吉林地区普通高中2023—2024学年度高三年级第二次模拟考试数学试题说明：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．1．设集合}06|{2≤--=x x x A ，集合}40|{<<=x x B ，则=B A A ．}20|{≤<x x B ．}30|{≤<x xC ．}42|{<≤-x x D ．}43|{<≤-x x 2．在25个互不相等的数据中，记上四分位数为a ，中位数为b ，第75百分位数为c ，则A ．c b a <<B ．b c a <=C ．ab c <<D ．ca b =<3．已知等差数列}{n a 满足4852=++a a a ，前n 项和为n S ，则=9S A ．8B ．12C ．16D ．244．已知函数xax x f +=)()(R a ∈，则)(x f 的图象不可能是A ．B ．C ．D ．5．过点)0,0(与圆042422=+--+y x y x 相切的两条直线夹角为α，则=αcos xOyxOyxO yxOyA ．53B ．54C ．55D ．5526．如图，位于某海域A 处的甲船获悉，在其北偏东︒60方向C 处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救．甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东︒51，且与甲船相距mile n 2的B 处的乙船，已知遇险渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为A ．mile n 2B ．mile n 2C ．mile n 22D ．milen 237．已知函数1)14()(22-+-+=x x log x f x，则关于x 的不等式)2()2(x f x f >+的解集为A ．)232(-B ．)2,21[32,1( --C ．)2,21[]21,32( --D ．)2,21[]21,1( --8．已知双曲线)0,0(1 2222>>=-b a by a x C ：的左、右焦点分别为21,F F ，左、右顶点分别为21,A A ，以21F F 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点P ，且321π=∠A PA ，则双曲线C 的离心率为A ．332B ．2C ．321D ．13二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．CB ︒60︒15A北9．已知复数i z +=1，则A ．2||=zB ．2=⋅z zC ．1)1(2024-=-z D ．若关于x 的方程022=+-ax x ),(R a C x ∈∈的一个根为z ，则2=a 10．已知n m ,为两条不同的直线，βα,为两个不同的平面，且α⊥m ，β//n ，则A ．若n m //，则βα⊥B ．若β//m ，则n m ⊥C ．若β⊥m ，则nm ⊥D ．若n m //，则β//m 11．已知函数)2000)(()(π,,ωA ωx Asin x f <<>>+=ϕϕ的部分图象如图所示，则A ．3π=ϕB ．函数)(x f 在2,12(ππ上单调递减C ．方程1)(=x f 的解集为},12{Z k πkπx|x ∈-=D ．6π-=θ是函数)(θ+=x f y 是奇函数的充分不必要条件12．已知平面向量a ，b ，c ，32||=a ，6||=b ，18=⋅b a ，且60,>=--<c b c a ，则A ．a 与b 的夹角为30B ．)()(c b c a -⋅-的最大值为5C ．||c 的最小值为2D ．若),(R y x b y a x c ∈+=，则y x +21的取值范围是]67,31[三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．其中第15题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．高三数学试题第4页（共8页）13．2023年9月，我国成功地举办了“杭州亚运会”．亚运会期间，某场馆要从甲、乙、丙、丁、戊5名音效师中随机选取3人参加该场馆决赛的现场音效控制，则甲、乙至少有一人被选中的概率为．14．如图，M 是抛物线)0(22>=p px y 上的一点，F 是抛物线的焦点，以Fx 为始边、FM 为终边的角︒=∠60xFM ，且8||=FM ，则=p ．15．足尖虽未遍及美景，浪漫却从未停止生长．清风牵动裙摆，处处彰显着几何的趣味．右面的几何图形好似平铺的一件裙装，①②③⑤是全等的等腰梯形，④⑥是正方形，其中21==AA AB ，411=B A ，若沿图中的虚线折起，围成一个封闭几何体Ω，则Ω的体积为；Ω的外接球的表面积为．16．若实数0x 满足)()(00x g x f --=，则称0x 为函数)(x f y =与)(x g y =的“关联数”．若,0()(>=a a x f x且)1≠a 与2)(x x g -=在实数集R 上有且只有3个“关联数”，则实数a 的取值范围为．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）我市近日开展供热领域民生问题“大调研、大起底、大整治、大提升”工作，在调查阶段，从B A ,两小区一年供热期的数据中随机抽取了相同20天的观测数据，得到B A ,两小区的同日室温平均值如下图所示：FxO yM18．（本小题满分12分）三棱柱111C B A ABC -中，311π=∠=∠CAA ABB ，21===AA AC AB ，F E ,分别为11,AA C B 中点，且AC F B ⊥1．（Ⅰ）求证：//EF 平面ABC ；（Ⅱ）求直线AE 与平面ABC 所成角的正弦值．19．（本小题满分12分）已知ABC ∆的三个内角C ,B ,A 的对边分别为c ,b ,a ，ABC ∆的外接圆半径为3，且A sin sinBsinC C sin B sin 222=-+．（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求ABC ∆的内切圆半径r 的取值范围．20．（本小题满分12分）21．（本小题满分12分）设21F ,F 分别为椭圆0)(1 2222>>=+b a by a x C ：的左、右焦点，P 是椭圆C 短轴的一个顶点，已知21ΔF PF 的面积为2，3121=∠PF F cos ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，G ,N ,M 是椭圆上不重合的三点，原点O 是MNG Δ的重心．（ⅰ）当直线NG 垂直于x 轴时，求点M 到直线NG 的距离；（ⅱ）求点M 到直线NG 的距离的最大值．22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，OAB Rt ∆的直角顶点A 在x 轴上，另一个顶点B 在函数xlnxx f =)(的图象上．（Ⅰ）当顶点B 在x 轴上方时，求OAB Rt Δ以x 轴为旋转轴，边AB 和边OB 旋转一周形成的面所围成的几何体的体积的最大值；（Ⅱ）已知函数xax ex e x g ax 1)(22-+-=，关于x 的方程)()(x g x f =有两个不等实根21,x x )(21x x <.（ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）证明：ex x 22221>+.xOyMNG吉林地区普通高中2023—2024学年度高三年级第二次模拟考试数学试题参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．12345678CDBDABCD二、多项选择题：本大题共4小题，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．其中第15题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．13．10914．415．3228；π4016．12<<-a ee或eea 21<<（注：16题或写成1{2<<-a e |a e或}12ee a <<，或写成)(1,)1 ,(22eee e -）四、解答题17．【解析】（Ⅰ）A 小区当年随机抽取的20天数据中，供热等级达到“舒适”的有15天，所以可以估计A 小区一天中供热等级达到“舒适”的概率为432015=，··················································2分那么，在当年的供热期内，A 小区供热等级达到“舒适”的天数约为12943172=⨯天········································3分9101112BDACABDACD（Ⅱ）由题意，样本空间Ω中共有20个样本点，设21,x x 表示B A ,两小区室内温度，用),(21x x 表示可能的结果.)}20,24(),20,23(),20,21(),19,24(),19,22(),19,21{(=C ，6)(=C n ，所以，事件C 的概率103206)()()(===Ωn C n C P .··················································6分（Ⅲ）（选择A ）从供热状况角度选择生活地区居住，应建议选择A 小区，理由如下：①在20天的数据中，A 小区室温大于B 小区室温的有14天，B 小区室温大于A 小区室温的有5天，由此可以估计，每天A 小区室温大于B 小区室温的概率为1071=P ，B 小区室温大于A 小区室温的概率为412=P ，2P 远远小于1P ；②随机抽取的20天中，A 小区室温平均数为C T A 05.22=，B 小区室温平均数为C T B 7.20=，B A T T >；③在随机抽取的20天中，B 小区供热等级达到“舒适”的天数为9天，远小于A 小区供热等级达到“舒适”的天数；④A 小区室温中位数为C Z A 5.22=，B 小区室温中位数为C Z B 20=，B A Z Z >10分（选择B ）从供热状况角度选择生活地区居住，应建议选择B 小区，理由如下：①在20天的数据中，A 小区中存在供热不达标的情况，而B 小区供热等级全部达标.②随机抽取的20天中，A 小区室温平均数为C T A05.22=，B 小区室温平均数为C T B 7.20=，在B A T T ,全部达标的情况下，A 小区室温方差大于B 小区室温方差，B 小区室温波动较小，说明B 小区供热更加稳定.（A 小区室温方差为84.7≈2A s ，B 小区室温方差为01.4≈2B s ，以上数值仅作参考，不要求计算方差具体值）.·····························10分赋分说明：①只做判断没能说明理由的不给分；②给出一个正确理由的给3分，给出两个及以上正确理由的给4分；③除以上理由外，其它符合统计概率知识的判断依据都可酌情给分.18．【解析】（Ⅰ）证明：取BC 中点G ，连接EG AG ,，E 为C B 1中点，1//BB GE ∴，121BB GE =，在三棱柱111C B A ABC -中，111,//AA BB AA =F 为1AA 中点，AF GE AF GE =∴,//，∴四边形AGEF 为平行四边形，GA EF //∴，又⊂GA 平面ABC ，⊄EF 平面ABC //EF ∴平面ABC .··································5分（Ⅱ）解：在平行四边形11A ABB 中，3,11π=∠=ABB AA AB ,∴平行四边形11A ABB 为菱形，连接1AB ，则11ΔB AA 为正三角形，F 为1AA 中点，11AA F B ⊥∴，同理可证1AA CF ⊥，又AC F B ⊥1，A AA AC =1 ，⊥∴F B 1平面CC AA 11∴以F 为原点，FC FB FA ,,1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系Fxyz ，)23,23,0(),3,0,0(),0,3,0(),0,3,2(),0,0,1(),0,0,0(1E C B B A F ∴，)23,23,1(),3,0,1(),0,3,1(-=-==∴AE AC AB ，··································8分设),,(z y x n =是平面ABC 的法向量，F EA1A CB1B 1C xyz则ACnABn⊥⊥,，⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+=⋅∴,03,03zxACnyxABn⎩⎨⎧=-=∴,3,3zxyx取1=z，则1,3-==yx，)1,1,3(-=∴n是平面ABC的一个法向量，565210123)1(2331||||,-=⨯⨯+-⨯+⨯-=>=<∴nAEnAEnAEcos，设直线AE与平面ABC所成角为θ，则56|,|=><=nAEcossinθ，即直线AE与平面ABC所成角的正弦值为56.··················································12分19．【解析】（Ⅰ）AsinsinBsinCCsinBsin222=-+由正弦定理可得bcacbabccb=-+∴=-+222222由余弦定理得2122222==-+=bcbcbcacbcosA3),0(ππ=∴∈AA······················································································5分设ABCΔ外接圆半径为R，则3=R，由正弦定理得323322=⨯==RsinAa····················································································································6分注意：求角未写范围扣1分.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，3,3π==Aa由余弦定理Acosbccba2222-+=得32922πcosbccb-+=bccb3)(92-+=∴4)(39)(322cbcbbc+≤-+=36)(2≤+∴cb acb>+63≤+<∴cb.当且仅当3==cb时取等号 (8)分又由等面积法可知r c b a bcsinA )(2121++=cb a bc r ++=∴2339)(2-+=c b bc ，)3(63339)(232-+=++-+⨯=∴c b c b c b r ····························10分23)3(630,330≤-+<∴≤-+<c b c b r ∴的取值范围为230(，···············································································12分20．【解析】（Ⅰ）42=a ··········································································································1分93=a ··········································································································2分（Ⅱ）由22221ππn sinn cosa a n n +-=+，可得22221ππn sina n cos a n n +=++即）（）（）（*1,2222221N n n sin a n sin a n sin a n n n ∈+=+=+++πππ·····················4分又因为0221≠=+πsina 所以2{πn sin a n +是首项为2，公比为2的等比数列············································5分所以n n n sin a 22=+π，即*22N n n sin a n n ∈-=，π·········································6分（Ⅲ）)( 2)2(*N n n nsin a n n n ∈-=-，π·····································································7分①当)( 4*N k k n ∈=，时，[]0)1(0)3()0705()0301(+-++--+⋯++++-++++-=n n T n 22224n n=+⋯++=个令20242==mT m，得4048=m······································································8分②当)(,14*Nkkn∈-=时，[]nnT n++--+⋯+++-+++-+++-=0)2()1190()750(3121222243+=+⋯+++=-nn个令202421=+=mT m，得4047=m································································9分③当)(24*Nkkn∈-=，时，[]0)1()2()097()053(1+--+-+⋯++-+++-+++-=nnT n2221)2()2()2(142nnn-=---=-+⋯+-+-+-=-令20242=-=mT m，得4048-=m舍去··························································10分④当)(34*Nkkn∈-=，时，))2(0()970()530(1nnT n-+-++⋯+-+++-+++-=21211)2()2()2(141+-=---=-+⋯+-+-+-=-nnn个令202421=+-=mT m，得4049-=m舍去······················································11分综上：4048=m或4047··············································································12分21．【解析】（Ⅰ）由题可知222121Δ==⨯⨯=bcbcS FPF····························································1分3112222221=-∠=∠=∠OPF cos OPF cos PF F cos 362=∠∴OPF cos 在2OPF Rt ∆中，362==∠a b OPF cos ·····························································2分222c b a += ································································································3分解得1,2,3===c b a 即椭圆C 的标准方程为12322=+y x ···································································4分（Ⅱ）（ⅰ）当NG 垂直于x 轴时，点M 为椭圆C 的左顶点或右顶点，此时3==a OM ，O 是MNG ∆重心，设线段NG 的中点为D则2321==OM OD M ∴到直线NG 的距离是2333=OD ·······················6分（ii ）当NG 斜率存在时，设直线NG 方程为)0(≠+=t t kx y 设),(11y x N ，()22,y x G ，)(33y ,x M 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=12322y x t kx y 消去y 得：0636)3(2222=-+++t ktx x k 02)24(322>+-=∆t k ，则2223t k >+由韦达定理得221326k kt x x +-=+，22213263k t x x +-=··········································7分O 是MNG Δ重心，2213326)(k ktx x x +=+-=∴222212133242326]2)([)(k tt k t k t x x k y y y +-=-+=++-=+-=∴M在椭圆C上1)322(61)323(632222222=+++∴ktkt k即2222)326()32(24kkt+=+0322>+k22324kt+=∴222324tkt>+=，符合0>∆tkkktx2332623=+=∴，tkty132423-=+-=······················································8分设1,23(ttkM-到直线NG：0=+-tykx的距离为d2222222221433143313k12223k1123tttktttktttkd+=+=+=+++=+++=·················10分232422≥+=kt212≥∴t233223<≤∴d················································11分由（i）知，当NG垂直于x轴时，M到直线NG的距离为233.综上所述，M到直线NG的距离取值范围为233,223[.故M到直线NG的距离的最大值为233···························································12分22．【解析】（Ⅰ）设)0,(xA，则1),,(>xxlnxxB则xxlnxxlnxOAABV3)(3||||31222πππ=⋅⋅=⋅⋅=···············································2分令xxlnxh2)(=，1>x则2)2()(xlnxlnxxh-=',令0)(='x h ，2e x =；令0)(>'x h ，21e x <<；令0)(<'x h ，2ex >故)(x h 在),1(2e 单调递增，在)(2∞+，e 单调递减.故224)()(e e h x h max ==，故234)(3e x h V maxmax ππ==···········································4分（Ⅱ）(ⅰ)由)()(x g x f =得lnx ax ex eax =-+-122，即)(22ex ln ex ax e ax +=+令x e x x+=)(ϕ，则)]([)(2ex ln ax ϕϕ=，又11)(>+='xe x ϕ，故)(x ϕ在R 上单调递增，故)(2ex ln ax =在)0(∞+，上有两个不等实根21x x ，············································5分即21xlnx a +=在)0(∞+，上有两个不等实根21x x ，令21)(x lnx x F +=，312)(x lnx x F --='，令0)(='x F ，21-=e x ；令0)(>'x F ，210-<<ex ；令0)(<'x F ，21->ex 故)(x F 在),0(21-e单调递增，在),(21+∞-e 单调递减.故2)()(21e eF x F max ==-又0)1(=eF ，当+→0x 时，-∞→+1lnx ，02→x -∞→∴)(x F ；当+∞→x 时，+∞→+1lnx ，+∞→2x ，与对数函数相比，二次函数增长速度更快，→∴)x (F 故当且仅当20ea <<时，直线a y =与)(x F y =图象有两个不同公共点，故实数a 的取值范围是2,0(e .············································································8分（ⅱ）由(ⅰ)知⎪⎩⎪⎨⎧+=+=22212111lnx ax lnx ax ，两式作差得212221lnx lnx ax ax -=-，即alnx lnx x x 2122212221=--，··················································································9分令1)1(2)(+--=x x lnx x G ，1>x ，则0)1()1()1(41)(222>+-=+-='x x x x x x G 故)(x G 在),1(+∞单调递增，故0)1()(=>G x G ，即当1>x 时，1)1(2+->x x lnx ，又012>>x x ，故1)1(2212221222122+->x x x xx x ln 故2221222122212lnx lnx x x x x -->+···········································································11分故a x x 2122221>+，由(ⅰ)知20e a <<，故ex x 122221>+，即e x x 22221>+·········12分。
