组合数学1
一、填空题
1．从n 个不相同的元素里,每次取出m 个元素（可以重复）的组合.这样的组合叫做相异元素可重复的组合,其个数为 m n 。
2．从n 个不相同的元素里,每次取出m 个全不相同的元素,并且将这些元素放在圆周上进行排列,即排列好的元素列没有头尾,则其排列的个数为 ()!!
n m n m -
。 3．从88⨯的棋盘中，取出一个由三个小方格组成的“L ”型,如图
问共有 196 种不同的取法.
4．计算⎭⎬⎫
⎩⎨⎧2n = 121n -- 。
5．计算⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-1n n = ()12n n - 。 6．计算⎭⎬⎫⎩⎨⎧24= 11 。
7．6321)32(x x x +-中23
231x x x 的系数是 1440- . 8、在多项式()7
521...x x x +++的展开式中的项534321x x x x 的系数是 420 。 9．不定方程N x a x a x a n n =+++ 2211有整数解的充分必要条件是 ()1,2,0,n a a a N .
二、选择题
1．8人排队上车，其中A ，B 两人之间恰好有4人，则不同的排队方法数是（ B ）。 A !63⋅ B !64⋅ C !66⋅ D !68⋅
2．由一个正方体的三个顶点所构成的正三角形的个数为（ D ）.
A 4
B 8
C 12
D 24.
3．把15个相同的足球分给4个人，使得每人至少分得3个足球，不同的分法共有（ 16 ）种 A 45 B 36 C 28 D 20
4．从n 3个相邻的正整数中选出三个数，使它们的和能被3整除，共有不同选法种数为（ C ）.
A 3
3n C ； B 313)(C ； C 3
33n C ； D 313)(3n n C C +.
5．仅由数字1, 2, 3组成的七位数中, 相邻数字均不相同的七位数的个数是 ( D ). A 576 B 504 C 343 D 192
6、8次射击，命中3次，其中恰有2次连续命中的情形共有（ A ）种. A 15； B 30 ； C 48 ； D 60.
7．设x ，y 均为正整数且y x +≤20，则这样的有序数对),(y x 共有（ A ）个。
A 190
B 200
C 210
D 220
8．百位数字不是1且各位数字互异的三位数的个数是 ( A ).
A 576
B 504
C 720
D 336
9．6321)32(x x x +-中23
231x x x 的系数是（B ） A 1440 B –1440 C . 0 D 1
三、计算题
1．求6321)532(x x x +-的展开式中23
231x x x 的系数? 展开后合并同类项，则一共有多少项？
2、求()7
521...x x x +++的展开式中534321x x x x 的系数? 展开后合并同类项，则一共有多少项？
3．求50!中2的最高次幂.
4．求)(5x f 的展开式.
5．在平面上,对任意自然数n ,连接原点O 与点(,3),n P n n +用)(n f 表示线段n OP 上除端点外的整点个数,试求(1)(2)(2004).f f f +++
6．设{1,2,...,2001}A =,是判断是否存在集合A 的分划1234A A A A A =⋃⋃⋃,其中集
合(14)i A i ≤≤中各数字的和组成等差数列，并说明理由。
7．试求两个最小正整数n ，使得集合{}n n 3,13,,2,1- 分划为n 个互不相交的,每个子集合只含三个数{},,,z y x 并且z y x 3=+.
四、证明题
1．证明：()011=-∑≥k n k k C k ,()010
=-∑≥k k n r k k
C C . 2．证明：在任意给出的1+n （n ≥2）个正整数中必有两个数，它们的差能被n 整除。 3.证明：0)
1(02=-∑=n
k k n k C k （2>n ） 4．在平面的任意5个整数点(横、纵坐标为整数的点)中,一定存在2个点,使其连线的
中点也是整数点.
5．证明：在任意给出的1998个自然数1a ，2a ，…，1998a 中，必存在若干个数，它们的和能被1998整除。
组合数学2
一、填空题
1．在1和2000之间能被6整除但不能被15整除的正整数共有 200 个。。
2．令1110()n n n n f x a x a x a x a --=++
++,则()f x 的差分表中第1n +(1)n ≥+行为 0 .
3．已知递推关系)3(1243321≥-+=---n a a a a n n n n 的一个特征根为2，则其通解为 ),2,1,0(3)2(2321 =+-+=n c c c a n n n n
4．设n 是一个正整数，令n Q 表示在},...,2,1{n 中不允许出现两个连续数字的排列方法数，
则我们有n Q =()()()! 1
1-!- 2C ! 1!11121-n 11----+-+--n n n n C n n C n 5．当1≥n 时,我们有n D =()()!!11...!
31!21!111n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+- (其中n D 表示集合},...,2,1{n 的更列的个数)。
6．从1至1000的整数中，有 167 个整数能被5整除但不能被6整除.
7．在边长为1的正方形内任意放入5个点，则其中至少有两个点的距离小于
22. 二、选择题
1．在1和300之间的整数中能被3或5整除的整数共有（ D ）个。 A 100 B 120 C 140 D 160
2．递推关系⎩⎨⎧=≥+=-3)1( 220
1a n a a n n n 的解为（ D ） A 32+⋅=n n n a B 22)1(++=n n n a
C 12)2(++=n n n a
D n n n a 2)3(+=
3．递推关系⎩⎨⎧=≥+=-3)1( 220
1a n a a n n n 的解为（ D ） A 32+⋅=n n n a B 22)1(++=n n n a
C 12)2(++=n n n a
D n n n a 2)3(+=
4．已知0)}({≥n n f 是Fibonacci 数列且21)7(=f ，34)8(=f ，则=)10(f （ A ）
