中考数学专题：例谈“双勾模型图”的提炼及其应用含答案试卷分析详解

河南 5 年中招解答题(16~22)试卷分析随着新课改的深入开展，中考数学的结构和数量渐渐稳定，近年来试题往往注重通性通法、淡化特殊的解题技巧，解答题设置了多个问题，形成入口宽、层次分明、梯度递进的特点，有较好的区分度。

试题的考查内容及试题编排由易及难，坡度平缓，一部分试题情景来源于教材，对考生具有相当的亲和度。

中招考试整张试卷共 23 道题，分为选择题、填空题和解答题三题 .题目个数分别为选择题 6 道，填空题 9 道，解答题 8 道，所占分值分别为 15%、22.5% 、62.5%.解答题所占的比重相当大。

是我们分析和研究的重点。

一、分值分析16~22 共 7 题，平均 5 年的情况：16~20 题每题 9 分共 45 分；21~22 每题 10 分共 20 分。

(仅 07 年、 10 年的 21 题为 9 分) 因此这一部分的分值在中考中的分值约为 65 分, 占总分 54%。

二、内容分析：遍历这 5 年的中考试题，大概呈现这样的规律：16 题：计算17 题：证明18 题：统计与概率19 题：生活运用20 题：问题解决21 题：演绎与推理22 题：方程或不等式的应用题以上的规律，并不完全准确，仅仅反映大致规律，题目的设置主要考查学生的基本运算能力、数学语言的表述能力、获取信息，整合信息的能力、解决实际问题的能力等等。

三、题目特点分析1、试题贴近生活，时代感强09 年 18 题以奥运会为背景； 10 年 18 题以“校园手机”为背景； 09 年 20 题以电工李师傅安装电灯为问题情境； 10 年 22 题以折叠矩形纸片为问题出发点展开问题进行操作发现——问题解决——类比探索。

类似地还有“家电下乡”等等这样的例子举不胜举。

试卷中呈现丰富多彩的生活情境，贴近生活，使学生感悟到生活中处处有数学。

每一年都是不平凡的一年，今年的中招考试也可能更具有时代特色，像疯狂的物价、高高在上的房价、不安全的食品、肆虐的疾病传播、不寻常的气候、地质灾难频发等等问题，会不会以一种形式出现在试卷上有待于大家思考。

2024贵阳中考数学二轮中考题型研究题型十二几何综合题类型一结合数学文化的几何探究典例精讲例(1)阅读理解我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；【思维教练】利用等面积法即可证明勾股定理．例题图①(2)问题解决勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE的中心O，作FG⊥HP，将它分成4份，所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以AB为边的正方形．若AC＝12，BC＝5，求EF的值；【思维教练】由题意可以得到EF－FD＝BC，结合EF＋FD＝AC分情况讨论即可得到EF 的值．例题图②(3)拓展探究如图③，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形．设大正方形N的边长为定值n，小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d.已知∠1＝∠2＝∠3＝α，当角α(0°<α<90°)变化时，探究b与c的关系式，并写出该关系式及解答过程(b与c的关系式用含n的式子表示)．【思维教练】由题意可以得到图中三个三角形均相似，利用相似的性质即可求解．例题图③针对演练1.阅读下列材料，并完成相应任务．古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》提出了“欧几里得定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．欧几里得定理是数学图形计算的重要定理．其符号语言是：如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，则：(1)CD2＝AD·BD；(2)AC2＝AD·AB；(3)BC2＝BD·A B.任务：(1)请你证明定理中的结论：BC2＝BD·AB；(2)应用：如图②，正方形ABCD 的边长为6，点O 是对角线AC 、BD 的交点，点E 在CD 上，过点C 作CF ⊥BE ，垂足为点F ，连接OF .①求证：△BOF ∽△BED ：②若BE ＝210，求OF 的长．图①图②第1题图2.【阅读理解】在数学上称短边与长边的比是5－12(约为0.618)的矩形为黄金矩形(Golden Rectangle)．(1)某校团委举办“五·四手抄报比赛”，手抄报规格统一设计成长是40cm 的黄金矩形，则宽约为__________________cm ；(精确到0.1cm)【操作发现】利用一张正方形纸片折叠出一个黄金矩形．第一步，如图①，折叠正方形纸片ABCD ，使AB 和DC 重合，得到折痕EF (点E ，F 分别在边AD ，BC 上)，然后把纸片展平．第2题图第二步，如图②，折叠正方形纸片ABCD，使得BC落在BE上，点C′和点C对应，得到折痕BG(点G在CD上)，再次把纸片展平．第三步，如图③，沿过点G的直线折叠正方形纸片ABCD，使点A和点D分别落在AB和CD上，折痕为HG，显然四边形HBCG为矩形．(2)在上述操作中，以AB＝2为例，证明矩形HBCG是黄金矩形；【拓广探索】“希望小组”的同学通过探究发现：以黄金矩形的长边为一边，在原黄金矩形外作正方形，得到的新矩形仍然是黄金矩形．(3)如图④，如果四边形ABCD是黄金矩形(AB>AD)，四边形DCEF是正方形，那么四边形ABEF也是黄金矩形，他们的发现正确吗？请说明理由．(参考计算：15＋1＝5－14)类型二结合图形变化的几何探究典例精讲例(一题多设问)综合与实践问题情境：数学活动课上，老师出示了这样一个问题：已知，四边形ABCD是矩形．活动探究一：若M是AD的中点，E是AD边上任意一点，将△ABE沿BE折叠，点A落到点F处，连接BF并延长，交CD所在直线于点G.(1)如图①，当BF所在直线经过点M时，试判断线段DG与CG的数量关系，并说明理由；【思维教练】要判断DG与CG的数量关系，可利用折叠的性质，结合矩形的性质，证三角形全等即可求解．例题图①(2)如图②，连接AC，当点E与点M重合，且点A的对应点F恰好落在矩形ABCD的对角线AC上时，判断DG与CG的数量关系，并说明理由；【思维教练】要判断DG与CG的数量关系，可利用折叠的性质，结合矩形的性质，证三角形全等，再结合等腰三角形进行线段间的等量代换即可求解．例题图②活动探究二：若AB＝BC，点E在射线CB上(不与点B，C重合)，连接DE，以DE为边向上作正方形DEFG，连接BF，BD.(3)如图③，当点E在BC边上时，用等式表示线段BD，BE，BF之间的数量关系，并说明理由；【思维教练】要判断BD、BE与BF之间的数量关系，可利用正方形的性质构造一线三垂直的全等模型，通过全等三角形的性质得到相等的线段，进行线段间的转换即可求解．例题图③(4)如图④，当点E在CB边的延长线上时，用等式表示线段BD，BE，BF之间的数量关系，并说明理由；【思维教练】要判断BD、BE与BF之间的数量关系，可利用正方形的性质构造一线三垂直的全等模型，通过全等三角形的性质得到相等的线段，进行线段间的转换即可求解．例题图④活动探究三：如图⑤，E为AB的中点，F为BC的中点，以BE为边在矩形ABCD的内部作矩形BEGF，将矩形BEGF以点B为旋转中心逆时针旋转，得到矩形BE′G′F′，连接AE′，CF′.(5)如图⑥，若AB＝BC，判断线段AE′与CF′的数量关系与位置关系，并说明理由；【思维教练】要判断AE′与CF′的数量关系，则可利用旋转的性质，证三角形全等即可求解；要判断AE′与CF′的位置关系，根据全等的角度关系即可求解．图⑤图⑥例题图(6)如图⑦，若BC＝2AB，判断线段AE′与CF′的数量关系与位置关系，并说明理由．【思维教练】要判断AE′与CF′的数量关系，可利用旋转的性质和边的关系证明相似即可求解；要判断AE′与CF′的位置关系则可延长CF′与AE′相交，求得两直线的夹角即可求解．例题图⑦针对演练1.如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点．(1)问题解决：如图①，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是______，位置关系是________；图①(2)问题探究：如图②，△AO′E是将图①中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO′的中点，连接PQ，P B.判断△PQB的形状，并证明你的结论；图②(3)拓展延伸：如图③，△AO′E是将图①中的△AOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到的三角形，连接BO′，点P，Q分别为CE，BO′中点，连接PQ，P B.若正方形ABCD的边长为1，求△PQB的面积．图③第1题图2.【问题背景】如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AD、BC上的点，连接BE、DF、EF，将矩形ABCD沿BE、DF折叠，点A的对应点为M，点C的对应点为N.【数学思考】(1)如图①，当点M在BC边上，且与点F重合时，设DN与EM交于点G，试判断NG与EG的数量关系，并说明理由；图①(2)如图②，当点M、N位于对角线BD上时，若∠ADB＝30°，试判断AD与EF的数量关系，并说明理由；图②【探究发现】(3)如图③，当点N落在对角线BD上时，若AB＝23，AD＝6，直接写出BE＋EF的最小值．图③第2题图拓展类型结合新定义的几何探究1．我们约定：在一个平面图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”．(1)如图①，在△ABC中，AC≠BC，过点C能否画出△ABC的一条“等分积周线”？若能，说出你的画法；若不能，说明理由；(2)如图②，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，EF垂直平分AD，垂足为点F，交BC于点E，AB＝3，BC＝8，CD＝5，判断直线EF是否为四边形ABCD的“等分积周线”，并说明理由；(3)如图③，在△ABC中，AB＝BC＝6，AC＝8，请按要求作出△ABC的一条“等分积周线”EF，叙述你的画法，并对你的画法进行证明．要求：直线EF不过△ABC的顶点，交AC边于点F，交BC边于点E，用黑色签字笔画图．第1题图2．根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．(1)某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确(直接在横线上填写“真”或“假”)．①四条边成比例的两个凸四边形相似；(________________________________命题)②三个角分别相等的两个凸四边形相似；(______________________________________命题)③两个大小不同的正方形相似．(________命题)(2)如图①，在四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1中，∠ABC ＝∠A 1B 1C 1，∠BCD ＝∠B 1C 1D 1，AB A 1B 1＝BC B 1C 1＝CD C 1D 1.求证：四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似；(3)如图②，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 与BD 相交于点O ，过点O 作EF ∥AB 分别交AD ，BC 于点E ，F ，记四边形ABFE 的面积为S 1，四边形EFCD 的面积为S 2，若四边形ABFE与四边形EFCD 相似，求S 2S 1的值．第2题图参考答案类型一结合数学文化的几何探究典例精讲例解：(1)a2＋b2＝c2(直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方)；(2分)推理过程如下：∵四边形ABCD是由直角边长分别为a，b的四个全等的直角三角形与中间一个边长为(b－a)的小正方形拼成的一个边长为c的大正方形，∴4×12ab＋(b－a)2＝c2，整理得a2＋b2＝c2；(4分)(2)如解图①，由题意得，正方形ACDE被分成4个全等的四边形，设EF＝a，FD＝b，分两种情况：①当a＞b时，∵a＋b＝12，正方形ABIJ是由正方形ACDE被分成的4个全等四边形和正方形CBLM拼成，∴E′F′＝EF，KF′＝FD，E′K＝BC＝5.∵E′F′－KF′＝E′K，∴a－b＝5，＋b＝12，－b＝5，＝172，＝72，∴EF＝172；②当a＜b＋b＝12，－a＝5，＝72，＝172，∴EF＝72；综上所述，EF的值为172或72；(8分)例题解图①(3)b ＋c ＝n ，理由如下：如解图②，设正方形E 的边长为e ，正方形F 的边长为f ，∵∠1＝∠2＝∠3＝α，∠PMQ ＝∠D ′OE ′＝∠B ′C ′A ′＝90°，∴△PMQ ∽△D ′OE ′∽△B ′C ′A ′，∴OE ′C ′A ′＝D ′E ′B ′A ′，PM B ′C ′＝PQ B ′A ′，即c e ＝e n ，b f ＝f n，∴e 2＝cn ，f 2＝bn ，在Rt △A ′B ′C ′中，由勾股定理得e 2＋f 2＝n 2，∴cn ＋bn ＝n 2，∴c ＋b ＝n ，即b ＋c ＝n .(12分)例题解图②针对演练1．(1)证明：∵CD ⊥AB ，∴∠BDC ＝∠ACB ＝90°，∵∠CBD ＝∠ABC ，∴Rt △CBD ∽Rt △ABC ，∴CB AB ＝BD BC，∴BC 2＝BD ·AB ；(2)①证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴OC ⊥BO ，∠BCD ＝90°，∴BC 2＝BO ·BD ，∵CF ⊥BE ，∴BC 2＝BF ·BE ，∴BO ·BD ＝BF ·BE ，即BO BE ＝BF BD，又∵∠OBF ＝∠EBD ，∴△BOF ∽△BED ；②解：∵在Rt △BCE 中，BC ＝6，BE ＝210，∴CE ＝BE 2－BC 2＝2，∴DE ＝CD －CE ＝4，在Rt △OBC 中，OB ＝22BC ＝32，∵△BOF ∽△BED ，∴OF ED ＝OB EB ，即OF 4＝32210，∴OF ＝655.2.(1)解：24.7；【解法提示】宽约为40×5－12≈40×0.618≈24.7cm.(2)证明：如解图，连接EG ，设CG ＝C ′G ＝x ，则DG ＝2－x .第2题解图∵AB ＝2，∴AE ＝ED ＝1，∴BE ＝5，∴EC ′＝5－2，在Rt △EGD 和Rt △EGC ′中，由勾股定理得ED 2＋DG 2＝EG 2＝C ′G 2＋C ′E 2，即12＋(2－x )2＝x 2＋(5－2)2，解得x ＝5－1，∴CG BC ＝5－12，∴题图③中的矩形HBCG 是黄金矩形；(3)解：正确．理由：设AB ＝a ，则AD ＝BC ＝5－12a ，∵四边形DCEF 是正方形，∴DC ＝DF ＝EF ＝CE ＝a ，∴AF ＝BE ＝a ＋5－12a ＝5＋12a ，∴AB BE ＝a 5＋12a ＝5－12，∴矩形ABEF 是黄金矩形．类型二结合图形变化的几何探究典例精讲例解：(1)DG ＝12CG .理由如下：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴∠A ＝∠GDM .∵点M 是AD 的中点，∴AM ＝DM .又∵∠AMB ＝∠DMG ，∴△AMB ≌△DMG (ASA)．∴AB ＝DG ，∵AB ＝CD ，∴DG ＝CD ，∴DG ＝12CG ；(2)DG ＝CG .理由如下：如解图①，连接EG ，∴AB＝CD，AB∥CD，∠BAE＝∠BCD＝∠D＝90°.∴∠BAF＝∠GCF.由折叠的性质可知△ABE≌△FBE，∴AE＝FE，AB＝FB，∠BAE＝∠BFE＝90°.∴∠BAF＝∠AFB.∵∠BFE＋∠GFE＝180°，∴∠EFG＝90°，又∵∠AFB＝∠CFG，∴∠GCF＝∠CFG，∴FG＝CG.∵∠EFG＝90°，∴∠EFG＝∠D＝90°.∵点E是AD的中点，∴AE＝DE.∴DE＝EF.又∵EG＝EG，∴Rt△EFG≌Rt△EDG(HL)，∴FG＝DG，∴DG＝CG；例题解图①(3)BD＝2BE＋BF.理由如下：如解图②，过点F作FH⊥CB，交CB的延长线于点H，例题解图②∴CD＝AB，∠C＝90°.∵∠DEF＝∠C＝90°，∴∠DEC＋∠FEH＝90°，∠DEC＋∠EDC＝90°，∴∠FEH＝∠EDC，在△EFH和△DEC中，H＝∠C，FEH＝∠EDC，＝DE，∴△EFH≌△DEC(AAS)，∴EC＝FH，CD＝BC＝HE，∴BH＝EC＝FH，∴BF＝2FH，∴BD＝2BC＝2(BE＋EC)＝2BE＋2EC＝2BE＋2FH＝2BE＋BF；(4)2BE＝BF－BD.理由如下：如解图③，过点F作FH⊥CB，交CB的延长线于点H，例题解图③∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝AB，∠DCB＝90°，∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∴∠DEC＋∠FEH＝90°，∠DEC＋∠EDC＝90°，∴∠FEH＝∠EDC，在△EFH和△DEC中，FHE＝∠DCE，FEH＝∠EDC，＝DE，∴△EFH≌△DEC(AAS)，∴EC＝FH，CD＝BC＝EH，∴HB＝EC＝HF，∴△DCB和△BHF都是等腰直角三角形，∴BD＝2BC＝2HE，BF＝2BH＝2FH.∵BE＝EC－BC，∴2BE＝2EC－2BC，∴2BE＝2FH－BD，∴2BE＝BF－BD；(5)AE′＝CF′，AE′⊥CF′.理由如下：∵E为AB的中点，F为BC的中点，∴AB＝2BE，BC＝2BF.∵AB＝BC，∴BE＝BF.如解图④，延长CF′交AE′于点H，交AB于点K，由旋转的性质得，BE′＝BE，BF′＝BF，∠ABE′＝∠CBF′，易得△ABE′≌△CBF′，∴AE′＝CF′，∠BAE′＝∠BCF′.∵∠AKH＝∠BKC，∴∠AHK＝∠ABC＝90°，即AE′⊥CF′；例题解图④CF′，AE′⊥CF′.(6)AE′＝12理由如下：如解图⑤，延长CF′交AE′于点H，交AB于点K，∵E为AB的中点，F为BC的中点，∴AB＝2BE，BC＝2BF.∵BC＝2AB，∴BF ＝2BE .由旋转的性质得，BE ′＝BE ，BF ′＝BF ，∠ABE ′＝∠CBF ′，∴BE ′BF ′＝BE BF ＝AB BC ＝12，∴△ABE ′∽△CBF ′，∴AE ′CF ′＝AB CB ＝12，∠BAE ′＝∠BCF ′，∴AE ′＝12CF ′.∵∠AKH ＝∠BKC ，∴∠AHK ＝∠ABC ＝90°，即AE ′⊥CF ′.例题解图⑤针对演练1.解：(1)PQ ＝12BO ；PQ ⊥BO ；(4分)【解法提示】∵四边形ABCD 是正方形，O 是AC 的中点，∴OB ⊥AC ，OB ＝OA ＝OC .∵P 、Q 分别是BC 、BO 的中点，∴PQ ∥OC ，PQ ＝12OC ，∴PQ ＝12BO ，PQ ⊥BO .(2)△PQB 是等腰直角三角形，证明：如解图①，连接O ′P 并延长交BC 于点F ，由正方形的性质及旋转可得AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，△AO ′E 是等腰直角三角形，O ′E ∥BC ，O ′E ＝O ′A ，∴∠O ′EP ＝∠FCP ，∠PO ′E ＝∠PFC .又∵点P 是CE 的中点，∴CP ＝EP .∴△O ′PE ≌△FPC (AAS)，∴O ′E ＝FC ＝O ′A ，O ′P ＝FP ，∴AB －O ′A ＝CB －FC ，∴BO ′＝BF ，∴△O ′BF 为等腰直角三角形，∴BP ⊥O ′F ，O ′P ＝BP ，∴△BPO ′也为等腰直角三角形．又∵点Q 为O ′B 的中点，∴PQ ⊥O ′B ，且PQ ＝BQ ，∴△PQB 是等腰直角三角形；(8分)第1题解图①(3)如解图②，延长O ′E 交BC 于点G ，连接PG ，O ′P .∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ECG ＝45°.由旋转得，四边形O ′ABG 是矩形，∴O ′G ＝AB ＝BC ，∠EGC ＝90°，∴△EGC 为等腰直角三角形．∵点P 是CE 的中点，∴PC ＝PG ＝PE ，∠CPG ＝90°，∠EGP ＝∠PCG ＝45°，∴△O ′GP ≌△BCP (SAS)，∴∠O ′PG ＝∠BPC ，O ′P ＝BP ，∴∠O ′PG －∠GPB ＝∠BPC －∠GPB ＝90°，∴∠O ′PB ＝90°，∴△O ′PB 为等腰直角三角形．∵Q 是O ′B 的中点，∴PQ ＝12O ′B ＝BQ ，PQ ⊥O ′B .∵AB ＝1，∴O ′A ＝22AB ＝22，O ′B ＝（22）2＋12＝62，∴PQ ＝BQ ＝64，∴S △PQB ＝12BQ ·PQ ＝12×64×64＝316.(12分)第1题解图②2.解：(1)NG＝EG，理由如下：由折叠的性质得，∠EFC＝90°，易得四边形EFCD是矩形，∴NM＝MC＝ED，在△NMG和△EDG中，∠NGM＝∠EGD，∠GNM＝∠GED，NM＝ED，∴△NMG≌△EDG(AAS)，∴NG＝EG；(2)AD＝32EF，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABD＝∠CDB，∠A＝∠C，AB＝CD，由折叠的性质得，∠ABE＝12∠ABD＝12∠CDB＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，∠A＝∠C，AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，∴∠ABE≌∠CDF(ASA)，∴AE＝CF，∴DE＝BF.∵∠ADB＝30°，∴∠ABD＝60°，∠CBD＝30°，∴∠ABE＝∠MBE＝30°，∴在Rt△ABE中，BE＝2AE.∵∠ADB＝∠EBD，∴BE＝DE，∴BE ＝BF .∵∠EBF ＝∠EBD ＋∠CBD ＝60°，∴△EBF 是等边三角形，即EF ＝BE ，∴AD ＝AE ＋DE ＝12BE ＋BE ＝32BE ＝32EF ；(3)BE ＋EF 的最小值为8.【解法提示】如解图，作点B 关于AD 的对称点B ′，连接B ′F 与AD 交于点E ′，连接BE ′.∵BE ＋EF ≥B ′E ′＋E ′F ＝B ′F ，∴当点E 与点E ′重合时，即B ′、E 、F 三点共线时，BE ＋EF 取得最小值，最小值为B ′F 的长．∵AB ＝23，AD ＝6，四边形ABCD 为矩形，∴AB ＝CD ，AD＝BC ，∴tan ∠DBC ＝CD BC ＝236＝33，∴∠DBC ＝30°，∠BDC ＝60°，由折叠的性质得∠FDC ＝∠FDN ＝30°，在Rt △FDC 中，tan ∠FDC ＝FC DC ＝FC 23＝33，∴FC ＝2，∴BF ＝BC －FC ＝4，∵BB ′＝2AB ＝43，∴在Rt △FBB ′中，由勾股定理得FB ′＝BF 2＋BB ′2＝42＋（43）2＝8，即BE ＋EF 的最小值为8.第2题解图拓展类型结合新定义的几何探究1．解：(1)不能，理由如下：如解图①，若直线CD 平分△ABC 的面积，那么S △ADC ＝S △DBC ，第1题解图①∴AD ＝BD ，∵AC ≠BC ，∴AD ＋AC ≠BD ＋BC ，∴过点C不能画出△ABC的一条“等分积周线”；(2)直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”，理由如下：如解图②，连接AE、DE，设BE＝x，则CE＝8－x，第1题解图②∵EF垂直平分AD，＝S△DEF.∴AE＝DE，AF＝DF，S△AEF∵∠B＝∠C＝90°，AB＝3，BC＝8，CD＝5，∴在Rt△ABE和Rt△DCE中，根据勾股定理得，AB2＋BE2＝CE2＋DC2，即32＋x2＝(8－x)2＋52，解得x＝5，∴BE＝5，CE＝3，＝S△DCE.∴AB＋BE＝CE＋DC，S△ABE∴AF＋AB＋BE＝DF＋EC＋DC，＝S△ABE＋S△AEF，S四边形DCEF＝S△DEF＋S△DCE，∵S四边形ABEF＝S四边形DCEF，∴S四边形ABEF∴直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”；(3)如解图③，在AC上取一点F，使得FC＝AB＝6，在BC上取一点E，使得BE＝2，作直线EF，则EF是△ABC的“等分积周线”，第1题解图③证明：由作图可得，AF＝AC－FC＝8－6＝2，在CB上取一点G，使得CG＝AF＝2，连接BF，FG，则AB＋AF＝CF＋CG，∵AB＝BC，∴∠A＝∠C，在△ABF和△CFG中，＝CG，A＝∠C，＝CF，∴△ABF≌△CFG(SAS)，∴S△ABF＝S△CFG.∵BE＝2，∴EG＝6－2－2＝2，∴BE＝EG，∴S△BFE＝S△EFG，AF＋AB＋BE＝CE＋CF＝10，∴S△EFC＝S四边形ABEF，∴EF是△ABC的“等分积周线”．2．(1)解：①假；【解法提示】四个角不一定相等，例：边长成比例的正方形和菱形．②假；【解法提示】四条边不一定成比例，例：正方形与长方形．③真；(2)证明：如解图①，②，分别连接BD，B1D1，∵∠BCD＝∠B1C1D1，且ABA1B1＝BCB1C1＝CDC1D1，∴△BCD∽△B1C1D1.∴∠CDB＝∠C1D1B1，∠CBD＝∠C1B1D1，BDB1D1＝BCB1C1＝CDC1D1，∴BDB1D1＝AB A1B1.∵∠ABC＝∠A1B1C1，∠CBD＝∠C1B1D1，∴∠ABD＝∠A1B1D1.∴△ABD∽△A1B1D1.∵ADA1D1＝ABA1B1，∠A＝∠A1，∠ADB＝∠A1D1B1，∴ABA1B1＝BCB1C1＝CDC1D1＝ADA1D1，∠ADC＝∠A1D1C1，∠A＝∠A1，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B 1C 1D 1.∴四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似；图①图②第2题解图(3)解：∵四边形ABFE 与四边形EFCD 相似，∴DE AE ＝EF AB.∵EF ＝OE ＋OF ，∴DE AE ＝OE ＋OF AB.∵EF ∥AB ∥CD ，∴DE AD ＝OE AB ，DE AD ＝OC AC ＝OF AB.∴DE AD ＋DE AD ＝OE AB ＋OF AB.∴2DE AD ＝EF AB ＝DE AE.∵AD ＝DE ＋AE ，∴2DE ＋AE ＝1AE.∴2AE ＝DE ＋AE ，即AE ＝DE .∴S 2S 1＝1.。

三角形全等、相似及综合应用模型题型解读｜模型构建｜通关试练三角形基础知识部分多以选择或者填空题形式，考察其三边关系、内角和/外角和定理、“三线”基本性质等。

特殊三角形的性质与判定也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的，且等腰三角形单独出题的可能性还是比较大。

直角三角形的出题类型可以是选择填空题这类小题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸。

模型01 与三角形有关的线段应用高（AD）中线（AD）角平分线（AD）中位线（DE）模型02 与三角形有关的角的应用（1）三角形的内角：（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．（2）三角形的外角：（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．（2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．模型03 三角形全等的判定及应用（1）全等三角形的定义：全等的图形必须满足：（1）形状相同；（2）大小相等能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

几何类比探究题型题型解读|模型构建|通关试练几何的类比探究题型是近年中招解答题的必考题型，该题型往往以压轴题的形式出现，有一定的难度。

探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题．根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类。

由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．模型01图形旋转模型模型一、A字形(手拉手)及其旋转模型二、K字型及其旋转手拉手模型是有两个等腰的三角形或者两个等边的三角形，他们有一个共同的顶点，且两个等腰三角形的顶角是相等的，那么就可以用角的和差求得共顶点的另外两个角相等等，然后利用等腰的边对应相等，可证明两个三角形全等(边角边)组成这样的图形模样的我们就说他是手拉手模型。

在类比探究题型中，往往会对等腰三角形或者等边三角形进行演变，变成一般三角形进行旋转，通常全等三角形变为相似三角形。

模型特征：双等腰；共顶点；顶点相等；绕着顶点作旋转解题依据：等腰共顶手拉手，旋转全等马上有；左手拉左手，右手拉右手，两根拉线抖一抖，它们相等不用愁；拉线夹角与顶角，相等互补答案有。

模型02图形平移模型探究1.四边形平移变换四边形的平移变换题型中主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平移几何性质、三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等或相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论．2.三角形平移变换三角形平移变换主要利用三角形全等和三角形相似的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，平移性质、平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法.3.其它图形平移类比探究问题综合考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论.模型03动点引起的题型探究动点型问题是指题设中的图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线、直线、抛物线、双曲线、弧线等上运动的一类非常具有开放性的题目。

2024中考数学常见几何模型归纳总结—三角形中的倒角模型-双角平分线（三角形）模型模型1、双角平分线模型图1图2图31）两内角平分线的夹角模型条件：如图1，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线BE ，CF 交于点G ；结论：1902BGC A ∠=︒+∠．2）两外角平分线的夹角模型条件：如图2，在△ABC 中，BO ，CO 是△ABC 的外角平分线；结论：1902O A ∠=︒-∠．3）一个内角一个外角平分线的夹角模型条件：如图3，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB 的外角，两条角平分线相交于点P ；结论：12P A ∠=∠．图4图5图64）凸多边形双内角平分线的夹角模型条件：如图4，BP 、CP 平分∠ABC 、∠DCB ，两条角平分线相交于点P ；结论：2P A D ∠=∠+∠5）两内角平分线的夹角模型条件：如图5，BP 、DP 平分∠BCD 、∠CDE ，两条角平分线相交于点P ；结论：2180P A B E ∠=∠+∠+∠-︒6）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线）条件：如图6，A α∠=，,ABC ACD ∠∠的平分线相交于点1P ，11,PBC PCD ∠∠的平分线相交于点2P ，2P BC ∠，2P CD ∠的平分线相交于点3P ……以此类推；结论：n P ∠的度数是2n α．7）旁心模型旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点条件：如图，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB 的外角，两条角平分线相交于点D ；结论：AD 平分∠CAD 例1．（2022秋·安徽阜阳·八年级统考期中）如图，在ABC 中，点P 是ABC 内一点，且点P 到ABC 三边的距离相等，若124BPC ∠=︒，则A ∠=．【答案】68︒【分析】由条件可知BP CP 、平分ABC ∠和ACB ∠，利用三角形内角和可求得A ∠．【详解】解：∵点P 到ABC 三边的距离相等，∴BP 平分ABC ∠，CP 平分ACB ∠，∴180A ABC ACB ∠=︒-∠+∠（），1802PBC PCB =︒-∠+∠（）1802180BPC =︒-⨯︒-∠（）1802180124=︒-⨯︒-︒（）68=︒故答案为：68︒．【点睛】本题考查角平分线的性质与判定，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键．例2．（2022·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在五边形ABCDE 中，A B E a ∠+∠+∠=，DP ，CP 分别平分EDC ∠，BCD ∠，则P ∠的度数是．【答案】1902α- 【分析】利用多边形内角和公式、三角形内角和定理和角平分线的定义即可求解．【详解】解：∵五边形的内角和为()52180540-⨯︒=︒，∴540EDC BCD α∠+∠=︒-，∵,DP CP 分别为EDC ∠、BCD ∠的平分线，∴12PDC EDC ∠=∠，12PCD BCD ∠=∠，∴()()1154022PDC PCD EDC BCD α∠+∠=∠+∠=︒-，∴()111805409022P αα∠=︒-︒-=-︒，故答案为：1902α-︒．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，牢记n 边形的内角和为()2180n -⨯︒是解题关键．例3．（2023·山东济南·校考模拟预测）如图1，在△ABC 中，∠BAC 的平分线AD 与∠BCA 的平分线CE 交于点O ．(1)求证：∠AOC ＝90°＋12∠ABC ；(2)当∠ABC ＝90°时，且AO ＝3OD （如图2），判断线段AE ，CD ，AC 之间的数量关系，并加以证明．【答案】(1)见解析(2)43AE +CD =AC ，证明见解析【分析】（1）求出∠BAC +∠BCA =180°-∠ABC ，根据角平分线定义求出∠OAC =12∠BAC ，∠OCA =12∠BCA ，即可求出∠OAC +∠OCA 的度数，根据三角形内角和定理求出即可；（3）在AC 上分别截取AM 、CN ，使AM =AE ，CN =CD ，连接OM ，ON ，证△AEO ≌△AMO ，△DCO ≌△NCO ，推出∠EOA =∠MOA ，∠CON =∠COD ，OD =ON ，求出∠MON =∠MOA =45°，根据角平分线性质求出MK =ML ，据此计算即可求解．【详解】（1）证明：∵∠ABC +∠ACB +∠BAC =180°，∴∠BAC +∠BCA =180°-∠ABC ，∵∠BAC 的平分线AD 与∠BCA 的平分线CE 交于点O ．∴∠OAC =12∠BAC ，∠OCA =12∠BCA ，∴∠OAC +∠OCA =12（∠BAC +∠BCA ）=12（180°-∠ABC ）=90°-12∠ABC ，∴∠AOC =180°-（∠OAC +∠OCA ）=180°-（90°-12∠ABC ），即∠AOC =90°+12∠ABC ；（2）解：43AE +CD =AC ，证明：如图2，∵∠AOC =90°+12∠ABC =135°，∴∠EOA =45°，在AC 上分别截取AM 、CN ，使AM =AE ，CN =CD ，连接OM ，ON ，则在△AEO 和△AMO 中，AE AM EAO MAO AO AO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEO ≌△AMO ，同理△DCO ≌△NCO ，∴∠EOA =∠MOA ，∠CON =∠COD ，OD =ON ，∴∠EOA =∠MOA =∠CON =∠COD =45°，∴∠MON =∠MOA =45°，过M 作MK ⊥AD 于K ，ML ⊥ON 于L，∴MK =ML ，S △AOM =12AO ×MK ，S △MON =12ON ×ML ，∴AOM MON S AO ON S ∆∆=，∵AOM MON S AM S MN ∆∆=，∴AO AM ON MN =，∵AO =3OD ，∴31AO OD =，∴31AO AM ON MN ==，∴AN =43AM =43AE ，∵AN +NC =AC ，∴43AE +CD =AC ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线定义和性质，三角形的面积，三角形内角和定理的应用，熟练掌握各性质定理是解答此题的关键．例4．（2023秋·成都市·八年级专题练习）如图，在ABC 中，58B ∠=︒，三角形两外角的角平分线交于点E ，则AEC ∠=．【答案】61°【分析】先根据三角形的内角和定理和平角定义求得∠DAC +∠ACF 的度数，再根据角平分线的定义求得∠EAC +∠ECA 的度数，即可解答．【详解】解：∵∠B +∠BAC +∠BCA =180°，∠B =58°，∴∠BAC +∠BCA =180°﹣∠B =180°﹣58°=122°，∵∠BAC +∠DAC =180°，∠BCA +∠ACF =180°，∴∠DAC +∠ACF =360°﹣（∠BAC +∠BCA ）=360°﹣122°=238°，∵AE 平分∠DAC ，CE 平分∠ACF ，∴∠EAC =12∠DAC ，∠ECA =12∠ACF ，∴∠EAC +∠ECA =12（∠DAC +∠ACF ）=119°，∵∠EAC +∠ECA +∠AEC =180°，∴∠AEC =180°﹣（∠EAC +∠ECA ）=180°﹣119°=61°，故答案为：61°．【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键．例5．（2023·湖北·八年级专题练习）如图，已知在ABC ∆中，B ∠、C ∠的外角平分线相交于点G ，若ABC m ∠=︒，ACB n ∠=︒，求BGC ∠的度数.【答案】()12BGC m n ∠=+ 【分析】运用角平分线的知识列出等式求解即可．解答过程中要注意代入与之有关的等量关系．【详解】解：∠B 、∠C 的外角平分线相交于点G ，在BCG ∆中，∠BGC=180°-（12∠EBC+12∠BCF ）=180°-12（∠EBC+∠BCF ）=180°-12（180°-∠ABC+180°-∠ACB ）=180°-12（180°-m°+180°-n°）；=()12+ m n 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理以及角平分线的知识．此类题的关键是找出与之相关的等量关系简化计算得出．例6．（2023·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）如图，CD 、BD 分别平分∠ACE 、∠ABC ，∠A ＝70°，则∠BDC ＝（）A ．35°B ．25°C ．70°D ．60°【答案】A 【分析】根据角平分线的定义可得∠CBD ＝12∠ABC ，∠DCE ＝12∠ACE ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠DCE ＝∠D ＋∠CBD ，∠ACE ＝∠A ＋∠ABC ，然后整理求出∠D ＝12∠A ．【详解】解：∵CD 、BD 分别平分∠ACE 、∠ABC ，∴∠CBD ＝12∠ABC ，∠DCE ＝12∠ACE ，由三角形的外角性质得，∠DCE ＝∠D ＋∠CBD ，∠ACE ＝∠A ＋∠ABC ，∴∠D ＋∠CBD ＝12（∠A ＋∠ABC ）∴∠D ＝12∠A ，∵∠A ＝70°，∴∠D ＝12×70°＝35°．故选：A ．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，注意整体思想的利用是解答的关键．例7．（2022秋·八年级课时练习）如图，1BA 和1CA 分别是ABC 的内角平分线和外角平分线，2BA 是1A BD ∠的平分线，2CA 是1A CD ∠的平分线，3BA 是2A BD ∠的平分线，3CA 是2A CD ∠的平分线，……以此类推，若A α∠=，则2020A ∠=．【答案】20202α【分析】根据角平分线的定义可得∠A 1BC =12∠ABC ，∠A 1CD =12∠ACD ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD =∠A +∠ABC ，∠A 1CD =∠A 1BC +∠A 1，整理即可得解112A A ∠=∠，同理求出∠A 2，∠A 3，可以发现后一个角等于前一个角的12，根据此规律即可得解．【详解】∵A 1B 是∠ABC 的平分线，A 1C 是∠ACD 的平分线，∴∠A 1BC =12∠ABC ，∠A 1CD =12∠ACD ，又∵∠ACD =∠A +∠ABC ，∠A 1CD =∠A 1BC +∠A 1，∴12（∠A +∠ABC ）=12∠ABC +∠A 1，∴∠A 1=12∠A ，∵∠A =α．∠A 1=12∠A =12α，同理可得∠A 2=12∠A 1=212α，根据规律推导，∴2020A ∠=20202α，故答案为20202α．【点睛】本题主要考查的是三角形外角性质，角平分线定理，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义是解题的关键．例8．（2023春·成都市七年级课时练习）如图在△ABC 中，BO ，CO 分别平分∠ABC ，∠ACB ，交于O ，CE为外角∠ACD 的平分线，交BO 的延长线于点E ，记1BAC ∠=∠，2BEC ∠=∠，则以下结论①122∠=∠，②32BOC ∠=∠，③901BOC ∠=︒+∠，④902BOC ∠=︒+∠，正确的是．（把所有正确的结论的序号写在横线上）【答案】①④【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠1＝2∠2，∠BOC ＝90°＋12∠1，∠BOC ＝90°＋∠2，再分析判断．【详解】∵CE 为外角∠ACD 的平分线，BE 平分∠ABC ，∴∠DCE ＝12∠ACD ，∠DBE ＝12∠ABC ，又∵∠DCE 是△BCE 的外角，∴∠2＝∠DCE−∠DBE ＝12（∠ACD−∠ABC ）＝12∠1，故①正确；∵BO ，CO 分别平分∠ABC ，∠ACB ，∴∠OBC ＝12ABC ，∠OCB ＝12∠ACB ，∴∠BOC ＝180°−（∠OBC ＋∠OCB ）＝180°−12（∠ABC ＋∠ACB ）＝180°−12（180°−∠1）＝90°＋12∠1，故②、③错误；∵OC 平分∠ACB ，CE 平分∠ACD ，∴∠ACO ＝12∠ACB ，∠ACE ＝12∠ACD ，∴∠OCE ＝12（∠ACB ＋∠ACD ）＝12×180°＝90°，∵∠BOC 是△COE 的外角，∴∠BOC ＝∠OCE ＋∠2＝90°＋∠2，故④正确；故答案为：①④．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义．例9．（2023秋·广东佛山·八年级校考期末）（1）如图1所示，在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线将于点O ，则有1902BOC A ∠=+∠︒，请说明理由．（2）如图2所示，在ABC 中，内角的平分线ABC ∠和外角ACD ∠的平分线交于点O ，请直接写出BOC∠与BAC ∠之间的关系，不必说明理由．（3）如图3所示，AP ，BP 分别平分CAD ∠，CBD ∠，则有1()2P C D ∠=∠+∠，请说明理由．（4）如图4所示，AP ，BP 分别平分CAM ∠，CBD ∠，请直接写出P ∠与C ∠，D ∠之间的关系，不必说明理由．【答案】(1)理由见解析；(2)∠BAC=2∠BOC ；(3)理由见解析；(4)11+9022P D C ∠=∠∠+︒【分析】(1)根据OB 是∠ABC 的角平分线，OC 是∠ACB 的角平分线，利用三角形的内角和等于180°即可得出结果；(2)根据OB 是∠ABC 的角平分线，OC 是∠ACD 的角平分线，利用三角形的外角性质即可得出结果；(3)根据AP 是∠DAC 的角平分线，BP 是∠DBC 的角平分线，利用三角形的外角性质列出等式∠D+∠DAP=∠P+∠DBP ，∠P+∠PAC=∠PBC+∠C ，分析等式即可得出结果；(4)AP 是∠MAC 的角平分线，BP 是∠DBC 的角平分线，设∠DBP=∠PBC=x ，∠MAP=∠PAC=y ，利用三角形外角性质和内角和性质即可得出结果．【详解】解：(1)∵OB 是∠ABC 的角平分线，OC 是∠ACB 的角平分线∴∠ABO=OBC ，∠ACO=∠OCB∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°∴∠OCB+∠OBC=()11802902A A ︒-∠÷=︒-∠∴∠BOC=11=180909022A A ⎛⎫︒-︒-∠=︒+∠ ⎪⎝⎭(2)∵OB 是∠ABC 的角平分线，OC 是∠ACD 的角平分线∴∠ABO=∠OBC ，∠ACO=∠OCD∵∠BAC +∠ABC=∠ACD ，∠OBC+∠BOC =∠OCD ∴2∠OBC+2∠BOC =2∠OCD∴∠ABC+2∠BOC =∠ACD ∴∠BAC=2∠BOC(3)∵AP 是∠DAC 的角平分线，BP 是∠DBC 的角平分线∴∠DAP=∠PAC ，∠DBP=∠PBC∵∠D+∠DAP=∠P+∠DBP ，∠P+∠PAC=∠PBC+∠C∴∠D-∠P=∠P-∠C ∴1()2P C D ∠=∠+∠(4)∵AP 是∠MAC 的角平分线，BP 是∠DBC 的角平分线∴∠MAP=∠PAC ，∠DBP=∠PBC 设∠DBP=∠PBC=x ，∠MAP=∠PAC=y∴∠AGB=∠C+2x ∴∠BEP=∠AEG=180°-（∠C+2x ）-y∴∠P=180°-∠BEP-∠DBP=∠C+x+y ∵∠D+∠AEG=∠MAP ∴∠D+180°-（∠C+2x ）-y=y∴x+y=119022D C ∠-∠+︒∴119022P D C C ∠=∠-∠+︒+∠∴11+9022P D C ∠=∠∠+︒【点睛】本题主要考查的是角平分线性质的综合运用，正确的掌握角平分线的性质以及运用是解题的关键．例9．（2023·江苏八年级课时练习）（1）如图所示，在ABC 中，,BO CO 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，证明：1902BOC A ∠=+∠︒．（2）如图所示，ABC 的外角平分线BD 和CD 相交于点D ，证明：1902BDC A -︒∠=∠．（3）如图所示，ABC 的内角平分线BD 和外角平分线CD 相交于点D ，证明：12D A ∠=∠．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【详解】（1）设,ABO OBC x ACO BCO y ∠=∠=∠=∠=．由ABC 的内角和为180︒，得22180A x y ︒∠++=．①由BOC 的内角和为180︒，得180BOC x y ∠++=︒．②由②得180x y BOC +=-∠︒．③把③代入①，得()2180180A BOC ∠+-∠=︒︒，即2180BOC A ∠=︒+∠，即1902BOC A ∠=+∠︒（2）∵BD 、CD 为△ABC 两外角∠ABC 、∠ACB 的平分线，∴()()1122BCD A ABC DBC A ACB ∠=∠+∠∠=∠+∠、，由三角形内角和定理得，180BDC BCD DBC ∠=︒-∠-∠，=180°-12[∠A +（∠A +∠ABC +∠ACB ）]，=180°-12（∠A +180°），=90°-12∠A ；（3）如图：∵BD 为△ABC 的角平分线，交AC 与点E ，CD 为△ABC 外角∠ACE 的平分线，两角平分线交于点D ∴∠1=∠2，∠5=12（∠A +2∠1），∠3=∠4，在△ABE 中，∠A =180°-∠1-∠3∴∠1+∠3=180°-∠A ①在△CDE 中，∠D =180°-∠4-∠5=180°-∠3-12（∠A +2∠1），即2∠D =360°-2∠3-∠A -2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A ②，把①代入②得∠D =12∠A ．【点睛】此题考查的是三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学常规题．课后专项训练1．（2023·成都·八年级月考）如图，ABC ∆的外角ACD ∠的平分线CP 与内角ABC ∠的平分线BP 交于点P ，若40BPC ∠=︒，则(CAP ∠=)A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒【解答】解：延长BA ，作PN BD ⊥，PF BA ⊥，PM AC ⊥，设PCD x ∠=︒，CP 平分ACD ∠，ACP PCD x ∴∠=∠=︒，PM PN =，BP 平分ABC ∠，ABP PBC ∴∠=∠，PF PN =，PF PM ∴=，40BPC ∠=︒ ，(40)ABP PBC PCD BPC x ∴∠=∠=∠-∠=-︒，2(40)(40)80BAC ACD ABC x x x ∴∠=∠-∠=︒-︒-︒-︒-︒=︒，100CAF ∴∠=︒，在Rt PFA ∆和Rt PMA ∆中，PA PA PM PF=⎧⎨=⎩，Rt PFA Rt PMA(HL)∴∆≅∆，50FAP PAC ∴∠=∠=︒．故选：C ．2．（2023秋·绵阳市·八年级专题练习）如图，在ABC 中，50ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，点E 在BC 的延长线上，ABC ∠的平分线BD 与ACE ∠的平分线CD 相交于点D ，连接AD ，下列结论中不正确的是（）A ．70BAC ∠=︒B ．90DOC ∠=︒C ．35BDC ∠=︒D ．55DAC ∠=︒【答案】B 【分析】根据三角形的内角和定理列式计算即可求出BAC ∠，即可判断A 选项；根据角平分线的定义求出ABO ∠，再利用三角形的内角和定理求出AOB ∠，然后利用对顶角，即可判断B 选项；根据邻补角的定义和角平分线的定义求出DCO ∠，再利用三角形的内角和定理求出BDC ∠，即可判断C 选项；利用角平分线的性质，推出AD 为ABC 的外角平分线，然后列式计算求出DAC ∠，即可判断D 选项．【详解】解：50ABC ∠=︒ ，60ACB ∠=︒，180180506070BAC ABC ACB ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故A 选项正确，不符合题意；BD Q 平分ABC ∠，11502522ABO ABC ∴∠=∠=⨯︒=︒，在ABO 中，180180702585AOB BAC ABO ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，85DOC AOB ∴∠=∠=︒，故B 选项错误，符合题意；CD 平分ACE ∠，()()1111801806060222ACD ACE ACB ∴∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，在COD △中，180180856035BDC COD ACD ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故C 选项正确，不符合题意；BD Q 、CD 分别是ABC ∠和ACE ∠的平分线，D ∴到AB 、AC 、BC 的距离相等，AD ∴是ABC 的外角平分线，()()11180180705522DAC BAC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，故D 选项正确，不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理和概念是解题关键．3．（2022春·北京海淀·七年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与y 轴在正半轴、x 轴正半轴分别交A 、B 两点，点C 在BA 的延长线上，AD 平分∠CAO ，BD 平分∠ABO ，则∠D 的度数是（）A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°【答案】B 【分析】由OA ⊥OB 即可得出∠OAB +∠ABO =90°、∠AOB =90°，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求出∠D 的度数．【详解】解：∵OA ⊥OB ，∴∠OAB +∠ABO =90°，∠AOB =90°．∵DA 平分∠CAO ，∴∠DAO =12∠OAC =12（180°-∠OAB ）．∵DB 平分∠ABO ，∴∠ABD =12∠ABO ，∴∠D =180°-∠DAO -∠OAB -∠ABD =180°-12（180°-∠OAB ）-∠OAB -12∠ABO =90°-12（∠OAB +∠ABO ）=45°．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是找出∠D =90°-12（∠OAB +∠ABO ）．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练运用三角形内角和定理解决问题是关键．4．（2022秋·河北张家口·八年级统考阶段练习）如图，点O 在ABC 内，且到三边的距离相等，连接,OB OC ．若120BOC ∠=︒，则A ∠的度数是（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．70︒【答案】C 【分析】由点O 在ABC 内，且到三边的距离相等，可知O 是角平分线的交点，则12OBC ABC ∠=∠，12OCB ACB ∠=∠，由180OBC OCB BOC ∠+∠+∠=︒，可得120ABC ACB ∠+∠=︒，根据180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒，计算求解即可．【详解】解：∵点O 在ABC 内，且到三边的距离相等，∴O 是角平分线的交点，∴12OBC ABC ∠=∠，12OCB ACB ∠=∠，∵180OBC OCB BOC ∠+∠+∠=︒，∴1112018022ABC ACB ∠+∠+︒=︒，即120ABC ACB ∠+∠=︒，∵180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒，∴60A ∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，三角形内角和定理．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．5．（2022秋·四川绵阳·八年级统考期末）如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，E 为BC 延长线上一点，∠ABC 与∠ACE 的平分线相交于点D ，则∠D 等于（）A ．10°B ．15°C ．20°D ．30°【答案】B【分析】先根据角平分线的定义得到12∠=∠，34∠=∠，再根据三角形外角性质得1234A ∠+∠=∠+∠+∠，13D ∠=∠+∠，则2123A ∠=∠+∠，利用等式的性质得到12D A ∠=∠，然后把A ∠的度数代入计算即可．【详解】解答：解：∵ABC ∠的平分线与ACE ∠的平分线交于点D ，∴12∠=∠，34∠=∠，∵ACE A ABC ∠=∠+∠，即1234A ∠+∠=∠+∠+∠，∴2123A ∠=∠+∠，∵13D ∠=∠+∠，∴11301522D A ∠=∠=⨯︒=︒．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理和三角形外角性质、角平分线的性质等，根据三角形内角和是180°和三角形外角性质进行分析是解题关键．6．（2023春·福建漳州·七年级统考期末）如图，在ABC 中，,ACB A BD ∠∠<是角平分线，BE 是边AC 上的高，延长BD 与外角ACF ∠的平分线交于点G ．以下四个结论：①ABD CBD ∠=∠；②90ABE A ∠+∠=︒；③45G ∠=︒；④2A ACB EBD ∠∠∠-=．其中结论正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】由三角形的角平分线的含义可判断①，由三角形的高的含义可判断②，证明2ABC GBC ∠=∠，2ACF GCF ∠=∠，ACF ABC A ∠=∠+∠，GCF GBC G ∠=∠+∠，可判断③，由()2290BED ADB ∠=︒-∠，ADB DBC ACB ∠=∠+∠，可得()218022BED DBC ACB ∠=︒-∠+∠，从而可判断④，从而可得答案．【详解】解：∵BD 是ABC 角平分线，∴ABD CBD ∠=∠，故①符合题意；∵BE 是边AC 上的高，∴90ABE A ∠+∠=︒，故②符合题意；∵BD 是ABC 角平分线，CG 平分ACF ∠，∴2ABC GBC ∠=∠，2ACF GCF∠=∠∵ACF ABC A ∠=∠+∠，GCF GBC G ∠=∠+∠，∴22GCF GBC A ∠=∠+∠，∴12G A ∠=∠，∵90A ∠<︒，∴45G ∠<︒，故③不符合题意；∵()2290BED ADB ∠=︒-∠，ADB DBC ACB ∠=∠+∠，∴()218022BED DBC ACB ∠=︒-∠+∠()1802ABC ACB =︒-∠+∠()180180A ACB =︒-︒-∠+∠A ACB =∠-∠，故④符合题意；故选C 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的角平分线与高的含义，三角形的外角的性质，灵活运用三角形的外角的性质解决问题是关键．7．（2022秋·贵州遵义·八年级校考阶段练习）如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，16BAC ∠=︒，ACB ∠的平分线与外角ABD ∠的平分线交于点E ，连接AE ，则AEC ∠的度数为．【答案】37︒/37度【分析】由角平分线的性质可得EF EH EG ==，进而可证明EA 是BAC ∠的外角平分线，再利用三角形的内角和定理解答即可．【详解】解：过E 点分别作EF AC ⊥于F ，作EG AB ⊥于点G ，作EH CD ⊥于H ，∵EC 是ACB ∠的平分线，EB 是ABD ∠的平分线，∴EF EH =，EG EH =，∴EF EG =，∴EA 是BAC ∠的外角平分线，∵90ACB ∠=︒，16BAC ∠=︒，∴45ACE ∠=︒，∴180168222FAB EAB ∠︒-︒∠===︒，∴()()18018082164518014337AEC EAC ACE ∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒+︒=︒-︒=︒．故答案为：37︒．【点睛】本题考查了三角形内角平分线和外角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键．8．（2023春·江苏南通·七年级统考阶段练习）如图，1BA 和1CA 分别是ABC 的内角平分线和外角平分线，2BA 是1A BD ∠的平分线，2CA 是1A CD ∠的平分线，3BA 是2A BD ∠的平分线，3CA 是2A CD ∠的平分线，若A α∠=，则999A ∠=．【答案】9992α【分析】根据角平分线的定义可得112BD ABC A =∠∠，112ACD ACD ∠=∠，再根据三角形外角的性质可得()11122ABC A ABC A ∠+∠=∠+∠，化简可得112A A ∠=∠，进一步找出其中的规律，即可求出999A ∠的度数．【详解】解：1BA 和1CA 分别是ABC 的内角平分线和外角平分线，112A BD ABC ∠∠∴=，112ACD ACD ∠=∠，又ACD ABC A ∠=∠+∠Q ，111A CD A BD A ∠∠∠=+，()11122ABC A ABC A ∠∠∠∠∴+=+，11122A A α∴∠=∠=，同理可得：21211112222A A αα∠=∠=⨯=，23131122A A ∠∠α==，......则999999999122A A α∠==，故答案为：9992α．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，找出1A ∠，2A ∠，3A ∠与A ∠的规律是解题的关键．9．（2022秋·北京大兴·八年级统考期末）如图，在ABC 中，AB AC <，BAC ∠的平分线与外角BCD ∠的平分线相交于点M ，作AB 的延长线得到射线AE ，作射线BM ，有下面四个结论：①MCD MAB ∠>∠；②BM CM =；③射线BM 是EBC ∠的角平分线；④1902BMC BAC ∠=︒-∠．所有正确结论的序号是．【答案】①③④【分析】由角平分线的定义可知MAB MAC ∠=∠．再根据三角形外角的性质得出MCD MAC AMC ∠=∠+∠，即可确定MCD MAB ∠>∠，故①正确；过点M 作MF AD ⊥于点F ，MG BC ⊥于点G ，MH AE ⊥于点H ，由角平分线的性质定理可得出MF MG MH ==．即易证Rt Rt (HL)BMG BMH ≌，得出MBG MBH ∠=∠，即说明射线BM 是EBC ∠的角平分线，故③正确；利用反证法，假设BM CM =，易证CBE BCD ∠=∠，即得出A ABC CB =∠∠．由AB AC <，可知ABC ACB ∠≠∠，即说明BM CM =不成立，故②错误；由BMC BMG CMG ∠=∠+∠，即得出(90)(90)BMC MBG MCG ∠=︒-∠+︒-∠．再根据角平分线的定义即得出11(90)(90)22BMC CBE BCD ∠=︒-∠+︒-∠，最后结合三角形内角和定理即可求出结论，可判断④正确．【详解】解：∵AM 为BAC ∠的平分线，∴MAB MAC ∠=∠．∵MCD MAC AMC ∠=∠+∠，∴MCD MAC ∠>∠，∴MCD MAB ∠>∠，故①正确；如图，过点M 作MF AD ⊥于点F ，MG BC ⊥于点G ，MH AE ⊥于点H ，∵AM 为BAC ∠的平分线，CM 为BCD ∠的平分线，∴MF MG MH ==．又∵BM BM =，∴Rt Rt (HL)BMG BMH ≌，∴MBG MBH ∠=∠，即射线BM 是EBC ∠的角平分线，故③正确；假设BM CM =，∴MBC MCB ∠=∠．∵CM 为BCD ∠的平分线，BM 是EBC ∠的角平分线，∴MBE MBC ∠=∠，MCB MCD ∠=∠，∴MBE MBC MCB MCD ∠+∠=∠+∠，即CBE BCD ∠=∠，∴180180CBE BCD ︒-∠=︒-∠，即A ABC CB =∠∠．∵AB AC <，∴ABC ACB ∠≠∠，∴假设不成立，故②错误；∵BMC BMG CMG ∠=∠+∠，∴(90)(90)BMC MBG MCG ∠=︒-∠+︒-∠．∵1122MBG CBE MCG BCD ∠=∠∠=∠，，∴11(90)(90)22BMC CBE BCD ∠=︒-∠+︒-∠，∴11(90)(90)22BMC CBE BCD ∠=︒-∠+︒-∠1118022CBE BCD =︒-∠-∠11180(180)(180)22ABC ACB =︒-︒-∠-︒-∠1()2ABC ACB =∠+∠1(180)2BAC =︒-∠1902BAC =︒-∠，∴④正确．综上可知所有正确结论的序号是①③④．故答案为：①③④．【点睛】本题考查角平分线的定义，角平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质及三角形内角和的应用等知识．正确作出辅助线构造全等三角形，并利用数形结合的思想是解题关键．10．（2023春·河北·七年级专题练习）如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O ，延长BO 与∠ACB 的外角平分线交于点D ，若∠BOC ＝130°，则∠D ＝【答案】40°【分析】根据角平分线的定义结合三角形外角的性质即可得到结论．【详解】解：∵∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O ，∴∠ACO=12∠ACB ，∵CD 平分∠ACE ，∴∠ACD=12∠ACE ，∵∠ACB+∠ACE=180°，∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=12（∠ACB+∠ACE ）=12×180°=90°，∵∠BOC ＝130°，∴∠D=∠BOC-∠OCD=130°-90°=40°，故答案为：40°．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，熟练掌握相关性质和概念正确推理计算是解题的关键．11．（2023·浙江杭州·八年级期末）如图，在四边形ABCD 中，A D m ∠+∠=︒，ABC ∠的平分线与BCD ∠的平分线交于点P ，则P ∠=．（用含字母m 的代数式表示）【答案】12m ︒【分析】根据四边形的内角和是360°，求出∠ABC+∠BCD 的度数，然后根据角平分线的定义及三角形的内角和定理求出∠P 的度数即可．【详解】解：∵∠A+∠D=m°，且四边形内角和为360°，∴∠ABC+∠BCD=360°-m°，∵PB 、PC 是∠ABC 、∠BCD 的角平分线，∴∠PBC=12ABC ∠，∠BCP=12BCD ∠，∴∠PBC+∠BCP=1111+=(+)(360) 2222ABC BCD ABC BCD m ∠∠∠∠=︒-︒∴∠P=180°-（∠PBC+∠BCP）=11180(360)22m m︒-︒-︒=︒故答案为：12m︒．【点睛】本题考查了四边形的内角和及三角形的内角和与角平分线相关的角度计算问题，解题的关键是表达出∠PBC+∠BCP的度数．12．（2023春·河南·七年级专题练习）如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，如果∠CMB：∠CNB＝3：2，那么∠CAB＝．【答案】36°【分析】由角平分线的定义得∠NCM=∠MBN=12×180°=90°，再比的关系可求得∠CMB=108°，再由内角平分线及三角形内角和即可求得结果．【详解】由题意得：∠NCM=∠MBN=12×180°=90°，∴∠CMB+∠CNB=180°，又∠CMB：∠CNB=3：2，∴∠CMB=108°，∴12（∠ACB+∠ABC）=180°-∠CMB=72°，∴∠ACB+∠ABC=144°，∴∠CAB=180°-（∠ACB+∠ABC）=36°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形角平分线的定义等知识，由条件得到∠NCM=∠MBN=90°是关键．13．（2023·黑龙江八年级课时练习）（1）如图（1）所示，已知在△ABC中，O为∠ABC和∠ACB的平分线BO，CO的交点．试猜想∠BOC和∠A的关系，并说明理由．（2）如图（2）所示，若O为∠ABC的平分线BO和∠ACE的平分线CO的交点，则∠BOC与∠A的关系又该怎样？为什么？【答案】(1)∠BOC=12∠A+90°；理由见解析；(2)∠BOC=12∠A；理由见解析【分析】(1)根据三角形内角和定理得出∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，根据角平分线的性质得出∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，然后得出∠BOC+12∠ABC+12∠ACB=180°，最后得出结论；(2)根据外角的性质得出∠A+∠ABC=∠ACE，∠OBC+∠BOC=∠OCE，然后根据角平分线的性质得出∠ABC=2∠OBC，∠ACE=2∠OCE，最后根据∠BOC=∠OCE-∠OBC得出答案．【详解】(1)∠BOC=12∠A+90°．在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，又∵BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB．∴∠BOC+12∠ABC+12∠ACB=180°．∴∠BOC=180°﹣12(∠ABC+∠ACB)=180°-12(180°-∠A)=90°+12∠A．(2)∠BOC=12∠A．∵∠A+∠ABC=∠ACE，∠OBC+∠BOC=∠OCE，∴∠A=∠ACE-∠ABC，∠BOC=∠OCE-∠OBC 又∵BO，CO分别是∠ABC和∠ACE的平分线，∴∠ABC=2∠OBC，∠ACE=2∠OCE．∴∠BOC=∠OCE-∠OBC=12∠ACE-12∠ABC=12(∠ACE-∠ABC)=12∠A．【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握外角性质并能正确计算是解题关键．14．（2023·北京昌平·八年级校考阶段练习）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.探究1：如图l，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90 +12∠A,理由如下：∵BO 和CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线∴∠1=12∠ABC,∠2=12∠ACB ∴∠l+∠2=12(∠ABC+∠ACB)=12(180︒-∠A)=90︒-12∠A ∴∠BOC=180︒-(∠1+∠2)=180︒-(90︒-12∠A)=90︒+12∠A (1)探究2；如图2中，O 是12∠ABC 与外角12∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有怎样的关系？请说明理由．(2)探究3：如图3中,O 是外角∠DBC 与外角∠ECB 的平分线BO 和CO 的交点，则∠BOC 与∠A 有怎样的关系？（直接写出结论）(3)拓展：如图4，在四边形ABCD 中，O 是∠ABC 与∠DCB 的平分线BO 和CO 的交点，则∠BOC 与∠A+∠D 有怎样的关系？（直接写出结论）【答案】（1）探究2结论：∠BOC=12A ∠；（2）探究3：结论∠BOC=90°－12A ∠；（3）拓展：结论()12BOC A D ∠=∠+∠【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠1=12∠ABC ，∠2=12∠ACD ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义可得∠2=12∠ACD=12（∠A+∠ABC ），∠BOC=∠2-∠1，然后整理即可得解；（2）根据三角形的外角性质以及角平分线的定义表示出∠OBC 和∠OCB ，再根据三角形的内角和定理解答；（3）同（1）的求解思路．【详解】（1）探究2结论：∠BOC=12∠A ．理由如下：如图，∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACD，又∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠2=12∠ACD=12（∠A+∠ABC）=12∠A+∠1，∵∠2是△BOC的一个外角，∴∠BOC=∠2-∠1=12∠A+∠1-∠1=12∠A，即∠BOC=12∠A；（2）由三角形的外角性质和角平分线的定义，∠OBC=12（∠A+∠ACB），∠OCB=12（∠A+∠ABC），在△BOC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-12（∠A+∠ACB）-12（∠A+∠ABC），=180°-12（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC），=180°-12（180°+∠A），=90°-12∠A；故答案为∠BOC=90°-12∠A．（3）∠OBC+∠OCB=12（360°-∠A-∠D），在△BOC中，∠BOC=180°-12（360°-∠A-∠B）=12（∠A+∠D）．故答案为∠BOC=12（∠A+∠D）．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图，整体思想的利用是解题的关键．15．（2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图1，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合），AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G．（1）若∠MON＝60°，则∠ACG＝°；若∠MON＝90°，则∠ACG＝°；（2）若∠MON＝n°，请求出∠ACG的度数；（用含n的代数式表示）（3）如图2，若∠MON＝n°，过C 作直线与AB交于F，若CF∥OA时，求∠BGO－∠ACF的度数．（用含n的代数式表示）．【答案】（1）60°；45°；（2）90°－12n；（3）90°－12n．【分析】（1）根据三角形的内角和求出∠ABO+∠BAO的度数，再根据角平分线的定义及外角的性质即可得到∠ACG的度数；（2）根据（1）中的结论即可求出答案；（3）根据角平分线的性质，平行线的性质得到∠ACF=∠CAO=∠BAC，利用外角的性质得到∠BGO－∠ACF=∠ACG，由此得到答案.【详解】（1）∵∠MON+∠ABO+∠BAO＝180°，∴∠ABO+∠BAO=180°-∠MON，∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，∴∠ABC=12∠ABO，∠BAC=12∠BAO，当∠MON＝60°，∠ACG=∠ABC+∠BAC=12(∠ABO+∠BAO)=12（180°-∠MON）=60°，当∠MON＝90°，∠ACG=∠ABC+∠BAC=12(∠ABO+∠BAO)=12（180°-∠MON）=45°，故答案为：60°，45°；（2）由（1）知∠ACG=12（180°-∠MON），∵∠MON＝n°，∴∠ACG=12（180°-∠MON）=90°－12n；（3）∵AC平分∠BAO，∴∠BAC=∠CAO∵CF∥OA，∴∠ACF=∠CAO=∠BAC，∵∠BGO=∠ABG+∠BAO=∠ABG+2∠ACF,∴∠BGO－∠ACF=∠ABG+2∠ACF-∠ACF=∠ABG+∠ACF=∠ABG+∠BAC=∠ACG,∵∠MON＝n°时∠ACG=90°－12n，∴∠BGO－∠ACF=90°－12n.【点睛】此题考查三角形的内角和定理，外角的性质定理，平行线的性质定理，解题时注意共性思想的理解和利用.16．（2023·山西晋城·七年级统考期末）在△ABC中，已知∠A＝α．（1）如图1，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D．①当α＝70°时，∠BDC度数＝度（直接写出结果）；②∠BDC的度数为（用含α的代数式表示）；（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACE角平分线交于点F，求∠BFC的度数（用含α的代数式表示）．（3）在（2）的条件下，将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，∠GBC的角平分线与∠GCB的角平分线交于点M（如图3），求∠BMC的度数（用含α的代数式表示）．【答案】（1）（1）①125°；②1902α︒+，（2）1BFC2α∠=；（3）1BMC904α︒∠=+【分析】（1）①由三角形内角和定理易得∠ABC+∠ACB=110°，然后根据角平分线的定义，结合三角形内角和定理可求∠BDC；②由三角形内角和定理易得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，采用①的推导方法即可求解；（2）由三角形外角性质得BFC FCE FBC∠=∠-∠，然后结合角平分线的定义求解；（3）由折叠的对称性得BGC BFC∠=∠，结合（1）②的结论可得答案．【详解】解：（1）①∵12DBC∠=∠ABC，∠DCB＝12∠ACB，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣12（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣12（180°﹣70°）＝125°②∵12DBC∠=∠ABC，∠DCB＝12∠ACB，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣12（∠ABC +∠ACB ）＝180°﹣12（180°﹣∠A ）＝90°+12∠A＝90°+12α．故答案分别为125°，90°+12α．（2）∵BF 和CF 分别平分∠ABC 和∠ACE ∴1FBC ABC 2∠=∠，1FCE ACE 2∠=∠，∴BFC FCE FBC ∠=∠-∠＝11(ACE ABC)A 22∠-∠=∠即1BFC 2α∠=．（3）由轴对称性质知：1BGC BFC 2α∠=∠=，由（1）②可得1BMC 90BGC 2∠=︒+∠，∴1BMC 904α∠=︒+．【点睛】本题考查三角形中与角平分线有关的角度计算，熟练掌握三角形内角和定理，以及三角形的外角性质是解题的关键．17．（2023·江苏连云港·七年级统考期中）在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验．【结论发现】小明在处理教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半．【结论探究】（1）如图1，在ABC 中，点E 是ABC 内角ACB ∠平分线CE 与外角ABD ∠的平分线BE 的交点，则有12∠=∠E A ．请补齐下方的说理过程．理由如下：因为180EBC EBD ∠+∠=°，又因为在EBC 中，180EBC E ECB ∠+∠+∠=°，所以EBC EBD EBC E ECB ∠+∠=∠+∠+∠．所以EBD E ∠=∠+∠______．（理由是：等式性质）同理可得：ABD A ∠=∠+∠______．又因为BE 和CE 分别是ABD ∠和ACB ∠的角平分线，所以12EBD ABD ∠=∠，∠______12ACB =∠．所以1122ABD E ACB ∠=∠+∠．即111222E ABD ACB ∠=∠-∠=（ABD ACB ∠-∠）．所以12∠=∠E A ．请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题：【简单应用】（2）如图2，在ABC 中，40ABC ∠=︒．延长BA 至G ，延长AC 至H ，已知BAC ∠、CAG ∠的角平分线与BCH ∠的角平分线及其反向延长线交于E 、F ，求F ∠的度数；【变式拓展】（3）如图3，四边形ABCD 的内角BCD ∠与外角ABG ∠的平分线形成如图所示形状．①已知150A ∠=︒，80D ∠=︒，求E F ∠+∠的度数；②直接写出E F ∠+∠与A D ∠+∠的关系．【答案】（1）ECB ，ACB ，ECB ；（2）70°；（3）①205°；②E F ∠+∠=12（A D ∠+∠）+90°【分析】（1）根据三角形外角的性质以及角平分线的定义，即可得到答案；（2）先推出∠AEC =12∠ABC =20°，再推出∠EAC +∠FAC ==90°，进而即可求解；（3）①延长BA 、CD 交于点M ，延长CE 、BF 交于点N ，可得∠N =12∠M ，进而即可求解；②根据∠N =12∠M ，结合平角的意义以及三角形内角和定理，即可得到结论．【详解】解：（1）因为180EBC EBD ∠+∠=°，又因为在EBC 中，180EBC E ECB ∠+∠+∠=°，所以EBC EBD EBC E ECB ∠+∠=∠+∠+∠．所以EBD E ∠=∠+∠ECB ．（理由是：等式性质）同理可得：ABD A ∠=∠+∠_ACB_．又因为BE 和CE 分别是ABD ∠和ACB ∠的角平分线，所以12EBD ABD ∠=∠，∠__ECB____12ACB =∠．所以1122ABD E ACB ∠=∠+∠．即111222E ABD ACB ∠=∠-∠=（ABD ACB ∠-∠）．所以12∠=∠E A ．故答案是：ECB ，ACB ，ECB ；（2）∵40ABC ∠=︒，∴∠AEC =12∠ABC =20°，∵BAC ∠、CAG ∠的角平分线与BCH ∠的角平分线及其反向延长线交于E 、F ，∴∠EAC +∠FAC =12∠ABC +12CAG ∠=12(∠ABC +CAG ∠)=12×180°=90°，∴∠F=180°-90°-20°=70°；（3）①延长BA 、CD 交于点M ，延长CE 、BF 交于点N ，∵BF ，CE 平分∠ABG 、∠DCB ，∴∠N =12∠M ，∵150=︒∠BAD ，80ADC ∠=︒，∴∠M =180°-（180°-150°）-（180°-80°）=50°，∴∠N =25°，∴AEF BFE ∠+∠=360°-（180°-25°）=205°；②∵AEF BFE ∠+∠=360°-（180°-∠N ）=180°+∠N ，BAD ∠+ADC ∠=180°+∠M ，又∵∠N =12∠M ，∴AEF BFE ∠+∠-180°=12（BAD ∠+ADC ∠-180°），即：E F ∠+∠=12（A D ∠+∠）+90°．【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质，是解题的关键．18．（2023春·江苏南京·七年级期中）（1）问题发现：如图1，在ABC 中，40A ∠=︒，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于P ，则BPC ∠的度数是______（2）类比探究：如图2，在ABC 中，ABC ∠的平分线和ACB ∠的外角ACE ∠的角平分线交于P ，则BPC ∠与A ∠的关系是______，并说明理由．（3）类比延伸：如图3，在ABC 中，ABC ∠外角FBC ∠的角平分线和ACB ∠的外角BCE ∠的角平分线交于P ，请直接写出BPC ∠与A ∠的关系是______．【答案】（1）110°；（2）12BPC A ∠=∠；（3）1902BPC A ∠=︒-∠【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB ，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可；（2）根据三角形外角的性质得到∠ACE=∠ABC+∠A 、∠PCE=∠PBC+∠BPC ，根据角平分线的定义解答；（3）根据（1）的结论然后用角分线的定义，计算即可．【详解】解：（1）∵40A ∠=︒，。

“双勾函数”的性质及应用问题引入：求函数2y =的最小值．问题分析：将问题采用分离常数法处理得，2y ==，此时如果利用均值不等式，即2y =，等式成立的条件为==显然无实数解，所以“=”不成立，因而最小值不是2，遇到这种问题应如何处理呢？这种形式的函数又具有何特征呢？是否与我们所熟知的函数具有相似的性质呢?带着种种疑问，我们来探究一下这种特殊类型函数的相关性质．一、利用“二次函数”的性质研究“双勾函数”的性质 1．“双勾函数”的定义我们把形如()kf x x x=+（k 为常数，0k >）的函数称为“双勾函数”．因为函数()kf x x x=+（k 为常数，0k >）在第一象限的图像如“√”，而该函数为奇函数，其图像关于原点成中心对称，故此而得名．2．类比“二次函数”与“双勾函数”的图像3．类比“二次函数”的性质探究“双勾函数”的性质 （1）“二次函数”的性质①当0a >时，在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随着x二次函数图像“双勾函数”图像的增大而增大；当2bx a=-时，函数y 有最小值244ac b a - ．②当0a <时，在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着x的增大而减小．当2bx a=-时，函数y 有最大值244ac b a -．（2）“双勾函数”性质的探究 ①当0x >时，在x =y 随着x的增大而减小；在x =y 随着x的增大而增大；当x =y有最小值．②当0x <时，在x =y 随着x 的增大而增大；在x =y 随着x的增大而减小．当x =y有最大值-综上知，函数()f x在(,-∞和)+∞上单调递增，在[和上单调递减．下面对“双勾函数”的性质作一证明．证明：定义法．设12,x x ∈R ，且12x x <，则1212121212121212()()()()()(1)x x x x k a k k f x f x x x x x x xx x x x ---=+--==--．以下我们怎样找到增减区间的分界点呢？首先0x ≠，∴0x =就是一个分界点，另外我们用“相等分界法”，令120x x x ==，2010kx -=可得到x =因此又找到两个分界点．这样就把()f x 的定义域分为(,-∞，[，，)+∞四个区间，再讨论它的单调性．设120x x <<120x x -<，120x x >，120x x k <<， ∴120x x k -<． ∴121212121212()()()()0x x x x k k k f x f xx x x x x x ---=+--=>，即12()()f x f x >． ∴()f x 在上单调递减．同理可得，()f x 在)+∞上单调递增；在(,-∞上单调递增；在[上单调递减．故函数()f x在(,-∞和)+∞上单调递增，在[和上单调递减．性质启发：由函数()(0)kf x x k x=+>的单调性及()f x 在其单调区间的端点处取值的趋势，可作出函数()y f x =的图像，反过来利用图像可形象地记忆该函数的单调性及有关性质．此性质是求解函数最值的强有力工具，特别是利用均值不等式而等号不成立时，更彰显其单调性的强大功能．4．“二次函数”与“双勾函数”在处理区间最值问题上的类比 （1）“二次函数”的区间最值设f x ax bx c a ()()=++≠20，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值． 分析：将f x ()配方，得对称轴方程x ba=-2， ①当a >0时，抛物线开口向上．若-∈ba m n 2[]，必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值； 若-∉b a m n 2[]，，此时函数在[]m n ，上具有单调性，故在离对称轴x b a=-2较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值． ②当0a <时，抛物线开口向下．若-∈ba m n 2[]，必在顶点取得最大值，离对称轴较远端点处取得最小值； 若-∉b a m n 2[]，，此时函数在[]m n ，上具有单调性，故在离对称轴x b a=-2较远端点处取得最小值，较近端点处取得最大值． 以上，作图可得结论． ①当a >0时，max121()()()22()1()()()22b f m m n a f x b f n m n a ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-<+⎪⎩如图如图，≥，；min345()()2()()()22()()2b f n n a b b f x f m n a a b f m m a ⎧->⎪⎪⎪=--⎨⎪⎪-<⎪⎩如图如图如图，，≤≤，．图1 图2 图3 图4 图5②当a <0时，max678()()2()()()22()()2b f n n a b b f x f m n a a b f m m a ⎧->⎪⎪⎪=--⎨⎪⎪-<⎪⎩如图如图如图，，≤≤，；min9101()()()22()1()()()22b f m m n a f x b f n m n a ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-<+⎪⎩如图如图，≥，．（2）“双勾函数”的区间最值 设()(0)kf x x k x=+>，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值． 分析：①当0x >时，其图像为第一象限部分．[]m n ，，则函数必在界点x =函数值；[]m n ，，此时函数在[]m n ，上具有单调性，故在离直线x =得最大值，较近端点处取得最小值．②当0x <时，其图像为第三象限部分．若[]m n ，，则函数必在界点x =最小值需比较两个端点处的函数值；若[]m n ，，此时函数在[]m n ，上具有单调性，故在离直线x =处取得最小值，较近端点处取得最大值．以上，作图可得结论． ①当0x >时，图7 图9图10max()(,()max{(),([,](,()(.f m n f x f m f n m n f n m ⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩如图11)如图12)如图13)min()(,()[,](,()(.f n n f x f m n f m m ⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩如图11)如图12)如图13)②当0x <时，max()(,()([,](,()(.f n n f x f m n f m m ⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，如图14)如图15)，如图16)min()(,()min{(),()},[,](,()(.f m n f x f m f n m n f n m ⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，如图14)如图15)，如图16)二、实践平台例1某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在150吨至250吨之间时，其生产的总成本y （万元）与年产量x （吨）之间的函数关系式近似地表示为230400010x y x =-+．问：（1）年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并求出最低成本；图11 图12图13图14图15图16（2）每吨平均出厂价为16万元，年产量为多少吨时，可获得最大利润？并求出最大利润．分析：将问题归结为“双勾函数”问题，利用“双勾函数”的性质，可使问题轻松获解．解：（1）由题意可知，每吨平均成本为yS x=万元． 即400014000030()301010y x S x x x x==+-=+-，因为函数在区间(0,200]上为减函数，在区间[200,)+∞上为增函数．所以当200x =时，函数400014000030()301010y x S x x x x==+-=+-有最小值为140000(200)301010200S =+-=最小（万元）， 所以当年产量为200吨时，每吨的平均成本最低，最低成本为10万元．（2）设年获得总利润为Q 万元，则2211616304000(230)12901010x Q x y x x x =-=-+-=-+， 当230(150,250)x =∈，1290Q =最大，故当年产量为230吨时，可获得最大利润1290万元．评注：本题的关键是用年产量x 吨把每吨平均成本及利润表示出来，然后再求其最值，在求解最值时我们要用到“双勾函数”的单调性，记住这个结论可以简化计算过程．函数的单调性除一些理论上的应用外，它还可以灵活有效地解决现实生活中与之相关的实际问题．例2甲、乙两地相距s km ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km/h ，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位），由可变部分和固定部分组成；可变部分与速度v (km/h)的平方成正比，比例系数为b ，固定部分为a 元．（1）把全程运输成本y （元）表示为v (km/h)的函数，并指出这个函数的定义域．（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶． 分析：要计算全程的运输成本s bv vabv a v s y )()(2+=+=(v <0≤c )，而已知每小时的运输成本，只需计算全程的时间，由题意不难得到全程运输成本s bv v a bv a v s y )()(2+=+=(v <0≤c )，所要解决的问题是求bv va+何时取最小值，显然要对c 的大小进行讨论，讨论的标准也就是c 与ba的大小． 解：（1）依题意知：汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为sv，因此全程运输成本为s bv vabv a v s y ⋅+=+⋅=)()(2，又据题意v <0≤c ，故所求函数及其定义域分别为： )(bv vas y +⋅=，],0(c v ∈．（2）设()()aab u f v bv b v v v==+=+，∴u 在],0(b a上是减函数，在)+∞上是增函数． ①若ba≤c ，结合“双勾函数”的性质知， 当bav =时运输成本y 最小． ②若c ba>，函数在],0(c 上单调递减，所以当c v =时，全程运输成本最小． 评注：解应用题时，首先要训练读题能力，成功地完成对数学文字语言、符号语言、图形语言的理解、接受和转换，继而对题中各元素的数量关系进行加工和提炼，分清主次，并建立数学模型解决实际问题．例3（2006安徽高考）已知函数()f x 在R 上有定义，对任意实数0a >和任意实数x ，都有()()f ax af x =．（Ⅰ）证明(0)0f =；（Ⅱ）证明0()0.kx x f x hx x ⎧=⎨<⎩，≥，，其中k 和h 均为常数；（Ⅲ）当（Ⅱ）中的0k >，设1()()(0)()g x f x x f x =+>，讨论()g x 在(0)+∞，内的单调性并求最值．分析：承接第（Ⅱ）问的结论，将问题归结为“双勾函数”的单调性与函数最值的求解问题．证明：（Ⅰ）令0x =，则()()00f af =，∵0a >，∴()00f =． （Ⅱ）①令x a =，∵0a >，∴0x >，则()()2f x xf x =．假设0x ≥时，()f x kx =(k ∈R ），则()22f x kx =，而()2xf x x kx kx =⋅=，∴()()2f x xf x =，即()f x kx =成立．②令x a =-，∵0a >，∴0x <，()()2f xxf x -=-假设0x <时，()f x hx =()h R ∈，则()22f x hx -=-，而()2xf x x hx hx-=-⋅=-，∴()()2f xxf x -=-，即()f x hx =成立．∴(),0,0kx x f x hx x ≥⎧=⎨<⎩成立．（Ⅲ）当0x >时，()()()2111()k g x f x kx k x f x kx x=+=+=+， 由“双勾函数”性质知在1(0,]k 上为减函数，在1[,)k+∞上为增函数， 所以当1x k=时，min [()]2g x =． 评注：数学高考试题注重“考基础、考能力、考思想”．所以熟悉数学化归的思想，有意识地运用数学变换的方法去灵活解决有关的数学问题，将有利于强化在解决数学问题中的应变能力，有利于提高解决数学问题的思维能力和技能、技巧． 适当进行化归、转化能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口，是分析问题中思维过程的主要组成部分． 本题就是转化思想应用的一个典型，通过转化将本来抽象的问题归结到“双勾函数”区间最值的求解，让我们有一种豁然开朗的感觉．例4（2001广东高考）设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm 2，画面的宽与高的比为(1)λλ<，画面的上、下各留8cm 空白，左、右各留5cm 空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小?如果要求23[,]34λ∈，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小?分析：设定变元x ，寻找它们之间的内在联系(等量关系)，选用恰当的代数式表示问题中的这种联系，建立函数模型，将问题归结为“双勾函数”区间最值问题，并运用“双勾函数”性质进行求解．解：设画面高为x cm ，宽为x λcm ，则24840x λ= 设纸张面积为S cm 2，则有2(16)(10)(1610)160S x x x x λλλ=++=+++,将2210x λ=代入上式得,58500035210(S λλ=+,(0)t t λ=>，则58()500035210()(0)S t t t t=++>，函数S 在5]8上为减函数，在5[,)8+∞上为增函数， 所以当58t =S 取最小值， 此时55(1)88λ=<，高：484088x λ==cm ，宽：588558x λ=⨯=cm ．如果23[,]34λ∈，则)t ∈⊆+∞，所以函数S 在上为增函数，故当t =S 取最小值，此时23λ=． 评注：函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种动态刻画． 要充分重视解题过程中的推理，注意运用推理来简化运算．充分利用题目给出的信息，抽象其数学特征，建立函数关系．很明显，只有在对问题的观察、分析、判断等一系列的思维过程中，具备有标新立异、独树一帜的深刻性、独创性思维，才能构造出函数原型，达到解决问题的目的．在高考中可以利用“双勾函数”考查均值不等式、函数的单调性、函数最值等问题，其应用相当广泛，应用效果相当明显．因此也是高考中的热点和难点，倍受命题者的青睐．但只要我们能熟知“双勾函数”的性质，便不难使此类问题获解．。

专题08 角平分线的重要模型（二）非全等类角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。

模型1.双角平分线模型（导角模型）【模型解读】双角平分线模型（导角模型）指的是当三角形的内角（外角）的平分线相交时，可以导出平分线的夹角的度数。

【模型图示】条件：BD ，CD 是角平分线.结论：1902BDC A ∠=︒+∠ 1902BDC A ∠=︒-∠ 12BDC A ∠=∠1．（2022·广东·九年级专题练习）BP 是∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的邻补角的平分线，∠ABP =20°，∠ACP =50°，则∠P =（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°2．（2022·山东·济南中考模拟）如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．(1)求证：∠AOC＝90°＋1∠ABC；2(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．3.（2022•蓬溪县九年级月考）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝ ；（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC 与∠A的数量关系，并说明理由．（4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC＝ °，延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R＝　°．4．（2022·辽宁沈阳·九年级期中）阅读下面的材料，并解决问题(1)已知在△ABC中，∠A=60°，图1-3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接写出下列角度的度数，如图1，∠O＝ ；如图2，∠O＝ ；如图3，∠O＝ ；(2)如图4，点O是△ABC的两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+1∠A(3)如图5，在△ABC2中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A 的度数．模型2.角平分线加平行线等腰现（角平分线+平行线）【模型解读】1）过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形；2）有角平分线时，过角一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边的直线于一点，也可构造等腰三角形。

专题17全等与相似模型-对角互补模型全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。

相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。

如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1、旋转中的对角互补模型对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。

思想方法：解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。

常见的对角互补模型含90°-90°对角互补模型、120°-60°对角互补模型、2α-（180°-2α）对角互补模型。

1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型）条件：如图，已知∠AOB ＝∠DCE ＝90°，OC 平分∠AOB .结论：①CD ＝CE ，②OD ＋OE OC ，③212ODCE COE COD S S S OC .2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型）条件：如图，已知∠DCE 的一边与AO 的延长线交于点D ，∠AOB ＝∠DCE ＝90°，OC 平分∠AOB .结论：①CD ＝CE ，②OE －OD OC ，③212COE COD S S OC .3）“等边三角形对120°模型”（1）条件：如图，已知∠AOB ＝2∠DCE ＝120°，OC 平分∠AOB .结论：①CD ＝CE ，②OD ＋OE ＝OC ，③234COD COE S S OC.4）“等边三角形对120°模型”（2）条件：如图，已知∠AOB ＝2∠DCE ＝120°，OC 平分∠AOB ，∠DCE 的一边与BO 的延长线交于点D ，结论：①CD ＝CE ，②OD －OE ＝OC ，③234COD COE S S OC.5）“120°等腰三角形对60°模型”条件：△ABC 是等腰三角形，且∠BAC =120°，∠BPC =60°。

例谈“双勾模型图”的提炼及其应用数学教学中，适时地对课本的定理进行适当的延伸与提炼，形成模型，再利用模型去分析和解决问题，能缩短思考时间，提高解题效率.下面举例说明.1.题目笔者在教学勾股定理内容时，为帮助学生形成新的模型图，给出下面这道题: 在ABC ∆中，AD BC ⊥于D ，求证: 22222AB BD AC CD AD -=-=. 这是一道无图题，蕴含分类图，图有两种可能，如图1、图2.题中有垂直且有线段的平方之间的关系，自然想到勾股定理.将图形看成两个直角三角形，利用勾股定理及两个直角三角形的公共边，便能得证.即由AD BC ⊥，得 222222,AB BD AD AC CD AD -=-=，所以22222AB BD AC CD AD -=-=.这个模型图在初中数学中应用广泛，我们把这两个图形形象地称之为“双勾模型图”.2.双勾模型图的应用例1 (2016年益阳中考题)如图3，在ABC ∆中，15,14,13AB BC AC ===，求ABC ∆的面积.某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程.1.作AD BC ⊥于D ，设BD x =，用含BD x =的代数式表示CD .2.根据勾股定理，利用AD 作为“桥梁”，建立方程模型求出x .3.利用勾股定理，求出AD 的长，再计算三角形面积.解析 由双勾模型图3，得2222AB BD AC CD -=-.设BD x =，则14CD x =-,即22221513(14)x x -=-,解得9x =. 2212AD AB BD ∴=-=, 即12ABC S BC AD ∆=⋅ 11412842=⨯⨯=. 评析 本题求面积实际上是求一边上的高.利用双勾模型图1求出BD 的长，然后利用勾股定理即可求出高AD 的长.例2 如图4，四边形ABCD 中，BD AC ⊥.求证: 2222AD BC AB CD +=+. 解析 由双勾模型图1得:2222AD AE CD CE -=-，2222AB AE BC CE -=-.将两式相减，得2222AD AB CD BC -=-，即2222AD BC AB CD +=+.评析本题把图形看成两个双勾模型图(1)，利用双勾模型图的结沦很容易解决，这也体现了利用模型图给解题带来的简便.例3 如图5，在ABCD Y 中，求证：222222AC BD AB BC +=+.解析 作DE BA ⊥于点E ，CF AB ⊥交AB 的延长线于点F ，则90AED BFC ∠=∠=︒CD EF =，. 由三ABCD Y ，得,AB DC EF AB CD ===.由双勾模型图1，得2222BD BE AD AE -=-，由双勾模型图2，得2222AC AF BC BF -=-.两式相加，得22222222BD BE AC AF AD AE BC BF -+-=-+-，整理得，22222222AC BD AF BF BE AE AD BC +=-+-++，即2222()()()()AC BD AF BF AF BF BE AE BE AE AD BC +=+-++-++2()()2AF BF AB AB BE AE BC =++-+g g2()2AF AE BF BE AB BC =-+++g2()2EF EF AB BC =++g222EF AB BC =+g2222AB BC =+评析 题中出现了线段之间的平方关系，易联想到勾股定理，为此作高构造直角三角形，形成了双勾模型图，利用这个模型图即可完成证明.例4 如图6，正方形ABCD 和正方形BEFG ，AG 、CE 相交于点H .若24AE CG ==，求正方形ABCD 和正方形BEFG 的面积之和.解析 连结,,,AC EG AE CG .由正方形ABCD 和正方形BEFG ，得,AB CB BG BE ==，90ABC GBE ∠=∠=︒，∴ABG CBE ∠=∠，可得ABG CBE ∆≅∆，∴BAG BCE ∠=∠.从而CAH ACH ∠+∠CAH ACB BCE =∠+∠+∠CAH ACB BAG =∠+∠+∠90=︒，即AG CE ⊥.由双勾模型图1及例2，易推得2222CG AE AC EG +=+，由24AE CG ==，得2CG =，∴22222420AC EG +=+=.因此，正方形ABCD 和正方形BEFG 的面积之和为 222211()201022AB BE AC EG +=+=⨯=. 评析 题中“正方形的母子图”中有一个重要的结论:AG 与CE 既相等，又垂直.由垂直，联想到双勾模型图，便能顺利解答.当然，解本题时，若有例2的模型图在心中，就更易解答.。

专题03三角形中的倒角模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。

熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。

本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1、“8”字模型图1图28字模型（基础型）条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①A B C D。

；②AB CD AD BC8字模型（加角平分线）条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D可判断．【详解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，∴∠ACB=180°-110°=70°，∴∠DCE=70°，如图，连接CF并延长，∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°，若只调整∠D的大小，由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠D+100°，因此应将∠D减少10度；故答案为：①减少；②10．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法．例2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数．【答案】540°【分析】如图所示，由三角形外角的性质可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML，然后由多边形的内角和公式可求得答案．【详解】解：如图所示：(1)如图1，线段AD ，BC 交于点E ，连接AB ，CD ，判断AD BC 与AB CD 的大小关系，并说明理由；(2)如图2，OC 平分AOB ，P 为OC 上任意一点，在OA ，OB 上截取OE OF ，连接PE ，PF ．求证：(3)如图3，在ABC 中，AB AC ，P 为角平分线AD 上异于端点的一动点，求证：PB PC 【答案】(1)AD BC AB CD ；理由见详解(2)证明见详解(3)证明见详解【分析】（1）根据三角形任意两边之和大于第三边知，AE BE AB ，CE ED CD ，两式相加即可得出结论；（2）根据SAS 证OEP OFP △≌△即可得出结论；（3）在AB 上取一点E ，使AE AC ，连接DE 交BP 于点F ，证APE APC ≌，即PC PE ，同理证然后同理（1）得PB CD PC BD ，变形不等式即可得出结论．【详解】（1）解：AD BC AB CD ，理由如下：AE BE AB ∵，CE ED CD ，AE BE CE ED AB CD ，即AD BC AB CD ；（2）证明：OC ∵平分AOB ，EOP FOP ，在OEP 和OFP △中，OE OF EOP FOP OP OP， OEP OFP SAS ≌，PE PF ；（3）证明：在AB 上取一点E ，使AE AC ，连接DE 交BP 于点F ，AD ∵是BAC 的角平分线，EAP CAP ，在APE V 和APC △中，AE AC EAP CAP AP AP， APE APC SAS ≌，PE PC ，同理可证DE DC ，EF PF EP ∵，BF FD BD ，EF PF BF FD EP BD ，即PB DE EP BD ，PB CD PC BD ，PB PC BD CD ．【点睛】本题主要考查三角形的综合题，熟练掌握三角形的三边关系和全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．例5．（2023春·江苏苏州·七年级校联考期中）阅读：基本图形通常是指能够反映一个或几个定理，或者能够反映图形基本规律的几何图形．这些图形以基本概念、基本事实、定理、常用的数学结论和基本规律为基础，图形简单又具有代表性．在几何问题中，熟练把握和灵活构造基本图形，能更好地帮助我们解决问题．我们将图1①所示的图形称为“8字形”．在这个“8字形”中，存在结论A B C D ．我们将图1②所示的凹四边形称为“飞镖形”．在这个“飞镖形”中，存在结论AOC A C P ．【答案】(1)见解析(2)①25 ； 11802B D ；③P 【分析】（1）根据角平分线的定义可得1234 ，，再根据题干的结论列出32P ABC P ADC ，，相加得到2P 得到2P ABC ADC ，即可证明结论；（2）①如图所示，分作BAD 的角平分线交于H ，根据（②如图所示，分作BAD BCD ，的角平分线交于H ，由（1）的结论可知 12H B ，，同理可得90PCH ，PAH ∴ 13601802P PAH PCH B D ∠∠∠∠∠∠；③由题干的结论可得P B BCP ∠∠∠∠，∵AP 平分BAD ，CP 平分BCD 的外角BCE ，模型2、“A”字模型例2．（2023·绵阳市·八年级假期作业）如图，ABC 中，65A ，直线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，则BDE CED （）．A ．180B ．215C ．235D ．245【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理求出ADE AED ，根据平角的概念计算即可．【详解】解：65A ∵，18065115ADE AED ，360115245BDE CED ，故选：D ．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180 是解题的关键．例3．（2022·福建泉州·九年级校考期中）如图，ABC ADE △△∽，若60,45A ABC ，那么E （）A ．75B ．105C ．60D ．45【答案】A 【分析】根据相似三角形的性质求出∠D ，再根据三角形内角和定理计算即可．【详解】解：∵ABC ADE △△∽，∴∠ABC ＝∠D ＝45°，∵∠A ＝60°，∴∠E ＝180°－∠A －∠D ＝180°－60°－45°＝75°.故选：A ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应角相等是解题的关键．例4．（2023秋·广西·八年级专题练习）如图所示，DAE 的两边上各有一点,B C ，连接BC ，求证180DBC ECB A ．【答案】见解析【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和证明即可．【详解】解：DBC ∵和ECB 是ABC 的外角，,DBC A ACB ECB A ABC ．又180A ABC ACB ∵，180DBC ECB A ACB ABC A A ．【点睛】本题考查三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．例5．（2023·广东八年级课时练习）如图，已知在ABC 中，40A ，现将一块直角三角板放在ABC 上，使三角板的两条直角边分别经过点,B C ，直角顶点D 落在ABC 的内部，则ABD ACD ∠∠（）．A ．90B ．60C ．50D ．40【答案】C 【分析】由三角形内角和定理可得∠ABC +∠ACB +∠A =180°，即∠ABC +∠ACB =180-∠A =140°，再说明∠DBC +∠DCB =90°，进而完成解答．【详解】解：∵在△ABC 中，∠A =40°∴∠ABC +∠ACB =180-∠A =140°∵在△DBC 中，∠BDC =90°∴∠DBC +∠DCB =180°-90°=90°∴ABD ACD ∠∠40°-90°=50°故选C ．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键．例6．（2023秋·河南信阳·八年级校联考期末）（1）如图1，ABC 为直角三角形，90A ，若沿图中虚线剪去A ，则12 __________；（2）如图2，在ABC 中，40A ，剪去A 后成为四边形，则12 __________；（3）如图2，根据（1）和（2）的求解过程，请归纳12 与A 的关系是______________；（4）若没有剪去A ，而是将A 折成如图3的形状，试探究12 与A 的关系，并说明理由．【答案】（1）270 ；（2）220 ；（3）12180A ；（4）122A ，理由见解析【分析】（1）根据三角形的内角和为180 ，三角形的外角和定理，则1A AFE ，2A AEF ，90AFE AEF ，即可；（2）根据三角形的内角和为180 ，三角形的外角和定理，则1AEF A ，2AFE A ，140AFE AEF ，即可；（3）根据（1）和（2）可知，122A AFE AEF ，根据180A AFE AEF ，即可；（4）根据折叠的性质，则AFE PFE ≌，根据全等三角形的性质，三角形内角和，平角的性质，则12180AFE ，22180AEF ，180A AFE AEF ，再根据等量代换，即可．【详解】（1）ABC 为直角三角形，90A ，∴90AFE AEF ，∵1A AFE ，2A AEF ，∴122A AFE AEF ，∴1229090270 ，故答案为：270 ．（2）∵40A ，∴140AFE AEF ，∵1AEF A ，2AFE A ，∴122A AFE AEF ，∴12240140220 ，故答案为：220 ．（3）由（1）和（2）得，122A AFE AEF ，∵180A AFE AEF ，∴12A A AFE AEF ，∴12180A ．（4）122A ，理由见下：由题意得，AFE PFE ≌，∴AFE PFE ，AEF PEF ，∴12180AFE ，22180AEF ，∴ 122360AFE AEF ，∵180A AFE AEF ，∴180AFE AEF A ，∴ 122180360A ，∴1220A ，∴122A ．【点睛】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的性质，三角形的内角和和三角形的外角和定理．例7．（2022秋·河北邯郸·八年级统考期中）利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果．几何模型：如图（1），我们称它为“A ”型图案，易证明：∠EDF =∠A +∠B +∠C ；由三角形外角的性质可得，141A A ，∵2531A DA A ，∴25143A DA A A A ，∵2525180A DA A A ，∴12345180A A A A A ，故答案为：180°；（2）如图，由（1）得，14523612A A A A A A ，，∵712180A ，∴1234567180A A A A A A A ．（3）如图，由三角形外角的性质可得，143A A ，252A A ，361A A ，734A 8124360A ∵ 12345678360A A A A A A A A ，故答案为：360°．【点睛】本题考查多边形的内角和与三角形外角的性质，能够根据三角形外角的性质进行转化是解题关键．模型3、三角板模型【模型解读】由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。