究学习中碰到的问题、难题，教师从中点拨、引导，并和学生一起学习，探讨，才能真正做到教学相长，也才能真正让每一个学生都学有所获.。