九年级数学下册 24_2 第4课时 圆的确定习题 沪科版

[24.2 第4课时 圆的确定]一、选择题1．用反证法证明“a ＞b ”时应假设( ) A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ＝b D ．a ≤b2．下列条件中能确定一个圆的是( ) A ．已知圆心 B ．已知半径C ．过三个已知点D ．过一个三角形的三个顶点 3．三角形的外心是( ) A ．三边中线的交点B ．三边垂直平分线的交点C ．三条高的交点D ．三条内角平分线的交点4．若△ABC 的外接圆的圆心在△ABC 的内部，则△ABC 是链接听课例2归纳总结( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法确定5．2018·烟台如图K －6－1，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O ，A ，B ，C 在格点(两条网格线的交点叫格点)上，以点O 为原点建立直角坐标系，则过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为( )图K －6－1A ．(－1，－2)B ．(－1，－3)C ．(－2，－2)D ．(－3，－1)6．2017·山西公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数2，导致了第一次数学危机.2是无理数的证明如下：假设2是有理数，那么它可以表示成q p (p 与q 是互质的两个正整数)．于是(q p)2＝(2)2＝2，所以q 2＝2p 2.于是q 2是偶数，进而q 是偶数．从而可设q ＝2m ，所以(2m )2＝2p 2，p 2＝2m 2，于是可得p 也是偶数．这与“p 与q 是互质的两个正整数”矛盾，从而可知“2是有理数”的假设不成立，所以，2是无理数．这种证明“2是无理数”的方法是( ) A ．综合法 B ．反证法C ．举反例法D ．数学归纳法 二、填空题7．平面直角坐标系内的三个点A (1，0)，B (0，－3)，C (2，－3)__________确定一个圆(填“能”或“不能”)．8．用反证法证明命题“在一个三角形中，不能有两个内角为钝角”时，第一步应假设________________________．9．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图K－6－2所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是第________块.链接听课例1归纳总结图K－6－210．2017·宁夏如图K－6－3，点A，B，C均在6×6的正方形网格的格点上，过A，B，C三点的圆除经过A，B，C三点外还经过的格点有________个．图K－6－311．2017·巢湖月考若点O是等腰三角形ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝2，则△ABC的面积为________________．三、解答题12．在平面直角坐标系中，若作一个⊙M，使⊙M经过点A(－4，0)，B(0，－2)，O(0，0)，求点M的坐标．13.求证：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.链接听课例3归纳总结14．如图K－6－4所示，BD，CE是△ABC的高．求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．图K－6－415．如图K－6－5，小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；(2)若在△ABC中，AB＝8米，AC＝6米，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．图K－6－516．如图K－6－6，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于点O，AC＝24，BD＝10，E，F，G分别为AB，BC，CD的中点．试求以E，F，G三点所确定的圆的周长．(结果保留π)图K－6－6如图K－6－7，D是△ABC的边BC的中点，过AD延长线上的点E作AD的垂线EF，E 为垂足，EF与AB的延长线相交于点F，点O在AD上，AO＝CO，BC∥EF.(1)求证：AB＝AC；(2)求证：点O是△ABC的外接圆的圆心；(3)当AB＝5，BC＝6时，连接BE，若∠ABE＝90°，求AE的长．图K－6－7详解详析[课堂达标]1．[解析] D 反证法的第一步是反设，即假设命题的结论不成立，故证明“a ＞b ”时应假设“a ≤b ”．2．[解析] D 确定一个圆的条件是圆心和半径；不在同一条直线的三个点确定一个圆；过一个三角形的三个顶点即可确定一个圆．综上所述，选项D 正确．3．[答案] B 4．[解析] A △ABC 的外接圆的圆心在△ABC 的内部，则△ABC 是锐角三角形．故选A. 5．[解析] A 根据垂径定理，借助网格，找到两条弦BC ，AB 的垂直平分线的交点，即为圆心，其坐标为(－1，－2)．6．[解析] B 阅读材料中的证明方法符合反证法的步骤． 7．[答案] 能[解析] ∵B(0，－3)，C(2，－3)，∴BC ∥x 轴， 而点A(1，0)在x 轴上，∴点A ，B ，C 不共线，∴三个点A(1，0)，B(0，－3)，C(2，－3)能确定一个圆． 8．[答案] 在一个三角形中有两个内角为钝角 9．[答案] ② 10．[答案] 5[解析] 如图，分别作AB ，BC 的中垂线，两直线的交点为O ，以点O 为圆心，OA 为半径作圆，则⊙O 即为过A ，B ，C 三点的圆， 由图可知，⊙O 还经过点D ，E ，F ，G ，H 这5个格点． 故答案为5.11．[答案] 2－3或2＋ 3 [解析] 如图，当△ABC 是钝角三角形时，△BOC 是等边三角形，且∠AOB ＝∠AOC ＝30°，BD ＝CD ＝1，∴OD ＝3BD ＝3，则AD ＝OA －OD ＝2－3，∴S △ABC ＝12BC ×AD ＝12×2×(2－3)＝2－3；当△ABC 是锐角三角形时，AD ＝OA ＋OD ＝2＋3，∴S △ABC ＝12BC ×AD ＝12×2×(2＋3)＝2＋ 3.12．解：如图所示：∵△AOB 是直角三角形，∴△AOB 的外心M 是斜边AB 的中点．过点M 作MC ⊥x 轴于点C ，作MD ⊥y 轴于点D ，则MD ∥OA ，MC ∥OB ， ∴C 是OA 的中点，D 是OB 的中点， ∴OC ＝12OA ＝2，OD ＝12OB ＝1，∴点M 的坐标为(－2，－1)．13．解：已知：如图所示，直线AB ∥EF ，CD ∥EF.求证：AB ∥CD.证明：假设AB 与CD 不平行，则直线AB 与CD 相交，设它们的交点为P ，于是经过点P 就有两条直线(AB ，CD)都和直线EF 平行， 这就与“经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾， 所以假设不成立，故AB ∥CD.14．证明：如图所示，取BC 的中点F ，连接DF ，EF.∵BD ，CE 是△ABC 的高，∴△BCD 和△BCE 都是直角三角形，∴DF ，EF 分别为Rt △BCD 和Rt △BCE 斜边上的中线，∴DF ＝EF ＝BF ＝CF ， ∴E ，B ，C ，D 四点在以点F 为圆心，12BC 为半径的圆上．15．解：(1)用尺规作出两边(如AB ，AC)的垂直平分线，交点即为圆心O ，以OA 为半径作出⊙O ，⊙O 即为所求(图略)．(2)∵∠BAC ＝90°，AB ＝8米，AC ＝6米， ∴BC ＝10米．∵直角三角形的外心为斜边的中点， ∴△ABC 外接圆的半径为5米，∴小明家圆形花坛的面积为25π平方米． 16．解：如图，连接EF ，FG ，EG.∵E ，F 分别是AB ，BC 的中点， ∴EF 是△ABC 的中位线， ∴EF ∥AC ，且EF ＝12AC ＝12.同理可得FG ∥BD ，且FG ＝12BD ＝5.∵AC ⊥BD ，∴EF ⊥FG.∵在Rt △EFG 中，EF ＝12，FG ＝5，∴EG ＝13.∵直角三角形外接圆的直径等于斜边的长， ∴以E ，F ，G 三点所确定的圆的周长为13π. [素养提升]解：(1)证明：∵AE ⊥EF ，EF ∥BC ，∴AD ⊥BC. 又∵D 是BC 的中点，∴AD 是BC 的垂直平分线， ∴AB ＝AC.(2)证明：连接BO ，由(1)知AD 是BC 的垂直平分线，∴BO ＝CO.又∵AO ＝CO ，∴AO ＝BO ＝CO ， ∴点O 是△ABC 的外接圆的圆心．(3)解法1：∵∠ABE ＝∠ADB ＝90°，∠BAD ＝ ∠EAB ，∴△ABD ∽△AEB ，∴AB AE ＝ADAB.在Rt △ABD 中，∵AB ＝5，BD ＝12BC ＝3，∴AD ＝4，∴5AE ＝45，∴AE ＝254.解法2：由(2)得AO ＝BO ，∴∠ABO ＝∠BAO. ∵∠ABE ＝90°，∴∠ABO ＋∠OBE ＝∠BAO ＋∠AEB ＝90°， ∴∠OBE ＝∠OEB ，∴OB ＝OE.在Rt △ABD 中，∵AB ＝5，BD ＝12BC ＝3，∴AD ＝4.设OB ＝x ，则OD ＝4－x ，在Rt △OBD 中，有32＋(4－x)2＝x 2， 解得x ＝258，∴AE ＝2OB ＝254.。

沪科版数学九年级下册第24章圆24．2圆的基本性质第4课时圆的确定1．下列条件中，能确定唯一一个圆的是( C )A．以点O为圆心的圆B．以2 cm长为半径的圆C．以点O为圆心，5 cm长为半径的圆D．经过已知点A的圆2．已知A，B，C为平面上三点，AB＝2，BC＝3，AC＝5，则( C )A．可以画一个圆，使A，B，C都在圆上B．可以画一个圆，使A，B都在圆上，C在圆内C．可以画一个圆，使A，C都在圆上，B在圆内D．可以画一个圆，使B，C都在圆上，A在圆内3．如图所示，点A，B，C在同一直线上，点M在AC外，经过图中的三个点作圆，可以作__3__个．4．(2019·浙江金华模拟)如图，一只花猫发现一只老鼠溜进了一个内部连通的鼠洞，鼠洞只有三个出口A，B，C，要想同时顾及这三个出口以防老鼠出洞(到三个洞口的距离相等)，这只花猫最好蹲守在( D )A．△ABC的三边高线的交点P处B．△ABC的三条角平分线的交点P处C．△ABC的三边中线的交点P处D．△ABC的三边垂直平分线的交点P处5．如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( B )A．点P B．点QC．点R D．点M6．下列说法正确的是( D )A．三点确定一个圆B．圆有且只有一个内接三角形C．三角形的外心到三角形三边的距离相等D．三角形有且只有一个外接圆7．(2019·广东广州越秀区二模)如图，在平面直角坐标系中，点A(0，3)，点B(4，3)，点C(0，－1)，则△ABC外接圆的半径为__22__.8．如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24 cm，O到BC的距离是5 cm，求△ABC的外接圆的半径．解：如图，连接OB，过点O作OD⊥BC于点D，则OD＝5 cm，BD＝12BC＝12 cm.在Rt△OBD中，OB＝OD2＋BD2＝52＋122＝13(cm)．即△ABC的外接圆的半径为13 cm.9．(教材P24，练习，T4改编)用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设( D )A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于cC．a⊥b D．a与b相交10．用反证法证明“若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离d<r，则点P在⊙O的内部”，首先应假设( D )A．d≤rB．d≥rC．点P在⊙O的外部D．点P在⊙O上或点P在⊙O的外部11．用反证法证明：若∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，则其中至少有一个角不大于60°.证明：假设∠A，∠B，∠C都大于60°，则有∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形的内角和等于180°相矛盾，因此假设不成立，即∠A，∠B，∠C中至少有一个角不大于60°.12．(2018·浙江舟山中考)用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是( D )A．点在圆内B．点在圆上C．点在圆心上D．点在圆上或圆内13．(2019·山东济宁汶上期末)如图，小明为检验M，N，P，Q四点是否共圆，用尺规分别作了MN，MQ的垂直平分线交于点O，则M，N，P，Q四点中，不一定在以O为圆心，OM为半径的圆上的点是( C )A．点M B．点NC．点P D．点Q第13题图第14题图14．(2019·重庆期中)如图，O是△ABC的外心，则∠1＋∠2＋∠3＝( C )A．60°B．75°C．90°D．105°15．若AB＝4 cm，则过点A，B且半径为3 cm的圆有__2__个．16．如图，在△ABC中．(1)若∠A是钝角，作△ABC的外接圆(只需作出图形，并保留作图痕迹)；(2)若△ABC是直角三角形，两直角边长分别为6，8，求它的外接圆的半径．解：(1)如图所示．(2)∵两直角边长分别为6和8，∴斜边长为62＋82＝10.∵圆心在斜边中点处，∴这个直角三角形的外接圆的半径为5.17．(2018·安徽中考)如图，⊙O为锐角三角形ABC的外接圆，半径为5.(1)用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧BC的交点E(保留作图痕迹，不写作法)；(2)若(1)中的点E 到弦BC 的距离为3，求弦CE 的长． 解：(1)如图，AE 即为所求． (2)CE ＝30.18．(1)如图1，圆内接△ABC 中，AB ＝BC ＝CA ，OD ，OE 为⊙O 的半径，OD ⊥BC 于点F ，OE ⊥AC 于点G .求证：四边形OFCG (即阴影部分)的面积是△ABC 面积的13.(2)如图2，若∠DOE 保持120°角不变，求证：当∠DOE 绕着O 点旋转时，由两条半径和△ABC 的两条边围成的图形(即阴影部分)面积始终是△ABC 的面积的13.证明：(1)如图1，连接OA ，OB ，OC . ∵AB ＝BC ＝CA ，∴△ABC 是等边三角形． 又OA ＝OB ＝OC ，∴△BOC ≌△AOC ≌△AOB ，∴S △AOC ＝13S △ABC .∵点O 是等边三角形ABC 的外心，OF ⊥BC ，OG ⊥AC ，∴CF ＝CG ＝12AC ，∠OFC ＝∠OGC ＝90°，∴在Rt △OFC 和Rt △OGC 中，⎩⎨⎧CF ＝CG ，OC ＝OC ，∴Rt △OFC ≌Rt △OGC .同理可得Rt △OGC ≌Rt △OGA . ∴Rt △OFC ≌Rt △OGC ≌Rt △OGA ，∴S 四边形OFCG ＝2S △OGC ＝S △OAC .又S △OAC ＝13S △ABC ，∴S 四边形OFCG ＝13S △ABC .(2)如图2，连接OA ，OB 和OC ，设OD 交BC 于点F ，OE 交AC 于点G . 由(1)知△AOC ≌△COB ≌△BOA ，∠1＝∠2.∵∠AOC ＝∠3＋∠4＝120°，∠DOE ＝∠5＋∠4＝120.∴∠3＝∠5.在△OAG 和△OCF 中，⎩⎨⎧∠2＝∠1，OA ＝OC ，∠3＝∠5，∴△OAG ≌△OCF ，∴S △OAG ＝S △OCF ， ∴S △OAG ＋S △OGC ＝S △OCF ＋S △OGC ， 即S 四边形OFCG ＝S △OAC ＝13S △ABC .。