河南天一大联考2019-2020学年高中毕业班阶段性测试理科数学试题(8页)

2019-2020学年天一大联考高中毕业班阶段性测试（一）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}|3A x y x ==-， {}2|76<0B x x x =-+，则()R C A B ⋂=（ ）A ．{}|1<<3x xB ．{}|1<<6x xC ．{}|13x x ≤≤D ．{}|16x x ≤≤【答案】A【解析】要使根式有意义，则需30x -≥，可求集合A ，再求R C A ， 解二次不等式2760x x -+<，可求得集合B ，从而求得()R C A B I 即可. 【详解】 解：{}|3A x y x ==-={}|30x x -≥={}|3x x ≥，即{}|3R C A x x =<，又{}2|76<0B x x x =-+={}|(1)(6)<0x x x --={}|16x x <<，即()R C A B ⋂={}|1<<3x x ， 故选A. 【点睛】本题考查了含根式函数的定义域的求法及二次不等式的解法，重点考查了集合的混合运算，属基础题. 2．已知，，且复数z 满足，则z 的虚部为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】把，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】，，，的虚部为．故选． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算、复数虚部的概念，考查基本运算求解能力. 3．某单位共有老年、中年、青年职工320人，其中有青年职工150人，老年职工与中年职工的人数之比为7∶10.为了了解职工的身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，抽取的样本中有青年职工30人，则抽取的老年职工的人数为（） A ．14 B ．20C ．21D ．70【答案】A【解析】先计算总体中老年职工的人数70，再根据青年职工的数据求出抽样比，把抽样比乘以老年职工人数，得到抽取老年职工的人数. 【详解】由题意知，老年职工与中年职工的人数之和为170， 故老年职工人数为70，中年职工人数100， 抽样比为3011505=， 则抽取的老年职工的人数为170145⨯=， 故选A ． 【点睛】本题考查随机抽样中的分层抽样，考查基本数据处理能力.4．设等差数列|{}n a 的前n 项和为n S ，若2372a a a =，540S =，则7a =（ ） A ．13 B ．15C ．20D ．22【答案】C【解析】由等差数列前5项和求得3a ，设等差数列{}n a 的公差为d ，由2372a a a =得到关于d 的方程，再由等差数列的通项公式求7a ． 【详解】由题意，53540S a ==，得38a =． 设等差数列{}n a 的公差为d ，由2372a a a =，得(8)82(84)d d -⨯=⨯+，解得3d =．73484320a a d ∴=+=+⨯=．故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列的性质、通项公式及前n 项和公式的应用，考查基本量法求解数列问题.5．已知向上满足||2,a =r||1b =r,()a b b -⊥r rr，则向量a r与b r的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π 【答案】B【解析】先由题意求出a b ⋅r r，再由向量夹角公式，即可求出结果.【详解】因为||2,a =r ||1b =r ，()a b b -⊥rr r ，所以()0-⋅=r rr a b b ，因此21⋅==r r r a b b ，所以1cos ,2⋅==r rr r r r a b a b a b ， 因此向量a r与b r的夹角为3π 【点睛】本题主要考查向量夹角的计算，熟记向量数量积的运算即可，属于常考题型. 6．马拉松是一项历史悠久的长跑运动，全程约42千米.跑马拉松对运动员的身体素质和耐力是极大的考验，专业的马拉松运动员经过长期的训练，跑步时的步幅（一步的距离）一般略低于自身的身高，若某运动员跑完一次全程马拉松用了2.5小时，则他平均每分钟的步数可能为（） A ．60 B ．120C ．180D ．240【答案】C【解析】先求出运动员每分钟跑42000150280÷=米，再对运动员每分钟的跑步数分类讨论，排除答案即得解. 【详解】解：42千米＝42000米，2.5小时＝150分钟，故运动员每分钟跑42000150280÷=米；若运动员每分钟跑120步，280120 2.33÷=，则运动员的身高超过2.33米不太可能；若运动员每分钟跑240步，280240 1.17÷=，则运动员的身高稍超过1.17米不太可能； 若运动员每分钟跑180步，280180 1.56÷=，则运动员的身高超过1.56米，基本符合实际， 故选：C . 【点睛】本题主要考查推理证明，考查数据处理，属于基础题.7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为（ ）A ．352B ．3562+C ．35πD ．635π+【答案】B【解析】由题意可知该几何体是一个半圆台，利用圆台侧面积公式和梯形面积公式即可得解. 【详解】该几何体是一个半圆台，上底面半圆的半径为1，下底面半圆的半径为2，高为2，母5.所以其侧面积为()()113525242622ππ⨯+⨯+⨯=+. 故选：B. 【点睛】本题考查了三视图的识别和圆台侧面积的求解，属于基础题.8．已知双曲线22:13x E y -=，F 为E 的左焦点，P ，Q 为双曲线E 右支上的两点，若线段PQ 经过点()2,0，△PQF 的周长为83PQ 的长为（ ） A ．2 B ．23C ．4D ．3【答案】B【解析】根据题意作出双曲线图象，然后根据双曲线的定义得：||||23PF PA -=，||||23QF QA -=，再根据周长的值，求得线段PQ 的长.【详解】Q 双曲线22:13x E y -=的左焦点(2,0)F -，3a =，1b =，2c =；双曲线的右焦点(2,0)A 在线段PQ 上，||||23PFPA -=，||||23QF QA -=，所以∆POF 的周长为83||||||2||43PF QF PQ PQ =++=+，得||23PQ =，故选：B ．【点睛】本题考查双曲线中过焦点弦长，把双曲线的定义融入三角形知识中，考查学生对问题的转化能力．9．已知函数()()x xf x x e e -=-，若(21)(2)f x f x -<+，则x 的取值范围是（）A ．1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．(3,)+∞D ．1,(3,)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U【答案】A【解析】根据()()f x f x -=得()f x 为偶函数，利用导数得函数()f x 在[0，)+∞上为增函数，结合偶函数的性质(||)()f x f x =，将(21)(2)f x f x -<+转化为|21||2|x x -<+，两边平方解得x 的取值范围．【详解】 根据题意，()()x x f x x e e -=-，因为()()()()()x x x x f x x e e x e e f x ---=--=-=，所以()f x 为偶函数； 又由()()()x x x x f x e e x e e --'=-++，当0x …时，()0f x '>，则函数()f x 在[0,)+∞上为增函数， 所以(21)(2)(|21|)(|2|)|21|2|f x f x f x f x x x -<+⇔-<+⇔-<+， 即22(21)(2)x x -<+，解得：133x -<<. 故选：A ． 【点睛】本题综合考查函数的奇偶性、单调性的应用，利用导数研究函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，考查数形结合思想的应用.10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点M 为椭圆C 上异于A ，B 的一点，直线AM 和直线BM 的斜率之积为14-，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．14B ．12CD【答案】C【解析】利用直线AM 和直线BM 的斜率之积为14-，得到2214b a =这一关系，再代入离心率的公式，求得e 的值. 【详解】由已知得(,0),(,0)A a B a -，设()00,x y ，由题设可得，2200221x y a b+=，所以()222202b y a x a=-.因为()222220200022222000014A MM B b a x y y y b a k k x a x a x a x a a -⋅=⋅===-=-+---，所以2214b a =，则22222222314c a b b e a a a -===-=，所以2e =. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系、斜率公式、离心率求法等知识，考查基本运算求解能力.11．设函数()2sin f x x ππ=-在()0,∞+上最小的零点为0x ，曲线()y f x =在点()0,0x 处的切线上有一点P ，曲线23ln 2y x x =-上有一点Q ，则PQ 的最小值为（ ） A．BCD【答案】C【解析】由题意得01x =，由导数的几何意义结合点斜式可得切线的方程为22y x =-，证明切线与曲线23ln 2y x x =-无交点，当点Q 处的切线与22y x =-平行时，点Q 到直线22y x =-的距离即为PQ 最小值，利用导数几何意义求得点Q 后即可得解. 【详解】令()x k k ππ=∈Z ，则x k =，最小为01x =. 因为()2cos f x x π'=-，所以曲线()y f x =在点()1,0处的切线斜率为()12cos 2f π'=-=， 则切线方程为22y x =-，设()23ln 2g x x x =-，()23ln 222h x x x x =--+， 则()132h x x x '=--，()10h '=，()h x 在1x =处取最小值()3102h =>，所以()0h x >恒成立，所以直线22y x =-与曲线()y g x =没有交点. 令()132g x x x '=-=，得1x =或13x =-（舍去），()312g =， 则PQ 的最小值为点31,2⎛⎫⎪⎝⎭到直线22y x =-的距离d ，所以10d ==. 故选：C. 【点睛】本题考查了导数几何意义的应用，考查了转化化归思想，属于中档题.12．已知四棱锥P ABCD -的四条侧棱都相等，底面是边长为2的正方形，若其五个顶点都在一个表面积为814π的球面上，则PA 与底面ABCD 所成角的正弦值为（ ）A ．23B ．23或3C．3D ．13或3【答案】D 【解析】【详解】解：因为P ABCD -的四条侧棱都相等，底面是边长为2的正方形，则点P 在 面ABCD 内的射影落在正方形 ABCD 的中心，连接,AC BD 交于点E ，设球心为O , 连接,PO BO ,则E 在直线PO 上，PO BO R ==，由28144R ππ=,解得94R =，又2BDBE ==所以74OE ===, 所以971442PE R OE =-=-=或97444PE R OE =+=+=， 当12PE =时，32PA ===, 则PA 与底面ABCD 所成角的正弦值为112332PE AP ==, 当4PE =时，PA ===则PA 与底面ABCD所成角的正弦值为3PE AP ==, 即PA 与底面ABCD 所成角的正弦值为13， 故选D.【点睛】本题考查了球的表面积公式及正棱锥的外接球问题，重点考查了棱锥顶点在底面中的射影位置，着重考查了空间想象能力及运算能力，属中档题.二、填空题13．设变量,x y满足约束条件70,10,2,x yx yx+-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则目标函数11yzx-=-的最大值为_______.【答案】4【解析】作出可行域，将问题转化为可行域中的点与点(1,1)P连线的斜率的最大值，结合图形可得答案.【详解】作出可行域，如图所示：11y z x -=-表示可行域中的点与点(1,1)P 连线的斜率. 由图可知，点(1,1)P 与点(2,5)A 连线的斜率最大，max 51421z -==-， 所以目标函数11y z x -=-的最大值为4. 故答案为: 4 【点睛】本题考查了利用线性规划求分式型目标函数的最大值，解题关键是转化为斜率求最大值，属于基础题.14．已知正项等比数列{n a }满足2464,80a a a =+=.记2log n n b a =，则数列{n b }的前50项和为________.【答案】1275【解析】由等比数列通项公式的求法可得：42200q q +-=，又0q >解得2422n n n a -=⨯=，由对数的运算可得：n b n =，即{}n b 是以1为首项，1为公差的等差数列，再由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】解：由数列{n a }为正项等比数列，设其公比为q ，则0q >， 又2464,80a a a =+=， 所以42200q q +-=， 解得2q =，即2422n n n a -=⨯=， 所以2log 2nn b n ==，则{}n b 是以1为首项，1为公差的等差数列， 则数列{n b }的前50项和为(150)5012752+⨯=，故答案为：1275. 【点睛】本题考查了等比数列通项公式的求法及等差数列前n 项和，重点考查了对数的运算，属基础题.15．在()()51231x x -+的展开式中，含3x 项的系数为__________. 【答案】40【解析】由题意写出()512x -的展开式的通项，根据通项求出()512x -的展开式中2x 和3x 的系数，根据乘法分配律即可得解.【详解】由题意()512x -的展开式的通项为()()15522r rrr r r T C x C x +=-=-，()512x -的展开式中2x 的系数为()225240C -=，3x 的系数为()335280C -=-，因此，原展开式中含3x 项的系数为40380=40⨯-. 故答案为：40. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，属于基础题. 16．已知2tan tan()43παα-=，则cos(2)4πα-的值是______.【答案】10【解析】根据两角和差正切公式可构造方程求得1tan 3α=-或tan 2α=；利用两角和差余弦公式和二倍角公式可将cos 24πα⎛⎫-⎪⎝⎭化为)22cos sin 2sin cos αααα-+，根据正余弦齐次式的求解方法可化简为221tan 2tan 21tan ααα-++，代入tan α即可求得结果.【详解】tan tantan 124tan tan tan tan 41tan 31tan tan 4παπαααααπαα--⎛⎫-=⋅=⋅= ⎪+⎝⎭+ 解得：1tan 3α=-或tan 2α=)cos 2cos 2cos sin 2sin cos 2sin 2444πππααααα⎛⎫-=+=+ ⎪⎝⎭)222222cos sin 2sin cos cos sin 2sin cos 22cos sin αααααααααα-+=-+=+221tan 2tan 21tan ααα-+=⨯+ 当1tan 3α=-时，12193cos 21421019πα--⎛⎫-=⨯= ⎪⎝⎭+ 当tan 2α=时，144cos 2421410πα-+⎛⎫-== ⎪+⎝⎭综上所述，cos 2410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭本题正确结果：10【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式化简求值、正余弦齐次式的求解问题，涉及到两角和差正切公式和余弦公式、二倍角公式的应用、同角三角函数关系的应用等知识；关键是能够将正余弦齐次式配凑出正切的形式.三、解答题17．已知平面四边形ABCD 中，3AB =，4BC =，5CD =，6DA =，且内角B 与D 互补.（1）求cos A 的值.（2）求四边形ABCD 的面积. 【答案】（1）1cos 19A =；（2）S =【解析】（1）由题意A 与C 也互补，在ABD △和BCD V 中分别使用余弦定理，即可得4536cos 4140cos A A -=+，即可得解；（2）由平方关系可得2sin sin 1cos C A A ==-，再利用三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）因为B 与D 互补，所以A 与C 也互补， 可得A C π+=，所以cos cos C A =-. 在ABD △中，根据余弦定理可得2222cos 4536cos BD AB AD AB AD A A =+-⋅=-.在BCD V 中，根据余弦定理可得2222cos 4140cos 4140cos BD CB CD CB CD C C A =+-⋅=-=+.由4536cos 4140cos A A -=+，得1cos 19A =. （2）因为0A π<<，所以221610sin sin 1cos 119C A A ⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭. 故四边形ABCD 的面积11sin sin 22ABD BCD S S S AB AD A CB CD C =+=⋅+⋅⋅V V 11610364561022⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了余弦定理和面积公式的应用，考查了方程思想，属于中档题.18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=o ，12CA CB AA ===，M ，N 分别是1A B 与1CC 的中点，G 为ABN ∆的重心.（1）求证：MG ⊥平面ABN ； （2）求二面角1A AB N --的正弦值. 【答案】（1）见解析；（2）63【解析】（1）建立空间直角坐标系，表示出各点的坐标后，通过证明0MG AN ⋅=u u u u v u u u v， 0MG AB ⋅=u u u u v u u u v，即可得证；（2）求出平面ABN 的一个法向量MG u u u u r ，平面1A AB 的一个法向量为n r，求出cos ,MGn MG n MG n⋅=u u u u v vu u u u v v u u u u v v 后，利用平方关系即可得解.【详解】（1）证明：由题意可知，AC ，BC ，1CC 两两垂直，以C 为原点，分别以AC ，BC ，1CC 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()2,0,0A ，()0,2,0B ，()10,0,2C ，()12,0,2A .由中点坐标公式可得()1,1,1M ，()0,0,1N ，由重心的性质可得221,,333G ⎛⎫⎪⎝⎭. 则112,,333MG ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭u u u u r ，()2,2,0AB =-u u u r ，()2,0,1AN =-u u u r ，()10,0,2AA =u u u r.所以()1122010333MG AN ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯-+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r ， ()1122200333MG AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯-+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r ，所以MG AN ⊥，MG AB ⊥，又AN AB A =I ，AN ，AB Ì平面ABN ， 所以MG ⊥平面ABN .（2）由（1）知，平面ABN 的一个法向量为112,,333MG ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭u u u u r .设平面1A AB 的一个法向量为(),,n x y z =r.则120220n AA z n AB x y ⎧⋅==⎨⋅=-+=⎩u u u v v u u u v v ，所以0z x y =⎧⎨=⎩，令1x =，则()1,1,0n =r .所以cos ,MG n MG n MG n⋅==u u u u r ru u u u r r u u u u r r . 设二面角1A AB N --的大小为θ，则sin 3θ==. 所以二面角1A AB N --【点睛】本题考查了利用空间向量证明线面垂直和求解二面角，考查了计算能力，属于中档题. 19．已知动圆M 过点(2,0)P 且与直线20x +=相切. （1）求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；（2）斜率为()0k k ≠的直线l 经过点(2,0)P 且与曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点N ，求||||AB NP 的值. 【答案】（1）28y x =（2）2【解析】（1）已知条件转化成圆心M 到定点(2,0)P 的距离与定直线2x =-的距离相等，再利用抛物线的定义求得圆心M 的轨迹C 的方程；（2）设直线l 的方程为(2)y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，把直线方程代入抛物线方程，利用根与系数的关系，得到AB 的中点坐标，进而得到线段AB 的中垂线方程，令0y =得到点N 的坐标，把弦长||AB 和线段||NP 都用k 表示，再进行比值即可得答案. 【详解】（1）由已知可得，点M 到点(2,0)P 的距离等于点M 到直线20x +=的距离，所以点M 的轨迹是抛物线.点P 为抛物线的焦点，直线20x +=即2x =-为抛物线的准线. 设抛物线C 的方程为22(0)y px p =>，所以22p=，所以4p =， 故动圆圆心M 的轨迹C 的方程为28y x =.（2）由已知可得直线l 的方程为(2)y k x =-，记()11,A x y ，()22,B x y .由2(2)8y k x y x=-⎧⎨=⎩消去y 整理可得()22224840k x k x k -++=. 由根与系数关系可得212248k x x k ++=，所以()12124422k x x k y y k+-+==. 所以AB 的中点坐标为22244,k kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 所以线段AB 的中垂线方程为224124k y x k k k ⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭.令0y =，可得2264k x k +=，所以2264,0k N k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 所以()22224164||2k k NP k k++=-=. 又由抛物线的定义可知()212281||4k AB x x k +=++=.所以()()222281||2||41k AB k NP k k +=⋅=+. 【点睛】本题考查定义法求抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系，考查坐标法思想的运用，解题过程中要注意目标意识，即弦长||AB 和线段||NP 都借助变量k 进行表示，再进行运算求值.20．一间宿舍内住有甲､乙两人，为了保持宿舍内的干净整洁，他们每天通过小游戏的方式选出一人值日打扫卫生，游戏规则如下：第1天由甲值日，随后每天由前一天值日的人抛掷两枚正方体骰子(点数为16-)，若得到两枚骰子的点数之和小于10，则前一天值日的人继续值日，否则当天换另一人值日.从第2天开始，设“当天值日的人与前一天相同”为事件A . （1）求()P A . （2）设()*n p n N∈表示“第n 天甲值日”的概率，则()1111,1(2,3,4,)n n n p p ap b p n --==+-=L ，其中()a P A =，()b P A =.（ⅰ）求n p 关于n 的表达式.（ⅱ）这种游戏规则公平吗？说明理由.【答案】（1）56.（2）（ⅰ）1*121,232n n p n -⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N （ⅱ）不公平，理由见解析 【解析】（1）根据古典概型的概率公式和对立事件的概率公式可求得结果； （2）（ⅰ）代入,a b 的值后，构造等比数列12n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭可求得结果；（ⅱ）根据112112322n n p -⎛⎫=+> ⎪⎝⎭可知游戏不公平. 【详解】（1）由题意可知，事件A 表示“当天值日的人与前一天不同”，即前一天值日的人抛掷两枚骰子所得点数之和大于或等于10.抛掷两枚骰子所得点数的情况有6636⨯=种，事件A 包含的情况有(4,6),(6,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6)，共6种情况.所以61()366P A ==. 所以5()1()6P A P A =-=. （2）（ⅰ）由（1）可知()111512116636n n n n p p p p ---=+-=+. 整理可得1121,2,3,4,232n n p p n -⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭L ， 所以12n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为11122p -=，公比为23的等比数列.所以1112223n n p -⎛⎫-= ⎪⎝⎭.所以1*121,232n n p n -⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N . （ⅱ）不公平.理由如下：因为112112322n n p -⎛⎫=+> ⎪⎝⎭恒成立，即每天甲值日的概率都大于12，甲每天值日的概率都比乙值日的概率大，所以不公平. 【点睛】本题考查了古典概型扥概率公式和对立事件的概率公式，考查了构造等比数列求数列的通项公式，属于中档题.21．设函数()()21ln 12f x k x k x x =+-- （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设函数()f x 的图象与直线y m =交于()1,A x m ，()2,B x m 两点，且12x x <，求证：1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭. 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）求导后根据0k ≤、0k >分别求出()0f x '>、()0f x '<得解即可得解；（2）由题意得212121ln ln 12x x x x k k x x +-=+--，则212122211112ln 21x x x x x k f x x x x x ⎛⎫- ⎪+⎛⎫ ⎪=- ⎪-⎪⎝⎭+ ⎪⎝⎭'，令211x t x =>，()()()21ln 11t g t t t t -=->+，求导后证明()()10g t g <=即可得证. 【详解】（1）函数()()21ln 12f x k x k x x =+--的定义域为()0,∞+. ()()()11x x k kf x k x x x+-'=+--=-. 当0k ≤时，()0f x '<恒成立，所以()f x 在()0,∞+是减函数； 当0k >时，令()0f x '>，得0x k <<，令()0f x '<，得x k >， 所以()f x 在()0,k 上是增函数，在(),k +∞上是减函数.综上，当0k ≤时，()f x 在()0,∞+是减函数；当0k >时，()f x 在()0,k 上是增函数，在(),k +∞上是减函数.（2）证明：由题意知方程()f x m =有两个不相等的实根1x ，2x ，且12x x <， 所以()()2211122211ln 1ln 122k x k x x k x k x x +--=+--，且120x x <<. 所以()()()222121211ln ln 2x x k x x k x x ----=-，所以212121ln ln 12x x x x k k x x +-=+--. 因为()1kf x k x x'=+--，所以21221122122121111ln ln 22ln 21x x x x x x x k k f k x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪+-⎛⎫ ⎪'=-=- ⎪+-- ⎪⎝⎭+ ⎪⎝⎭令211x t x =>，()()()21ln 11t g t t t t -=->+，则()()()22101t g t t t '-=-<+， 所以()g t 在()1,+∞单调递减，所以()()10g t g <=. 又因为120x x <<，由（Ⅰ）知0k >，所以210kx x >-.所以1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为121x m y m =+⎧⎨=-+⎩，（m 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2363cos 2ρθ=-，直线l 与曲线C 交于M ，N 两点.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求|MN |.【答案】（1）直线:230l x y --=，曲线22:1189x y C +=；（2）【解析】（1）把直线参数方程中的参数m 消去，可得直线的普通方程，把曲线C 的极坐标方程变形，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C 的直角坐标方程； （2）写出直线参数方程的标准形式，代入曲线C 的普通方程，化为关于t 的一元二次方程，再由参数t 的几何意义求解． 【详解】 （1）由121x my m=+⎧⎨=-+⎩（m 为参数），消去参数m 整理可得直线l 的普通方程为230x y --=.由曲线C 的极坐标方程2363cos 2ρθ=-，得2(3cos 2)36ρθ-=，即()2222cos 4sin 36ρθθ+=，故曲线C 的直角坐标方程为22218xy +=，即221189x y +=. （2）由已知可得直线l 的斜率12k =，设l 的倾斜角为α，则sin α，cos 5α=， 所以直线l的参数方程可写成11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），将11x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入22218x y +=，整理可得2252t =，解得1t =2t =.由参数方程的几何意义可得12||MN t t =-=【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程与普通方程的互化，利用直线参数方程中参数t 的几何意义求解问题时，记得把参数方程化成标准形式． 23．设函数()|1||2|f x x x =++-.（1）求不等式()4f x …的解集； （2）设a ，b ，*c R ∈，函数()f x 的最小值为m ，且111234m a b c++=，求证：2343a b c ++….【答案】（1）35,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭（2）详见解析【解析】（1）将()f x 写为分段函数的形式，然后由()4f x …，分别解不等式即可； （2）由（1）知()3min f x =，从而得到3m =，再根据1113(234)(234)()234a b c a b c a b c++=++++，利用基本不等式求出3(234)a b c ++的最小值即可证明2343a b c ++…．【详解】第 21 页 共 21 页 （1）12,1()123,1221,2x x f x x x x x x -<-⎧⎪=++-=-⎨⎪->⎩剟． ()4f x Q …，∴1241x x -⎧⎨<-⎩…或2142x x -⎧⎨>⎩…，∴32x -…或52x …， ∴不等式的解集为35(,][,)22-∞-⋃+∞； （2）证明：由（1）知()3min f x =，3m ∴=，∴1113234m a b c++==， 1113(234)(234)()234a b c a b c a b c∴++=++++ 2324433324234a b a c c b b a c a b c=++++++39+=…， 2343a b c ∴++…，当且仅当2341a b c ===，即12a =，13b =，14c =时取等号， 2343a b c ∴++…．【点睛】 本题考查绝对值不等式的解法，基本不等式和利用综合法证明不等式，考查分类讨论思想和转化思想，属中档题．。

河南省天一大联考2019届高三阶段性测试（二）数学（理）试题（解析版）、选择题（本大题共12小题，共60.0 分）1.命题" ，”的否定为A. ,B.C. ,D.【答案】D【解析】解：特称命题的否定是全称命题，命题" ，”的否定为：故选：D.利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可.本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系.2.已知向量，贝UA. B. 7 C. D. 4【答案】C【解析】解：由题意可得，，则故选：C.直接利用向量数量积的坐标表示即可求解.本题主要考查了平面向量的数量积的运算，属于基础试题3. 已知集合-，则A. —B. —C.D【答案】C【解析】解:故选：C.先求出集合B，然后进行交集的运算.考查描述法表示集合的定义，对数函数的单调性，以及交集的运算.4. 已知，则下列不等式正确的是A.B.C.--D.【答案】D【解析】解：依题意，不妨令, ，故-—，故A 错误,，故B 错误；由指数函数单调性知： - -，故C 错误,故选：D . 取特值：，，排除掉A , B , C .本题考查了不等关系与不等式，属基础题.5.已知等比数列 满足 ，且 ，则A.-B.-C. 2D【答案】B【解析】解：数列公比为q ，由 ，可得 ，即故选：B . 由条件求得,6.如图所示， 中，点D 是线段BC 上靠近C 的三等分点，E 是线段AD 的中点，A. - -B. -C.-D.-【答案】C【解析】解：根据题意得， 又故选：C .利用三角形法则和平行四边形法则可解决此问题.本题主要考查等比数列的定义和性质，求出，是解题的关键，属于基础题.，即可求出.本题考查平面向量基本定理的简单应用.7. 已知函数------ 函数 在 上单调递减;函数的最小值为-【答案】B【解析】解:函数 在处取的极小值，也是最小值，即最小值为 - 故，错，对, 故选：B .先求导，再根据导数和函数的单调性，极值，最值的关系即可判断 本题考查了导数的基本运算， 导数和函数的单调性，极值，最值, 推理论证能力，属于中档题8. 已知函数 _ 数m 的取值范围为A. -B. ,若函数 有3个零点，则实D.-【答案】A 【解析】解：函数 的图象有3个交点.如图， 有3个零点，即函数 的图象与V由图可知，当直线 过原点0时，满足题意;联立，得，则下列说法中, 函数无极值；正确的有A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个时, ，函数单调递减, 时,，函数单调递增,着重考查了运算能力，，得若函数有3个零点，则实数m的取值范围为故选：A.把函数有3个零点转化为函数象有3个交点，画出图形，数形结合得答案.本题考查分段函数的图象与性质，考查运算求解能力，是中档题,的图象与的图9. 已知实数m, n，，且，若，则实数p的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】解: ，且故选：C.由已知可得，一- ,进行1的代换可求则实数p的取值范围为-可求.本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用, 解本题的关键. 的范围，然后由已知可得- 一灵活进行变形成符合条件的过程是求10.已知，且，则A. - —B.- D.- 【答案】A。

绝密★启用前天一大联考 2019—2020学年髙中毕业班阶段性测试（一）数学（理科）考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本诫卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={3|-=x y x }，B={0<67|2+-x x x }，则=B A C R )(A.{3<<1|x x }B.{6<<1|x x }C.{31|≤≤x x }D.{61|≤≤x x }2.已知i z i z 43,10521+=-=，且复数z 满足2111z z z +=，则z 的虚部为 A. i 252 B. i 252- C. 252 D. 252- 3. 某单位共有老年、中年、青年职工320人，其中有青年职工150人，老年职工与中年职工的人数之比为 7:10，为了了解职工的身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，抽取的样本中有青年职工30人,则抽取 的老年职工的人数为A.14B.20C.21D.704.设等差数列{n a }的前n 项和为n S ，若40,25732==S a a a ，则=7aA. 13B.15C.20D.225.已知向量b a ,满足b b a b a ⊥-==)(,1||,2||，则a 与b 的夹角为 A. 6π B. 3π C. 2π D. 32π 6.马拉松是一项历史悠久的长跑运动,全程约42千米.跑马拉松对运动员的身体素质和耐力是极大的考验，专业的马拉松运动员经过长期的训练,跑步时的步輻（一步的距离）—般略低于自身的身髙，若某运动员跑完一次全程马拉松用了 2.5小时，则他平均每分钟的步数可能为A.60B. 120C. 180D.2407.某几何体的三视图如阁所示，则该几何体的侧面积为A. π253 B. π2536+ C. π53 D. π536+ 8.已知双曲线E: 1322=-y x ，F 为E 的左焦点，P ，Q 为双曲线E 右支上的两点，若线段PQ 经过点（2,0)，PQF ∆的周长为58，则线段PQ 的长为 A.2 B. 52 C.4 D. 549.已知函数)()(x x e e x x f --=，若)1(<)12(+-x f x f ，则x 的取值范围是 A. )3,31(- B. )31,(--∞ C. ),3(+∞ D. ),3()31,(+∞--∞ 10.已知椭圆C: )0> b 0,> (12222a b y ax =+的左、右顶点分别为A ，B,点M 为椭圆C 上异于A,B 的一点.直线AW 和直线BM 的斜率之积为41-，则椭圆C 的离心率为 A. 41 B. 21 C. 23 D. 415 11.设函数x x f ππsin 2)(-=在),0(+∞上最小的零点为0x ，曲线)(x f y =在点(0x ，0)处的切线上有一点P ，曲线x x y ln 232-=上有一点Q ，则||PQ 的最小值为A. 510B. 55C. 10103D. 5102 12.已知四棱锥P-ABCD 的四条俩棱都相等，底面是边长为2的正方形，若其五个顶点都在一个表面积为481π的球面上，则PA 与底面ABCD 所成角的正弦值为 A. 32 B. 32或35 C.322 D. 31或322 二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019—2020学年高二年级阶段性测试（二）理科数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2560A x x x =-+≥，{}13B x x =-≤<，则A B =I （ ） A.[]1,2- B.[]1,3- C.[]2,3 D.[)1,-+∞ 2.如果0b a <<，那么下列不等式错误的是（ ）A.33a b > B.b a > C.ln 2ln 2a b< D.11b a< 3.命题“[)2,x ∀∈+∞，()2log 10x ->”的否定为（ ）A.[)2,x ∀∈+∞，()2log 10x -<B.[)02,x ∃∈+∞，()20log 10x -≤C.(),2x ∀∈-∞，()2log 10x -<D.()0,2x ∃∈-∞，()20log 10x -≤ 4.“函数()()21xf x a =-是增函数”是“2a >”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知{}n a 是等差数列，且2a ，4038a 是函数()2162020f x x x =--的两个零点，则2020a =（ ）A.8B.8-C.2020D.2020-6.已知双曲线C ，则该双曲线的实轴长为（ ）A.1 C.2 D. 7.在ABC V 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若()()0a b c a b c ab ---++=且1sin 2A =，则B =（ ）A.2π B.3π C.4π D.6π 8.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点()02,M y 在抛物线C 上，M e 与直线l 相切于点E ，且3EMF π∠=，则M e 的半径为（ ）A.23 B.43 C.2 D.839.设椭圆()2211221:10x y C a b a b +=>>与双曲线()2222222:10x y C a a b-=>有公共焦点，过它们的右焦点F 作x 轴的垂线与曲线1C ，2C 在第一象限分别交于点M ，N ，若12OMN OFM S S =V V （O 为坐标原点），则1C 与2C 的离心率之比为（ ） A.34 B.23 C.12 D.1310.如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，90ABC ∠=︒，60BAC ∠=︒，2PA AB ==.以点B为原点，分别以BC uuu r ，BA u u u r ，AP u u u r的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，设平面P AB 和PBC的法向量分别为m 和n ，则下面选项中正确的是（ ）A.点P 的坐标为()0,0,2B.()4,0,2PC =-u u u rC.n 可能为()0,2,2-D.cos ,0m n >11.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线0x ty -=与椭圆E 交于A ，B两点.若四边形12AF BF 面积的最大值为8，则a 的最小值为（ ）B.2C. D.412.如图所示的三角形数阵叫做“杨辉三角”，出现在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中，在欧洲又被称为“帕斯卡三角”.在“杨辉三角”中，从第三行起，每行两端的数都是1，其余的数都为其“肩上”两数之和.现将该数阵从第一行开始，由上到下，由左往右的数字依次排成一列，构成数列1，1，1，1， 2，1，1，3，3，1…，若此数列的前m 项和2047m S =，则m =（ ）A.36B.45C.55D.66 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()1,21,2m t =+-，()1,1,n t t =-，且2m n +=，则t =________.14.已知正项等比数列{}n a 中，1231a a a =，4562a a a =，则2122212log log log a a a +++L 的值为________.15.已知实数x ，y 满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则222z x y y =++的最大值为________.16.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为y x =±，右顶点为点()1,0.若经过点()0,1P -的直线与双曲线C 的右支交于不同的两点M ，N ，则线段MN 的中垂线l 在y 轴上截距t 的取值范围是________. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（10分）已知函数()()232f x ax ax a R =++∈.（I ）若x R ∀∈，()0f x >恒成立，求a 的取值范围；（II ）若()()30f x ax bx b R -+>∈的解集为112x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或，解不等式2100ax bx --<.18.（12分）已知:p 方程()222y m m x =--表示经过第二、三象限的抛物线；:q 方程2213x y m a a m+=+-表示焦点在x 轴上的椭圆.其中m R ∈，0a >.（I ）若1a =，且p q ∧为真命题，求m 的取值范围；（Ⅱ）若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围.19.（12分）如图所示，在ABC V 中，已知点D 在边BC 上，且90DAC ∠=︒，cos 3DAB ∠=，6AB =.（I）若sin 3C =，求线段BC 的长； （Ⅱ）若点E 是BC的中点，AE =AC 的长. 20.（12分）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，3112S S -=，212314a S +=，数列{}n b 中，11b =，121n n b b +=+. （I ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）记nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 21.（12分）如图所示，圆锥的顶点为A ，底面的圆心为O ，BC 是底面圆的一条直径，点D ，E 在底面圆上，已知2BC OA ==，CD =（I ）证明：AC OD ⊥；（Ⅱ）若二面角C OA E --的大小为60︒，求直线OC 与平面ACE 所成角的正弦值. 22.（12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的右焦点为F ，过点20,9P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l 与E 交于A ，B 两点.当l 过点F 时，直线l 的斜率为29，当1的斜率不存在时，4AB =. （I ）求椭圆E 的方程.（Ⅱ）以AB 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 1.【答案】A【命题意图】本题考查一元二次不等式的解法以及集合的运算. 【解析】(][),23,A =-∞+∞U ，[)1,3B =-，所以[]1,2A B =-I . 2.【答案】C【命题意图】本题考查不等式的基本性质.【解析】当0b a <<时，有33a b >，b a >，ln 2ln 2a b>，11b a<. 3.【答案】B【命题意图】本题考查命题的否定.【解析】全称命题的否定，需要将全称量词改写为存在量词，并否定结论. 4.【答案】B【命题意图】本题考查充分条件和必要条件的判断.【解析】()()21xf x a =-是增函数，需满足211a ->，1a ∴>.“函数()()21xf x a =-是增函数”是“2a >”的必要不充分条件. 5.【答案】A【命题意图】本题考查等差数列的基本性质.【解析】2a ，4038a 是函数()2162020f x x x =--的两个零点，所以240382020216a a a +==，所以20208a =.6.【答案】D【命题意图】本题考查双曲线的几何性质.【解析】设双曲线C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，半焦距为c .，则双曲线的渐近线方程为y x =±，焦点(),0F c 到一条渐近线的距离为d ==2c =，a =长为2a =. 7.【答案】A【命题意图】本题考查解三角形，余弦定理的应用. 【解析】由()()0a b c a b c ab ---++=，可得222a b c ab +-=，根据余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==，又()0,C π∈，所以3C π=.因为1sin 2A =，()0,A π∈，所以6A π=或56A π=.当6A π=时，2B π=；当56A π=时，A C π+>，不合题意. 8.【答案】D【命题意图】本题考查抛物线的性质，直线与圆相切.【解析】如图所示，依题意ME l ⊥，过点M 作MH x ⊥轴，垂足为H ，在Rt MFH V 中，2MF FH =，由抛物线定义可得ME MF =，则22222p p⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，解得43p =，故M e 的半径为8223p +=.9.【答案】B【命题意图】本题考查椭圆和双曲线的标准方程和几何性质.【解析】设右焦点为(),0F c ，则2222212c a b a b =-=+.依题意21,b M c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,b N c a ⎛⎫⎪⎝⎭，12a a >，若12OMN OFM S S =V V ，则23FM FN =，即222123b b a a ⋅=⋅，即2123a a =，所以122123e a e a ==.10.【答案】C【命题意图】本题考查空间直角坐标系和空间向量在立体几何中的应用.【解析】由题意可得()0,0,0B ，()0,2,0A，()C ，()0,2,2P，所以()2,2PC =--u u u r，()0,2,2BP =u u u r .设(),,n x y z =，则220220y z z y ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩，取2z =，可得()0,2,2n =-.因为AB BC ⊥，PA BC ⊥，所以BC ⊥平面P AB ，所以平面PBC ⊥平面P AB ，所以m n ⊥，所以cos ,0m n =.综上所述，A ，B ，D 错，C 正确.11.【答案】C【命题意图】本题考查椭圆的标准方程和几何性质.【解析】设椭圆E 的半焦距为c .直线0x ty -=过原点，当其与x 轴垂直，即0t =时，四边形12AF BF 的面积最大，此时12282S c b =⨯⨯=，所以4bc =，所以22228a b c bc ≥=+=，a ≥. 12.【答案】D【命题意图】本题考查等比数列的基本性质及求和公式.【解析】将数列分组：()1，()1,1，()1,2,1，()1,3,3,1，….第一组共1项，和为02；第2组共2项，和为12；…；第k 组共k 项，猜测其和为12k -.前k 组所有项的和为01211222222112k k k --++++==--L .令212047k-=，可解得11k =，则1231166m =++++=L . 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.【答案】1【命题意图】本题考查空间向量的基本运算性质.【解析】由题意得()23,3,22m n t +=-，2m n +==1t =. 14.【答案】6【命题意图】本题考查等比数列的性质.【解析】{}12n n n a a a ++是等比数列，所以7894a a a =，1011128a a a =，因此数列{}n a 的前12项之积为12124864T =⨯⨯⨯=，6212221222log log log log 64log 26a a a +++===L .15.【答案】24【命题意图】本题考查二元一次不等式与平面区域.【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中()1,2A ，()3,1B ，()4,2C ，()2222211x y y x y ++=++-表示可行域内的任意一点与点()0,1-之间距离的平方，所以()22max 421124z =+---=⎡⎤⎣⎦.16.【答案】()2,+∞【命题意图】本题考查双曲线的标准方程和性质，双曲线和直线的位置关系.【解析】由题可知，双曲线方程为221x y -=.设直线方程为1y kx =-，联立2211x y y kx ⎧-=⎨=-⎩，消去y 得()221220k x kx -+-=.由题可知此方程有两个正根，所以()22224810201201k k k k k⎧∆=+->⎪⎪-⎪>⎨-⎪-⎪>⎪-⎩，解得1k <<MN 的中点为221,11kk k --⎛⎫⎪--⎝⎭，所以线段MN 的中垂线方程为221111k y x k k k ⎛⎫+=-+ ⎪--⎝⎭.令0x =，得截距2222211t k k -==>--. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.【命题意图】本题考查一元二次不等式的解法.【解析】（I ）当0a =时，()20f x =>显然成立； （1分） 当0a ≠时，需满足20980a a a >⎧⎨-<⎩，得809a <<. （3分） 综上可得，a 的取值范围是80,9⎡⎫⎪⎢⎣⎭. （4分） （Ⅱ）()30f x ax bx -+>即220ax bx ++>.根据题意，1x =-和12x =-是方程220ax bx ++=的两个实根， （5分） 所以202042a b a b -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得46a b =⎧⎨=⎩，经检验，符合题意. （7分）()()2461021250x x x x --=+-<，解得512x -<<， 所以不等式2100ax bx --<的解集为51,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. （10分） 18.【命题意图】本题考查命题真假的判断，简单逻辑联结词，充分条件与必要条件. 【解析】（I ）因为p q ∧为真命题，所以p 和q 都是真命题. （1分） 若p 为真命题，()222y m m x =--表示经过第二、三象限的抛物线， 则220m m --<，解得12m -<<. （3分）若q 为真命题，22113x y m m+=+-表示焦点在x 轴上的椭圆， 则130m m +>->，解得13m <<. （5分）因为()()()1,21,31,2-=I ，所以m 的取值范围是()1,2. （6分） （Ⅱ）若q 为真，可得30m a a m +>->，所以(),3m a a ∈，0a >. 若p 为真，可得()1,2m ∈-. （8分）因为p 是q 的必要不充分条件，所以有321a a ≤⎧⎨≥-⎩，解得213a -≤≤. （11分）又因为0a >，所以20,3a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. （12分）19.【命题意图】本题考查解三角形、正弦定理、诱导公式以及平面向量数量积的应用. 【解析】（I ）由条件可得()sin sin 90cos 3BAC DAB DAB ∠=︒+∠=∠=. （2分） 在ABC V 中，sin sin BC AB BAC C =∠=BC = （5分）（Ⅱ）由（I）知sin 3BAC ∠=，因为BAC ∠为钝角，所以1cos 3BAC ∠=-. （6分） 因为2AB AC AE +=u u u r u u u r u u u r，所以()22222cos 4AB ACAB AC AB AC BAC AE +=++⋅∠=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， （8分）所以213626683AC AC ⎛⎫++⨯⨯-⨯= ⎪⎝⎭u u u r u u ur ，整理得24320AC AC --=u u u r u u u r ， （10分）解得8AC =u u u r（负值舍去），所以线段AC 的长为8. （12分）20.【命题意图】本题考查等差数列和等比数列的性质及数列求和的运算. 【解析】（I ）设数列{}n a 的公比为q ，由已知可得0q >，由题意得21111123214a q a q a a q ⎧+=⎨+=⎩， （1分）所以275180q q --=，解得2q =，12a =. （3分）因此数列{}n a 的通项公式为2nn a =. （4分）由121n n b b +=+可得()1121n n b b ++=+，易知10n b +≠，所以1121n n b b ++=+， （6分） 所以数列{}1n b +是以112b +=为首项，2为公比的等比数列， （7分）所以11222n n n b -+=⋅=，所以21nn b =-. （8分）（Ⅱ）由（I ）可知211122nn n nc -⎛⎫==- ⎪⎝⎭. （9分） 所以数列{}n c 的前n 项和211122111111111222212nnn n T n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+-++-=-=+- ⎪⎝⎭-L . （12分） 21.【命题意图】本题考查空间位置关系的证明，空间向量在立体几何中的应用. 【解析】（I ）因为OC OD =，CD =222DC OC OD =+，所以OD OC ⊥. （1分）在圆锥AO 中，AO 与底面垂直，所以AO OD ⊥. （2分） 因为AO OC O =I ，所以OD ⊥平面OAC ， （3分） 因为AC ⊂平面OAC ，所以AC OD ⊥. （4分）（Ⅱ）由（I ）可知0A ，OC ，OD 两两垂直，以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系. （6分） 则()0,0,0O ，()0,1,0C ，()0,0,2A .因为AO OC ⊥，AO OE ⊥，所以COE ∠为二面角C OA E --的平面角，所以60COE ∠=︒，从而可得1,02E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. （7分）所以()0,1,2AC =-u u u r，1,02CE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，()0,1,0OC =u u u r. （8分）设平面ACE 的法向量为(),,n x y z =.则20102AC n y z CE n x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩uu u r u u u r .令1z =，则2,1n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.（10分）设直线OC 与平面ACE 所成的角为θ，则sin cos ,OC n OC n OC n θ⋅====u u u ru u u r u u u r . （12分）22.【命题意图】本题考查椭圆的标准方程和几何性质、椭圆与直线的位置关系.【解析】（I ）设椭圆半焦距为c ，由题意202909AF k c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==-，所以1c =.（1分）l 的斜率不存在时，24AB b ==，所以2b =，a = （3分） 所以椭圆E 的方程为22154x y +=. （4分）（Ⅱ）以AB 为直径的圆过定点()0,2Q . （5分）理由如下：①当直线l 的斜率不存在时，()0,2A ，()0,2B -，此时以AB 为直径的圆的方程为224x y +=. （6分）②当直线l 的斜率为0时，令29y =-，解得209x =±，所以202,99A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，202,99B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 此时以AB 为直径的圆的方程为22222099x y ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， （7分） 联立22222422099x y x y ⎧+=⎪⎨⎛⎫⎛⎫++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩，可得02x y =⎧⎨=⎩，即两个圆的公共点为()0,2Q . （8分） ③当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为29y kx =-，()11,A x y ，()22,B x y . 由2229154y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得()22201600540981k x kx +--=. 则()12220954k x x k +=+，()12216008154x x k -=+. （9分） 因此()()()()11221212,2,222QA QB x y x y x x y y ⋅=-⋅-=+--u u u r u u u r()2121212121222204002299981x x kx kx x x k x x k x x ⎛⎫⎛⎫=+----=+-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()2222216001600400400081815481548154k k k k k --=+-+=+++. （10分） 所以此时以AB 为直径的圆经过点()0,2Q . （11分） 综上所述，以AB 为直径的圆恒过定点()0,2Q . （12分）。

天一大联考2020届高中毕业班阶段性测试（三）理科数学注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。

2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试题卷上作答无效。

3. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

满分150分，考试用时120分钟。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}0452≤+-=x x x A ，{}0,sin 3>-==x x y y B ，则=B AA.]4,1[B.]4,2[C.]1,4[--D.)4,1(- 2. 已知复数z 满足215--=i i z ，则z 在复平面内对应的点位于 A.第四象限 B.第三象限C.第二象限D.第一象限3. 执行如图所示的程序框图，则输出的=bA.5B.4C.3D.24. 已知等差数列{}n a 的公差不为0，27=a ，且4a 是2a 与5a 的等比中项，则{}n a 的前10项和为A.10B.0C.10-D.18-5. 已知43)3sin(-=-απ，则=-)232021cos(απ A.81 B.81- C.873 D.873- 6. 若方程0cos sin 32=-+a x x 有实根，则实数a 的取值范围为A.]12,1[B.),1[+∞-C.]1,(-∞D.]1237,1[- 7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为A.18B.218C.36D.488. 已知数列{}n a 是递增的等比数列，4026=-a a ，1024=+a a ，则=1aA.35 B.25 C.35 D.259. 如图所示，ABC ∆是等边三角形，其内部三个圆的半径相等，且圆心都在ABC ∆的一条中线上，在三角形内任取一点，则该点取自阴影部分的概率为A.499πB.4933πC.π332D.9π 10. 已知三棱锥BCD A -内接于球O ，4===BD BC AB ，︒=∠60CBD ，⊥AB 平面BCD ，则球O 的表面积为A.328πB.425π C.3112π D.π60 11. 如图所示，在直角坐标系xOy 中，ABC ∆和BDE ∆都是等腰直角三角形，BDE ABC ∠=∠︒=90，且OB OA =，若点C 和点E 都在抛物线)0(22>=p px y 上，则ABC ∆与BDE ∆的面积的比值为A.81B.223-C.42 D.12- 12. 设函数)(x f '是函数))((R x x f ∈的导函数，当0≠x 时，0)(3)(<+'xx f x f ，则函数31)()(x x f x g -=的零点个数为 A.3 B.2C.1D.0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知向量)4,3(-=a ，1||=b ，235=⋅b a ，则向量a 与b 的夹角=θ_______. 14. 已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的渐近线方程为x y 22±=，点)2,1(A 到右焦点F 的距离为22，则C 的方程为_______.15. 已知函数)2||,0)(sin(2)(πϕωϕω<>+=x x f 满足2)()0(==πf f ，且)(x f 在区间)2,4(ππ上单调递减，则ω的值为_______. 16. 设函数)(x f 123+-=x x ，x xe x g 2)(=，若),1(1+∞-∈∃x ，使得),1(2+∞-∈∀x ，不等式)()(4122x f m x emg >恒成立，则实数m 的取值范围是_______.三、解答题（共70分。