一元二次方程的解法(十字交叉法)及韦达定理 - 副本 - 副本

管总数学考研知识点考点总结算术●一. 应用题●利润问题●1.利润 = 售价 - 进价●2. 售价= 进价 * (1 + 利润率)●3. 进价= 售价 / (1 + 利润率)●【注意】变化率包括增长率和下降率两个，所以上式用绝对值表示.●5.增减并存问题:●(1) 先提价 p %再降价 p %●(2) 先降价 p %再提价 p %●6.恢复原价问题:●(1) 先提价 p %再降___p%/(1 + p%)___恢复原价●(2) 先降价 p %再增___p%/(1 - p%)___恢复原价●7.连续增长下降问题:●一月份的产量为a，以后每个月均比上个月增长p%，则年总产值为( ).●8 . 甲比乙大 p % <=> (甲 - 乙 ) / 乙 = p % <=> 甲 = 乙 * (1 + p % ) ; 甲是乙的 p % <=> 甲 = 乙 * p %●【注意】甲比乙大 p % ≠乙比甲小 p %(因为基准量不同)，甲比乙大 p %<=> 乙比甲小 p % /(1 + p % )●比、百分比、比例问题●1 . 比例性质 : 如果 a/b = c/d，则 a d = b c●2.等比定理: a/b = c/d = e/f = a + c + e/b + d +f●3.总量 = 部分量/ 对应占的比例●十字交叉法●当一个整体按照某个标准分为两类时，根据杠杆原理得到一种巧妙的方法，即是交叉法.该方法出现上下分列出每部分的数值，然后与整体数值相减，减得的两个数值的最简整数比就代表每部分的数量比.●工程问题●1.工作量 s、工作效率 v、工作时间 t 三者的关系●工作量 = 工作效率 *工作时间 (s = vt)●2.重要说明:●工作量:对于一个题，工作量往往是一定的，可以将总的工作量看做“1”;工作效率，合作时，总的效率等于各效率的代数和.●3.重要结论●若甲单独完成需要 m 天，乙单独完成需要 n 天;则:●(1)甲的效率为1/m,乙的效率为 1/n●(2)甲乙合作的效率为 1/m + 1/n●(3)甲乙合作完成需要的时间为1/ (1/m + 1/n) = mn/ m+n●浓度问题●1.溶液=溶质+溶剂，浓度=●2.重要等量关系.●(1)浓度不变准则●(2)物质守恒准则●3.重要命题思路.●(1)“稀释”问题:溶质不变●(2)“蒸发问题:溶质不变●(3)“加浓”问题:溶剂不变●(4)“混合”问题:可利用十字交叉法●(5)“置换”问题:一般是用溶剂等量置换溶液●植树问题●对于直线问题，如果长度为L米，每隔n米植树，则共有n,则共有L/(n+1)棵树;●对于圆圈问题，如果周长为L米，每隔n米植树，则共有L/n棵树●年龄问题●年龄问题的特点有两个:一个是年龄的差值恒定;另一个是年龄同步增长.●【注意】年龄要选好参照年份，如果年龄计算得到矛盾，看看几年前是否还未出生，因为出生后才对年龄有影响.●分段计费问题●对于分段计费问题，关键掌握两点:一是确定每段的边界值，来判断所给数值落入的区间;二是选取对应的计费表达式进行运算.●集合问题●不定方程问题●列方程解应用题，一般都是未知数个数与方程的个数一样多.但如果方程(组)中未知数的个数多于方程的个数，此方程(组)称为不定方程组.不定方程一般有无数解，但是结合题意，实际只要我们求出无数解中的特殊解，往往是求整数解.有时还要加上其他限制，这时的解就是有限和确定的了.考试中主要是涉及整数系数不定方程的整数解，一般要借助整除、奇数偶数、范围等特征来确定数值.●线性规划问题●该种方法应用非常广泛，解决此类问题关键是:在资源的限制下，如何使用最少的资源来完成最多的生产任务，或是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的资源来完成，如常见的任务安排问题、配料问题、运费问题、库存问题等.●至多至少问题●在分析某对象至少(至多)时，可转化为其余部分最多(最少)来分析●最值问题●解答这类问题一般要利用数量关系，列出目标函数式，然后用函数有关知识和方法加以解决.求最值的主要方法为二次函数的抛物线法、平均值定理法.●二. 实数、绝对值、比和比例及平均值定理●数的概念与性质●(一)按有理数和无理数分类●(二)整数与自然数●(三)质数与合数●1.质数●如果一个大于 1 的正整数，只能被 1 和它本身整除(只有 1 和其本身两个约数)，那么这个正整数叫做质数(质数也称素数).●2.合数●一个正整数除了能被 1 和它本身整除外，还能被其它的正整数整除(除了 1 和其本身之外，还有其他约数)，这样的正整数叫做合数.●3.质数与合数有如下重要性质●(1)质数和合数都在正整数范围，且有无数多个●(2)2 是唯一的既是质数又是偶数的整数，即是唯一的偶质数，大于 2 的质数必为奇数，质数中只有一个偶数 2，最小的质数为 2.●(四)奇数与偶数●(五)整除、倍数、约数●1.数的整除:当整数 a 除以非零整数 b ，商正好是整数而无余数时，则称 a能被 b 整除或 b能整除a.●2.倍数与约数:当a能被b整除时，称a是b的倍数，b是a的约数.●3.最小公倍数:几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数.●4.最小公倍数的表示:数学上常用方括号表示，如[12，18，20]即为 12，18 和 20 的最小公倍数.●5.最小公倍数的求法:●(1)分解质因数法:●先把这几个数分解质因数，再把它们一切公有的质因数和其中几个数公有的质因数以及每个数的独有的质因数全部连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数.●(2)公式法●由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积，即(a,b) * [a,b] = a*b。

・ 。 ．
解： （ ３ ｚ ＋１ ） ７ ， ． － ． ２ 一１ ＝± ， ． ・ ． ： ห้องสมุดไป่ตู้
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４ ａ ｅ
解： 采 用 十字 交叉 法将 原方 程改 写 为下式 ：
（ 一 ２ ） （ 一 ３ ） ＝ ０ ， 贝 ０ 可 以得 出 ： 一 ３ ＝ ０或 一 ２＝ ０
：
—
一
； 如 果 △＜ ０ ， 则方 程无 解 。
二Ⅱ
因而 该方 程 的解为 ： Ｉ ＝ ３ ， ２ ＝ ２ 例３ ： 解 方 程 ＋１ ． ５＝一 ３ ｘ 解该 题 的重点 、 难 点在 于对 题 目进 行 分析 。在 本 题 的解 答 过 解： 首 先将 原方 程化 成一般 形式 ： ＋ ３ ＋ １ ． ５＝ Ｏ 程， 我 们 复习 了求 解一 元二 次方 程 的解 题方 法 ， 通 过 横 向 比较 ， 我 ａ＝ １， ６＝３， ｃ： １ ． ５ 们 找到 了既简单 叉 高效 的解题 方法 。本 例题体 现 了数 学思 维 的多 ｂ 一４口 ｃ＝３ 一４ ×１× １ ． ５ ＝３＞０ 向性 、 变通 性等特 点 。在 初 中教 学 中， 探索 一体 多解 不 是我 们 教学 ３± ３± ２×１ — ２ 的真正 目的 ， 不是 单纯 的 向学 生 罗列 解题 方法 ， 而 是要 引导 学生 主 动积极 地开拓 自己 的思 维 ， 培养 学生综合 运用所 学知识 的能力 。 原方 程 的解为 。 ＝ 二 ， ： ＝ 二 ． （ 三） 一题 多解 有 助于 培养 学生 的创新 思维 例６ ： 有 一根 ２ ０ ｍ长 的绳 子 ， 怎 样用 它 围成 以面 积 为 ２ ４ ｍ 的 上 述三 种解 题方 法是初 中教 学 中最 常 用 的解 题 方 法 ， 公 式 法 矩形？ 是解 题 的基 础方 法 ， 适 用 于求 解 所 有 的 一元 二次 方 程 ； 直 接 开 平 分析： 假设矩 形宽 为 ｘ ｎ ｌ ， 那 么矩形 的 长就为 （ １ ２一 ） ｎ ｌ 。因 而 方适 用性 最差 ； 配 方和 因式分 解法 的解 题原 理都 是 “ 降次 ” ， 需 要 我 们就 可 以列 出该 题 的一 元二 次方 程 （ １ ２一 ） ＝ ２ ４ ， 其 一般 形式 根据 方程 的特 点进 行 因地制 宜地 变换 。 二、 一题 多解 示例 及意义 （ 一） 一题 多解有 助于 打破 学生思 维定 势

解二元一次方程:“十字交叉法”十字相乘就就是把二次项拆成两个数得积常数项拆成两个数得积拆成得那些数经过十字相乘后再相加正好等于一次项瞧一下这个简单得例子m²+4m-12m -2m ╳ 6把二次项拆成m与m得积(瞧左边,注意竖着写)-12拆成-2与6得积(也就是竖着写)经过十字相乘(也就就是6m与-2m得与正好就是4m)所以十字相乘成功了m²+4m-12=(m-2)(m+6)重点:只要把2次项与常数项拆开来(拆成乘积得形式),可以检验就是否拆得对,只要相加等于1次项就成了,十字相乘法实际就就是分解因式。

解释说明:十字相乘法虽然比较难学,但就是一旦学会了它,用它来解题,会给我们带来很多方便,以下就是我对十字相乘法提出得一些个人见解。

1、十字相乘法得方法:十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数。

2、十字相乘法得用处:(1)用十字相乘法来分解因式。

(2)用十字相乘法来解一元二次方程。

3、十字相乘法得优点:用十字相乘法来解题得速度比较快,能够节约时间,而且运用算量不大,不容易出错。

4、十字相乘法得缺陷:1、有些题目用十字相乘法来解比较简单,但并不就是每一道题用十字相乘法来解都简单。

2、十字相乘法只适用于二次三项式类型得题目。

3、十字相乘法比较难学。

5、十字相乘法解题实例:1)、用十字相乘法解一些简单常见得题目例1把m²+4m-12分解因式分析:本题中常数项-12可以分为-1×12,-2×6,-3×4,-4×3,-6×2,-12×1当-12分成-2×6时,才符合本题解:因为 1 -21 ╳ 6所以m²+4m-12=(m-2)(m+6)例2把5x²+6x-8分解因式分析:本题中得5可分为1×5,-8可分为-1×8,-2×4,-4×2,-8×1。

三、简答题（本大题共5题，第
(1)甲机器人比乙机器人早开始工作小时；甲机器人每小时的工作量是(2)直线OA 的表达式为；当乙机器人工作6小时后，它完成的工作量是25．返校复学之际，某班家委会出于对学生卫生安全考虑，为每位学生准备了便携式免洗抑菌洗手液，去市场购买时，发现当购买量不超过为8元；超过100瓶时，每增加10瓶，单价就降低元，设家委会共买了x 瓶免洗抑菌洗手液．
(1)当70x =时，每瓶洗手液的价格是元；当140x =(2)如果家委会购买洗手液共花费1200元，问一共购买了多少瓶洗手液？
(1)求a 和n 的值；
(2)如果点C 在y 轴上，16ABC S =V (3)如果双曲线(0)k
y k x
=
>上点P
∴AOP OPH AOD ADHP S S S S =+-梯形△△△【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的综合，熟练掌握待定系数法是解题关键．。